Численное исследование вязких течений в гиперзвуковых соплах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Мучная, Мария Ивановна

• Мучная, Мария Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мучная, Мария Ивановна

Введение.

Глава I. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ВЯЗКОГО ГАЗА

В СОПЛЕ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ "УЗКОГО КАНАЛА".

§ I. Основные уравнения. Граничные и начальные условия.

§ 2. Разностная схема.

§ 3. Определение градиента давления. Алгоритм решения.

§ 4. Анализ уравнения трубки тока. Определение расхода.

§ 5. Расчетные условия.

§ б. Результаты расчетов.

Глава II. УЧЕТ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ НЕРАВНОВЕСНОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ

ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В ГИПЕРЗВУКОВОМ СОПЛЕ.

§ I. Постановка задачи.

§ 2. Обсуждение задачи.

§ 3. Результаты тестовых расчетов.

Глава III. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ В ГИПЕРЗВУКОВЫХ СОПЛАХ НА ОСНОВЕ УПРОЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ

СТОКСА.

§ I. Система упрощенных уравнений Навье-Стокса.

Начальные и граничные условия.

§ 2. Метод решения.

§ 3. Обсуждение принятого подхода и начальных условий.

§ 5 § б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование вязких течений в гиперзвуковых соплах»

Исследованию течений газа в соплах посвящено большое количество теоретических и экспериментальных работ. По мнению авторов монографии [i] , в настоящее время "сформировалась по-существу самостоятельная ветвь газовой динамики - физическая газовая динамика внутренних течений". Это обусловлено важностью научно-технических проблем, в которых используются сопла. Вьще-лим из них три основные: I) разгон потока до сверх и гиперзвуковых скоростей в соплах аэродинамических установок, получение равномерных полей параметров течения, моделирующих полеты на большой высоте; 2) совершенствование сопел реактивных двигателей; 3) создание газодинамических и химических лазеров.

Большая часть теоретических исследований приходится на изучение задач невязкого течения, для которых развиты разнообразные аналитические и численные методы решения. Самый простой из них использует одномерную теорию, которая позволяет выявить основные закономерности движения газа в соплах. Например, таблицы [2 J, полученные на основе одномерной теории, до сих пор повсеместно используются для обработки экспериментальных данных. Аналитически решаются и сложные вариационные задачи о построении контура сопла минимальной длины при заданной тяге, основополагающие результаты для которых получены в работах з - б] .

Для численного исследования сверхзвуковых течений широко используется метод характеристик, который применяется при решении как прямой (отыскание параметров течения при заданном контуре сопла), так и обратной задачи (отыскание контура при заданном течении), см., например, работы 7 - I2J . Сопла, течение в которых сопровождается возникновением ударных волн, успешно рассчитываются разностными методами сквозного счета [l3 - 15] . При решении прямой задачи в соплах, содержащих до- и сверхзвуковые области течения, наиболее популярен метод установления [16 - 23 J . Обширная библиография по методам исследования невязких течений в соплах содержится в монографии [i] .

С возникновением интереса к теоретическому изучению физико-химических процессов в соплах, на фоне перечисленных методов были созданы методы расчета сопел с учетом колебательной и химической неравновесности, методы расчета неравновесных многофазных течений. Обзор исследований в этой области, выполненных в течение шестидесятых-начале семидесятых годов, содержится в монографии [24] . В этот период исследования неравновесных течений в соплах проводились, в основном, применительно к задачам проектирования ракетных двигателей, а также высокоэнтальпийных аэродинамических труб. Здесь эффективным средством оказался метод мгновенного замораживания, который приближенно трактует область перехода от почти равновесного течения к почти замороженному как некоторую поверхность разрыва или "точку замораживания". Если процесс перехода от равновесного к замороженному состоянию происходит достаточно быстро, а именно такой наблюдается в гиперзвуковых соплах в области критического сечения, то метод мгновенного замораживания в целом может давать неплохие результаты 25] -[27] . В работах [28 и [29] проведены расчеты колебательно

- б неравновесного течения в сопле, где в квазиодномерной постановке наряду с уравнениями газодинамики решается релаксационное уравнение для колебательной энергии.

Мощный толчок в развитии методов расчета неравновесных течений дало моделирование процессов в газодинамических и химических лазерах. Большая библиография по работам в этом направлении имеется в

30 , [3l] , [i] . Интенсивно проводятся они и в настоящее время с использованием более точных знаний о кинетике процессов и с учетом большего количества факторов в постановке задачи. Упомянем здесь в этой связи работы 32 -[Зб] . Обзор методов по расчетам двухфазных течений можно найти в [37] , [i] ;

Методы расчета невязкого течения в соплах с успехом применяются в тех случаях, когда поток характеризуется большим числом Рейнольдса, пограничный слой на стенках сопла тонок, и им можно пренебречь. Такой подход оправдан в ряде случаев тем более, что учет влияния вязкости ведет к усложнению исходных уравнений, моделирующих задачу. Не случайно подавляющее число расчетов лазеров со сложной кинетикой проведено в рамках невязкой модели. Однако, при малых и умеренных числах Рейнольдса (например, сопла малой тяги или химические лазеры) или при больших числах Маха (сопла гиперзвуковых установок) вязкость оказывает существенное влияние на параметры течения. Кроме того, по мере качественного развития экспериментальных исследований, повышаются требования и к теоретическим моделям, поэтому приходится вводить учет вязкости в постановку тех задач, которые раньше решались с помощью уравнений Эйлера.

Можно выделить три модели течения, используемые при изучении внутренних течений с вязкостью (течений в соплах и каналах). Первая модель основана на решении полных уравнений Навье-Стокса, которые в силу их эллиптичности требуют задания граничных условий на всех границах области течения. Методы второй группы строятся в предположении, что в потоке можно выделить невязкое ядро и пограничный слой, которые моделируются уравнениями Эйлера и уравнениями Прандтля, соответственно. Каждая область рассчитывается самостоятельно. Для учета их взаимодействия иногда применяется метод последовательных приближений. Третью группу составляют маршевые методы решения упрощенных уравнений Навье-Стокса, применяемых к описанию всей области течения. Рассмотрим работы, посвященные изучению внутренних течений в рамках этих моделей более подробно.

Первую, самую малочисленную группу составляют работы, в которых методом установления решаются полные уравнения Навье-Стокса. Использование системы уравнений Навье-Стокса снимает допущения приближенных моделей и позволяет в принципе по единому алгоритму рассчитывать одновременно до-, транс- и сверхзвуковые области течения, отрывные течения у стенок сопла, а также возникающие в потоке ударные волны.

Первые результаты для вязкого течения сжимаемого газа в сопле с применением полных уравнений Навье-Стокса опубликованы в работе [38 ] , в которой рассматривался участок сверхзвукового течения в коническом сопле. На входе в сопло задавались некоторые модельные граничные условия, на выходе - так называемые, мягкие граничные условия вида = 0 , обеспечивающие слабые возмущения на границе. По-существу, это было первое опробование методики, которая потом была развита в 39 и [40] на случай смешанного течения в сопле Лаваля с коническими сужающимся и расширяющимся участками. В работе [39] опро-бывалось влияние приближенных условий на входе и выходе на характер установления стационарного режима течения. Было установлено, что задание условий Ъг$ /дое2 = О в конечном сечении для всех функций при плохом задании начального поля может привести к осложнениям при расчете. В работе [40] проведено параметрическое исследование влияния чисел Рейнольдса Rj2 и угла наклона расширяющейся конической части сопла на структуру потока (Re. = 150*1000; % = 5°х20°). Общая длина сопла составляла 5 радиусов критического сечения длина сверхзвуковой части - 2 радиуса критического сечения. Максимальное количество узлов разностной сетки 101x21. Получено, что наибольшие градиенты давления в продольном и поперечном направлениях наблюдаются в области минимального сечения и разгонного участка сопла, за которым давление поперек сопла быстро выравнивается: при х = 0 { критическое сечение) поперечный перепад давления достигает 40%, при х = I - 60% и 2 - 3% при X = 2. Проведено сравнение с экспериментом 41] при числе R&~1000, отмечено хорошее согласование по коэффициенту расхода и качественное согласие расчетных и замеренных распределений давления по оси. Заметим, что в [4l] отмечается хорошее согласие эксперимента с результатами расчета по методу "узкого канала", относящегося к третьей, из рассматриваемых здесь, модели, о которой пойдет речь дальше,

К числу первых публикаций принадлежит также работа [42J , в которой описан численный метод расчета расширяющегося участка профилированного плоского сопла с автомодельными условиями в начальном сечении. Приведены результаты расчетов при = 300, М0 = 3 двух контуров сопла, один из которых приводит к падению числа Маха вдоль оси и выравниванию давления поперек сопла, другой - к возрастанию числа Маха и появлению поперечного градиента давления в выходном сечении.

В [43] рассмотрены дозвуковое осесимметричное и сверхзвуковое плоское течения в сужающихся каналах, в 44] - дозвуковые течения в плоских каналах и следах. Обсуждаются трудности, возникающие при задании граничных условий, указывается на необходимость "хорошего" начального приближения. В [45] приводятся результаты расчетов течений в плоском канале постоянного сечения и в сопле Лаваля при числах Рейнольдса = 50-5-250. Расчеты проведены для различных перепадов давления, в том числе, для таких, когда на выходе плоского канала реализуется сверхзвуковой режим течения, а для сопла получены режимы немонотонного изменения газодинамических величин по длине за горлом сопла, когда сверхзвуковой поток тормозится и давление возрастает, что приводит к отрыву течения от стенки.

Нестационарные течения вязкого газа в соплах на основе двух и трехмерных уравнений Навье-Стокса исследуются в работах [46 , [47] . Здесь подробно обсуждается вопрос о задании начальных и граничных условий. Сетка с общим числом узлов 1300* 2800 может перестраиваться в процессе счета. Длина сопел порядка 5 радиусов критического сечения, число Рейнольдса 10x50. Получено решение в сопле с уступом в сверхзвуковой части контура.

В [48] рассмотрено вязкое течение в плоском профилированном сопле длиной порядка нескольких десятков калибров. Числа Рейнольдса, вычисленные по параметрам критического сечения сопла, составляли 600, 1200 и 3600. Приведены результаты расчетов для = 1200, В этих расчетах использовалась равномерная сетка 80x21. Получено, что давление в пограничном слое сразу за критическим сечением сопла изменяется на 20$. В вариантах расчетов, когда условия в выходном сечении экстраполировались по внутренним точкам, при задании низкого внешнего противодавления получено безотрывное течение с начинающимся торможением на оси сопла возле выхода. Результаты расчета в некотором, удаленном от критического, сечении хорошо согласуются с экспериментальными данными, а также с результатами расчетов по методу, использующему схему невязкого ядра и пограничного слоя. Делается вывод, что лучше согласуются с экспериментом результаты расчета, полученные данным методом. При задании высокого противодавления получен отрыв пограничного слоя от стенки сопла.

В [49] полные уравнения Навье-Стокса решаются для сверхзвукового потока смешиваемых газов с учетом кинетики химических реакций, описывающих самовоспламенение смеси. Число Рейнольдса R& ~ 30, расчетная сетка 9x9.

Значительный интерес представляет работа [50] , в которой полные уравнения Навье-Стокса применяются для расчета течения аргона в сопле с коническими сужающимся и расширяющимся участками, полууглы раскрытия которых равны, соответственного0 и 15? Использование схемы [51] , модифицированной на случай двумерного и осесимметричного течений, позволяет вести расчеты с числао А ми Рейнольдса, равными 5x10 и 5x10 при числе узлов сетки 1600-5-2500. Результаты сравниваются с решением в приближении "узкого канала" и делается вывод, что максимальные различия наблюдаются в области горла сопла, но по мере удаления от него решения сближаются.

Завершая обзор работ первой группы, использующих для решения внутренней задачи систему полных уравнений Навье-Стокса, можно выделить общие характерные черты, ограничивающие их применение:

1) малые числа Рейнольдса «Ю*Ю3 (5*Ю4 в [50] );

2) невысокие числа Маха, М^З;

3) небольшие длины каналов, 2*9 радиусов критического сечения (исключение: примерно 70 радиусов в [48] );

4) ограниченное число узлов расчетой сетки, N - 4004-3000.

5) трудности, связанные с заданием граничных условий и начального поля.

Если вопросы, связанные со сложностями последнего пункта, можно изучать и совершенствовать, то ограничения I) -4) носят принципиально другой характер. Эти ограничения связаны с возможностями современных вычислительных машин (память и быстродействие). Пункты I) - 4) очерчивают границы применения полных уравнений Навье-Стокса для решения внутренних задач течения сжимаемого газа - трансзвуковые и короткие сверхзвуковые э сопла с числами Яд ^ 10 . Для решения этого круга задач они незаменимы, т.к. вязкость проявляется во всем поле течения, и существуют значительные поперечные градиенты давления. При числ лах > 10 приходится применять другие, упрощенные модели течения, и, как было уже отмечено выше, они неплохо справляются с поставленной задачей.

Ко второй группе методов решения внутренних задач с учетом вязкости относятся методы, основанные на традиционном, наиболее распространенном подходе разделения поля течения на невязкое ядро и пограничный слой. Они появились, по крайней мере, на десять лет раньше методов первой группы и развивались одновременно с методами расчета невязких течений. Их развитие было обусловлено практикой эксплуатации аэродинамических труб высоких скоростей, когда стало ясно, что при конструировании сопел необходимо учитывать влияние вязкости для получения требуемых режимов течения в рабочей части трубы.

В работах [52] и [53] изложен метод нахождения течения газа в тонком гиперзвуковом коническом сопле. Для расчета пограничного слоя использовалось интегральное соотношение импульсов, профиль скорости в пограничном слое принимался линейным, расчеты проведены для теплоизолированной стенки и числа Прандтля равного единице. Но уже в работе [54] указывалось, что при решении прямой задачи для гиперзвуковых сопел простая поправка на толщину вытеснения дает неверные значения числа Маха и размеры невязкого ядра. Расчет течения в этом случае следует вести методом последовательных приближений, т.е. нужно снова рассчитать течение уже в подправленном изэнтропическом контуре, по его параметрам найти толщину вытеснения в следующем приближении и т.д. Здесь же отмечаются недостатки конических сопел: радиальность течения и существенные градиенты числа Маха в рабочей части, т.е. заметное отличие получаемого в рабочей части установки течения от моделируемого равномерного. Приводится профилированное сопло, спроектированное для получения равномерного течения на выходе с числом Маха М = 16. Для него решалась обратная задача: методом характеристик рассчитывалось изэнтропическое ядро с заданными параметрами, к нему надстраивалась толщина вытеснения пограничного слоя. Эксперимент, проведенный в изготовленном сопле показал отсутствие продольного градиента числа Маха, но оказалось, что на срезе сопла реализуется М = 17. Пример расчета оеесимметричного профилированного сопла аналогичным методом приведен в [55].

Систематические расчеты параметров ламинарного пограничного слоя и, в частности, толщины вытеснения в профилированных гиперзвуковых осесимметричных соплах изложены в [56 - 59] . В результате решения обратной задачи, когда методом характеристик рассчитывалось невязкое ядро и к нему надстраивалась толщина вытеснения, полученная методом [59] , рассчитаны, изготовлены и экспериментально изучены профилированные гиперзвуковые сопла, см., работы [бО - 62] . В работах[56 - 58] для расчета пограничного слоя применялся метод обобщенных интегральных соотношений Дородницына, в [59] - конечно-разностный метод. В результате этих расчетов была получена почти универсальная зависимость, суть которой заключается в том, что с погрешностью -10% толщина вытеснения в гиперзвуковых осесимметричных соплах является функцией расстояния от критического сечения, температуры стенки и числа Маха на границе пограничного слоя и не зависит от характера распределения числа Маха по длине сопла и от формы контура сопла (для заданного химического состава рабочего газа). Существование этой зависимости подтверждается результатами эксперимента, проведенного в гелиевой аэродинамической трубе для четырех конических сопел, различающихся радиусом критического сечения, с полууглом раствора 6° (см. [бЗ], стр. 18).

Эта универсальная зависимость в [64] положена в основу приближенного метода решения прямой задачи о течении в сопле заданной геометрии при заданных параметрах торможения. Метод позволяет найти площадь изэнтропического ядра в предположении одномерности течения в нем и число Маха и, по утвержденио авторов, дает представление об отклонениях числа М от расчетного значения на выходе из сопла. Далее это решение используется в [64] в качестве нулевого приближения в методе последовательных приближений для точного решения прямой задачи. Числа Маха на границе невязкого изэнтропического ядра, полученные в нулевом приближении, использовались для расчета толщины вытеснения пограничного слоя первого приближения, затем определялись новые размеры невязкого ядра и т.д. до тех пор, пока приближения не давали практически совпадающие результаты. Пограничный слой рассчитывался по методу обобщенных интегральных соотношений, а невязкое ядро - методом характеристик. Этим способом были рассчитаны режимы течения в коническом гиперзвуковом гелиевом сопле с полууглом раствора 6° для трех значений характерного числа Рейнольдса и на случаи теплоизолированной стенки и заданной температуры стенки. Удачный выбор нулевого приближения обеспечил сходимость итерационного процесса, и во всех расчетах число приближений не превысило четырех. Рассчитанное распределение числа Маха вдоль оси для одного из вариантов сравнивается с результатами проведенного эксперимента - совпадение хорошее. Результаты расчетов и экспериментов [56 - 62], [64] сведены в работе [бЗ] .

В работах [65 - 68] метод последовательных приближений для решения прямой задачи используется при расчете течений в соплах с небольшими сверхзвуковыми числами Маха. Так, в [бб] приводятся результаты расчетов с характерными числами Рейнольдса R& s 10^ -г 1(Г\ причем невязкое течение в ядре потока рассчитывалось с использованием одномерного приближения. При этом получено хорошее согласие с экспериментом в коническом сопле на М = 3 с углом наклона стенки 10°. Отмечается, что толщина пограничного слоя может превосходить толщину вытеснения в 2-3 раза. Такой же подход используется в работах [бб] , [б7] , где исследуется поле течения в соплах химических лазеров. В [бв] решается задача о течении колебательно-неравновесного газа в микросопле Лаваля, причем для расчета двумерного невязкого ядра в до- и трансзвуковой областях применяется метод установления, а в сверхзвуковой области - метод сквозного счета.

Несколько особняком в этом ряду стоят работы [69 , [70] , где при решении обратной задачи к заданному невязкому контуру надстраивается не толщина вытеснения, а полностью вязкая пристенная область течения. В этой области совместно интегрируются уравнения Эйлера и уравнения пограничного слоя второго порядка. В результате расчетов находится действительный контур сопла. Отметим, что в [71] приводятся результаты эксперимента в двух профилированных соплах на числа Маха М = 5 и М = 8, рассчитанных методом работы [69] . Получено хорошее согласие экспериментальных и расчетных данных: различия между измеренными и рассчитанными значениями чисел Маха не превышает 1%. Эксперимент показал также, что практически отсутствует продольный градиент числа Маха в окрестности выходного сечения - одно из основных требований, предъявляемых к профилированным соплам.

Для режимов течения, когда толщина пограничного слоя сравнима с поперечными размерами сопла, подход к решению обратной задачи, на основе которого построены методы работ [69] и [70] представляется более точным, чем поправка изэнтропического контура на толщину вытеснения. Это подтверждают результаты экспериментов,проведенных в коротких соплах с малыми характерными числами Рейнольдса [6l] , [65] , а также в длинных гиперзвуковых соплах [бо] , [б2] , где получено, что толщина пограничного слоя может превышать толщину вытеснения в 2-3 раза; в этом случае размеры ядра потока получаются гораздо меньше заложенных в расчет. Недостаток традиционного подхода поправки невязкого ядра на толщину вытеснения сказывается и в том, что в экспериментах в профилированных гиперзвуковых соплах получают значения числа Маха, отличные от расчетных [54] , [бО] , [62] , а также регистрируются отсутствующие в расчетах продольные градиенты числа Маха на оси [62] .

Очевидно, что при решении прямой задачи о течении газа в соплах, где существенную роль играет вязкость, разбиение поля течения на невязкое ядро и толщину вытеснения будет весьма условным, и применение метода последовательных приближений может привести к неверным результатам. В ряде случаев этот метод может расходиться.

Ограничения такого подхода снимаются при использовании для решения прямой задачи моделей третьей группы, основанных на применении для описания всего поля течения единой системы упрощенных уравнений Навье-Стокса. Особенностями и, одновременно, преимуществами данных моделей над двумя предыдущими являются: I) полная система уравнений Навье-Стокса упрощается таким образом, что невязкое течение описывается не хуже, чем уравнениями Эйлера или одномерной теорией, а вязкая область течения - не хуже, чем уравнениями пограничного слоя; 2) упрощенная система уравнений является параболической или параболи-зируется специальным образом, так что счет молено вести маршевым методом, продвигаясь от сечения к сечению вниз по потоку, что позволяет рассчитывать сколь угодно длинные области в широком диапазоне чисел Рейнольдса.

Прежде всего остановимся на работах использующих для расчета течения модель "узкого канала". Уравнения "узкого канала" впервые предложены Вильямсом в [72] и получены из уравнений Навье-Стокса в предположении, что отношение радиальной скорости к осевой и отношение осевых градиентов к радиальным много меньше единицы. Формально их можно получить разложением полных уравнений Навье-Стокса по параметру 4/R& с сохранением в них членов порядка 0(1). Заметим, что в число Рейнольдса в качестве метрического масштаба входит поперечный размер, в то время как при выводе классических уравнений пограничного слоя - продольный. В результате этого упрощения получаются уравнения, сходные по форме с уравнениями пограничного слоя, где уравнение для поперечной компоненты импульса переходит в равенство Ър / Ъг =0 .В отличие от уравнений пограничного слоя, уравнения "узкого канала" рассматриваются во всей области течения, и продольный градиент давления не задается, а находится в процессе решения. Они совпадают с уравнениями пограничного слоя для вязкой области течения, а невязкое ядро описывают не хуже, чем в одномерном приближении.

В [72] , а также в [73 - 7б] получены автомодельные решения уравнений "узкого канала". В [77 - 79] проведены численные расчеты для дозвуковых течений в цилиндрических трубах и плоских каналах постоянного сечения.

Фундаментальная работа Рэя [ш] положила начало исследованиям течений в соплах Лаваля с помощью этой модели. В работе представлены результаты численных расчетов для сужающихся и расширяющихся течений в сопле длиной порядка десяти калибров с характерными числами Рейнольдса = I00-rI250. Решение строится от некоторого сечения в дозвуковой части сопла. Предлагается эффективный способ прохождения маршевым методом критического сечения сопла, связанный с нахождением единственного физически приемлемого значения массового расхода. Представленные результаты показывают влияние геометрии сопла, числа Рейнольдса и теплопроводности стенки сопла на параметры течения. Сравнение с экспериментом Евсеева [8l] для числа Рейнольдса Rjz - 1250 демонстрирует хорошее соответствие результатов, так же как и сравнение с этими расчетами, проведенное в экспериментальной работе [4l] .

В [82] схема решения Рэя с небольшими изменениями была использована для расчета гиперзвуковых сопел с характерными числами Рейнольдса R& = 10^4-10^, где толщина пограничного слоя достигала 90% по радиусу. Получено, что совпадение между экспериментальными и численными результатами находится в пределах точности измерений. Теми же авторами в работе [бо] , о которой шла речь выше, сравниваются результаты расчетов уравнениями узкого канала" и Навье-Стокса для сопла с коническими дозвуковым ( Si = 30°) и сверхзвуковым ( 6г = 15°) участками о д при числах Рейнольдса, равных 5x10 и 5x10 . Выяснилось, что несмотря на то, что сопло специально выбиралось не очень узким, решение уравнений "узкого канала" оказалось хорошим приближением к результатам решения системы полных уравнений Навье-Стокса. Пренебрежение двумерностью давления в модели "узкого канала" вносит погрешность в ядре течения в окрестности критического сечения, но вниз по потоку давление поперек сопла выравнивается и профили числа Маха в обоих расчетах сближаются (максимальная длина сопла в расчетах составляла 9 радиусов критического сечения).

В [83 ] , [84] применяется метод невязок. Из изэнтропичес-кого решения для данного контура находится распределение давления по оси, с которым уравнения "узкого канала" решаются как обычные уравнения пограничного слоя. Потом считаются невязки для осредненных по поперечной координате параметров течения. Из вариационного уравнения находится невязка для давления, и с подправленным на неё новым значением давления вновь решаются уравнения пограничного слоя. Процесс повторяется до тех пор, пока невязка не станет малой. Сходимость достигалась за 12-16 итераций. Характерные числа Рейнольдса = 100*1000. Проведено сравнение результатов численного решения с автомодельным решением работы [72].

В работе [85] метод Рэя [во] использован для численного исследования как локальных (давление, температура, число М и т.д.), так и интегральных параметров течения вязкого газа в сопле Лаваля с характерными числами Рейнольдса 400*1250. Вычислялись такие интегральные характеристики сопла, как коэффициент полноты удельного импульса в пустоте, коэффициент расхода, коэффициент полноты тягового комплекса. Результаты расчета удовлетворительно согласуются как с результатами проведенного в работе экспериментального исследования, так и с экспериментальными данными других авторов [4l] , [8l] .

Несколько более сложную модель, оставляя за ней название "узкого канала", применяют авторы работ [86] и [87] . Исследуя течения в тонких изогнутых каналах переменной ширины, они упрощают уравнения Навье-Стокса, пренебрегая эффектом поперечной конвекции в уравнении для нормальной составляющей импульса, но оставляют члены, отвечающие за центробежный эффект, возникающий из-за кривизны линий тока. В результате получаются уравнения типа уравнений пограничного слоя второго порядка, давление ищется в процессе решения. Эти уравнения окончательно параболизуются при том условии, что решение проводится в специально построенной заранее приближенной системе координат, связанных с присущими течению свойствами.

Наиболее сложная модель в этой группе основана на системе упрощенных уравнений Навье-Стокса, которая получается, если уравнения Навье-Стокса разложить по параметру d/т/Ш и оставить в них члены порядка 0(1) и 0(1/т/Ш ) . В результате из системы уравнений выбрасываются смешанные и вторые производные по продольной координате. Эта система наряду с членами уравнений "узкого канала" включает в себя все члены уравнений Эйлера. Модель становится более полной, т.к. учитывается поперечный градиент давления и неодномерный характер течения в ядре. Но система уравнений уже не является параболической, если в потоке есть дозвуковые зоны. Возмущения передаются вверх по потоку по дозвуковой области течения. Для того, чтобы решать систему маршевым методом, продвигаясь от сечения к сечению, необходимо подавлять эти возмущения, преодолевая некорректность задачи привлечением некоторой регуляризации, другими словами, параболизируя тем или иным способом исходную систему уравнений.

Итак, если в потоке отсутствуют дозвуковые зоны, система упрощенных уравнений Навье-Стокса имеет параболический тип и решается маршевым методом (см., например, работы [88 - 91] . В работе [92] рассчитывается сверхзвуковое сопло в "естественной" системе координат линия тока - нормаль. Крайняя от оси линия тока выбирается так, чтобы на ней выполнялось условие М>1. Течение вблизи стенки рассчитывается приближенно в предположении линейного распределения скорости. Своеобразное сочетание методов второй и третьей групп применяется в[93] . Все поле течения в сопле химического лазера рассчитывается с помощью упрощенных уравнений Навье-Стокса с условием на стенке И > I, а потом подправляется на толщину вытеснения и т.д., до сходимости итераций, как в традиционном методе последовательных приближений, только вместо уравнений Эйлера применяется более полная система упрощенных уравнений Навье-Стокса.

В работе [94] впервые обсуждался вопрос о некорректности задачи Коши для системы упрощенных уравнений с начальными данными при ос =con si в дозвуковой области и указывалось на необходимость "регуляризации" уравнений. Здесь для исключения распространения возмущений вверх по потоку используется в дозвуковой области вместо уравнения для поперечной компоненты количества движения приближение пограничного слоя Ър/Ъъ = О. Этот подход, упрощающий уравнения в узкой пограничной полосе, представляется весьма разумным физически.

Сложнее стояла задача перед авторами работ [95] , [9б] , которые применяли упрощенные уравнения Навье-Стокса для описания вязких дозвуковых несжимаемых трехмерных течений в каналах.

В этом случае регуляризацию приходится применять во всей области течения. Она осуществляется следующим образом: давление в уравнении для продольной компоненты импульса рассматривается как самостоятельная величина, как некоторое, зависящее только от продольной координаты,усредненное по сечению давление. Оно считается известным до вычисления других величин,в том числе давления в остальных уравнениях. Эта противоречивость в толковании давления является ценой, которую приходится платить за то, чтобы сделать систему уравнений параболической. В указанных работах применяются очень непростые вычислительные процедуры с привлечением нескольких коррекций [95] или итераций [9б] . В [97] , стремясь добиться более точного решения, авторы вводят так называемые "глобальные итерации", а именно: задаваясь начальным распределением давления во всей области, решают маршевым методом параболическую систем уравнений, корректируя затем давление и скорости так, чтобы выполнялись локальный и интегральный законы сохранения массы. С новым распределением давления повторяется маршевый проход по всей области со всей его громоздкой технологией [95] и т.д., до сходимости итераций. Несмотря на сложность и некоторую искусственность, умело доведенный до готовых программ метод [97] стал успешно применяемым инструментом для решения различных внутренних задач с дозвуковыми течениями (см., например, [98] ).

Метод глобальных итераций с применением на каждой итерации своих оригинальных приемов, отличных от [95] , описывается в [99] для расчета сжимаемых течений в каналах.

Способ параболизации упрощенных уравнений Навье-Стокса, основанный на введении двух независимых друг от друга полей давления, применяется также в работах [lOO] , [iOl] , только конкретная его реализация осуществляется проще: давление в первом уравнении движения полагается равным, например, давлению на оси симметрии течения. В [iOl] этим методом по единому алгоритму рассчитывается сопло Лаваля, начиная с дозвуковой части. Однако, представляется, что в тех задачах, где сверхзвуковое течение преобладает, как, например, вниз по течению от критического сечения.сопла в [iOl] или в расчетах [102] , более естественно применять какой-нибудь другой метод регуляризации, который не будет "портить" уравнения в сверхзвуковой зоне.

В работе [юз] впервые предложен способ регуляризации, основанный на идее "подслойной аппроксимации", заключающийся в вычислении продольного градиента давления др/Ъх для дозвуковой области за её пределами. При этом на каждом шаге по маршевой координате в уравнении для продольной компоненты импульса в дозвуковой области полагается Ър/дх= consi , т.е. при решении этого уравнения полагается, что давление в подслое не зависит от поперечной координаты. По теории пограничного слоя при больших числах Рейнольдса поперечный градиент давления равен нулю во всей области течения, но с ещё большей надежностью это предположение должно выполняться,если рассматривается лишь дозвуковой участок вязкой области. Однако при "подслойной аппроксимации" в остальные уравнения, описывающие течение, давление входит как величина, зависящая от двух (или трех) переменных. Поэтому приближение, основанное на "подслойной аппроксимации" шире, чем приближение пограничного слоя для подслоя. Его можно рассматривать как прием параболизации, введенный в [95] , [IOl] , но только для ограниченной пристеночной области течения.

В работе [ЮЗ] , так же как и в [104 - 112] решаются задачи внешнего обтекания с использованием упрощенных уравнений Навье-Стокса. Но именно здесь можно найти анализ самих уравнений, указание на необходимость применения регуляризации, сравнительный анализ различных способов регуляризации и, наконец, примеры успешного решения сложных задач.

В работах [ЮЗ] , [Юб] ,[lll] показано, что при точном конечно-разностном представлении др/дх , т.е. до сходимости итераций, возмущения могут распространяться вверх по потоку через дозвуковой пограничный слой, и поэтому маршевые методы решения оказываются неустойчивыми. Это свойство приводит к появлению экспоненциально растущих решений, которые называют ответвляющимися или ложными. Наиболее простой метод избежать эти трудности заключается в пренебрежении продольным градиентом давления. Хотя такой подход приводит к устойчивым маршевым схемам решения [ЮЗ] , [104] , [НО] , при его применении в областях течения с большими градиентами по продольной координате возникают значительные погрешности. В некоторых исследованиях [l04], [Юб] , [l07] член Ър/дх аппроксимировался с использованием левых разностей и полученных на предыдущем шаге расчета величин. Однако при малых значениях шага вдоль оси этот метод становится неустойчивым.

В работах [l09 - III] упрощенные уравнения Навье-Стокса парабализируются следующим образом: в уравнение продольной компоненты количества движения вводятся дополнительные члены, содержащие функции, зависящие от параметров течения. Эти функции выбираются таким образом, чтобы в сверхзвуковой зоне не увеличивалась погрешность рассматриваемой модели, а в дозвуковой области задача Коши становилась корректной. В [по] рассчитывается сверхзвуковое обтекание боковой поверхности осесимметричного тела. Результаты расчетов, использующие оригинальный метод регуляризации, а также с исключением Ър/ дос и с подслойной аппроксимацией, оказались близки между собой и хорошим приближением решения полных уравнений Навье-Стокса.

В маршевом методе работы [lI2] для устранения неустойчивости параметры течения на каждом шаге по продольной координате находятся из решения нестационарных уравнений методом установления, Установление с точностью до 1% происходит примерно за 10 шагов.

Наиболее распространенный способ регуляризации - применение подслойной аппроксимации [ЮЗ ] , [105] , [108] , [НО] , когда член др/дх около стенки берется из области, где местное число Маха М = I. Интересное замечание, основанное на нестрогом анализе и подтвержденное расчетами, сделано в работе [l03] . А именно, если приближение подслоя применяется вместе с точным конечно-разностным представлением Ър/дх во внешней области, то эффект влияния вверх по потоку не исчезает полностью, сохраняется влияние околозвукового слоя. Поэтому в некоторых расчетах для устойчивости решения приходится глубже заходить в область сверхзвукового течения и сносить значение Ър / Эх из узла расчетной сетки, где М = 2 и даже М = 3. Об аналогичном наблюдении было высказано в частной беседе С.Г.Черным, одним из авторов работ [109 - III] .

В работах [ЮЗ - 112] с помощью параболизированных уравнений Навье-Стокса были рассчитаны различные случаи обтекания, начиная с расчета течения над пластинкой для проверки метода, и включая такие задачи, как обтекание боковой поверхности сферы и затупленного по сфере конуса, обтекание кругового цилиндра, конуса под углом атаки, треугольного крыла, пластинки конечной толщины под утлом атаки и обтекание тела типа "шаттл". j

Получены распределения давления и теплопередачи по поверхности, локализовано положение скачка уплотнения, получены поперечные вихри на подветренной стороне течения. Числа Рейнольдса в своо, с бодном потоке составляли 10 4-10 , числа Маха М » 1.4-5-10. Отмечено хорошее согласие с экспериментальными данными.

Все это говорит в пользу применения упрощенных уравнений Навье-Стокса для расчета вязких сверхзвуковых течений. Однако следает заметить, что регуляризация упрощенных уравнений Навье-Стокса производится в дозвуковой области, что может внести дополнительные погрешности в этой области, а именно там, на стенке, интересует исследователя давление, теплоотдача и другие величины в задачах внешнего обтекания. Имея достаточное количество примеров удовлетворительного совпадения расчетов с экспериментом для внешних течений, можно с тем большим основанием применять эти методы к расчету течений в соплах, где наибольший практический интерес представляет ядро потока.

Целью настоящей работы является исследование вязких течений газа в соплах заданной конфигурации гиперзвуковых аэродинамических труб на основе моделей "узкого канала" и упрощенных уравнений Навье-Стокса, с учетом влияния колебательной неравновесности при высоких температурах торможения; разработка алгоритмов и программ для решения с помощью конечно-разностного метода прямой задачи в сопле, начиная с дозвуковой части; проведение расчетов течений в соплах, для которых имеются экспериментальные данные, в широком диапазоне чисел Рейнольдса с целью выявления возможностей этих моделей; изучение с помощью параметрических расчетов влияния геометрии контура сопла на параметры течения в нем.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Мучная, Мария Ивановна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создан алгоритм расчета течения газа в сопле на основе модели "узкого канала". На основании сравнения проведенных расчетов с экспериментальными данными показано, что эта модель достаточно хорошо описывает течение в сравнительно недлинных соплах ( < 200) на числа Маха М < 10 в широком диапазоо п п не характерных чисел Рейнольдса ( 10 ^ ^ Ю ) при углах полураскрытия до 22°. Результаты расчетов хорошо согласуются с решением обратной задачи, когда для построения контура к изэнтропическому ядру прибавляется толщина вытеснения пограничного слоя. Для сопел большей длины и на большие числа Маха использование модели "узкого канала" приводит к неудовлетворительным результатам.

2. При расчетах в рамках модели "узкого канала" обнаружено, что существуют режимы, при которых течение в расширяющейся части сопла переходит в дозвуковое в интегральном смысле; если при этом давление начинает повышаться, решение теряет устойчивость.

3. Создан алгоритм расчета течения газа в сопле с помощью упрощенных уравнений Навье-Стокса. При маршевом методе решения этих уравнений в дозвуковой области у стенки применяется метод "подслойной аппроксимации". Сравнение расчетов с экспериментами показало хорошую работоспособность этой модели при расчете течений в длинных соплах на большие гиперзвуковые числа Маха, когда градиент давления поперек потока значителен и большую роль играет взаимовлияние изэнтропического ядра и пограничного слоя.

4. При высоких значениях температуры торможения расчеты проводились с учетом колебательной неравновесности в рамках теории двухтемпературной релаксации. Показано, что замораживание колебательной энергии в невязком ядре течения происходит на первых калибрах за критическим сечением сопла. Из проведенных расчетов следует, что учет колебательной неравновесности следует проводить, если необходима информация о всем поле течения. Если же интерес представляет только газодинамика течения в невязком ядре, то достаточную точность обеспечивает расчет в приближении замороженного течения. Расчет полностью равновесного течения в этом случае приводит к ошибочным результатам.

5. Анализ проведенных расчетов показал, что вязко-невязкое взаимодействие в гиперзвуковых профилированных соплах носит сложный характер. Изменение контура сопла может с большим запозданием сказываться на течении в изэнтропическом ядре потока, вследствие чего имеет место немонотонное распределение числа Маха вдоль оси сопла.

6. Из параметрических расчетов следует, что равномерное ядро можно получить в длинных конических соплах с углами полураскрытия в б°-8°, в которых оно формируется под действием профилирующего влияния пограничного слоя.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мучная, Мария Ивановна, 1985 год

1. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течение газа в соплах. Москва, изд-во МГУ, 1980.

2. Таблицы газодинамических функций. Под ред. Рослякова Г.С. Москва, изд-во МГУ, 1965.

3. Гудерлей К., Хантш Э. Наилучшие формы сверхзвуковых осе-симметричных реактивных сопел. "Механика" (сб. переводов), 1956, № 4, с.53-69.

4. Гудерлей К., Армитейдж Дж. Общий метод определения оптимальных сверхзвуковых реактивных сопел. "Механика" (сб. переводов), 1963, № 6, с.85-101.

5. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. Москва, ВЦ АН СССР, 1963.

6. Крайко А.Н. Вариационные задачи сверхзвуковых течений газа с произвольными термодинамическими свойствами. Москва,1. ВЦ АН СССР, 1963.

7. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулишнина Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. Москва, ВЦ АН CCGP, 1961.

8. Солодкин В.К., Росляков Г.С. Расчет осесимметричных сопел на быстродействующих электронных счетных машинах. Труды ЦАГИ, вып. 864, 1963, с.З-Н.

9. Belotserkovskii О.М., Chusbkin P.I. The numerical solution of problem in gas dynamics. In: Basic developments in fluid dynamics. V.1. - N. J.Acad. Press, 1965.

10. Росляков Г.С., Теленин Г.Ф. Обзор работ по численному исследованию внешних и внутренних задач аэродинамики, выполненных в Московском университете. В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. II, Изд-во МГУ, 1968, с.93-112.

11. Чушкин П.И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. Москва, ВЦ АН СССР, 1968.

12. Верховский В.П. Численный расчет изоэнтропических течений в осесимметричных гиперзвуковых соплах заданной конфигурации при высоких температурах торможения реального газа.-Труды ЦАГИ, вып. 1494, 1973, с.3-17.

13. Иванов М.Я., Крайко А.Н., Михайлов Н.В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. ЖВМиМФ, 1972, № 2,с.641-653, №3,с.805-813.

14. Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Разностный метод для расчета течений газа с разрывами. В кн.: Выч.методы и программирование. Вып. 19. Изд-во МГУ, 1972, с.83-96.

15. Пирумов У.Г., Росляков Г.С., Сухоруков В.П. Исследование сверхзвуковых течений в конических соплах. Изв. АН СССР, МШГ, 1974, № 3, с.101-107.

16. Дьяконов Ю.Н., Пчёлкина Л.В. О прямой задаче для сопла Лаваля ДАН СССР, 1970, т. 191, * 2, с.301-304.

17. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 5, с.77-83.

18. Киреев В.И., Лифшиц Ю.Б., Михайлов Ю.Я. О решении прямой задачи сопла Лаваля. Учен.зап. ЦАГИ,1970,т.1,№1,с.8-13.

19. Пирумов У.Г. Исследование течений в до- и трансзвуковой области сопла Лаваля. Изв.АН СССР,МЖГ,1970,И,с.53-63.

20. Лаваль П. Нестационарный метод расчета трансзвуковых течений в соплах. В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., "Мир", 1973, с.9-17.

21. Клайн М. Расчет установившегося течения в сопле с помощью метода установления. РТК,1974,т.12,№4,с.5-7.

22. Тагиров Р.К. Численное исследование течения в осесиммет-ричных соплах Лаваля включая режимы перерасширения с отрывом потока. Изв.АН СССР,ШГ,1978,№3,с.161-165.

23. Агафонов В.П.,Вертушкин В.К.,Гладков А.А.,Полянский О.Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике.- М.,"Машиностроение", 1972.

24. Phinney R. Nondimensional Solutions of Flows with Vibrational Relaxation. AIAA J., 1964, v.2, n.2, p.240-244.

25. Чирихин А.В. Метод расчета температуры замораживания течения азота в гиперзвуковом сопле. Уч.зап.ЦАГИ, 1971,№6.

26. Саяпин Г.Н. Расчет неравновесных течений азота в соплах.- Уч.зап.ЦАГИ, 1972, № I.

27. Андерсон мл. Расчет течения в сопле при наличии колебательной и химической неравновесности методом установления. РТК, 1970, т.8, № 3, с.201-208.

28. Чирихин А.В. О неравновесном течении в обратном сопле Лаваля.- Уч.зал.ЦАГИ, 1975, т.У1, № 3, с.95-98.

29. Andersen I.D. Gasdynamic Lasers: An Introduction. Acad. Press. 1976.

30. Лосев С.А. Газодинамические лазеры. M.,"Наука", 1977.

31. Лосев С.А.,Макаров В.Н. О влиянии нагрева сверхзвукового потока на коэффициент усиления в газодинамическом лазере на углекислом газе. ПМТФ, 1977, т.25, № 3, с.15-18.

32. Бреев В.В., Минин G.H., Пирумов У.Г., Шевченко В.Р. Течение смеси газов с релаксацией колебательной энергии в плоских и осесимметричных соплах. Изв. АН GGCP, Мех. Жидк. и газа, 1977, № 5, с. I25-I3I.

33. Галеев Р.С., Федосов А.А. Расчет плоского трансзвукового колебательно-неравновесного течения газа в сопле Лаваля. В сб. "Числ. методы мех. сплош. среды", Новосибирск, 1980, т. II, № 4, с. 31-40.

34. Комаров В.Н. 0 роли колебательной релаксации при неравновесном течении воздуха в соплах. ПМТФ, 1978, № 2,с.46-49.

35. Пинчуков В.И. Численное исследование влияния формы трансзвуковой части сопла Лаваля на течение смеси

36. C02-Nz- Hz0-He. ФГВ, 1981, № 4, с. 100-106.

37. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. Механика многофазных сред. В кн.: Гидромеханика, т. 6, М., ВИНИТИ, 1972.

38. Кузнецова Л.В., Павлов Б.М. 0 расчетах течений вязкого газа в струях и соплах. "Труды 1У Всесоюзного семинарапо числ. методам механики вязк. жидкости", Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1973, с. 17-25.

39. Кузнецова Л.В., Павлов Б.М. 0 расчете течения вязкого газа в соплах Лаваля. В кн.: "Вычисл. методы и программирование", М., МГУ, 1977, вып. 27, с. 26-32.

40. Кузнецова Л.В., Павлов Б.М. Применение уравнений Навье-Стокса к исследованию течения вязкого газа в сопле Лаваля. В кн.: "Вычисл. методы и программирование", М., МГУ, 1979, вып. 30, с.120-130.

41. Розе Д. Исследование вязких потоков в сверхзвукрвых соплах с помощью электронного пучка. РТК, 1971, т. 9,5, с. 43-51.

42. Быркин А.П., Щенников В.В. Расчет течений вязкого газа в плоских каналах. ЖВМиМФ, 1973, ?Г° 3, с. 728-736.

43. Борисов А.В., Ковеня В.М. Применение неявной разностной схемы для расчета внутренних течений вязкого газа.

44. В сб. "Числ. методы мех. спл.среды", Новосибирск, 1976, т. 7, № 4, с.36-47.

45. Быркин А.П., Щенников В.В. Расчет дозвуковых течений вязкого газа в плоских каналах и следах. ЖВМиМФ, 1979,т. 19, № I, с. 252-259.

46. Асланов Т.Д., Быркин А.П., Щенников В.В. Численный расчет внутренних течений вязкого газа с использованием уравнений Навье-Стокса. Уч.зап. ЦАГИ, 1981, т. XII, № 3,с. 44-54.

47. Федорченко А.Т. 0 методе решения двумерных нестационарных уравнений вязкого газа в соплах. Доклады АН СССР, 1980, т. 251, № 3, с. 578-582.

48. Федорченко А.Т. 0 задачах численного моделирования нестационарных пространственных течений вязкого газа в соплах. ЖВМиМФ, 1982, т. 22, № I, с. 178-196.

49. Клайн М. Расчет двумерных вязких течений в соплах. РТК, 1976, т. 14, № 3, с. 9-И.

50. Котари, Андерсон мл., Джонс. Решение уравнений Навье-Сток-са для потока газа в химических лазерах. РТК, 1977,т. 15, № I, с. I04-114.

51. Mitra IT.К., Fiebig М. Supersonic Nozzle Flowfields: a Conqparison of Fully Viscous and Navier-Stokes Solutions.-In : " Recent Developments in Theoretical and Experimental Fluid Mechanics." Berlin e.a., 1979, pp. 157-165.

52. Crocco L.A. A Suggestion for the Numerical Solution of the Steady Navier-Stokes Equations. AIAA J., 1965э N 10,p. 1824-1832.

53. Агафонов В.П. Взаимодействие пограничного слоя с гиперзвуковым потоком в коническом сопле. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 5, с.154-157.

54. Агафонов В.П. Ассимптотический характер гиперзвукового течения в коническом сопле. Изв. АН СССР, Мех. жвдк. и газа. 1967, № 5, с.6-9.

55. Бурке А.Ф., Бирд К.Д. Применение конических и профилированных сопел в гиперзвуковых установках. В кн. ^'Современная техника аэродинамических исследований при гиперзвуковых скоростях". М.,"Машиностроение", 1965, с.258-298.

56. Енкенус К.Р., Майер Е.Ф. Расчет осесимметричных сопел, работающих при высоких температурах воздушного потока. -В кн.:"Современная техника аэродинамических исследований при гиперзвуковых скоростях". М.^Машиностроение", 1965, с.241-257.

57. Быркин А.П., Павловский Ю.Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в осесимметричных гиперзвуковых соплах. Труды ЦАГИ, 1966, вып.999, 24с.

58. Быркин А.П. Численный расчет осесимметричного ламинарного пограничного слоя с учетом влияния поперечной кривизны. -Труды ЦАГИ» 1966, вып.1035.

59. Быркин А.П., Якушева В.Л. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в осесимметричных гиперзвуковых соплах при высоких температурах торможения воздуха. Труды ЦАГИ, 1967, вып.1058.

60. Быркин А.П.,Щенников В.В. Об одном численном методе расчета ламинарного пограничного слоя.-ЖВМиШ,1970,т.10,№1,с.124-131.

61. Межиров И.И., Тимофеева Т.А., Чистов Ю.И. Экспериментальное исследование осесимметричных профилированных гиперзвуковых сопл. Уч.зап. ЦАГИ, 1971, т. Ш, № б, с.1-8.

62. Кудрявцева Л.И., Межиров И.И., Пономарев С.П., Якушева В.Л. Экспериментальное исследование осесимметричных профилированных сверхзвуковых сопл при малых числах R-e . -Уч.зап. ЦАГИ, 1973, т. 1У, № 3, с.123-126.

63. Денисова Н.В., Межиров И.И., Чистов Ю.И. Исследование двух гиперзвуковых осесимметричных профилированных соплс гладким контуром. Уч. зап. ЦАГИ, 1973,тЛУ,№5,с.56-64.

64. Межиров И.И. Исследование течений в гиперзвуковых соплах аэродинамических труб. Труды ЦАГИ, 1981, вып. 2119, 60с.

65. Быркин А.П., Межиров И.И. 0 расчете течения газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (прямая задача). Уч.зап. ЦАГИ, 1971, т. П, № I.

66. Whitfield D. Viscous Effects in Low-Density Nozzle Flows.-AEDC-TR-73-52, June, 1973 (Рефераты ЦАГИ, 1975, № 461,с.41-58).

67. Дрисколл. Исследование пограничных слоев в соплах химических лазеров. РТК, 1976, т. 14, № II, с.82-91.

68. Бассина И.А., Дорот В.Л., Стрелец М.Х. Расчет пограничного слоя в сопле непрерывно .^действующего сверхзвукового химического лазера. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, 1979,3, с. 120-126.

69. Дрегалин А.Ф., Жукова И.К. Решение задачи о течении колебательно-неравновесного газа в микросопле Лаваля. В сб.: "Молекулярная газовая динамика", Н-ск, 1980, с. 22-27.

70. Михайлов В.В. Метод расчета сверхзвуковых сопел с учетом влияния вязкости. Изв. АН СССР, Мех.жидк. и газа, 1969,1. I, с. 69-72.

71. Денисенко О.В. Метод расчета сверхзвуковых сопл при сильном влиянии вязкости. Уч.зап. ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4, с.71-80.

72. Липин А.В., Титов В.А. Экспериментальное исследование сверхзвуковых профилированных осесимметричных сопл.

73. В кн.:"Труды 1У Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике", ЦАГИ, 1977, с. 307-311.

74. Вильяме Ш. Течения вязкого сжимаемого и несжимаемого газа в узких каналах. РТК, 1963, т. I, № I,с.215-224.

75. Adams J.С., Williams J.G.(III ). Viscous Compressible Laminar Plow in Slender Axisimmetric Channels with Adiaba-tic Walls.-Appl. Sient. Research, 1969,v.21,N 2,p.113-137.

76. Быркин А.П., Межиров И.И.' 0 некоторых автомодельных течениях вязкого газа в канале. Изв. АН СССР, Мех.жидк. и газа, 1969, № I, с. 100-105.

77. Быркин А.П. Об автомодельных течениях вязкого газа в канале при наличии теплообмена. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, 1969, № 5, с. 48-52.

78. Кузнецова Л.В., Павлов Б.М., Чичагов В.В. Численное исследование автомодельных задач о течении вязкого сжимаемого газа в каналах. В сб. работ фак. выч. матем. и кибернетики МГУ. 1983, № 38, с. 38-56.

79. Быркин А.П., Межиров И.И. 0 расчете течения вязкого газа в канале. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, 1967, № 6, с. 156-162.

80. Ветлуцкий В.Н., Севастьяненко В.Г. Исследование теплообмена с учетом излучения при течении газа в трубе. ПМТФ,1968, № 5, с.82-88.

81. Быркин А.П. Численный расчет ламинарных течений вязкого газа в каналах. Уч.зап. ЦАГИ, 1973, т.1У, № 6, с.17-24.

82. Рзй. Некоторые результаты численных расчетов вязких течений разреженного газа в соплах в приближении узкого канала.- РТК, 1971, т. 9, № 5, с. 52-62.

83. Евсеев Г.А. Экспериментальное исследование течения разреженного газа. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3, с.165-172.

84. Mitra М,К. ,Fiebig М. Low Reynlds Number Hypersonic; Hozzle Flows, Zeitschrift fur flugwissenschaften, 23 (1975), N. 2, p. 39 - 45.

85. Маркачев Ю.Е. Расчет стационарного течения вязкого газав сопле Лаваля с поделешиванием в приближении "узкого канала". В сб.:"Числ. методы мех. сплош. среды", Новосибирск, 1979,т. 10, № 5, с. 85-99.

86. Маркачев Ю.Е. Итерационные алгоритмы расчета стационарного течения вязкого газа в сопле Лаваля в приближении "узкого канала". Труды ЦАГИ, 1979, вып. 2024, с.3^16.

87. Левин В.Я., Нигодюк В.Е., Пирумов У.Г., бирсов О.И., Шустов С.А. Исследование течений в соплах Лаваля при низких числах Рейнольдса. Изв. АН CGCP, Мех. жидк. и газа, 1980, № 3, с. 90-97.

88. Blottner F.G. Numerical Solution of Slender Channel Laminar Flows. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1977, v. 11, N. 3, p. 319-339.

89. Anderson O.L. Calculation of Internal Viscous Flous in Axisymmetric Ducts at Moderate to High Reynolds Numbers.- Computer and Fluids, 1980, v. 8, p. 391-411.

90. Кокошинская Н.С. Течение в дальнем следе за телом, обтекаемым сверхзвуковым потоком вязкого газа. Тр. 1У Всесоюзн. семинара по числ. методам механики вязкой жидкости. Новосибирск, 1973, с. I06-II8.

91. Мышенков В.И. Расчет течения вязкой ламинарной сверхзвуковой струи в спутном потоке. ЖВМиМФ, 1979, т. 19,2, с. 474-485.

92. Чекмарев С.Ф., Сковородко П.А. Маршевый метод расчета двумерных сверхзвуковых течений вязкого газа в естественных координатах. Препринт ИТ§ СО АН СССР № 71, Новосибирск, 1981, 28с.

93. Волчкова Г.Н., Лавров А.В., Харченко С.С. Применение упрощенных уравнений Навье-Стокса к расчету ламинарного смещения колебательно-релаксирующих газов. ТВТ, 1981, т.19, 16, с. I198-1202.

94. Сковородко П.А. Об одном методе расчета течений вязкого газа в соплах. Динамика разреженного газа. Труды У1 Все-созн. конференции. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1980,с. 143-148.

95. Zelazny S.W., Rushmore W.L. Effect of Mixing Rate on Pressure Fields in Chemical Laser Cavities.-AIAA Paper 77-221.

96. Баум, Денисон. Расчет взаимодействующего сверхзвукового ламинарного следа методом конечных разностей. FTK, 1967, № 7, с.12-20.

97. Patancar S.V., Spalding D.B. A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows.-Int.J. Heat Mass Transfer,1972,v.15,p. 1787-1806.

98. Briley W.R. Numerical Method for Predicting Three-Dimensional Steady Viscous Flows in Ducts. J. of Computational Physics. 1974, v.14, p.8-28.

99. Pratap V.S., Spalding D.B. Fluid Flow and Heat Transfer in Three Dimensional Duct Flows. Int. J. Heat Mass Transfer. 1976, v.19, p.1183-1188.

100. Birch S.F., Painter G.G., Spalding D.B., Tatchell D.G. Numerical Modeling of Three-Dimensional Flows in Turbofan Engine Exhaust Nozzles. J. of Aircraft. 1978, v.15,p.489-496.

101. Cooke C.H., Dwoyer D.M. A Modified Dodge Algorithm for the Parabolized Navier-Stokes Equations and Compressible Duct Flows. Int. J. for Numerical Methods in Fluids. 1983, v. N.5, p.493-506.

102. Роберте Д.В., Форестер К.К. Метод численного решения параболической задачи о течениях в каналах произвольного поперечного сечения. РТК, 1979, т.17, № I, с. 37-46.

103. Helliwell W.S., Lubard S.C. An implicit methods for three-dimensional viscous flow with application to cones at angle of attack.-J. Computers .& Fluids. 1975»v3,p.83-101.

104. Шифф Л.В., Стегер Дж.Л. Численный расчет стационарных сверхзвуковых вязких течений. РТК, 1980, т. 18, № 12, с. 16-29.

105. Li С.P. A Oamputation procedure for supersonic flows governed by the parabolic Navier-Stokes Equations.-J. of Computational Physics. 1980,v.35,P*356-380.

106. Ли К.П. Расчет неявным методом ударного слоя около произвольного тела. РТК, 1982, т. 20, № 3, с. 18-29.

107. Таннехилл Дж.К., Венкатапатхи Э., Рэкич Дж.В. Расчет сверхзвукового вязкого обтекания затупленных треугольных крыльев. РТК, 1982, т. 20, № 3, с. 46-55.

108. Ковеня В.М., Черный С.Г., Яненко Н.Н. Упрощенные уравнения для описания течения вязкого газа. Доклады АН СССР, 1979, т. 245, № 6, с.1322-1324.

109. НО. Ковеня В.М., Черный С.Г. Решение упрощенных уравнений вязкого газа маршевым методом. В сб. "Числ. методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1979, т. 10, № I, с. 71-87.

110. Ковеня В.М., Черный С.Г. Метод решения стационарных упрощенных уравнений вязкого газа. Препринт РГГПМ СО АН СССР № 42-81, Новосибирск, 1981, 51с.

111. Головачев Ю.П., Шурсенко А.А. Маршевый метод расчета течений вязкого газа. ЖВМиМФ, 1981, т. 21, № 6, с.1592-1596.

112. Ветлуцкий В.Ы., Мучная М.И. Расчет вязкого сжимаемого течения газа в гиперзвуковом сопле. В сб.:"Газодинамика и физическая кинетика (Аэродинамические исследования, вып.З)". Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1974, с,134-135.

113. Ветлуцкий В.Н., Мучная М.И. Расчет вязкого течения в гиперзвуковом сопле. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа. 1977, № 4, с. 29-35.

114. Мучная М.И. Расчет течения вязкого газа в гиперзвуковом сопле с учетом колебательной неравновесности. Изв. АН СССР, Мех.жидк. и газа. 1979, № I, с. 165-168.

115. Мучная М.И. Использование упрощенных уравнений Навье-Стокса для расчета вязкого течения в гиперзвуковом сопле.- Препринт ИТПМ СО АН СССР № 17, Новосибирск, 1981, 22с.

116. Мучная М.И. Расчет течения в профилированных гиперзвуковых соплах с помощью упрощенных уравнений Навье-Стокса.- В сб.:"Числ. методы мех. сплш. среды". Новосибирск, 1982, т.13, № 5, с. 145-148.

117. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., "Наука", 1973, с. 760-763.

118. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М., "Атомиздат", 1961.

119. Симуни Л.М. Движение вязкой несжимаемой жидкости в плоской трубе. ЖВМиМФ, т.5, № 6, с. II38-II4I, 1965.

120. Севастьянов P.M., Здункевич М.Д. Таблицы теплофизических свойств воздуха и азота в диапазоне температур от 100до 5000-15000°К. Труды ЦАГИ, 1964, вып. 922.

121. Вассерман А.А., Казавчинский Я.З., Рабинович В.А. Теплофизические свойства воздуха и его компонентов. М., "Наука", 1966.

122. Дроздова Н.В.,Пирумов У.Г.,Росляков Г.С.,Сухоруков В.П. Сверхзвуковые течения газа в конических соплах. В кн.: "Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. У1. Течения газа в соплах и струях." М., МГУ, 1974.

123. Григорьев В.Д.,Клеменков Г.П.,Пирогов А.И.,Яковлева Н.В. Гиперзвуковая аэродинамическая труба Т-326 ИТПМ. Методические исследования полей скорости и температуры. -Отчет ИТПМ СО АН СССР № 1129, Новосибирск, 1980.

124. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях. Пер. с англ. М., "Энергия", 1971, с.27-29.

125. Лунькин Ю.П., Янь Си-цинь. Влияние вращательной и колебательной релаксации на ламинарный пограничный слой на пластине. ПМТФ, 1963, № I, с.150-154.

126. Ладнова Л.А. Ламинарный пограничный слой газа на плоской пластине с учетом термодинамической и химической неравновесности. Вестник ЛГУ, 1964, № 19. Серия матем., механ., астрон., вып. 4, с.114-128.

127. Кузнецов В.М., Селиверстов С.Н. К обтеканию пластинки вязким потоком неравновесного газа. Изв. АН СССР, МЖГ, 1967, № I, с.14-19.

128. Кузнецов В.М. Кинетические коэффициенты в теории двух-температурной колебательной релаксации. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 3, с.178-181.

129. Гиршфельдер Д.,Кертисс Ч., Берд С. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., изд-во иностр. лит., 1961.

130. Rich J.W., Treanor С.Е. Vibrational relaxation in gas-dynamic flows. Annu. Rev. Fluid Mech., Palo Alto, Calif., 1970, v.2, pp.555-396.

131. MacDonald J.R. Interpretation of sodium line-reversal measurements in rapid expansion of nitrogen. J. Chem. Phys., 1972, 57, N 2, p. 1016-1018.

132. Лосев С.А. Кинетика релаксационных процессов в ударных волнах и охлавдающихся потоках газов. -ФГВ,1973,№6,с.767-772;

133. Горенбух П.И. Экспериментальнее исследование гиперзвукового течения вязкого газа в тонком коническом сопле. -Труды ЦАГИ, вып. 1801, 1976.