Численное моделирование электронных и спектральных свойств оксидных соединений рутения и ванадия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Кондаков, Данила Евгеньевич

• Кондаков, Данила Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кондаков, Данила Евгеньевич

Введение

Глава 1. Методы расчета электронной структуры твердых тел

1.1 Теория функционала плотности

1.2 Приближение локальной электронной плотности (LDA)

1.3 Учет локальных кулоновских корреляций в рамках приближе ния LDA+U.

1.4 Теория динамического среднего поля (DMFT).

1.5 Формализм функций Ванье.

1.5.1 Построение функций Ванье в рамках метода LMTO

1.5.2 Функции Ванье в рамках формализма функций Грина

1.6 Объединение LDA и DMFT с помощью формализма функций Ванье.

Глава 2. Электронные и спектральные свойства Ca2-a;Sra;Ru

2.1 Кристаллическая структура.

2.2 Электронная структура Са2-жЗгжКи04.

2.2.1 Частичная электронная локализация для промежуточных значений концентрации х

2.2.2 Магнитные свойства и орбитальный порядок изоляторной фазы.

2.3 Моделирование оптических свойств.

Глава 3. Спектральные свойства Ca^Sri-^VOs.

3.1 Кристаллическая структура.

3.2 Результаты LDA расчета

3.3 Результаты LDA+DMFT(QMC) расчета.

3.3.1 Учет корреляций на V-3d (t2д) оболочке. 3.3.2 Полноорбитальный LDA+DMFT(QMC) расчет.

3.4 Моделирование спектров фотоэмиссии с угловым разрешением

Глава 4. Спектральные свойства оксида ванадия V2O3.

4.1 Кристаллическая структура.

4.2 Результаты LDA расчета

4.3 Спектральные свойства V2O3: результаты полноорбитального LDA+DMFT(QMC) расчета.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование электронных и спектральных свойств оксидных соединений рутения и ванадия»

Расчет электронной структуры кристаллических твердых тел можно рассматривать как раздел экспериментальной физики - физика численного эксперимента. Такой эксперимент имеет ряд преимуществ перед физическим экспериментом в обычном понимании этого термина. Во-первых, затраты на создание расчетного комплекса в десятки раз меньше, чем затраты на построение экспериментальной установки. Во-вторых, для расчета различных свойств соединения нет необходимости каждый раз изготавливать новый образец, что зачастую связано с большими трудностями.

Как и у любого эксперимента, у расчета электронной структуры есть свои "установки". В данном случае под этим словом понимаются методы, которые используются в расчетах. В настоящее время для расчета физических свойств соединений наиболее широко используется приближение локальной электронной плотности (LDA), основанное на теории функционала плотности1 [1, 2]. Основным положением данной теории является теорема Хоэнбер-га и Кона, согласно которой все свойства основного состояния неоднородного взаимодействующего электронного газа могут быть описаны с помощью введения некоторых функционалов от электронной плотности. Приближение LDA в течение длительного времени успешно использовалось (и используется по сей день) для описания электронных и спектральных свойств соединений, находящихся в конденсированном состоянии (см. обзор [3]).

Основным недостатком приближения LDA является то, что оно изначально основано на одноэлектронном подходе. Поэтому LDA неадекватно описы

1 "За разработку компьютерных вычислительных методов квантовой химии и за развитие метода функционала плотности" Джону Поплу и Уолтеру Кону в 1998 году была присуждена нобелевская премия по химии. вает физические свойства систем, в которых наблюдаются многочастичные (корреляционные) эффекты [4, 5, 6]. Примерами соединений, обладающих подобными свойствами могут служить высокотемпературные сверхпроводники, материалы с колоссальным магнетосопротивлением, тяжелые ферми-оны и т.д. Данные материалы находятся в центре внимания как теоретических, так и экспериментальных исследований. Поэтому неудивительно, что вскоре после экспериментального обнаружения корреляционных эффектов были разработаны новые вычислительные методы корректно описывающие их спектры возбуждений. Среди используемых в настоящее время приближений следует отметить: SIC-LDA - приближение локальной электронной плотности с поправкой на самодействие [7, 8, 9]; GW-метод, основанный на многочастичной теории возмущений [10, 11]; LDA+U - приближение локальной электронной плотности с учетом кулоновского взаимодействия на узле [12, 13].

В последнее время одной из наиболее успешно применяемых расчетных схем в описании физических свойств является LDA+DMFT [14, 15]. Она сочетает преимущества LDA для описания слабо коррелированных электронов на s- и р-орбиталях с возможностью учета с помощью DMFT динамики локальных кулоновских корреляций. Суть данной схемы состоит в том, что LDA-гамильтониан малой размерности (в который включены энергетические зоны вблизи уровня Ферми) решается в рамках DMFT. С помощью расчетной схемы LDA+DMFT были описаны физические свойства широкого круга соединений: оксидов переходных металлов, тяжелых фермионов и Кондо-систем [16,17]. Но, так как рассматриваются лишь существенно ограниченный набор состояний, то и спектр электронных возбуждений описывается в узком энергетическом интервале. Для преодоления данного ограничения недавно был преложен самосогласованный метод расчета электронной структуры сильнокоррелированных соединений LDA+DMFT в формализме Функций Ванье. Применение данного формализма позволяет не только решить LDA-гамильтониан малой размерности с помощью DMFT, но и использовать результаты такого решения в новых LDA расчетах. В итоге, спектр возбуждений рассматриваемых соединений корректно описывается во всей области энергий.

Возвращаясь к проведенной выше аналогии, отметим интересные физические свойства объектов иследования, с которыми проводился численный эксперимент в ходе выполнения диссертационной работы. Изоэлектронная серия сплавов Ca2-a;Sra;Ru04 [18, 19] первоначально привлекла внимание исследователей из-за своей изоструктурности с высокотемпературным сверхпроводником La2-a;Sra;Cu04 [20]. Оказалось, что при х = 2 данная система (Sr2Ru04) обладает сверхпроводящими свойствами, хотя и с очень невысокой Тс ~ 1.4 К [21]. Скоро выяснилось, что фазовая диаграмма соединений Ca2a;Sra;Ru04 (рис. 2.1) содержит несколько магнитных переходов, а также переход металл-изолятор [18, 19]. Кроме того, оптические свойства данной системы значительно изменяются в зависимости от величины концентрации х [22]. Однако не смотря на множество экспериментальных данных, были проделаны численные расчеты физических свойств рутенатов лишь для отдельных значений концентрации х [23, 24, 25].

Не менее интересны и оксидные соединения ванадия. Множество работ [26, 27, 28, 29], последовательно посвященных спектральным, транспортным и термодинамическим свойствам 3d1 серии Бгх-жСа^УОз давали противоречивые результаты: термодинамические свойства (коэффициент Зоммер-фельда, электрическое сопротивление и магнитная восприимчивость) оказались слабо зависящими от х, в то время как данные спектроскопических измерений сильно изменялись при переходе от х = 0 (БгУОз) к х = 1 (СаУОз). Экспериментальное решение данной проблемы было недавно получено с помощью фотоэмиссии с большой проникающей способностью [30] и аналогичной фотоэмиссией высокого разрешения [31]. Усовершенствованные фотоэмиссионные методы дали почти одинаковые спектры для БгУОз и СаУОз [30, 31], демонстрируя, таким образом, согласие между результатами спектроскопических и термодинамических измерений. Однако смоделированы спектры Эгх-жСа^УОз были лишь в рамках однозонной модели Хаббарда, пренебрегая орбитальной структурой 3d оболочки V и используя подгоночные параметры [32]. Схожая ситуация сложилась и для соединения V2O3: экспериментально полученные спектры были смоделированы лишь в области энергий, близких к уровню Ферми [33, 34].

Целью настоящей работы было совершенствование существующих и разработка новых методов расчета электронной структуры сильнокоррелированных соединений. А также применение данных методов для изучения электронных свойств и моделирования фотоэмисионных и рентгеновских спектров оксидных соединений на основе рутения и ванадия.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• Разработан метод проектирования гамильтониана из полноорбитального пространства LMT-орбиталей в подпространство функций Ванье. Это позволило существенно сократить размерность гамильтониана, сделав возможным его решение в рамках теории динамического среднего поля. На основе данного метода модернизирована расчетная схема LDA+DMFT, что дало возможность описывать фотоэмисионные и рентгеновские спектры сильнокоррелированных соединений в широкой области энергий.

• Исследована электронная структура изоэлектронной серии сплавов Са2-хВтхКи04 во всем диапазоне концентраций х. Показано, что для промежуточных значений х в данной системе реализуется состояние с частичной локализацией орбиталей. Описаны орбитальные и магнитные свойства изоляторной фазы (х = 0,0.2). Проведено численное моделирование оптической проводимости системы Ca2-a;Sr;rRu04.

• Рассчитаны спектры возбуждений ЭгУОз и СаУОз. Дано объяснение их схожести. Показано, что в широком диапазоне энергий фотоэмиссионные спектры ЭгУОз хорошо описываются полноорбитальным методом

LDA+DMFT. Также для БгУОз предсказана форма фотоэмиссионного спектра с угловым разрешением.

• На примере соединения V2O3 показано, что в качестве входных данных для DMFT расчета в случае некубических систем необходимо использовать гамильтониан малой размерности, взамен невозмущенной плотности состояний (использованной ранее). Показано, что полноорбитальный метод LDA+DMFT хорошо описывает как фотоэмиссионные спектры, так и рентгеновские спектры поглощения.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и прикладной математики физико-технического факультета Уральского Государственного Технического Университета - УПИ, а также в лаборатории оптики металлов Института Физики Металлов УрО РАН и частично в университете г. Аугсбурга (Германия).

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Кондаков, Данила Евгеньевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Разработан и реализован в компьютерных программах метод проектирования LDA гамильтониана из полноорбитального пространства LMTO-орбиталей на подпространство функций Ванье. Это позволило существенно сократить размерность гамильтониана, сделав возможным его решение в рамках теории динамического среднего поля. На основе данного метода модернизирована расчетная схема LDA+DMFT, что дало возможность описывать фотоэмисионные и рентгеновские спектры сильнокоррелированных соединений в широкой области энергий.

• Впервые для изоэлектронной серии сплавов Ca2-a;Sra;Ru04 проведено исследование изменения оптической проводимости в зависимости от величины легирования х. Полученные результаты качественно совпадают с экспериментальными данными. Показано, что для промежуточных значений х в данной системе реализуется состояние с частичной локализацией орбиталей. Описаны орбитальные и магнитные свойства изоляторной фазы (х = 0, 0.2).

• Впервые в рамках расчетной схемы без подгоночных параметров LDA+DMFT смоделированы фотоэмиссионные спектры большой проникающей способности (с энергией фотона 900 эВ) для SrV03 и СаУОз. Дано объяснение их сходства, не наблюдавшегося в предыдущих экспериментах. Показано, что в широком диапазоне энергий фотоэмиссионные спектры БгУОз хорошо описываются полноорбитальным методом LDA+DMFT. Для данного соединения также предсказана форма фотоэмиссионных спектров с угловым разрешением.

• Полноорбитальный метод LDA+DMFT применен для описания фотоэмиссионных и рентгеновских спектров оксида ванадия в изоляторной и металлической фазах. Показана важность преобразования результатов DMFT расчета в полноорбитальное LDA пространство. Данные численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными в широком диапазоне энергий.

Автором написаны блоки компьютерных программ, позволившие усовершенствовать расчетную схему LDA+DMFT. Основная часть расчетов, результаты которых представлены в данной работе, выполнены автором при участии Игоря Некрасова и Златы Пчелкиной. Постановка задач и обсуждение полученных результатов сделаны совместно с научным руководителем.

Полученные в настоящей работе результаты представляют самостоятельный интерес для описания физических свойств рассмотренных соединений, а также могут быть использованы для построения новых теоретических моделей. Автор искренне надеется, что представленные методы расчета электронной структуры послужат основой для создания еще более совершенных вычислительных схем в области физике конденсированного состояния.

В заключение мне бы хотелось выразить глубокую признательность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Владимиру Ильичу Анисимову за проявленное внимание в ходе выполнения диссертационной работы и за предоставленную возможность стажироваться у ведущих зарубежных специалистов. Также автор благодарит всех сотрудников, аспирантов и студентов лаборатории оптики металлов за всестороннюю помощь. Особая благодарность - друзьям и семье.

Заключение

В представленной работе проведено численное моделирование электронных и спектральных свойств оксидных соединений рутения и ванадия. Были использованы методы LDA, LDA+U и LDA+DMFT, что позволило в явном виде учесть влияние корреляционных эффектов, играющих важную роль в данных соединениях.

Представлен полноорбитальный метод LDA+DMFT для расчета электронной структуры сильнокоррелированных соединений. Данный метод основан на формализме функций Ванье, с помощью которого проводится проектирование полноорбитального LDA гамильтониана на подпространство коррелированных орбиталей. Показана необходимость использования спроектированного гамильтониана (вместо использовавшейся ранее невозмущенной плотности состояний) в качестве входных данных для DMFT расчета в случае систем, с симметрией кристаллической решетки отличной от кубической. Результат DMFT расчета (оператор собственной энергии) переводится обратно в полноорбитальное пространство LDA, что позволяет учесть влияние кулоновских корреляций в широком энергетическом интервале. Данный метод может быть использован для описания электронных и спектральных свойств широкого круга соединений.

Впервые для изоэлектронной серии сплавов Ca2-xSra;Ru04 проведено исследование оптических свойств для различных значений концентрации х. Описаны орбитальные и магнитные свойства изоляторной фазы данной си- / стемы (х = 0,0.2). Для промежуточных значений концентрации х предложена модель электронного состояния с частичной локализацией орбиталей.

Для соединений БгУОз и СаУОз впервые численно смоделированы фотоэмиссионные спектры большой проникающей способности. Дано объяснение их сходства, которое не наблюдалось в более ранних экспериментальных данных. Полноорбитальный метод LDA+DMFT применен для описания спектра возбуждений БгУОз в широком интервале энергий, результаты теоретических расчетов хорошо согласуются с новыми фотоэмиссионными данными.

Предложен метод для моделирования фотоэмиссионных спектров с угловым разрешением. Данный метод применен для кубического перовскита SrVC>3. Полученный результат носит предсказательный характер.

На примере соединения V2O3 показано, что в качестве входных данных для DMFT расчета в случае некубических систем необходимо использовать гамильтониан малой размерности, взамен невозмущенной плотности состояний, используемой в предыдущих расчетах. Применение полноорбитального метода LDA+DMFT позволило описать в широком энергетическом интервале как фотоэмиссионные спектры, так и спектры поглощения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кондаков, Данила Евгеньевич, 2004 год

1. Р Hoenberg and W. Kohn, Phys. Rev. В 136, 864 (1964).

2. W. Kohn and L.J. Sham, Phys. Rev. A 140, 1133 (1965).

3. R.O. Jones and 0. Gunnarson, Rev. Mod. Phys. 61, 689 (1989).

4. S. Vonsovskii, M. Katsnelson, and A. Trefilov, Phys. Met. Metallogr. 76, 247,343 (1994).

5. P. Anderson, "50 Years of the Mott Phenomenon, in Frontiers and Borderlines in Many Particle Physics," (North-Holland, Amsterdam, 1988) (1994).

6. A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

7. A. Svane and 0. Gunnarson, Phys. Rev. Lett. 65, 1148 (1990).

8. R. Cowan, Phys. Rev. 163, 54 (1967).

9. J. Perdew and A Zunger, Phys. Rev. В 23, 5048 (1981).

10. L. Hedin, Phys. Rev. 139, A796 (1965).

11. J. Quinn and R. Ferrell, Phys. Rev. 112, 812 (1958).

12. V.I. Anisimov, J. Zaanen, and O.K. Andersen, Phys. Rev. В 44, 943 (1991).

13. V.I. Anisimov, F. Aryasetiawan, and A.I. Lichtenstein, J. Phys.: Condens. Matter 9, 767 (1997).

14. V.I. Anisimov, A.I. Poteryaev, M.A. Korotin, A.O. Anokhin, and G. Kotliar, J. Phys. Cond. Matter 9, 7359 (1997).

15. A.I. Lichtenstein and M.I. Katsnelson, Phys. Rev. В 57, 6884 (1998).

16. K. Held, I.A. Nekrasov, G. Keller, V. Eyert, N. Bluemer, A.K. McMahan, R.T. Scalettar, Th. Pruschke, V.I. Anisimov, and D. Vollhardt, "Realistic investigations of correlated electron systems with LDA+DMFT," Psi-k Newsletter 56, 65 (2003).

17. S. Nakatsuji and Y. Maeno, Phys. Rev. Lett. 84, 2666 (2000).

18. S. Nakatsuji, S. Ikeda, and Y. Maeno, J. Phys. Soc. Jpn. 66, 1868 (1997).

19. J.G. Bednorz and K.E. Mueller, Z. Phys. В 64 p. 189 (1986).

20. Y. Maeno, H. Hashimoto, K. Yoshida, S. Nishizaki, T. Fujita, J.G. Bednorz, and F. Lichtenberg, Nature (London) 372, 532 (1994).

21. JI.B. Номерованная, А.А. Махнев, Д.Е. Кондаков, В.И Анисимов, and И.Маено, ФММ 95, 1-10 (2003).

22. D.J. Singh, Phys. Rev. В 52, 1358 (1995).

23. Т. Oguchi, Phys. Rev. В 51, 1385 (1995).

24. L.M. Woods, Phys. Rev. В 62, 7833 (2000).

25. A. Fujimori, I. Hase, H. Namatame, Y. Fujishimaand, Y. Tokura, H. Eisaki, S. Uchida, and F. M. F. de Groot, Phys. Rev. Lett. 69, 7196 (1992).

26. Y. Aiura, F. Iga, Y. Nishihara, H. Ohnuki, and H. Kato, Phys. Rev. B. 47, 6732 (1993).

27. I. H. Inoue, I. Hase, Y. Aiura, A. Fujimori, Y. Haruyama, T. Maruyama, and Y. Nishihara, Phys. Rev. Lett. 74, 2539 (1995).

28. I. H. Inoue, O. Goto, H. Makino, N. E. Hussey, and M. Ishikawa, Phys. Rev. B. 58, 4372 (1998).

29. K. Maiti, D. D. Sarma, M. J. Rozenberg, I. H. Inoue, H. Makino, O. Goto, M. Pedio, and R. Cimino, Europhys. Lett. 55, 246 (2001).

30. A. Sekiyama, H. Fujiwara, S. Imada, H. Eisaki, S. I. Uchida, K. Takegahara, H. Harima, Y. Saitoh, and S. Suga, cond-mat/0206471 .

31. M. J. Rozenberg, I. H. Inoue, H. Makino, F. Iga, and Y. Nishihara, Phys. Rev. Lett. 76, 4781 (1996).

32. K. Held, G. Keller, V. Eyert, D. Vollhardt, and V. I. Anisimov, Phys. Rev. Lett. 86, 5345 (2001).

33. G. Keller, K. Held, V. Eyert, D. Vollhardt, and V.I. Anisimov, cond-mat/0402133 (2004).

34. M. Born and R. Oppenheimer, Ann. Phys. (Leibzig) 84, 457 (1927).

35. P. Hohenberg and W. Kohn, Phys. Rev. В 136, 864 (1964).

36. M. Levy, Proc. Natl. Acad. Sci. (USA) 76, 6062 (1979).

37. В. Кон, Успехи физических наук 172, (2002).

38. Von Barth U. Almbladh C-O, Phys. Rev. 31, 3231 (1985).

39. L. Hedin and B. Lundqvist, J. Phys. C: Solid State Phys. 4, 2064 (1971).

40. O.K. Andersen, Phys. Rev. В 12, 3060 (1975).

41. T.C. Leung, X.W. Wang, and B.N. Harmon, Phys. Rev. В 37, 384 (1988).

42. W.E. Pickett, Rev. Mod. Phys. 61, 433 (1989).

43. V.I. Anisimov, J. Zaanen, and O.K. Andersen, Phys. Rev. В 44, 943 (1991).

44. О. Gunnarson, O.K. Andersen, O. Jepsen, and J. Zaanen, Phys. Rev. В 39, 1708 (1989).

45. W. Metzner and D. Vollhardt, Phys. Rev. Lett. 62, 324 (1989).

46. A. Georges and G. Kotliar, Phys. Rev. В 45, 6479 (1992).

47. M. Jarrell, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992).

48. H. Keiter and J.C. Kimball, Phys. Rev. Lett. 25, 672 (1970).

49. Th. Pruschke and N. Grewe, Z. Phys. В 74, 439 (1989).

50. N.E. Bickers, D.L. Cox, and J.W. Wilkins, Phys. Rev. В 36, 2036 (1987).

51. J. E. Hirsch and R. M. Fye, Phys. Rev. Lett. 56, 2521 (1986).

52. M. Jarrell, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992).

53. M. Rozenberg, X. Y. Zhang, and G. Kotliar, Phys. Rev. Lett. 69, 1236 (1992).

54. A. Georges and W. Krauth, Phys. Rev. Lett. 69, 1240 (1992).

55. G.H. Wannier, Phys. Rev. 52, 192 (1937).

56. N. Marzari and D. Vanderbildt, Phys. Rev. В 56, 12847 (1997).

57. Wei Ku, H. Rosner, W.E. Pickett, and R.T. Scalettar, Phys. Rev. Lett. 89, 167204 (2002).

58. M. Jarrell and J.E. Gubernatis, Physics Reports 269, 133 (1996).

59. O. Friedt, M. Braden, G. Andre, P. Adelmann, S. Nakatsuji, and Y. Maeno, Готовится к печати .

60. М. Braden, G. Andre, S. Nakatsuji, and Y. Maeno, Phys. Rev. В 58, 847 (1998).

61. M. Braden, H. Moudden, S. Nishizaki, Y. Maeno, and T. Fujita, Physica С 273, 248 (1997).

62. Th. Pruschke, D.L. Cox, and M. Jarrell, Phys. Rev. В 47, 3553 (1993).

63. A.V. Puchkov, M.C. Schabel, D.N. Basov, T. Startseva, G. Gao, T. Timusk, and Z.-X. Shen, Phys. Rev. Lett. 81, 2747 (1998).

64. M.J. Rey, J. Solid State Chem. 86, 101 (1990).

65. P. S. Danielson B. L. Chamberland, J. Solid State Chem. 3, 243 (1971).

66. K. Takegahara, J. Electron Spectrosc. Relat. Phenom. 66, 303 (1995).

67. O. Gunnarsson, 0. Jepsen, and O.K. Andersen, Phys. Rev. В 27, 7144 (1983).

68. M.H. Jung and H. Nakotte, Частная беседа .

69. I. Solovyev, N. Hamada, and K. Terakura, Phys. Rev. В 53, 7158 (1996).

70. M.B. Zolfl, Th. Pruschke, J. Keller, A.I. Poteryaev, I.A. Nekrasov, and V.I. Anisimov, Phys. Rev. В 61, 12810 (2000).

71. I.H. Inoue, C. Bergemann, I. Hase, , and S.R. Julian, Phys. Rev. Lett 88, 236403 (2002).

72. A. Sekiyama, частная беседа .

73. Yeh and Lindau, Atomic Data and Nuclear Data Tables 32, 1 (1985).

74. A. Liebsch and A. Lichtenstein, Phys. Rev. Lett. 84, 1591 (2000).

75. S. Biermann, A. Dallmeyer, C. Carbone, W. Eberhardt, C. Pampuch, O. Rader, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein, cond-mat/0112430 (2001).

76. О. К. Andersen, Т. Saha-Dasgupta, S. Ezhov, L. Tsetseris, О. Jepsen, R. W. Tank, C. Arcangeli, and G. Krier, Psi-k Newsletter 45, 86 (2001).

77. T.M. Rice and D.B. McWhan, IBM J. Res. Develop. 14, 251 (1970).

78. D.B. McWhan and J.P. Remeika, Phys. Rev. В 2, 3734 (1970).

79. D.B. McWhan, A. Menth, J.P. Remeika, W.F. Brinkman, and T.M. Rice, Phys. Rev. В 7, 1920 (1973).

80. A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, M.J., and berg, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

81. M.J. Rozenbrg, G. Kotliar, H. Kajueter, G.A. Thomas, D.H. Rapkine, J.M. Honig, and P. Metcalf, Phys. Rev. Lett. 75 (1995).

82. P.D. Dernier, J. Phys. Chem. Solids 31 (1970).

83. L.F. Mattheiss, J. Phys.: Cond. Matt. 6 (1994).

84. J. W. Allen, частная беседа (2004).