Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Васина, Марина Владимировна

• Васина, Марина Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васина, Марина Владимировна

Содержание

Введение_3

1. Математическая модель колебаний пространственно- криволинейного стержня_9

1.1. Кинематические соотношения_9

1.2. Дифференциальные уравнения движения криволинейного стержня_17

1.3. Уравнения состояния криволинейного неоднородного стержня

1.4. Уравнение свободных колебаний криволинейного стержня _26

2. Метод решения системы уравнений состояния для свободных колебаний пространственно-криволинейного неоднородного стержня_

2.1. Уравнение состояния для свободных колебаний в безразмерной форме _32

2.2. Фундаментальные решения уравнений состояния_36

2.3. Определение спектра свободных колебаний_47

2.4. Реализация последовательных приближений для конкретных стержней_55

2.4.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом_____55

2.4.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом__59

2.5. Алгоритм определения спектра и построения собственных форм

3. Определение собственных частот и состояний пространственно-криволинейных стержней с переменными параметрами_65

3.1. Стержень с осью в виде логарифмической спирали с линейным подъемом_65

3.1.1. Консольный стержень___69

3.1.2. Защемленный стержень___

3.1.3. Шарнирно-опертый стержень_82

3.2. Стержень с осью в виде архимедовой спирали с линейным подъемом_88

3.2.1. Консольный стержень___88

3.2.2. Защемленный по двум концам стержень_94

3.2.3. Шарнирно-опертый стержень_99

Литература_106

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитический метод определения форм свободных колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней»

ВВЕДЕНИЕ

Многие прикладные задачи различных областей науки и техники связаны с исследованием состояний стержней с пространственно искривленной осью. Это прочностной анализ конструкции каркаса летательных аппаратов и судов, элементов жесткости антенных систем, несущих элементов нестандартных строительных конструкций, расчет систем амортизации, в которых используются различного рода пружины (цилиндрические или конические) и т.п.

В настоящее время одним из перспективных прикладных направлений является биомеханика, в рамках которой большое внимание уделяется изучению прочности элементов костно-мышечного аппарата животных и человека при вибрационных, ударных и других видах внешних воздействий.

Биомеханические структуры имеют сложную структуру и форму. Их механические свойства зависят от индивидуальных особенностей организма, возраста, функционального состояния, внешних факторов и в значительной степени определяются напряженно-деформированным состоянием, так как биомеханическая система адаптируется к внешним воздействиям.

Организм, как объект механики, представляет собой сложную систему, в которой просматривается иерархическая организация [14]. Один из возможных вариантов структурирования таков: выделение опорно-двигательного аппарата, (совокупности костно-мышечных тканей), внутренних органов, кровеносной системы. В свою очередь, каждая из указанных подсистем также может быть разбита на более простые. В частности, в опорно-двигательном аппарате выделяется скелет, источники энергии для его движения - поперечно-полосатые мышцы и суставы - соединительные элементы. Можно предложить и другой принцип структурирования - по отделам тела: голова, конечности, туловище со своими отделами - грудной клеткой, тазовым поясом и т.д. Рассматривая общие приемы исследования сложных систем, можно утверждать, что их математическое моделирование требует составления моделей элементов самого нижнего уровня иерархии, то

3

есть применительно к данному случаю костей, мышц и внутренних органов. Из приведенных примеров структурирования следует, что непременным элементом моделирования являются элементы скелета, т.е. кости, которые являются основными несущими конструкциями организма. В подавляющем большинстве кости можно представлять как пространственно-криволинейные стержни переменного сечения. Кроме того, элементы скелета обладают выраженными вязкоупругими свойствами [2, 8], изменяющимися как вдоль оси, так и в поперечном сечении. В силу этого разработка моделей таких объектов представляется актуальной задачей биомеханики.

В настоящее время изучению механического поведения организмов и их элементов, в частности, костей, посвящены исследования ряда российских и зарубежных ученых. Об актуальности таких исследований свидетельствует наличие специализированных журналов (например, Transactions ASME. Journal of Biomech. Eng., США, Российский журнал биомеханики, г. Пермь), постоянно действующих семинаров (например, под рук. проф. Ю.И. Няшина, Пермский ГТУ). В современных публикациях по биомеханике рассматривается широкий круг вопросов, который можно разделить на три основных класса: исследования механических свойств биоматериалов и различных элементов человеческого организма [29, 57, 59, 63, 62, 64, 67, 73, 75], моделирование динамики человеческого организма и отдельных кинематических цепей [4, 6, 7, 8, 10, 15, 20, 30, 33, 42,56], решение конкретных прикладных задач [33, 35, 37, 49, 54, 61, 70, 74, 72, 71, 58, 66]. Так, в [1, 12, 40, 43, 49, 54] изучаются вопросы статического и динамического поведения отдельных костей организма при различных видах нагружения. Исследуются более сложные вопросы, связанные с анализом соединений костей скелета - грудной клетки и суставов в различных условиях [37, 66, 70, 71, 72, 73, 74, 76, 78]. Общим вопросам механического поведения организма посвящены статьи и монографии [2, 31]. Существенным направлением исследований является анализ состояний и взаимодействие с организмом различного рода протезов [28,41].

Огромное внимание уделяется экспериментальному изучению свойств костных, мышечных и сосудистых тканей [24, 28, 38, 57, 59, 60, 63, 62, 64, 65, 67, 68, 69, 75, 77].

Рассматривая методы моделирования, следует отметить их значительное разнообразие - от аналитических моделей [1, 12, 44, 49, 54, 71] до дискретных конечно-элементных [5, 61, 70]. Тем не менее, следует отметить, что зачастую авторами используются упрощенные модели стержней, причем, как правило, основное предположение сводится к принятию плоской модели. В то же время такое предположение, особенно при динамическом нагружении может привести к значительным отклонениям от реального поведения стержня. В частности, даже при простых видах нагрузки - сосредоточенная сила, сосредоточенный момент (реализация которых, вообще говоря, сомнительна) в пространственно криволинейном стержне неизбежно возникновение сложных трехмерных форм колебаний. Особенно важным является это обстоятельство при учете вязкоупругих свойств. Известно [5], что различие в ядрах релаксации на растяжение и сдвиг приводит к взаимосвязи форм колебаний даже в тех случаях, когда в упругом теле они ортогональны. Изложенное приводит к необходимости рассмотрения именно трехмерных моделей.

Для решения задач о динамическом поведении вязкоупругих тел в настоящее время используется метод модального анализа (модального разложения) [5, 66]. Его преимуществом является возможность использования как аналитических, так и дискретных моделей, слабая зависимость от характера внешнего воздействия. Для реализации метода применяется разложение движения вязкоупругого тела по модам колебаний - функциональному базису - формам свободных колебаний упругого тела. Удобство этого базиса в том, что он представляет собой полную ортогональную систему функций, что упрощает технику разложения. Ориентируясь на использование именно этого метода для анализа динамического поведения костей, следует отметить, что особую важность приобретает разработка методов решения упругой задачи о свободных колебаниях. Изложенное позволяет сформулировать

цель работы: разработать метод решения проблемы свободных колебаний простраственно-криволинейного стержня.

Формы свободных колебаний являются решением спектральной задачи (Штурма-Лиувилля) при заданных однородных краевых условиях. Безусловно, решение такой задачи можно найти численно, например, методом конечных элементов. Но на этом пути встает одна важная проблема, а именно, выбор аппроксимирующих функций. Применение классических полиномиальных аппроксимаций оправдано в статических задачах: они позволяют получить точные решения (конечно, в рамках линейной постановки) для различных частных случаев нагружения. Например, для систем прямых стержней, работающих на изгиб, кручение и растяжение/сжатие применение полиномов I степени для растяжения и кручения и III для изгиба дает точные решения при нагрузках, приложенных только в узлах системы. Повышение степеней полиномов позволяет получить точные решения для распределенных нагрузок частного вида - равномерно, линейно и т.п. распределенных нагрузках. Это - следствие чисто математического факта: полиномы являются строгими решениями дифференциальных уравнений состояния прямых стержней при упомянутых видах нагрузок. Если же стержни имеют криволинейные оси, в простейшем случае с постоянной кривизной (плоские круговые стержни), то полиномы уже не способны в точности удовлетворить уравнениям состояния. Как известно из элементарного курса сопротивления материалов, статические задачи для стержней с круговой осью представляются тригонометрическими функциями, т.е. бесконечными рядами; уменьшение погрешности численного решения достигается измельчением конечноэле-ментной сетки, то есть разбиением одного стержня на множество элементов малой длины. Но при этом погрешность решения принципиально неустранима; она может быть уменьшена до некоторого предельного количества элементов, при котором доминирующей становится погрешность вычислений, обусловленная ограниченной разрядной сеткой вычислительной машины. Кроме того, увеличение количества элементов усложняет подготовку данных

при решении конкретных задач.

В анализе динамических состояний даже прямых стержней строгие решения есть сумма экспонент, и говорить о приемлемой точности при аппроксимации перемещений полиномами конечной (невысокой) степени некорректно. Поэтому в данном разделе рассматривается вопрос о представлении решений динамических задач через комбинации элементарных трансцендентных функций, которые в пределе дают строгие решения системы уравнений для форм свободных колебаний. Иными словами, предлагается вместо традиционных полиномов использовать приближенные аналитические решения дифференциальных уравнений состояния с переменными коэффициентами. Преимущества данного подхода очевидны: во-первых, аналитически определенные формы свободных колебаний для линейных задач представляют собой полную, а зачастую - и ортогональную систему функций, что дает возможность представлять решение сходящимся рядом, остаточный член которого легко оценить; во-вторых, при подготовке данных для стержневой системы реализуется принцип: один стержень - один элемент, что существенно облегчает подготовку данных.

Структурно диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы.

В первом разделе описывается математическая модель колебаний пространственно-криволинейных неоднородных стержней. Получена система уравнений, описывающих свободные колебания таких стержней.

Во втором разделе рассматривается метод решения системы уравнений, полученной в предыдущем разделе. Описан общий алгоритм решения этой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Для удобства анализа состояний система дифференциальных уравнений состояния приводится к безразмерному виду и записывается в матричной форме. Для определения фундаментальных решений формулируется процедура последовательных приближений и доказывается ее сходимость. Осо-

7

бенностью процедуры является использование в качестве начального приближения фундаментальных решений уравнений состояния стержня с постоянными параметрами геометрии оси и поперечного сечения. Это обеспечивает аналитическое представление искомых решений и быструю сходимость последовательных приближений.

Для двух видов стержней исследована сходимость по норме в зависимости от параметров оси. Показано существование области параметров, в которой достаточно двух приближений - начального и первого.

Третий раздел посвящен применению разработанной математической модели и алгоритма к исследованию форм и частот свободных колебаний некоторых видов пространственно-криволинейных стержней. В качестве объектов исследований выбраны: стержни с осями в виде логарифмической и архимедовой спирали с линейным подъемом.

Все виды стержней исследуются по одной схеме: сначала рассматриваются стержни постоянного поперечного сечения, затем - переменного. Обсуждается влияние геометрии оси и поперечного сечения на частоты и формы свободных колебаний.

Основные положения и основополагающие идеи работы обсуждались и были одобрены на 12, 13, 14, 15, 16, 17 зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермь, 1999г., 2003г., 2005 г., 2007 г., 2009 г., 2011 г.), LVII Научной сессии «Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова», посвященной дню радио (г. Москва, 2002 г.), двенадцатой и тринадцатой межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2002-2003 гг.), международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (г. Тула, 2003, 2005-2007, 2011 гг.)

По теме диссертации опубликовано 20 работ.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННО-

КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

1.1. Кинематические соотношения

Пусть в пространстве задана некоторая кривая параметрическими уравнениями:

=хг0), (/ = 1,2,3)

или в виде вектор-функции:

где г - радиус-вектор точки в декартовой системе координат, 5 - параметр, имеющий смысл длины дуги.

Располагая вектор-функцией г(^) можно считать известными геометрические характеристики кривой в окрестности произвольно выбранной точки этой кривой. Перечислим эти характеристики. Можно измерить длину определенного участка линии, установив приращение длины дуги Дя. Кроме того, можно определить направление материального волокна в пространстве по направлению векторов касательной t, нормали п и бинормали Ь в точке 5 . Эти вектора образуют так называемый естественный или собственный базис кривой и носят название векторов Френе. Конфигурация кривой опреде-

г = г

М

(1.1)

Рис. 1.1. Элемент дуги

9

ляется двумя параметрами: кривизной и курткой, являющимися скалярными функциями дуговой координаты 5 .

Отметим, что эти функции к - /с(<>) и т = г (б-) определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве. Такое задание кривой называется естественным.

Выпишем формулы для расчета характеристик материального волокна и формулы Френе-Серре дифференцирования векторов собственного базиса:

• длина материального волокна: (¿я - \с1г\;

г"

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Васина, Марина Владимировна

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Общая постановка задачи о свободных колебаниях пространственно-криволинейного упругого стержня с переменными параметрами сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 12 порядка с переменными коэффициентами относительно собственных состояний; она может быть решена методом последовательных приближений.

2. Сформулированы соотношения, позволяющие представить решение краевой задачи для стержня в аналитической форме при известных собственных частотах.

3. Предложен способ определения спектра свободных колебаний, основанный на методе начальных параметров, позволяющем выделить из множества решений краевой задачи модальный базис. Основой метода является выбор начального приближения как решения задачи с постоянными параметрами, выделяемой из основной, что позволяет уменьшить количество последовательных приближений. .

4. Исследования сходимости рекуррентных формул показали, что для стержней с осью в виде логарифмической и архимедовой спирали существует область параметров в которой достаточно первого приближения.

5. Установлено, что безразмерные частоты свободных колебаний пространственно-криволинейного стержня при сохранении удлинения стержня постоянным не зависят от него. Коэффициент Пуассона слабо влияет на безразмерные собственные частоты.

6. В исследованных состояниях выделяются доминирующие кинематические и силовые факторы, что может помочь при проведении расчетов на прочность.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васина, Марина Владимировна, 2011 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абдула-Заде Ф.Г. К расчету предварительно напряженных криволинейных стержней// Изв. РАН. Механика тверд, тела. - 1996. - №5 стр. 170 - 176.

2. Александер Р.. Биомеханика, - М.: Мир, 1970.

3. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. - М.: Высш. школа, 1995. - 560 с.

4. Алешинский С.Ю., Загорский В.М. Биомеханика физических упражнений, вып.1 - Рига: Рижский политехнический институт, 1974.

5. Андреев А.И., Желтков В.И., Хромова Н.Г. Анализ колебаний вязкоупру-гих тел.//В сб. «12 зимняя школа по механике сплошных сред (тезисы докладов)». - Пермь, 1999. - с.70.

6. Бердюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических систем. Отв. Ред. Белецкий В.В.; АН УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики. -Киев: Наук, думка, 1989.

7. Бернштейн H.A. О построении движений. - М., 1947.

8. Бернштейн H.A. Очерки физиологии движений и физиологии активности. -М.: Медицина, 1966.

9. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.:Наука, 1975. - 767с.

10. Бранков Г. Основы биомеханики./Пер. с болг. В. Джупанова, под ред. И.В. Кнетса. -М.: Мир, 1981.

11. Васин A.A., Васина М.В., Желтков В.И., Чан Тхань Хай. Анализ динамических состояний криволинейных стержней. // В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). Сборник статей», - Пермь: УрО РАН, 2007,-с. 174.

12. Васин A.A., Желтков В.И., Желткова М.В. Колебания стержней с криволинейной осью.// В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов», - Екатеринбург: УрО РАН, 1999, - с. 107.

13. Грязев М.В., Желтков В.И., Васин A.A., Васина М.В. Прикладные задачи механики деформируемого твердого тела. 4.1. Статика стержней. - Тула,

106

Изд. ТулГУ, 2011.- 123 с.

14. Девид А. Марка, Клемент МакГоуэн. Методология структурного анализа

тм

и проектирования SADT : Пер. с англ. - М.: 1993, 240 е., ил.

15.Девянин Е.А., Ленский A.B. Некоторые вопросы механики роботов и биомеханики. - М.: Из-во МГУ, 1978.

16. Демидович Б.П. Основы математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1968 -518с.

17. Емельянов Н.Ф. Механические испытания мягких материалов. Методические указания. Владивосток. ДВВИМУ ММФ, 1987. - 134 с.

18. Желтков В.И., Комолов Д.В., Хромова Н.Г. Некоторые возможности автоматизации расчетов динамики вязкоупругих систем// Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: ТулГУ, 1995. Т. 1. Вып.2. с.58-69.

19. Желтков В.И., Толоконников Л.А., Хромова Н.Г. Переходные функции в динамике вязкоупругих тел. - ДАН: сер. Механика, 1993, т.329, №6. - с.718 -719.

20. Зациорский В.М. Биомеханика двигательного аппарата человека/ Зациор-ский В.М., Арцин A.C., Селуянов В.И. - М.: Физкультура и спорт, 1981.

21. Ильюшин A.A., Ларионов Г.С., Филатов А.Н. К усреднению в системах интегро-дифференциальных уравнений // ДАН СССР, 1969, т. 188, №1.

22. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. - М.-.Наука, 1970. - 270с.

23. Калиткин H.H. Численные методы. - М., Высшая школа, 1974.

24. Клишко А.Н., Сковорода А.Р. Определение вязкоупругих свойств мягких биологических тканей по данным об их квазистатическом нагружении/ Все-рос. конф. "Прикл. аспекты исслед. скелет., серд. и гладк. мышц." [Пущино, 1996]: Науч. прогр. и тез. докл. - Пущино, - 1996. - с. 122 - 123.

25. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. - М.: Высшая школа, 1976. -277с.

26. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Геометрически нелинейная задача тео-

рии вязкоупругости.//Механика эластомеров, 1977, т.1. - с.36-46.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1970. - 720с.

28. Красовский В.А, Лоскутов A.M. Голеностопный сустав, некоторые механические свойства костной ткани и прочность крепления эндопротеза/ // Ргос. 4 Pol.-Ukr. Semin. "Teor. Found. In Civ. Eng.", Warsaw, 1996. Vol.1. Pt 2." -Dniepropetrovsk, 1996. - c. 249 - 255.

29. Красовский Василий, Лоскутов Александр. Голеностопный сустав, некоторые механические свойства костной ткани и прочность крепления эндопротеза // Ргос. 4 Pol.-Ukr. Semin. "Teor. Found. In Civ. Eng.", Warsaw, 1996. Vol.1. Pt 2." - Dniepropetrovsk, 1996.

30. Красовский Василий, Лоскутов Александр. Голеностопный сустав, некоторые механические свойства костной ткани и прочность крепления эндопротеза // Ргос. 4 Pol.-Ukr. Semin. "Teor. Found. In Civ. Eng.", Warsaw, 1996. Vol.1. Pt 2." - Dniepropetrovsk, 1996.

31. Кремер К. Биомеханика тела человека/ // Человеч. фактор. Т.5. - М., 1992. - с. 28 - 47. (англ.)

32. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоу пру гости. - М.: Мир, 1974. -427с.

33. Лапутин А.Н. Методические разработки по биомеханике, т. I, - Киев, 1971.

34. Ларионов Г.С., Филатов А.Н. О методе усреднения в нелинейной механике. - Изв. АН УзССР, сер. технических наук, 1969, №2.

35. Луговая Я.А. Пространственное деформирование позвоночника как неоднородного кусочно-линейного стержня произвольной начальной формы// В сб.: Труды семинара "Мат. моделирование в механике."/ВЦ СО РАН. - Красноярск, 1997,-с. 118-138.

36. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.:Наука, 1980 - 512с.

37. Ляховенко И.А., Меркурьев A.B. Расчет нагрузок в системе "кресло - человек - привязные ремни" при действии на летательный аппарат перегрузок в аварийных ситуациях// Учен, зап./ ЦАГИ. - 1995. - 26, №3-4. - с. 138 - 146.

38. Малинин B.C., Тимофеев А.Б., Воронов И.Д., Казаринов К.Д. Вязкоупру-гие свойства кожи и мягких тканей человека. Исследование с помощью системы MacLab./ Ин-т радиотехн. и электрон. РАН [Препр.]. - 1995,- 10.-с. 1 - 14.

39. Математические основы теории автоматического регулирования. / В 2-х т.Под ред. Б.К.Чемоданова.//Т.2. - М.:Высшая школа, 1977. - 366с.

40. Нескородев Р.Н. Решение задачи о кручении полых анизотропных стержней произвольного поперечного сечения/, Донецк, гос. ун. - Донецк, 1996. -16 с.

41. Няшин Ю.И., Кирюхин В.Ю. и др. Биомеханическое моделирование развития патологии и оптимального лечения при заболеваниях твердых тканей.// В сб. «Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая). Тезисы докладов», - Екатеринбург: УрО РАН, 1999, - с. 246.

42. Петров В.А., Гагин Ю.А. Механика спортивных движений. - М.: Физкультура и спорт, 1974.

43. Пространственное деформирование позвоночника как неоднородного кусочно-линейного стержня произвольной начальной формы/ Луговая Я.А.// В сб.: Труды семинара "Мат. моделирование в механике."/ВЦ СО РАН. - Красноярск, 1997,-с. 118-138.

44. Пространственное деформирование позвоночника как неоднородного кусочно-линейного стержня произвольной начальной формы/ Луговая Я.А.// В сб.: Труды семинара "Мат. моделирование в механике."/ВЦ СО РАН. - Красноярск, 1997,-с. 118-138.

45. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.:Наука, 1988.- 712с.

46. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1960.

47. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Высш. школа, 1979 - 318 с.

48. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. - М.: Наука, 1970. - 563с.

49. Усольцева Ю.В. Плоское деформирование позвоночника в рамках модели неоднородного вязкоупругого стержня/ В сб.: Труды семинара "Мат. моделирование в механике."/ВЦ СО РАН. - Красноярск, 1997, - с. 173 - 190.

50. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - M.-JI.: Физматгиз, 1963. - 734с.

51. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных уравнений. - Ташкент, ФАН, 1974. - 216с.

52. Филатов А.Н. Усреднение в дифференциальных и интегро-дифференциальныхуравнениях-Ташкент, ФАН, 1967.-231с.

53. Филатов А.Н., Шарова JI.B. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1976. -152с.

54. Шмаркова Л.И., Гордон В.А. Прочностная модель ребра человека// Сборник научных трудов, ОрелГТУ, 1995, Т.7.

55. Шостак Р.Я. Операционное исчисление. - М.: Высшая школа, 1972. -279с.

56. Энджин, Чэнь. Биомеханические свойства плечевого комплекса человека Часть 1 и 2.// В сб. Труды Американского общества инженеров-механиков "Конструирование и технология машиностроения", - М.: Мир, №3, 1986.

57. Bergel D.H., The static elastic properties of the arterial wall, J. Physiol., 156, 445-457 (1961).

58. Biomechanische Untersuchung eines Huftendoprotthesensystems aus Koh-lenstoffaserverbundwerkstoff (CFK): Diss. Dokt. Ing./ Kaddick Chritian. - Tech. Univ.Munchen, 0.0.93.

59. Bourne G.H. (ed.) The biochemistry and physiology of bone, Academic Press, New York, 1956.

60. Buchthal F., Kaiser E., The rheology of the cross striated muscle fibre with particular reference to isotonic conditions, Dan. Biol. Medd., 21(7), 1-318 (1957).

61. Chuang T.Y., Lieu D.K. A parametric study of the thoracic injury potential of basic taekwondo kicks// Trans. ASME. J. Biomech. Eng. - 1992. - 114, №3. - c. 346-351.

62. Currey J.D., Strength of bone, Nature, Lond., 195, 513-514 (1962).

63. Currey J.D., Stress concentrations in bone, Quart. J. microsc. Sci., 103, 111133 (1962).

64. Davies D.V., Synovial fluid as a lubricant, Edd. Proc., 25, 1069-1076 (1966).

65. Evans F.G., Stress and strain in bones, Thomas, Springfield, Illinois, 1957.

66. Gonzalez R.V., Hutchins E.L., Barr R.E., Abraham L.D. Development and evaluation of a muscular skeletal model of the elbow joint complex// Trans. ASME. J. Biomech. Eng. - 1996. - 118, №1

67. Harkness R.D., Biological functions of collagen, Biol. Rev., 36, 399-463 (1961).

68. Hearle J.W.S., A fringed fibril theory of structure in crystalline polymers, J. Polymer Sci., 28, 432-435 (1958).

69. Hearle J.W.S., The fine structure of fibers and crystalline polymers. I. Fringed fibril structure, J. appl. Polimer Sci., 7, 1175-1192 (1963).

70. Kormi K., Etheridge R.A. Finite element analysis. Application of the finite-element method to simulation of damage to the human skull as a consequence of missile impact on a multilayered composite crash helmet// J. Biomed. Eng. - 1992. -14, №3.-c. 203-208.

71. Li Xiaowei, Haut Roger C., Altiero Nicholas J. An analytical model to study blunt impact response of the rabbit P-F joint// Trans. ASME. J. Biomech. Eng. -

1995.- 117, №4.-c. 485-491.

72. Li Xue Mei, Liu Bo, Deng Bo, Zhang Shi Ming Normal six-degree-of-freedom motions of knee joint during level walking// Trans. ASME. J. Biomech. Eng. -

1996,- 118, №2.

73. Rack P.M.H., The behavior of a mammalian muscle during sinusoidal stretching, J. Physiol., 183, 1-14 (1966).

74. Sakamoto Makoto, Zhu Qian-Fu, Sakai Jun, Hara Toshiaki. An oxisymmetric analysis of joint contact// 19th Int. Congr. Theor. And Appl. Mech., Kyoto, Aug. 25-31, 1996: Abstr. - Kyoto, 1996.-c. 82.

75. Smith J.W., Walmsley R., Factors affecting the elasticity of bone, J. anat., 93,

503-523 (1959).

76. Thomas C., Rakheja S., Bhat R.B., Stiharu I. A study of the modal behavior of the human hand-arm system// J. Sound and Vibr. - 1996. - 191, №1. - c. 171 -176.

77. Vanneuville G., Bourges M., Garcier J.M., Guillot M., Poumarat G. Le cartilage articulaire et ses particularités mécaniques/ // Rev. fr. mec. - 1996. - №3. -c. 185 - 192.

78. Yaganandan N., Morgan R. M., Eppinger R. M., Pintar F. A., Sances A., Williams A. Mechanisms of thoracic injury in frontal impact/ // Trans. ASME. J. Bio-mech. Eng. - 1996. - 118, №4. - c. 595 - 597.