Численное исследование микроскопической модели ядро-ядерных взаимодействий при промежуточных энергиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Лукьянов, Константин Валерьевич

• Лукьянов, Константин Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукьянов, Константин Валерьевич

Введение

Глава 1. Модель ядро-ядерных взаимодействий на основе ВЭП и МДФ

1.1. Введение.

1.2. Моделирование ядро-ядерных взаимодействий в рамках ВЭП

1.3. Построение микроскопического потенциала двойного фолдинга

1.3.1. Прямой потенциал фолдинга.

1.3.2. Обменный потенциал.

1.3.3. Импульсное представление.

1.4. Потенциал взаимодействия с коллективными состояниями ядра

1.4.1. Прямой потенциал перехода.

1.4.2. Обменный потенциал перехода.

Глава 2. Метод вычисления и программная реализация

2.1. Расчет прямого потенциала фолдинга.

2.2. Расчет обменного потенциала фолдинга.

2.3. Формфакторы плотностей.

2.3.1. Функция Гаусса.

2.3.2. Функция ступеньки.

2.3.3. Симметризованная ферми-функция.

2.4. iViV-потенциалы.

2.4.1. Потенциал Юкавы.

2.4.2. Параметры NN-потенциалов.

2.4.3. Потенциал M3Y-Reid.

2.4.4. Потенциал M3Y-Paris.

2.5. Программная реализация; тестовые расчеты.

Глава 3. Моделирование упругого и неупругого рассеяния ядер ядрами при энергиях порядка 100 МэВ на нуклон налетающего ядра

3.1. Упругое рассеяние 160 на ядрах при Е=94 МэВ/нуклон

3.1.1. Расчеты сечений с микропотенциалами.

3.1.2. Построение перенормированных микроскопических потенциалов.

3.2. Упругое рассеяние 170 на ядрах при Е=84 МэВ/нуклон

3.3. Неупругое рассеяние 170 на ядрах.

Глава 4. Микроскопический анализ полных сечений реакций изотопов гелия и лития с кремнием при энергии 5-50 МэВ/нуклон

4.1. Мотивация.

4.2. Особенности численного моделирования и результаты вычислений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование микроскопической модели ядро-ядерных взаимодействий при промежуточных энергиях»

Моделирование ядро-ядерных взаимодействий является актуальной задачей, связаной как с решением фундаментальных проблем современной физики, так и с прикладными исследованиями в области- ядерной энергетики. К таковым можно отнести изучение механизмов взаимодействия ядер в области низких энергий столкновения порядка десятков МэВ на нуклон падающего ядра, знание которых может помочь выбрать опимальные условия по энергии и составу сталкивающихся ядер для получения цепочек сверхтяжелых нуклидов на границе области их стабильности и поиска "островов стабильности" за пределами этих границ [1]. При промежуточных энергиях порядка сотен МэВ/нуклон важным является создание вычислительных программ моделирования механизма взаимодействия ядер (каскадно-испарительная модель [2], ядерная модель квази-молекулярной динамики [3, 4] и др.), расчета сечений рассеяния, полных сечений реакций и фрагментации ядер, что в свою очередь необходимо для разработки ряда систем ядерной энергетики, включая электро-ядерные установки и установки для преобразования радиоактивных материалов в радиационно безопасные продукты [5]. При высоких и свехвысоких энергиях столкновения ядер ставятся задачи изучения свойств ядерного вещества в условиях сильного сжатия и высокой температуры, включая поиски фазовых переходов нуклоп-мезонной составляющей в состояние кварк-глюонной материи, а также фазы с восстановленной киральной симметрией (см., например, [6]).

При моделировании процессов взаимодействия ядер при промежуточных энергиях столкновения в качестве основы изучения механизма столкновения ставится задача исследования упругого и неупругого рассеяния ядер, процессов, наиболее чувствительных к геометрическим размерам ядер и потенциалу их взаимодействия. И что более существенно, эти процессы весьма чувствительны к внутренней структуре ядер (например, плотности распределения нуклонов в ядрах) и к характерным свойствам нуклон-нуклонных взаимодействий в ядерном веществе, когда в области перекрытия ядер достигается плотность вплоть до удвоенной плотности ядерного вещества. Что касается распределения плотности ядер, то одним из фундаментальных достижений последнего времени в этой области является открытие протяженных "хвостов" (гало) в распределениях нейтронной и протонной плотности легких радиоактивных ядер, которые далеко выступают за пределы их характерных радиусов R ~А1//3 [7, 8]. А детальное изучение дифференциальных сечений упругого рассеяния альфа-частиц и ядер р-оболочки с ядрами привело к открытию явления "ядерной радуги что в свою очередь вызвало необходимость вводить эффективные нуклон-нуклонные силы, зависящие как от плотности ядерной среды в области взаимного проникновения ядер, так и от энергии столкновения ядер [9, 10].

Для получения такого рода информации о структуре ядер и ядерной материи требуется детальное знание механизма их взаимодействия и, в первую очередь, требует построения ядро-ядерных оптических потенциалов и математического моделирования на этой основе наблюдаемых характеристик взаимодействия. Надо отметить, что традиционная оптическая модель рассеяния нуклонов и альфа-частиц ядрами, которая вводит макроскопический многопараметрический комплексный потенциал взаимодействия Uopt{r) — V(r) + iW(r), не справляется с такой задачей. Более того, при ее обобщении на случай ядро-ядерного взаимодействия она сталкивается с серьезной трудностью неоднозначности параметров потенциала. Дело в том, что сама проблема поиска оптимального ряда значений параметров задачи на основе х2~ подгонки к ограниченному набору экспериментальных данных относится к классу некорректно поставленных задач и требует для своего решения введения, вообще говоря, внешних (физически обоснованных) ограничений на пределы возможных изменений искомых функций [11]. В условиях постановки, когда необходима подгонка феноменологических потенциалов с явно не определенными ограничениями их формы и области изменения самих параметров, получается ряд разных наборов параметров, которые эквивалентны друг другу в смысле полученных значений \2- Выход из положения естественно искать в построении микроскопических моделей взаимодействия ядер, построенных на основе уже полученных из независимых экспериментов данных, таких как функции распределения плотности ядер и потенциалы нуклон-нуклонного взаимодействия.

В настоящее время имеется достаточно хорошо разработанная полумикроскопическая модель оптического потенциала. В ней вещественная часть рассчитывается на основе микроскопической модели двойного фолдинга (МДФ) [12, 13, 14], а мнимая часть W(r) остается феноменологической и выбирается обычно в типичной форме вудс-саксоновского потенциала с тремя или более параметрами. Таким образом, та часть задачи, которая связана с необходимостью подгонки параметров мнимого потенциала, остается до конца нерешенной.

Естественно попытаться построить на микроскопической основе также и мнимую часть потенциала. Здесь весьма глубокие исследования были проведены в работах [15] (там же другие ссылки). Однако на этом пути при расчете мнимой части оптического потенциала задача упирается в значительные трудности, связанные с необходимостью использовать информацию о всех других каналах реакций, например, о реакциях передачи нуклонов ядрами, о реакциях фрагментации ядер, о возбуждении ядер с переходами в область непрерывного спектра и других. Но подойти к этой задаче можно по-другому, а именно использовать как основу микроскопическую теорию многократного дифракционного рассеяния (МДР) Глаубера и Ситенко [16, 17], которая опирается на высокоэнергетическое (эйкональное) приближение теории рассеяния (ВЭП), и которая в так называемом оптическом пределе приводит к явным выражениям для фазы, амплитуды и сечения рассеяния. В этом плане остается сделать необходимый шаг и попытаться построить в рамках ВЭП не только фазу, но и потенциал ядро-ядерного рассеяния. А поскольку для ВЭП-фазы известно как ее определение через потенциал, так и выражение на микроскопической основе МДР, то адекватный микроскопический оптический потенциал должен содержать и вещественную и мнимую часть одновременно.

Решению этой актуальной задачи - построению такого рода модели микроскопического оптического потенциала ядро-ядерного взаимодействия, разработке программного обеспечения для его расчета, а также численному анализу на этой основе имеющегося экспериментального материала, -посвящена данная диссертация.

Таким образом, главными целями работы являются:

1. В рамках микроскопической модели ВЭП получить выражения для вещественной и мнимой части оптического ядро-ядерного потенциала. Разработать аналитическую базу для расчета ВЭП- и МДФ-потенциалов.

2. Разработать комплекс программ для вычисления микроскопического ядро-ядерного потенциала с учетом современных представлений об эффективных нуклон-нуклонных потенциалах взаимодействия. Провести тестовые расчеты с целью проверки достоверности, оценки точности, выбора вычислительных параметров.

3. На основе разработанного метода и комплекса программ рассчитать микроскопические потенциалы взаимодействий стабильных ядер и экзотических нейтронно-избыточных ядер со стабильными ядрами. Выполнить численное исследование микроскопической модели ядро-ядерных взаимодействий, объединяющей ВЭП- и МДФ-потенциалы в применении к упругому и неупругому рассеянию ядер.

4. Сравнить рассчитанные наблюдаемые характеристики ядро-ядерного рассеяния с теми, которые получаются на эксперименте, оценить применимость указанной модели путем сравнения с другими подходами при описании ядро-ядерных взаимодействий при энергии столкновения в диапазоне 10-100 МэВ на нуклон налетающего ядра.

Кратко изложим содержание диссертации.

В Главе 1 излагается микроскопическая модель для расчета оптического ядро-ядерного потенциала, объединяющая подходы ВЭП и МДФ. Движение налетающего ядра с кинетической энергией Е в поле потенциала U описывается уравнением Шредингера с комплексным (оптическим) потенциалом U = V + iW. Вообще говоря, исходное уравнение является нелинейным, но его обычно упрощают и сводят проблему к решению двух независимых задач, а именно, 1) к построению сначала микроскопического потенциала как суммы нуклон-нуклонных потенциалов vnn, усредненной по распределениям плотностей нуклонов в налетающем ядре и ядре-мишени, и 2) к решению уравнения на базе полученного таким образом потенциала U(г).

В такой постановке для вещественной части искомого потенциала наиболее адекватной является модель двойного фолдинга (МДФ). [12]-[14]. Мнимую часть потенциала, а также (как вариант) и вещественную часть, можно получить в микроскопической ВЭП теории рассеяния: Uopt = VH + iWH, который адекватно воспроизводит фазу микроскопической теории рассеяния в ее оптическом пределе. Явный вид потенциалов Vя и WH был получен в [А1] сравнением эйконального выражения для ВЭП-фазы рассеяния с тем, что дает теория Глаубера-Ситенко [16, 17] в приближении оптического предела многократного дифракционного рассеяния нуклонов одного ядра нуклонами другого ядра.

Сочетание моделей МДФ для вещественной части VDF и ВЭП для мнимой части WH позволяет исключить феноменологические параметры формы потенциала, а также получить его явную зависимость от энергии Е, зарядов ядер Z и их атомных весов А. Эти потенциалы определяются входными данными, а именно формфакторами распределения плотности точечных нуклонов ядер и амплитудой NN-рассеяния, а также полным сечениям NN-рассеяния g^n и отношениям действительной к мнимой части амплитуды NN-рассеяния вперед olnn, усредненными по изоспинам ядер. Значения этих величин известны из независимых экспериментов.

При расчете в МДФ вещественного потенциала VDF(r) учитывается фактор F(p) = С( 1 + ае~Рр + 7р) влияния ядерной среды с плотностью р на эффективный нуклон-нуклонный потенциал взаимодействия vnn в его современной интерпретации.

В этой главе даны математические выкладки, приводящие потенциал VDF, состоящий из прямой и обменной части, к аналитическому виду, пригодному для дальнейшего численного исследования. Указывается на причину нелинейности задачи, состоящую в том, что локальный импульс относительного движения, входящий в определение VEX, сам зависит от ядерного потенциала. Приводятся все необходимые выражения для вещественной VDF части МДФ-потенциала наряду с Vй и WH ВЭП-потенциалами, а также эффективные iViV-потенциалы в виде суммы потенциалов Юкавы. Рассмотрено обобщение потенциалов на случай неупругого взаимодействия, где вычисляются переходные потенциалы фолдинга, для чего вместо плотности ядра р под интегралы фолдинга вводятся переходные плотности rdp/dr. Приведены аналитические выражения для известных параметризаций функций плотности.

Глава 2 посвящена методу расчета микроскопических потенциалов. Излагается итерационный метод вычисления МДФ потенциала на основе формул главы 1, дано описание программы DFM-POT, представлены результаты тестовых расчетов [А2].

Расчет прямого потенциала МДФ, а также потенциалов ВЭП сводится к вычислению соответствующих интегралов, аналитические выражения для которых были получены в первой главе. В расчетах использована равномерная дискретная сетка; численное интегрирование проводилось с помощью квадратурной формулы Симпсона. Основная трудность - численное решение нелинейного интегрального уравнения для вычисления обменного потенциала - преодолевалась с использованием метода последовательных приближений.

В главе дано описание разработанной автором программы DFM-РОТ, реализующей построение ядро-ядерного потенциала на основе МДФ. В качестве проверки правильности ее работы приводится сравнение рассчитанных потенциалов с численными результатами других авторов, а также тестовые расчеты на последовательностях сгущающихся сеток и расширяющихся интервалов интегрирования [А2].

В программе предусмотрена возможность работы с функцией распределения плотности ядерной материи, заданной как в аналитическом виде, так и в виде таблицы, которая вводится с внешнего носителя. Реализована возможность расчетов с использованием NN-потенциалов двух типов, наиболее применяемых в литературе.

В Главе 3 приводятся результаты моделирования упругого и неупругого рассеяния ядер ядрами при энергиях порядка 100 МэВ на нуклон налетающего ядра с использованием изложенной модели построения потенциалов. Потенциалы двойного фолдинга рассчитывались с помощью программы DFM-POT [АЗ]-[Аб|. Расчет самих сечений проведен с помощью программы ECIS [18], реализующей метод связанных каналов. На рисунках, приведенных в главе, показано, что использование разработанной в Главе 1 микромодели оптического потенциала получает хорошее согласие с экспериментом без введения феноменологических параметров. При этом согласие улучшается до значений х2 — 1-5, если дополнительно включить факторы, перенормирующие глубину вещественной и/или мнимой части микропотенциала.

Обобщение метода построения потенциалов МДФ на случай неупругого рассеяния [А7],[А8] позволило рассчитать дифференциальные сечения неупругого рассеяния 170 на различных ядрах-мишенях при энергии 84 МэВ на нуклон с возбуждением в них низколежащего вращательного 2+ -уровня. Показано, что рассчитанные с помощью программы DFM-POT потенциалы приводят к соответствующим дифференциальным сечениям неупругого рассеяния 170 на ряде ядер в хорошем согласии с имеющимися экспериментальными данными. При этом получены важные структурные характеристики ядра - параметры деформации fa■

Четвертая глава посвящена микроскопическому анализу полных сечений реакций экзотических ядер 6Не и 6Li с ядром 28Si при энергии 5-50 МэВ/нуклон. На основе рассчитанных с помощью программы DFM-POT оптических потенциалов и последующих расчетов полных сечений с помощью программы DWUCK4 [19] получена зависимость полных сечений реакции

6He,6Li -f 28Si от энергии в сравнении с экспериментальными данными. Сделан вывод о необходимости учитывать в оптическом потенциале члены, обязанные происхождением коллективной природе внутренних возбуждений ядер [А9, А10].

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации, на основании которых сделаны и обсуждаются соответствующие выводы. В результате численного исследования продемонстрирована применимость моделей микроскопического оптического потенциала для описания основных характеристик ядро-ядерных взаимодействий. Показано, что рассчитанные потенциалы обеспечивают согласие с имеющимися экспериментальными данными. Разработанный метод и комплекс программ для расчета потенциала двойного фолдинга, может быть использован для решения других задач. В частности, модель применима и для нуклон-ядерных взаимодействий, например, для моделирования упругого рассеяния протонов на нейтронно-избыточных изотопах гелия.

В основу диссертации положены работы, выполненные в 2003-2007 года в Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований совместно с Лабораторией теоретической физики ОИЯИ. Основные результаты докладывались на семинарах ОИЯИ, а также представлялись и докладывались на международных конференциях: 56-я Межд. конф. по проблемам ядерной спектроскопии и структуре ядра (4-9 сентября 2006г., Саров); Межд. симпозиум по экзотическим ядрам EXON-2006 (Ханты-Мансийск, 17-22 июля 2006г.); 25th Int. Workshop on Nuclear Theory (June 26 - July 1, 2006, Rila Mountains, Bulgaria); X Научная конференция молодых ученых и специалистов (Дубна, 6-11 февраля 2006г.); 17 Межд. Балдинский семинар по проблемам физики высоких энергий (7 сентября - 1 октября, Дубна, 2004).

По результатам диссертации опубликовано 10 работ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Лукьянов, Константин Валерьевич

4.3. Основные выводы

Отметим, что полумикроскопические оптические потенциалы вида (4.4),(4.5) нуждаются в дальнейшем улучшении с целью исключения свободных параметров и получения таким образом их полностью микроскопической интерпретации. В этой связи физическая природа "бампа" полного сечения реакции 6He+28Si при энергиях ~ 10 МэВ над кулоновским барьером еще ждет своего объяснения. В частности, получение экспериментальных данных по угловым распределениям в упругом канале могло бы снизить неоднозначность фитирования параметров микроскопических оптических потенциалов.

Микроскопические модели ядро-ядерных оптических потенциалов не имеют свободных параметров. Они строятся на основе физических характеристик, определяющих структуру взаимодействующих ядер и эффективных нуклон-нуклонных сил в ядерной среде. Мы рассмотрели возможность описания с помощью микроскопических потенциалов фолдинга экспериментальных данных по полным сечениям реакций 6He+28Si и 6Li+28Si. Показано, что небольшая перенормировка потенциалов путем введения двух параметров позволяет объяснить данные экспериментов при относительно больших энергиях Е > 15 МэВ/нуклон. В этой области энергий сечения, вычисленные на основе нескольких известных моделей налетающего ядра, оказываются близкими между собой. В то же время наблюдается заметное расхождение расчетов с экспериментом в области низких энергий, что требует дальнейших исследований. Использование микроскопического кулоновского потенциала не привело к улучшению результатов в этой области энергий. Напомним здесь, что, вообще говоря, обычные потенциалы фолдинга учитывают только одночастичные распределения плотности взаимодействующих ядер, в то время как эффекты других каналов, связанных с коллективными ядерными возбуждениями и реакциями передачи нуклонов, могут также играть роль во взаимодействии ядер. Эти эффекты были приближенно учтены путем добавления к базовому "объемному" потенциалу производных от потенциалов фолдинга, в результате чего удалось добиться довольно хорошего согласия с экспериментом при низких энергиях. Таким образом, можно заключить, что дальнейшее развитие теории микроскопической теории реакций с экзотическими ядрами предпочтительнее, нежели простое использование феноменологических потенциалов. При этом использование только лишь микроскопических конструкций "усредненных" оптических потенциалов в упругом канале без учета их связи с другими каналами ядро-ядерного рассеяния может оказаться недостаточным.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

• Представлена микроскопическая модель ядро-ядерного взаимодействия при промежуточных энергиях, объединяющая модели двойного фолдинга и высокоэнергетического приближения.

• Создана современная программа для расчета потенциала двойного фолдинга, не содержащая феноменологических параметров, проведены тестовые расчеты для проверки её достоверности и оценки точности.

• На основе вычисленных микроскопических оптических потенциалов вида МДФ и ВЭП проведено численное исследование упругого и неупругого ядро-ядерого рассеяния, сделаны выводы о применимости модели к данному типу задач.

• На основе разработанного подхода проведен численный анализ полных сечений реакций с участием экзотических ядер, сделаны выводы о возможности применения предложенной модели для тестирования вида функций распределения плотностей ядер, предлагаемых различными теориями ядерной структуры.

Таким образом, в результате численного исследования продемонстрирована применимость рассмотренного в диссертации подхода для описания основных характеристик ядро-ядерных взаимодействий при энергиях от 10 до 100 МэВ на нуклон налетающего ядра. Показано, что рассчитанные потенциалы обеспечивают согласие с имеющимися экспериментальными данными. Разработанный подход может быть использован для решения других задач. Так, в настоящее время представленный в диссертации метод и комплекс программ для расчета потенциала двойного фолдинга используются для моделирования упругого рассеяния протонов на нейтронно-избыточных изотопах гелия [72].

В заключение хочу выразить глубокую благодарность научному руководителю Поляньски А. за постоянное внимание к выполняемой работе, поддержку и помощь на различных ее этапах.

Особую признательность выражаю соавторам работ, лежащих в основе диссертации Антонову А.Н., Земляной Е.В., Кухтиной И.Н., Лукьянову В.К., Метавей 3., Пенионжкевичу Ю.Э., Словинскому В., Соболеву Ю.Г., Ханне К. за плодотворное сотрудничество, взаимопонимание и безотказную помощь.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить Иванова В.В., Пузынина И.В., Емельяненко Г.А., Иванченко И.М. за полезные советы и критические замечания к работе.

Я признателен руководству ЛИТ ОИЯИ за создание благоприятной и творческой обстановки для выполнения научной работы в Лаборатории.

Настоящая работа выполнена в рамках научно-тематического плана Лаборатории информационных технологий ОИЯИ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукьянов, Константин Валерьевич, 2007 год

1. Оганесян Ю.Ц. // ЯФ, 2006. Т. 69. С.961.

2. Варашенков B.C., Тонеев В.Д. Взаимодействие высокоэнергетических частиц и атомных ядер с ядрами М.: Атомиздат, 1972.

3. Polanski A., Uzhinsky V. V. // Proc. of the 6th World Mnlticonference on Systemics, Cybernetics and Informatics, July 14-18.2002, Orlando, Floryda, USA.

4. Polanski A., Petrochenkov S., Uzhinsky V. // Radiation Protection Dosimetry, 2005 116(l-4):582-584.

5. Wan J.-S., a.o. Transmutation of radioactive waste by means of relativisticheavy ions. Kerntechnik, 63 (1998) 167.

6. Sissakian A.N., Sorin A.S., Toneev V.D. // arXiv:nucl-th/060832

7. Tanihata I. et al. // Phys. Rev. Lett., 1985. V.55, P.2676.

8. Bertulani C.A., Cano L.F., Hussein M.S. // Phys. Report, 1993. V.226., P.281.

9. Khoa D.T. // Phys. Rev. C, 2001. V.63, P.034007.

10. Оглоблин A.A., Гончаров C.A., Чулков Ю.А. и др. // ЯФ, 2003. Т.66, С.1523.

11. И. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач М.:1. Наука, ФМЛ, 1986.

12. Князьков О.М. // ЭЧАЯ, 1986. Т.17, С.318

13. Дао Тиен Кхоа, О.М.Князъков // ЭЧАЯ, 1990. Т.21, С.1456.

14. Khoa D.T., Satchler G.R. // Nucl. Phys. A, 2000. V.668, P.3.

15. S0rensen J.H. and Winther A. // Nucl. Phys. A, 1992. V.550, P.329.

16. Glauber R.J. Lectures in Theoretical Physics (New York, Interscience,1959), P.315.

17. Ситпенко А.Г. // Укр. физ. журн.,1959. Т. 4. С. 152.

18. Raynal J. // Phys. Rev. С, 1981. V.23. P.2571.

19. Kunz P.D.,Rost E. Computational Nuclear Physics V.2 (Eds: Langanke K. et al.) Springer Verlag, 1993. P.88.

20. Tanihata I. // Phys. Lett. B, 1992. V. 289. P. 261.

21. Tanihata I. // J. Phys. G, 1996. V.22. P.157.

22. Лукьянов В.К. Л ЯФ, 1995. Т.58, Вып.11 С.1955.

23. Lukyanov V.K., et al // Int. J. Mod. Phys. E, Vol.13, No.3, 2004, pp.573584.

24. Лукьянов В.К., Словинский В., Земляная Е.В. // ЯФ, Т.64, вып.7,2001, сс.1349-1357.

25. Лукьянов В.К., Земляная Е.В., Словинский В., Ханна К. (/ Изв. РАН, сер. физ., Т.67, вып.1, 2003, сс.55-61.

26. Князьков ОМ., Кухтина И.Н., Фаянс С.А. // ЭЧАЯ, 1999. Т.ЗО. Р.870.

27. Князьков О.М., Кухтина И.Н., Фаянс С.А. // ЯФ, 1998. Т. 61. Р. 287.

28. Satchler G.R., Love W.G. // Phys. Rep., 1979. V. 55. P. 183.

29. Czyz W., Maximon L.C. // Ann. Phys. (N.Y.), 1969. V. 52. P. 59.

30. Formanek J. // Nucl. Phys. B, 1969. V. 12. P. 441.

31. Лукьянов В.К., Земляная Е.В., Словинский Б. // ЯФ, 2004. Т. 67. Р. 1306.

32. Соболев Ю.Г. и др. // Изв. РАН сер. физ., 2005. Т.69, вып. 11. С.1603.

33. Lukyanov V.K., Zemlyanaya E.V. // Int. J. Mod. Phys. E, Vol.10, No.3, 2001, pp.163-183.

34. Lukyanov V.K., Zemlyanaya E. V. // J. Phys. G, Vol.26, No.4,2000, pp.357363.

35. Bertsch G.F., Brown B.A., Sagava H. // Phys. Rev. C, Vol.39,1989, p.1154.

36. Алхазов Г.Д., Анисович В.В., Волковницкий П.Э. Дифракционное взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях. Ленинград, "Наука 1991.

37. Shukla Р. // Phys. Rev. С, 2003. V. 67. Р. 054607.

38. Charagi S., Gupta G. // Phys. Rev. С, 2990. V. 41. P. 1610.

39. Li G.Q., Machleidt R. // Phys. Rev. C, 1993. V. 48. P. 1702; 1994. V. 49. P. 566.

40. Cai Xiangzhou, Feng Jun, Shen Wenqing, Ma Yugang, Wang Jiansong, Ye Wei Ц Phys. Rev. C, 1998. V. 58. P. 572.

41. Shukla P. // arXiv:nucl-th/0112039.

42. Dao T. Khoa, Satchler G.R., W. von Oertzen // Phys. Rev. C, 1997. V. 56. P. 954.

43. Sinha B. // Phys. Rep. C, 1975. V. 20. P. 1; Sinha B. and Moszkowski S.A. 11 Phys. Lett. B, 1979. V. 81. P. 289.

44. Campi X., Bouyssy A. // Phys. Lett. B, 1978. V. 73. p. 263.

45. Ring P., Shuck P. The nuclear many-body problem (Springer-Verlag, New York, 1980) p.542.

46. Krivine H., Treiner J. // Phys. Lett. B, 1979. V. 88. P. 212.

47. Lukyanov V.K., Metawei Z., Zemlyanaya E.V. // ЯФ, 2006. T. 69. N 8. C.1409.

48. Satchler G.R. Direct Nuclear Reactions (Oxford Univ. Press, Oxford) 1983.

49. Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука, 1978.

50. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.

51. Пузынип И.В., Амирханов И.В., Земляная Е.В., Первушин В.Н., Пузынина Т.П., Стриж Т.А., Лахно В.Д. // ЭЧАЯ, Т.ЗО, вып.1,1999, сс.210-265.

52. Пузынин И.В., Бояджиев Т.Л., Виницкий С.И., Земляная Е.В., Пузынина Т.П., Чулуунбаатар 0. // ЭЧАЯ, Т.38, вып.1, 2007, с. 144232

53. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений, T.l, М.: Физматгиз, 1959, с.232-233.

54. Градштейн И.О., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Гос. издат. физ.-мат. литературы, Москва, 1962.

55. Елдышев Ю.Н., Лукьянов В.К., Поль Ю.С. // ЯФ, 1972. Т. 16. С. 506.

56. Bertsch G., Borysowicz J., McManus H., Love W.G. // Nucl. Rev. A, 1977. N. 284. C. 399.

57. Anantaraman N, Toki H., Bertsch G.F. // Nucl. Rev. A, 1983. V. 398. P. 269.

58. Dao T.Khoa, W. von Oertzen, and Bolen E.G. // Phys. Rev. C, 1994. V. 49. P. 1652.

59. Roussel-Chomaz P. et al // Nucl. Phys. A, 1988. V. 477. P. 345.

60. Simbel M.E.j j Phys.Rev.C. 1997. V.56. P.1467.

61. Patterson J.D., Peterson R.J. // Nucl. Phys. A, 2003. V. 717. P. 235.

62. Farid M. El-Azab, Satchler G.R. // Nucl. Rev. A, 1985. V. 438. P. 525.

63. R. Liguori Neto et al. // Nucl. Phys. A, 1993. V. 560. P. 733.

64. Kuznetsov I. V., et al j I Phys. At. Nucl., 2002. V. 65. P. 1569.

65. Baktybaev M.K., et al. // Phys. At. Nucl., 2003. V. 66. P. 1615.

66. Ugryumov V.Yu., et al // Nucl. Phys. A, 2004. V. 734. P. E53.

67. Ugryumov V. Yu., et al // Phys. At. Nucl. , 2005. V. 68. P. 16.

68. Соболев Ю.Г. и др. // Изв. РАН сер. физ., 2005. Т. 69. N 11. С. 1603.

69. Zhukov M.V., et al // Phys. Rep., 1993. V. 231. С. 151.

70. Korsheninnikov A.A. et al // Nucl. Phys. A, 1997. V. 617. P. 45.

71. Karataglidis S., Dortmans P.J., Amos K., Bennhold C. // Phys. Rev. C, 2000. V. 61. P. 024319.

72. Lukyanov K.V., Lukyanov V.K., Zemlyanaya E.V., Antonov A.N., Gaidarov U.K. Calculations of 6He+p elastic scattering cross sections using folding approach and high-energy approximation for the optical potential. Направлено в Euro. Phys. J. A, 2007.

73. АВТОРСКИЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

74. А1. Лукьянов В.К., Земляная Е.В., Лукьянов К.В. Ядро-ядерное рассеяние и оптический потенциал фолдинга. ОИЯИ, Р4-2004-115, Дубна, 2004; ЯФ. 2006. Т.69. С. 262-275.

75. А2. Лукьянов К.В. Модель ядро-ядерного потенциала двойного фолдинга: основные формулы, итерационный метод и программа вычисления. ОИЯИ, Р11-2007-38, Дубна, 2007.

76. A3. Земляная Е.В., Лукьянов В.К., Лукьянов К.В., Словинский В., Ханна К. Восстановление оптического потенциала рассеяния при промежуточных энергиях. Изв. РАН сер. физ., 2005. Т. 69, вып. 11. С. 1649-1654.