Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.07, кандидат технических наук Емельянова, Елена Юрьевна

• Емельянова, Елена Юрьевна
• кандидат технических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат технических наук Емельянова, Елена Юрьевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Принципы построения и особенности динамики преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов и проблема качественного проектирования.

1.1. Принципы построения полупроводниковых преобразователей электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов.

1.2. Детерминированные и хаотическце колебания в системах автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Проблема качественного проектирования.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бифуркации и хаотические колебания в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией систем автоматизации технологических процессов»

Актуальность темы. В системах управления технологическими процессами, установками и оборудованием производственных механизмов, в системах электропитания технологических и вычислительных комплексов преобразование параметров электрической энергии, поступающей от источника в нагрузку, осуществляется с использованием полупроводниковых преобразователей посредством разных видов модуляции, преимущественно, широтно-импульсной модуляции (ШИМ) [1-3].

Для получения требуемой точности воспроизведения энергетическим каналом преобразователя заданной формы управляющего сигнала, низкого уровня пульсаций выходного напряжения (тока), повышения быстродействия применяют широкий набор корректирующих звеньев в цепи обратной связи, осуществляющих непрерывную или дискретную коррекцию сигнала ошибки [4], или многоконтурные системы, работающие по принципу слежения за «полной» информацией о параметрах электрической энергии в нагрузке и питающей сети [5,6].

Однако на практике выбор конкретных типов корректирующих устройств и их параметров, а также вида ШИМ, параметров силовых фильтров преобразователя с целью обеспечения требуемых динамических характеристик наталкиваются на серьезные сложности. Это связано с тем, что в таких системах наряду с рабочим режимом колебаний возможны более сложные режимы функционирования, включая периодические движения на пониженных частотах, кратных частоте модуляции, или хаотические колебания. Вследствие чего воздействие внешнего шума, даже сколь угодно малого, или вариации параметров, определяемые условиями- эксплуатации и режимами работы нагрузки, могут приводить к внезапному переходу от одного динамического состояния к другому с различными динамическими характеристиками. Следствием последних является не только резкое возрастание амплитуды переменной составляющей выходного напряжения, уменьшение точности регулирования на несколько порядков, ухудшение электромагнитной совместимости преобразователя с питающей сетью и нагрузкой, но и внезапные отказы технологического оборудования.

В системах управления с ШИМ переход от режимов периодических колебаний к хаотическим при изменении параметров может происходить по типичным сценариям [7-9], например, через каскад бифуркаций удвоения периода, либо через жесткое возникновение множества различных локально устойчивых периодических движений, каждое из которых с изменением параметров может претерпевать конечную или бесконечную последовательность бифуркаций удвоения периода, завершающихся переходом к хаосу [6,10]. В то же время в преобразовательных устройствах с ШИМ смена характера динамики имеет некоторые особенности, связанные со специфическими для таких систем бифуркациями, которые принципиально не реализуются в гладких динамических системах.

Стабилизированные преобразователи электрической энергии относятся к классу нелинейных импульсных автоматических систем. Такие системы обычно описываются кусочно-сшитыми дифференциальными уравнениями. Как известно, в кусочно-сшитых динамических системах возможны специфические нарушения условий существования периодического движения, связанные с изменением числа участков фазовых траекторий, из которых сшивается траектория этого движения. Подобные нарушения топологической структуры фазового пространства получили название С-бифуркаций периодических решений [11-15]. Если в случае гладких динамических систем для определения границ области локальной устойчивости периодического решения имеются строгие критерии [16-18], основанные на методах теории бифуркаций, то для кусочно-сшитых систем общих методов, позволяющих решать указанную задачу, не существует. Границы области существования устойчивого периодического движения и переходы от одних типов движений к другим при изменении параметров не всегда определяются через критерии локальной устойчивости. Это существенно усложняет задачу построения области устойчивости периодических движений при проектировании преобразовательных устройств.

Несмотря на интенсивное развитие теории нелинейной динамики и хаоса, особенности поведения кусочно-сшитых динамических систем при С-бифуркациях остаются мало изученными. Между тем, динамические системы указанного класса находят много приложений в различных задачах механики, радиофизики и электроники, теории колебаний и управления, например, при исследовании динамики осцилляторов с сухим трением [12], релейных и импульсных систем автоматического управления самых различных классов и назначения [19-22], радиотехнических и электронных схем с кусочно-гладкими характеристиками или ключевыми элементами [2,11,23].

Поэтому разработка методов анализа С-бифуркаций, исследование сложной динамики конкретного класса стабилизированных преобразователей электрической энергии, способствующих проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов с требуемыми динамическими свойствами, являются актуальными задачами.

Цель работы: разработка методов анализа С-бифуркаций и исследование механизмов хаотизации колебаний в стабилизированных преобразователях электрической энергии с ШИМ. Развитие подходов к исследованию и проектированию преобразовательных устройств систем автоматизации технологических процессов, базирующихся на обобщении результатов анализа динамики преобразователей с различными видами модуляции (ШИМ-1, ШИМ-2) и обеспечивающих обоснованный выбор рода модуляции и параметров корректирующих звеньев, улучшающих динамические характеристики и расширяющих область устойчивости в целом рабочего режима колебаний.

В соответствии с этим в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. разработка методов идентификации различных типов периодических движений и методов анализа С-бифуркаций в системах с ШИМ;

2. исследование закономерностей смены динамических режимов и сценариев хаотизации колебаний, связанных с С-бифуркациями, в конкретном классе стабилизированных преобразователей электрической энергии систем автоматизации технологических процессов при различных способах широтно-импульсной модуляции (1-го и 2-го рода);

3. исследование влияния рода ШИМ и параметров корректирующих звеньев в цепи обратной связи на динамические характеристики преобразователя и область устойчивости в целом режима колебаний на частоте модуляции.

Методы исследования базируются на математическом аппарате теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории локальной устойчивости, теории нелинейных колебаний и бифуркаций динамических систем, матричной алгебре и вычислительной математике. Численная реализация математических моделей выполнялась на ЭВМ с помощью разработанного пакета прикладных программ. Натурные эксперименты проводились на экспериментальном стенде.

Научная новизна:

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хао-тизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно не только удвоение, но и утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, а также мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

Указанные результаты выносятся на защиту.

Практическая ценность и внедрение результатов. Разработанные подходы к исследованию бифуркаций и хаотических колебаний кусочно-сшитых моделей систем преобразования электрической энергии с ШИМ и результаты, полученные при исследовании динамики конкретных систем, позволяют:

1. подходить к формированию и реализации математических моделей систем автоматического регулирования с ШИМ с единых теоретических позиций;

2. определять области существования и устойчивости периодических режимов в пространстве параметров системы, прогнозировать характер усложнения колебаний при изменении параметров в зависимости от рода широтно-импульсной модуляции;

3. направленно подходить к выбору рода модуляции и параметров корректирующих звеньев и силовых фильтров, способствующих повышению показателей качества регулирования и надежности функционирования.

Результаты диссертационной работы внедрены на предприятии ОАО «Счётмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры, а также в курсе лекций по дисциплине «Математические основы теории динамических систем», читаемых автором в Курском государственном техническом университете.

Работа выполнена в соответствии с планами госбюджетных НИР Курского государственного технического университета на 1992-1997 гг. по теме 1.4.92 № гос. регистрации 01.9.70003503; гранта по фундаментальным исследованиям в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии, связи (конкурсный центр грантов при Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете им. В.И.Ленина (Ульянова)) №1.1.98, 1998-2000 г., в которых автор участвовал как исполнитель.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на: XXV Международной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 1999 г.), 7-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 1999 г.) (доклад отмечен дипломом второй степени за практическую значимость), 4-й Международной конференции «Распознавание-99» (Курск, 1999 г.), XXVI Меж

11 дународной молодёжной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2000 г.), III Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии» (Курск, 2000 г.), 8-й Международной студенческой Олимпиаде по автоматическому управлению (С.-Петербург, 2000 г.), а также на научно-технических семинарах кафедры «Вычислительной техники» в течение 1997-2000 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 8 печатных работах.

Объем и структура диссертации. Работа включает введение, 5 глав, заключение, библиографический список из 106 наименований и 3 приложения. Объем диссертации 165 страниц, включая 58 рисунков и 4 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Автоматизация технологических процессов и производств (в том числе по отраслям)», Емельянова, Елена Юрьевна

Основные результаты и выводы

1. Разработан экспериментальный стенд для исследования динамических режимов работы преобразователя с ШИМ 2-го рода, нагруженного на двигатель постоянного тока смешанного возбуждения. Проведены измерения статической ошибки регулирования тока якоря, коэффициентов пульсации тока и качество переходного процесса для различных параметров корректирующих звеньев цепи обратной связи.

2. Экспериментально определены параметры корректирующих звеньев, соответствующие режиму 1-й 2-цикла, а также режиму хаотических колебаний. Показано, что величина коэффициента пульсаций в режиме колебаний 2-цикла в 1,52 раза превышает аналогичный показатель в режиме колебаний на частоте модуляции, а в режимах с более низкой частотой может превышать в несколько раз.

3. Приведены результаты экспериментальных исследований преобразователя напряжения с ШИМ-2, параметры которого соответствуют параметрам модели, изучаемой в диссертационной работе. Расхождение между результатами натурных и численных экспериментов составляют около 11%.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана методика анализа С-бифуркаций, основанная на алгоритмах поиска периодических решений и исследования их локальной устойчивости, описании траектории периодического движения с помощью символической характеристики и свойствах системы трансцендентных уравнений для расчета периодических решений, полученной в аналитической форме. Это позволило различать типы периодических движений и прогнозировать возможный характер усложнения динамики при изменении параметров.

2. Найдены приемы выявления основных типов С-бифуркаций: простого изменения типа решения, мягкого возникновения движений с кратным периодом, слияния и последующего исчезновения двух циклов различных типов, позволяющие точно определять границы области существования и устойчивости периодического движения конкретного типа.

3. Исследованы особенности бифуркационных переходов и сценарии хаотизации колебаний, связанные с С-бифуркациями, в преобразователях электрической энергии с широтно-импульсной модуляцией 1-го и 2-го рода. Впервые показано, что в системах управления с ШИМ-2 при С-бифуркациях возможно удвоение, утроение, учетверение, упятерение периода колебаний, возникновение множества движений с кратным периодом, мягкие переходы от одних устойчивых движений к другим с кратно соотносящимися периодами.

4. Выявлены новые случаи поведения кусочно-сшитых моделей систем управления с ШИМ-1 при С-бифуркациях, связанные с возникновением резонансных циклов, являющихся следствием синхронизации квазипериодических колебаний. Детально изучена структура бифуркационных границ и внутреннее устройство областей существования резонансных циклов, установлены закономерности их появления.

5. Установлено, что род модуляции и параметры корректирующих звеньев влияют не только на показатели качества регулирования, но и определяют

148 размеры области устойчивости рабочего режима по параметрам и характер усложнения колебаний при изменении параметров.

6. Результаты диссертационной работы в виде пакета специализированных программ внедрены на ОАО «Счетмаш» (г.Курск) и использованы при проектировании импульсных источников вторичного электропитания радиоэлектронной аппаратуры. В результате экспериментальных исследований получено подтверждение основных теоретических положений диссертационной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Емельянова, Елена Юрьевна, 2000 год

1. Глазенко Т.А., Томасов B.C. Состояние и перспективы применения полупроводниковых преобразователей в приборостроении //Изв.вузов. Приборостроение. 1996, т.39. - №3. - С.5-12.

2. Кобзев A.B., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. Томск: Радио и связь, 1990. - 336 с.

3. Розанов Ю.К. Полупроводниковые преобразователи со звеном повышенной частоты. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 184 с.

4. Четти П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат, 1990.

5. Белов Г.А. Исследование колебаний в импульсном стабилизаторе напряжения вблизи границы устойчивости // Электричество. 1990. - №9. -С.44-51.

6. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т. О недетерминированных режимах функционирования стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1992. - №8. - С.47-53.

7. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.; Наука, 1990. - 312 с.

8. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 496 с.

9. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. - 280 с.

10. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Михальченко С.Г. Стохастичность в динамике стабилизатора напряжения с широтно-импульсным регулированием // Электричество. 1996. - №3. - С.69-75.

11. Nüsse Н.Е., Yorke J.A. Border-Collision Bifurcation including "Period Two to Three" for Piecewise Smooth Systems // Physica D. 1992. - P.39-57.

12. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. -М.: Наука, 1994.

13. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // Прикладная математика и механика. 1970, т.34. - Вып.5. - С.861-869.

14. Фейгин М.И. О рождении семейств субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе // Прикладная математика и механика. 1974, т.38. -Вып.5. - С. 810-818.

15. Фейгин М.И. О структуре С-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем // Прикладная математика и механика. 1978, т.42. -Вып.5. -С.820-829.

16. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987. - 384 с.

17. Guckenheimer J., Homes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, New York, 3rd printing, 1990.

18. Арнольд В.И. .Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:Наука, 1984.-272 с.

19. Жусубалиев Ж.Т., Сухотерин Е.А., Рудаков В.Н. О бифуркациях и хаотических колебаниях в релейной системе автоматического регулирования с гистерезисом. М., 1999, 54 с. Деп. в ВИНИТИ 20.08.1999. №2698-В99.

20. Розенвассер E.H. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969.-576 с.

21. Джури Э.И. Импульсные системы автоматического управления. М., 1963. -456 с.

22. Времяимпульсные системы автоматического управления/ Под ред. И.М.Макарова.-М.: Наука. Физматлит, 1991.-288 е.; 1997.-224с.

23. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. -М.: Машиностроение, 1984. -216 с.

24. Моин B.C. Стабилизированные транзисторные преобразователи. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 376 с.

25. С.А.Дарзнен, С.К.Любутин, С.Н.Рукин, Б.Г.Словиковский, С.Н.Цыранов. SOS-диоды: наносекундные прерыватели сверхплотных токов. //Электротехника. 1999. - №4. - С.20-28.

26. В.В.Чибиркин. Создание силовых полупроводниковых приборов для преобразователей электроподвижного состава. //Электротехника. 1998. -№3. - С. 1-9.

27. С.Н.Флоренцев. Состояние и перспективы развития приборов силовой электроники на рубеже столетий (анализ рынка). //Электротехника. 1999. -№4. - С.2-10.

28. Б.Р.Пелли. IGBT- биполярные транзисторы с изолированным затвором. //Электротехника. 1996. - №4. - С. 16-20.

29. Замкнутые системы преобразования электрической энергии / В.Я.Жуйков, И.Е.Коротеев, В.М.Рябенький и др.; Под ред. В.Я.Жуйкова. Киев: Тэхника; Братислава: Альфа, 1989. - 320 с.

30. Шрейнер Р.Т., Ефимов A.A. Активный фильтр как новый элемент энергосберегающих систем электропривода // Электричество. 2000 г. -№3. - С.46-54.

31. Тулупов В.Д. Эффективность электроподвижного состава с импульсным управлением. 1,11. // Железнодорожный транспорт. — 1994. №3. - С.46-55; №4. - С.49-58.

32. Розанов Ю.К. Основы силовой электроники. -М.: Энергоатомиздат, 1992.

33. Слепов H.H., Дроздов Б.В. Широтно-импульсная модуляция (Анализ и применение в магнитной записи). М.: Энергия, 1978. - 192 с.

34. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. С-Пб.: изд-во С.-Петербургского ун-та, 1993. -268 с.

35. Каретный О.Я., Кипнис М.М., Петрова Ю.Б. Применение импульсно-частотных характеристик для исследования периодических режимов всистемах с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1988. - №8. - С.59-68.

36. Ерихов М.М., Островский М.Я. Достаточные условия существования Т-периодических режимов в системах с «линейной» интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика-1987 №9 - С.26-30.

37. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Гос. изд-во физ,-мат. литературы, 1963. - 968 с.

38. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. JL: Наука, 1982.

39. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах //Автоматика и телемеханика. 1986. -№11.- С.37-44.

40. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Исследование Q-периодических режимов в широтно-импульсных системах // Автоматика и телемеханика. 1989. - №2. - С.30-39.

41. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Периодические режимы в широтно-импульсных системах с переменной структурой линейной части // Автоматика и телемеханика. 1990. - №12. - С.94-104.

42. Андерс В.И., Коськин O.A., Карапетян А.К. Исследование систем управления в тиристорно-импульсных тяговых электроприводах городского электрического транспорта //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990. - №5. - С.65-77.

43. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техшка, 1970. - 340 с.

44. Берендс Д.А., Кукулиев P.M., Филиппов К.К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. JL: Машиностроение, 1989. - 279 с.

45. Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю.И.Топчеева. М.: Машиностроение, 1982.-312 с.

46. Антонова H.A. О простейших периодических режимах в системах импульсного регулирования с ШИМ-I и ШИМ-П // Автоматика и телемеханика. 1975. - №2. - С.46-50.

47. Антонова H.A. Существование периодических режимов в системах с интегральной широтно-импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 1979. - №7. - С. 175-181.

48. Ерихов М.М., Островский М.Я. Условия существования Т-периодических режимов в системах с широтно-импульсной модуляцией второго рода // Автоматика и телемеханика. 1986. - №10. - С. 169-172.

49. Каретный О.Я., Кипнис М.М. Периодические режимы работы широтно-импульсных систем управления. I, II //Автоматика и телемеханика. — 1987. -№11.- С.46-54. №12. С.42-48.

50. Чурилов А.Н. Устойчивость системы с интегральной широтно-импульсной модуляцией //Автоматика и телемеханика. 1993. - №6. - С.142-150.

51. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Рудаков В.Н. К проблеме хаотизации состояния импульсных систем автоматического регулирования тяговым электроприводом // Изв. вузов. Электромеханика. 1995. - №5-6. - С.86-92.

52. Демирчян К.С., Бутырин П.А., Савицки А. Стохастические режимы в элементах и системах электроэнергетики // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. - №3. - С. 3-16.

53. Жуйков В.Я., Леонов А.О. Хаотические процессы в электротехнических системах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1991- №1. - С. 121127.

54. Жусубалиев Ж.Т. К исследованию хаотических режимов преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Электричество. 1997. -№6.- С.40-46.

55. Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Пинаев С.В., Рудаков В.Н. Детерминированные и хаотические режимы преобразователя напряжения с широтно-импульсной модуляцией // Изв. РАН. Энергетика.-1997.- №3. -С.157-170.

56. Постников Н.С. Стохастические колебания в ядерном реакторе с релейной системой регулирования //Атомная энергия. 1994. - Т.76. - Вып. 1. - С.З-11.

57. Postnikov N.S. Dynamic Chaos in Relay System with Hysteresis // Computational Mathematics and Modeling. 1997, Vol.8. - №3. - P.62-72.

58. Постников Н.С. Стохастичность релейных систем с гистерезисом //Автоматика и телемеханика. 1998. - №3. - С.57-68.

59. Крутова И.Н. Исследование стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением // Автоматика и телемеханика. 1999. -№4. - С.27-43.

60. Белов Г.А., Картузов А.В. Колебания в импульсном стабилизаторе // Электричество. 1988. - №7. - С.53-56.

61. Koschinski S.L., Kovrizhkin S.Y. Subharmonic resonance in dynamics of theautomatic control system with pulse-width modulation of the second kind //th

62. Preprints of 7 Int. student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad). -Saint-Petersburg. 1999. - Pp. 183-189.

63. Неймарк Ю.И. Динамическая система как основная модель современной науки // Автоматика и телемеханика. 1999. - №3. - С. 196-201.

64. Коськин O.A., Карапетян A.K. Анализ пульсационной составляющей тока в системе авторегулирования тягового привода // Сб. научных трудов МЭИ. 1992. -№ 641. - С.16-22.

65. Коськин O.A., Карапетян А.К. Анализ способа синхронной фильтрации управляющего сигнала в тяговых электроприводах с ТИСУ // Сб. научных трудов МЭИ. 1989. - № 238. - С.38-44.

66. Коськин O.A., Карапетян А.К. Влияние входного фильтра на устойчивость к автоколебаниям тягового привода с ТИСУ // Сб. научных трудов МЭИ. -1987. -№ 136. С.30-35.

67. Коськин O.A., Суслов Б.Е., Карапетян А.К. Анализ устойчивости замкнутой системы регулирования для электропривода трамвайного вагона // Электрооборудование промышленных установок. Сб. научных трудов Горьковского политех, ин-та. 1988. - № 24. - С.47-50.

68. Баушев B.C., Кобзев A.B., Тановицкий Ю.Н. Нормальные структуры динамических объектов. В кн.: Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов. - Томск: Изд-во ТГУ, - 1997. -С.146-152.

69. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. - 312 с.

70. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления //Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. - №1. -С.108-112.

71. Косчинский С.Л. Закономерности возникновения недетерминированных процессов в автоматизированных тяговых электроприводах постоянноготока с широтно-импульсной модуляцией / Автореферат дисс. . канд. техн. наук.-Орёл, 1998.-24 с.

72. Пинаев C.B. Динамика электроприводов систем автоматизации технологических процессов с релейно-импульсным регулированием. Дисс. канд. техн. наук. Курск, 1999. - 188 с.

73. Конев Ф.Б., Конева Н.Е. Применение персональных ЭВМ в разработках преобразовательных устройств //Электротехническая промышленность. Сер.05. Силовая преобразовательная техника. 1988. - Вып.20. - С. 1-48.

74. Вентильные преобразователи переменной структуры / В.Е.Тонкаль, В.С.Руденко, В.Я.Жуйков и др.; Под ред. А.К. Шидловского Киев: Наук.думка, 1989. - 336 с.

75. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. - 336 с.

76. Амосов А.А и др. Вычислительные методы для инженеров. -М.:Высш.шк., 1994. 544 с.

77. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440 с.

78. Рудаков В.Н. Хаос в динамике стабилизированных преобразователей электрической энергии с релейным регулированием: Дис. . канд. техн. наук. Курск, 1998. - 180 с.

79. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1978. - 472 с.

80. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., 1954.

81. Паркер Т.С., Чжуа JI.O. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР. 1987, т.75. - №8. - С.6-40.

82. Жусубалиев Ж.Т., Емельянова Е.Ю. О С-бифуркациях в трёхмерной системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы IV Международной конференции «Распознавание-99». Курск: КГТУ, 1999. -С. 52-55.

83. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Прикладная математика и механика. 1957, т.21. -Вып.2. - С.658-669.

84. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.: Наука, 1985. 224 с.

85. Алейников O.A., Баушев В.С, Кобзев A.B., Михальченко Г.Я. Исследование локальной устойчивости периодических режимов в нелинейных импульсных системах // Электричество. 1991. - №4. — С.16-21.

86. Баушев B.C., Жусубалиев Ж.Т., Колоколов Ю.В., Терехин И.В. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования //Автоматика и телемеханика. 1992. - №6. - С.93-100.

87. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987. -424 с.

88. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971.-310 с.

89. Емельянова Е.Ю. Об идентификации бифуркационных переходов в системе управления с широтно-импульсной модуляцией // Материалы III

90. Международной научно-технической конференции «Медико-экологические информационные технологии-2000». Курск: КГТУ, 2000. -С. 141-144.

91. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978. 304 с.

92. Алейников О.А. Динамические свойства систем воспроизведения сигналов с многозонной импульсной модуляцией. Дисс. канд. техн. наук. Томск, 1988.

93. Емельянова Е.Ю. Динамика стабилизированного источника электропитания с ШИМ-2 для летательных аппаратов // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XXV Гагаринские чтения».-М., 1999.-Т.2. С.831.

94. E.Yu. Emelyanova. Periodic motions bifurcations in control system with pulse-width modulation // Preprints of 7th International student Olympiad on automatic control (Baltic Olympiad), Saint-Petersburg, 1999, pp.6-10.

95. Anishchenko V.S., Strelkova G.I. Irregular attractors // Discrete dynamics in nature and society. 1998. - Vol.2. - Pp.53-72.

96. Баутин H.H. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984. - 176 с.

97. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

98. Емельянова Е.Ю. К анализу динамики стабилизированного преобразователя напряжения с ШИМ-1 // Тезисы докладов Международной молодёжной научной конференции «XXVI Гагаринские чтения». М., 2000.

99. Гласс Л., Мэкки. От часов к хаосу: ритмы жизни. М.: Мир, 1991. - 248 с.

100. Богданов Н.С., Кузнецов А.П. «Атлас» карт динамических режимов эталонных моделей нелинейной динамики и радиофизических систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000, т.8. - №1. - С.80-91.

101. Jensen М.Н., Bak P., Bohr Т. Transition to Chaos by Interaction of Resonances in Dissipative Systems. I. Circle Maps // Phys. Review A. 1984. -Vol.30. -№4.- P. 1960.

102. Shell M., Fraser S., Kapral R. Subharmonic Bifurcations in the Sine Map: an Infinite of Bifurcations // Phys. Review A. 1983. - Vol. 28 - №1. - P.605.

103. Лоренц Э. Недетерминированное непериодическое течение. // В кн.: Странные аттракторы / Под ред. Синая Я.Г., Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981.-С. 88-116.