Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности и с изменением цели у одного из участников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Высокос, Мария Ивановна

• Высокос, Мария Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Высокос, Мария Ивановна

Введение.

Глава 1. Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности

§1. Постановка задачи.

§2. Свойства гарантированных решений.

§3. Достаточные условия.

§4. Существование

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бескоалиционная игра трех лиц при неопределенности и с изменением цели у одного из участников»

Развитие общества сопровождается неизбежными конфликтами. Конфликт — это не только борьба двух, но и любое столкновение нескольких, может и не враждующих сторон. Конфликты неизбежны в экономике, экологии, в механике управляемых систем. Исследование математических моделей принятия оптимальных решений при конфликтах составляет содержание теории игр.

Теория игр возникла в начале XX века и первые ее результаты в монографии Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение", опубликованной в 1944 году (на русском языке [47]). Первые этапы развития теории игр были посвящены исследованию "статических" игр, в них не учитывалась динамика объекта управления. Однако уже во второй половине XX века, в связи с запросами динамики управляемых объектов, начинает активно развиваться теория динамических игр [1], [41], [48],[19], [21-23], [34], [35], [37], [39], [49], [52], [57].

Одно из направлений теории игр — бескоалиционные игры, которым и посвящена данная работа. В таких играх каждый игрок действует самостоятельно (не имея возможности объединяться с партнерами в выборе своего поведения) с целью достичь возможно лучшего осуществления своей цели.

Первый вопрос, который возникает по поводу любой игры или любого класса игр, заключается в выборе для этой игры (класса игр) принципа оптимальности. После выбора принципа оптимальности необходимо ответить еще на два вопроса: "Существует ли данное оптимальное решение? Как его найти?". Ответы на все эти три вопроса и составляют содержание теории игр, в частности, игр бескоалиционных.

Наличие неопределенности занимает особое место в конфликтных ситуациях. Неполнота или неточность информации об условиях реализации своей стратегии (своего выбора) и есть неопределенность. Она возникает в процессе принятия решений и может быть вызвана различными причинами [16], [17], [26], [29], [35], [28], [33].

Если о неопределенностях априори известны необходимые статические характеристики, то игра при неопределенности ( с помощью перехода к математическим ожиданиям) обычно сводится к игре без неопределенности. В диссертации же используются только такие неопределенности, о которых известны лишь границы изменения, и может реализоваться любая из возможных (в заданных границах), а какие-либо статистические характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Для однокритериальных задач при неопределенности в 50-х годах прошлого века были созданы несколько принципов, на основе которых могут быть построены оптимальные решения [43]. К ним относятся — принцип гарантированного результата (максиминной полезности или принцип Вальда), принцип минимаксного сожаления (принцип Севиджа), принцип пессимизма-оптимизма (принцип Гурвица) и др. В настоящей работе подход к принятию решений основывается на подходящей модификации принципа Вальда.

Все вышеперечисленные принципы были предложены для однокритериальных задач при неопределенности. Переход к более сложным бескоалиционным играм требует модификации применяемых принципов. В связи с этим особое значение приобретает активно развивающееся направление теории принятия решений, получившее название "многокритериальные задачи при неопределенности". В России такие задачи исследовались В.А. Гореликом [18], В.И. Жуковским и B.C. Молоствовым [29], М.С. Никольским [48], М.Е. Салуквадзе [31] и др. Параллельно за рубежом ведутся работы F. Ferro [64, 65], T.Tanaka [70-72], W.L. Chan и W.T. Lau [60], G.Y. Chen [61], J.G. Lin [68]. Основные результаты исследования базируются на принципе гарантированного результата. Такой подход обеспечивает определенные гарантии ЛПР (лицу, принимающему решение) по всем критериям. Впервые попытка обозначить теоретические основы бескоалиционных игр при неопределенности была предпринята в книге Жуковского В.И. [26]. Предложенные там подходы стали основой исследований в предлагаемой работе.

Диссертация посвящена бескоалиционным играм трех лиц при неопределенности. В первой главе рассматривается "статический" вариант игры, с расширением цели одного игрока. Предполагаем, что в такой игре второй игрок стремится не только к "собственной выгоде" (как принято в бескоалиционных играх), но и желает "помочь" первому игроку и "препятствует" третьему в достижении их целей. Возникновение игр данного вида связано ' с тем, что в настоящее время в большинстве экономических задач становится неэффективным действовать в одиночку, не обращая внимания на остальных участников игры, пусть и находящихся с тобой в конфликте.

Во второй главе диссертации исследуется динамический вариант. Здесь рассматривается бескоалиционная дифференциальная игра трех лиц с переключением во время игры интересов одного участника (второго игрока), т.е. второй игрок до априори заданного момента времени "поддерживает" первого игрока и "препятствует" третьему, в оставшееся время действует наоборот: "мешает" первому и "помогает" третьему.

Целью работы является формализация и исследование гарантированных решений бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с указанной особенностью. При этом предполагается, что о неопределенных факторах известна лишь область значений, а какие-либо вероятностные характеристики отсутствуют (по тем или иным причинам).

Объектом исследования является теория бескоалиционных игр при неопределенности.

Предмет исследования — бескоалиционные игры трех лиц при неопределенности, в которых учитывается отношение одного из участников к своим партнерам.

Проблема заключается в формализации решений таких бескоалиционных игр при учете неопределенных факторов, исследование свойств решений и способов построения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: на основе модификации принципа гарантированного результата, понятий векторных оп-тимумов, равновесия по Нэшу и, следуя [73], можно определить возможные решения данных бескоалиционных игр, получить условия существования и предложить способ их построения.

Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

- формализовать понятие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока;

- формализовать решение указанной бескоалиционной игры на основе понятия равновесности по Нэшу (из теории бескоалиционных игр), векторных оптимумов (из теории многокритериальных задач) и аналога седловой точки (из теории принятия решений в сложных управляемых системах); исследовать свойства такого решения и условия существования;

- для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности и с переключением во время игры интересов отдельного игрока ввести понятие гарантированного решения, выявить условия существава-ния и алгоритм построения;

- найти явный вид ситуации и неопределенности, реализующих гарантированные решения для линейно-квадратичных задач;

- рассмотреть приложение к конкретным экономическим задачам.

Методологическую основу работы составляют методы и подходы теории многокритериальных задач при неопределенности, теории игр, выпуклого анализа, теории матриц и квадратичных форм, дифференциальных уравнений, теории оптимального управления и динамического программирования.

Научная новизна. В работе впервые исследуется бескоалиционная игра при неопределенности, в которой происходит переключение интересов отдельного игрока. Формализация понятий решения данной игры основывается на концепции равновесности по Нэшу и векторных оптимумов; объединение, которых базируется на аналоге векторной седловой точки.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть применены к различным прикладным задачам прогнозирования и планирования в экономике, экологии, механике управляемых систем. В качестве приложения исследована математическая модель функционирования трех фирм на рынке.

Основные положения, выносимые на защиту:

- формализовано понятие гарантированного решения для бескоалиционных игр трех лиц при неопределенности и с расширением цели второго игрока;

- предложены достаточные условия существования указанных решений в чистых, смешанных и квазисмешанных стратегиях при обычных в теории игр ограничениях;

- для линейно-квадратичных игр найдены явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное решение;

- для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности и с переключением интересов второго игрока во время игры формализовано понятие решения; с помощью динамического программирования установлены достаточные условия существования;

- для линейно-квадратичного случая динамического варианта игры найден явный вид ситуации и неопределенности, реализующих указанное гарантированное решение.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVI " "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2005), на XIII международной конференции "Математика. Экономика. Образование" (Ростов-на-Дону, 2005), на пятнадцатой Крымской осенней математической школе-симпозиуме "Spectral and Evolutionary Problems" (Simferopol, 2005), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2005), на семинаре факультета ВМиК МГУ "Риски в сложных системах управления" (Москва, 2005), на научно-методическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ (Москва, 2006).

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на девять параграфов.

В первой главе (§§1-5) вводятся гарантированные решения в бескоалиционной игре трех лиц с "симпатиями" и "антипатиями" второго игрока. Именно в §1 определяются основные составляющие элементы такой бескоалиционной игры, описывается процесс принятия решения, определяются цели (на достижение которых направлен процесс управления), рассматриваются различные виды гарантированных решений, формализованных на основе понятий минимума по Слейтеру, Парето, Борвейну, Джоффриону и А-минимума ( из теории многокритериальных задач), понятия равновесия по Нэшу ( из теории бескоалиционных игр) и аналога седловой точки ( из теории принятия решений в сложных управляемых системах).

Далее в §2 исследуются свойства гарантированных решений, устанавливается связь между решениями.

Затем в §3 получены достаточные условия существования гарантированного по Джоффриону решения и А-гарантированного равновесия.

В §4 приводятся теоремы существования для смешанного расширения и квазирасширения игры.

Наконец в §5 представлены экономические модели конкуренции трех фирм.

Содержание второй главы (§§6-9) составляет формализация гарантированных решений и исследование этих решений в бескоалиционных дифференциальных играх трех лиц при неопределенности и изменением отношения отдельного игрока к своим партнерам в процессе игры.

В §6 определяются основные элементы такой игры, формализуется понятие гарантированного решения.

Далее в §7 на основе метода динамического программирования установлены достаточные условия существования гарантированного решения.

Затем в §8 найдены коэффициентные ограничения, при которых существует гарантированное решение линейно-квадратичного варианта дифференциальной игры, и при выполнении таких ограничений построен явный вид пары ситуация-неопределенность, порождающей гарантированное решение.

Наконец, в §9 с помощью метода малого параметра выделен класс линейно-квадратичных дифференциальных игр, в которых существует гарантированное решение.

Основные результаты опубликованы в работах [7], [8], [9], [10], [И], [12], [13], [27].

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Высокос, Мария Ивановна

Основные результаты.

- на основе понятий равновесие по Нэшу, векторного оптимума-и аналога седловой точки формализовано L-гарантированное К-равновесие бескоалиционной игры трех лиц при неопределенности с "расширением" цели отдельного игрока, установлено существование в чистых, смешанных и квазисмешанных стратегиях;

-для бескоалиционной линейно-квадратичной игры при неопределенности, в которой второй игрок имеет дополнительные цели, найден явный вид ситуации, реализующей .^-гарантированное 5-равновесие, получены коэффициентные условия существования;

- на основе метода динамического программирования для бескоалиционной дифференциальной игры трех лиц при неопределенности с переключением во время игры интересов одного из игроков предложен алгоритм построения ситуации, реализующей гарантированное ti-равновесие, введенное специально для данной игры;

- для линейно-квадратичного позиционного варианта найден явный вид ситуации, реализующей указанное гарантированное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мир реальности слишком сложен и запутан, поэтому экономисты и математики при составлении математических моделей абстрагируются от реальности. Но порой эти модели дают неточное описание действительности. Для того, чтобы приблизиться к реальности, в бескоалиционных играх, желательно учитывать: во-первых, стремление каждого участника к достижению наилучшего результата "для себя", во-вторых, на протяжении всей игры учитывать отношения партнеров друг к другу, в-третьих, неопределенные факторы, о которых игрокам известна лишь область возможных значений (даже любое действие, оказывающее влияние на будущее имеет неопределенный исход).

В диссертации как раз и предложен подход, учитывающий эти обстоятельства.

На наш взгляд, он более адекватно описывает реальные экономические и социальные процессы, происходящие в обществе, нежели классические подходы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Высокос, Мария Ивановна, 2006 год

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1965. 479 с.

2. Бардин А.Б. Векторный риск: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. СПбГУ, 1992. 14 с.м

3. Вилкас Э.И. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. 256 с.

4. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.: Наука, 1984. 495 с.

5. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр // Успехи матем. наук. 1970.25, вып.2.С.81-140.

6. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. М.: Наука, 1985. 271 с.

7. Высокое М.И. Бескоалиционная дифференциальная линейно-квадратичная игра с переключением цели отдельного игрока // Современные проблемы прикладной математики и математического моделиро-вания:Материалы конференции. Воронеж: ВГТА, 2005.С.60.

8. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности и с учетом изменения цели ее участника // Математика. Экономика. Образование. Тез.докл. XIII Междунар. конф. Ростов-на Дону, 2005. С.133.

9. Высокое М.И. Бескоалиционная игра при неопределенности с учетом "симпатий" отдельного игрока // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. Воронеж: ВГУ, 2005.С.62-63.

10. Высокое М.И. Об одной бескоалиционной игре // Современные методы теории краевых задач. "Понтрягинские чтения XVI". Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 2005. С.43-44.

11. Высокое М.И. Об одной дифференциальной игре трех лиц / Известия института математики и информатики. Выпуск 2(32). Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 2005. С.35-50.

12. Высокое М.И., Житенева Ю.Н. Бескоалиционная игра с текущим изменением "симпатий" одного из игроков // Spectral and Evolution Problems: Proceedings of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Simposium. Vol.15, Simferopol, 2005. C.175-181.

13. Габасов P., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск: БГУ, 1975. 242 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1954. 496 с.

15. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 с.

16. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 354 с.

17. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь,1991.

18. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. 145 с.

19. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. М.: Машиностроение, 1986. 288 с.

20. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1968-1983 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

21. Д.Т. Дочева. Болгария, Русе: Центр по математике, 1985. 114 с.

22. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1984-1988 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

23. В.Н. Ушакова. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 139 с.

24. Дифференциальные игры со многими участниками: Указатель литературы за 1988-1994 гг./Под ред. В.И. Жуковского и

25. B.И. Ухоботова. Челябинский ун-т, 1995. 123 с.

26. Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. М.: Наука, 1981. 336 с.

27. Житенева Ю.Н. О бескоалиционных играх с "союзниками" и "противниками": Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. МПГУ, 2002. 16 с.

28. Жуковский В.И. Введение в дифференциальные игры при неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1997. 461 с.

29. Жуковский В.И., Высокое М.И. Бескоалиционная игра с расширением цели отдельного игрока // Сборник докладов Международной науч. конференции "Проблемы управления и энергетики" N8, Тбилиси, 2004.1. C.35-37.

30. Жуковский В.И., Жуковская J1.B. Риск в многокритериальных и конфликтных системах при неопределенности. М.: Едиториал УРСС, 2004. 272с.

31. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальная оптимизация систем в условиях неполной информации. М.: Международный НИИ проблем управления, 1990. 112 с.

32. Жуковский В.И., Молоствов B.C. Многокритериальное принятие решений в условиях неопределенности. М.: Международный НИИ проблем управления, 1988. 132 с.

33. Жуковский В.И., Салуквадзе М.Е. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления. Москва-Тбилисси: Интелекти, 2004. 358с.

34. Жуковский В.И., Тынянский Н.Т. Равновесные управления многокритериальных динамических систем. М.: МГУ, 1984. 224 с.

35. Жуковский В.И., Чикрий А.А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наукова Думка, 1994. 320 с.

36. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

37. Клейменов А.Ф. Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

38. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

39. Кононенко А.Ф. О равновесных позиционных стратегиях в неантагонистических дифференциальных играх.//Докл. АН СССР. 1976. 231, N2. С. 285-288.

40. Кононенко А.Ф., Халезов А.Д., Чумаков В.В. Принятие решений в условиях неопределенности / Под ред. Л.Г. Турина. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1991. 79 с.

41. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 455 с.

42. Ли Э. Б., Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574 с.

43. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. М.: Иностр. лит-ра, 1961. 642 с.

44. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

45. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Высш. школа, 1986. 288 с.

46. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 206 с.

47. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 708 с.

48. Никольский М.С. О гарантированных оценках в дифференциальных играх с векторным критерием качества // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. N 2. С.37-43.

49. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C. Понтрягина в дифференциальных играх. М.: МГУ, 1984. 187 с.

50. Петросян JI.A. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками//Вестник ЛГУ. 1977. N11. С. 46-52.

51. Петросян JI.A., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Ленинград: ЛГУ, 1987. 253 с.

52. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Изд-во ЛГУ, 1982. 187 с.

53. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 254 с.

54. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 212 с.

55. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.372 с.

56. Смирнова JI.B. Принцип Гурвица в сложных управляемых системах: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. МПГУ, 1998. 13 с. t

57. Basar Т. On the uniqueness of the Nash solution in linear-quadratic differential games // Int. J. Game Theory. 1976. Vol 5, N 2-3. P. 996-999.

58. Blackwell O. An analog of the minimax theorem for vector payoffs // Pasific J. Math. 1956. N 6. P.l-8.

59. Borwein J. Proper efficient points for maximization with respect to cones // SIAM J. Control and Optimiz. 1957. Vol. 15, N 1. P. 57-63.

60. Chan W.L., Lau W.T. Vector saddle-point and distributed parameter differential games//Comput. and Math. Appl.1989. 18, N1-3. P. 195-207.

61. Chen G.Y. A generalized section theorem and minimax inequality for a vector-valued mapping//Optimization. 1991. 22. P. 745-754.

62. Chen G.Y., Quan Z. Minimax methods for open-loop equilibra in N-person differential games. Part II: Duality and Penalty Theory//

63. J. Comput. Math. 1992. 10, N4. P. 305-320.

64. Dolezal J. Open-loop and closed-loop eqilibrium solution for multistage games // Banach Center Publ. Vol. 1. Proc. Conf., Zakopanne, 1974. Warszava:PWN, 1976. P. 73-81.

65. Ferro F. Minimax theorem for vector-valued functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1989. 60. P. 19-31.

66. Ferro F. A Minimax theorem for vector-valued functions. Pt. 2// J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68, N1. P. 35-48.

67. Geoffrion A.M. Proper efficiency and the theory of vector maximization // J. Math. Anal, and Appl. 1968. Vol. 22, N 3. P. 618-630.

68. Hurwicz L. Optimality criteria for decision making under ignorance: Cowles Commission Descussion Paper. Statistcs, 1951. 370 c.

69. Lin J.G. Maximal vectors and multi-objective optimization // J. Optimiz. Theory and Appl. 1976. Vol. 18, N 1. P. 41-68.

70. Nash J.F. Non-cooperative games//Annals of Math. 1951. 54. P. 286295.

71. Tanaka T. Cone-convexity of vector-valued function // The Science Reports of the Hirosaki University. 1990. 37. P.170-177.

72. Tanaka T. Generalized quasiconvexities cone saddle points and minimax theorem for vector-valued function // J/ Optimiz. Theory and Appl. 1994. 81, N 2. P.335-337.

73. Tanaka T. Two types of minimax theorems for vector-valued functions//J. Optimiz. Theory and Appl. 1991. 68,N2. P. 321-334.

74. Zhukovskiy V.I., Salukvadze M.E. The vector-valued maximin. New York etc.: Academic Press, 1994. 404 p.