Численное моделирование электронных возбуждений на примере гелия, неона, натрия и фтора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Попов, Виталий Валерьевич

• Попов, Виталий Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Попов, Виталий Валерьевич

Содержание

Введение

1 Динамика электронных возбуждений

1.1 Отклик заряженных частиц на внешнее воздействие

1.2 Энергетический спектр атома водорода с учетом ширины спектральных линий

1.3 Метод функционала электронной плотности

1.4 Функция отклика в методе функционала электронной плотности

1.5 Метод многоконфигурационного взаимодействия

1.6 Краткий обзор программного обеспечения, предназначенного для моделирования электронных возбуждений

2 Описание возбуждений

2.1 Построение математической модели

2.2 Описание возбуждений электронов в кластерах

2.3 Обменно-корреляционное взаимодействие в кластерах

3 Реализация математической модели

3.1 Общая схема поиска решений

3.2 Вычисление интегралов перекрывания

3.3 Вычисление матричных элементов оператора кинетической энергии

3.4 Вычисление матричных элементов электрон-ядерного взаимодействия

3.5 Вычисление матричных элементов электрон-электронного взаимодействия

3.6 Вычисление матричных элементов обменно-корреляционного взаимодействия

3.7 Вычисление матричных элементов оператора квадрата

момента импульса

4 Программное обеспечение, средства разработки и результаты расчетов

4.1 Особенности реализации программного комплекса

4.2 Модули программного комплекса

4.3 Основные характеристики и принципы работы

программного комплекса

4.4 Проверка правильности метода и программного комплекса

4.5 Расчеты для кластеров в возбужденном состоянии

Заключение

Библиографический список

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование электронных возбуждений на примере гелия, неона, натрия и фтора»

Введение

Многие физико-химические свойства вещества определяются электронным строением. Знание электронного строения позволяет не только объяснять обнаруженное поведение вещества, но и предсказывать, создавать материалы с заранее заданными свойствами. В исследовании электронной структуры атомов, молекул и твердых тел достигнут некоторый успех. Этот успех обеспечен современными методами математического моделирования и расчета. Наиболее популярными являются методы расчета электронной структуры вещества в основном состоянии. Однако больший интерес представляют возбуждения, в которых пребывают электроны реального вещества. Более того, измерить какие-либо характеристики электронов, находящихся в основном состоянии, означает оказать на них воздействие и, следовательно, перевести их в возбужденное состояние.

Целенаправленное создание наноструктурных материалов в режиме «самосборки» требует очень глубокого и достаточно полного представления о взаимодействии кластеров - строительных элементов создаваемых материалов. По своим физическо-химическим свойствам кластеры занимают промежуточное положение между атомами и молекулами с одной стороны и конденсированным веществом - с другой. Эволюция кластеров ведет к образованию либо газовой фазы, либо конденсированной фазы, проходя ряд ме-тастабильных состояний. Кластеры обладают высокой химической активностью, а цепь процессов перехода от одного состояния к другому является сложной и неравновесной. Еще более сложные взаимодействия кластеров происходят в условиях внешних воздействий, с помощью которых можно и управлять этими процессами.

Изучение процессов, проходящих при переходе из одного промежуточного состояния в другое, удобно проводить на основе такой ab initio (перво-принципной) теории, которая позволила бы в рамках единой схемы рассчитать большую совокупность различных свойств материала, достаточно

надежно подтвержденных экспериментом. Расчеты здесь важны и потому, что многие величины гораздо легче вычислить, чем измерить. С их помощью уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Достаточно точный количественный расчет важен еще и потому, что явления и процессы, происходящие при формировании кластеров, определяются большим количеством конкурирующих факторов, не позволяющих ограничиться качественными соображениями. При этом возникает вопрос о выборе метода расчета, его физической корректности и математической точности.

Проблема описания свойств кластеров при различных условиях, выдвигает на первый план необходимость обоснования физических моделей и приближений, принимаемых при расчётах этих свойств. При рассмотрении адекватности и обоснованности моделей физических явлений теоретический анализ может оказаться не менее эффективным, чем прямые экспериментальные проверки конкретных результатов расчетов. Данный факт связан с ограниченностью возможностей экспериментов и точностью получаемых экспериментальных данных.

Цель работы: разработать методику количественного описания возбужденных состояний многоэлектронных систем методами компьютерного моделирования.

Для достижения сформулированной цели, были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать существующие методы исследования и описания возбужденных состояний многоэлектронных систем.

2. Разработать математическую модель количественного описания возбуждений многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Предложить методы, необходимые для реализации предложенной математической модели.

4. Спроектировать и реализовать программное обеспечение математической модели.

5. Проверить адекватность математической модели.

6. Оценить времена жизни возбужденных состояний в кластерах, состоящих из атомов гелия, неона, натрия и фтора.

Научная новизна:

1. Разработан новый математический метод имитации распада квантовых состояний многоатомных систем, основанный на рассмотрении всех возможных орбитальных состояний, в том числе нерегулярных на сфере.

2. Создан программный комплекс, реализующий эффективные численные методы и алгоритмы, для проведения вычислительного эксперимента, описывающего распад многоатомных систем.

3. Предложена методика исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах, основанная на новом методе имитации распада квантовых состояний многоатомных систем.

4. Проведенные исследования энергетических характеристик электронов и времени распада возбуждений в атомах и кластерах гелия, неона, натрия и фтора позволили обнаружить в предложенной модели коллапс атомов, долгоживущие возбуждения, перестройку электронных оболочек.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью постановки и решения сформулированных задач, соответствием результатов расчета результатам других авторов экспериментальных и теоретических работ.

Практическая значимость работы состоит в создании нового подхода для описания возбуждений многоэлектронных систем. С его помощью, в частности, можно предсказывать принципиальную возможность существования возбужденных долгоживущих состояний. На основе разработанной ма-

тематической модели и предложенной методики исследования электронной структуры кластеров в полях большой мощности уже сегодня можно получить весьма полное представление о свойствах вещества, даже еще не синтезированного. Например, опираясь на результаты расчетов, генерировать кластеры для создания нанофильтров, деталей наномеханизмов, медицинских дозаторов, электронных элементов, накопителей и преобразователей энергии.

На защиту выносятся:

1. Методика учета квантового распада возбужденных состояний в методе Кона-Шема (функционала электронной плотности).

2. Программный комплекс, численно моделирующий поведение многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

3. Методика исследования электронной структуры кластеров в полях внешнего воздействия.

4. Результаты расчета энергетической структуры электронов в кластерах гелия, неона, натрия и фтора, а также времен жизни возбужденных состояний в них.

Апробация работы. Основные результаты работы апробированы на: Одиннадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых, Екатеринбург, 2005; ХЫП Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2005; ХЬУ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 2007; IV Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2007», Барнаул, 2007; V Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2008», Барнаул, 2008; VI Международной научной школы-конференции «Фундаментальное и прикладное материаловедение», Барнаул, 2009; VI Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2009», Барнаул, 2009; Всероссийской конференции с элементами научной школы для молодежи «Новые

материалы. Создание, структура, свойства-2009», Томск, 2009; II Всероссийской конференции «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях - ММПСН-2009» Москва, 2009, VII Всероссийской научно-технической конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь-2010», Барнаул, 2010; XII Международной научно-технической конференции «Измерение, контроль, информатизация», Барнаул, 2011.

Президиум Российской Академии Наук постановлением № 201 от 24 января 2006 года присудил медаль Российской Академии Наук за работу «Решение спектральной задачи в методе функционала электронной плотности».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе две статьи в изданиях, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ, и одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ в Реестре программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 123 наименований, содержит 120 страниц машинописного текста, включает 14 рисунков и 10 таблиц.

1 Динамика электронных возбуждений

В данной главе обзорного характера дается понятие функции отклика системы частиц на внешнее воздействие, обсуждаются экспериментальные методы исследования этой функции, теоретические способы описания отклика в многочастичном подходе, а также в рамках одночастичного приближения. Приводится краткий обзор и анализ программного обеспечения, предназначенного для описания многоэлектронных систем.

1.1 Отклик заряженных частиц на внешнее воздействие

Вещество, предназначенное для исследования, представим как совокупность атомов или молекул в газовой, жидкой или твердой фазе. Помещенное во внешнее поле, оно меняет свои характеристики. Например, в электрическом поле с напряженностью Е, возникает поляризация среды, характеризуемая вектором поляризации Р - дипольным электрическим моментом единицы объема. Появление дипольного момента в целом электронейтральной системы, состоящей из п заряженных частиц, обусловлено смещением электрических зарядов в атомах под действием поля с напряженностью Е. Дипольный электрический момент по определению равен сумме:

где qk - заряд частицы к, а гк - радиус-вектор, указывающий положение частицы к.

На микроскопическом уровне из-за постоянного движения всех частиц возникают быстро меняющиеся флуктуации плотностей зарядов и токов. При этом могут быть существенными и квантовые эффекты, когда невозможно приписать каждой частице определенные значения координат и скоростей, а можно лишь говорить о вероятности того, что они имеют те или иные значения. Поэтому бессмысленно определять мгновенные значения ло-

те

(1.1.1)

к=1

кальных полей. Можно выполнить усреднения плотностей зарядов и токов, а значит и полей, созданных ими, по физически бесконечно малым объемам, но содержащим много частиц. Тем самым исключают из рассмотрения поле, действующее на частицу, а также отказываются от вычисления отклика среды на внешнее поле. Это существенно упрощает решение задачи об установлении связи наведенных полей с внешними полями. Однако приходится ограничиваться только феноменологическим учетом этого отклика. В линейном приближении связь между векторами Р и Е, усредненными по физически бесконечно малым объемам, представима в виде:

Р=*Е. (1.1.2)

Здесь величина х ~ это диэлектрическая восприимчивость, зависящая только от свойств среды. С появлением лазеров были обнаружены нелинейные эффекты. Эти эффекты могут быть описаны только с учетом следующих членов, нелинейных по полю. Например, отклик системы становится существенно нелинейным в полях с напряженностью, близкой по значению к напряженности внутриатомного поля: е ,, В

Еа = ~ ~ 10 1.1.3)

а2 м

где е - заряд электрона, а - атомный радиус. В пучках мощных лазеров атомы и молекулы разрушаются за времена порядка 10"16 с. Вещество в этих полях переходит в состояние плазмы. В сильных полях поляризация может зависеть от частоты, а показатель преломления - от интенсивности электромагнитного поля. В качестве параметра нелинейности обычно выбирается (Е/Еа). При (Е/Еа) < 1 модуль вектора Р можно представить в виде разложения в ряд по параметру (Е/Еа):

Р = ЪтЕк (1.1.4)

к

с коэффициентами нелинейной восприимчивости, обратно пропорциональными соответствующей степени напряженности внутриатомного поля: Х(Ю~Е~к. (1.1.5)

В микроскопической теории отклика среды на электромагнитное поле отказываются от усреднения по физически бесконечно малым объемам. Здесь необходимо оперировать усредненными по флуктуациям значениями полей и их корреляциями в различных пространственно-временных точках или же распределением вероятностей для различных конфигураций полей. Если воспользоваться обычным для статистической физики усреднением по ансамблю возможных состояний, определяемых плотностью зарядов и токов, то в силу эргодической гипотезы временные флуктуации исключаются из рассмотрения, так как статистическое усреднение эквивалентно усреднению по времени. Поскольку здесь отсутствует пространственное усреднение, то средние по ансамблю плотности зарядов р(г, £) и токов ](г, £) - как отклик среды на внешнее поле в общем должны зависеть от координат и времени. Эти плотности зарядов и токов, в свою очередь, создают поля в среде. Таким образом, возникает задача об установлении связи наведенных полей с внешними полями. В общем случае эта задача о нахождении средней поляризации произвольной системы частиц при произвольном поле не решена. Известен единственный регулярный подход, позволяющий для широкого класса систем анализировать решение в общем виде [1]. Он связан с разложением отклика по степеням поля. В этом случае вектор поляризации, зависящий от координат и времени, удобно представить в виде следующего ряда

с компонентами разложения по степеням поля, также зависящего от координат и времени:

(1.1.6)

к

/ Харг(Х, г', г"; г, Г) Ер (г'; (г"; М6.1",

(1.1.7)

X Ер{г'; ПЕу(г"; 1")Е8{г'"; 1"')(1ъг'(И'сРг"(1ъг"'(11

т

и т.д. В правой части этих равенств подразумевается суммирование по повторяющимся индексам (3, у, 8 и т.д. от 1 до 3. Интегрирование по переменным времени Ь'" и т.д. выполняется в пределах (—оо; £), так как в силу принципа причинности поляризация в момент времени £ зависит от значений полей только в предшествующие моменты времени. Интегрирование по штрихованным пространственным переменным ведется по области, где |г — г'| < с\1 — 1'\, так как согласно теории относительности взаимодействие не может распространяться со скоростью, большей скорости света с, и значения поля в точках, не удовлетворяющих этому условию, не могут повлиять на поляризацию в точке г в момент времени Практически же конечность пределов интегрирования по г', г", г'" и т.д. может быть расширена до бесконечности, так как функция отклика х очень быстро спадает на расстояниях гораздо меньших, чем вышеуказанные релятивисткие пределы.

Поляризация в точке, положение которой указывает радиус-вектор г в момент времени t, определяется значениями напряженности поля Е в других точках с радиус-векторами г', г", г'" и т.д. При этом говорят о нелокальности отклика. Она связана с тем, что частица пребывает в точку г и приносит в нее память о воздействии из точек г', г", г'" и т.д. Поэтому расстояние |г — г'|, на котором функция отклика убывает практически до нуля, называемое радиусом нелокальности, для свободных зарядов оказывается порядка длины свободного пробега, для связанных зарядов - порядка размеров атома или молекулы а. Для ультрафиолетового диапазона, и тем более для оптического, инфракрасного и радиодиапазона, длина волны Я » а « 10~1Ом. В этих случаях при |г — г'| < а поле в точке г практически не отличается от поля в точке г'. Этот подход пригоден для газов, жидкостей и диэлектриков. Для плазмы, металлов и полупроводников, где есть свободные носители заряда, этот подход требует дополнительного исследования. Большие длины свободного пробега электронов в металлах и в плазме, поляритонов в полупроводниках и диэлектриках могут привести к значительным эффектам нелокальности. При микроскопическом подходе к описанию электромагнитно-

го поля в веществе эффекты нелокальности всегда существенны. Однако эти эффекты исчезают при усреднении по физически малому объему с размерами много большими радиуса нелокальности. Это известное явление - отличие среднего поля от поля, действующего на каждую частицу, говорит о необходимости рассмотрения отклика среды при ее микроскопическом рассмотрении.

Рассмотрим природу эффекта запаздывания, когда поляризация в точке, положение которой указывает радиус-вектор г, к моменту времени I определяется напряженностью поля Е в предшествующие моменты времени Ь", и т.д. Можно говорить, что частица сохраняет память о поле в предшествующие моменты времени в течение времени релаксации т ~ Ю~10с. Для связанного электрона это время, в течение которого скорость электрона в атоме сохраняет свое направление, порядка периода волны оптического излучения. Поэтому запаздывание существенно и в более коротковолновом диапазоне.

Зная полную поляризацию Р = Р(г, £), формально можно ввести полную плотность тока, также зависящую от координат и времени №

, = - (1.1.8)

и включающую в себя токи проводимости, смещения и намагничения. Поэтому, нет необходимости вводить отдельно магнитную восприимчивость.

Таким образом, для понимания процессов отклика системы заряженных частиц на внешнее воздействие необходимо воспользоваться соотношениями (1.1.7). Эти соотношения дополняются уравнениями движения самих частиц, поведение которых описывается в следующих параграфах.

1.2 Энергетический спектр атома водорода с учетом ширины спектральных линий

Единственным атомом, для которого задача об отыскании энергетического спектра в основном состоянии может быть решена аналитически, является атом водорода [2]. Атом водорода представляет собой совокупность двух частиц: протона с зарядом е и электрона с зарядом — е, взаимодействующих по закону Кулона:

¥ = -к

е2г

у* 3

Г б'

у(г) = - \ ¥(1г = — к — + С.

где г - радиус-вектор, указывающий положение электрона относительно протона, г - его модуль, а к - константа, связанная с выбором системы единиц. В соответствии с определением, потенциальная энергия электрона, движущегося в электростатическом поле протона, равна

,2

Г

Удобно выбрать константу интегрирования С = 0, чтобы можно было считать энергию взаимодействия электрона, бесконечно удаленного от протона, равной нулю. В соответствии с принципами канонического квантования, оператор Гамильтона Н для атома водорода можно представить в виде суммы операторов кинетической и потенциальной энергии:

Р2 , е2

Н = -тг--к—.

2 те г

Здесь те - масса электрона, р = —ШЧ- оператор импульса. В сферической системе координат [3]

Ь2 1 с1 ( 0 й \ Ь2 1 ^ е2

Н = ----г— г2— +----А — к—,

2 те т аг \ аг) 2 те г1 г

где сферический оператор Лапласа

1 (д / 1 д2 бШ Ш15Ш9дв)+ 1ш)Т2(р

А = (1.2.1)

имеет собственные значения, равные 1(1 + 1), и собственные функции, удовлетворяющие уравнениям

дУ(в,(р)

-АУ(в,(р) = 1(1 +1 )У(в,ср), -1 \ = тУ(в, (р) (1.2.2)

о(р

для всех комплексных значений I. Таким образом, уравнение Шредингера

Игр (г) = £~ф(г) допускает разделение переменных. Его решение -ф(г) удобно

искать в виде произведения ф(г) = Я(г)У(в, ср) радиальной функции Я(г) на

угловую функцию У(в,(р). Причем радиальная часть должна удовлетворять

следующему уравнению:

Ь2 1 й ( 7йК(г)\ П2 1(1 + 1) , Л , «2 , Л

------ (г2 —+---— к — Я(г) = £/?(г).

2 тег2аг\ аг ) 2 те г1 г

Сделав замену переменных И (г) = (¿(г) /г, перепишем это уравнение в виде:

сг2(?(г) ] / / 2 | 22 1(1 +1)\ (г)_0 йг2 у г г2 у

Здесь введены следующие обозначения:

г — ктее2/Ь2 , к2 = —2тег/Ь2.

Решение последнего уравнения запишем через вырожденную гипергеометрическую функцию [4]

(Кг) = const(2/cr)г+1e_'crF ^ + 1 - 21 + 2,2кг^,

представимую, например, в виде ряда 1а 1 а(а + 1) _

Отметим, что если угловая функция У (в, ф) непрерывна по переменным в и (р, то существуют собственные значения сферического оператора Лапласа А только при целых значениях I = 0,1,2,3,... и т = 0, ±1, ±2,..., ±1. В этом случае угловые функции У (в, (р) являются хорошо известными сферическими функциями и выражаются через присоединенные полиномы Лежандра Ргт(соб в) в виде: У1т(в,ср) = Р1т(совв)е^.

Радиальная часть пред ставима суммой, содержащей конечное число членов: п-1-1

Я(г) = е~Р/ар1 ^ ;=0

где коэффициенты Ь] связаны рекуррентным соотношением

VI = Ъ ~(] + 1)и + 1 + 1).К1 + 1у Ь° = 2(-™Г3/2>

безразмерная переменная р = г/а, а = Ь2/(тее2), и I = ОД, 2, ...,п — 1. Собственному значению энергии электрона к2тее4

£п 2h2n2

для каждого п = 1,2,... отвечает п2 собственных функций, пред ставимых в виде гр(г) = Rnl(r)Ylm(e,(p).

Следуя работе [2] будем считать, что угловая функция Y (в, (р) непрерывна только по переменной (р. Произвольное поведение угловой функции по переменной в не накладывает никаких ограничений на I - в общем случае комплексное число. Рассмотрим случай, когда мнимая часть I близка к нулю, а действительная часть I близка к целому числу. В силу непрерывности и однозначности угловой функции Y (в, ср) по переменной ср квантовое число т должно быть целым. Тогда угловая функция может быть представлена в виде:

Ylm<ie,(p) = Plm(cose)eim(P.

Здесь неизвестные функции Pim(x), где х = cos в, предлагается разложить по

присоединенным полиномам Лежандра:

00

)= О

Этот ряд предполагается быстро сходящимся в силу того, что мнимая часть I близка к нулю, а действительная часть I близка к целому числу j. Следовательно, неизвестные функции Pim(x) должны быть близки к присоединенным полиномам Лежандра Р;т(х). При т = 0 этот ряд представляет собой

разложение по полиномам Лежандра с коэффициентами разложения [2], имеющими вид:

БтОкП /1 1 \

АЛЛ) = (-1У+1—— , , ■

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Попов, Виталий Валерьевич

Заключение

В результате проведенных исследований:

1. Создана математическая модель, формально описывающая поведение многоэлектронных систем в условиях внешнего воздействия.

2. Предложена методика расчета спектральных характеристик и времени распада возбужденных состояний многоэлектронных систем.

3. Предложен метод вычисления обменно-корреляционного потенциала.

4. Предложена вычислительная схема поиска решения системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений.

5. Предложена процедура вычисления всех матричных элементов в базисе любой длины без использования сеточных схем.

6. Создан программный комплекс для вычисления энергетических характеристик и времени жизни возбуждений в многоэлектронных системах.

7. Проверена адекватность разработанного метода и программного обеспечения.

8. Применение созданного программного комплекса для вычисления энергетических характеристик электронов и времени жизни возбуждений в атомах и в кластерах гелия, неона, натрия, фтора позволило обнаружить ряд новых эффектов: а) перестройка электронных оболочек; б) наличие долгоживущих возбуждений; в) коллапс атома.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Попов, Виталий Валерьевич, 2011 год

Библиографический список

1. Ильинский Ю. А., Келдыш JI. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом: учеб. пособие. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 304 с.

2. Янавичус А., Шучуров В. Водородные волновые функции, учитывающие ширину уровня // Литовский физический сборник. - 1968. - Т. 8, № 1-2. -С. 47.

3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М.: Наука, 1977. - 832 с.

4. Балашов В. В., Долинов В. К. Курс квантовой механики. - М.: Изд-во МГУ, 1982.-280 с.

5. Конусов В. Ф. Основы теории твердого тела. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1983.-128с.

6. Fermi Е., Astatical method for the determination of some atomic properties and the application of this method to the periodic system of element. // Z.Phys. 1928. 48.Nl,P.73-79.

7. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas. // Phys. Rev. 1964. 136. N3.P. B864-B876.

8. Kohn W., Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects. // Phys. Rev. 1965. 140. P. A1133-A1138.

9. Киржниц Д. А., Иванов О. В. О локальном приближении в методе функционала плотности // ЖЭТФ. - 1993. - 104, Вып. 3 (9). - С. 31503164.

10. Levy М., Nagy A. Variational Density-Functional Theory for an Individual Excited State // Phys. Rev. Lett. Vol. 83, Issue 21, 1999. P. 4361-4364.

11. Nagy A., Levy M. Variational density-functional theory for degenerate excited states // Phys. Rev. A. Vol. 63, Issue 5, 2001. P. 52502-52507.

12. Gorling A. Density-functional theory beyond the Hohenberg-Kohn theorem // Phys. Rev. A. Vol. 59, Issue 5, 1999. P. 3359-3374.

13. Samal P., Harbola M. K. Exploring foundations of time-independent density functional theory for excited states // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics Vol. 39, Issue 20, 2006. P. 4065.

14. Shamim Md., Harbola M. K. Exchange Potential for excited states: A self-consistent DFT calculation [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http://arxiv.Org/abs/l 103.4043

15. Gunnarsson О., Lundqvist В. I. Exchange and correlation in atoms, molecules, and solids by the spin-density-functional formalism // Phys. Rev. B. Vol. 13, Issue 11, 1976. P. 4274-4298.

16. Barth U. Local-density theory of multiplet structure // Phys. Rev. A. Vol. 20, Issue 4, 1979. P. 1693-1703.

17. Лифшиц E. M., Питаевский JI. П. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. IX. Статистическая физика. Ч. 2 (теория конденсированного состояния) - М.: Наука, 1978. - 448 с.

18. Hedin L. New Method for Calculating the One-Particle Green's Function with Application to the Electron-Gas Problem. // Phys. Rev. 1965. 139. P.A796 -A823.

19. Hedin L., Lundqvist S. Solid State Physics. Vol. 23 (Eds H. Ehrenreich, F. Seitz, D. Turnbull) New York: Academic Press. 1969. P.l-181.

20. Bauer M., Aeschlimann M.Dynamics of excited electrons in metals, thin films and nanostructures. // J. Electron. Spectrosc. Relat. Phenom. 2002.124.N2-3. P.225-243.

21. Knoesel E., Hotzel A., Wolf M.Ultrafast dynamics of hot electrons and holes in copper: Excitation, energy relaxation, and transport effects. // Phys. Rev. 1998. B57. P.12812-12824.

22. Ogawa S. Femtosecond electron dynamics studied by interferometric time-resolved two-photon photoemission. // J. Electron. Spectrosc. Relat. Phenom. 2002.124.N2-3. P.245-261.

23. Ogawa S., Nagano H., Petek H., Heberle A.P.Optical Dephasing in Cu(l 11) Measured by Interferometric Two-Photon Time-Resolved Photoemission. // Phys. Rev. Lett. 1997. 78. P.1339-1342.

24. Hertel Т., Knoesel E., Wolf M.,Ertl G.Ultrafast Electron Dynamics at Cu(l 11): Response of an Electron Gas to Optical Excitation. // Phys. Rev. Lett. 1996. 76.P.535-538

25. Zhukov V. P., Andreyev O., Hoffmann D., Bauer M., Aeschlimann M., Chulkov E.V., EcheniqueP.M. Lifetimes of excited electrons in Та: Experimental time-resolved photoemission data and first-principles GW+T theory. // Phys. Rev. 2004. B70. P.233106-233109.

26. Zhukov V.P., Chulkov E.V., Echenique P.M., Marienfeld A., Bauer M., Aeschlimann M.Excited electron dynamics in bulk ytterbium: Time-resolved two-photon photoemission and GW+T ab initio calculations. // Phys. Rev. 2007. B76. P. 193107-193110.

27. Жуков В. П., Чулков Е. В. Фемтосекундная динамика электронов в металлах // УФН. - 2009. - 179, №2. - С. 113-146.

28. Kümmel S., Kronik L. Orbital-dependent density functionals: Theory and applications. // Rev. Mod. Phys. 2008. 80. N1. P.3-60.

29. Brar V.W., Wickenburg S., Panlasiguil M., Park C-H., Wehling Т.О., Zhang Y., Decker R., Girit C., Balatsky A.V., Louie S.G., Zettl A., Crommie M.F. Observation of Carrier-Density-Dependent Many-Body Effects in Graphene via Tunneling Spectroscopy. // Phys. Rev. Lett. 2010. 104. N3. P.036805-036808.

30. Rostgaard C., Jacobsen K. W., Thygesen K. S. Fully self-consistent GW calculations for molecules. // Phys. Rev. B. 2010. 81. N8. P.085103-085112.

31. El-Wazni R. Drake G.W.F. Energies for the high-L Rydberg states of helium: Asymptotic analysis. //Phys. Rev. A. 2009. 80. N6. P.064501-064504.

32. Stan A., Dahlen N.E., van Leeuwen R. Levels of self-consistency in the GW approximation. // J. Chem. Phys. 2009. 130. P. 114105 (10 pages).

33. Hellgren M., von Barth U. Exact-exchange kernel of time-dependent density functional theory: Frequency dependence and photoabsorption spectra of atoms. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P.044110 (13 pages).

34. Neugebauer J. On the calculation of general response properties in subsystem density functional theory. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P.084104 (12 pages).

35. Thom A.J.W., Head-Gordon M. Hartree-Fock solutions as a quasidiabatic basis for nonorthogonal configuration interaction. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P.124113 (5 pages).

36. Romaniello P., Guyot S., Reining L. The self-energy beyond GW: Local and nonlocal vertex corrections. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P. 154111 (12 pages).

37. Gruneis A., Marsman M., Harl J., Schimka L., Kresse G. Making the random phase approximation to electronic correlation accurate. // J. Chem. Phys. 2009.

131. P. 154115 (5 pages).

38. Marchi M., Azadi S., Casula M, Sorella S. Resonating valence bond wave function with molecular orbitals: Application to first-row molecules. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P. 154116 (12 pages).

39. Helbig N., Tokatly I. V., Rubio A. Exact Kohn-Sham potential of strongly correlated finite systems. //J. Chem. Phys.2009. 131. P.224105 (8 pages).

40. Cinal M. Direct mapping between exchange potentials of Hartree-Fock and Kohn-Sham schemes as origin of orbital proximity. // J. Chem. Phys. 2010.

132. P.014101 (15 pages).

41. Hellgren M. von Barth U. Correlation energy functional and potential from time-dependent exact-exchange theory. // J. Chem. Phys. 2010. 132. P.044101 (5 pages).

42. Nguyen H-V., Galli G. A first-principles study of weakly bound molecules using exact exchange and the random phase approximation. // J. Chem. Phys. 2010. 132. P.044109 (8 pages).

43. Sato T., Nakai H. Density functional method including weak interactions: Dispersion coefficients based on the local response approximation. // J. Chem. Phys. 2009. 131. P.224104 (12 pages).

44. Griffin G.B., Ehrler O.T., Kammrath A., Young R.M., Cheshnovsky O., Neumark D.M. Auger recombination and excited state relaxation dynamics in Hgn-(n = 9-20) anion clusters. // J. Chem. Phys. 2009. 130. P.231103 (4 pages).

45. Ипатов A. H. Расчет возбужденных состояний молекул при помощи метода теории функционала плотности с орбитально-зависимым неадиабатическим обменным ядром // ЖЭТФ. -2010.- 137, №2. -С. 226-240.

46. Ben-Shlomo S.B., Kaldor U. N2 excitations below 15 eV by the multireference coupled-cluster method. //J. Chem. Phys. 1990. 92. P.3680-3682.

47. Hirata S., Ivanov S., Grabowski I., Bartlett R.J. Time-dependent density functional theory employing optimized effective potentials. // J. Chem. Phys. 2002. 116. P.6468-6481.

48. Piotrowski M. J., Piquini P., Odashima M. M., Da Silva J. L. F. Transition-metal 13-atom clusters assessed with solid and surface-biased functionals // J. Chem. Phys. 2011. 134. P.134105-134110.

49. Drebov N. Ahlrichs R. Small clusters of aluminum and tin: Highly correlated calculations and validation of density functional procedures // J. Chem. Phys. 2011. 134. P.124308-124315.

50. Tao J., Perdew J. P., Staroverov V. N., Scuseria G. E. Climbing the Density Functional Ladder: Nonempirical Meta-Generalized Gradient Approximation Designed for Molecules and Solids // Phys. Rev. Lett. Vol. 91, Issue 14, 2003. P. 146401-146404.

51. Perdew J. P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized Gradient Approximation Made Simple // Phys. Rev. Lett. Vol. 77, Issue 18, 1996. P. 3865-3868.

52. Мазин И. И., Максимов Е. Г., Рашкеев С. Н., Успенский Ю. А. Микроскопический расчет диэлектрических функций отклика металлов // Труды ФИАН. - 1988. - 190. - С. 5-71.

53. Немошкаленко В. В., Алешин В. Г. Теоретические основы рентгеновской эмиссионной спектроскопии. - Киев: Наукова думка, 1974 - 328 с.

54. Singhal S.P., Callaway J. Exchange correction to the dielectric function in the local exchange approximation. // Phys. Rev. B. 1976. 14. P.2347-2352.

55. Zangwill A., Soven P. Density-functional approach to local-field effects I finite systems: Photoabsorption in rare gases. // Phys. Rev. A. 1980. 21. P.1561-1572.

56. Zangwill A., Soven P. Resonant photoemission in Barium and Cerium . // Phys. Rev. Lett. 1980. 45. P.204-207.

57. Levine Z.H., Soven P. Electron correlation effects in photoemission from lTtulevel in Acetylene. // Phys. Rev. Lett. 1983. 50. P.2074-2078.

58. Levine Z.H., Soven P. Time-dependent local-density theory of dielectric effects in small molecules . // Phys. Rev. A. 1984. 29. P.625-635.

59. Ekardt W. Size-dependent photoabsorption and photoemission of small metal particles. // Phys. Rev. B. 1985. 31. P.6360-6370.

60. Zangwill A., Liberman D.A. On the interplay between dielectric screening and core hole relaxation in soft X-ray absorption. // J. Phys. B. 1984. 17. P.L253-L257.

61. Горобченко В. Д., Максимов Е. Г. Диэлектрическая проницаемость взаимодействующего электронного газа// УФН. - 1980. - 130. - С.65-130.

62. Абаренков И. В., Братцев В. Ф., Тулуб А. В. Начала квантовой химии: учеб. пособие для хим. спец. вузов. - М.: Высш. шк., 1989. - 303 с.

63. Минкин В. И., Симкин Б. Я., Миняев Р. М. Теория строения молекул: учебники и учебные пособия. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. - 560 с.

64. The Official Gaussian WebSite [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http://www.gaussian.com

65. Computer Assistance to Chemical Research Center [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://www.chem.ac.ru/

66. Институт Физики им. JI. В. Киренского СО РАН [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://www.kirensky.ru/

67. Вычислительные серверы ИПХФ РАН [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://cc-ipcp.icp.ac.ru/gamess_ru.html

68. Хакимзянов Г. С., Черный С. Г. Методы вычислений: Ч. 3. Численные методы решения задач для уравнений параболического и эллиптического типов: учебно-методическое пособие. - Новосибирск: НГУ, 2008. - 160 с.

69. Попов Д. И., Сагалаков А. М. Эффективный алгоритм расчета квадратичных нелинейностей в спектральной аппроксимации для дифференциальных уравнений второго порядка // Известия Алтайского государственного университета. Серия «Математика и механика. Управление, вычислительная техника и информатика. Физика». — 2010. — №2 (65)-С. 184-187.

70. Никольский Э. В. Обобщенные функционально-инвариантные решения и эквивалентные системы уравнений математической физики: Аналитические и численные решения любых уравнений и систем 2-го порядка в частных производных. - Новосибирск: Наука, 1997. -156 с.

71. Попов А. В. Решение спектральной задачи для электронов в атоме, учитывающей ширину энергетических уровней // Оптика и спектроскопия. - 2002. - 93, №1. - С. 5-7.

72. Попов А. В. Поиск Ридберговской материи: бериллий // Физика плазмы. -2005. - Т. 31, №3. - С. 283-289.

73. Попов А. В. Поиск Ридберговской материи: магний // Известия АлтГУ. -2005.-Вып. 1-С. 142-147.

74. Попов А. В. Конденсат возбужденных состояний в магнии // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2005. - 128, № 2.

С. 227-232.

75. Попов А. В. Конденсат возбужденных состояний в кальции // Физика плазмы. - 2006. - Т. 32, №4. - С. 362-367.

76. Popov A.V. Search of Rydberg Matter: Beryllium // Computational Materials Science. 2006. V. 36. PP. 217-220.

77. Popov A.V. Search for Rydberg matter: Beryllium, magnesium and calcium // Czechoslovak Journal of Physics. 2006. Vol. 56, N2, P. B1294-B1299.

78. Попов А. В. Конденсация кластеров бериллия // Физика твердого тела. -2008. - Т. 50, №4. - С. 759-764.

79. Попов А. В. Конденсат возбужденных состояний в бериллии // Физика твердого тела. - 2008, Т. 50, №8. - С. 1530-1534.

80. Попов А. В. Агрегация атомов углерода // Альтернативная энергетика и экология. - 2009. - № 7 (75). - С. 80-86.

81. Попов А. В. Агрегация атомов лития // ЖТФ. - 2010. - Т. 80, Вып. 2. -С. 29-35.

82. Попов В. В. Описание возбуждений кластеров в рамках теории функционала электронной плотности // Материалы XLV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Физика / НГУ. - Новосибирск, 2007. - С. 59-60.

83. Попов В. В. Численное моделирование орбитальных возбуждений электронов в кластерах // Ползуновский альманах. - 2009. - № 3, Т. 2. -С. 281-283.

84. Попов В. В. Численное моделирование орбитальных возбуждений электронов в кластерах // VI Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь - 2009». Секция «Информационные технологии и системы». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. -Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2009. - С. 69-71.

85. Попов В. В., Кантор С. А. Численное моделирование возбуждений многоэлектронных систем в теории функционала электронной плотности. // Измерение, контроль, информатизация: Материалы двенадцатой международной научно-технической конференции / Под. ред.

JT. И. Сучковой - Барнаул: Издательство АлтГТУ, 2011. - С. 236-239.

86. Roothan С. С. J., Bagus P.S. Atomic self-consistent field calculations by the expansion method // Math. Comput.Phus. - 1964. - N1, P.47-58.

87. Huzinaga S. Gaussian-type functions for polyatomic systems. I // J. Chem. Phys. 1965. V. 42. N4. P. 1293-1302.

88. Watchers A. J. H. Gaussian Basis Set for Molecular Wavefunctions Containing Third-Row Atoms // The Journal Of Chemicals Physics, VOL. 52, N3 - 1970, P. 1033-1036.

89. Попов В. В. Решение спектральной задачи в методе функционала электронной плотности // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2005. - Т. 45, №2. - С. 327-329.

90. Попов В. В. Отыскание собственных значений для функционалов электронной плотности // Сборник тезисов Одиннадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых: Тезисы докладов: в 1т. - Екатеринбург: издательство АСФ России, 2005. — Т. 1 -С.58-59.

91. Попов В. В. Собственные значения операторов с функциональной зависимостью // Материалы XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» / Новосиб. гос. университет. - Новосибирск, 2005. - С. 192-193.

92. Barth von U., Hedin L. A local exchange-correlation potential for the spin-polarized case // J. Phys. C. 1972. V.5. N13.P. 1629-1642.

93. Vosko S. H., Wilk L., Nusair M. Accurate spin-dependent electron liquid correlation energies for local spin density calculation // Canad. J. Phys. 1980. V.58. N8.P.1200-1215.

94. Perdew J. P., Wang L. Accurate and simple analytic representation of the electron-gas correlation energy // Phys. Rev. B. 1992. V.45. N23.P. 1324413249.

95. Бете Г. Квантовая механика. - М.: Мир, 1965. - 333 с.

96. Perdew J. P., Zunger A. Self-interaction correction to density-functional approximations for many-electron systems // Phys. Rev. В 23,N10-1981, P. 5048.

97. Кацнельсон А. А., Степанюк В. С., Фарберович О. В., Сас А. Электронная теория конденсированных сред. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 240 с.

98. Уилкинсон Р. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. - М.: Машиностроение, 1976. - 390 с.

99. Wilkinson J. Н. Householder's Method for Symmetric Matrices. Numer. Math. 4, pp. 354-361, 1962.

100. Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. London, Oxford University Press, 1965.

101. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Flannery B. P. Numerical Recipes in С++. The Art of Scientific Computing. Second Edition. Cambridge University Press, 2002.

102. Eberlein P. I., Boothroyd I. Solution to the Eigenproblem by a Norm-reducing Jacobi-type Method. Numer. Math. 11, pp 1-12, 1968.

103. Eberlein P. I. A Jacobi-like Method for the Automatic Computation of Eigenvalues and Eigenvectors of an Arbitrary Matrix. J. Soc. Indust. Appl. Math. 10, pp. 74-88, 1962.

104. Попов В. В., Попов А. В. Численное моделирование возбуждений в кластерах методом функционала электронной плотности (ClusLDA) // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010614796 в Реестре программ для ЭВМ - 2010.

105. Страница проекта Lazarus на Sourceforge [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://sourceforge.net/proj ects/lazarus/

106. Light Weight Networking Library [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http://wiki.lazarus.freepascal.org/lNet

107. Архангельский А. Я. Delphi 7: справочное пособие. - М.: Бином-Пресс, 2003. - 1024 с.

108. Архангельский А .Я. Программирование в Delphi 7. - М.: Бином-Пресс, 2003.- 1152 с.

109. Королевство Дельфи - виртуальный клуб программистов [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http://www.delphikingdom.com

110. Информационный портал для разработчиков на FreePascal & Lazarus & MSE [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http ://www.freepascal .ru

111. Сайт разработчиков проекта Lazarus [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://lazarus.freepascal.org

112. Официальный сайт проекта GNU [Электронный ресурс]. -Электронные данные. - Режим доступа: http://www.gnu.org

113. Сайт компании Hypercube, Inc [Электронный ресурс]. - Электронные данные. - Режим доступа: http://www.hyper.com/

114. Калинин А. В., Корнилов О. А., Русин JI. Ю., Тоенниес Я. П., Хегерфельдт Г. К., Штолль М. Определение длины связи димеров и тримеров гелия методом дифракции на наноструктурной решетке // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. Электронный журнал. -Режим доступа: http:// www.chemphys.edu.ru/pdf/2006-10-30-001.pdf

115. Павлов А. М. О димере гелия // ФИП PSE. - 2009. - Т. 7, № 1-2, vol. 7, No. 1-2.-С. 87-89.

116. Свойства элементов. В двух частях. Часть 1. Физические свойства вещества. Справочник. 2-ое издание. -М.: Металлургия, 1976. - 600 с.

117. Попов В. В., Кантор С. А. Конденсация кластеров в гелии // IV Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь - 2007». Секция «Информационные и образовательные технологии». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. - Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2007. - С. 22-24.

118. Попов B.B. Агрегация кластеров гелия // Электронный Физико-Технический Журнал. - 2007. - Т. 2 - С. 89-98. - per. № 0420700047/0006 от 22.11.2007

119. Попов В. В., Кантор С. А. Моделирование возбуждений в неоне // V Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь - 2008». Секция «Информационные технологии и системы». Подсекция «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. - Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2008. - С.28-31.

120. Попов В. В. Агрегация кластеров неона // Известия Алтайского государственного университета. Серия «Математика и механика. Управление, вычислительная техника и информатика. Физика». — 2010. — №1 (65).-С. 158-163.

121. Попов А. В., Попов В. В. Агрегация атомов натрия в атмосфере гелия // Всероссийская конференция с элементами научной школы для молодежи «Новые материалы. Создание, структура, свойства - 2009», 8-11.09.2009. Труды конференции. - Томск, 2009. - С. 287-290.

122. Попов А. В., Попов В. В. Фторирование поверхностей материалов // Сборник трудов VI Международной научной школы-конференции «Фундаментальное и прикладное материаловедение», 16-18 сентября 2009 г, АлтГТУ, Барнаул - С. 38-45.

123. Попов В. В. Орбитальные возбуждения в инертных газах // II Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях ММПСН-2009». - Москва, 2009. - С. 48-49.