Быстрые матричные вычисления в методе дискретных вихрей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Апаринов, Андрей Александрович

• Апаринов, Андрей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Апаринов, Андрей Александрович

Введение.

Глава 1. Постановка задач гидродинамики и вихревые методы.

1.1. Трехмерная задача о переносе завихренности в неограниченном объеме идеальной жидкости.

1.2. Трехмерная задача об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью.

1.2.1. Постановка задачи для потенциала скорости и давления.

1.2.2. Интегро-дифференциальная система уравнений для трехмерной задачи об отрывном обтекании системы тел идеальной жидкостью.

1.3. Вихревые численные методы.

1.3.1. Численный метод для трехмерной задачи распространения завихренности в неограниченном объеме.

1.3.2. Численная схема моделирования движения завихренности с использованием условия вмороженности вихревых линий в жидкость

1.4. Численный метод для трехмерной задачи обтекания тел идеальной жидкостью.

1.4.1. Метод вихревых рамок для трехмерного моделирования.

1.4.2. Метод вихревых отрезков.

1.5. Выводы.

Глава 2. Обоснование сходимости численного метода в задаче переноса завихренности в безграничном объеме.

2.1. Регуляризация интегрального представления поля скоростей в задаче о переносе завихренности в безграничной области.

2.1.1. Дискретизация по пространству.

2.1.2. Дискретизация по времени.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Быстрые матричные вычисления в методе дискретных вихрей»

Объект исследования и актуальность темы. Метод дискретных вихрей (МДВ) и его модификации — одно из наиболее активно развивающихся и широко применяемых направлений среди вихревых методов аэрогидродинамики. Считается, что начало развития вихревых методов было положено в теоретических работах Гельмгольца [73]. Впервые метод «вихревых частиц» был применен в работе Л. Розенхеда [81] для моделирования развития тангенциального разрыва. В шестидесятых годах XX века началось интенсивное развитие и применение вихревых методов, направленное на изучение вопросов отрывного обтекания двумерного контура. Следующим этапом в развитии вихревых методов стало их применение для моделирования трехмерных вихревых течений и обтекания тел. Среди работ, посвященных двумерному и трехмерному моделированию переноса завихренности в безграничном объеме, следует отметить работы [38, 48, 62, 68].

Среди отечественных исследователей того времени наиболее значимых результатов добились С.М. Белоцерковский и его школа [16, 34, 35]. Работы западных ученых наиболее полно представлены в обзоре вихревых методов Т. Сарпкайи [42], а также в работе Г.-Х. Коте и П. Комотсакоса [68]. Также нужно отметить работы Э. Леонарда [77-78], посвященные детальному изучению обтекания импульсно стартующего цилиндра, с большим количеством моделей и сравнений с экспериментальными данными.

2.2. Выводы.71

Глава 3. Ускорение вычислений.72

3.1. Общий обзор методов быстрого умножения.72

3.2. Мозаично-скелетонные аппроксимации.75

3.3. Интеграция программных комплексов, реализующих метод дискретных вихрей и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.88

3.4. Число уровней дерева кластеров.92

3.5. Скелетонная аппроксимация.95

3.6. Выводы.97

Глава 4. Результаты численного моделирования.98

4.1. Задача о чехарде вихревых колец.98

4.2. Обтекание полусферы.103

4.3. Обтекание восьмигранного цилиндра.106

4.4. Обтекание прямоугольного крыла.108

4.5. Обтекание системы зданий и сооружений.111

4.6. Выводы.114

Заключение.115

Литература.116

Новым шагом в развитии метода дискретных вихрей стало появление метода замкнутых вихревых рамок, описанного в работах В.А. Апаринова, A.B. Дворака и Е.Д. Ковалева, И.К, Лифанова, A.A. Михайлова, М.И. Ништа, Г.Г. Поликарпова [11, 56], а за ним метода дискретных вихревых отрезков, изложенного в работах В.Ю. Кирякина и A.B. Сетухи [27, 28].

Параллельно с развитием вихревых методов появлялись строгие математические обоснования. Обоснование численных схем учета граничных условий методом дискретных вихрей приводится в работах [15, 18, 31]. В работе [18] показана интегральная сходимость метода замкнутых вихревых рамок к решению граничного интегрального уравнения. В работе [44] доказана равномерная сходимость метода замкнутых вихревых рамок к решению граничного интегрального уравнения.

В работах [72, 74] доказана сходимость численного метода дискретных вихрей в задаче переноса завихренности в безграничной области для двумерного случая. В работе [75] доказана сходимость численного метода к решению непрерывной задачи переноса завихренности в безграничной области для трехмерного случая в интегральных метриках.

В работах [43, 46] изучены вопросы движения вихревой пелены и обоснования метода дискретных вихрей для двумерного вихревого слоя при аналитических начальных условиях. В работе [44] приводится обоснования для метода дискретных вихрей для уравнений Эйлера в двумерной области с границей.

В работе [28] доказывается равномерная сходимость метода дискретных вихрей к решению непрерывной задачи для трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области.

Примеры приложения метода дискретных вихрей в задачах аэрогидродинамики летательных аппаратов, зданий и сооружений, ветроустановок других областях можно найти в работах [35, 36, 39, 40, 48, 79].

Учитывая постоянно растущую вычислительную сложность решаемых задач, естественным образом стал возникать вопрос об ускорении вычислений, которое бы позволило не только повысить эффективность моделирования уже решаемых задач, но и открыло возможности для моделирования обтекания новых классов объектов и аэрогидродинамических эффектов, которые не удавалось моделировать ранее ввиду их вычислительной сложности. При моделировании вихревых течений рассматриваемыми методами основные вычислительные затраты по числу операций и следовательно времени расчета приходятся на преобразования формы вихревых структур, осуществляемые на каждом шаге интегрирования по времени. Каждое такое преобразование можно свести к задаче умножения некоторой матрицы большой размерности на вектор. Поэтому одним из актуальных направлений исследований стало применение в вихревых методах приближенных алгоритмов быстрого матричного умножения. В работах [26, 58-60, 76, 82] рассматриваются возможности использования мультипольного метода, метода Барнса-Хата в задачах об ансамбле частиц, решаемых вихревыми методами. В настоящей работе рассматривается возможность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в рамках метода дискретных вихревых отрезков для трехмерного моделирования течений идеальной жидкости в безграничной области, а также при обтекании системы тел.

Следует отметить, что разделение задач на два класса:

1) распространение завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;

2) трехмерное моделирование обтекания системы тел; обусловлено тем фактом, что развитие численного метода (МДВ) и его внедрение в практическую деятельность происходило существенно быстрее, чем развитие математического аппарата, дающего строгое обоснование возможности применения указанных методов. В настоящий момент существует обоснованная математическая теория только для задач первого класса, в рамках которой в настоящей работе формулируются новые теоремы и приводятся доказательства, обосновывающие 4 применение предложенных идей ускорения вычислений. Что касается второго класса задач, то практика показывает, что использование МДВ дает хорошие результаты (при сравнении с экспериментальными данными). Таким образом, учитывая сложившуюся практику апробации численных методов МДВ для задач трехмерного обтекания системы тел, в работе проводится ряд исследований, позволяющих продемонстрировать хорошее совпадение результатов моделирования с данными физических экспериментов.

В связи с изложенными обстоятельствами объектом исследования в настоящей работе являются метод дискретных вихрей, трехмерные математические модели движения идеальной жидкости в безграничном объеме и обтекание тел идеальной жидкостью, а предметом исследования — вопросы ускорения вычислений в методе дискретных вихрей. Целью диссертационной работы является формулировка, обоснование и программная реализация «быстрого» численного алгоритма для задач, решаемых методом дискретных вихрей («быстрого» означает ускорение в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях).

Для достижения указанной цели в работе решены следующие задачи.

1) Разработка модификации метода дискретных вихревых отрезков (МДВО), эффективно совместимой с методом мозаично-скелетонных аппроксимаций для решения трехмерных задач переноса завихренности в безграничной области и задач обтекания тел.

2) Доказательство сходимости решений, полученных сформулированным численным методом, к решению непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области.

3) Теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.

4) Интеграция программных комплексов, реализующих МДВО и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.

5) Проведение исследовательских расчетов по оценке эффективности быстрых алгоритмов.

Научная новизна.

1) Сформулирована новая модификация метода дискретных вихревых отрезков с использованием мозаично-скелетонных аппроксимаций для; ускорения вычислений для трехмерных задач переноса завихренности в безграничном объеме и задач обтекания тел идеальной жидкостью.

2) Доказана сходимость численных решений, получаемых модифицированным алгоритмом, к решению исходной непрерывной задачи о переносе завихренности в безграничной области.

3) Получено теоретическое обоснование применимости метода мозаично-скелетонных аппроксимаций в сформулированном численном алгоритме для ускорения расчетов.

4) Произведена оценка возможностей по ускорению вычислений за счет использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц в новой области: вихревых методах вычислительной аэродинамики.

Научная и практическая значимость.

1) В характерных аэродинамических задачах сформулированный «быстрый» алгоритм позволяет получить ускорение времени расчета в 10 и более раз по сравнению с алгоритмами, основанными на прямых вычислениях.

2) Сформулированный «быстрый» алгоритм открывает возможности для решения принципиально новых аэрогидродинамических задач, которые до настоящего времени не решались ввиду их большой вычислительной сложности.

3) Возросшая скорость вычислений позволяет проводить расчеты на более мелких сетках и правильно моделировать тонкие аэродинамические эффекты, такие, как, например, расчет подсасывающей силы на передней кромке крыла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

• международная школа-семинар «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики», 2008 год, Орел;

• международная научно-образовательная конференция «Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования», 2009 год, Москва;

• XX школа-семинар «Аэродинамика летательных аппаратов», 2009 год, пос. Володарка, ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского;

• конференция Тихоновские чтения — 2009, 2009 год, Москва.

Кроме того, результаты докладывались и обсуждались на семинарах:

• отчетная сессия Института вычислительной математики РАН, декабрь 2008;

• семинар имени проф. С.М. Белоцерковского, ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского - ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, февраль 2009;

• семинар на факультете ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. Е.В.Захарова;

• семинар «Вычислительные и информационные технологии в математике» ИВМ РАН под руководством чл.-корр РАН, проф. Е.Е. Тыртышникова, сентябрь 2009.

Публикации: По теме работы опубликовано 4 статьи, 2 тезиса докладов на конференциях. Основные результаты содержатся в работах [510], в том числе [6,10] из перечня ВАК РФ.

Структура работы.

Работа состоит из введения и четырех глав, в которых отражены основные результаты, полученные в процессе исследований.

В первой главе приводится математическая постановка задач распространения завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости и обтекания системы тел потоком идеальной жидкости. Также формулируются методы численного решения поставленных задач.

Во второй главе предлагается модификация численного метода, наиболее эффективная с точки зрения использования метода мозаично-скелетонных аппроксимаций. Формулируются утверждения и теоремы, приводятся доказательства, дающие строгое математическое обоснования сходимости решения, получаемого с помощью предложенной модификации численного метода в задачах распростренения завихренности в безграничном объеме к непрерывному решению.

В третьей главе обосновывается возможность применения метода мозаично-скелетонных аппроксимаций к поставленным задачам и приводится численный алгоритм использования мозаично-скелетонных аппроксимаций в рамках МДВ.

В четвертой главе приводятся результаты численного решения ряда тестовых задач: моделирования эффекта чехарды вихревых колец, расчетов обтеканий полусферы, восьмигранного цилиндра, прямоугольного крыла, системы зданий и сооружений. Проводится сравнение результатов численного моделирования с данными физических экспериментов, а также сравнение времени выполнение расчета «ускоренным» и «прямым» алгоритмами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Апаринов, Андрей Александрович

4.6. Выводы

В четвертой главе описаны численные эксперименты, проведенные с использованием разработанного программного комплекса.

На примере задачи о «чехарде» вихревых колец продемонстирована численная устойчивость предложенного алгоритма.

В задачах нестационарного обтекания полусферы и восьмигранного цилиндра показано хорошее совпадение результатов вычислений и экспериментальных данных для аэродинамических характеристик указанных объектов.

Расчет распределения давления по поверхности прямоугольного крыла демонстрирует возможности моделирования тонких аэродинамических эффектов, которые затруднительно моделировать без ускорения вычислений.

В задаче моделирования обтекания системы зданий продемонстрированы два возможных варианта применения мозаично-скелетонных при необходимости моделировать поверхность раздела, а также приведены данные по соотношению вычисляемых элементов матрицы к общему числу элементов матрицы в зависимости от размера матрицы.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты, которые выносятся на защиту.

1) Сформулирована модификация алгоритма метода дискретных вихревых отрезков с применением мозаично-скелетонных аппроксимаций для ускорения расчетов;

2) Доказана сходимость на сетке численных решений, получаемых с помощью сформулированного численного алгоритма, к решению исходных уравнений для трехмерной задачи переноса завихренности в безграничном объеме идеальной жидкости;

3) Интегрированы программные комплексы, реализующие метод дискретных вихревых отрезков и метод мозаично-скелетонных аппроксимаций.

4) Произведено тестирование алгоритмов ускоренного умножения матриц на основе мозаично-скелетонных аппроксимаций в трехмерных модельных задачах о переносе завихренности в безграничном объеме и об отрывном обтекании тел. Получены данные об ускорении вычислений при применении ускоренного алгоритма.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Апаринов, Андрей Александрович, 2010 год

1. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики - М.: ФИЗМАТЛИТ. 2002. - 320 с.

2. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир. - 1990. - Т. 1. — 384 с.

3. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир. - 1990. - Т. 2. - 336 с.

4. Андронов П.Р., Гувернюк C.B., Дынникова Г.Я. Вихревые методы расчета нестационарных аэродинамических нагрузок. М. Издательство Моск. Университета. 2006. — 184 с.

5. Апаринов A.A. Сетуха A.B. О применении метода мозаично-скелетонных аппроксимаций при моделировании трехмерных вихревых течений вихревыми отрезками. //ЖВМ и МФ. 2010 — Т. 50, №5 С. 937-948

6. Апаринов A.A., Сетуха A.B. Использование методов быстрого матричного умножения для ускорения вычислений при моделировании трехмерных вихревых течений. //Материалы XX школы семинара «Аэродинамика летательных аппаратов». — ЦАГИ. 2009. С. 8

7. Ю.Апаринов A.A., Сетуха A.B. О применимости мозаично-скелетонных аппроксимаций матриц для ускорения вычислений в вихревом методе для трехмерных уравнений Эйлера. //Дифференциальные уравнения. 2009 Т. 45. № 9 - С. 1329-1340

8. Апаринов В.А., Дворак A.B. Метод дискретных вихрей с замкнутыми вихревыми рамками. // М.:Труды ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского. 1986. Вып. 1313 - С. 424-432

9. Апаринов В. А., Локтев Б.Е., Ништ М.И. Нелинейные аэродинамические модели. Вопросы кибернетики, М.: Научный совет АН СССР. 1986. С. 47-69

10. Атлас аэродинамических характеристик. Издание БНТ НКАТ при ЦАГИ. 1940.-340 с.

11. Басин М.А., Корнев Н.В. Аппроксимация вихревого поля в безграничной среде // ЖТФ. 1994. Т. 64. - С. 179-185.

12. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука. 1985. 256 с.

13. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука. 1978. - 352 с.

14. Богомолов Д.В., Сетуха A.B. О численном моделировании трехмерных вихревых течений идеальной жидкости в безграничной области изолированными вихревыми элементами. //Научный вестник МГТУ ГА. Сер. «Аэромеханика и прочность». 2008. № 125(1). - С. 73-78

15. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский JI.H. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. — М.: "Янус-К". 2001. -508с.

16. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — М.: «Наука». 1981.-512 с.

17. Гирча А.И. Быстрый алгоритм решения задачи «N тел» в рамках программной реализации метода вязких вихревых доменов. // Системы управления и информационные технологии. 2007. № 4.2(30). - С. 239242.

18. Горейнов С. А., Замарашкин Н.Л., Тыртышников Е.Е. Псевдоскелетонные аппроксимации матриц. // Докл. РАН. 1995. -№343(2).-С. 151-152.

19. Горейнов С.А. Мозаично-скелетонные аппроксимации матриц, порожденных асимптотически гладкими и осцилляционными ядрами. -М.: Институт вычислительной математики РАН. 1999. С. 42-76

20. Гуржий A.A., Константинов М.Ю., Мелешко В.В. Взаимодействие коаксиальных вихревых колец в идеальной жидкости. // Изв. АН СССР МЖГ. 1988 №2. - С. 78-84

21. Гутников В.А, Лифанов И.К., Сетуха А.В: О моделировании аэродинамики зданий и сооружений методом замкнутых вихревых рамок // Изв. РАН МЖГ. 2006. №4. - С. 78-92.

22. Дмитрук С.А. Расчет двумерного отрывного обтекания кругового цилиндра в нестационарном потоке идеальной жидкости // Межвуз. сб. научн. трудов «Прикладная аэродинамика» КИИГА. Киев. 1979.

23. Дынникова Г.Я. Расчет обтекания кругового цилиндра на основе двумерных уранений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса с высоким разрешением в пограничном слое.// Доклады академии наук. 2008. Т. 422. №6. - С. 755-757

24. Кирякин В.Ю. Моделирование обтекания объектов методом дискретных вихрей с представлением вихревой пелены изолированными вихревыми частицами. // Научный вестник МГТУ ГА. серия Аэромеханика и прочность. 2008. №125(1). - С. 78-82

25. Кирякин В.Ю., Сетуха A.B. О сходимости численного метода решения трехмерных уравнений Эйлера в лагранжевых координатах. //Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. №9. - С. 1263-1276

26. Корнев Н.В. Метод вихревых частиц и его приложение к задачам гидродинамики корабля: Дисс. д.т.н. Спб. 1998. - 184 с.

27. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1, изд. шестое. М.: Физматгиз. 1963. - 584 с.

28. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. — М.:ТОО "Янус". 1995. — 520 с.

29. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. 1978. — 736 с.

30. Математическое моделирование аэродинамики городской застройки / В.А. Гутников, И.К. Лифанов, A.B. Сетуха, В.Ю. Кирякин М.: Изд-во «Пасьва». 2002. - 244 с.

31. Математическое моделирование нестационарного отрывного обтекания кругового цилиндра / С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1983.-№4. С. 138-147.

32. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел./ С.М. Белоцерковский, В.Н. Котовский, М.И. Ништ, P.M. Федоров М: Наука. 1988. - 232 с.

33. Морозов В.И., Понамарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.:Физматлит. 1995. — 735 с.

34. Нечепуренко Ю.М. Быстрые численно устойчивые алгоритмы для широкого класса линейных дискретных преобразований // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука. 1987 - Вып. 5. - С. 292-301

35. Новиков Е.А. Обобщенная динамика трехмерных вихревых особенностей (вортонов) //ЖЭТФ. 1983. Т. 3. - С. 975-981.

36. Рекомендации по оценке аэрации территории в жилой застройке г. Москвы. Отв. редактор Лифанов И.К. М:.МАКС Пресс. 2006.-2-е изд., переработанное и доп. - 160 с.

37. Савицкий Г.А. Ветровая нагрузка на здания и сооружения. -М.: Издательство литературы по строительству. 1972. — 111 с.

38. Сарпкайя Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция (1988) // Современное машиностроение. Сер. «А». 1989. №10. - С. 160.

39. Сетуха A.B. Обоснование метода дискретных вихрей в задаче о движении конечной вихревой пелены при аналитических начальных условиях. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т.32. №9. - С. 12721279

40. Сетуха A.B. Обоснование численного метода дискретных вихрей для уравнений Эйлера в области с границей. // Дифференциальные уравнения. 1997. Т.ЗЗ. №9. - С. 1268-1277

41. Сетуха A.B. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на отрезке в классе обобщенных функций. // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 9. - С. 1208-1218

42. Сетуха A.B. Численное решение задачи о движении вихревой пелены при аналитическом начальном условии. // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. №9. - С.1529-1537

43. Справочник авиаконструктора. Т.1. Аэродинамика самолета. М.: ЦАГИ. 1937.

44. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. / Т.О. Аубакиров, А.И. Желанников, П.Е. Иванов, М.И. Ништ Моделирование на ЭВМ. Алматы: Гылым. 1999. - 448 с.

45. Трехмерное отрывное обтекание тел произвольной формы. / Под редакцией Белоцерковского. — М. ЦАГИ. 2000. 266 с.

46. Труды Международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Вып. 7. Орел: издательство ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2009.-С. 12-16.

47. Тыртышников Е.Е. Методы быстрого умножения и решение уравнений // Матричные методы и вычисления, М.: Институт вычислительной математики РАН. 1999. - С. 4-41.

48. Тыртышников Е.Е., Методы численного анализа. М.: Издательский центр «Академия». 2007. - 320 с.

49. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - Т. 1. - 504 с.

50. Флетчер К., Вычислительные методы в динамике жидкостей / Пер. с англ. М.: Мир. 1991. - Т. 2. - 552 с.

51. Численное моделирование движения пары вихревых колец в идеальной жидкости методами дискретных вихревых элементов. / Д.В. Богомолов, И.К. Марчевский, А.В. Сетуха, Г.А. Щеглов // Инженерная физика, 2008. -№4-С. 8-14.

52. Численный метод расчета летательного аппарата с телесным фюзеляжем / Е.Д. Ковелев, И.К. Лифанов, А.А. Михайлов, М.И. Ништ, Г.Г. Поликарпов //ЖВМ и МФ 1989. Т. 29. №4. - С. 589-597.

53. Щеглов Г.А. Об одном способе распараллеливания вычислений в методе дискретных вихрей // Информационные технологии и программирование. Межвузовский сборник статей. 2005. №1(13) - С. 45-47.

54. Ambrosiano J. Greengard L., Rokhlin V. The fast multipole method for gridless particle simulation. // Computer Physics Communications. 1988. -V. 48(1). P. 117-125.

55. Anderson C. A method of local corrections for computing the velocity field due to a distribution of vortex blobs. // J. Comput. Physics. 1986. V. 62. -P. Ill- 123.

56. Barnes J., Hut P. A hierarchical 0(N Log N) force calculation algorithm // Nature. 1986. V. 324. №4. - P. 446-449.

57. Basin M.A. and Kornev N.V., Incorporation of the Viscosity in the Vortex Method // ZAMM. 1998. №5. - P. 335-344 (in German).

58. Beale J.T., Majda A., Vortex Methods II: Higher Order Accuracy in Two and Three Dimensions // Math, of Computation. 1982. V. 39. №159. - P. 29-52.

59. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. Method of Discrete Vortices. CRC Press, USA, 1993 - 447 p.

60. Beylkin G., CoifmanR., Rokhlin V. Fast wavelet transform and numerical algorithms. // Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44 - P. 141-183

61. Bliss D.B., Epstein R.J., Novel approach to aerodynamic analysis using analytical-numerical matching // AIAA Journal. 1995. V. 34 №11. - P. 2225-2232.

62. Brandt A., Lubrecht A.A. Multilevel Matrix Multiplication and fast solution of integral equations // J. Comput. Phys. 1990 V. 90 - P. 348-370.

63. Canning F.X. The impedance matrix localization (IML) metod for moment-method calculations // IEEE Antennas Propagat. Mag. 1990 V. 32 - P. 1830

64. Cottet G.-H., Koumoutsakos P., Vortex methods: theory and practice. -Cambridge University Press. 2000. 320 p.

65. Goreinov S.A., Tyrtyshnikov E.E., Zamarashkin N.L. A Theory of Pseudo-Skeleton Approximations. // Linear Algebra Appl. 1997. V. 261 - P. 1-21

66. Greengard L., Rokhlin V. A fast algorithm for particle simulations.// J. Comput. Physics. 1987. V. 73 - P. 325-348

67. Hackbush W., Novak Z.P. On the fast matrix multiplication in he boundary element method by panel clustering // Numer. Math. 1989 V. 54(4). - P. 463-491

68. Hald O. Convergence of vortex methods II. // CIAM J. Cs. Stat. Comp. 1979.-V. 16.-P. 726-755

69. HelmhoItz H., Uber integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen // Zeitschrift fuer reine und angewandte Mathematik. LV. - 1858 - P. 485-512

70. Hold O.H. and Del Prete V.M. Convergence of Vortex Methods for Euler's Equations. // Math. Comput. 1978. V.32 - P.791-809.

71. Hou T.J., Lowengrib J. Convergence of the Point Vortex Method for the 3D Euler equations // Comm Pure Appl. Math. 1990. V.43. - P.965-981

72. Kornev N., Leder A., Mazaev K. Comparison of two fast algorithms for the calculation of flow velocities induced by a three dimensional vortex field // Schiffbauforschung. 2001 -40(1). P. 47-55

73. Koumoutsakos P., Leonard A., High-resolution simulations of the flow around an impulsively started cylinder using vortex methods, // J. Fluid Mech. 1995. V. 296. - P. 1-38.

74. Koumoutsakos P., Leonard A., Pepin F., Boundary Conditions for Viscous Vortex Method, // J. Comput.Phys. 1994. -V. 113. P. 52-61.

75. Rokhlin V. Rapid solution of integral equations of classical potential theory // J. Comput. Physics. 1985. V. 60 - P. 187-207

76. Rosenhead L., The formation of vortices from a surface of discontinuity // P. Roy. Soc. Lond.- A134. 1931. - P. 170-192.

77. Taranov A., Kornev N., Leder A., Development of the Computational Vortex Method for Calculation of Two-Dimensional Ship Sections with Flow Separation // Schiffbauforschung, 2000 V. 39(2) - P. 95-105.

78. Tyrtyshnykov E.E. Mosaic-Skeleton approximations. // Calcolo. 1996. V. 33 № 1-2. - P. 47-57.