Численное исследование свободной конвекции жидкости в термовязких средах с немонотонной зависимостью вязкости гауссовского типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Кулешов, Василий Сергеевич

• Кулешов, Василий Сергеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кулешов, Василий Сергеевич

Оглавление

Стр.

Введение

Глава 1. Современное состояние исследований

1.1 Обзор работ, посвященных экспериментальным и численным исследованиям тепловой конвекции жидкости

1.2 Обзор работ, посвященных изучению

зависимости вязкости от температуры

1.3 Математическая модель свободной конвекции

термовязкой жидкости

1.4 Выводы

Глава 2. Численный метод. Верификация кода

2.1 Численный метод

2.1.1 Метод контрольного объема

2.1.2 Алгоритм SIMPLE

2.2 Постановка граничных условий

2.3 Решение системы уравнений

2.4 Верификация кода

2.4.1 Течение изотермической жидкости в плоском канале

2.4.2 Течение термовязкой жидкости в плоском канале

2.4.3 Моделирование конвекции Рэлея-Бенара

2.5 Выводы

Глава 3. Особенности конвективных течений аномально термовязкой жидкости в квадратной ячейке,

подогреваемой снизу

3.1 Постановка задачи и основные уравнения

3.2 Влияние «вязкого барьера» на глобальную картину течения

3.3 Параметрические исследования конвекции

термовязкой жидкости

3.3.1 Формирование третичных вихрей и их влияние на структуру конвективных течений

3.3.2 Периодические режимы конвекции

3.3.3 Дифференциация течения областью повышенной вязкости

3.3.4 Изолированные режимы конвекции

3.3.5 Влияние ширины «вязкого барьера» на интенсивность теплообмена

3.4 Выводы

Глава 4. Влияние аномальной зависимости вязкости от

температуры на свободную конвекцию в квадратной

ячейке, подогреваемой сбоку

4.1 Постановка задачи и основные уравнения

4.2 Результаты вычислительных экспериментов

4.3 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование свободной конвекции жидкости в термовязких средах с немонотонной зависимостью вязкости гауссовского типа»

Введение

Во многих процессах, происходящих в природе и в результате деятельности человека, формируется свободная конвекция, способная оказать значительное влияние на их развитие. К таким процессам, например, относятся океанические и атмосферные течения. Конвекция определяет структуру течения рабочих сред во многих аппаратах и устройствах на предприятиях нефтяной и химической промышленности. Явление свободной конвекции возникает из-за разности плотностей жидкости в результате неравномерного нагрева в поле силы тяжести.

Исследованию особенностей различных аспектов конвективного теп-ломассопереноса было уделено большое внимание в работах А. Грехэма, Х. Типпельскирха, И. Пальма, В. И. Полежаева, Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховиц-кого, В. С. Бердникова, Г. А. Остроумова, В. В. Пухначева, Б. Гебхарда, Й. Джа-лурии, Р. Махаджана и других. К настоящему времени накоплен большой теоретический задел по изучению особенностей конвективных течений с постоянными теплофизическими свойствами жидкости, процессов переноса в пресной и соленой воде, естественной и смешанной конвекции и так далее. Несмотря на то, что всем жидкостям присуще изменение вязкости от температуры, при решении задач подобным явлением, как правило, пренебрегают, хотя данный аспект приобретает немаловажное значение при изучении динамики жидкостей с интенсивным теплообменом и большим градиентом температур. Учет переменных теплофизических параметров является существенным при решении задач, связанных с течением лавы, различных полимеров, жидких металлов и других сред. При этом в отечественной и зарубежной литературе широко представлены научные работы по гидродинамике с переменными теплофизическими свойствами жидкости, берущие свое начало от Л. С. Лейбензона и получившие продолжение в работах С. С. Кутателадзе, Б. В. Петухова и их коллег. Большинство моделей, описывающих зависимость вязкости от температуры, имеют монотонный характер и называются моделями аррениусовского типа. Физические принципы изменения свойств вязкости от температуры были установлены в работах Я. И. Френкеля, Г. Эйринга, С. К. Вильсона, Б. Р. Даффи, Е. Р. Лихачева и других.

Ряд веществ, например, растворы полимерных жидкостей, жидкая сера, аномально вязкие нефти, характеризуются немонотонными зависимостями вязкости от температуры. При этом другие теплофизические и физико-химические параметры таких жидкостей также достаточно чувствительны к изменению температуры. Изменение вязкости данных веществ обуславливается процессами полимеризации и деполимеризации молекул: образование более длинных полимерных цепочек на некотором температурном интервале, что приводит к увеличению вязкости, а дальнейшее повышение температуры, наоборот, сокращает их длину и приводит к уменьшению вязкости.

Важным условием создания эффективных технологий является понимание закономерностей течения рабочих сред с переменными теплофизическими параметрами, обеспечивающих качественные и количественные показатели в производственных процессах. Такие закономерности изучены в недостаточной степени и требуется корректная постановка задачи для их теоретического и экспериментального исследований.

В связи с вышеизложенным, актуальность темы исследования связана с необходимостью развития теории конвективного теплообмена в неоднородных средах, встречающихся как в промышленных устройствах, так и в природе.

Целью данной работы является установление особенностей свободно конвективного тепломассопереноса в средах с немонотонной зависимостью вязкости от температуры гауссовского типа и выявление параметров, определяющих режимы течений в квадратной ячейке при различных способах подвода тепловой энергии, а также их влияние на локальный и интегральный теплообмен.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработан высокопроизводительный программный продукт для численного моделирования тепломассопереноса неоднородной жидкости.

2. Исследована картина свободно конвективных течений в квадратной ячейке, подогреваемой либо снизу, либо сбоку, при изменении параметров функциональной зависимости вязкости от температуры гаус-совского типа.

3. Построены карты режимов теплообмена при свободной конвекции жидкости в ячейке, подогреваемой снизу или сбоку, в зависимости от параметров задачи.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Модифицированный метод контрольного объема, аппроксимирующий нестационарные члены вторым порядком, с применением кубических сплайнов при интерполяции физических полей.

2. Роль параметра FWHM (полная ширина функциональной зависимости вязкости от температуры гауссовского типа, определяемая на половине максимального значения в режиме чистой теплопроводности) при свободно конвективном тепломассопереносе термовязкой жидкости в квадратной ячейке при различных способах подвода тепловой энергии.

3. Влияние «вязкого барьера» на глобальную картину течения, а также на локальный и интегральный теплообмены в квадратной ячейке.

4. «Вязкий барьер» как гидродинамическая преграда, формируемая при свободной конвекции термовязкой жидкости гауссовского типа и разделяющая ячейку на две области течения.

Научная новизна:

1. Исследованы закономерности эволюции дополнительных вихревых структур в зависимости от максимального значения вязкости и параметра FWHM.

2. Обнаружено формирование дополнительных вихревых структур при свободной конвекции жидкости с немонотонной температурной зависимостью вязкости гауссовского типа и установлена их роль в динамике переходных процессов.

3. Оценена степень влияния «вязкого барьера» на интенсивность теплообмена при свободной конвекции.

4. Показана возможность существования режима с изолированными конвективными ячейками, разграниченными между собой «вязким барьером».

Научная и практическая значимость. Полученные в работе результаты позволяют лучше понять процессы, происходящие: в аппаратах, используемых в различных отраслях промышленности; при разработке новых теоретических технологий для транспортировки, хранения и переработки неоднородных сред. Результаты могут применяться для оценки степени воздействия на режимы технологических процессов рабочих сред с немонотонной зависимостью вязкости от температуры, в частности, на процессы в тепломассообменных ко-

лоннах, нагревательных и холодильных установках. Полученные в работе карты режимов теплообмена могут быть использованы при создании и разработке новых устройств на основе теплоносителей с неоднородными свойствами жидкости.

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задачи, основанной на применении законов сохранения механики сплошных сред, апробированных методов вычислительной гидродинамики. Обоснованность результатов гарантируется сходимостью и точностью вычислительного метода и хорошим согласованием тестовых расчетов с известными аналитическими и «эталонными» решениями.

Апробация работы. Основные положения и результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих конференциях: Российская научно-техническая конференция «Мавлютовские чтения», посвященная 90-летию со дня рождения члена-корр. РАН, д.т.н., проф. Р. Р. Мавлютова (Уфа, 21-24 марта 2016 г.); VIII Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова и Всероссийская молодежная школа-конференция (Абрау-Дюрсо, 05-10 сентября 2016 г.); 8-ая международная научная школа молодых ученых «Волны и вихри в сложных средах» (Москва 07-09 ноября 2017 г.)

Кроме того, результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в ФГБУН Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, в ООО «РН-УфаНИПИнефть», в ФГБУН Институте теплофизики им. С. С. Ку-тателадзе СО РАН под руководством д.ф.-м.н. В. С. Бердникова, в Тюменском филиале ФГБУН Институте теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича СО РАН под руководством д.ф.-м.н. А. А. Губайдул-лина, на кафедре Газовой и волновой динамики механико-математический факультет Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина.

Личный вклад. Автор участвовал в постановке задачи, разработке методов решения. Автором разработан высокопроизводительный программный продукт, основанный на модифицированном методе контрольного объема; проведен ряд вычислительных экспериментов; проанализированы и описаны результаты исследований, представленные в опубликованных работах.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 8 научных работах [114; 116-121; 135], 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [117; 119; 120; 135]. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [115].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 130 страниц с 72 рисунками и 6 таблицами. Список литературы содержит 167 наименований.

Во введении отражена актуальность темы исследований, проводимых в диссертационной работе, сформулированы цели, отмечены научная новизна, достоверность результатов и практическая значимость работы, а также кратко изложена структура диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению процессов конвективного тепломассопере-носа и течений термовязких сред c различного рода зависимостями вязкости от температуры. Представлена система нелинейных дифференциальных уравнений термогравитационной конвекции, записанная в приближении Обербека-Буссинеска и описывающая процесс свободной конвекции жидкости в однородном поле силы тяжести, обосновано ее применение в настоящей работе.

Во второй главе подробно описаны модифицированный метод контрольного объема и алгоритм SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked) для численного решения обобщенного дифференциального уравнения, представляющего собой закон сохранения. Проведен сравнительный анализ тестовых расчетов с использованием разработанного высокопроизводительного программного продукта для численного моделирования тепломассопереноса жидкости с известными аналитическими решениями: течение изотермической, термовязкой (экспоненциальная зависимость вязкости от температуры) жидкости в плоском канале и с известными «эталонными» решениями (Benchmark solution): свободная конвекция в квадратной полости, подогреваемой снизу. Тестовые расчеты показали хорошую сходимость, устойчивость и точность.

В третьей главе численно исследуется термогравитационная конвекция аномально термовязкой жидкости в квадратной ячейке с вертикальными адиабатическими и горизонтальными изотермическими стенками. Рассмотрена модельная ньютоновская жидкость, в которой зависимость вязкости от температу-

ры описывается некоторой колоколообразной функцией (гауссовской кривой). Показано влияние параметров аномалии вязкости на глобальную картину течений и интенсивность тепломассопереноса. Впервые установлено формирование третичных микровихрей, приводящих к сложным переходным процессам, присущим конвективному теплообмену и выражающимся в немонотонном поведении интегральных коэффициентов теплоотдачи.

В четвертой главе проведено математическое моделирование свободной конвекции жидкости с аномальной зависимостью вязкости от температуры гауссовского типа в квадратной ячейке, подогреваемой сбоку. Исследовано влияние параметров функции вязкости (максимальное значение вязкости и степень заполненности температурного интервала) на эволюцию течений и интегральный теплообмен. Показана определяющая роль данных параметров в формировании структуры течений и интегральном теплообмене.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н. К. В. Моисееву за постановку задачи; д.ф.-м.н. С. Ф. Урманчееву и д.ф.-м.н. С. В. Хабирову за полезное обсуждение результатов работы, ценные советы и оказанную поддержку; к.ф.-м.н. К. И. Михай-ленко за консультации в области высокопроизводительных вычислений. Также автор выражает неизменную признательность Елене Александровне Налобиной за огромный труд по редактированию и подготовке диссертации к печати.

Вычислительные эксперименты проводились на суперкомпьютере Уфимского государственного авиационного технического университета.

Работа выполнена при содействии Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №№ 14-08-97060-р_поволжье_а и 17-41-020576-р_а).

Глава 1. Современное состояние исследований

В настоящей главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению процессов конвективного тепломассопе-реноса и течений термовязких сред с различного рода зависимостями вязкости от температуры. Представлена система нелинейных дифференциальных уравнений термогравитационной конвекции, записанная в приближении Обербека-Буссинеска и описывающая процесс свободной конвекции жидкости в однородном поле силы тяжести, обосновано ее применение в настоящей работе.

1.1 Обзор работ, посвященных экспериментальным и численным исследованиям тепловой конвекции жидкости

В современных исследованиях конвекция вязкой жидкости — довольно широко распространенное, но еще недостаточно подробно изученное явление. В настоящее время при изучении динамики вязкой жидкости особое внимание уделяется анализу физических явлений с различными механизмами формирования конвективных течений. При этом используются модели конвекции, описывающие течения жидких сред (в том числе со сложными реологическими свойствами).

Отсутствие механического равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение, возникающее в поле тяжести, называют свободной конвекцией.

Ключевым фактором при моделировании конвекции является корректный выбор соответствующей математической модели. Начиная с А. Обербе-ка [54] и Ж. Буссинеска [9] изучение математических моделей конвекции продолжилось в работах Дж. Михаляна, Д. Джозефа, В. И. Юдовича, М. Веларде, В. В. Пухначева. В работах [16; 51; 72] обоснованно и проанализировано приближение Обербека-Буссинеска. Стационарные решения, полученные на основе общих уравнений, и их сходимость к решениям уравнений Обербека-Буссинеска исследовались в работе [24]. В. В. Пухначев [147] получил уравнения микроконвекции в результате дальнейших уточнений уравнений Навье-Стокса, записан-

ных в приближении Буссинеска, что позволило расширить рамки применимости данных моделей. Позже П. Перера и Р. Секерка в работе [59] рассмотрели модель, позволяющую исследовать концентрационную конвекцию.

Исследованию термической неоднородности и сжимаемости в рамках новых моделей конвекции посвящены работы [85; 131], где, несмотря на то, что для жидкостей свойство сжимаемости выражено слабо, его учет позволяет объяснить появление небуссинесковых эффектов.

А. Бенар [11; 12] и Дж. Рэлей [27] активно занимались вопросами, связанными с конвективной неустойчивостью жидкости, однако, мощный скачок в развитии данного направления произошел в середине прошлого века и он напрямую был связан с техническими решениями. Классическая задача свободной конвекции Рэлея-Бенара в различных постановках исследовалась многими авторами как экспериментально [5; 13-15; 19; 21; 23; 25; 26; 28; 32; 43; 45; 49; 52; 53; 63; 68; 77; 78; 94], так и численно [3;4; 7; 17; 18; 20; 29; 31; 35; 37;39-41;46-48; 61; 62; 65; 67; 70;71;73-75;80;95; 105; 106; 146; 149]. При этом, в большинстве работ, посвященных численному изучению процессов свободноконвективных течений, вязкость жидкости полагалась постоянной. Работы [103; 104] посвящены изучению особенностей конвективных течений как с постоянными, так и с переменными теп-лофизическими свойствами жидкости, процессам переноса в пресной и соленой холодной воде, смешанной конвекции. Г. А. Остроумов совместно со своими учениками [139] изучал как экспериментально, так и теоретически конвективные течения жидкости в областях различной формы. Также актуальными являются задачи, связанные с конвекцией возникающей в жидкометаллических теплоносителях [98].

Вопросы, связанные с развитием или затуханием возмущений в потоке жидкости или газа, являются актуальными при определении условий перехода от ламинарного к турбулентному течению. Анализ устойчивости и смены различных конвективных режимов проведен в работах [107-109].

Возрастающая с каждым годом сложность задач неизбежно приводит к созданию все новых численных методов и высокопроизводительных алгоритмов. На сегодняшний день одним из важнейших способов проведения исследований различных классов конвективных течений являются методы численного моделирования. Целые коллективы математиков, механиков и вычислителей занимались и занимаются разработкой численных методов решения задач кон-

векции. Например, О. М. Белоцерковский предложил различные численные методики расщепления по физическим процессам системы уравнений, записанной в форме закона сохранения [93]; А. Ф. Воеводин совместно с коллегами разработал численные методы для исследования конвективных течений [101; 102]; Г. Г. Черных занимался построением численных методов для изучения течений в стратифицированных средах, а также предложил трехмерную модель тепловой конвекции для верхней мантии Земли [156; 165]; В. И. Полежаевым с соавторами представлены численные методы для изучения процессов конвекции, тепло- и массообмена на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска, включая конвекцию в невесомости [99; 141; 145]. Е.Л. Таруниным проведено численное моделирование задач тепловой конвекции и ряд численных экспериментов [154; 155]. Численные методы, представленные в работах [79; 129; 130; 150; 151], позднее были обоснованы и применены для задач свободной конвекции [34; 84; 85; 96], включая задачи с поверхностями раздела, а также деформируемыми границами.

Рассмотрение конвекции со свободными от касательных напряжений горизонтальными границами имеет также и самостоятельный интерес, например, при изучении конвекции в мантии Земли [62; 70] или в приповерхностном слое океана [140]. Основные теоретические результаты по изучению процессов течения магмы представлены в статьях [89-91].

К настоящему времени для численного решения системы уравнений Навье-Стокса разработано огромное количество методов и алгоритмов, например, метод маркеров и ячеек и его модификация [34; 38; 161], метод конечных элементов [153], метод контрольного объема [57] и другие. Основы метода контрольного объема и алгоритма SIMPLE были заложены для параболических уравнений, окончательно разработаны для численного решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости [142] и получили широкое распространение при численном моделировании задач термогравитационной конвекции.

Работа Б. С. Петухова [143] имеет ключевое значение для развития гидродинамики жидкостей, у которых вязкость есть функция температуры. В данной работе представлены уравнения термогидродинамики сред с переменными теплофизическими свойствами, установлены основные режимы течений при тепломассопереносе, решены некоторые задачи, связанные с ламинарным пограничным слоем и тепловой конвекцией в неоднородных средах.

В начале ХХ в. А. Грэхэм [33] при исследовании конвективных течений в газе и жидкости обнаружил, что газ в центральных частях конвективных ячеек опускается, а жидкость — поднимается. Им была выдвинута гипотеза, согласно которой направление потока зависит от знака первой производной: для жидкостей, как правило, производная отрицательна, для газов — положительна. Данная гипотеза экспериментально подтверждена Х. В. Типпельскирхом [69]. В настоящей же работе рассматривается жидкость, производная вязкости которой на заданном температурном интервале имеет как отрицательное, так и положительное значение. Подобного рода жидкости будем называть аномально термовязкими.

Дальнейшие усложнения моделей, включающих немонотонную зависимость вязкости от температуры (аномально термовязкая жидкость), привели к еще большим отличиям параметров течения по сравнению с классическим случаем постоянной вязкости. Учет подобного рода эффектов, обусловленных зависимостью вязкости от температуры, представляет собой сложную задачу, требующую применения современных вычислительных средств и методов математического моделирования.

С. Ф. Урманчеевым и др. был положен задел в области численного исследования течения жидкости с аномальной вязкостью [159]. Дальнейшее развитие это направление получило в работах [113; 158]. В докладе [158] представлены результаты численного исследования задачи о течении несжимаемой жидкости с температурной аномалией вязкости в плоском канале с неоднородным температурным полем. Результаты исследований свидетельствуют о многообразии возможных гидродинамических эффектов. Установлено, что основной особенностью термогидродинамики аномально вязких сред является образование локализованной области — «вязкого барьера», который в значительной мере способен оказывать влияние на расходные характеристики и саму структуру потока.

В работе [112] А. М Ильясовым, К. В. Моисеевым и С. Ф. Урманчеевым рассматривалась классическая задача термогравитационной конвекции. В зависимости от числа Релея исследовалась структура конвективных течений, а также теплообмен на изотермических границах. Установлены области стационарных, квазипериодических и хаотических режимов. Показано, что квадратичная зависимость вязкости от температуры приводит к более, чем трехкратному уве-

личению минимального критического числа Релея по сравнению с теоретически вычисленным значением для жидкости с постоянной вязкостью.

В работе К. В. Моисеева [132] численно моделируется свободная конвекция в квадратной области при различных углах наклона к горизонту. Рассмотрена жидкость, вязкость которой является квадратичной функцией температуры. Установлены области режимов конвекции при различных углах наклона полости для жидкостей с постоянной вязкостью и с квадратичной зависимостью вязкости от температуры. Построены карты режимов теплообмена. Обнаружен рост интенсивности теплообмена с увеличением угла наклона как для термовязкой жидкости, так и для жидкости с постоянной вязкостью.

Численно исследована свободная конвекция термовязких жидкостей в квадратной ячейке в работе [134]. Здесь рассмотрены квадратичные и показательные зависимости вязкости от температуры, изучено влияние этих зависимостей на числа Нуссельта, установлено, что зависимость чисел Нуссельта от чисел Рэлея характеризуется средней вязкостью, монотонностью и выпуклостью функции вязкости от температуры.

В дальнейшем были представлены результаты по изучению свободной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в двухмерной ячейке при комбинированном вертикальном и горизонтальном подогреве в симметричном и несимметричном случаях; по исследованию зависимости максимальной скорости и интенсивности теплообмена от различных режимов подогрева [128]. В работе [127] рассматривалось решение системы уравнений тепловой конвекции в прямоугольной области с различными соотношениями длины и высоты. Для свободной конвекции были найдены характерные числа, при которых возникают колебательные режимы; оценено влияние смешанной конвекции на характер течения жидкости. Особенности течений аномально вязких жидкостей также исследовались в цилиндрическом канале [164].

1.2 Обзор работ, посвященных изучению зависимости вязкости от температуры

При решении классических задач гидродинамики физические параметры (например, вязкость, теплоемкость и теплопроводность), как правило, считаются постоянными, но в реальных физических системах на процессы переноса оказывают влияние изменения упомянутых параметров от температуры. Я.И. Френкелем [163] впервые было дано теоретическое объяснение вязкости как явления. Основываясь на молекулярно-кинетической теорию, Я. И. Френкель получил зависимость коэффициента динамической вязкости от температуры:

^ , л кТ То

^ (Т) = А ехрЫ' ^ = П062 ,

где Т — температура; т0 — период колебаний около положения равновесия; W — энергия активации; 6 — расстояние между соседними атомами; а — радиус частицы жидкости; к — постоянная Больцмана.

Температурную зависимость коэффициента динамической вязкости ^ (Т), согласно работе И. Л. Фабелинского [160], возможно получить из спектров деполяризованного молекулярного рассеяния света. Наиболее распространенной является формула Фогеля-Фулчера-Тамманна, которая учитывает изменение вязкости от температуры, для неорганических веществ (жидкий металл, кварц и др.), способных к стеклованию:

В

1п ¡1 (Т) = А +

Т Т

где А, В, Т* — эмпирические коэффициенты для заданного вещества.

Одной из первых работ, посвященных изучению течения жидкости в канале, можно считать работу Л. С. Лейбензона [123], где рассматривалось течение термовязкой жидкости в трубе, которая контактировала со средой с постоянной температурой. В качестве функциональной зависимости от температуры рассматривались модели двух видов:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кулешов, Василий Сергеевич, 2018 год

Список литературы

1. Ahusborde E., Glockner S. A 2D block-structured mesh partitioner for accurate flow simulations on non-rectangular geometries // Computers and Fluids. 2011. Vol. 43, № 1. P. 2-13. Symposium on High Accuracy Flow Simulations. Special Issue Dedicated to Prof. Michel Deville Symposium on High Accuracy Flow Simulations.

2. Altunina L. K., Bokserman A. A., Kuvshinov V. A. [et al.]. Inorganic gels to enhance oil recovery of high temperature formations // New delelopment in improved oil recovery. Geological Soc. Special Publication. 1995. № 84.

3. Amati G., Koal K., Massaioli F. [et al.]. Turbulent thermal convection at high Rayleigh numbers for a Boussinesq fluid of constant Prandtl number // Physics of Fluids. 2005. 12. Vol. 17, № 12. P. 1-4.

4. Arter Wayne. Nonlinear Rayleigh-Benard convection with square planform // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1985. 04. Vol. 152. P. 391-418.

5. Ashkenazi Shay, Steinberg Victor. Spectra and Statistics of Velocity and Temperature Fluctuations in Turbulent Convection // Phys. Rev. Lett. 1999. Dec. Vol. 83. P. 4760-4763.

6. Bacon R. F., Fanelli R. The viscosity of sulfur // Journal of the American Chemical Society. 1943. Vol. 65, № 4. P. 639-648.

7. Balachandar S., Maxey M. R., Sirovich L. Numerical simulation of high Rayleigh number convection // Journal of Scientific Computing. 1989. Vol. 4, № 2. P. 219-236.

8. Blazek J. Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications: (Book with accompanying CD). Elsevier Science, 2005. 496 P.

9. Boussinesq J. Theorie analytique de la Chaleur. Gauthier-Villars, Paris, 1903.

10. Bouwmeester H., Dougherty A., Knyazev A. V. Nonsymmetric Preconditioning for Conjugate Gradient and Steepest Descent Methods // Procedia Computer Science. 2015. Vol. 51. P. 276-285. International Conference On Computational Science, {ICCS} 2015 Computational Science at the Gates of Nature.

11. Bénard H. Mouvements tourbillonaires à structure cellulaire. Etude optique de la surface libre // Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences. 1990. Vol. 130. P. 1065-1068.

12. Benard H. Etude experimentale du mouvement des liquides propageant de la chaleur par convection. Regime permanent: tourbillons cellulaires. // Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences. 1990. Vol. 130. P. 1004-1007.

13. Chavanne X., Chilla F., Chabaud B. [et al.]. Turbulent Rayleigh-Benard convection in gaseous and liquid He // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13, № 5. P. 1300-1320.

14. Chu T. Y., Goldstein R. J. Turbulent convection in a horizontal layer of water // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1973. 03. Vol. 60, № 1. P. 141-159.

15. Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Temperature Structure Functions in Turbulent Convection at Low Prandtl Number // EPL (Europhysics Letters). 1995. Vol. 32, № 5. P. 413-418.

16. Cordon, R. P., Velarde, M. G. On the (non linear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid //J. Phys. France. 1975. Vol. 36, № 7-8. P. 591-601.

17. Cortese T., Balachandar S. Vortical nature of thermal plumes in turbulent convection // Physics of Fluids A. 1993. Vol. 5, № 12. P. 3226-3232.

18. Curry James H., Herring Jackson R., Loncaric Josip [et al.]. Order and disorder in two- and three-dimensional Benard convection // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1984. 04. Vol. 147. P. 1-38.

19. Deardorff J. W., Willis G. E. Investigation of turbulent thermal convection between horizontal plates // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1967. 03. Vol. 28, № 4. P. 675-704.

20. DeLuca E. E., Werne J., Rosner R. [et al.]. Numerical simulations of soft and hard turbulence: Preliminary results for two-dimensional convection // Phys. Rev. Lett. 1990. May. Vol. 64. P. 2370-2373.

21. Denton R.A., Wood I.R. Turbulent convection between two horizontal plates // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1979. Vol. 22, № 10. P. 13391346.

22. Falgout R. D. An Introduction to Algebraic Multigrid // Computing in Science and Engg. 2006. Vol. 8, № 6. P. 24-33.

23. Farhadieh R., Tankin R. S. Interferometric study of two-dimensional Benard convection cells // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1974. 03. Vol. 66, № 4. P. 739-752.

24. Fife P. C. The Benard Problem for general fluid dynamical equations and remarks on the Boussinesq approximation // Indiana Univ. Math. J. 1971. Vol. 20. P. 303-326.

25. Fitzjarrald Daniel E. An experimental study of turbulent convection in air // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1976. 03. Vol. 73, № 4. P. 693-719.

26. Fleischer A. S., Goldstein R. J. High-Rayleigh-number convection of pressurized gases in a horizontal enclosure // Journal of Fluid Mechanics. 2002. 10. Vol. 469. P. 1-12.

27. F.R.S. Lord Rayleigh O.M. LIX. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side // Philosophical Magazine Series 6. 1916. Vol. 32, № 192. P. 529-546.

28. Garon A. M., Goldstein R. J. Velocity and heat transfer measurements in thermal convection // Physics of Fluids. 1973. Vol. 16, № 11. P. 1818-1825.

29. Gertsenstein S. Y., Sibgatullin I. N. Bifurcations, Transition to Turbulence and Development of Chaotic Regimes for Double-diffusive Convection // WSEAS transactions on applied and theoretical mechanics. 2006. Vol. 1. P. 204-211.

30. Ghaly A.Y., Seddeek M.A. Chebyshev finite difference method for the effects of chemical reaction, heat and mass transfer on laminar flow along a semi infinite horizontal plate with temperature dependent viscosity // Chaos, Solitons and Fractals. 2004. Vol. 19, № 1. P. 61-70.

31. Goldhirsch Isaac, Pelz Richard B., Orszag Steven A. Numerical simulation of thermal convection in a two-dimensional finite box // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1989. 04. Vol. 199. P. 1-28.

32. Goldstein R. J., Graham D. J. Stability of a Horizontal Fluid Layer with Zero Shear Boundaries // Physics of Fluids. 1969. Vol. 12, № 6. P. 1133-1137.

33. Graham A. Shear Patterns in an Unstable Layer of Air // Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1934. Vol. 232, № 707-720. P. 285-296.

34. Griebel M., Dornseifer T., Neunhoeffer T. Numerical Simulation in Fluid Dynamics: A Practical Introduction. Monographs on Mathematical Modeling and Computation. Philadelphia, PA, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1998. 217 P.

35. Grotzbach Günther. Direct numerical simulation of laminar and turbulent Benard convection // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1982. 4. Vol. 119. P. 27-53.

36. Guo X., Lange M., Gorman G. [et al.]. Developing a scalable hybrid MPI/OpenMP unstructured finite element model // Computers and Fluids. 2015. Vol. 110, № 0. P. 227-234. ParCFD 2013.

37. Hansen U., Yuen D. A., Malevsky A. V. Comparison of steady-state and strongly chaotic thermal convection at high Rayleigh number // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. 1992. Vol. 46, № 8. P. 4742-4754.

38. Harlow Francis H., Welch J. Eddie. Numerical Calculation of Time-Dependent Viscous Incompressible Flow of Fluid with Free Surface // Physics of Fluids. 1965. Vol. 8, № 12. P. 2182-2189.

39. Hartlep T., Tilgner A., Busse F. H. Large Scale Structures in Rayleigh-Benard Convection at High Rayleigh Numbers // Phys. Rev. Lett. 2003. Aug. Vol. 91. P. 1-4.

40. Kerr Robert M. Rayleigh number scaling in numerical convection // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1996. 04. Vol. 310. P. 139-179.

41. Kerr Robert M., Herring Jackson R., Brandenburg Axel. Large-scale structure in Rayleigh-Benard convection with impenetrable sidewalls // Chaos, Solitons and Fractals. 1995. Vol. 5, № 10. P. 2047-2053.

42. Kimura Shigeo, Bejan Adrian. The "Heatline"Visualization of Convective Heat Transfer. 1983. 11. Vol. 105.

43. Krishnamurti R., Howard Louis N. Large-Scale Flow Generation in Turbulent Convection // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1981. Vol. 78, № 4. P. 1981-1985.

44. Kumar P., Markidis S., Lapenta G. [et al.]. High Performance Solvers for Implicit Particle in Cell Simulation // Procedia Computer Science. 2013. Vol. 18, № 0. P. 2251-2258. 2013 International Conference on Computational Science.

45. Kutateladze S. S., Berdnikov V. S. Structure of thermogravitational convection in flat variously oriented layers of liquid and on a vertical wall // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1984. Vol. 27, № 9. P. 1595-1611.

46. Liu Jian-Guo, Wang Cheng, Johnston Hans. A Fourth Order Scheme for Incompressible Boussinesq Equations // Journal of Scientific Computing. 2003. Vol. 18, № 2. P. 253-285.

47. Malevsky Andrei V. Spline-Characteristic Method for Simulation of Convective Turbulence // Journal of Computational Physics. 1996. Vol. 123, № 2. P. 466475.

48. Malevsky A. V., Yuen D. A. Characteristics-based methods applied to infinite Prandtl number thermal convection in the hard turbulent regime // Physics of Fluids A. 1991. Vol. 3, № 9. P. 2105-2115.

49. Malkus W. V. R. Discrete Transitions in Turbulent Convection // Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1954. Vol. 225, № 1161. P. 185-195.

50. Meyer B. Elemental sulfur // Chemical Reviews. 1976. Vol. 76, № 3. P. 367387.

51. Mihaljan J. M. A rigorous exposition of the Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid //J. Astrophys. 1962. Vol. 136, № 5. P. 1126-1144.

52. Niemela J. J., Skrbek L., Sreenivasan K. R. [et al.]. Turbulent convection at very high Rayleigh numbers // Nature. 2000. Vol. 404, № 20. P. 837-840.

53. Niemela J. J., Sreenivasan K. R. Turbulent convection at high Rayleigh numbers and aspect ratio 4 // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 2006. 006. Vol. 557. P. 411-422.

54. Oberbeck A. Ueber die Warmeleitung der Flüssigkeiten bei Berücksichtigung der Strömungen infolge von Temperaturdifferenzen // Annalen der Physik. 1879. Vol. 243, № 6. P. 271-292.

55. Ouertatani N., Cheikh Nader Ben, Beya Brahim Ben [et al.]. Numerical simulation of two-dimensional Rayleigh-Benard convection in an enclosure // Comptes Rendus Mecanique. 2008. Vol. 336, № 5. P. 464-470.

56. Palm Enok. On the tendency towards hexagonal cells in steady convection // Journal of Fluid Mechanics. 1960. Vol. 8, № 2. P. 183-192.

57. Patankar C. V., Spalding D.B. A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows // Int. J. Heat Mass Transfer. 1972. Vol. 15. P. 1787.

58. Pearson J.R.A., Shah Y.T., Vieira E.S.A. Stability of non-isothermal flow in channels—I. Temperature dependent Newtonian fluid without heat generation // Chemical Engineering Science. 1973. Vol. 28, № 11. P. 2079-2088.

59. Perera P. S., Sekerka R. F. Nonsolenoidal flow in a liquid diffusion couple // Physics of Fluids. 1997. Vol. 9, № 2. P. 376-391.

60. Rigatos A.P., Charalambakis N.C. Two-dimensional adiabatic Newtonian flow with temperature-dependent viscosity // International Journal of Engineering Science. 2001. Vol. 39, № 10. P. 1143-1165.

61. Schneck Paul, Veronis George. Comparison of Some Recent Experimental and Numerical Results in Benard Convection // Physics of Fluids. 1967. Vol. 10, № 5. P. 927-930.

62. Schubert Gerald, Anderson Charles A. Finite element calculations of very high Rayleigh number thermal convection // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society. 1985. Vol. 80, № 3. P. 575-601.

63. Shang Xiao-Dong, Xia Ke-Qing. Scaling of the velocity power spectra in turbulent thermal convection // Phys. Rev. E. 2001. Nov. Vol. 64. P. 065301.

64. Sherman F.S. Viscous Flow. McGraw-Hill series in mechanical engineering. McGraw-Hill, 1990. 746 P.

65. Shishkina O., Wagner C. Analysis of thermal dissipation rates in turbulent Rayleigh-Benard convection // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 2005. 12. Vol. 546. P. 51-60.

66. Shuai X., Meisen A. New correlations predict physical properties of elemental sulfur // Oil and Gas Journal. 1995. Vol. 93, № 42.

67. Sibgatullin I. N., Gertsenstein S. Ja., Sibgatullin N. R. Some properties of two-dimensional stochastic regimes of double-diffusive convection in plane layer // Chaos. 2003. Vol. 13, № 4. P. 1231-1241.

68. Thomas D. B., Townsend A. A. Turbulent convection over a heated horizontal surface // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1957. 03. Vol. 2, № 5. P. 473-492.

69. Tippelskirch H.V. Über Konvektionszellen, insbesondere im flüssigen Schwefel. 1956. 01. Vol. 29. P. 37-54.

70. Travis Bryan, Olson Peter, Schubert Gerald. The transition from two-dimensional to three-dimensional planforms in infinite-Prandtl-number thermal convection // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 1990. 04. Vol. 216. P. 71-91.

71. van Reeuwijk M., Jonker H. J. J., Hanjalic K. Identification of the wind in Rayleigh-Benard convection // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17, № 5. P. 1-4.

72. Velarde, M. G., Cordon, R. P. On the (non-linear) foundations of boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid. (II). viscous dissipation and large cell gap effects //J. Phys. France. 1976. Vol. 37, № 3. P. 177-182.

73. Verzicco Roberto, Camussi Roberto. Numerical experiments on strongly turbulent thermal convection in a slender cylindrical cell // Journal of Fluid Mechanics. Cambridge, UK, 2003. 03. Vol. 477. P. 19-49.

74. Vincent Alain P., Yuen David A. Plumes and waves in two-dimensional turbulent thermal convection // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 1999. 9. Vol. 60, № 3. P. 2957-2963.

75. Vincent Alain P., Yuen David A. Transition to turbulent thermal convection beyond Ra = 1010 detected in numerical simulations // Phys. Rev. E. 2000. May. Vol. 61. P. 5241-5246.

76. Wilson S.K., Duffy B.R. On the gravity-driven draining of a rivulet of fluid with temperature-dependent viscosity down a uniformly heated or cooled substrate // Journal of Engineering Mathematics. 2002. Vol. 42, № 3. P. 359372.

77. Wu Xiao-Zhong, Kadanoff Leo, Libchaber Albert [et al.]. Frequency power spectrum of temperature fluctuations in free convection // Phys. Rev. Lett. 1990. Apr. Vol. 64. P. 2140-2143.

78. Wu Xiao-Zhong, Libchaber Albert. Scaling relations in thermal turbulence: The aspect-ratio dependence // Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics. 1992. Vol. 22, № 2. P. 842-845.

79. Yanenko N. N. The method of fractional steps: the solution of problems of mathematical physics in several variables. Springer-Verlag, 1971. 160 P.

80. Yang Hongxing, Zhu Zuojin. Numerical simulation of turbulent Rayleigh-Benard convection // International Communications in Heat and Mass Transfer. 2006. Vol. 33, № 2. P. 184-190.

81. Алтунина Л. К., Кувшинов В. А. Увеличение нефтеотдачи пластов композициями ПАВ. Новосибирск: Наука, 1995. 198 с.

82. Алтунина Л. К., Кувшинов В. А., Стасьева Л. А. [и др.]. Применение термообратимых полимерных гелей для увеличения охвата при паротепло-вом воздействии на залежи высоковязких нефтей //Сб. трудов СО РАН.

Теоретические и прикладные основы физико-химического регулирования свойств нефтяных дисперстных систем. 4. III. Томск. 2001. С. 3-12.

83. Алтунина Л. К., Кувшинов В. А., Стасьева Л. А. [и др.]. Растворы полимеров с нижней критической температурой растворения в технологиях увеличения нефтеотдачи // Нефтехимия. 1999. Т. 39, № 1. С. 42-47.

84. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. М.: Мир, 1990. 728 с.

85. Андреев В. К., Гапоненко Ю. А., Гончарова О. Н. [и др.]. Современные математические модели конвекции. М.: Физматлит, 2008. 368 с.

86. Аристов С. Н. Стационарное течение жидкости с переменной вязкостью // Доклады академии наук. 1998. Т. 359, № 5. С. 331-344.

87. Аристов С. Н., Зеленина В. Г. Влияние теплообмена на пуазейлевское течение термовязкой жидкости в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 2. С. 75-80.

88. Базаров И. П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991. 376 с.

89. Бармин А. А., Мельник О. Э. Течение загазованной магмы в канале вулкана // Известия РАН, сер. МЖГ. 1990. № 5. С. 35-40.

90. Бармин А. А., Мельник О. Э. Об особенностях динамики извержения сильновязких газонасыщенных магм // Известия РАН, сер. МЖГ. 1993. № 2. С. 49-60.

91. Бармин А. А., Мельник О. Э. Гидродинамика вулканических извержений // Успехи механики. 2002. № 1. С. 32-60.

92. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1989. 254 с.

93. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1994. 448 с.

94. Бердников В. С. Гидродинамика и теплообмен при вытягивании кристаллов из расплавов. Часть 1: экспериментальные исследования режима свободной конвекции // Изветия Высших учебных заведений. Материалы электронной техники. 2007. № 4. С. 19-26.

95. Бердников В. С. Гидродинамика и теплообмен при вытягивании кристаллов из расплавов. Часть 2: численные исследования режима свободной конвекции // Изветия Высших учебных заведений. Материалы электронной техники. 2007. № 3. С. 4-17.

96. Берковский Б. М., Полевиков В. К. Вычислительный эксперимент в конвекции. Минск: Университетское, 1988. 168 с.

97. Библиотека решателей High performance preconditioners. Адрес доступа: http://computation.llnl.gov/project/linear_solvers/ (дата обращения 1.08.2017). Biblioteka reshatelei (High performance preconditioners). Available at: http://computation.llnl.gov/project/linear_solvers/ (accessed 1.08.2017).

98. Боришавский В. М., Кутателадзе С. С., Новиков И. И. [и др.]. Жидкоме-таллические теплоносители. Изд. 3-е. М.: Атомиздат, 1976. 328 с.

99. В.И. Полежаев, М.С. Белло, Н.А. Верезуб [и др.]. Конвективные процессы в невесомости. М.: Наука, 1991. 240 с.

100. Ван-цзу Янг. Конвективный теплообмен при вынужденном ламинарном течении жидкостей в трубах в случае переменной вязкости // Теплопередача. 1962. № 4. С. 95-105.

101. Воеводин А. Ф. Метод расчета вязких течений в замкнутых областях // Сиб. журн. индустриальной математики. 2001. Т. 4, № 1. С. 29-37.

102. Воеводин А. Ф., Гончарова О. Н. Расчет свободной конвекции при изменяющемся поле силы тяжести // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. АН СССР. Ин-т гидродинамики СО РАН. 1984. № 67. С. 21-28.

103. Гебхарт В., Джалурия И., Махаджан Р. [и др.]. Свободноконвективные течения, тепло и массообмен. В 2-х книгах, кн. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 678 с.

104. Гебхарт В., Джалурия И., Махаджан Р. [и др.]. Свободноконвективные течения, тепло и массообмен. В 2-х книгах, кн. 2. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 528 с.

105. Герценштейн С. Я., Родичев Е. Б., Шмидт В. М. Взаимодействие трехмерных волн во вращающемся горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу // Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 3. С. 545-548.

106. Герценштейн С. Я., Шмидт В. М. Нелинейное взаимодействие конвективных волновых движений и возникновение турбулентности во вращающемся горизонтальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 2. С. 9-15.

107. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

108. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.

109. Гетлинг А. В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара // УФН. 1991. Т. 161, № 9. С. 1-80.

110. Гетлинг А. В. Конвекция Рэлея-Бенара. Структуры и динамика. М.: Эди-ториал УРСС, 1999. 248 с.

111. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа: В2-х ч. Ч. II. М.: физматлит, 2002. 464 с.

112. Ильясов А. М., Моисеев К. В., Ф. Урманчеев С. Численное моделирование термоконвекции жидкости с квадратичной зависимостью вязкости от температуры // Сиб. журн. индустр. матем. 2005. Т. 8, № 4. С. 51-59.

113. Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Течение жидкостей с температурной аномалией вязкости // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 3. Уфа: Гилем, 2003. С. 232-245.

114. Кулешов В. С. Стационарные режимы конвекции жидкости с гауссовской зависимостью вязкости от температуры // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН. 2016. Т. 11, № 2. С. 218-225.

115. Кулешов В. С., Моисеев К. В. Численное моделирование тепломассопе-реноса жидкости с учетом температурной вязкости и неньютоновских свойств жидкости. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016615950. Зарегистрировано в Реестре программ ЭВМ 02 июня 2016 г.

116. Кулешов В. С., Моисеев К. В. Численное исследование конвекции жидкости с гауссовской зависимостью вязкости от температуры // Тезисы докладов VIII Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова и Всероссийской молодежной школы-конференции (Абрау-Дюрсо, 5-10 сентября 2016 г.). 2016. С. 59-60.

117. Кулешов В. С., Моисеев К. В. Численное моделирование конвективных течений аномально термовязкой жидкости // Вестник УГАТУ. 2016. Т. 20, № 2(72). С. 74-80.

118. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Урманчеев С. Ф. Изолированные режимы течений при конвекции аномально термовязкой жидкости // Волны и вихри в сложных средах: 8-ая международная научная школа молодых ученых; 7-9 ноября 2017 г., Москва: Сборник материалов школы. М.: ИПМех РАН. 2017. С. 95-99.

119. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Урманчеев С. Ф. Периодические структуры при конвекции аномально термовязкой жидкости // Вестник БашГУ. 2017. Т. 22, № 2. С. 297-302.

120. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф. [и др.]. Особенности конвективных течений аномально термовязкой жидкости // Математическое моделирование. 2017. Т. 29, № 5. С. 16-26.

121. Кулешов В. С., Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф. [и др.]. Численное моделирование конвективных течений аномально термовязкой жидкости // Мавлютовские чтения. Материалы Российской научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корр. РАН, д-ра техн. наук, профессора Р. Р. Мавлютова. 2016. Т. 4. С. 72-76.

122. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. VI. Гидродинамика. - 5-е изд., стереот. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 736 с.

123. Лейбензон Л. С. О движении подогретой вязкой жидкости // М: Изд. АН СССР. Сборник трудов. Т. III. Нетепромысловая механика. 1955. С. 22-68.

124. Лекае В. М., Елкин Л. Н. Физико-химические и тепрмодинамические константы элементарной серы. М.: МХТИ им. Д. И. Менделеева, 1964. 161 с.

125. Лихачев Е. Р. Зависимость вязкости воды от температуры и давления // журнал технической физики. 2003. Т. 73, № 4. С. 135-136.

126. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. 676 с.

127. Малышев В.Л., Моисеев К.В., Моисеева Е.Ф. Режимы течения слоя жидкости при смешанной конвекции // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 8. Уфа: Нефтегазовое дело, 2011. С. 124132.

128. Малышев В. Л., Моисеев К. В., Моисеева Е. Ф. Влияние распределения температуры по периметру границы на характер течения в конвективной ячейке Рэлея-Бенара // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 8. Уфа: Нефтегазовое дело, 2011. С. 116-123.

129. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

130. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. 262 с.

131. Мовсеенко В. Б. Качественные методы исследования задач конвекции вязкой слабо сжимаемой жидкости. Ph.D. thesis: Киев: Институт математики НАН Украины. 1998. 280 с.

132. Моисеев К. В. Влияние угла наклона полости на теплообмен при свободной конвекции аномально термовязкой жидкости // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 4. Уфа: Гилем, 2006. С. 166-173.

133. Моисеев К. В. Влияние финкциональной зависимости вязкости от температуры насвободную конвекцию жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук:

01.02.05: защищена 19.06.2009/ Моисеев Константин Валерьевич. Тюмень, 2009. 113 с. Ph.D. thesis. 2009.

134. Моисеев К. В., Ильясов А. М. Исследование чисел Нуссельта при конвекции термовязких жидкостей // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. Вып. 6. Уфа: Нефтегазовое дело, 2008. С. 127-131.

135. Моисеев К. В., Хизбуллина С. Ф., Бахтизин Р. Н. [и др.]. Математические модели термогравитационной конвекции неоднородной жидкости // «Нефтегазовое дело». 2017. Т. 15, № 2. С. 165-170.

136. Мягков Л. В., Поляк В. Я.а^ Головко А. Б., Лекае В. М. Исследование тепло- и массообмена при кондексации серы из серогазовой смеси. Обзорная информация. Серия «Энерготехнологические процессы в химической промышленности». М.: НИИТЭхим, 1979. 40 с.

137. Низамова А. Д., Киреев В. Н., Урманчеев С. Ф. Об устойчивости ламинарного режима течения термовязких жидостей // Вестник ТюмГУ. Физ-мат. моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2015. Т. 1, № 2(2). С. 104-111.

138. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 661 с.

139. Остроумов Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. 286 с.

140. Палымский И. Б. Численное исследование спектров трехмерной конвекции Рэлея-Бенара // Известия РАН СССР. ФАО. 2009. Т. 45, № 5. С. 691-699.

141. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов П. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

142. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергофизмат, 1984. 152 с.

143. Петухов Б. С., Генин Л. Г., Ковалев С. А. [и др.]. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Издательство МЭИ, 2003. 548 с.

144. Полежаев В. И., Буне А. В., Верезуб Н. А. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравний Навье—Стокса. М.: Наука, 1987. 274 с.

145. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Верезуби А. В. [и др.]. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М: Наука, 1987. 272 с.

146. Полежаев В. И., Яремчук В. П. Численное моделирование двумерной нестационарной конвекции в горизонтальном слое, подогреваемом снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 2001. № 4. С. 34-45.

147. Пухначев В. В. Модель конвективного течения при пониженной гравитации // Моделирование в механике. 1992. Т. 6, № 4. С. 47-56.

148. Пухначев В. В. Микроконвекция в вертикальном слое // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 1994. № 5. С. 76-84.

149. Родичева О. В., Родичев Е. Б. О двумерной турбулентности в задаче Рэлея-Бенара // Докл. АН СССР. 1998. Т. 359, № 4. С. 486-489.

150. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 618 с.

151. Самарский А. А. Теория разностных схем. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1983. 616 с.

152. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит, 1989. 432 с.

153. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 351 с.

154. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1990. 233 с.

155. Тарунин Е. Л. Нелинейные задачи тепловой конвекции: избранные труды. Пермь: Изд-во ПГУ, 2002. 213 с.

156. Тычков С. А., Червов В. В., Черных Г. Г. Численная модель трехмерной конвекции в верхней мантии Земли // Физика Земли. 2005. № 5. С. 48-64.

157. Урманчеев С. Ф. Гидродинамические эффекты в термовязких и пористых средах: дис. докт. физ.-мат. наук: 01.02.05: защищена 28.12.2004/ Урманчеев Саид Федорович. Уфа, 2004. 277 с. Ph.D. thesis. 2004.

158. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н. Установившееся течение жидкости с температурной аномалией вязкости // Доклады академии наук. 2004. Т. 396, № 2. С. 204-207.

159. Урманчеев С. Ф., Киреев В. Н., Везиров Р. Р. Численное исследование течения жидкости с аномальной вязкостью // Нефтепереработка и нефтехимия. 1997. № 8. С. 21-25.

160. Фабелинский И. Л. О макроскопической и молекулярной сдвиговой вязкости // Успехи изических наук. 1997. Т. 167, № 7. С. 721-733.

161. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 2. М.: Мир, 1991. 552 с.

162. Фогельсон Р. Л., Лихачев Е. Р. Температурная зависимость вязкости // журнал технической физики. 2001. Т. 71, № 8. С. 128-131.

163. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Ленинград: Наука, 1975. 592 с.

164. Хизбуллина С. Ф. Численное исследование течения жидкости с немонотонной зависимостью вязкости от температуры // Вестник Башкирского университета. 2006. Т. 11, № 2. С. 22-25.

165. Черных Г. Г. Введение в численное моделирование свободных турбулентных течений: учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1996. 84 с.

166. Шаммазов А. М., Е. Кутуков С., др. и. Комплексное исследование релоло-гических и адгезионных свойств нефтей в диапазоне температур кристаллизации // Известия ВУЗов. Нефть и газ. 1998. № 4. С. 63-73.

167. Шарый С. П. Курс вычислительных методов. Новосибирск, 2015. 508 с.