Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Калинина, Анастасия Борисовна

• Калинина, Анастасия Борисовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Калинина, Анастасия Борисовна

Введение

Глава

Метод рядов в применении к системе ОДУ

1.1 Введение.

1.2 Вывод вычислительных формул.

1.3 Первые коэффициенты разложения.

1.4 Результаты численных экспериментов.

1.5 Выводы.

Глава

Метод рядов в применении к УРЧП

2.1 Введение.

2.2 Вывод вычислительных формул.

2.3 Адаптация вычислительных формул.

2.3.1 Вычисление G(i,j, к).

2.3.2 Модифицированный оператор симметризации

2.3.3 Суммирование членов ряда.

2.3.4 Коэффициенты, равные нулю.

2.4 Практическая реализация.

2.5 Численные эксперименты.

2.6 Выводы.

Глава

Квадратичное приближение устойчивого многообразия

3.1 Вычислительные формулы.

3.2 Практическое применение.

3.3 Выводы.

Глава

Стабилизация вдоль неустойчивого подпространства

4.1 Постановка задачи.

4.2 Алгоритм решения.

4.3 Обоснование сходимости метода.

4.4 Выводы.

Глава

Стабилизация вдоль заданного подпространства

5.1 Постановка задачи.

5.2 Алгоритм решения.

5.3 Обоснование сходимости метода.

5.4 Выводы.

Глава

Численные эксперименты

6.1 Расчетные задачи.

6.2 Реализация вычислений.

6.2.1 Базис подпространства Т.

6.2.2 Вычисление нелинейности.

6.2.3 Вычисление интегралов.

6.3 Результаты расчетов.

6.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации»

Методы стабилизации

Задачи стабилизации занимают особое место среди задач управления движением. В задачах управления движением обычно рассматривается некоторая физическая система. Ее математическая модель задается при помощи эволюционных уравнений, которые могут иметь неустойчивые решения. В этом случае внесение сколь угодно малых возмущений в начальные данные может привести к конечному возмущению решения. Цель стабилизации — создание специальных алгоритмов, позволяющих подавлять такие возмущения.

Задачу стабилизации к заданному решению обычно можно свести к задаче стабилизации к нулю. Для этого записывают соответствующее уравнение в отклонениях. Ноль является стационарным решением этого уравнения. Задачу асимптотической стабилизации к нулю можно сформулировать следующим образом. Необходимо внести в систему такие изменения в пределах заданных ограничений, чтобы норма рассматриваемого решения стремилась к нулю при t —> оо. Зачастую при постановке задачи стабилизации задается желаемая скорость убывания нормы.

Далее будем рассматривать задачи асимптотической стабилизации к нулю. При решении таких задач применяются различные способы воздействия на систему.

Многие задачи стабилизации для уравнений математической физики сводятся к изменению начальных данных: влияние на систему оказывается только в начальный момент времени. Предположим, что задано некоторое начальное условие. Известно, что траектория исследуемой системы с такими начальными данными не стремится к нулю при t —> оо. Необходимо так изменить начальное условие в пределах заданных ограничений (например, выбрав поправку из фиксированного подпространства допустимых смещений), чтобы добиться требуемой динамики рассматриваемой траектории. Различные аспекты стабилизации по начальным данным отражены в работах Е.В. Чижонкова [30] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса), А. А. Корнева [12, 16] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса, Бюргерса, Лоренца и дискретных полудинамических систем общего вида), А.В. Озерицкого [17] (для уравнения баротропного вихря на сфере).

Можно воздействовать на систему посредством изменения краевых условий. Задачу стабилизации по краевым условиям можно свести к решению задачи стабилизации по начальным данным на расширенной области. Решению задач стабилизации с помощью граничного управления для различных эволюционных уравнений посвящены работы, например, таких авторов как D.L. Russell [48], J.-L. Lions [45], J. Lagnese [44], V. Komornik [41], J.-M. Coron [29], A. Balogh, M. Krstic [28], а также А.В. Фурсиков [23, 22, 32, 33, 34], Е.В. Чижоиков и А.А. Иванчиков [25, 31, 39].

Третий способ заключается во внесении управления в правую часть уравнения в течение некоторого промежутка времени — стабилизация по правой части. Исходя из предположения о малости отклонений рассматриваемое дифференциальное уравнение зачастую считают линейным. Решению задач стабилизации по правой части для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений уделено внимание в книге [20]. Работа А.А. Корнева [42] посвящена решению задачи стабилизации по правой части для нелинейных дискретных полудинамических систем; для дифференциальных уравнений задача решается в терминах конечно-разностных схем.

Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие

Если данное положение равновесия (стационарное решение) является гиперболическим (седловым), то траектории почти всех точек в его окрестности от него локально удаляются. Однако согласно теореме Адамара-Перроиа [2, 1, 19, 21] в окрестности гиперболической неподвижной точки существует устойчивое инвариантное многообразие. Траектория каждой точки устойчивого многообразия экспоненциально стремится к данному положению равновесия при t —» со.

Таким образом многие задачи стабилизации можно свести к проецированию на устойчивое многообразие.

Для параболических уравнений в частных производных идея решеиия задачи стабилизации по краевым условиям в терминах проецирования на устойчивое многообразие предложена и обоснована А.В. Фурсиковым в работе [22]. Первые расчеты проведены Е.В. Чижонковым [30] для уравнения Чафе-Инфанта на основе проецирования на линейное приближение устойчивого многообразия.

Классификация различных методов проецирования на устойчивое многообразие приведена в работе [14]. К числу методов, позволяющих получить сколь угодно точное приближение устойчивого многообразия, относятся различные методы сжимающих отображений и метод функционально-аналитических рядов.

Исторически первым был метод рядов, ему посвящены работы Пуанкаре, Ляпунова, Адамара, Перрона. Метод рядов можно формально интерпретировать как итерационный процесс, то есть как метод сжимающих отображений [14]. Скорость его сходимости может быть высокой, но теоретически это пока не доказано. В настоящее время метод функционально-аналитических рядов в применении к решению задач стабилизации активно развивается в работах А.В. Фурсикова [35, 36]. Методы сжимающих отображений отражены в работах Д.В. Аносова [2, 1], Я.Б. Лесина [21], О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова [18], В.И. Юдовича [27], А.А. Кор-нева и А.В. Озерицкого [13, 15, 47] .

До настоящего момента метод рядов использовался только для теоретических исследований: обоснования существования и аналитичности устойчивого многообразия. Для практических расчетов оп не применялся по причине большой трудоемкости и возможной неустойчивости к вычислительным погрешностям.

Однако стоит отметить главное преимущество метода рядов по сравнению с другими подходами. Методы сжимающих отображений позволяют построить аппроксимацию устойчивого многообразия вдоль одной траектории, а применяя метод рядов, мы получаем приближение всего многообразия в некоторой окрестности неподвижной точки.

Стоит отмстить, что эффективность методов сжимающих отображений существенно зависит от качества начального приближения. Получение хороших приближений посредством невысоких вычислительных затрат — еще одно применение метода рядов.

Вкратце суть метода рядов можно описать следующим образом. Устойчивое многообразие инвариантно относительно действия системы, то есть траектории его точек тоже лежат на устойчивом многообразии. В окрестности неподвижной точки оно может быть задано в виде графика некоторого отображения. Метод рядов заключается в том, что искомое отображение записывают в виде ряда с неизвестными коэффициентами, это разложение подставляют в условие инвариантности. Из полученного равенства, приравнивая множители при подобных членах левой и правой частей, получают рекуррентные соотношения, связывающие искомые коэффициенты — от младших к старшим. То есть для вычисления коэффициентов при членах некоторой степени достаточно знать только коэффициенты при более низких степенях.

Метод рядов позволяет последовательно вычислять коэффициенты, получая все более точные приближения устойчивого многообразия. Трудоемкость при переходе к следующему приближению возрастает экспоненциально, что является основным недостатком метода. Однако метод дает возможность один раз вычислить коэффициенты и получить представление всего многообразия, что полезно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Такая потребность возникает, например, при решении задачи стабилизации по граничным условиям.

Стоит отметить, что для уравнений в частных производных функционально-аналитическое разложение дает простое описание бесконечномерного многообразия, позволяющее построить его в произвольной точке.

Практические реализации различных методов сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие динамических систем базируются на конечно-разностной аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений. В результате строится проекция на устойчивое многообразие некоторого приближения исходной системы. Метод рядов формально позволяет построить устойчивое многообразие исходного дифференциального уравнения.

Стабилизация по правой части

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть она имеет в начале координат неустойчивое положение равновесия. Предположим, что траектория с заданным начальным условием будет отклоняться от нуля. Возникает задача отыскания управления для "удержания" рассматриваемого решения в достаточно малой окрестности нуля.

Методы стабилизации по граничным и начальным условиям, используют импульсное управление системой. Метод стабилизации по правой части позволяет распределить влияние во времени, однако это требует суммарно большего энергетического вклада.

Стоит отметить, что в большом количестве работ, посвященных решению задач оптимального управления под стабилизацией понимают внесение в систему управления, которое меняет ее общую динамику, система из локально неустойчивой становится локально устойчивой. В настоящей работе мы будем рассматривать задачу стабилизации к нулю заданного решения с фиксированными начальными данными.

В работе [20] рассматриваются задачи стабилизации для линейных дифференциальных уравнений. Алгоритмы стабилизации, учитывающие нелинейность задачи, имеют большое значение, поскольку могут быть применены к существенно более широкому классу уравнений.

Зачастую мы ограничены в возможности выбора силы и направления воздействия — вводится подпространство допустимых смещений.

В работе [42] задача стабилизации по правой части рассматривается для дискретных нелинейных полудинамических систем при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений. Задача асимптотической стабилизации для дифференциальных уравнений решается в терминах их конечно-разностных аппроксимаций.

В настоящей работе задача стабилизации по правой части решена с учетом нелинейности для исходной дифференциальной задачи при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

Цели диссертационной работы

Первой целью настоящей работы является исследование применимости метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие для расчетов при численном решении задач стабилизации по начальным данным для уравнений в частных производных параболического типа и систем обыкновенных дифференциальных уравнений седлового типа.

Второй целыо работы является разработка алгоритма решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 48 наименований и одного приложения. Она изложена на 98 страницах, содержит 13 таблиц и 3 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Калинина, Анастасия Борисовна

Основные результаты работы

1. Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие адаптирован для численного решения задач асимптотической стабилизации. Проведены расчеты для квазилинейного параболического уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца.

2. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задач стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы позволяют учитывать нелинейность задачи и ограничения на подпространство допустимых смещений.

3. Обоснована сходимость предложенных алгоритмов и доказаны теоремы существования искомых векторов управления.

Метод функционально-аналитических рядов

Приведем основные достоинства и недостатки использования метода рядов для численного проецирования на устойчивое многообразие.

В отличие от других подходов, метод рядов формально позволяет получать сколь угодно точные приближения отображения, задающего устойчивое многообразие, в целом в некоторой окрестности нуля, а не образы отдельных точек. Это важно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Когда все необходимые коэффициенты вычислены, можно получить проекции на устойчивое многообразие любых начальных функций (векторов) с малыми временными затратами (посредством суммирования).

Если рассматривать метод рядов как итерационный процесс получения последовательных приближений устойчивого многообразия, то следует отметить его быструю сходимость: уже первые приближения позволяют получить хорошую точность. Однако с повышением точности вычислительные затраты возрастают экспоненциально.

Методы сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие используют некоторую конечно-разностную аппроксимацию исходной дифференциальной задачи, тогда как вычислительные формулы метода рядов выведены именно для дифференциальной задачи. В настоящей работе метод рядов теоретически реализован для случая, когда неустойчивое подпространство имеет произвольную конечную размерность, а устойчивое подпространство системы бесконечномерно. Однако на практике нам приходится ограничиваться лишь конечным числом членов ряда.

Использование квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного в качестве начального приближения для итерационных методов стабилизации существенно повышает скорость их сходимости.

В отличие от других подходов, метод рядов жестко ориентирован на конкретную задачу. При изменении дифференциальных уравнений требуется выводить новые вычислительные формулы. Для многих типов уравнений, вывод вычислительных формул может оказаться сложной задачей. Однако отметим, что формулы для построения квадратичного приближения устойчивого .многообразия достаточно просты, а вычисления по ним позволяют получать удовлетворительные результаты.

Стабилизация по правой части

Предложенный в настоящей работе алгоритм построения решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений послужил для теоретического обоснования существования искомого вектора управления. Приведем его основные достоинства и недостатки.

В отличие от большинства известных методов стабилизации по правой части, предложенный алгоритм позволяет учитывать влияние нелинейности. Однако из-за этого метод обладает большей трудоемкостью.

Отметим, что предложенный алгоритм устойчив к вычислительным погрешностям, поскольку интегрирование на устойчивом подпространстве ведется по возрастающему времени, на неустойчивом подпространстве — по убывающему. Однако именно это существенно повышает необходимые вычислительные затраты.

Алгоритм применим для решения задач большой размерности. Возможно его использование при решении задач стабилизации по правой части для уравнений в частных производных.

Сходимость предложенного алгоритма теоретически обоснована при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Калинина, Анастасия Борисовна, 2009 год

1. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара // Научн. докл. высш. шк., физ.-матем. пауки. 1959. №1. С. 3-12.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды матем. ин-та им. В.А. Стек-лова РАН. Т. 90, 1967.

3. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.: Наука, 1989. 294 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 632 с.

5. Ващенко И.Н. О задаче типа наименьших квадратов // Вести. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. №4. С. 51-53.

6. Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦН-МО: ЧеРо, 1999. 416 с.

7. Калинина А.Б. Численная реализация метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. №1. С. 65-72.

8. Калинина А.Б. Метод стабилизации по правой части для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. №4. С. 57-59.

9. Калинина А.Б. Об одном методе стабилизации по правой части // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9. №2. С. 200206.

10. Калинина А. Б. Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. №. С. 284-285.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функциии и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

12. Корнев А.А. К общей теории устойчивости полудинамических систем // Докл. РАН. 2002. Т. 387. №1. С. 13-15.

13. Корнев А.А. Об итерационном методе построения "усов Адамара" // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. №8. С. 1346-1355.

14. Корнев А.А. Классификация методов приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №6. С. 736-738.

15. Корнев А.А.Озерицкий А.В. О приближенном проектировании на устойчивое многообразие // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №9. С. 1580-1586.

16. Корнев А.А. Метод асимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. т. С. 37-51.

17. Корнев А.А.Озерицкий А.В. О вычислительной устойчивости одного метода асимптотической стабилизации // Вестн. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №1. С. 33-36.

18. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 46-93.

19. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений т. II. М.: Изд-во АН СССР, 1954.

20. Оптимальное управление движением / Александров В.В., Болтянский В.Г.: Лемак С. С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 376 с.

21. Лесин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эр-годическая теория // УМН. 1977. Т. 32. Вып. 4(196). С. 55-112.

22. Фурсиков А.В. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью // Матем. сборник. 2001. Т. 192. №4. С. 115-160.

23. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнеия. — М.: Мир, 1970.

24. Чижонков Е.В. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычисл. методы и программ. 2004. Т. 5. С. 161-169.

25. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 428 с.

26. Юдович В.И. Математическая теория устойчивости течений жидкости. Докт. диссертация. — М.: Институт проблем механики АН СССР, 1972.

27. Balogh А., Krstic М., Burger's equation with nonlinear boundary feedback: i^-stability, well posedness, and simulation // Math. Probl. in Engineering. 2000. V. 6. P. 189-200.

28. Coron J.-M. On the null asymptotic stabilization of the 2-D incompressible Euler equation in a simply connected domain // SIAM J. Control and Optimization. 1999. V. 37. №. P. 1874-1896.

29. Chizhonkov E. V. Numerical aspects of one stabilization method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. V. 18. №5. P. 363-376.

30. Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of Stokes and Navier-Stokes equations by the boundary conditions j j Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V. 19. №6. P. 477-494.

31. Fursikov A.V. Stabilizability of two-dimensional Navier-Stokes equations with help of boundary feedback control // J. of Math. Fluid Mechanics. 2001. V. 3. P. 259-301.

32. Fursikov A. V. Stabilization for the 3D Navier-Stokes system by feedback boundary control // Discrete and Cont. Dyn. Syst. 2004. V. 10. №1 & 2. C. 289-314.

33. Fursikov A. V. Analyticity of stable invariant manifolds for Ginzburg-Landau equation // Applied Analysis and Differential Equations, Iasi, September 4-9, 2006, World Scientific. 2007. P. 93-112.

34. Guckenheimer J., Vladimirsky A. A fast method for approximating invariant manifolds // SIAM J. on Applied Dynamical Systems. 2004. V. 3. №3. P. 232-260.

35. Hirsch M., Pugh С., Shub M. Invariant manifolds. Lectures notes in Math. V. 583. — Springer. Berlin. 1977.

36. Ivanchikov A. A. On numerical stabilization of unstable Couette flow by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V. 21. №6. R 519-537.

37. Kalinina A.B. Numerical realization of the method of functional-analytic series for projecting on a stable manifold j j International Conference "Mathematical Hydrodynamics". Abstracts. 2006. R 43.

38. Komornik V. Rapid boundary stabilization of linear distributed systems j I SIAM J. Control and Optimization. 1997. V. 35. R 1591-1613.

39. Kornev A.A. A problem of asymptotic stabilization by the right-hand side // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. V. 23. №4. R 407-422.

40. Krauskopf В., Osinga H.M., Doedel E.J. et al. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2005. V. 15(3). R 763-791.

41. Lagnese J.E. Boundary stabilization of thin plates.— Philadelphia: SIAM, 1989.

42. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. P. 1-68.

43. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flows j j J. Atmosph. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

44. Ozeritskij A.V. Efficient algorithms for stable manifolds // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. У. 20. №2. P. 209-224.

45. Russell D.L. A unified boundary value controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations // Studies in Appl. Math. 1973. V. 52. P. 189-211.

46. M < oo, ek(x) = <\J^smkx. Найдем координаты разложения функции F2.(z-), задающей квадратичное приближение устойчивого многообразия, по базису {ек}к=1