Численное моделирование динамики морских объектов на волнении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.08.01, кандидат наук Тряскин Никита Владимирович

• Тряскин Никита Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Тряскин Никита Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Обзор методов исследования динамики морских объектов на волнении

1.1 Исторический обзор методов

1.2 Математическая модель движения свободного тела в жидкости

1.3 Методы моделирования вязкой весомой жидкости

1.3.1 Метод прямого численного моделирования

1.3.2 Метод крупных вихрей

1.3.3 Методы, основанные на уравнениях Рейнольдса

1.4 Методы описания свободной поверхности

1.4.1 Метод слежения за свободной поверхностью

1.4.2 Метод фиксации свободной поверхности

Глава 2 Математическая постановка комплексной задачи гидродинамики и динамики морского объекта и её численная аппроксимация

2.1 Основные уравнения и краевые условия

2.2 Способы моделирования волнения

2.2.1 Зона релаксации

2.3 Численная аппроксимация уравнений движения вязкой жидкости

2.3.1 Метод контрольного объёма

2.3.2 Метод определения давления

2.3.3 Метод решения задачи Коши

2.3.4 Краткое описание пакета ОрепРОЛМ

Глава 3 Численное Моделирование гидродинамики современных морских объектов на волнении

3.1 Методика проведения численного эксперимента расчёта гидродинамики объектов на регулярном волнении

3.1.1 Исследование движения судна на тихой воде

3.1.2 Численный бассейн

3.1.3 Определение продольной и вертикальной составляющей волновой силы и дифферентующего момента на неподвижном теле Виглей

3.1.4 Теоретический анализ динамики морских объектов на регулярном волнении на примере плавучей полупогружной буровой установки

3.2 Программный комплекс для подготовки исходных данных и обработки результатов моделирования

3.2.1 Утилита для создания расчётной сетки численного бассейна

3.2.2 Программный комплекс для обработки экспериментальных данных, полученных с помощью пакета OpenFOAM

3.3 Практические рекомендация для численного моделирования качки на регулярном волнении

Глава 4 Результаты численного моделирования качки морских объектов на регулярном волнении

4.1 Численное моделирование вертикальной и килевой качки тела Виглей на регулярном волнении при высоком числе Фруда

4.2 Численное моделирование качки схематичной полупогружной установки на регулярном волнении

4.3 Численное моделирование основных видов качки контейнеровоза 8-175 на регулярном волнении

4.4 Численное моделирование вертикальной и килевой качки современной полупогружной буровой установки (ППБУ)

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики морских объектов на волнении»

ВВЕДЕНИЕ

Интенсивное развитие морской техники связано с появлением морских объектов новых архитектурно-конструктивных типов, предназначенных для решения сложных задач освоения Мирового океана. Для обеспечения проектирования таких объектов, оптимизации проектных решений, разработки рекомендаций по безопасной эксплуатации необходимо достаточно точно прогнозировать их поведение при внешних воздействиях морской среды. Определение гидродинамических и динамических характеристик таких объектов при отсутствии реальных, отработанных на практике прототипов требует проведения большого объёма сложных, дорогостоящих модельных и натурных экспериментов.

В последние 10-15 лет для определения гидродинамических характеристик морских объектов, в том числе и сложной формы широко используются методы вычислительной гидродинамики, основанные на решении уравнений Навье-Стокса в различных постановках.

Значительных результатов в этой области достигли российские и зарубежные учёные, среди которых следует отметить работы Н.В. Корнева , М.Ю. Лобачёва и И.В. Ткаченко .

Н.В. Корнева [1-6], М.П. Лобачёва [7-11], И.В. Ткаченко [13-15,25-26], Д.В. Никущенко [14-15], А.Е. Таранова [7,12], J.H. Ferziger [19], M. Peric [19], E.G. Paterson [17,18,20,21], R. Wilson [16,20,21], H.W. Coleman [20], C.D. Simonsen [22-24] и др.

Следует отметить значительные достижения в решении наиболее сложных задач гидродинамики - численного моделирования гидродинамического взаимодействия судна и движителя, представленные в оригинальных работах Крыловского Государственного научного центра (КГНЦ) [7-8] и Ростокского университета (Германия), полученные независимо друг от друга [1, 3-5].

Для разработки практических проектных рекомендаций необходимо правильно моделировать динамическое поведение морских объектов, т.е. получать оценки амплитудно-частотных и фазово-частотных характеристик (при решении задач в частотной области), получать характеристики динамических процессов (при решении задач во временной области). Существующие методики решения таких задач применительно к морским объектам в настоящее время основаны на теории идеальной жидкости, что значительно сужает область возможных практических приложений.

Учёт вязкостных характеристик жидкости особенно необходим при решении задач, в которых необходимо учитывать сложности физического процесса волнообразования, плёночные эффекты, кавитацию, относительно малую толщину пограничного слоя. Такие эффекты проявляются при больших скоростях движения судов. Задачи динамического поведения объектов на крутом волнении также требуют учёта вязкости.

В настоящей диссертационной работе предложена методика численного моделирования динамики морских объектов на волнении c учётом вязкости. Методика основана на совместном решении уравнений гидродинамики (Навье-Стокса) и динамики твёрдого тела (уравнений Эйлера). Для аппроксимации дифференциальных уравнений Навье-Стокса используется метод конечных объёмов, который требует применения многомиллионных расчётных сеток и, как следствие, суперкомпьютерных технологий, которые в последнее время начали внедряться в задачи вычислительной гидродинамики.

Развитие предложенной методики решения задач гидродинамики и динамики морских объектов в рамках единого подхода позволит в практике Конструкторских бюро и Научно-исследовательских институтов значительно упростить решение проблемы обоснования формы морских технических сооружений и средств, специальных нестандартных задач за счёт частичного или полного отказа от дорогостоящих модельных экспериментов. К таковым

могут быть отнесены задачи, требующие учёта нелинейных эффектов при моделировании качки судна: влияние гидродинамических эффектов колеблющегося жидкого груза на динамику судна; оголение корпуса судна, приводящее к слемингу; существенные развалы бортов, которые обуславливают дополнительные динамические нагрузки на конструкции корпуса в носовом районе - слопинг; взаимное влияние качки двух судов, например при обосновании возможности передачи груза в море; влияние ограниченной ширины и глубины акватории на динамику судна и т.п. Это определяет актуальность представленной работы.

Целью работы является создание методики совместного решения задач гидродинамики и динамики морских объектов.

В соответствии с целью ставятся следующие задачи исследования (работы):

1. Анализ существующих подходов решения задач гидродинамики и динамики (качки) морских судов и других технических сооружений.

2. Разработка математической модели комплексной задачи гидродинамики и динамики морских объектов на регулярном волнении.

3. Разработка методики проведения численного эксперимента расчета качки на регулярном волнении.

4. Разработка методики моделирование волнения с учётом вязкости.

5. Разработка программного обеспечения расчёта гидродинамики и динамики морских объектов на основе открытого кода вычислительной гидродинамики для операций со скалярными, векторными и тензорными полями - ОрепБОАМ.

6. Разработка практических рекомендаций для численного моделирования качки морского объекта на регулярном волнении и определения динамических параметров качки.

7. Верификация предложенной методики применительно к ряду морских сооружений.

Методы исследования - в работе использован метод моделирования турбулентного течение вязкой несжимаемой весомой жидкости, основанный на осреднённых по Рейнольдсу уравнении неразрывности и уравнениях Навье-Стокса; граница раздела фаз воздух-вода описывается уравнением метода объёмной фракции жидкости; динамика твёрдого тела описывается уравнениями Эйлера.

Научная новизна:

1. Предложена методика численного моделирования качки морских объектов, основанная на математической модели вязкой жидкости.

2. Получены оценки сходимости метода моделирования качки морских объектов и найдены критерии точности описания процесса.

3. На основе модели вязкой жидкости получены амплитудно-частотные характеристики бортовой качки.

4. На основе модели вязкой жидкости получены амплитудно-частотные характеристики вертикальной и килевой качки при больших числах Фруда.

5. Обоснована эффективность введения специальных функций релаксации на границах расчётной области.

6. Разработана специальная утилита для создания расчётной сетки, которая значительно сокращает время подготовки проекта для проведения численного моделирования.

7. Разработан программный комплекс для обработки данных численного эксперимента.

Практическая ценность работы:

1. Возможность использования верифицированной математической модели вязкой жидкости для расчётов бортовой качки без использования эмпирических формул для учёта вязкостного демпфирования, реализованная в пакете OpenFOAM; такие формулы, построенные по различным методикам, дают существенно, различные результаты.

2. Возможность использования математической модели вязкой жидкости для расчётов основных видов качки при больших числах Фруда.

3. Возможность использования математической модели вязкой жидкости для расчётов обтекания морских объектов со сложными обводами, для которых применение гипотезы плоских сечений невозможно.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика математического моделирования динамики морских объектов на регулярном волнении.

2. Практические методы определения амплитудно-частотной характеристики качки морских объектов с учётом вязкости.

3. Разработанная автором программная утилита для создания расчётной сетки возле исследуемого объекта.

4. Разработанный автором программный комплекс обработки данных численного моделирования.

Внедрение результатов. Разработанные методики и программное обеспечение используются в учебном процессе при подготовке современных специалистов - морских инженеров, бакалавров и магистров по морской технике и технологиям, а также при выполнении научно-исследовательских работ сотрудниками кафедры гидроаэромехники и морской акустики.

Результаты работы использовались в конструкторских бюро АО «ЦМКБ Алмаз» и АО «Северное ПКБ» для отработки проектных решений.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации обсуждались и докладывались на заседаниях кафедры гидроаэромеханики и морской акустики СПбГМТУ, на конференциях и семинарах и рабочих группах:

• Доклад «Численное моделирование качки полупогружной платформы на регулярном волнении» на конференции «12-ая Международная выставка и конференция по освоению ресурсов нефти и газа Российской Арктики и континентального шельфа стран СНГ», Санкт-Петербург, 18 сентября, 2015.

• Международной конференции «Subsea Technologies» 2-5 июня, 2014, Санкт-Петербург, Россия, SubSeaTECH 2014.

• Доклад «Использование высокопроизводительных вычислений в задачах гидродинамики корабля» на конференции «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки», Москва, РАН, 05 - 06 декабря, 2013.

• Доклад «Применение пакета OpenFOAM для решения задач судостроения» на научно-технической конференции «Проблемы мореходных качеств судов, корабельной гидромеханики и освоения шельфов. XLV Крыловские чтения», 2013, Санкт-Петербург.

• Доклад «Высокопроизводительные вычисления в задачах судостроения» на конференции «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки», Москва, РАН, 06 - 07 декабря, 2012.

• Доклад «Моделирование колебаний жидкости в танке газовоза при соударении с ледовым препятствием» на конференции Всероссийская научная школа молодых учёных «Волны и вихри в сложных средах», 0305 декабря 2012, Москва.

• Доклад «Высокопроизводительные вычисления в судостроении: наука и образование» на конференции «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки», Москва, РАН, 31 мая - 3 июня, 2011.

Публикации. Основные результаты работ отражены в 9 научных публикациях; 6 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных Перечнем рецензируемых научных изданий ВАК:

• Дукарский А.О., Тряскин В.Н., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Киселев Д.Б., Якимов В.В. Математическое моделирование колебаний жидкости в грузовых ёмкостях газовозов при соударении с ледовым препятствием // Морские интеллектуальные технологии. 2011. № 4. С. 69-75.

• Тряскин В.Н., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Якимов В.В. Определение гидродинамических нагрузок на конструкции мембранных танков газовоза при движении в ледовых условиях и на волнении // Труды Крыловского государственного научного центра. 2013. № 75 (359). С. 169-179.

• Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование качки судна на регулярном волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2013. № 3 (21). С. 34-38.

• Дукарский А.О., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Чепурко С.И. Влияние формы корпуса подводного аппарата на его гидродинамические характеристики // Морские интеллектуальные технологии. 2013. № 4 (22). С. 20-24.

• Елизарова Т.Г., Сабурин Д.С., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование колебаний жидкости в топливных баках // Морские интеллектуальные технологии. 2014. № 26. С. 73-82.

• Овчинников К.Д., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование качки полупогружной платформы на регулярном

волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 1. № 2 (28). С. 14-18.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 139 страницах, включает 57 рисунков и 11 таблиц. Работа состоит из введения, 4-х глав и заключения; список литературы включает 123 позиции.

ГЛАВА 1 ОБЗОР МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ МОРСКИХ ОБЪЕКТОВ НА ВОЛНЕНИИ

1.1 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ

Изучение качки корабля началось в середине XVIII в. Приняв в качестве математической модели корабля, качающегося на тихой воде, математический маятник, французский астроном П. Бугер и член Российской Академии наук Л. Эйлер получили формулы для периодов свободных колебаний. Позднее Д. Бернулли предложил теорию бортовой качки на регулярном волнении, в которой был сделан важный вывод о резком увеличении амплитуды качки при равенстве периода волны и периода свободных колебаний корабля.

В 1861 г. В. Фруд предложил новую теорию бортовой качки корабля, расположенного лагом к волнам синусоидального профиля, в которой поперечные размеры корабля полагались малыми по сравнению с длиной и высотой волны [27]. В этом случае, можно считать, что движения центра тяжести корабля подобно движению жидкой частицы, находящейся на взволнованной поверхности.

Э. Бертен и Б. Сен-Венан предложили способы учёта конечности поперечных размеров корабля по сравнению с размерами волны. Разработанные ими поправочные коэффициента несколько уточнили численные результаты, полученные Фрудом. Однако, эти способы не дали возможность применить теорию Фруда к расчёту ни бортовой качки на косом волнении, ни килевой качки.

В конце XIX в. А.Н. Крылов внёс выдающийся вклад в развитие теории качки корабля на волнении. Основываясь на гипотезе о том, что на каждую точку смоченной поверхности корабля действует то же давление, какое действовало на гипотетическую поверхность без корабля. В 1895 г. А.Н. Крылов разработал линейную теорию килевой качки, а спустя два года

обобщил её на все шесть видов качки корабля на косом регулярном волнении [28].

Дальнейшее развитие теории качки в мировом сообщества шло по трём основным направлениям: учёт возмущений, вносимых присутствием и качкой корабля в поле давлений окружающей жидкости; учёт конечности амплитуд качки и нелинейного характера зависимости демпфирующих сил от скорости колебаний; учёт нерегулярности реального морского волнения.

В начале 40-х гг. XX в. Н.Е. Кочиным [29-30] были получены важные научные результаты по теории волн, вызываемых колебаниями тела под поверхностью жидкости. Эти гидродинамические исследования создали принципиально новую основу для построения теории учитывающей гидродинамические эффекты, обусловленные качкой корабля и дифракцией набегающих волн. Такая теория, получившая название гидродинамической теории качки, была создана в середине 40-х гг. М.Д. Хаскиндом [31].

Гидродинамическая теория качки не отвергает гипотезу А.Н. Крылова, а лишь требует дополнительного учёта сил, связанных с возмущениями, которые вносит корабль в окружающую жидкость.

Ряд оригинальных исследований характеристик нелинейной бортовой качки в 50 - 60-е годы выполнены С.Н. Благовещенским [32], В.В. Семеновым-Тян-Шанским [33] и их учениками. Более общая -гидромеханическая теория качки конечной амплитуды, учитывающая взаимосвязь отдельных видов качки, разработана в 60-70-е годы В.В. Луговским, результаты которой, нашедшие применение при решении различных проблем мореходности, изложены в его монографии [34-35]. Исследования проблем нелинейной качки длительное время выполняются на кафедре Теории корабля СПбГМТУ под руководством Р.В. Борисова [36-38] и В.Ю. Семёновой [37-42].

При разработке современных теорий и методов расчёта качки морских объектов на волнении характерно широкое применение суперкомпьютерных технологий. Применение вычислительной техники позволило получить качественно новые результаты, основанные на уточнённых математических моделях совместной задачи гидродинамики и динамики корабля. Однако на сегодняшний момент, для учёта некоторых параметров качки морских объектов, таких как вязкостные демпфирующие коэффициенты, широко используются эмпирические формулы, которые получены экспериментальным путём.

Для исследования динамики судна на волнении на сегодняшний день используются как модели идеальной жидкости, так и вязкой.

Один из методов, основанный на модели идеальной жидкости, -панельный метод, который применим к объектам произвольной формы с нулевой скоростью хода. Такое упрощение приемлемо для большинства закреплённых или плавучих объектов, используемых сегодня в морской индустрии.

Панельный метод - это численный метод расчёта (потенциального) обтекания тела, основанный на принципе интегральной теоремы Грина [44]. Согласно этой теореме можно преобразовать трёхмерное линейное однородное дифференциальное уравнение в двумерное интегральное уравнение. Таким образом, трёхмерное уравнение Лапласа (потенциала) может быть преобразовано в поверхностное интегральное уравнение, известное как тождество Грина. Интегральное уравнение представляет собой распределение источников (или стоков) и диполей на поверхности. Для численного решения интегрального уравнения поверхность тела разделяется на N панелей, как показано на рисунке 1.1, достаточно маленьких, чтобы предположить, что сила, источники и давление жидкости постоянны по каждому элементу.

Рис.1.1. Разбиение судна на панели.

Для каждой панели составляется система интегральных уравнений, из которых можно найти потенциалы скорости. Интегральное уравнение может быть дискретизировано для каждой панели путем подстановки неизвестной силы источника и распределения диполей. Используя граничное условие касательного потока, можно найти неизвестную силу источников и диполей. Если сила каждого диполя или источника известна, то могут быть определены скорости на поверхности.

Стоит отметить, что для такого панельного подхода нет ограничений на форму тела. Этот метод одинаково хорошо работает для судна или полупогружной платформы.

Преимущество панельных методов состоит в том, что задача сводится к трёхмерной (поверхностной) вместо трёхмерной (объёмной). Сетка должна генерироваться только на поверхности тела. Другим преимуществом является то, что для определения поля скоростей требуется К2 уравнений, а не К3 как в трёхмерной задаче. Панельные методы являются наиболее распространёнными, используемыми для описания поведения различных объектов на регулярных волнах.

Диссертационная работа Дж. А. Пинкстера [45] посвящена изучения влияния сил волнового дрейфа на полупогружную платформу с помощью

расчётного метода, основанного на трёхмерной потенциальной теории, в основе которой лежит прямое интегрирование давления по смоченной поверхности корпуса произвольной формы. Результаты вычислений горизонтальных сил дрейфа на шестиколонную полупогружную платформу сравниваются с экспериментом, выполненном на регулярных и нерегулярных волнах. Для верификации своего численного подхода Пинкстер определял силы на погруженном горизонтальном цилиндре, сравнивая их с экспериментом. На основе проделанной работы сделан вывод о том, что с помощью трёхмерной потенциальной теории волновые силы дрейфа на полупогружные платформы при отсутствии течения могут быть предсказаны с достаточной степенью точности.

В случае суперпозиции волн и течения вязкостная составляющая силы имеет значительное влияние на средне- и низко-частотные силы. Пинкстер показал, что полная средняя сила, возникающая под действием волн и течения, не может быть представлена в виде суммы средней силы от волны и средней силы от течения. Это обусловлено существованием «эффекта связи» между волнами и течениями [45]. С одной стороны, под влиянием течения сильно изменяются силы волнового дрейфа, с другой стороны присутствие волн изменяет само течение, что в свою очередь влияет на силу сопротивления изучаемого объекта.

В 1992 году Апостолос Папаниколау и Томас Шеллин [ 46] предложили трёхмерный потенциальный метод решения задачи качки движущегося судна. В работе рассматривался контейнеровоз серии S-175. Было предложено разделить полный потенциал скорости на стационарную составляющую, обусловленную скоростью судна, и пульсирующую во времени, обусловленную волновой системой и нестационарными движениями объекта. Соответствующая краевая задача решалась по линейной теории, в основе которой описанная выше функция Грина для нулевой скорости. Дополнительное слагаемое, учитывающее вязкостное

демпфирование бортовой качки, в работе определяется по эмпирическим формулам. Расчёты, выполненные по предложенной теории, качественно хорошо согласуются с экспериментальными данными, но на низких и средних частотах имеют существенные количественные различия.

С 2003 года группой Гидродинамики и Морской Инженерии (HOE) Ecole Centrale de Nantes разрабатывается SWENSE (Spectral Wave Explicit Navier-Stokes Equations) подход для моделирования движения судна на волнении [47]. В этом методе используется гибридная модель взаимодействия волн и тела. Волновое движение моделируется на основе потенциальной теории, в то время как движение жидкости вблизи интересующего участка объекта, например, носовой оконечности судна, рассматривается как вязкое и описывается осреднёнными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса (Рис. 1.2). Метод использовался для решения большого круга задач, например, закреплённого по всем осям судна DTMB5415 на регулярном продольном волнении [48] или для TLP (TensionLeg Platform) - платформ на регулярных и нерегулярных волнах [49]. Сопоставление SWENSE метода с экспериментальными данными свидетельствует о его хорошей работоспособности. Кроме того, он позволяет существенно уменьшить время счета, что делает его привлекательным для промышленных проектных корпораций.

« OpenFoam Box »

Рис.1.2. Пример расчётной области метода SWENSE.

В работе [50] использовалась модель вязкой жидкости, в основе которой лежат уравнения Навье-Стокса, дополненные методом объёма жидкости (Volume of Fluid - VoF). Для создания волнения авторы предложили использовать функцию источника массы в уравнении неразрывности. Метод был использован в нескольких численных экспериментах для различных типов волн и показал хорошие результаты по генерации волн в канале [51,52]. Однако, большинство расчётов было проведено в двухмерной постановке задачи. Позже авторы метода предложили внутренний генератор волнения для трёхмерной задачи используя функцию источника импульса [53]. В работе [54] был использован подобный подход для генерации линейных и нелинейных волн. Такой способ задания волн позволяет отказаться от динамических граничных условий и избавиться от накопления численных ошибок, обусловленных генерацией волн на входе и поглощением/отражением их на выходе расчётной области. Результирующие

волновые поверхности в цитируемой работе [54] незначительно отличаются от экспериментальных.

Анализ возможностей моделирования волнения с использованием открытого гидродинамического кода Fluidity (разработка Impérial College London), в основе которого лежит модель вязкой многофазной жидкости, приведён в работе [55]. Показано, что групповая и фазовая скорости волн хорошо согласуются с аналитическими решениями. Генерация нелинейных волн была реализована с использованием двух различных методик: (1) одновременным выталкиванием воды по всей глубине канала (piston-mode) и (2) заданием волны Стокса 5-ого порядка. В обоих случаях было получено хорошее соответствие с аналитическим решением.

В работе [56] представлены результаты URANS расчётов судна на регулярной продольной волне с использованием метода VoF и динамически изменяющихся сеток. Уравнения движения свободного твёрдого тела с шестью степенями свободы (6DoF) использовались для моделирования динамики судна. Были проведены исследования сопротивление судна, определены параметры килевой и вертикальной качки. В работе рассмотрены четыре варианта волнения с различной крутизной волны ( 0.025 < ак < 0.100, где а - амплитуда волны, к - волновое число). Длина волн для всех случаев была равна длине судна. При значениях ак = 0.100 наблюдался эффект заливаемости судна. В этом случае частота возбуждённой поверхностной волны близка к собственной частоте колебания судна и поведение сопротивления во времени носят существенно нелинейный характер. Расчёты показывают хорошее согласование с экспериментальными данными. Они были выполнены с использованием авторского решателя naoe-Foam-SJTU, основанном на открытом пакете OpenFOAM.

Из приведённого анализа можно сделать следующий вывод. Для моделирования гидродинамики судна на волнении целесообразно использовать математическую модель единой двухфазной среды воздух -

вода, в основе которой лежат уравнения движения вязкой жидкости. Он позволяет:

1. Эффективно моделировать структуру потока вокруг исследуемых объектов;

2. Наиболее корректно учитывать силы, действующие со стороны вязкой среды на морские объекты для математического моделирования движения свободного тела в жидкости.

1.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТЕЛА В ЖИДКОСТИ

Поскольку твёрдое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела.

Для описания движения твёрдого тела можно пользоваться тремя координатами его центра тяжести и тремя эйлеровыми углами, определяющими ориентацию осей х,у,г движущейся системы координат относительно неподвижной системы X, У, 2 (Рис. 1.3).

О

Рис.1.3. Системы координат свободного твёрдого тела.

Полагаем, что на твёрдое тело действует результирующая сила

Р = Рд + РА + Рр С1.1)

состоящая из силы тяжести ¥д = тд , архимедовой силы ¥А и главного вектора гидродинамических сил ¥р, а также результирующая пара

Мс = м£ + мрс (1.2)

в виде момента архимедовой силы М^ и главного момента

—^

гидродинамических сил относительно центра масс М£.

Переносное поступательное движение определяется тремя уравнениями движения в проекциях на глобальные оси координат:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тряскин Никита Владимирович, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Abbas N., Kornev N. Study of unsteady loadings on the propeller under steady drift and yaw motion using URANS, hybrid (URANS-LES) and LES methods. Ship Technology Research. 2016. Т. 63. № 2. С. 121-131.

2. Abbas N., Kornev N. Validation of hybrid URANS/LES methods for determination of forces and wake parameters of KVLCC2 tanker at manoeuvring conditions. Ship Technology Research. 2016. Т. 63. № 2. С. 96-109.

3. Abbas N., Kornev N. Unsteady loading on the propeller at different manoeuvring conditions using hybrid and URANS methods. MARINE 2015 - Computational Methods in Marine Engineering VI 6, Blue Growth. 2015. С. 413-424.

4. Kornev N., Taranov A., Shchukin E., & Kleinsorge L. 2011. Development of hybrid URANS-LES methods for flow simulation in the ship stern area. Ocean Engineering, 38(16), 1831-1838.

5. Abbas, N., Kornev, N., Shevchuk, I., and Anschau, P. 2015. CFD prediction of unsteady forces on marine propellers caused by the wake nonuniformity and nonstationarity. Ocean Engineering, 104, 659-672.

6. И.В. Шевчук, Н.В. Корнев, В.А. Рыжов. Численное моделирование корабельного следа на мелководье с использованием гибридного URANS-LES метода // Морской вестник. 2013. № 1S (10). С. 83-85.

7. Bagaev D.V., Lobachev M.P., Ovchinnikov N.A., Taranov A.E. Prediction of the scale effect for the hull-propeller interaction factors // Computational Methods in Marine Engineering V - Proceedings of the 5th International Conference on Computational Methods in Marine Engineering, MARINE 2013 2013. С. 699-710.

8. Багаев Д.В., Лобачёв М.П., Овчинников Н.А. Определение масштабного эффекта коэффициентов взаимодействия гребного винта

с корпусом на основе уравнений Рейнольдса // Труды Крыловского государственного научного центра. 2012. № 69. С. 59-72.

9. Иванов Н.Г., Смирнов П.Е., Лобачёв М.П., Овчинников Н.А., Панов Д.О., Рис В.В., Смирнов Е.М. Тестирование двухпараметрических низкорейнольдсовых моделей турбулентности применительно к задачам обтекания судов полных обводов // Труды Крыловского государственного научного центра. 2010. № 53. С. 45-50.

10. Денисихина Д.М., Лобачёв М.П., Пустотный А.В., Чичерин И.А. Влияние выбора модели турбулентности на точность расчёта вязкостного сопротивления транспортных судов // Морской вестник. 2008. № 3. С. 95-100.

11. Лобачёв М.П. Исследование особенностей течения вязкой жидкости в кормовой оконечности судов с полными обводами // Труды Крыловского государственного научного центра. 2013. № 78 (362). С. 5-28.

12. Таранов А.Е. Моделирование заливаемости и брызгообразования в носовой оконечности турельного судна // Труды Крыловского государственного научного центра. 2013. № 78 (362). С. 75-78.

13. Ткаченко И.В. Моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды методом крупных вихрей: дис. на соискание уч. ст. д-ра. тех. наук. - СПб., СПбГМТУ, 2005. - 316 с.

14. Никущенко Д.В., Зубова А.А. Моделирование гидродинамического взаимодействия при проходе стоящего судна в условиях встречного течения и с учётом волнообразования // Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 2. № 3. С. 68-74.

15. Зверков В.Н., Никущенко Д.В. Численное моделирование качки движущегося судна на встречном регулярном волнении. // Морские интеллектуальные технологии. 2014. № 26. С. 116-121.

16. Nobuaki Sakamoto, Wilson R.V., Stern F., Reynolds-Averaged Navier-Stokes Simulations for High-Speed Wigley Hull in Deep and Shallow Water // Journal of Ship Research, Vol.51, No 3, 2007, pp. 187-203.

17. Boger, David & W Noack, Ralph & Paterson, Eric. (2010). Dynamic Overset Grid Implementation in OpenFOAM. 5th OpenFOAM Workshop, At Chalmers, Gothenburg, Sweden, 2010.

18. Goong Chen, Qingang Xiong, Phillip J. Morris, Eric G. Paterson, Alexey Sergeev, Yi-Ching Wang (2015): OpenFOAM for computational fluid dynamics. Notices Amer. Math. Soc. 61, 354.

19. Ferziger, J.H., Peric, M., 2002. Computational Methods for Fluid Dynamics, (Third Edit.) Springer, Berlin, Germany.

20. Stern, F., Wilson, R.V., Coleman, H.W., Paterson, E.G., 2001. Comprehensive approach to verification and validation of CFD simulations-Part 1: methodology and procedures. J. Fluids Eng. 123 (4), 793-802.

21. Wilson, R., Paterson, E., Stern, F. 1998. Unsteady RANS CFD method for naval combatants in waves. In: Proceedings of the 22nd Symposium on Naval Hydrodynamics, U.S., pp. 532-549.

22. Simonsen C.D., Stern, F. 2010. CFD simulation of KCS sailing in regular head waves. In: Proceedings from Gothenburg 2010 - A Workshop on Numerical Ship Hydrodynamics, Gothenburg.

23. Simonsen, C.D., Otzen, J.F., Joncquez, S., Stern, F., 2013. EFD and CFD for KCS heaving and pitching in regular head waves. J. Mar. Sci. Technol. 18 (4), 435-459.

24. Otzen, J.F., Simonsen, C.D. 2010. Uncertainty Assessment for KCS Resistance and Propulsion Tests in Waves. FORCE Technology Report no. ONRIII187 01, Lyngby.

25. Овчинников К.Д., Ткаченко И.В., Тряскин Н.В. Численное моделирование качки полупогружной платформы на регулярном

волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 1. № 2 (28). С. 14-18.

26. Ткаченко И.В., Тряскин Н.В. Численное моделирование качки судна на регулярном волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2013. № 3 (21). С. 24-28.

27. Froude W. Rolling of ships. Read at the Second Session of the Institution of Naval Architects London. West Strand. - 1862. - P 88.

28. Крылов А.Н. Качка корабля: собр. соч.: т. XI. - Изд-во АН СССР, -1951.

29. Кочин Н.Е. Введение в теоретическую гидромеханику. -Гостехтеориздат, 1932. - С 316.

30. Кочин Н.Е. О конференции по волновому сопротивлению (21 - 22 мая 1936 г.), УМН, 1937, № 3. - 194-221.

31. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля на волнении, ПММ, т.Х. Вып.1. - 1946. - С.3-37.

32. Благовещенский С.Н. Качка корабля. - Л.: Судпромгиз, 1954. - 520 с

33. Семёнов-Тян-Шанский В.В. Статика и динамика корабля. Теория плавучести, остойчивости и спуска. Л.: Судпромгиз, 1960. 576 стр.

34. Луговский В.В. Гидромеханическое исследование взаимного влияния продольной и бортовой качки судов на волнении: Труды ЦНИИ МФ: Вып.49.-1963.-С.36-73.

35. Луговский В.В., Гидродинамика нелинейной качки судов. М.: Наука, 1980. 256 стр.

36. Борисов Р.В., Кутейников М.А., Лузянин A.A., Самойлов В.Р. Оценка безопасности судна, качающегося под действием нерегулярных ветра и волн // Научно-технический сборник Российского морского регистра судоходства. 2016. № 44-45. С. 56-60.

37. Борисов Р.В., Семенова В.Ю., Щегорец С.В. Исследование влияния относительной глубины фарватера и курсового угла на силы

волнового дрейфа при качке судна на мелководье // Морской вестник. 2013. № 1S (10). С. 76-80.

38. Семенова В.Ю., Борисов Р.В., Бородай И.К. Определение гидродинамических характеристик судовых корпусов для расчётов нелинейной качки на волнении // Труды Крыловского государственного научного центра. 2009. № 48. С. 91-98.

39. Семенова В.Ю. Разработка метода расчёта нелинейной качки судов: дис. на соискание уч. ст. д-ра. тех. наук. - СПб., СПбГМТУ, 2005. - 360 с.

40. Живица С.Г., Семенова В.Ю. Практический способ определения гидродинамических характеристик качки накренённого судна // Труды Крыловского государственного научного центра. 2015. № 88 (372). С. 237-254.

41. Семенова В.Ю., Щегорец С.В. О влиянии развала бортов корпуса судна на определение сил и моментов волнового дрейфа в условиях мелководья // Морские интеллектуальные технологии. 2014. № 26. С. 38-43.

42. Семенова В.Ю. Расчёт нелинейной поперечной качки судна, расположенного лагом к регулярному волнению // Судостроение. 2003. № 4. С. 10-13.

43. J D Anderson, A History of Aerodynamics (Cambridge, 1997)

44. Journee, J.M.J. & Massie, W.W. 2001. Offshore Hydromechanics. Delft University of Technology.

45. Pinkster, J.A., 1980. Low Frequency Second Order Wave Exciting Forces on Floating Structures, PhD thesis, Delft University of Technology.

46. Papanikolaus, A.D. and T.E. Schellin, 1992. A Three-Dimensional Panel Method for Motions and Loads of Ships with Forward Speed. Ship Technology Research, 39(4): 147-156.

47. Luquet, Romain & Alessandrini, B., Ferrant, P., Gentaz, L. (2004). Simulation of the viscous Flow past a Ship in Waves using the SWENSE Approach.

48. Luquet, Romain & Jacquin, E., Guillerm, P.E., Gentaz, L., Ferrant, P., Alessandrini, X. (2005). RANSE with Free Surface Computations around fixed and Free DTMB 5415 model in Still Water and in Waves.

49. Luquet, Romain., Alessandrini, B., Ferrant, P., Ducrozet G., Gentaz, L. (2007). Simulation of a TLP In Waves Using the SWENSE Scheme. International Society of Offshore and Polar Engineers. 2007.

50. Lin P., Liu P.L.-F. Internal wave-maker for Navier-Stokes equations models // J. Waterway Port Coastaland Ocean Eng. 1999. V. 125. № 4.P. 207-215.

51. Garcia N., Lara J.L., Losada I.J. 2-D numerical analysis of near-field flow at low crested permeable breakwaters // Coastal Eng. 2004. V. 51.P. 9911020.

52. Lin P., KarunarathnaS.A.S. Numerical study of solitary wave interaction with porous breakwaters // J. Waterway Port Coastal Ocean Eng. 2007. V. 133. № 5.P. 352-363.

53. Choi J., Yoon S.B. Numerical simulations using momentum source wave-maker applied to RANS equation model // Coastal Eng. 2009. V. 56.P. 1043-1060.

54. Taemin Ha, Kang-Wook Park, Yong-Sik Cho. Directional Wave Generation with the Internal Wave Maker in the Navier-Stokes Equation model // Proceedings of the Twenty-Second International Offshore and Polar Engineering Conference. Rhodes. Greece. June 17-22. 2012. P. 1057-1060

55. Johannes Spinneken, Valentin Heller, Stephan Kramer, Matthew Piggott, Axelle Vire. Assessment of an Advanced Finite Element Tool for the Simulation of Fully-nonlinear Gravity Water Waves // Proceedings of the

Twenty-second International Offshore and Polar Engineering Conference. Rhodes. Greece. June 17-22. 2012. P. 1043-1050

56. Zhirong Shen, Decheng Wan. RANS Computations of Added Resistance and Motions of Ship in Head Waves // Proceedings of the Twenty-second International Offshore and Polar Engineering Conference. Rhodes. Greece. June 17-22. 2012. P. 1096-1103

57. Г.Г. Шахверди, «Исследование ударного взаимодействия твёрдых тел с жидкостью потенциальным методом конечных элементов», Исслед. по теор. пластин и оболочек, 18, № 1, Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1985, 110-118

58. Pope S.B. Turbulent flow. Cambridge Uni. Press. 2005. P. 771.

59. Корнев Н.В., Бесядовский А.Р. Введение в метод крупных вихрей (LES) // Учебное пособие. СПбГМТУ. Санкт-Петербург, 2005.

60. Scotti A., Meneveau C. A fractal model for large eddy simulation of turbulent flow // PhysicaD. 1999. 127. P. 198-232.

61. Smagorinsky J. General circulation experiment with primitive equations. I. The basic experiment // Mon. Weather Rev. 1963. No. 91. P. 99-164.

62. G.S. Constantinescu, K.D. Squires. LES and DES Investigations of Turbulent Flow over a Sphere at Re=10 000 //Flow, Turbulence and Combustion. 2003. 70.P. 267-298.

63. S. Jindal, L.N. Long, P.E. Plassmann, N. Sezer-Uzol. Large Eddy Simulations around a sphere using unstructured grids //AIAA. 2004. 20042228.

64. N. Wikstroem, U. Svennberg, N. Alin, C. Fureby. Large eddy simulation of the flow around an inclined pro late spheroid //J. of Turbulence. 2004. 5. 029.

65. S. Krajnovic, L. Davidson. Large-Eddy Simulation of the flow Around Simplified Car Model //SAE Papper No. 2004-01-0227. 2004.

66. B. Launder, D. Spalding. The numerical computation of turbulent flow //Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1974. V. 3. P. 269-289.

67. V. Yakhot, S.A. Orzag. Renormalization group analysis of turbulence: 1 Basic theory //J. Sci. Comput. 1986. V. 1. 1. P. 1-51.

68. T.H. Shih, W.W. Liou, A., Shabbir, J. Zhu. A new k-e eddy viscosity model for high Reynolds number turbulent flow - Model Development and Validation // Computers Fluids. 1995. V. 23. 3. P. 227-238.

69. D.C. Wilcox. Turbulence modeling for CFD. 1993. La Canada.CA: DCW Industries.

70. F. Menter. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications //AIAAJ. 1994. 32.P. 1598-1605.

71. S.E. Kim, S.H. Rhee, D. Cokljat. High-Incidence and dynamic pitch-up maneuvering characteristics of a prolate spheroid - CFD validation // 24th Symposium on Naval Hydrodynamics. 2003. P. 609-623.

72. C.H. Sung, M.Y. Jiang, B. Rhee, S. Persival, P. Atsavarpranee, I.Y. Koh. Validation of the flow around a turning submarine // 24thSymposiumonNavalHydrodynamics. 2003.P. 669-681.

73. Löhner R., Yang C., Onate E. Simulation of flows with violent free surface motion and moving objects using unstructured grid // Intern. J. Num. Meth. Fluids, 2006.

74. Pascarelli A., Iaccarino G., Fatica M. Toward the LES of the flow past a submerged hydrofoil // Center of Turbulence Research. Proc. Summer Program 2002. P. 169-176.

75. Carrica P., Wilson R., Stern F. Single-phase level set method for unsteady viscous free surface flows // Mecanica Computacional. 2004. V. XXIII. P. 1613-1631.

76. H. Harlow, Francis & Eddie Welch, J. (1965). Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid With Free Surface. Physics of Fluids. 8. 2182. 10.1063/1.1761178.

77. Bart J Daly, A technique for including surface tension effects in hydrodynamic calculations, Journal of Computational Physics, Volume 4, Issue 1, 1969, Pages 97-117, ISSN 0021-9991

78. F.H. Harlow, A.A. Amsden, J.R. Nix, Relativistic fluid dynamics calculations with the particle-in-cell technique, Journal of Computational Physics, Volume 20, Issue 2, 1976, Pages 119-129, ISSN 0021-9991.

79. D. Nichols, B. (1975). Methods for calculating multidimensional, transient free surface flows past bodies. NASA STI/Recon Technical Report N. 76. 25526.

80. C.W Hirt, B.D Nichols, Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries, Journal of Computational Physics, Volume 39, Issue 1, 1981, Pages 201-225, ISSN 0021-9991.

81. H. Rusche, Computational fluid dynamics of dispersed two-phase flows at high phase fractions (Ph.D. thesis), Imperial College of Science, Technology and Medicine, 2002.

82. Stanley Osher, James A Sethian, Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations, Journal of Computational Physics, Volume 79, Issue 1, 1988, Pages 12-49, ISSN 0021-9991

83. Y.C. Chang, T.Y. Hou, B. Merriman, S. Osher, A Level Set Formulation of Eulerian Interface Capturing Methods for Incompressible Fluid Flows, Journal of Computational Physics, Volume 124, Issue 2, 1996, Pages 449464, ISSN 0021-9991

84. Sethian, J. (1999). Level set methods and fast marching methods. Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computer vision, and materials science. vol. 3. Cambridge university press, 1999.

85. Sethian, J. (1997). Tracking Interfaces with Level Sets. American Scientist - AMER SCI. 85. 254-263.

86. Дукарский А.О., Тряскин В.Н., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Киселев Д.Б., Якимов В.В. Математическое моделирование колебаний жидкости в грузовых ёмкостях газовозов при соударении с ледовым препятствием // Морские интеллектуальные технологии. 2011. № 4. С. 69-75.

87. Тряскин В.Н., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Якимов В.В. Определение гидродинамических нагрузок на конструкции мембранных танков газовоза при движении в ледовых условиях и на волнении // Труды Крыловского государственного научного центра. 2013. № 75 (359). С. 169-179.

88. Дукарский А.О., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В., Чепурко С.И. Влияние формы корпуса подводного аппарата на его гидродинамические характеристики // Морские интеллектуальные технологии. 2013. № 4 (22). С. 20-24.

89. Елизарова Т.Г., Сабурин Д.С., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование колебаний жидкости в топливных баках // Морские интеллектуальные технологии. 2014. № 26. С. 73-82.

90. Floryan, J. Rasmussen, H. (1989). Numerical Methods for Viscous Flows With Moving Boundaries. Applied Mechanics Reviews - APPL MECH REV. 42. 323-341.

91. Tsai W. & Yue D.K.P. (1996). Computations of nonlinear free-surface flows - Ann. ReT. Fluid. Mech. 28. 249-278.

92. M.S. Longuet-Higgins and E.D. Cokelet, The deformation of steep surface waves on water, I. A numerical method of computation, Proc. R. Soc. Lond. A, 350, 1-26 (1976).

93. J.W. Dold, An efficient surface-integral algorithm applied to unsteady gravity waves, J. Comput. Phys., 103, 90-115 (1992).

94. J. Skourup, M.J. Sterndorff and E.A. Hansen, Numerical modelling of wave-structure interaction by a three-dimensional non-linear boundary element method: A step towards the numerical wave tank, Ocean Eng., 19, 437-460 (1992).

95. P. Wang, Y. Yao and M.P. Tulin, Wave group evolution, wave deformation, and breaking: Simulations using Longtank, a numerical wavetank, Int. J. Offshore Polar Eng., 4, 200-205 (1994).

96. R.K.C. Chan, A generalized arbitrary Lagrangian-Eulerian method for incompressible flows with sharp interfaces, J. Comput. Phys., 17, 311-331 (1975).

97. Mayer, Stefan & Garapon, Antoine & S. Sorensen, Lars. (1998). A fractional step method for unsteady free-surface flow with applications to non-linear wave dynamics. International Journal for Numerical Methods in Fluids - INT J NUMER METHOD FLUID. 28. 293-315.

98. Jacobsen, N. G., Fuhrman, D. R. and Fredsoe, J. (2012), A wave generation toolbox for the open-source CFD library: OpenFoam. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 70: 1073-1088.

99. Moshe Israeli, Steven A. Orszag, Approximation of radiation boundary conditions, Journal of Computational Physics, Volume 41, Issue 1, 1981, Pages 115-135, ISSN 0021-9991

100. Baker, G., Meiron, D., & Orszag, S. (1982). Generalized vortex methods for free-surface flow problems. Journal of Fluid Mechanics, 123, 477-501.

101. Clément, A. and Muselet, C., 1996. A differential method for the modelling of wave transmission, reflection and absorption by "numerical beaches". Proc. 11th IWWWFB.

102. Ferziger, J. H.; Peric, M.: Computational Methods for Fluid Dynamics. Berlin etc., Springer-Verlag 1996. XIV, 356 pp., DM 74,00. ISBN 3-54059434-5.

103. Галёркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Вестник инженеров. -1915. - Т. 1. - С. 897-908.

104. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. - М.-Мир - 1988.

105. Hrennikoff, Alexander (1941). Solution of problems of elasticity by the framework method. Journal of applied mechanics. 8.4: 169-175.

106. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. 1984. 152 с.

107. R.I Issa, Solution of the implicitly discretised fluid flow equations by operator-splitting, Journal of Computational Physics, Volume 62, Issue 1, 1986, Pages 40-65, ISSN 0021-9991

108. Hairer, Ernst & Wanner, G. (1996). Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems.

109. http://en.wikipedia.org/wiki/OpenFOAM, OpenFOAM Wikipedia

110. J. Gerritsma. Motions, Wave Loads and Added Resistance in Waves of Two Wigley Hull Forms.Delft University of Technology. Ship Hydromechanics Laboratory. Report 804. November 1988.

111. Journee JMJ. Experiments and calculations on four Wigley hull forms. Ship Hydromechanics Lab. Delft Univ of Tech.Rept.1992. No. 909.

112. White Fank M. (2011), Fluid Mechanics (5th edition), McGraw Hill, ISBN 9780073529349,page 467

113. Schlichting, Hermann; Gersten, K. (2000), Boundary-layer Theory (8th revised ed.), Springer, ISBN 3-540-66270-7

114. Справочник по теории корабля. Т. 1-3 // Под ред. Я.И. Войткунского. Л.: Судостроение. 1985.

115. Dean, R. & Dalrymple, R. (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists. Singapore Teaneck, NJ: World Scientific.

116. Faltinsen, O (1990), Sea loads on ships and offshore structures, Cambridge University Press 328 p.

117. Emil Aasland Pedersen, Motion analysis of Semi-Submersible (Master thesis), Department of Marine Technology, Norwegian University of Science and Technology

118. Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви, «О разностных уравнениях математической физики», УМН, 1941, № 8, 125-160.

119. Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование качки судна на регулярном волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2013. № 3 (21). С. 34-38.

120. Овчинников К.Д., Тряскин Н.В., Ткаченко И.В. Численное моделирование качки полупогружной платформы на регулярном волнении // Морские интеллектуальные технологии. 2015. Т. 1. № 2 (28). С. 14-18.

121. Ремез Ю.В., Качка корабля. Л.: Судостроение, 1983. 328 стр.

122. Pinkster, J., Dercksen, A. and Dev, A. (1993). Hydrodynamic Aspects of Moored Semisubmersibles and TLPs. Offshore Technology Conference.

123. ITTC, (1983). Summary of results obtained with computer programs to predict ship motions in six degree of freedom and related responses - 15th & 16th ITTC seakeeping committee comparative study on ship motion program. Japan.