Большие абелевы группы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Бабанская, Олеся Мирославовна

• Бабанская, Олеся Мирославовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бабанская, Олеся Мирославовна

Введение.

Список основных обозначений.

Глава 1. Общие результаты для ^больших групп.

§1.1. Свойства Ж-болыних групп.

§1.2. Обобщенно J^-большие группы, их связь с ^большими группами.

Глава 2. Группы, большие относительно множества

J6={Z(p) |р еГ}.

§2.1. ^-большие периодические группы и группы без кручения.

§2.2. Случай смешанной группы Л.

§ 2.3. Подгруппа Фраттини группы А.

§2.4. Связь подгруппы Фраттини с Л£-болыпими группами.

Глава 3. J^-болыние группы, где J£={JP | р е Т).

§3.1. Большие группы относительно множества групп целых

-адических чисел.

§3.2. Связи некоторых множеств групп без кручения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Большие абелевы группы»

Теория абелевых групп является одной из важных ветвей алгебры. Абе-левы группы тесно связаны с модулями, кольцами, топологическими группами, теорией множеств. Изучение абелевых групп и ряда связанных с ними объектов (например, группы Нот) представляет значительный интерес как для алгебры, так и для ее приложений.

В теориях абелевых групп и модулей исключительно важно понятие прямой суммы. Почти все структурные теоремы об абелевых группах включают в себя, явно или неявно, некоторое прямое разложение.

Хорошо также известна важная роль отображений различных алгебраических систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы. Одной из исключительных особенностей абелевых групп является то, что множество всех гомоморфизмов Нот(Л, В) из группы А в группу В является группой относительно поточечного сложения гомоморфизмов. Изучение строения этой группы представляет большой интерес для теории абелевых групп, теории колец и модулей.

Между группами гомоморфизмов с одной стороны, прямыми суммами и произведениями абелевых групп с другой стороны, имеются разнообразные соотношения. Например, часто используются естественные изоморфизмы л

Нот A,Y{Bi =f]Hom(^,5;.),

V / /е/

Если же существует естественный изоморфизм iel J /е/ то говорят, что группа^ обладает некоторым свойством малости.

Наличие изоморфизма с

Нот Y[ Вп А = ©Нот(Д,Л) связано с понятием узкой группы. Теория узких групп представлена в [9, §94, §95]. Малые абелевы группы и модули и различные их обобщения активно изучаются в последнее время (см., например, [5], [12]). Отметим, что малые модули называют также дуально узкими.

В диссертации рассматривается ситуация, когда рАс.® Вi. Это эквивалентно также существованию естественного изо

Пусть Ж- какое-то множество абелевых групп. Абелева группа А называется ЯС-болыиой, если для любых групп Вг из JC (7е/) справедливо равенство т.е. для всякого гомоморфизма выполняется включение iel морфизма

Hom|^, ©£(J = Horn

А>П Bi

V iel .

В некоторых исследованиях, связанных с гомоморфизмами абелевых групп, <ЯГ-большие и близкие к ним группы играют определенную роль.

Например, при изучении группы Нот(^4, В) как инъективного модуля над кольцом эндоморфизмов группы А или В важную роль играет свойство, похожее на основное свойство ^больших групп (см. [6] и [14, глава 4]).

Отметим, что это свойство служит аналогом того факта, что Ф Z(p) есть

РеТ вполне инвариантная (по-другому, вполне характеристическая) подгруппа в jQZ(p), где Т— некоторое бесконечное множество простых чисел. реТ

Исследование ^больших групп представляет интерес для теории абелевых групп и их групп гомоморфизмов.

Данная работа посвящена изучению абелевых групп, больших относительно некоторых множеств групп Ж Основное внимание уделяется случаям, когда JC состоит из циклических групп простых порядков и групп целых р-адических чисел для различных простых р. Замечательно, что первый случай тесно связан со свойствами подгруппы Фраттини. Подгруппа Фраттини произвольной (некоммутативной) группы была введена в [13]. Различные результаты об этой подгруппе содержатся в [1], [4], [7], [10]. Она часто привлекает внимание специалистов (см., например, [2],

3]).

Используемые термины и обозначения стандартны и соответствуют книгам [8], [9]. Все встречающиеся в работе группы - абелевы.

В первой главе рассматриваются общие результаты о J^-болыпих группах, а также вводится более широкое понятие обобщенно J^-большой группы. Наиболее значимым результатом этой главы является

Теорема 1.2.1. Группа является обобщенно большой относительно каждого множества групп тогда и только тогда, когда она ограниченная.

Вторая глава диссертации является основной. Во-первых, в ней изучаются группы, большие относительно бесконечного фиксированного множества циклических групп простых порядков, т.е. относительно множества J€-{Z{p) | р <=Т, Т — бесконечное множество простых чисел}. Казалось бы, о таких группах все известно, но получаются интересные результаты для групп без кручения и смешанных групп, больших относительно Ж.

Основной результат первого параграфа это следующая теорема.

Теорема 2.1.3. Группа А без кручения является Ж-болъшой тогда и только тогда, когда для каждого ненулевого элемента хеА множество в(х) П Тявляется конечным, где в(х) = е Р hp(x) = 0 }.

Что касается смешанных групп, то оказалось не так просто найти условие, когда смешанная группа будет ^-большой. Во втором параграфе получены необходимые и достаточные условия того, чтобы произвольная смешанная группа была ^-большой.

Пусть А - смешанная группа. Для нее введем еще одно множество простых чисел (кроме Р и Т). Запишем Т{А)= © А , где Ар - (ненулевая) рpeS р компонента группы А.

Теорема 2.2.2. Если для смешанной группы А множество Т П S конечно, то А является Ж-болъшой в точности тогда, когда А/Т(А) - Ж-большая группа.

Для произвольной смешанной группы А аналог теоремы 2.2.2 не имеет места. Сначала рассматривается случай, когда 5сГ. Для таких групп прежде доказывается один результат, относящийся к классической проблеме расщепляемости смешанной группы.

Теорема 2.2.3. Предположим, что А — такая смешанная группа, что Т(А) — элементарная группа и S сГ. Тогда, если А - Ж-болъшая, то А расщепляется.

Затем доказывается основная

Теорема 2.2.4. Пусть А — такая смегианная группа, что S сГ. Записанные ниже утверждения эквивалентны:

1) А - Ж-болъшая;

2) А — Ж-болъшая;

3) А/Т(А) — Ж-болъшая и А расщепляется.

С помощью теорем 2.2.2 и 2.2.4 можно получить необходимые и достаточные условия того, чтобы произвольная смешанная группа А была Ж-большой.

Очень значимыми для всей работы являются третий и четвертый параграфы второй главы. В них изучается подгруппа Фраттини Ф(Л) группы А и устанавливается связь подгруппы Фраттини с ^-большими группами. Центральным результатом третьего параграфа является следующая Теорема 2.3.8. Подгруппа Фраттини группы А равна нулю тогда и только тогда, когда А изоморфна некоторой слабо сервантной подгруппе прямого произведения элементарных р-групп.

В параграфе 4 в предположении, что Т=Р, доказывается следующая теорема.

Теорема 2.4.1. Произвольная группа А является Ж-болъшой тогда и только тогда, когда А/Ф(А) — элементарная группа.

В конце параграфа эта теорема используется для расширения теоремы 2.2.4.

Теорема 2.4.7. Пусть А - смешанная группа. Записанные ниже утверждения эквивалентны:

1) А — Ж-болъшая группа;

2) А — Ж-болъшая группа;

3) А/Т(А) - Ж-болъшая группа и А расщепляется;

4) А/Ф(А) - элементарная группа;

5) АIФ{А) — элементарная группа.

Если г(А/Т(А))< оо, то можно добавить утверждение: 3') \Т{А/Т{А)) > [(1,1,.)] и А расщепляется.

Последняя - третья глава является дополнением к предыдущим главам. В ней изучаются группы, большие относительно произвольного бесконечного множества групп целых /?-адических чисел для различных р, т.е. множества Ж= {Jp | р £ Т).

В первом параграфе показывается, что в отличие от ^-больших групп для данного множества Ж случай смешанной группы сводится к группам без кручения. Такое же заметное отличие наблюдается и с группами без кручения.

Теорема 3.1.4. Группа А без кручения является Ж-большой тогда и только тогда, когда для любой сервантной подгруппы Xранга 1 группы А множество 7г(Х)П Т является конечным, где тг{Х) - множество простых чисел, не делящих группу X.

Во втором параграфе рассматриваются связи между группами большими относительно некоторых множеств групп без кручения.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ТГУ (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Крылов П.А.); на Всероссийских симпозиумах «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005 г., 2006 г.); на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения JL Эйлера (г. Томск, ТГУ, 2007 г.). Они были представлены на VI Международной конференции, посвященной 100-летию Н.Г. Чу-дакова (г. Саратов, 2004 г.); на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международном российско-китайском семинаре «Алгебра и логика» (г. Иркутск, 2007 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике с международным участием (г. Томск, 2008 г.).

Основные результаты опубликованы в работах [15] - [25].

Список основных обозначений

Нот(/4, В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В;

М- множество натуральных чисел;

Z- группа целых чисел;

Q- группа рациональных чисел;

Р - множество всех простых чисел;

Т- некоторое бесконечное множество простых чисел; р - некоторое простое число;

Z(p) - циклическая группа простого порядка;

Z(pk) - циклическая группа порядка рк;

Jp - группа целых р-адических чисел;

Qp ~ группа рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р;

7г(Х) - множество простых чисел, не делящих группу без кручения Х\ о (а) - порядок элемента а; hp(a) -р-высота элемента а; в(х) - множество простых чисел, для которых в некоторой группе Нр(хУ=0; а) - характеристика элемента а; х> - подгруппа, порожденная элементом х; л: >♦ - сервантная подгруппа, порожденная элементом х в группе без кручения; t(А) - тип группы без кручения А ранга 1;

1Т(Л) - внутренний тип группы без кручения А конечного ранга;

Т(А) - периодическая часть смешанной группы А;

А/Т(А) - часть без кручения группы А; г (А) - ранг группы А; гр{А) -/?-ранг группы А\

Ф(Л) - подгруппа Фраттини группы А;

Ар - р-компонента группы А, т.е. множество всех ее элементов, порядок которых есть некоторая степень числа р.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бабанская, Олеся Мирославовна, 2008 год

1. Белоногов, В.А Задачник по теории групп / В.А. Белоногов. - М. : Наука, 2000. - 239 с.

2. Бородин, Е.Н. Обобщенная подгруппа Фраттини конечных разрешимых групп / Е.Н. Бородин, Р.В Бородич // Алгебра и ее приложения : тезисы докладов Международной конференции. Красноярск, 2007. -С. 19-20.

3. Ведерников, В.А., Локально почти разрешимые группы с системами дополняемых подгрупп / В.А. Ведерников, Г.В. Савичева // Алгебра и ее приложения : тезисы докладов Международной конференции. — Красноярск, 2007. С. 28-29.

4. Каргаполов, М.И. Основы теории групп / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. М. : Наука, 1972. - 240 с.

5. Крылов, П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, А.В. Михалев, А.А. Туганбаев. М. : Факториал Пресс, 2006. -512 с.

6. Крылов, П.А. Абелевы группы как инъективные модули над кольцами эндоморфизмов / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4, вып. 4. - С. 1365-1384.

7. Курош, А.Г. Теория групп / А.Г. Курош. М. : Наука, 1967. - 648 с.

8. Фукс, Л. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / Л. Фукс. М. : Мир, 1974.-Т. 1.-335 с.

9. Фукс, Л. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / Л. Фукс. М. : Мир, 1977.-Т. 2.-417 с.

10. Чехлов, А.Р. Упражнения по основам теории групп : учеб. пособие / А.Р. Чехлов. Томск : РИО Том. гос. ун-та, 2004. - 278 с.

11. Arnold, D.M. Finite Rank Torsion Free Abelian Groups and Rings / D.M. Arnold. Berlin-Heidelberg-New York : Springer-Verlag, 1987. - 189 p.

12. Eklof, P.C. Dually slender modules and steady rings / P.C. Eklof, K.R. Gooderl, J. Trlifaj // Forum. Math. 1997. - Vol. 9. - P. 61-74.

13. Frattini, G. Intorno alia generasione dei gruppi di operazioni / G. Frattini // AttiAcad. dei Lincei. 1885. - Vol. 1. - P. 281-285.

14. Grinshpon, S.Y. Fully invariant subgroups, full transitivity, and homo-morphism groups of Abelian groups / S.Y. Grinshpon, P.A. Krylov // J. Math. Sci. 2005. - Vol. 128. - № 3. - P. 2894-2997.

15. Катеринчук (Бабанская), О.М. Некоторые свойства <Ж-болыиих абелевых групп / О.М. Катеринчук (Бабанская) // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005.-С. 22-24.

16. Катеринчук (Бабанская), О.М. J^-большие и обобщенно ^большие абелевы группы / О.М. Катеринчук (Бабанская) // Вестник Томского гос. ун-та. 2006. - Вып. 290. - С. 48-55.

17. Катеринчук (Бабанская), О.М. Характеризации больших абелевых групп без кручения для некоторых классов ЖI О.М. Катеринчук (Бабанская) // Абелевы группы: Материалы Всероссийского симпозиума. Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2006. - С. 24-26.

18. Катеринчук (Бабанская), О.М. О «Ж-болыних и обобщенно J^-болыних абелевых группах / О.М. Катеринчук (Бабанская) // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. - Т. 13. - № 3. - С. 51-60.

19. Бабанская, О.М. Связь циклических групп простых порядков с группами гомоморфизмов / О.М. Бабанская // Вестник Томского гос. ун-та. -2007.-№298.-С. 107-111.

20. Бабанская, О.М. Когда подгруппа Фраттини абелевой группы равна нулю? / О.М. Бабанская // Алгебра и логика : материалы международного российско-китайского семинара. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та, 2007.-С. 15-19.

21. Бабанская, О.М. Связь ^-больших абелевых групп с подгруппами Фраттини / О.М. Бабанская // Алгебра и ее приложения : тезисы докладов Международной конференции. Красноярск, 2007. - С. 12-13.