Численное исследование движения газовых и твердотельных объектов малого диаметра в вязкой несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Тарасова Наталья Владимировна

• Тарасова Наталья Владимировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Тарасова Наталья Владимировна

Введение

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ МНОГОФАЗНОЙ СРЕДЕ

1.1 Ведение

1.2 Односкоростная модель динамики многофазной жидкости. Методы численного решения

1.3 Особенности дискретизации в многофазном случае

1.4 Методика расчета подвижных тел и движения сетки

1.5 Верификации методики

1.6 Выводы

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВСПЛЫТИЯ ОДИНОЧНЫХ ВОЗДУШНЫХ ПУЗЫРЕЙ

2.1 Введение

2.2 Особенности всплытия одиночного пузырька воздуха в воде

2.3 Результаты двумерных расчетов

2.4 Результаты трехмерных расчетов

2.5 Выводы

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВСПЛЫТИЯ ОДИНОЧНЫХ ТВЕРДЫХ СФЕР

3.1 Введение

3.2 Особенности всплытия твердой сферы

3.3 Результаты численных экспериментов для сферы

3.4 Выводы

Заключение

Список литературы

Введение

Актуальность темы исследования и степень ее разработанности

Сегодня фундаментальные исследования не утратили своей актуальности. Они интеллектуально обогащают исследовательскую сферу и являются источником и основой любых прорывных инноваций.

Это касается абсолютно всех сфер научных знаний. Не являются исключением и исследования в области многофазных сред. Многофазные среды широко представлены в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. В реальности, чаще приходится сталкиваться с многофазными течениями, нежели с однофазными, поэтому задача описания таких течений является достаточно актуальной и важной проблемой механики сплошных сред. Описанию движения многофазных сред посвящено множество монографий и научных статей как отечественных, так и зарубежных исследователей (см., например [Нигматулин, 1987; Coy, 1975; Kolev, 2007a; Kolev, 2007b]). Наблюдается огромное многообразие многофазных сред и, соответственно, классов задач, связанных с особенностями их моделирования.

Несмотря на достигнутые успехи в математическом описании различных многофазных процессов, остается еще много невыясненных моментов и нерешенных задач. Особый класс задач составляют проблемы исследования движения объектов в многофазных средах. Интерес представляет, как движение части одной фазы внутри другой, например, всплытие/погружение газовых объектов в жидкости, так и отдельных твердотельных объектов в средах со свободной поверхностью.

Движение одиночного газового объекта малого диаметра - пузырька воздуха в жидкости в поле силы тяжести является одной из задач данного класса. Пузырьковые течения играют основную роль в таких процессах как кавитация (основная причина разрушения трубопроводов и гребных винтов), барботаж (используется при озонировании воды), флотация полезных ископаемых, седиментация и многих других. Все указанные процессы зависят от концентрации, размеров и скорости всплытия пузырьков. По некоторым фундаментальным вопросам, касающихся закономерностей явлений, среди исследователей так и не достигнуто согласия. Это связано с точностью проведения экспериментов и с границами применения допущений, используемых в теоретических моделях. Работы ведутся как в области пополнения экспериментальных знаний [Ellingsen & Risso, 2001; Veldhuis et al, 2008; Архипов и др., 2013], так и в плане развития вычислительных методов и алгоритмов [Hua et al, 2008; Chen et al, 1999].

На существующем уровне исследований динамики всплытия пузырька из-за сложности физической картины имеется ряд невыясненных моментов [Hua et al, 2008; Rusher, 2002]. На поведение пузыря, всплывающего в вязкой жидкости, влияют не только физические свойства обеих фаз, но и силы поверхностного натяжения, действующие на межфазной границе, а также эволюция формы пузыря. Основные трудности при описании и моделировании сложного поведения, всплывающего пузыря возникают из-за сильного нелинейного взаимного влияния таких факторов как плавучесть, поверхностное натяжение, момент инерции пузыря в жидкости, вязкость и изменение формы пузыря. Более того, всплытие пузыря трехмерно по своей природе.

В большинстве теоретических работ [Talia, 2007; Saffman, 1956] всплытие пузырька исследуется в следующих предположениях: заданные соотношения вязкостей жидкости и пузырька, определенные числа Рейнольдса, рассмотрение всплытия твердой частицы, анализ пузырьков определенного диаметра и т.д. При этом охватываются только некоторые режимы всплытия. Эксперименты же ограничены техническими характеристиками установок, чувствительностью датчиков, качеством измеряющих и фиксирующих приборов и т.д. [Архипов и др., 2013; Tomiyama et al., 2002]. Часть работ по решению задачи с помощью численного моделирования, посвящена описанию формы пузырька при различных режимах всплытия, а также вычислению средней скорости всплытия пузырька (см., например, [Hua et al, 2008; Chen et al, 1999]). Рассмотрение возможной траектории пузырька проводится без ее количественного описания и выявления каких-либо закономерностей. Практически отсутствуют работы, в которых проводился бы полный качественный и количественный анализ характера всплытия пузырьков, их формы и траекторий.

С точки зрения существующего уровня развития численных методов и доступности вычислительных ресурсов численное решение данной задачи нетривиально. С развитием вычислительных методов, технологий и вычислительных мощностей [Козелков и др., 2016a; Болдырев и др., МГУ, 2013] стало возможным применять прямое численное моделирование при решении задачи о всплытии одиночного пузырька. Применение методов численного анализа позволит прояснить одну из актуальных задач в области фундаментальных исследований.

Актуальным является установление причин и получение количественных характеристик зигзагообразного или спирального характера всплытия пузырьков [Rusher, 2002]. Задача, интересовавшая еще академика М. Лаврентьева. Помочь прояснить вопрос

о связи спирального вида траектории воздушного пузырька с изменением его формы может исследование всплытия твердой сферы. В этом случае влияние изменения формы на динамику движения исключено, и задача представляется более простой с физической точки зрения. Эту задачу можно отнести к классу задач, в которых рассматривается движение твердотельного объекта в среде. Построение численных моделей для учета движения твердых объектов (сфер) в многофазных средах позволит помочь решить данную задачу.

Исследование всплытия твердой сферы представляет собой отдельную актуальную задачу, поскольку среди ряда работ по исследованию всплытия твердой сферы имеются некоторые разногласия относительно обстоятельств и времени появления вибрации и существующих типов движения [Horowitz & Williamson, 2010; Jenny et al, 2004a; Preukschat, 1964]. Ключевым вопросом здесь, также является анализ траекторий всплытия твердых сфер и выявление закономерности влияния вихревого следа за всплывающей сферой на траекторию движения.

С практической точки зрения создание методологии для численного решения фундаментальных задач о всплытии одиночного пузырька воздуха и одиночной твердой сферы представляет интерес и для исследования движения других твердотельных объектов в многофазной среде со свободной поверхностью. Внедрение создаваемых моделей и алгоритмов в пакеты программ инженерного анализа позволило бы применять численное моделирование для решения промышленно-ориентированных задач с целью экономии временных и материальных ресурсов.

Указанные фундаментальные и прикладные задачи определяют актуальность исследований, проведенных в настоящей диссертации.

Цели диссертационной работы

Основной целью диссертационной работы является разработка математических методов исследования закономерности процесса всплытия и погружения сфероидальных объектов в вязкой несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье-Стокса.

Для достижения поставленных целей были сформулированы следующие задачи: 1. Разработать методику численного моделирования всплытия одиночного пузырька воздуха и одиночной твердой сферы в воде на основе многофазной системы уравнений Навье-Стокса с учетом силы гравитации и силы поверхностного натяжения.

2. Выполнить программную реализацию на базе пакета программ ЛОГОС разработанных численных алгоритмов для решения задачи о всплытии одиночного пузырька воздуха и одиночной твердой сферы в воде.

3. Провести верификацию методики на ряде тестовых задач путем сравнения с экспериментальными данными, аналитическими решениями и расчетами, проведенными с использованием других кодов.

4. Численно исследовать свободное всплытие одиночных пузырьков воздуха разных диаметров в воде без примесей на основе прямого численного моделирования.

5. Численно исследовать свободное всплытие одиночных твердых сфер разных диаметров в воде без примесей.

6. Проанализировать причины зигзагообразного и спирального характера всплытия пузырьков и твердых сфер.

Методы исследования и степень достоверности результатов

Достоверность и обоснованность применяемых математических моделей обеспечивается использованием фундаментальных принципов математического моделирования механики сплошной среды. Используемая математическая модель полностью учитывает все известные факторы, влияющие на характер исследуемых явлений.

Верификация и тестирование методики предполагает обеспечение достоверности получаемых результатов. Хорошее согласие численных и экспериментальных данных для таких задач, как движение цилиндра в жидкости, падение шара в жидкость и колебания воды в резервуаре под действием силы тяжести, свидетельствуют о возможности применения предложенных методов в задачах о движении объектов в многофазной среде.

Поэтапное численное моделирование с усложнением от двумерной геометрии к трехмерной, предварительная серия верификационных расчетов с исследованием сеточной сходимости и сравнение интегральных характеристик с теоретическими и экспериментальными данными дает возможность убедиться в достоверности численных результатов.

Обоснованность результатов подтверждается непротиворечивым характером полученных результатов решения с численными результатами других авторов, известными из литературы.

Научная новизна

1. Подтверждение влияния изменения формы воздушного пузырька на возникновение спиралеобразной траектории всплытия, полученное в результате численного исследования свободного всплытия одиночного пузырька воздуха в воде.

2. Полученная с помощью численного исследования всплытия одиночной твердой сферы в воде закономерность, описывающая взаимосвязь вихревого следа, возникающего за всплывающей твердой сферой, с характеристиками движения ее в воде.

3. Новые данные для карты режимов всплытия одиночной твердой сферы.

4. Доказанное методом численного моделирования совпадение периода срыва присоединенной массы с полупериодом колебаний траектории всплытия твердой сферы.

Положения, выносимые на защиту

1. Методика численного моделирования движения объектов в многофазной среде со свободной поверхностью на основе решения уравнений Навье-Стокса с учетом силы гравитации и силы поверхностного натяжения на произвольных неструктурированных сетках. Модуль в составе пакета программ ЛОГОС, реализующий разработанную методику.

2. Количественные характеристики всплытия, подтверждение влияния изменения формы воздушного пузырька на возникновение спиралеобразной траектории всплытия, полученные при помощи численного исследования свободного всплытия одиночного пузырька воздуха в воде.

3. Закономерность, описывающая взаимосвязь вихревого следа, возникающего за всплывающей твердой сферой, с характеристиками движения ее в воде; количественные характеристики всплытия одиночной твердой сферы в воде;

4. Новые данные для карты режимов всплытия, полученные в результате численного исследования всплытия одиночной твердой сферы в воде.

5. Доказанное методом численного моделирования совпадение периода срыва присоединенной массы с полупериодом колебаний траектории всплытия твердой сферы.

Теоретическая и практическая значимость работы

Сегодня успех прикладных исследований и разработок становится достижимым, лишь тогда когда под них подведена прочная база фундаментальных знаний. Проведенные фундаментальные исследования всплытия одиночного газового пузырька и одиночной твердой сферы дают новую информацию относительно характеристик всплытия и причин формирования спиральной или зигзагообразной траектории, позволяют уточнить имеющиеся теоретические модели и прояснить спорные вопросы.

Между фундаментальными и прикладными исследованиями существует тесная взаимосвязь и взаимодействие. Результаты данных фундаментальных исследований можно использовать при моделировании процессов кавитации, барботажа, флотации и т.д.

Кроме того, предложенная методика позволит эффективно производить моделирование движения объектов сложной геометрии на неструктурированных сетках с учетом разнообразных процессов, как-то: сопряженного теплообмена, турбулентности, многофазности и т.д. Разработанные алгоритмы могут быть применены при решении промышленно-ориентированных задач высокотехнологичных отраслей промышленности.

Все разработки, выполненные в рамках настоящей работы, реализованы на базе пакета программ ЛОГОС - отечественного программного обеспечения для инженерного анализа [Т4-6, Т8-12, Т16-19]. Уже в настоящее время пакет программ ЛОГОС используют более 40 предприятий России.

Полученные результаты использовались в следующих российских промышленных и исследовательских проектах:

- совместный проект ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» и филиала ПАО «Компания Сухой» «ОКБ Сухого» по договору №4808-5-96/2014 от 30.07.2014 «Численное исследование причин кавитации (УПВК) в линиях всасывания насосов гидросистем самолетов типа СУ-30МКИ и 10В»;

- проект РФФИ №16-01-00267 «Развитие вычислительных технологий, направленных на решение фундаментальных задач и прогнозирование последствий астероидно-кометного воздействия на водную среду (2016-2018 гг.)»;

- проект «Развитие суперкомпьютеров и грид-технологий» (2010-2012 гг.), одобренный на заседании Комиссии при Президенте Российской Федерации по модернизации и технологическому развитию экономики;

- проект «Разработка отечественного программного обеспечения», утвержденный постановлением Правительства Российской Федерации №993 от

- задание № 5.5176.2017/8.9 в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности.

Данные проекты выполнялись при активном участии диссертанта. Диссертационная работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации по государственной поддержке научных исследований молодых российских ученых-докторов наук МД-4874.2018.9. Разделы 1.3, 2.4 и 2.6 диссертационного исследования выполнены в рамках Соглашения 14.577.21.0268 от 26.09.2017, финансируемого Министерством науки и высшего образования РФ (уникальный идентификатор проекта RFMEFI57717X0268).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование движения газовых и твердотельных объектов малого диаметра в вязкой несжимаемой жидкости»

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на всероссийских и международных конференциях, таких как международная конференция «Супервычисления и математическое моделирование» (г. Саров, 2011 г., 2012 г., 2016 г., 2018г.), шестой национальный суперкомпьютерный форум (г. Переславль-Залесский 28 ноября - 1 декабря 2017 г.), третья международная научно-техническая конференция «Авиадвигатели XXI века» (г. Москва, ЦИАМ, 30 ноября- 03 декабря), третья всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы создания и эксплуатации вооружения, военной и специальной техники» (г. Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского, 2016), Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения академика Г.И. Марчука (Новосибирск, 2015 г.), «Суперкомпьютерные технологии в промышленности» (ФГУП «Крыловский государственный научный центр», г. Санкт-Петербург 2014 г.), а также на семинарах Института теоретической и математической физики ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», Нижегородского Государственного Технического Университета им. Р.Е. Алексеева и Московского Авиационного Института.

Публикации

Основные положения диссертации представлены в 15 публикации, из них 10 статей в журналах, включенных в список ВАК и/или входящих в мировые индексы цитирования (SCOPUS, Web of Science), 3 работы в трудах конференций. Получено 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Публикации в журналах, включенных в список ВАК и/или входящих в

мировые индексы цитирования (SCOPUS, Web of Science):

Т1. Тарасова Н.В. Особенности численного моделирования всплытия твердых сфер и воздушных пузырьков // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2020. № 4 (131). С. 35 - 48.

Т2. Kozelkov A.S., Kurkin A.A., Dmitriev S.M., Tarasova N.V., Efremov V.R., Pelinovsky E.N., Strelets D.Yu. Study of specific features of free rise of solid spheres in a viscous fluid at moderate Reynolds number // European Journal of Mechanics - B / Fluids. 2018. V. 72. P. 616-623.

Т3. Козелков А.С., Ефремов В.Р., Дмитриев С.М., Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Тарасова Н.В., Стрелец Д.Ю., Исследование особенностей всплытия пузырьков воздуха и твердых сфер // Фундаментальная и прикладная гидрофизика, 2018, Т.11, №4, С.73-80.

Т4. Волков А.С., Козелков А.С., Лашкин С.В., Тарасова Н.В., Ялозо А.В., Параллельная реализация алгебраического многосеточного метода для решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2017, Т. 57, № 12, С. 2079-2097.

Т5. Лашкин С.В., Козелков А.С., Глазунова Е.В., Тарасова Н.В., Ялозо А.В. Применение ограничителей градиента при решении уравнений Навье-Стокса на произвольных неструктурированных сетках // Вопросы Атомной Науки и Техники, сер. Математическое моделирование физических процессов, 2017, вып.2, С. 3-17.

Т6. Козелков А.С., Мелешкина Д.П., Куркин А.А., Тарасова Н.В., Лашкин С.В., Курулин В.В. Полностью неявный метод решения уравнений Навье-Стокса для расчета многофазных течений со свободной поверхностью // Вычислительные технологии, 2016, Т. 21, №5, С. 54-76.

Т7. Козелков А.С., Куркин А.А., Курулин В.В., Лашкин С.В., Тарасова Н.В., Тятюшкина Е.С. Численное моделирование свободного всплытия пузырька воздуха // Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2016, № 6, С. 3-14.

Т8. Лашкин С.В., Козелков А.С., Мелешкина Д.П., Ялозо А.В., Тарасова Н.В. Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости разделенным и совмещенным алгоритмом типа SIMPLE // Математическое моделирование, 2016, Т. 28, №6, С. 6476.

Т9. Тарасова Н.В., Козелков А.С., Мелешкина Д.П., Лашкин С.В., Денисова О.В., Сизова М.А. Особенности применения алгоритма SIMPLE для расчета сжимаемых течений //

ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов, 2015, вып.3, С. 20-34.

Т10. Козелков А.С., Ефремов В.Р., Куркин А.А., Тарасова Н.В., Уткин Д.А., Тятюшкина Е.С. Моделирование движения тел в вязкой несжимаемой жидкости//Сибирский журнал вычислительной математики, 2019, Т.22, №3, С. 259-275

Публикации в других рецензируемых журналах:

Т11. Козелков А.С., Дерюгин Ю.Н., Циберева Ю.А., Корнев А.В., Денисова О.В., Стрелец Д.Ю., Куркин А.А., Курулин В.В., Шарипова И.Л., Рубцова Д.П., Легчанов М.А., Тятюшкина Е.С., Лашкин С.В., Ялозо А.В., Яцевич С.В., Тарасова Н.В., Гинниятуллин Р.Р., Сизова М.А., Крутякова О.Л. Минимальный базис задач для валидации методов численного моделирования турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости. // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева, № 4 (104), С. 21-69, 2014.

Т12. Козелков А.С., Куркин А.А., Шарипова И.Л., Курулин В.В., Пелиновский Е.Н., Тятюшкина Е.С., Мелешкина Д.П., Лашкин С.В., Тарасова Н.В. Минимальный базис задач валидации методов расчета течений со свободной поверхностью // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева, 2015, № 2 (109), С. 49-69.

Публикации в трудах конференций:

Т13. Козелков А.С., Дерюгин Ю.Н., Зеленский Д.К., Глазунов В.А., Голубев А.А., Денисова О.В., Лашкин С.В., Жучков Р.Н., Тарасова Н.В., Сизова М.А. Многофункциональный пакет программ ЛОГОС для расчета задач гидродинамики и тепломассопереноса на суперЭВМ: базовые технологии и алгоритмы // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XII международного семинара / под ред. Р.М. Шагалиева. - Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2011, С. 215229.

Т14. Тарасова Н.В., Сизова М.А., Лашкин С.В., Козелков А.С., Особенности расчета турбулентных течений разделенным решателем в пакете программ ЛОГОС // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XIII Межд. Конф., Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2012, с. 509 - 518.

Т15. Козелков А.С., Курулин В.В., Лашкин С.В., Тарасова Н.В., Тятюшкина Е.С. Численное моделирование свободного всплытия пузырька воздуха // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XVI Межд. Конф., Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» 2017, С. 142 - 152.

Свидетельства о регистрации:

Т16. Дерюгин Ю.Н., Спиридонов В.Ф., Козелков А.С., Зеленский Д.К., Циберев К.В., Глазунов В.А., Дьянов Д.Ю., Жучков Р.Н., Лашкин С.В., Полищук С.Н., Стародубов С.В., Ялозо А.В., Тарасова Н.В. и др. Программа для ЭВМ «Пакет программ ЛОГОС&ЛЭГАК-ДК», от 21.11.2012 №2012660460.

Т17. Дерюгин Ю.Н., Козелков А.С., Зеленский Д.К., Глазунов В.А., Жучков Р.Н., Тарасова Н.В. и др. Программа для ЭВМ «Пакет программ «ЛОГОС», версия 5.0» от 20.02.2017 №2017612306.

Т18. Дерюгин Ю.Н., Козелков А.С., Зеленский Д.К., Тарасова Н.В. и др. Программа для ЭВМ «Программный модуль пакета программ «ЛОГОС» для моделирования аэрогидродинамики и теплопереноса (ЛОГОС-ТМП), версия 2016» от 11.01.2018 №2018610488

Т19. Дерюгин Ю.Н., Козелков А.С., Жучков Р.Н., Тарасова Н.В. и др. Программа для ЭВМ «Программный модуль пакета программ «ЛОГОС» для моделирования аэрогидродинамики и теплопереноса (ЛОГОС-ТМП), версия 2017» от 30.01.2019 №2019611655

Личный вклад автора

Научным руководителем сформулирована задача и цели диссертационного

исследования. Под руководством научного руководителя разработана методика

моделирования движения объектов в вязкой несжимаемой многофазной среде, основанная

на использовании односкоростной модели динамики многофазной жидкости с

отслеживанием границ между веществами с помощью объемного метода(УОБ). На основе

разработанной методики при непосредственном участии автора реализован численный

12

алгоритм решения, проведена адаптация алгоритма учета силы тяжести в задачах со свободной поверхностью в методе SIMPLE. Лично автором проведено обобщение метода SIMPLE на сжимаемый случай в рамках пакета программ ЛОГОС, реализована модель поверхностного натяжения в гидродинамическом модуле пакета программ ЛОГОС, проведена адаптация метода перекрывающихся сеток для применения в гидродинамическом модуле. Автором проведены все численные исследования всплытия одиночных твердых сфер и пузырьков воздуха в воде: расчеты, обработка и анализ результатов. Совместно с соавторами выполнена верификация методики и ее адаптация для решения промышленно-ориентированных задач.

Автор благодарит коллег из отдела 0813 за всестороннюю помощь и поддержку. Особую благодарность автор выражает своему научному руководителю д.ф.-м.н. Козелкову А.С. за проявленное внимание, методическое руководство и помощь в реализации идей. Автор благодарит Лашкина С.В., Саразова А.В. и Курулина В.В. за помощь в методических вопросах и ценные консультации.

Глава 1. Методика моделирования движения объектов в вязкой несжимаемой многофазной среде

1.1 Введение

К настоящему времени в мире достигнут, значительный прогресс в области вычислительной аэро- гидро- термодинамики, который инициировал развитие методов компьютерного моделирования, эксперимента и анализа. Развитие CFD (Computational Fluid Dynamics) кодов является основным направлением в движении от экспериментальных данных и эмпирических соотношений к более общему и точному математическому моделированию инженерных систем [Gosman, 1998; Casey et al, 1988; Белова и др., 2013; Козелков и др., 2016а].

Подходы для моделирования двухфазных сред в гидродинамическом приближении условно можно разделить на три группы [Нигматулин, 1987; Rusche, 2002]. К первой группе относятся феноменологические модели взаимопроникающих континуумов [Нигматулин, 1987], называемые «эйлеровыми». К моделям второй группы можно отнести метод частиц [Monaghan, 1994], в котором движение дисперсных частиц описывается с помощью лагранжевого подхода. Модели третьей группы описывают динамику двухфазной среды в односкоростном приближении с помощью прямого численного моделирования. Эта группа включает в себя методы, которые различаются, главным образом, способом определения межфазной поверхности: отслеживание движения границы [Malvern, 1969], явная реконструкция интерфейса [Ferziger & Peric, 2001], объемные методы отслеживания границы (volume of fluid (VOF), метод концентраций) [Бахрах С.М. и др., 1981, Hirt & Nicols, 1981; Jacquim, 1999; Chen L. et al, 1999].

Для проведения численного исследования всплытия и погружения объектов в многофазной среде со свободной поверхностью наиболее подходящим является метод прямого численного моделирования с отслеживанием границ между веществами с помощью объемного метода (VOF) [Chen et al, 1999; Jacquim, 1999]. К достоинствам данного подхода относится отсутствие какой-либо «эмпирики» и возможность автоматического учета взаимодействия фаз на интерфейсах. В этом случае многофазные течения описываются как односкоростная двухфазная среда с помощью системы уравнений Навье-Стокса.

Данная модель подходит как для описания движения одиночного пузырька воздуха, так и для моделирования слоистой двухфазной среды со свободной поверхностью в поле силы тяжести.

В данной главе в параграфе 1.2 будут описаны основные уравнения односкоростной модели многофазной среды и методы численной дискретизации. В параграфе 1.3 описаны особенности дискретизации, которые важны при моделировании многофазных сред в целом, и при рассмотрении всплытия пузырька и твердой сферы, в частности. Для моделирования движения твердых объектов в жидкой (многофазной) среде требуется применение специальных методов и алгоритмов, которые будут описаны в параграфе 1.4. В заключении суммированы результаты данной главы.

1.2 Односкоростная модель динамики многофазной жидкости. Методы численного решения

Основные уравнения модели

Нестационарные трехмерные течения вязкого теплопроводного многофазного газа в односкоростном приближении с отслеживанием межфазной границы с помощью объемной доли вещества описываются системой уравнений Навье-Стокса, [Ландау&Лифщиц, 1988; Флетчер, 1991; Ferziger&Peric, 2001], дополненной уравнениями переноса объемной доли. Данная система в консервативной форме, в декартовых координатах, имеет вид:

= о

д(ри) ,

——- + У-(рм/) = -Ур + У-г

ы

+ = У-о„ +й-Ую + г„ : Ум + —

Ы к ' " " ы

(1)

ЫР а к Ы

В системе уравнений (1) используются общепринятые обозначения: ? - время, р-плотность, м-вектор скорости осредненного течения с компонентами {и,у,уу}, р — давление, к - удельная энтальпия, ак = Ук/У - объемная доля к-того вещества, т -молекулярная составляющая тензора касательных напряжений, цр - молекулярная составляющая вектора плотности теплового потока, § - вектор ускорения свободного падения.

Величины молекулярной составляющей тензора касательных напряжений ньютоновской среды удовлетворяет реологическому закону Ньютона, устанавливающему связь между тензором вязких напряжений и тензором скоростей деформаций, а компоненты вектора плотности теплового потока связаны с локальным градиентом температуры законом Фурье [ Лойцянский, 1973; Флетчер, 1991]:

<

здесь ц{Т), Л(Т) - коэффициенты молекулярной динамической вязкости и теплопроводности, которые в общем случае зависят от температуры.

Объемные доли веществ и общая плотность и вязкость среды связаны следующими соотношениями:

N

= 1 (3)

к=1

N N

Р = ^Р ак, М = ак (4)

к=1 к=1

N - количество фаз, рк и /лк - плотность и вязкость к-ой фазы соответственно.

Данная система уравнений (1) справедлива для любого количества фаз с любым уравнением состояния.

В общем случае система уравнений замыкается уравнениями состояния.

Для задач о всплытии газовых и твердотельных объектов малого диаметра в многофазной среде при рассмотрении режимов движения с числами Рейнольдса не больше 100000 для обеспечения приемлемых показателей и экспериментальной достоверности результатов нет необходимости в применении специальных подходов для моделирования турбулентности. В этом случае в окрестности пузырька/сферы формируется ламинарный пограничный слой. При этом мелкие вихри не оказывают существенного влияния на характер всплытия объектов, а более крупные вихревые структуры при достаточном сеточном разрешении моделируются с помощью прямого численного моделирования [Ferziger&Peric, 2001 ].

При рассмотрении движения воздушного пузырька в жидкости существенную роль играют силы поверхностного натяжения. В этом случае в уравнении сохранения импульсов (второе уравнение системы (1)) на границе раздела фаз необходимо учитывать силу поверхностного натяжения, выраженную в виде источника в правой части уравнения:

£

Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения, £ - поверхность интегрирования, п -нормаль к поверхности, 8 - символ Кронекера.

При описании всплытия пузырька воздуха для численного описания действия сил

поверхностного натяжения удобно использовать модель непрерывной поверхностной

силы (СББ), предложенную Брекбилом и соавторами [БгаекЬШ, 1992]. В рамках этой

17

модели рассматривают нормальную составляющую силы, а тангенциальной пренебрегают. Коэффициент поверхностного натяжения вдоль поверхности раздела фаз не меняется. В таком приближении эффект поверхностного натяжения представлен как непрерывная объемная сила, действующая в переходной области

| а' пЪ (х - х') ^ « отУак, где т = -У-(Уак / |Уак |) - кривизна поверхности раздела.

£

Положение границы раздела фаз, в частности граница воздушного пузырька, в методе VOF определяется с помощью функции объемной доли среды ак, которая равна

единице в области, занимаемой одной жидкостью, и нулю - в области, занимаемой другой жидкостью. С помощью последнего уравнения системы (1) рассчитывается перенос этой объемной доли.

Система уравнений в частных производных (1) должна быть дополнена граничными условиями (ГУ). В вычислительной гидродинамике, как правило, задаются физические граничные условия, состоящие из комбинации математических граничных условий для разных вычисляемых величин. Основные типы ГУ подробно изложены в многочисленных статьях и монографиях [см., например, Еега§ег&Репс, 2001; Флетчер, 1991].

Для расчета всплытия и погружения объектов в многофазной среде необходимо задание следующих физических граничных условий:

- дозвуковой вход: компоненты вектора скорости и плотность заданы, градиент давления фиксирован;

- дозвуковой выход: градиенты всех величин равны нулю;

- граница «давление»: величина давления задана, градиенты всех остальных величин фиксированы;

- поверхность симметрии: конвективные потоки всех величин равны нулю;

- стенка с прилипанием: скорость потока равна скорости стенки, градиент нормальной составляющей вектора скорости равен нулю;

Численная дискретизация

Как известно, существует несколько способов численной дискретизации дифференциальных уравнений: метод конечных разностей, конечных элементов и конечных (контрольных) объемов [1аБак, 1996; Бега§ег & Репс, 2001]. Каждый из них имеет свои преимущества и оптимален при определенных условиях.

Поскольку предполагается использование описываемой методики не только для проведения фундаментальных исследований, но и для решения промышленно-ориентированных задач, то предпочтительнее использовать неструктурированные сетки при разбиении расчетной области на элементарные объемы. Соответственно, использование метода конечных объемов для дискретизации оптимально.

При применении этого метода вся область моделирования разбивается на конечное число смежных контрольных объемов и уравнения сохранения записываются в интегральной форме для каждого из этих контрольных объемов. Данная запись уравнений является консервативной. Все расчетные величины хранятся в центрах контрольных объемов и при необходимости интерполируются на грани.

Метод конечных (контрольных) объемов допускает дискретизацию сложных вычислительных областей, состоящих из ячеек произвольной формы и размера.

Для численного решения методом конечных объемов уравнения переноса величин, входящие в (1), записывают в общей интегральной форме [1аБак, 1996; Ferziger&Peric, 2001]:

| — рсрйУ + [| р<рйМЧ = [| Г/1\7(рс/^ +1Фс1У (8)

V ^ 5 5 V

здесь р — немая переменная, Гр — коэффициент теплопроводности или вязкости,

или 0 (в случае уравнения непрерывности), Ф — источниковый член, V - контрольный объем, 5 - поверхность контрольного объема, Я - нормаль к поверхности.

Полученное уравнение характеризует перенос любой скалярной величины р, будь то каждая из компонент скорости, температура или объемная доля. Уравнение (8) содержит временное (нестационарное), конвективное и диффузионное слагаемое. Остальные слагаемые входят в последний член правой части (8) - это может быть градиент давления, массовые силы или слагаемые, описывающие диссипативный нагрев или работу сил.

На рисунке 1.2.1 проиллюстрированы типичные контрольные объемы и используемые при этом обозначения.

Рисунок 1.2.1. Иллюстрация двух соседних контрольных объемов Р и N. / - грань, разделяющая ячейки Р и N, с1РМ - вектор, соединяющий центры контрольных объемов,

п^ - единичная нормаль к грани /

Для дискретизации нестационарного члена используется схема Эйлера первого порядка точности по времени:

^ dV «Pp<-<VP (9)

v dt P A t

где Vp - объем ячейки P, At - шаг по времени, <рпр ,pp+1 - значения немой переменной в центре ячейки P на последовательных п и ( п + 1)- ом временных слоях.

Конвективный член в дискретном виде записывается следующим образом: [J pqmdS = Yj Pf(pf(u-S)f= Yj Ff(Pf (10)

5 /=/«( P) f=füce(P)

f - индексы граней ячейки P, <pf - значение немой переменной в центре грани f, Fj- = Pj-iu-Щ - поток через грань с индексом / .

Для нахождения значения величины < на грани f, используя значения в центрах

соседних ячеек pp и pN, существует несколько вариантов, определяемых выбором

соответствующей конвективной схемы [Ferziger&Peric, 2001; Флетчер, 1991]. В данной работе при проведении численных экспериментов в основном используются три схемы: UD (противопоточная схема первого порядка), LUD (противопоточная градиентная схема

с линейной интерполяцией второго порядка точности) и CD (центрально-разностная схема второго порядка точности) [Jasak, 1996].

Простейшей конвективной схемой является противопотоковая схема первого порядка точности UD (Upwind Differencing). Эта схема устойчива на неструктурированных сетках, но обладает большой численной диффузией [Ferziger & Peric, 2001]. Схема LUD подобна схеме UD, но дополнительно использует реконструкцию величины на грань с линейной интерполяцией [Jasak, 1996]. Схема CD (второго порядка точности) обладает наименьшей диссипативной ошибкой, однако неустойчива, и при наличии больших градиентов использование схемы приводит к осцилляциям в поле решения [Ferziger & Peric, 2001; Jasak, 1996; Т9].

Альтернативой использования вышеперечисленных схем является гибридная схема (схема смешанного дифференциирования), представляющая собой комбинацию устойчивой схемы UD и какой-либо схемы более высокого порядка точности [Ferziger & Peric, 2001; Козелков А.С. и др., 2013a]:

1Л , „CD,LUD /114

0 <у < 1 - коэффициент смешения, характеризующий степень численной диффузии.

Гибридные схемы путем оптимального выбора коэффициента смешения у позволяют сочетать полезные свойства схем первого и второго порядка точности, то есть сохранить одновременно ограниченность решения и точность приближения.

При моделировании движения пузырька воздуха в жидкой фазе представленным методом для уменьшения влияния сеточной диффузии необходимо выбирать схемы и методы, обеспечивающие максимально четкое определение интерфейса между фазами. Для этой цели для аппроксимации конвективного слагаемого уравнения переноса объемных долей (четвертое уравнение системы (1)) используется схема M-CICSAM[ Waclawczyk & Koronowicz, 2008], относящаяся к классу сжимающих схем высокого разрешения и обеспечивающая сохранение минимально возможной толщины границы раздела сред, а также сохранение формы распределения объемных долей при параллельном переносе и вращении.

Для описания этой схемы введем нормализованную переменную:

<Рм Фр

Ч'р ~1 '

2 У(рР(1РМ

т1 -С1С8ЛМ р ** ,(л р \^ЯОЫМ /10Ч

Тогда: рг = рр* + (1 -рг ( (12)

рР (Р < 0,рр > 1

Где р* = | 2рр 0 < рР < 0.5 ,

1 0.5 <р(Р < 1

,ЮММ= ( рр < 0(р > 1

( 1ш1п{0.25 + рр(Н/РЕЯ}, 0<рр < 1 ,

(Р, рР < 0,рр > 1

НУРЕЯ _ у р ^р

( |шш{1,р(/СП}, 0<р( < 1 .

Р - угол между нормалью к межфазной границе и вектором, соединяющим

центры контрольных объемов. CFL - число Куранта.

Первый член правой части уравнения (8) описывает диффузионный поток. Его дискретизация осуществляется следующим образом:

(13)

^ /

Здесь $ - вектор площади грани /, направленный по нормали к грани.

Для того чтобы явно выделить вклад ортогональной части, вектор $

раскладывается на сумму двух векторов, один из которых параллелен вектору й (см.

рисунок 1), соединяющему центры соседних контрольных объемов: ^ = А + ^ (А || а? ).

Существует несколько видов разложения вектора $ (выбора вектора к): минимальная коррекция, ортогональная коррекция и релаксация сверху. При

минимальной коррекции вектор к минимален и перпендикулярен вектору А. При

ортогональной коррекции вектор А выбирается таким образом, что вклад ортогональной части такой же, как и в случае ортогональной сетки, то есть длина вектора А равна длине

вектора 5". Наиболее оптимальным является выбор разложения в виде релаксации сверху, когда вклад ортогональной части растет при росте неортогональности.

В дифференциальной форме диффузионный член ограничен. Это свойство в дискретном виде сохраняется только на ортогональных сетках. Член неортогональной коррекции нарушает ограниченность решения. Чем он больше, тем сильнее проявляется его влияние. Если среди всего прочего необходимость сохранения ограниченности решения преобладает, то член неортогональной коррекции ограничивают, или же совсем им пренебрегают.

Для улучшения свойств решения вклад неортогональной коррекции учитывается явно, то есть берется с предыдущего момента времени (предыдущей итерации), а все величины, входящие в ортогональную составляющую, учитываются с нового временного слоя (со следующей итерации).

Дискретизация объемного источника из правой части уравнения (8) выполняется, следуя теореме о среднем: ^Фс1У = Ф РУР

у (14)

При моделировании всплытия пузырька воздуха в качестве объемных источников выступают градиент давления, сила тяжести и член, отвечающий за описание влияния поверхностного натяжения. Градиенты в центре контрольных объемов Ур вычисляются, используя теорему Грина-Гаусса [Ferziger & Репс, 2001]:

р

У(р=тт £ ъ * /,

— £ , (15)

УР /=/асв(Р)

где р/ =А(Рр+(\ — X}yN - центрально-разностное приближение значение величины р на грань.

При дискретизации уравнений в граничных контрольных объемах учитываются особенности физических границ, выраженных в совокупности математических условий, накладываемых на расчетные величины.

После дискретизации каждого уравнения системы (1) получаются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений расчетных величин, определенных в центрах контрольных объемов.

Течения, возникающие в случае исследования всплытия пузырьков воздуха малого диаметра в воде и численного моделирования затопления тел в воде с учетом их перехода границы воздух-вода, характеризуются малыми числами Маха. Поэтому учет сжимаемости не является ключевым моментом в данных исследованиях. Это обуславливает выбор методов моделирования.

В зависимости от обстоятельств существуют разные подходы для решения дискретизированной системы уравнений [Patankar, 1980; Стрелец, Шур, 1988; Van Doormaal & Raithby, 1984]. Для моделирования слабосжимаемых и несжимаемых течений часто применяются проекционные методы, подразумевающие расщепление по физическим процессам. Одним из таких методов, широко применяемых на практике, является метод SIMPLE и его модификации[Van Doormaal & Raithby, 1984; Ferziger & Peric, 2001]. К достоинствам данного метода относится тот факт, что его легко можно обобщить на случай сжимаемых течений. И хотя при использовании такого обобщенного алгоритма происходит потеря точности, особенно при расчете трансзвуковых и сверхзвуковых течений в областях ударных волн и волн разрежения [Козелков и др., 2013a], его возможностей достаточно для корректного учета сжимаемости в задачах, представленных в данной работе.

Вышеописанный метод и численная схема реализована при непосредственном участии диссертанта [Т5, Т6, Т8, Т9] в одном из основных модулей пакета программ ЛОГОС - модуле гидродинамики [Козелков и др., 2016a; Козелков и др., 2013b]. Модуль гидродинамики широко используется для решения фундаментальных [Т7] и индустриальных задач [Козелков и др., 2016a; Козелков и др., 2014; Т10]. Лично диссертантом проведено обобщение метода SIMPLE на сжимаемый случай [Т9] и реализация этой модификации в пакете программ ЛОГОС, а также введена его полностью неявная модификация [Т6].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тарасова Наталья Владимировна, 2021 год

Список литературы

1. Архипов В.А., Васенин И.М., Усанина А.С. Экспериментальное исследование нестационарных режимов всплытия одиночного пузырька // Инженерно-физический журнал. 2013. Т. 86. № 5.

2. Бахрах С.М., Глаголева Ю.П., Самигулин М.С., Фролов В.Д., Яненко Н.Н., Янилкин Ю.В. Расчет газодинамических течений на основе метода концентраций// ДАН СССР, 1981, т.257, №3, с.566-569

3. Белова О.В., Волков В.Ю., Скибин А.П., Николаева А.В., Крутиков А.А., Чернышев А.В. Методологические основы CFD-расчетов для поддержки проектирования пневмогидравлических систем // Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. С.1-13.

4. Болдырев Ю.Я., Боровков А.И., Заборовский В.С., Стрелец М.Х., Вчера, сегодня и завтра суперкомпьютерных технологий в СПбГПУ для промышленности и высшей школы. Книга. Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности. Издательство МГУ, Москва, 2013., с.2-8

5. Волков К.Н., Дерюгин Ю.Н., Емельянов В.Н., Карпенко А.Г., Козелков А.С., Тетерина И.В. Методы ускорения газодинамических расчетов на неструктурированных сетках. - Москва: Физматлит, 2013, 536 с.

6. Годунов С.К., Прокопов Г.П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчётах // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1972, т.12, № 2, с. 429-440.

7. Дерюгин Ю.Н., Саразов А.В., Жучков Р.Н. Особенности построения методики расчёта на сетках типа «Химера» для неструктурированных сеток // Математическое моделирование, 2017, т. 29, №2, с. 106-118.

8. Козелков А.С., Курулин В.В., Тятюшкина Е.С., Пучкова О.Л., Лашкин С.В. Исследование схем дискретизации конвективного потока для моделирования турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости методом отсоединенных вихрей // Фундаментальные исследования. 2013a. № 10. P. 1051 - 1058.

9. Козелков А.С., Дерюгин Ю.Н., Зеленский Д.К., Полищук С.Н., Лашкин С.В., Жучков Р.Н., Глазунов В.А., Яцевич С.В., Курулин В.В. Многофункциональный пакет программ ЛОГОС: физико-математические модели расчета задач аэро-, гидродинамики и теплопереноса // Препринт ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ» 111-2013, 2013b, 67 с.

10. Козелков А.С., Дерюгин Ю.Н., Лашкин С.В., Силаев Д.П., Симонов П.Г. Реализация метода расчета вязкой несжимаемой жидкости с использованием многосеточного метода на основе алгоритма SIMPLE в пакете программ ЛОГОС // ВАНТ, сер. Математическое моделирование физических процессов. 2013с. Вып. 4. C. 31 - 43.

11. Козелков А.С., Шагалиев Р.М., Курулин В.В., Лашкин С.В., Ялозо А.В., Денисова О.В. Актуальные проблемы высокопроизводительных вычислений в индустриальных приложениях // Сборник докладов конференции «Суперкомпьютерные технологии в промышлености», ФГУП «Крыловский Государственный Научный Центр», г. Санкт-Петербург, 2014, С. 16-24.

12. Козелков А.С., Шагалиев Р.М., Курулин В.В., Ялозо А.В., Лашкин С.В. Исследование потенциала суперкомпьютеров для масштабируемого численного моделирования задач гидродинамики в индустриальных приложениях // Вычислительная математика и математическая физика, 2016a, том 56, № 8, С. 154165.

13. Козелков А.С. Моделирование волн цунами космогенного и оползневого происхождения на основе уравнений Навье-Стокса. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Нижний Новгород-Саров ,2016b.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988.

15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973.

16. Мажукин В.И., Самарский А.А., Кастельянос О., Шапранов А.В. Метод динамической адаптации для нестационарных задач с большими градиентами // Математическое моделирование, 1993, т.5, №4, с. 32-56.

17. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М: Наука, 1987, 464 с.

18. Рыбкин К.А. Хаотическая динамика гравитационного дрейфа компактных тел в жидкостях и газах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Пермь ,2013.

19. Coy С. Гидродинамика многофазных систем. М. Мир, 1975, 536 с.

20. Стрелец М.Х. Шур М.Л. Метод масштабирования сжимаемости для расчета стационарных течений вязкого газа при произвольных числах Маха // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1988. т. 28. №2. c.254-266.

21. Сэфмен Ф.Д. Динамика вихрей: CambridgeUniversity Press.,1992.

22. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991.

23. Храбрый А.И., Зайцев Д.К., Смирнов Е.М. Численное моделирование течений со свободной поверхностью на основе метода VOF // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова (Труды Крыловского государственного научного центра). - 2013. - Вып. 78 (362). - С. 53-64

24. Яцевич С.В., Курулин В.В., Рубцова Д.П. О применении алгоритма PISO в задачах динамики молекулярно-несмешивающихся жидкостей // ВАНТ, сер.математическое моделирование физических процессов. - 2015. -№ 1. - С. 16-29.

25. Andersson H., Jiang F., Okulov V. Instabilities in the wake of an inclined prolate spheroid// Computational Modelling of Bifurcations and Instabilities in Fluid Dynamics. Ed/Alexander Gelfgat. Springer, 2018, p.311-352

26. Aristoff J. M. et al. The water entry of decelerating spheres // Phys. Fluids, Am. Inst. Phys. 2010. No.22.

27. Baz-Rodriguez S., Aguilar-Corona A., Soria A. Rising velocity for single bubbles in pure liquids // Revista Mexicana de Ingenieria Quimica (Mexico). 2012. V.11. No. 2. P. 269 -278.

28. Benek J.A., Buning P.G., Steger J.L. A 3-D Chimera Grid Embedding Technique // AIAA Paper, 1985, № 85, P.1523.

29. Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modelling surface tension // J. Comp. Phys. 1992. V. 100. P. 335 - 354.

30. Cano-Lozano J.C., Martinez-Bazan C., Magnaudet J. and Tchoufag J. Paths and wakes of deformable nearly spheroidal rising bubbles close to the transition to path instability// Phys. Review Fluids, 2016, 1(5), pp.053604

31. Casey M., Lang E., Mack R., Schlegel R. and Wehrli M. Applications of computational fluid dynamics for process engineering at Sulzer. Speedup J., 12(1):43- 51, 1988.

32. Chen L., Garimella S.V., Reizes J.A., Leonardi E. The development of a bubble rising in a viscous liquid // J. Fluid Mech. 1999. V. 387. P. 61 - 96.

33. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, drops and particles. 1 edition. - London: Academic Press, 1978.

34. Cuenot B., Magnaudet J., Speranto B. The effect of slightly soluble surfactants on the flow around a spherical bubble // J. Fluid Mech. 1997. V. 339. P. 25 - 29.

35. Davies R. M. and Taylor G. I., The mechanics of large bubbles rising through liquids in tubes // Proc. of Roy. Soc., London, 200, Ser. A, pp. 375-390, 1950

36. Ellingsen K., Risso F. On the rise of an ellipsoidal bubble in water: oscillatory paths and liquid induced velocity // J. Fluid. Mech., 2001, v. 440, p. 235 - 268.

37. Esmaeeli A., Tryggvason G. Direct numerical simulation of bubbly flows. Part 2. Moderate Reynolds number array // J. Fluid Mech. 1999. V. 385. P. 325 - 358.

38. Farhat C., Geuzaine Ph, Grandmonty C. The Discrete Geometric Conservation Law and the Nonlinear Stability of ALE Schemes for the Solution of Flow Problems on Moving Grids // Journal of Computational Physics, 2001, V. 174, P. 669-694.

39. Fast P., Shelley M.J. A moving overset grid method for interface dynamics applied to non-Newtonian Hele-Show flow// J. Comput. Phys. 2004. V. 195. P. 117-142

40. Ferziger J. H., Peric M., Computational methods fluid dynamics. Springer. 2001.

41. Gosman A. D. Developments in industrial computational fluid dynamics // Chem. Eng. Res. Des. 1998, 76(A2):153-161.

42. Grotjans H. Menter F. R. Wall functions for industrial applications // Computational Fluid Dynamics, 1998, vol. 1, pp. 1112-1117.

43. Hahn S., Iaccarino G., Ananthan S., Baeder D. Extension of CHIMPS for Unstructed Overset Simulation and Higher-Order Interpolation // AIAA Paper, № 2009-3999 ( AIAA,2009).

44. Hirt C. W., Nicols B. D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics of free boundaries // J. Comp. Phys., 1981, №39, pp. 201-225.

45. Hogg, P.W. An implicit algorithm for capturing sharp fluid interfaces in the volume of fluid advection method: technical report DL-TR-2006-001 / P.W.Hogg, X.J. Gu, D.R.Emerson. — Daresbury Laboratory, Warrington, United Kingdom, 2006. — 26 p.

46. Horowitz M., Williamson C.H.K. The effect of Reynolds number on the dynamics and wakes of freely rising and falling spheres// J. Fluid Mech., 2010, v.651, p. 251-294

47. Hua J., Lou J., Numerical simulation of bubble rising in viscous liquid, J. Comput. Phys. 22 (2007) 769-795

48. Hua J., Stene J., Lin P. Numerical simulation of 3D bubbles rising in viscous liquids using a front tracking method // J. Comp. Phys. 2008. V. 227. No. 6. P. 3358 - 3382.

49. Jacquim D. Calculation of two-phase Navier-Stokes flows using phase-field modeling // J. Comp. Phys., №155, pp. 96-127, 1999.

50. Jasak H., Error Analysis and Estimation for the finite volume method with applications to fluid flows. Thesis submitted for the degree of doctor. Department of Mechanical Engineering, Imperial College of Science, 1996.

51. Jenny M., Dusek J., Bouchet G., Instabilities and transition of a sphere falling or ascending freely in a Newtonian fluid // J. Fluid Mech., 2004a, v. 508, p. 201-239.

52. Jenny M., Dusek J., Efficient numerical method for the direct numerical simulation of the flow past a single light moving spherical body in transitional regimes// J. Comp. Phys., 2004b, v.194, p.215-232.

53. Karamanev D.G., The study of free rise of buoyant spheres in gas reveals the universal behaviour of free rising rigid sphere in fluid in general// Inter.J. Multiphase Flow, 2001, v.27, p. 1479-1486.

54. Kiris C., Kwak D., Rogers S., Chang I. Computational approach for probing the flow through artificial heart devices // J. Biomech. Eng. 1997. V. 119(4) P. 452-460

55. Kolev, N.I., Muliphase Flow Dynamic. Fundamentals, Berlin: Springer, 2007a,vol.1

56. Kolev, N.I., Muliphase Flow Dynamic. Termal and Mechanical Interactions, Berlin: Springer, 2007b,vol.2

57. Krishnan S., Sivasamy B. and Ramasamy K., Transient drag coefficients from a freely rising and falling solid sphere at moderate particle Reynolds numbers// The Canadian J. Chem. Eng., 2016, v.94, p.1003.

58. Lee K.R., Park J.H.Kim K.H. High-Order Interpolation Method for Overset Grid Based on Finite Volume Method // AIAA Journal, 2011, V. 49, №. 7, p. 1387-1398.

59. Lunde K., Perkins R. Shape oscillations of rising bubbles // Appl. Sci. Res. 1998. V. 58. P. 387 - 408.

60. MacCready P.B., Jex Y.R., Study of sphere motion and balloon wind sensors. Tech.Rep.Tech.Mem., X53089, NASA, 1964.

61. Malvern L.W. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium// Prictice-Hall: Englewood Cliffs,1969

62. Menter F. R., Two-equation eddy viscosity turbulence models for aerodynamics flows // AIAA Paper, 1992, pp. 392-429.

63. Menter F. R., Kuntz M., Langtry R. Ten Years of Experience with the SST Turbulent Model. Begell House Inc, 2003.

64. Mittal R., Iaccarino G. Immersed boundary methods// Annual Review of Fluid Mechanics, 2005, V.37, P.239-261.

65. Monaghan J.J. Simulation Free Surface Flows with SPH//J. Comp. Phys., № 110, pp. 399406,1994

66. Park W.C., Klausner J.F., Mei R. Unsteady forces on spherical bubbles. Experiments Fluids // 1995.V. 19. P. 167 - 172.

67. Patankar S.V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. Washington, D. C.: Hemisphere Publ. Corp., N.Y., 1980, 210p.

68. Preukschat A.W., Measurements of drag coefficients for falling and rising spheres in free motion // PhD thesis, California Institute of Technology, Pasadena,CA. 1964.

69. Rahmani M. and Wachs A., Free falling and rising of spherical and angular particles // Physics of Fluids 26, 083301 (2014).

70. Rusche H. Computational Fluid Dynamics of Dispersed Two-Phase Flows at high phase fraction // PhD thesis, Imperial College of Science, Technology& Medicine, Dep. of Mech. Eng., London. 2002.

71. Saffman P.G. On the rise of small air bubbles in water // J. Fluid. Mech. 1956. V. 1. P. 249 - 275.

72. Schlichting H. Gersten K. Boundary-Layer Theory - McGraw-Hill, Inc. New York, USA, 1979, 419 p.

73. Spalart P. R., Allmaras S. R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows// AIAA Paper № 0439 (1992).

74. Stepanyants Y.A., Yeoh G.H. Particle and bubble dynamics in a creeping flow // Eur. J. Mech. - B/Fluids, 2009, v. 28, 619-629.

75. Stokes G. G., Mathematical and Physical Papers, 1, Cambridge University Press, London, 1880.

76. Tahara Y., Wilson R., Carrica P., Stern F. RANS simulation of a container ship using a single-phase level-set method with overset grids and the prognosis for extension to a self-propulsion simulator / /J. Marine Sci Technol. 2006. V. 11(4). P. 209-228

77. Tang H., Jones S.C., Sotiropoulos F. An Overset Grid Method for 3D unsteady incompressible flows // Journal of Computational Physics, 2003, V.191(2), 567-600.

78. Talaia M.A.R. Terminal velocity of a bubble rise in a liquid column // International Journal of Mathematical, Computational, Physical and Quantum Engineering. 2007. V. 1. No: 4.

79. Tomiyama A., Celata G.P., Hosokawa S., Yoshida S. Terminal velocity of single bubbles in surface tension force dominant regime // Int. J. Multiphase Flow. 2002. V. 28. P. 1497.

80. Tripathi M.K., Sahu K.C., Govindarajan R., Dynamics of an initially spherical bubble rising in quiescent liquid// Nat. Commun. 6, 6268 (2015)

81. Ubbink O. Numerical prediction of two fluid systems with sharp interfaces // PhD, Department of Mechanical Engineering Imperial College of Science, Technology & Medicine, 1997.

82. Uhlmann M., Du'sek J. The motion of a single heavy sphere in ambient fluid: a benchmark for interface-resolved particulate flow simulations with significant relative velocities// Int. J. Multiphase Flow. 2014. V. 59. P. 221-243.

83. Van Doormaal J.R., Raithby G. D. Enhancement of the SIMPLE method for predicting incompressible fluid flow // Heat Transfer, 1984, Vol. 7, p.147-163

84. Veldhuis C.H.J., Biesheuvel A., An experimental study of the regimes of motion of spheres falling or ascending freely in a Newtonian fluid // Inter.J. Multiphase Flow, 2007, v.33, p. 1074-1087.

85. Veldhuis C., Biesheuvel A., Wijngaarden L. Shape oscillations on bubbles rising in clean and in tap water // Physics of fluids, 2008, v. 20, p. 1 - 12.

86. Veldhuis C.H.J., Biesheuvel A., Lohse D., Freely rising light solid spheres// Inter.J. Multiphase Flow, 2009, v.35, p. 312-322.

87. Waclawczyk T., Koronowicz T., Remarks on prediction of wave drag using VOF method with interface capturing approach // Archives of civil and mechanical engineering, 2008, v.8, p.5-14.

88. Wang, Z.J. and Parthasarathy V. A Fully Automated Chimera Methodology for Multiple Moving Body Problems // International Journal for Numerical Methods in Fluids, 2000, V. 33, № 7, P. 919-938.

89. Wang Z.J., Yang H.Q. A Unified Conservative Zonal Interface Treatment for Arbitrarily Patched and Overlapped Grids // AIAA Paper, №1994-0320.

90. Wemmenhove, R. Numerical simulation of two-phase flow in offshore environments: PhD thesis / Rik Wemmenhove. — University of Groningen, 2008. — 141 p.

91. Wu M., Gharib M., Experimental studies on the shape and path of small air bubbles rising in clean water// Phys. Fluid, 2002, v.14, №7, p. L49-L52.

92. Zhang X. Computation of viscous incompressible flow using pressure correction method on unstructured Chimera grid // Inter. J. Comp.Fluid Dynamics, 2006, V.20, № 9, P. 637650