Численно-экспериментальное исследование задачи трех тел в звездной динамике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.01, доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Владимирович

• Орлов, Виктор Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА I. Классификация типов движений

§1. Введение

§2. Типы движений в общей задаче трех тел

§3. Классы состояний тройных систем

§4. Критерии тройного сближения и выброса

§5. Критерии выброса и ухода

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-экспериментальное исследование задачи трех тел в звездной динамике»

§2. Распределение времени жизни тройных систем 29

§3. Параметры финальных состояний 38 §4. Теория распада и ее сравнение с численными экспериментами 45

§5. Начальные условия и распад 51

§6. Заключение 56

Заключение диссертации по теме «Астрометрия и небесная механика», Орлов, Виктор Владимирович

Результаты работы также докладывались на конференциях:

• "Проблема нескольких тел" (Турку, Финляндия, 1987 г.);

• "Проблемы физики и динамики звездных систем" (Ташкент, 1989 г.);

• "Вопросы небесной механики и звездной динамики" (Алма-Ата, 1990 г.);

• "Неустойчивость, хаос и предсказуемость в небесной механике и звездной динамике" (Дели, Индия, 1990 г.);

• "От Ныотона к хаосу. Современные методы понимания и обращения с хаосом в динамических системах N тел" (Кортина д'Ампеццо, Италия, 1993 г.);

• "Звездные населения" (Симпозиум MAC N 164, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Нерешенные проблемы Млечного Пути" (Симпозиум MAC N 169, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Структура и эволюция звездных систем" (Петрозаводск, 1995 г.);

• "Звездная динамика: от классической к современной" (Санкт-Петербург, 2000 г.);

• Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, 2001 г.);

• "Порядок и хаос в звездных и планетных системах" (Санкт-Петербург, 2003 г.);

• Всероссийская астрономическая конференция (Москва, 2004 г.).

Работа по диссертации была частично поддержана грантами программы "Ведущие научные школы" 00-15-96775 и НШ-1078.2003.02; РФФИ 02-02-17516 и программы "Университеты России" Минобразования РФ УР.02.01.027.

Автор глубоко благодарен Т.А. Агекяну, Ж.П. Аносовой, В.А. Антонову, С. Арсету, Д.И. Вертову, М. Валтонену, Р.Я. Жучкову, П. Иг-глтону, А.А. Киселеву, Л.Г. Киселевой, С.А. Клионеру, А.В. Кривову, С.А. Кутузову, А.И. Мартыновой, К. Маршалю, А.А. Мюлляри, И.И. Никифорову, С.Н. Нуритдинову, Л.П. Осипкову, Н.А. Петрову, А.В. Петровой, Н.П. Питьеву, Е.Н. Поляховой, А.С. Расторгуеву, Л.Г. Романенко, А.В. Рубинову, В.В. Сидоренко, Л.Л. Соколову, В.Г. Сурдину, Н.А. Суш-ко, П.А. Тараканову, В.Б. Титову, А.А. Токовинину, К.В. Холшевникову, А.Д. Чернину, М.В. Чернышеву, И.И. Шевченко и многим другим за полезные советы, ценные замечания и общую поддержку.

ГЛАВА I. Классификация типов движений §1. Введение

Множество возможных типов финальных движений в общей задаче трех тел зависит от знака полной энергии Е тройной системы. Первая классификация типов финальных движений при t —> ±00 была предложена Шази (1922, 1929). В этих работах было выделено семь возможных типов движений: 1) гиперболические, 2) гиперболо-параболические, 3) параболические, 4) гиперболо-эллиптические, 5) параболо-эллиптические, б) ограниченные, 7) осциллирующие. Также Шази получил оценки вероятностей некоторых переходов между типами движений. Заметим, что типы движений 2), 3), и 5) имеют нулевую меру и в дальнейшем не рассматриваются.

В тройных системах с Е > 0 движения могут быть гиперболические (1) или гиперболо-эллиптические (4), если имеется двойная. Переход 1) —У 1) соответствует прохождениям трех тел по гиперболическим орбитам. Переход 1) —> 4) означает, что в результате сближения трех одиночных тел произошел захват — два тела образовали двойную систему. Обратный переход 4) —1) означает разрушение двойной при сближении ее с одиночным телом (звездой поля) и в результате образуются три одиночных тела. В силу обратимости уравнений движения во времени возможность захвата гарантирует возможность разрушения двойной и наоборот. При сближении одиночного тела с двойной кроме разрушения двойной возможны еще два исхода: пролет звезды поля мимо двойной и обмен компонентами в двойной.

Для тройных систем с Е < 0 множество типов финальных движений более разнообразно. Наряду с пролетами, захватами и обменами в таких системах могут реализоваться ограниченные и осциллирующие движения (классы 6) и 7) согласно приведенной выше классификации Шази). Кроме того, могут иметь место случаи так называемого резонансного рассеяния, когда происходит временный захват одиночного тела и формируется временная тройная система. Эта система может разрушиться после длительной эволюции, причем уйти из тройной системы может как первоначально одиночное тело (прохождение), так и один из компонентов первоначальной двойной (обмен).

В последующих работах Себехея (1971), Аносовой (1988) и других авторов работы Шази получили дальнейшее развитие. В частности, была разработана классификация состояний, реализующихся в процессе динамической эволюции тройной системы. Классификация типов движений в общей задаче трех тел подробно описана Аносовой (1988). Мы в основном будем придерживаться этой схемы, хотя и с некоторыми уточнениями.

§2. Типы движений в общей задаче трех тел

По результатам численного моделирования динамики тройных систем с Е > 0 выделяются следующие типы движений:

1. прохождения трех одиночных тел по гиперболическим относительным орбитам;

2. формирование двойной системы при сближении трех одиночных тел (захват);

3. пролет одиночного тела мимо двойной системы (рассеяние);

4. разрушение двойной в результате ее сближения с одиночным телом (ионизация);

5. обмен компонентами в двойной (перезарядка);

6. тройное соударение.

Состояния 2) и 4) сменяют друг друга при изменении знака времени или скоростей всех тел на противоположные. Отметим, что двойные соударения допускают аналитическое продолжение. С учетом этого обстоятельства мы можем не рассматривать двойные соударения как отдельный тип движений. Заметим, что в реальности соударения приводят к слиянию звезд.

В тройных системах с Е < 0 можно выделить следующие типы финальных движений:

1. пролет одиночного тела мимо тесной двойной системы (рассеяние);

2. обмен компонентами (перезарядка);

3. захват проходящего тела и формирование временной тройной, эволюция которой завершается уходом одного из тел (резонансное рассеяние);

4. динамическая эволюция физически связанной тройной системы с ее распадом;

5. ограниченные движения тел;

6. осциллирующие движения;

7. тройное соударение.

Заметим, что типы движений 3) и 4) по сути идентичны, поскольку при изменении знака времени или скоростей всех трех тел на противоположные динамическая эволюция неустойчивой тройной системы также должна завершиться распадом. Вопрос заключается только в выборе начальных условий.

Тип 5) финальных движений можно разделить на несколько подтипов:

1. устойчивая иерархическая тройная система;

2. периодические движения;

3. непериодические неиерархические ограниченные движения.

Как частные случаи периодических движений мы можем рассматривать известные решения Эйлера и Лагранжа. Для осциллирующих движений, впервые обнаруженных Ситниковым (1960) в ограниченной задаче трех тел, не существует верхней границы для взаимных расстояний между телами и в то же время не происходит уходов тел. Тройные соударения, периодические орбиты и осциллирующие движения представляют собой изолированные типы движений с нулевой мерой.

В следующем параграфе мы более подробно остановимся на классификации состояний неустойчивых систем.

§3. Классы состояний тройных систем

Первая классификация состояний тройных систем с Е < 0 была предложена Себехеем (1971). Она включает в себя шесть классов, характеризующих как финальные движения, так и промежуточные состояния, реализующиеся в ходе динамической эволюции тройной системы:

1. взаимодействие,

2. выброс без ухода,

3. уход,

4. обращение,

5. лагранжевы равновесные конфигурации,

6. столкновения и периодические орбиты.

Агекян и Мартынова (1973) предложили разделить первый класс на два класса:

0. тройное сближение,

1. простое взаимодействие.

Два последних класса в классификации Себехея имеют нулевую меру. В состоянии 4) изолированная устойчивая тройная система находится неограниченно долго.

Неустойчивая тройная система в ходе эволюции может переходить между состояниями 0) - 2). Состояние 3) является финальным для неустойчивой распадающейся системы, причем как при t —> —оо, так и при t —>■ + оо.

Агекян и Мартынова (1973) предложили критерии состояний 0) - 3) для плоских систем с нулевым моментом вращения. Они ввели понятия радиуса тройного сближения Rq и радиусов выброса Щ (г = 1, 2, 3) для каждого из тел. Если в какой-то момент времени t все три тела находятся внутри круга радиусом Rq с центром в центре масс тройной системы, то в этот момент тройная система находится в состоянии тройного сближения. Если в момент времени t тело с номером i находится за пределами круга радиусом Щ с центром в центре масс тройной си® стемы, то в этот момент в тройной системе происходит выброс или уход г-го тела. Условия состояния простого взаимодействия формулируются методом исключения: в тройной системе имеется, по крайней мере, одно тело, которое находится за пределами круга радиусом Rq и все три тела в пределах своих кругов радиусами Ri. Выбор критических значений Ro и R{ радиусов сфер тройного сближения и вбросов обсуждается в следующем параграфе.

Для разделения состояний 2) и 3) в литературе имеется ряд критериев (Биркхофф 1927; Тевзадзе 1962; Стендиш 1971, 1972; Юшида 1972, 1974; Гриффит и Норт 1974; Маршаль 1974; Маршаль и др. 1984). Анализом этих критериев мы займемся несколько позже, а в следующем параграфе обобщим критерии Агекяна и Мартыновой (1973) на случаи плоских • вращающихся тройных систем и тройных систем, в которых движения тел происходят в трехмерном пространстве.

§4. Критерии тройного сближения и выброса

В работе Агекяна и Мартыновой (1973) радиус Ro тройного сближения выбирается таким образом, что при любых положениях тел внутри круга радиусом Ro с центром в центре масс тройной системы выполняется условие:

-U > -2Е , (1) где U — потенциальная энергия тройной системы. То есть в пределах сферы тройного сближения тела находятся ближе друг к другу, чем в случае вириального равновесия тройной системы. Величина Ro определяется следующим равенством где G — постоянная тяготения, А — коэффициент, зависящий от масс тел. В работе Агекяна и Мартыновой (1973) приведена таблица значений А в зависимости от отношений масс тел при условии, что максимальная из масс тел равна единице; в случае равных единичных масс А = т/3.

Обобщим критерий тройного сближения (2) на случай вращающихся тройных систем (как на плоскости, так и в трехмерном пространстве). Прежде всего, заметим, что в любой момент времени t мы можем провести плоскость, в которой лежат все три тела. В этой же плоскости будет находиться и центр масс тройной системы. Для этой плоскости мы можем провести рассуждения точно так же, как это было сделано в работе Агекяна и Мартыновой (1973) для случая нулевого углового момента. В результате мы получим то же самое выражение для "мгновенного" значения радиуса Rq сферы тройного сближения. Но поскольку в трехмерном случае плоскость, содержащая три тела, будет испытывать вращение вокруг центра масс тройной системы, вместо круга радиусом Rq мы получим сферу тройного сближения того же радиуса Rq, определяемого формулой (2). Таким образом, выражение (2) для радиуса сферы тройного сближения справедливо как в плоском, так и в трехмерном случаях.

Теперь обобщим критерий выброса. В работе Агекяна и Мартыновой (1973) рассмотрены тройные системы с нулевым моментом вращения L = 0. Определяется такое состояние системы, когда минимальное из взаимных расстояний между телами принимает наибольшее значение. Это состояние достигается, когда тела имеют нулевые скорости и находятся в вершинах равностороннего треугольника. Соответствующие этой конфигурации удаления тел от центра масс тройной системы принимаются за радиусы выбросов Ri (г = 1, 2, 3). Заметим, что в случае равных единичных масс

Ri = = 2Rq . (3)

Обобщение критерия выброса для вращающихся систем с L ф 0 начнем со следующего замечания. Найдем такое состояние тройной системы, в котором достигается наибольшее значение минимального взаимного расстояния. Это состояние достигается, когда выполнены следующие условия: 1) тела находятся в вершинах равностороннего треугольника; 2) радиальные составляющие скоростей тел равны нулю; 3) вращение тройной системы происходит в плоскости, ортогональной вектору L углового момента тройной системы.

В этом случае справедливы следующие соотношения между векторами положений ri и скоростей Vi. тел в неподвижной системе координат, связанной с центром масс тройной системы: п • Vi = 0 , i = 1,2,3 з х Vi) = L , i=1 3 rrii ri = 0 , г=1 3

4) i=1 3 i=1 i<j lJ r\2 = Пз = Г23 = a .

Здесь rrii (г = 1, 2, 3) — массы тел; r^ (i,j = 1, 2, 3; г < ji) — взаимные расстояния между телами; а — параметр, имеющий размерность длины и определяемый рассматриваемой конфигурацией.

Не умаляя общности, мы можем совместить координатную плоскость XY с плоскостью, ортогональной вектору L, в которой располагаются тела. Направим ось X на тело с номером г = 1 и и запишем систему уравнений (4) в полярных координатах (ri,0); (г2,ф2)', {гз,фз). Решая полученную систему, находим

П = jjVm22 + m2m3 + m32 , r2 = -^:\/mi2 + mim3 + m32 , (5) r3 = -^r\/mi2 + mim2 + m22 , где М = mi -f Ш2 + газ — сумма масс тел. Значение параметра а определяется из интегралов энергии и площадей

G[i (л Г 2МЕЬЛ . ' <6> где fi = гахгаг + гахгаз + гаггаз. Подставив (6) в (5), мы находим радиусы выброса Ri (г = 1, 2, 3).

Таким образом, мы обобщили критерии тройного сближения и выброса на случай тройных систем с L ф 0 как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Заметим еще раз, что, если в тройной системе не выполнены условия ни тройного сближения, ни выброса, то она находится в состоянии простого взаимодействия. Это состояние является промежуточным между состояниями тройного сближения и выброса. Тем не менее, оно играет существенную роль в метастабильных режимах эволюции (см. § 4 в главе IV).

§5. Критерии выброса и ухода

Достаточные условия ухода одного из тел можно сформулировать в следующем общем виде (Себехей 1973): если в некоторый момент времени to в тройной системе выполняются следующие условия

• pit о) = ро> a, p(t0) = ро > 0, pi > b , (7) то при t —> +оо величина р —> +оо (происходит уход одного из тел). Здесь p{t) — расстояние от удаленного тела до центра масс двух других тел; p{t) — радиальная составляющая скорости этого тела относительно центра масс остающейся двойной; а и Ь — некоторые функции от масс тел и полной энергии тройной системы, величина Ъ также зависит от расстояния ро

Обозначим через D верхнюю границу наименьшего взаимного расстояния между телами. Тогда величина а = 2D в критериях Биркхоффа

1927) и Тевзадзе (1962); а = D в критериях Стендиша (1971), а также Гриффита и Норта (1974); а = M^D для условий Юшиды (1972) и Маршаля (1974), где Mi = т^т2 , т\ < тъ — массы компонентов близкой пары.

Величины b имеют следующий вид:

8 GM Ро

9 ПМ ( Mi М2 А

Po~M2D Т" po-MiD)

2GM [X + +

2QM ( М1I

Po~M2D ^ po+MxDУ

Биркхофф 1927);

Тевзадзе 1962);

Стендиш 1971);

Гриффит и Норт 1974);

Юшида 1972, Маршаль 1974).

3Д^ь М, =

Все эти критерии являются достаточными условиями ухода, но в некоторых случаях уход может произойти, хотя критерий не выполнен. Поэтому представляет интерес найти критерий ухода, который обеспечивает максимальное число выявленных уходов.

Величина а минимальна в критерии Юшиды-Маршаля. Этот критерий можно применять на меньших расстояниях ро по сравнению с другими рассматриваемыми здесь критериями. Для сравнения величин b удобно ввести следующую систему единиц 2GM = 1 и D = 1, а также ввести безразмерные параметры а = М\ и (3 = D/pq. Все значения 6, приведенные выше, можно записать через а и (3, а затем составить все возможные разности. Оптимальному критерию при фиксированных а и {3 соответствует минимальное значение Ь.

Сравнение величин b показало, что для всех (3 G (0,1) и a G [0,0.5] значение b минимально для критерия Юшиды-Маршаля. Различие с критерием Гриффита и Норта незначительно. Остальные критерии значительно хуже при /3 > 0.5. При (3 —» 0 (/?о +оо) все попарные разности величин b стремятся к нулю. Все критерии, кроме критерия Виркхоффа, при этом асимптотически стремятся к условию гиперболичности орбиты внешней двойной

6=^ = 0. (8)

Ро

В работе Маршаля и др. (1984) показано, что условие гиперболичности (8) можно использовать в качестве критерия ухода при ро > 2D.

Таким образом, для того, чтобы решить, какое из состояний (выброс с возвратом или уход) имеет место в тройной системе, при малых M^D < ро < 2D можно использовать критерий Юшиды-Маршаля, а при ро > 2D — критерий гиперболичности орбиты внешней двойной.

Заключение

В заключении кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Выполнено обобщение критериев тройного сближения и выброса, полученных ранее Агекяном и Мартыновой (1973) для тройных систем с нулевым угловым моментом, на случаи плоских вращающихся и трехмерных тройных систем.

2. Показано, что среднее время жизни изолированных тройных систем бесконечно велико; получены аппроксимации интегральных распределений времени жизни тройных систем.

3. Найдены зависимости средних характеристик финальных состояний распадающихся тройных систем от отношения масс компонентов и момента вращения тройной системы.

4. Выполнено сравнение результатов численного моделирования динамической эволюции вращающихся тройных систем и модификации статистической теории распада тройных систем (Валтонен и Карту-нен 2004) — показано качественое согласие результатов, что говорит о применимости этой теории.

5. Показана устойчивость статистических результатов численонго моделирования к небольшим вариациям области задания начальных условий.

6. Отмечена перемежаемость зон регулярности и стохастичности ("непредсказуемости") поведения тройных систем в окрестности треугольника Пифагора.

7. Построены распределения семи конфигурационных и кинематических параметров тесных тройных сближений, приводящих к уходам тел из тройных систем с нулевым моментом вращения.

8. Найдены характеристики тройных сближений типа "пролет" и "обмен", приводящих к распаду тройных систем.

9. Выявлены статистически значимые корреляции между рядом параметров тройных сближений и длиной последующих выбросов; показано, что наиболее сильно длина выброса коррелирует с теснотой сближения — чем теснее тройное сближение, тем дальше выброс.

10. Найдены критические значения отношения периодов внешней и внутренней двойных в иерархических тройных системах с первоначально круговыми прямыми движениями, соответствующие двум сценариям потери устойчивости (обмен и уход удаленного тела без обмена).

И. Представлены примеры неиерархических устойчивых вращающихся тройных систем.

12. Обнаружена область устойчивых по Лагранжу движений в окрестности периодической орбиты "восьмерка".

13. Найден новый класс движений в общей задаче трех тел — метаста-бильные; найдены начальные условия для метастабильных траекторий, попадающих в окрестности устойчивых периодических орбит.

14. Выполнена классификация орбит в плоской равнобедренной и прямолинейной задачах трех тел при разных отношениях масс компонентов: параметр классификации — число прохождений центрального тела через центр масс тройной системы, предшествующих распаду системы.

15. Выделены области ограниченных движений в окрестности устойчивых периодических орбит Шубарта (1956) и Брука (1979).

16. Показано преобладание трансверсальных движений удаленных компонентов в 14 вероятно физических визуальных тройных системах с надежно определенными относительными собственными движениями компонентов, что может косвенно свидетельствовать в пользу устойчивости этих систем.

17. Определены характеристики динамической устойчивости для 38 наблюдаемых тройных звезд.

18. Намечены вероятные сценарии динамической эволюции четырех близких и широких визуальных тройных звезд (ADS 48 ABF, ADS 6175, а Сеп + Proxima Сеп, ADS 9909).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Орлов, Виктор Владимирович, 2004 год

1. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. // Труды Астрой, обе. Ленингр. ун-та. 1977. Т. 33. С. 52.

2. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. // Астрон. жури. 1991. Т. 68. С. 1099.

3. Агекян Т.А., Мартынова А.И. // Вестник Ленингр. ун-та. 1973. N 1. С. 122.

4. Алексеев В.М. // Матем. сборник. 1969. Т. 78. С. 3.

5. Аллен, Поведа (Allen С., Poveda А.) // Publ. Astron. Soc. Pacif. 1975. V. 87. P. 499.

6. Аносова Ж.П. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1968. Т. 25. С. 100.

7. Аносова Ж.П. // Труды Астрой, обе. Ленингр. ун-та. 1969. Т. 26. С. 88.

8. Аносова Ж.П. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1979. Т. 35. С. 152.

9. Аносова Ж.П. II Астрофизика. 1986а. Т. 25. С. 297.

10. Аносова (Anosova J.P.) // Astroph. Space Sci. 19866. V. 124. P. 217.

11. Аносова Ж.П. 11 Астрофизика. 1987. Т. 27. С. 535.

12. Аносова (Anosova J.P.) // The Few Body Problem (ed. Valtonen M.) Dordrecht: D. Reidel Publ. Co. 1988. P. 27.

13. Аносова Ж.П., Завалов Н.Н. // Труды Астрон. обе. Ленингр. унта. 1981. Т. 36. С. 109.

14. Аносова Ж.П., Завалов Н.Н. // Астрон. оюурн. 1989. Т. 66. С. 152.

15. Аносова Ж.П., Орлов В.В. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1985. Т. 40. С. 66.

16. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. М: ВИНИТИ, 1985.

17. Арсет, Заре (Aarseth S.J., Zare К.) // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185.

18. Барлоу, Скарф (Barlow D.J., Scarfe C.D.) // Astron. J. 1991. V. 102. P. 2098.

19. Баррадо и Наваскес (Barrado у Navascues D.) // Astron. Astroph. 1998. V. 339. P. 831.

20. Бене, Дюван (Benest D, Duvent J.L.) // Astron. Astroph. 1995. V. 299. P. 621.

21. Биннендейк (Binnendijk L.) // Astron. J. 1955. V. 60. P. 355.

22. Биркхофф (Birkhoff G.D.) Dynamical systems. New York: American Math. Soc., 1927.

23. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume 1: Integrable systems and non-perturbative methods. A A Libr. Berlin: Springer, 1996.

24. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume 2: Perturbative and geometrical methods. AA Libr. Berlin: Springer, 1997.

25. Болтон (Bolton C.T.) // Private Commun. 1975.

26. Брук (Broucke R.) // Astron. Astroph. 1979. V. 73. P. 303.

27. Булирш, Штёр (Bulirsch R., Stoer J.) // Num. Math. 1966. V. 8. P. 1.

28. Бэз (Baize P.) // J. Observ. 1955. V. 38. P. 37.

29. Бэз (Baize P.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1976. V. 26. P. 177.

30. Бэз (Baize P.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1981. V. 44. P. 199.

31. Бэз (Baize P.) j I Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1991. V. 87. P. 49.

32. Балкер, Чамблисс (Walker R.L., Chambliss C.R.) // Astron. J. 1985. V. 90. P. 346.

33. Валтонен (Valtonen M.J.) // Vistas Astron. 1988. V. 32. P. 23.

34. Валтонен (Valtonen M.J.) // Astroph. J. 1997. V. 485. P. 785.

35. Валтонен (Valtonen M.J.) // Astron. Astroph. 1998. V. 334. P. 169.

36. Валтонен, Картунен (Valtonen M.J., Karttunen H.) Three-Body Problem in Astrophysics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

37. Валтонен, Миккола (Valtonen M.J., MikkolaS.) // Ann. Rev. Astron. Astroph. 1991. V. 29. P. 9.

38. Вальбукё (Valbousquet A.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1980. V. 41. P. 295.

39. Вест (West F.R.) // Astroph. J. 1976. V. 205. P. 194.

40. Вит-Кнудсен (Wieth-Knudsen N.) // Lunds Univ. Ars. N. F. A2. 1956. V. 52. P. 12.

41. Гейтвуд, Хан (Gatewood G., Han I.) // Astron. J. 1995. V. 110. P. 1860.

42. Гейтвуд и др. (Gatewood G., de Jonge J.K., Heintz W.D.) // Astron. J. 1995. V. 109. P. 434.

43. Голубев В.Г. // Доклады АН СССР. 1967. Т. 12. С. 529.

44. Голубев В.Г. // Доклады АН СССР. 1968. Т. 13. С. 373.

45. Голубев В.Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М.: Изд. МГУ, 1985.

46. Гриффит, Норт (Griffith J.S., North R.D.) // Celest. Mech. 1974. V. 8. P. 473.

47. Дворак, Суп Юсуи (Dvorak R., Sun Yisui) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 67. P. 87.

48. Дворак и dp. (Dvorak R., Contopoulos G., Efthymiopoulos Ch., Voglis N.) // Planetary and Space Sci. 1998. V. 46. P. 1567.

49. Доннисон, Микулскис (Donnison J.R., Mikulskis D.F.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1995. V. 272. P. 1.

50. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М: Наука, 1964•

51. Дубошин Г.Н., Рыбаков А.И., Калинина Е.П., Холопов П.Н. // Со-общ. ГАИШ. 1971. Т. 175. С. 3.

52. Дюкенуа (Duquennoy А.) // Astron. Astroph. 1987. V. 178. P. 114.

53. Дюкенуа, Майор (Duquennoy A., Mayor М.) // Astron. Astroph. 1988. V. 200. P. 135.

54. Заре, Несли (Zare К., Chesley S.) // Chaos. 1998. V. 8. P. 475.

55. Игглтои, Киселева (Eggleton P.P., Kiseleva L.G.) // Astroph. J. 1995. V. 455. P. 640.

56. Карле (Karle J.H.) // Private Commun. 1977.

57. Корпорон и dp. (Corporon P., Lagrange A.M., Beust H.) // Astron. Astroph. 1996. V. 310. P. 228.

58. Kymo (Couteau P.) // J. Observ. 1965. V. 48. P. 39.

59. Мазех, Шахам (Mazeh Т., Shaham J.) // Astroph. J. 1976. V. 205. P. L147.

60. Мазех, Шахам (Mazeh Т., Shaham J.) // Astroph. J. 1977. V. 213. P. L17.

61. Майер (Mayer P.) // Bull. Astron. Inst. Czech. 1983. V. 34. P. 335.

62. Майер, Дрехзелъ (Mayer P., Dfechsel H.) // Astron. Astroph. 1987. V. 183. P. 61.

63. МакАлистер (McAlister H.A.) // Astroph. J. 1980. V. 236. P. 522.

64. МакАлистер, Харткопф (McAlister Н.А., Hartkopf W.I.) // Private Commun. 1984.

65. МакАлистер и др. (McAlister H.A., Mason B.D., Hartkopf W.I.) // Astron. J. 1993. V. 106. P. 1639.

66. МакГихи (McGehee R.) // Inv. Math. 1974. V. 27. P. 191.

67. МакКарти (McCarthy D.W.) // The Nearby Stars and the Stellar Luminosity Function (ed. Philip A.G.D., Upgren A.R.). N.Y.: Pergamon Press. 1983. P. 107.

68. Мардлинг, Apcem (Mardling R., Aarseth S.) // The dynamics of small bodies in the Solar system, a major key to Solar system studies (ed. Steves B.A., Roy A.E.) Dordrecht: Kluwer. 1999. p. 385.

69. Маркеропи и др. (Marceroni С., Milano L., Russo G., Sollazzo C.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1981. V. 45. P. 187.

70. Маршаль (Marchal C.) // Celest. Mech. 1974. V. 9. P. 381.

71. Маршаль (Marchal C.) The Three-Body Problem. Amsterdam: Elsevier, 1990.

72. Маршаль и др. (Marchal С., Yoshida J., Sun Yi-Sui.) // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 65.

73. Миддлдич, Нельсон (Middleditch J., Nelson J.) // Astroph. J. 1976. V. 208. P. 567.

74. Миккола (Mikkola S.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1994. V. 269. P. 127.

75. Миккола, Apcem (Mikkola S., Aarseth S.J.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1993. V. 57. P. 439.

76. Миккола, Валтопен (Mikkola S., Valtonen M.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1986. V. 223. P. 269.

77. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1976a. V. 176. P. 63.

78. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 19766. V. 177. P. 583.

79. Морбиделли, Дэ/сордэюилли (Morbidelli A., Giorgilli A.) // J. Stat. Phys. 1995. V. 78. P. 1607.

80. Myp (Moore C.) // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3675.

81. Мюллер (Muller P.) // J. Observ. 1955. V. 38. P. 58.

82. Ньюбург (Newburg J.L.) // Repub. Observ. Johannesburg Circ. 1969. V. 7. P. 190.

83. Нэш, Монахан (Nash P.E., Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1978. V. 184. P. 119.

84. Петри, Лайдлер (Petrie R.M., Laidler D.M.) // Publ. Dominion As-troph. Observ. 1952. V. 9. P. 181.

85. Поппер (Popper D.M.) // Astroph. J. 1943. V. 97. P. 394.

86. Реймерс и др. (Reimers D., Griffin R.F., Brown A.) // Astron. Astroph. 1988. V. 193. P. 180.

87. Рой и др. (Roy A.E., Carusi A., Valsecchi G.B., Walker I.W.) // Astron. Astroph. 1984. V. 141. P. 25.

88. Салуквадзе Г.Н. // Астрофизика. 1985. Т. 22. С. 97.

89. Capua (Sarna M.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1993. V. 262. P. 534.

90. Себехей (Szebehely V.) // Celest. Mech. 1971. V. 4. P. 116.

91. Себехей (Szebehely V.) // Recent Advances in Dynamical Astronomy (eds. Tapley B.D., Szebehely V.) Dordrecht: D. Reidel Publ. Co. 1973. P. 75.

92. Себехей, Заре (Szebehely V., Zare K.) // Astron. Astroph. 1977. V. 58. P. 145.

93. Себехей, Петере (Szebehely V., Peters C.F.) // Astron. J. 1967. V. 72. P. 1187.

94. Симо K. // Современные проблемы хаоса и нелинейности (ред. Борисов А.В.) Ижевск: Изд. Ин-та компьютерных исследований. 2002. С. 252.

95. Симо, Мартипес (Sim6 С., Martinez R.) // Celest. Mech. 1987. V. 41. P. 179.

96. Ситников К.A. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 133. С. 303.

97. Скарф и др. (Scarfe C.D., Barlow D.J., Fekel F.C., Rees R.F., Lyons R.W., Bolton C.T., McAlister H.A., Hartkopf W.I.) 11 Astron. J. 1994. V. 107. P. 1529.

98. Стейн, Бердсли (Stein J.W., Beardsley W.R.) // Vistas Astron. 1977. V. 21. P. 43.

99. Стеидиш (Standish E.M.) // Celest. Mech. 1971. V. 4. P. 44.

100. Стеидиш (Standish E.M.) // Celest. Mech. 1972. V. 6. P. 352.

101. Сундман (Sundman K.F.) // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105.

102. Танапбаум, Хатчинге (Tananbaum H.D., Hutchings J.B.) If Ann. N.Y. Acad. Sci. 1975. V. 262. P. 299.

103. Тапикава, Миккола (Tanikawa К., Mikkola S.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2000a. V. 76. P. 23.

104. Таникава, Миккола (Tanikawa К., Mikkola S.) // Chaos. 20006. V. 10. P. 649.

105. Таникава, Умехара (Tanikawa К., Umehara H.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1998. V. 70. P. 167.

106. Тевзадзе Г.А. // Изв. АН Армянской ССР. 1962. Т. 15. N 5. С. 67.

107. Токовипин А.А. // Письма в Астрон. oicypu. 1994• Т. 20. С. 368.

108. Токовинин (Tokovinin А.А.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1997. V. 124. P. 75.

109. Токовинин A.A. // Письма в Астрон. жури. 1998. Т. 24. С. 217.

110. Фекел (Fekel F.C.) // Astron. J. 1975. V. 80. P. 844.

111. Фекел (Fekel F.C.) // PhD Thesis. Univ. of Texas at Austin. 1979.

112. Фекел (Fekel F.C.) 11 Astroph. J. 1981. V. 246. P. 879. ИЗ. Фекел (Fekel F.C.) // Astroph. J. 1983. V. 268. P. 274.

113. Фекел, Скарф (Fekel F.C., Scarfe C.D.) // Astron. J. 1986. V. 92. P. 1162.

114. Фекел, Томкин (Fekel F.C., Tomkin J.) 11 Astroph. J. 1982. V. 263. P. 289.

115. Фекел и др. (Fekel F.C., Scarfe C.D., Barlow D.J., Duquennoy A., McAl-ister H.A., Hartkopf W.I., Mason W.D., Tokovinin A.A.) // Astron. J. 1997. V. 113. P. 1095.

116. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1968. N 44.

117. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1973. N 60.

118. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1976. N 69.

119. Харрингтон (Harrington R.S.) // Astron. J. 1977. V. 82. P. 753.

120. Харткопф и др. (Hartkopf W.I., McAlister H.A., Yang X., Fekel F.C.) // Astron. J. 1992. V. 103. P. 1976.

121. Хегги (Heggie D.C.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 2000. V. 318. P. L61.

122. Хейнтц (Heintz W.D.) 11 Astroph. J. 1976. V. 208. P. 474.

123. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astroph. J. Suppl. Ser. 1978. V. 37. P. 71.

124. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astroph. J. 1984. V. 284. P. 806.

125. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astron. J. 1996. V. 111. P. 408.

126. Хейнямяки и др. (Heinamaki P., Lehto H.J., Valtonen M.J., Chernin A.D.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1998. V. 298. P. 790.

127. Хейнямяки и др. (Heinamaki P., Lehto H.J., Valtonen M.J., Chernin A.D.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1999. V. 310. P. 811.

128. Херши (Hershey J.L.) // Astron. J. 1973. V. 78. P. 935.

129. Хиетаринта, Миккола (Hietarinta J., Mikkola S.) j I Chaos. 1993. V. 3. P. 183.

130. Хилл и др. (Hill G., Aikman G.C.L., Cowley A.P., Bolton C.T., Thomas J.C.) // Astroph. J. 1976. V. 208. P. 152.

131. Хилл и др. (Hill G., Fisher W.A., Holmgren D.) // Astron. Astroph. 1989. V. 211. P. 81.

132. Хопманн (Hopmann J.) // Ann. Univ.-Sternw. Wien. 1964. V. 26. P. 22.

133. Хорн и др. (Horn J., Kubat J., Harmanec P., Koubsky P., Hadrava P., Simon V., Stefl S., Skoda P.) // Astron. Astroph. 1996. V. 309. P. 521.

134. Хуммель, Армстронг (Hummel С.A., Armstrong J.T.) // Very High Angular Resolution Imaging (ed. Robertson J.G., Tango W.J). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1994. P. 410.

135. Целлер (Zeller G.) // Ann. Univ.-Sternw. Wien. 1965. V. 26. P. 111.

136. Чамблисс (Chambliss C.R.) // Astroph. Space Sci. 1983. V. 89. P. 15.

137. Чернин, Валтонен (Chernin A.D., Valtonen M.J.) // New Astron. Rev. 1998. V. 42. P. 41.

138. Чесли (Chesley S.R.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1999. V. 73. P. 291.

139. Честер (Cester B.) // Mem. Soc. Astron. Ital. 1962. V. 33. P. 177.

140. Чириков (Chirikov B.V.) // Phys. Rep. 1979. V. 52. P. 263.

141. Чириков (Chirikov B.V.) // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. V. 1. P. 79.

142. Шази (Chazy J.) // Ann. l'Ecole Norm. 1922. Ser. 3. V. 39. P. 29.

143. Шази (Chazy J.) // J. Math. Pures et Appl. 1929. Ser. 9. V. 8. P. 353.

144. Шансиньё, Монтгомери (Chencinier A., Montgomery R.) // Ann. Math. 2000. V. 52. P. 881.

145. Шеффелъ (Schoffel E.) // Astron. Astroph. 1977. V. 61. P. 107.

146. Шубарт (Schubart J. von) // Astron. Nachr. 1956. V. 283. P. 17.

147. Эванс (Evans D.S.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1969. V. 142. P. 523.

148. Энон (Henon M.) // Celest. Mech. 1977. V. 15. P. 243.

149. Юшида (Yoshida J.) // Publ. Astron. Soc. Japan. 1972. V. 24. P. 391.

150. Юшида (Yoshida J.) // Publ. Astron. Soc. Japan. 1974. V. 26. P. 367.