Численное моделирование динамического деформирования и разрушения твердых тел в одномерном приближении методом разделения по физическим процессам тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Мищенко, Александр Васильевич

• Мищенко, Александр Васильевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Мищенко, Александр Васильевич

Содержание

Введение

Глава 1. Математическое моделирование упругопластического деформирования твердых тел в одномерном приближении без учета микроповреждений и разрушения

1.1. Описание математической модели упругопластической среды

1.2. Численный метод и основные характеристики вычислительной схемы

1.3. Аналитические решения упру го пластических задач в случае одноосного деформированного состояния

1.3.1. Волна нагружения в твердом теле

1.3.2. Волна разгрузки в твердом теле

1.4. Аналитическое решение задачи о расширении толстостенной сферической оболочки

1.5. Верификация численного алгоритма

1.5.1. Задача об ударе пластины по жесткой стенке

1.5.2. Задача об ударном растяжении пластины

1.5.3. Задача о сжатии толстостенной цилиндрической оболочки

1.5.4. Задача о расширении толстостенной сферической оболочки

Глава 2. Математическое моделирование упругопластического деформирования и разрушения повреждаемых твердых тел в одномерном приближении

2.1. Математическая модель повреждаемой упруговязкопластической среды

2.2. Корректировка вычислительной схемы при учете поврежденностей и разрушения

2.3. Задача о плоском соударении тонких пластин. Постановка

и валидационные расчеты

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамического деформирования и разрушения твердых тел в одномерном приближении методом разделения по физическим процессам»

Введение

Данная работа посвящена численному моделированию задач упругопластического деформирования и разрушения твердых тел при высокоинтенсивных нагрузках. Характерными особенностями таких задач являются происходящие в материале значительные деформации, сильные смещения свободной поверхности и контактных границ, нелинейные упругопластические волновые процессы.

Для численного моделирования больших. деформаций в упругопластической среде необходимы методы, способные разрешать многообразие волновых структур, точно отслеживать положение их фронтов, контактных поверхностей и внешних границ тел.

К настоящему времени разработаны несколько численных подходов [65] для моделирования упругопластических волновых процессов, которые обладают определенными индивидуальными преимуществами и недостатками. Например, в лагранжевых методах [48, 64, 78] расчет изменения параметров среды происходит в каждой конкретной частице, что упрощает постановку граничных условий и позволяет отслеживать положение поверхности материала в процессе соударения. Однако при больших деформациях может происходить значительное искажение расчетной сетки, что приводит к потере точности результатов. Для эйлерова подхода [44, 52, 53, 54, 57, 58, 72, 76], когда изменение параметров рассматривается в неподвижной точке пространства, менее актуальны трудности, связанные с большими деформациями. Но, например, отслеживание изменения положения контактных границ и свободной поверхности является более сложной задачей, поскольку возникают счетные ячейки, частично заполненные различными средами. Решение данной проблемы, к примеру, методом концентраций [36] приводит к размытию границы, и, как следствие, потере точности.

Кроме того, часто используются методы конечных элементов [49, 73], на основе которых создан ряд коммерческих вычислительных комплексов, например, ANSYS, LS DYNA [56] и др. Также для решения данных задач используются сеточно-характеристические методы, например [13, 38, 39]. Как альтернатива сеточным, активно исследуются и нередко используются бессеточные методы, например, SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) метод -метод сглаженных частиц [62, 70].

При решении упругопластических задач в последнее время применяются также гибридные методы [63], которые используют преимущества как лагранжевых, так и эйлеровых схем. К этому классу методов можно отнести рассматриваемый в настоящей работе метод [37, 66], который основан на принципе разделения по физическим процессам [32, 50, 80] и использует подвижные эйлеровы сетки. Решение задачи на каждом временном шаге ищется в два этапа. На первом этапе решается система уравнений так называемого в литературе гидродинамического приближения в предположении постоянства в каждой лагранжевой частице среды ее упругопластических параметров (девиаторные компоненты тензора напряжений, пластические деформации и поврежденности). Решение строится на подвижной эйлеровой сетке. На втором этапе данное решение корректируется с учетом выбранной модели упругопластического деформирования. Сетка на втором этапе остается неподвижной.

В настоящей работе задачи упругопластического деформирования и разрушения твердых тел рассматриваются в одномерном приближении, когда все параметры среды зависят только от времени и одной пространственной координаты. Это обусловлено простотой и удобством верификации1 и валидации используемого численного алгоритма. Существует целый класс

' Под верификацией численного решения понимается сравнение данного решения с аналитическим (если оно существует для данной задачи) или с другим численным решением

2 Под валидацией численного решения понимается сравнение данного решения с экспериментальными данными

задач, допускающих аналитическое решение в одномерной постановке. В частности, это задачи о распространении волн нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании. Необходимо также отметить, несмотря на то, что исследование волн нагружения и разгрузки в упругопластическом материале неоднократно проводилось ранее, подробный количественный анализ данных задач в литературе практически не приводится. Например, в работах [1, 3] эти задачи рассматривались в предположении баротропности, т.е., без учета уравнения внутренней энергии. В работе [76] приведено описание только двухфронтовой волны нагружения. Также в ряде работ производится качественный анализ задачи. В настоящей работе дается подробный анализ данных задач в полной постановке. Описаны все возможные волновые режимы и рассчитаны значения параметров перехода от одного режима к другому для различных материалов. Помимо задач в одноосной постановке в данной работе также рассмотрены одномерные задачи с цилиндрической и сферической симметрией. В частности, это задача о сжатии цилиндрической оболочки, аналитическое решение которой получено в работе [59], и задача о расширении сферической оболочки, аналитически исследованная в работе [31]. Для обеих задач проведено подробное сравнение численных и аналитических решений. Необходимо отметить, что под оболочкой в данной работе понимается слой конечной толщины (цилиндрический или сферический), а не используется какая-либо широко распространенная теория оболочек.

Кроме верификации на аналитических решениях в данной работе приводится валидация численного алгоритма на хорошо изученной экспериментально задаче о плоском соударении тонких пластин [17, 18, 19]. Необходимо отметить, что толщины пластин малы по сравнению с их размерами, благодаря чему, данная задача рассматривается в постановке одноосной деформации. Таким образом, при решении данной задачи

не используется та или иная широко распространенная теория пластин. Проведены сравнения численных и экспериментальных результатов по скорости свободной поверхности пластины-мишени для различных материалов и характерных параметров задачи (скорость соударения, толщины пластин). Кроме того, исследуются некоторые аспекты деформирования и разрушения материала, такие как время разрушения и толщина откольной тарелки пластины-мишени. В качестве модели разрушения используется модель повреждаемой упруговязкопластической среды типа Соколовского-Пэжины [23, 41] с энтропийным критерием предельной удельной диссипации в качестве критерия разрушения.

Актуальность исследований, проведенных в диссертации, обусловлена необходимостью создания новых численных методов для расширения класса решаемых задач и необходимостью получения точных решений задач механики деформируемого твердого тела, которые могут быть использованы, в частности, для оценки эффективности новых численных методов и тестирования компьютерных программ.

Цель диссертационной работы. Численное и аналитическое исследование одномерных упругопластических задач деформирования и разрушения твердых тел.

Научная новизна. В работе впервые подробно и в полной постановке аналитически исследуются волны нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании.

Предлагается оригинальный численный метод решения систем уравнений, описывающих модели упругопластического деформирования и разрушения сплошной среды (упругопластическая модель Прандтля-Рейса, вязкоупругопластическая модель Соколовского-Пэжины, модель повреждаемой упруговязкопластической среды). Данный метод протестирован на ряде упругопластических задач без учета разрушения.

Впервые с помощью данного метода численно исследована задача о плоском соударении тонких пластин с откольным разрушением. Показано, что разработанный численный метод и используемая модель разрушения дают результаты, которые с высокой точностью согласуются с экспериментальными данными по плоскому соударению тонких пластин.

Научная и практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при тестировании новых численных методов и программных комплексов. Предложен новый численный метод, основанный на методе разделения по физическим процессам с использованием метода Годунова на подвижных эйлеровых сетках. Данный метод используется для решения широкого круга задач механики деформируемых сред. Метод положен в основу комплекса прикладных программ "ТИС" [37, 66]. В его создании принимали участие И.С. Меньшов, А.Б. Киселев, П.П. Захаров, A.A. Серёжкин, М.И. Климов, A.B. Мищенко, являющиеся сотрудниками механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и Центра фундаментальных и прикладных исследований ВНИИ автоматики имени H.JI. Духова. Данный комплекс успешно применяется в ВНИИ автоматики имени H.JI. Духова для проведения расчетов динамики упругопластического деформирования сплошной среды.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, обусловлена использованием термодинамически корректных моделей сплошных сред, фундаментальных законов механики и апробированных численных методов. Результаты численного решения ряда тестовых задач с высокой точностью согласованы с экспериментальными данными и аналитическими решениями, описание которых приводится в работе.

На защиту выносятся:

- аналитическое исследование волн нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании в полной постановке;

- численное исследование задачи о плоском соударении тонких пластин с откольным разрушением методом разделения по физическим процессам.

Личный вклад автора состоит в аналитическом исследовании волн нагружения и разгрузки в твердом упругопластическом теле при одноосном деформировании, в участии в разработке численного метода, в адаптации комплекса для расчета представленных в диссертации задач, в проведении расчетов и анализе их результатов.

Основные результаты работы представлены в следующих публикациях:

1. Киселев А.Б., Мищенко А.В. Одномерные упругопластические задачи в плоской постановке. Аналитические и численные решения // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. - 2014, №2.

2. Меньшов И.С., Мищенко А.В., Серёжкин А.А. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках // Математическое моделирование. — 2013. - Т. 25 - №8. - с. 89-108.

3. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculation of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J. Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

4. Мищенко A.B., Серёжкин A.A., Меньшов И.С., Киселев А.Б. Метод разделения по физическим процессам для моделирования деформирования и разрушения твердых тел // Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 16-20 апреля 2012. - Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ, 2012. - с. 306.

5. Киселев А.Б., Меньшов И.С., Мищенко A.B. Программный комплекс

«ТИС»: тестирование на задачах динамики твердого тела //

Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. Апрель 2012

года. Тезисы докладов. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 2012. - с. 90-91.

Результаты работы также представлялись и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

- Ломоносовские чтения МГУ. Москва (ноябрь 2011, апрель 2012, апрель 2013).

- Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2013», Москва, апрель 2013.

- XI Забабахинские научные чтения. Снежинск, 16-20 апреля 2012.

- Advanced Problems in Mechanics. St. Petersburg, July 2-8, 2012.

- European Congress on Computational Methods in Applying Science and Engineering (ECCOMAS 2012). Vienna, Austria, September 10-14, 2012.

- XII International Conference on Computational Plasticity. Fundamentals and Applications (COMPLAS XII). Barcelona, Spain. September 3-5, 2013.

- V-VII научно-технические конференции молодых ученых ВНИИ автоматики имени Н.Л. Духова (март 2011, март 2012, март 2013).

Научно-исследовательский семинар кафедры газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН Р.И. Нигматулина.

Научно-исследовательский семинар кафедры механики композитов механико-математического факультета под руководством профессора Б.Е. Победри.

- Научно-исследовательский семинар кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ под руководством член-корр. РАН Е.В. Ломакина.

- Научно-исследовательский семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета МГУ под руководством профессора И.А. Кийко.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 09-01-00144а и № 12-01-00425а).

Глава 1. Математическое моделирование упругопластического деформирования твердых тел в одномерном приближении без учета микроповреждений и разрушения

1.1. Описание математической модели упругопластической среды

В общем (трехмерном) случае напряженно-деформированное состояние твердого тела описывается симметричными тензорами деформаций Б и напряжений (71). Полные деформации раскладываются на

упругую Б? и пластическую Б? составляющие:

е,=ч1+е: (1.1)

Наряду с тензором деформаций вводится в рассмотрение также тензор скоростей деформаций, аналогичным образом раскладывающийся на упругую и пластическую составляющие:

¿„=¿¡4' (1-2)

Пластическое течение предполагается несжимаемым:

¿¿=о (1.3)

Тензор напряжений раскладывается на шаровую часть сг и девиаторные составляющие :

аи=ойа+8у, а = ^ = (1.4)

где р - давление, 8 - символы Кронекера. Из определения следует:

3*=0 (1.5)

В данной главе процессы упругопластического деформирования твердого тела рассматриваются без учета накопления микроповреждений и разрушения. В качестве упругопластической модели выбрана классическая модель Прандтля-Рейса. В общем (трехмерном) случае ее материальные соотношения имеют следующий вид [14, 15, 16, 20, 48]:

2/4 (1.6) Условие текучести в форме Мизеса [15, 16, 48]:

«<§Г С1-7)

Здесь = • Зу - интенсивность девиатора напряжений, ё^ — —^-Зу -

девиатор скоростей деформаций. Предел текучести У и модуль сдвига ¡л считаются постоянными: У = У()= СОШ(, // = //0 = СОШ(. В данных предположениях эта модель является моделью идеальной пластичности.

3МА4

В материальных соотношениях Я = 0 в упругой области и X

У 2

в области пластического течения. В упругой области материальные соотношения представляют собой закон Гука для девиаторных частей напряжений и деформаций, записанный в скоростях (закон гипоу пру гости). Следует отметить, что в численной реализации данной модели, как правило, используется гипоупругое представление с процедурой приведения к поверхности текучести [48]. Сначала вычисляются компоненты девиатора напряжений в предположении упругости (X = 0), затем проверяется условие текучести. Если неравенство выполняется (упругий случай), то напряжения остаются прежними. Приращения пластических деформаций в этом случае равны нулю. Если неравенство не выполняется (пластический случай), то

производится нормировка девиаторов напряжений: —» • ^^—.

и

Затем производится расчет скоростей пластических деформаций по следующим формулам:

гР -ьи

3 ии

V У

ч.

2а,

(1.8)

В настоящей работе рассматривается упругопластическое деформирование твердого тела в одномерном приближении, когда все параметры зависят только от времени t и координаты г. В случае одноосной деформации (будем в дальнейшем называть этот случай плоским) г является продольной координатой X, в цилиндрическом и сферическом -радиальной координатой г.

Определяющие уравнения включают в себя дифференциальные формы законов сохранения массы, импульса и энергии [3], а также материальные соотношения упругопластической модели. Выпишем эти определяющие уравнения для каждого случая симметрии.

В ниже приведенных уравнениях используются следующие обозначения:

р - плотность материала, и - скорость вдоль оси г,

СТГ, <тв - радиальная и кольцевая компоненты тензора напряжений, 5Г, 5*0 - радиальная и кольцевая компоненты девиатора напряжений, £г, £е - радиальная и кольцевая компоненты тензора скоростей деформаций, и2

е = % + - полная удельная энергия на единицу массы, ^ - удельная внутренняя энергия на единицу массы.

1) Плоская симметрия (одноосная деформация)

В данном случае тензор скоростей деформаций имеет всего одну

отличную от нуля компоненту вдоль оси г: £г — . Девиатор напряжений

имеет три отличные от нуля компоненты вдоль каждой оси: б*..

Однако, из уравнения (1.5) и равноправности осей у и 2 следует, что

2 '

Определяющие уравнения имеют вид: - уравнение неразрывности:

- уравнение движения:

р + р£г=0

рй=ди'

- уравнение энергии:

- материальное соотношение:

дг

. д(ам)

ее=дГ

5г + А,5Г — ^ £г

- критерий пластичности Мизеса:

9 2 Я2 < — У 2

^и 2 — 3

Здесь и далее точка над символом означает материальную производную по времени.

2) Цилиндрическая симметрия

В этом случае тензор скоростей деформаций имеет две отличные от

• ди • и

нуля компоненты: радиальную и кольцевую £в= — . В силу

одномерности компонента вдоль цилиндрической оси равна нулю: ¿".=0.

Компонента девиатора напряжений вдоль цилиндрической оси может быть найдена из уравнения (1.5):

5*- = ^д • Определяющие уравнения имеют вид:

- уравнение неразрывности:

- уравнение движения:

р+р(ёг+ев) = О

дет, , <УГ—(7Й дг г

уравнение энергии:

ре

д(аги) , <т

и

дг

материальные соотношения:

2

1$>г + Л5Г — ^ /иф 5в + Я5в =

- критерий пластичности Мизеса:

5и2=2(5г2+ад+5|)<|г02

3) Сферическая симметрия

В этом случае три компоненты тензора скоростей деформаций отличны

от нуля: £г =£е и ¿у. Однако, в силу симметрии £(р=£в—

Аналогично = ^.

Определяющие уравнения имеют вид:

- уравнение неразрывности:

р + р(ег+2ев) = 0

- уравнение движения:

- уравнение энергии:

- материальные соотношения:

- критерий пластичности Мизеса:

- + 1 < _ У02

в~Ъ 0

Введем коэффициент симметрии к: к — 0 - для случая плоской симметрии, к — 1 - для случая цилиндрической симметрии, к — 2 - для случая сферической симметрии.

Запишем теперь определяющие уравнения в случае произвольной симметрии (к — 1,2,3):

- уравнение неразрывности:

(1.9)

- уравнение движения:

СГ.-СГ

г

(1.10)

- уравнение энергии:

ре =

■ =д(аги) + каги

дг г

(1.11)

- материальные соотношения:

в -V

°г 2 о

Sr+XSr = 2 Mo Se+ASe=^ju0H(k)p-k)se-sr

- критерий пластичности Мизеса:

¿2 = 6 + 5к-Ък2 S?+2k{2-k)SrSe + 2H{k)Se2 <§ У02

Здесь и далее Н[х) - единичная функция Хевисайда.

(1.12) (1.13)

(1.14)

Среда предполагается термодинамически двухпараметрической, т.е., три термодинамических параметра (плотность, давление и удельная внутренняя энергия) связаны определенной функциональной зависимостью, которая называется уравнением состояния (УРС). Уравнение состояния служит для замыкания системы дифференциальных определяющих уравнений (1.9)-(1.13)ив общем случае имеет вид:

Р = Р(Р>€) (1.15)

В качестве УРС наиболее часто используются следующие уравнения:

1) УРС твердого тела ("логарифмический закон") [35]:

Р = К<

i \

In ^ v {Poj

(1.16)

Здесь К0 - объемный модуль, CCV - коэффициент объемного расширения,

теплоемкость при постоянном объеме, р0

плотность

недеформированного материала.

Данное УРС может быть получено следующим образом. Запишем закон Гука с учетом теплового расширения для шаровой компоненты тензора напряжений [40, 46, 47, 48, 71]:

а

Уравнение неразрывности можно записать в следующем виде:

(1.18)

Проинтегрировав его, получим:

/ \

(1.19)

Затем подставим это выражение в уравнение (1.18), заменив в нем шаровую часть тензора напряжений давлением, и воспользуемся выражением для внутренней энергии:

где Т - абсолютная температура, Т0 - температура недеформированного материала.

Следует отметить, что данное УРС применимо в предположении малых деформаций.

2) двучленное УРС [35]:

Здесь у - показатель адиабаты, с0 - скорость звука в недеформированном

материале. Это уравнение позволяет в определенном приближении описывать свойства материалов, находящихся в твердом и жидком состояниях.

(1.20)

(1.21)

3) УРС Ми-Грюнайзена [59, 76]:

(1.22)

где

№

Здесь Г0 - коэффициент Грюнайзена, Я - константа, связывающая скорость ударной волны И и скорость частицы среды и :

= + (1-23)

УРС Ми-Грюнайзена является более общей и сложной формой двучленного УРС и в основном используется для описания состояния твердой деформированной среды при 3-1-2 в задачах с высокоскоростными ударными нагрузками.

1.2. Численный метод и основные характеристики вычислительной схемы

Преобразуем систему определяющих дифференциальных уравнений (1.9) - (1.13) следующим образом. Заменим компоненты скоростей деформаций их выражениями через скорость. В уравнениях движения и энергии выразим компоненты напряжений через давление и девиаторы напряжений и перенесем все члены в левую часть. В материальных соотношениях положим параметр Л —0 согласно гипоупругому приближению. Добавим в систему уравнения для нахождения компонент пластических деформаций (1.8). Уравнение неразрывности перепишем в следующем виде:

д£ + д{2И1+кШ = о (1.24)

от дг г

Преобразуем материальную производную каждой величины, используя уравнение (1.24):

ра = р

да да дг дг

Р

да да дг дг

| (др | д(ри) | криЛ_д(ра) | д(риа) | криа

\

дг дг г

дг дг г

Таким образом, вся система уравнений запишется в дивергентном виде следующим образом:

дг дг г

д(ри) д(р + ри2-5г) ри2_5г+5„_

дг

дг

О

г

д{ре) д((ре+р-5г)и) (ре+р-5г)и

дг

дг

= 0

д(рйг) д(ри5г) Ри8г_ 4

дг

дг

ди к и дг 2 г

дг дг д(ре,р) д(ри£?) , ри£

дг

дг

= Р

Гг

ди к и дг 2 г

1 с®.

2//0 с1г

1 ¿/¿V

2//0 Ж

Вместе с критерием пластичности (1.14) и выбранным уравнением состояния (1.15) эта система из 7 уравнений в частных производных на 7 неизвестных полностью описывает поведение твердого тела во времени в одномерном приближении. (В плоском случае система фактически представляет собой 5 уравнений на 5 неизвестных). Введем в рассмотрение вектор так называемых в литературе базовых (примитивных) переменных (вектор состояния), который полностью определяет состояние тела в данный точке в данный момент времени:

<\ = {р,и,р,8г,8в,£Р,£Р)т В векторном виде систему уравнений можно записать следующим образом:

¿я дг г

м,

(1.25)

<р

ри ре

р5г - вектор консервативных переменных,

Р$е

рсрв.

' ри

ри2+р-8г [ре+р-8г}и ри8г ри8в

рие?

риеЦ

вектор потока,

' ри ри1

(ре + р-8г}и ри8г ри8в ри£гр

- вектор симметрической добавки в левой части,

риеЦ

/

\

Н м=р

о о о

4 гЛ

3Мо\дг 2 г

2(ди к и 3 дг 2 г

£

2М0

вектор правой части.

Правая часть Н^ описывает только упругопластические процессы. Если =0, то уравнения (1.25) переходят в уравнения так называемого в литературе гидродинамического приближения. При этом девиаторы напряжений и пластические деформации переносятся средой без изменения, как лагранжевы переменные (являются «вмороженными» в среду). Их изменение происходит только при ненулевом векторе Нм.

Это позволяет нам использовать метод разделения по физическим процессам [32, 37, 50, 80], т.е. расщепить систему (1.25) на две подсистемы

дt дг г 1

Л

н

м,

(1.26)

(1.27)

и разбить, соответственно, расчетный цикл временного шага на 2 этапа, условно называемые «гидродинамический» (эйлеров) и «упругопластический» (лагранжев).

На первом этапе система уравнений в частных производных (1.26) численно решается на временном шаге & на некоторой, в общем случае подвижной, эйлеровой сетке. Для этого используется метод конечного объема [8, 35, 51, 52, 53, 60], и решение производится по следующей схеме.

Рассмотрим ячейку с координатами левой грани Г-1 и правой грани гм.

у. -Ь у.

Обозначим за I — гм —г1 - длину ячейки и г , = ' _,+1 - ее центр,

/+2 I

соответственно.

Проинтегрируем уравнение (1.26) по длине ячейки:

]

дг г

<11 = 0

(1.28)

Вектор консервативных переменных относится к центру ячейки, а векторы потока, соответственно, к ее граням (рисунок 1.1).

р.

<2

<-

'4

К

1+1

Г;

'4

Г..

/+1

Рис. 1.1. К описанию метода решения на «гидродинамическом» этапе

Линейная дискретизация уравнений (1.28) методом конечного объема приводит к системе полудискретных уравнений вида

а

/д

4

н,

(

ж

•Тм-Ъ+Ьк-

0

(1.29)

ч

где Q , - значение вектора консервативных переменных в ячейке, Е* и Е^

,+2

1+1

- численные значения потока через левую и правую грани ячеики, соответственно, на подвижной сетке.

Вектор-функция Р* представляет собой численный поток, который зависит от состояния среды в ячейках, примыкающих к грани, и автомодельного параметра X:

г=г(я,<к,(к) (1.зо)

где Х — ^, СК и Оя ~~ граничные значения векторов соседних ячеек,

примыкающих к левой и правой грани данной ячейки, соответственно. Выбор граничных значений связан с точностью схемы. В данной работе используется МШСЬ подход [68, 77], в котором граничное значение определяется по формуле [77]:

дг

(1.31)

/О

Здесь га — гаег - радиус-вектор из центра ячейки к грани, А

матрица Якоби потока, / - единичная матрица,

производная, удовлетворяющая условию:

í л \

лимитированная

дг

V У(7

■{Фс-Ф)

где

0<с<0,5 ([11,12]), С явным интегрированием по времени это приводит к монотонной схеме второго порядка по времени и координате:

/л<2и, —

1/7«

н,

м

О,

(1.32)

4

где Аг - дискретный шаг по времени, индекс п — 1 относится к старому (уже рассчитанному) шагу по времени, п — к новому (вычисляемому) шагу по

времени. Выражение перед вектором симметрической добавки

означает, что он отнесен к полушагу по времени.

В итоге уравнение для определения консервативного вектора на новом временном шаге имеет следующий вид:

(1.33)

4

Устойчивость оператора в правой части обеспечивается переменным шагом по времени, который вычисляется по следующей формуле:

где Ksaye - коэффициент запаса, максимальный курантовский шаг.

Согласно условию Куранта-Фридрихса-Леви (CFL condition) [77], он равен:

(ДО

CFL

шах

Л

Q

V 2 у

где Я

Q

V 2 у

/

ф ф-, р - спектральный радиус матрицы Якоби

Pi +Pr

(1.34)

v^Qy

Поток Е* через подвижную грань с координатой г1 вычисляется следующим образом:

Е;^0-^, (1.35)

где - граничное значение вектора консервативных переменных на г-й грани, Е,° - поток через эту грань на неподвижной сетке, м?— скорость грани, вычисляемая следующим образом:

w

уП _ у.П-\

LA_ /_

At

(1.36)

Поток на неподвижной сетке Е° можно аппроксимировать различными способами: методом Годунова, основанным на точном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва [6, 7, 8], и методами, основанными на приближенном решении этой задачи, такими, как метод Русанова и метод НЬЬЕ, которые подробно описаны в [35, 45, 55].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мищенко, Александр Васильевич, 2013 год

Список литературы

1. Абузяров М.Х., Баженов В.Г., Котов B.JL, Кочетков A.B., Крылов С.В., Фельдгун В.Р. Метод распада разрывов в динамике упругопластических сред // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - том 40. -№6. - с. 940-953.

2. Аптуков В.Н. Модель термоупруговязкопластической поврежденной среды. Приложение к откольному разрушению // Физика горения и взрыва - 1986. - том 22. - № 2. - с. 120-130.

3. Баженов В.Г., Котов B.JT. Модификация численной схемы Годунова для решения задач импульсного нагружения мягких грунтов // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - том 43. - №4. - с. 139-149.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Физматлит. - 1987. - 598 с.

5. Высокоскоростное взаимодействие тел. Под ред. В.М. Фомина. -Новосибирск: Изд-во СО РАН - 1999. - 600 с.

6. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. - М.: Наука - 1978. -304 с.

7. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Мат. сб. - 1959. - том 47 - № 3. с. 271-306.

8. Годунов С. К., Забродин A.B., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука. - 1976. - 400 с.

9. Голубев B.K. О расширении пор в пластических металлах при отколах // Прикладная механика и техническая физика - 1983. - № 6. -

• с. 159-165.

10. Григорьев В.Г., Дунин С.З., Сурков В.В. Захлопывание сферической поры в вязкопластическом материале // Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. -№ 1. - с. 199-201.

П.Григорьев И.С., Мейлихов И.З. Физические величины. М.: Энергоатомиздат. - 1991.

12. Забабахинские научные чтения: сб. материалов XI Межд. конф. 1620 апреля 2012. Снежинск: Изд-во РФЯЦ-ВНИИТФ. - 2012. - 406 с.

13. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов A.C. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами // Математическое моделирование. - 1990. -№11. - с. 10-28.

14. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та -1990-312 с.

15. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Наука. - 1963-272 с.

16. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории вязкоупругости. М.: Наука. - 1970. - 280 с.

17. Канель Г.И., Разоренов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Ударно-волновые явления в конденсированных средах. М.: Янус-К. - 1996. -408 с.

18. Канель Г.И., Разоренов C.B., Уткин A.B., Фортов В.Е. Экспериментальные профили ударных волн в конденсированных веществах. М.: Физматлит. - 2008. - 304 с.

19. Канель Г.И., Разоренов C.B., Фортов В.Е. Откольная прочность металлов в широком диапазоне амплитуд ударной нагрузки // ДАН СССР. - 1987. - том 294. - № 2. - с. 350-352.

20. Качанов J1.M. Основы теории пластичности. М.: Наука. - 1974. - 312 с.

21. Качанов J1 .М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН.- 1958.-№ 8.-е. 26-31.

22. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука. - 1974. -311 с.

23. Киселев А.Б. Математическое моделирование динамического деформирования и комбинированного разрушения термовязкоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. - 1998. - № 6. - с. 32-40.

24. Киселев А.Б., Лукьянов A.A., Тьерсилен М. Численное моделирование динамики распространения криволинейных трещин гидроразрыва // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. - 2004. - №1. - с. 36-41.

25. Киселев А.Б., Нехаева О.В.. Численное моделирование динамического деформирования и разрушения толстостенной сферической оболочки // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. - 2004. - №5. - с. 53-58.

26. Киселев А.Б., Нехаева О.В.. Численное моделирование динамического деформирования и разрушения толстостенной цилиндрической оболочки // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ. - 2005. - №2. -с. 33-37.

27. Киселев А. Б., Юмашев М. В. Деформирование и разрушение при ударном нагружении. Модель поврежденной термоупругопластической среды // Прикладная механика и техническая физика. - 1990. - № 5. - с. 116-123.

28. Киселев А.Б., Юмашев M.B. Математическая модель деформирования и разрушения твердого топлива при ударном нагружении // Прикладная механика и техническая физика. - 1992. -№6-с. 126-134.

29. Киселев А.Б., Юмашев М.В. О критериях динамического разрушения термоупругопластической среды // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. - 1990. - № 4. - с. 38-44.

30. Киселев А.Б., Юмашев М.В. О модели динамического деформирования и разрушения твердого топлива // Вопросы механики сплошных сред. М.: Изд-во МГУ. -1993. - с. 47-55.

31. Киселев А.Б. К исследованию процесса нестационарного расширения толстостенных сферических и цилиндрических вязкопластических оболочек // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. - 2012. - № 6. -с. 20-25.

32. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука. - 1981.-304 с.

33. Кукуджанов В. Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики. - 1985 - том 8. - № 4. - с. 21-65.

34. Кукуджанов В.Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах // Сообщения по прикладной математике. Вып. 6. М.: ВЦ АН СССР. - 1976. - 67 с.

35. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит. - 2001. - 608 с.

36. Меньшов И.С. Использование единого уравнения состояния для описания течений неоднородных сред // Препринт Ин-та прикладной математики АН СССР. - 1982.

37. Меньшов И.С., Мищенко A.B., Серёжкин A.A. Численное моделирование упругопластических течений методом Годунова на подвижных эйлеровых сетках // Математическое моделирование. -2013.-том 25,-№8.- с. 89-108.

38. Петров И.Б., Холодов A.C. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1984. - том 24. - №5 - с. 722-739.

39. Петров И.Б., Челноков Ф.Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2003. - том 43. - № 10. -с. 1562-1579.

40. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит. - 2006. - 272 с.

41. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности. М.: Мир. -1968.- 176 с.

42. Работнов Ю.Н. Механика твердого деформируемого тела. М.: Наука. -1979.-744 с.

43. Рахматулин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках: Изд. 2-е, дополненное. М.: Унив. книга; Логос.-2009.-512 с.

44. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир. - 1980. - 618 с.

45. Русанов В. В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1:2 (1961). -с. 267-279.

46. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. I, II. М.: Наука. - 1970 -1072 с.

47. Тимошенко С., Дж. Гудьер. Теория упругости. М.: Наука. - 1975. -576 с.

48. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир. - 1967. - с. 212-263.

49. Чебан В.Г., Навал И.К., Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А., Колчин Г.Б. Численные методы решения задач динамической теории упругости. - Кишинев: Штиинца. - 1976. - 226 с.

50. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. - 1967. - 197 с.

51. Anderson W.K., Thomas J.L., Van Leer В. Comparison of finite volume flux vector splittings for the Euler equation // AIAA Journal. - 1986. - Vol. 24.-№9.-pp. 1453-1460.

52. Barton R .Т., Drikakis D., and Romenski E.I. An Eulerian finite-volume scheme for large elasto-plastic deformations in solids // Int. Journal for Numerical Methods in Engineering - 2010. - Vol. 81. - pp. 453-484.

53. Collins J.P., Colella P., Glaz H.M. An implicit-explicit Eulerian Godunov scheme for compressible flow // Journal of Computational Physics. - 1995. -Vol. 116.-pp. 195-211.

54. Gavrilyuk S. L., Favrie N., Saurel R. Modelling wave dynamics of compressible elastic materials // Journal of Computational Physics. - 2008. -Vol. 227.-pp. 2941-2969.

55. Harden A., Lax P.D., Van Leer B. On upstream differing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws // SIAM Review. - Vol.25. -№ l.-pp. 35-61.

56. Hallquist J.O. LS-DYNA Theory Manual. - 2009.

57. Harlow F.H. and Amsden A.A. Fluid Dynamics // LANL Report LA-4700.

- 1971.

58. Hill D.J., Pullin D., Ortiz M., Meiron D. An eulerian hybrid WENO cebtred-difference solver for elastic-plasic solids // Journal of Computational Physics. - 2010. - Vol. 229. - Issue 24. - pp. 9053-9072.

59. Howell B. P., Ball G. J. A Free-Lagrange Augmented Godunov Method for the Simulation of Elastic-Plastic Solids // Journal of Computational Physics. -2002.-Vol .175-pp. 128-167.

60. Keyfitz B. L. and Kranzer H. C. A system of non-strictly hyperbolic conservation laws arising in elastic theory // Arch. Rat. Mech. Anal. - 1980.

- Vol. 72.-pp. 219-241.

61. Kiselev A.B. Mathematical modelling of dynamical deforming and combined microfracture of damageable thermoelastoviscoplastic medium // Studies in Applied Mechanics 45: Advanced Methods in Materials Processing Defects. Amsterdam: Elsevier. - 1997. - pp. 43-50.

62. Liu G.R., Liu M.B. Smoothed Particle Hydrodynamics: a meshfree particle method. Singapore: World Scientific. - 2003.

63. Loub'ere R., Maire P.-H., Shashkov M., Breil J., Galera S. ReALE: A Reconnectionbased Arbitrary-Lagrangian-Eulerian Method // J. Comput. Phys. - 2010. - Vol. 229 (12). - pp. 4724-4761.

64. Maire Р-Н. A high-order cell-centered lagrangian scheme for two-dimensional compressible fluid flows on unstructured meshes // Journal of Computational Physics. - 2009. - Vol. 228 (7). - pp. 2391-2425.

65. Marchuk G.I. Methods of numerical mathematics. New York: SpringerVerlag.- 1975.

66. Menshov I., Mischenko A., Serezhkin A. An eulerian Godunov-type scheme for calculations of the elastic-plastic flow equations with moving grids // Europ. Congress on Comput. Methods in Appl. Sc. and Eng. (ECCOMAS 2012). J. Eberhardsteiner et. al. (eds.). Vienna, Austria, September 10-14, 2012. CD format, 2012. Article 2164. 20 p.

67. Menshov I. and Nakamura Y. Implementation of the Variational Riemann Problem Solution for Calculating Propagation of Sound Waves in Nonuniform Flow Fields // Journal of Computational Physics. - 2002. - Vol. 182.- pp. 118-148.

68. Menshov I., Nakamura Y. Hybrid explicit-implicit, unconditionally spable scheme for unsteady compressible flows // AIAA Journal. - 2004. - Vol. 42. - №3. - pp. 551-559.

69. Meyers M.A. Dynamical Behavior of materials. N.Y.: Wiley. - 1994.

70. Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics // Annu. Rev. Astron. Astrophys. - 1992. - Vol. 30 - pp. 543-574.

71.Prager W. Introduction to mechanics of continua. USA: Ginn and Co., 1961. = Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М: Изд-во иностр. лит. - 1963 .-312с.

72. Predebon W.W., Anderson С.Е. (Jr.), Walker J.D. Inclusion of evolutionary damage measures in Eulerian wavecodes // Computational Mechanics. -1991.-№ 7.-pp. 221-236.

73. Stein E., Riiter M., Ohnimus S. Adaptive finite element analysis and modelling of solids and structures. Findings, problems and trends // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2004. - Vol. 60,- pp. 103-138.

74. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Spinger-Verlag: Berlin Heidelberg. - 1999.

75. Tang A. and Ting T. Wave curves for the Riemann problem of plane waves in elastic solids // Int. J. Eng. Sci. - 1987. - Vol. 25 - p. 1343.

76. Udaykumar H.S., Tran L., Belk D.M., Vanden K.J. An Eulerian method for computation of multimaterial impact with ENO shock-capturing and sharp interfaces // Journal of Computational Physics. - 2003. Vol. 186. - pp. 136— 177.

77. Van Leer B. Towards the ultimate conservative difference scheme, II. Monotonicity and conservation combined in a second order scheme / Journal of Computational Physics. - 1974. - Vol. 14 - pp. 361-370.

78. Wilkins M. L. Computer simulation of dynamic phenomena. - Berlin, Heidelbery; New York: Springer-Verlag. - 1999. - 246 p.

79. Wilkins M.L. Modelling the behaving of materials // Structural impact and crush worthiness: Proc. Intern. Conf., L. and N.Y. - 1984. - Vol. 2. -pp. 243-287.

80. Yanenko N.N. The method of fractional steps // Berlin: Springer-Verlag. -1971.

81. Zukas J.A., Nicholas T., Swift H.F., Gresczuk L.B., Curran D.R. Impact Dynamics. Wiley, New York. - 1982.