B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Феоктистова, Александра Александровна

• Феоктистова, Александра Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Феоктистова, Александра Александровна

Введение

1 Некоторые факты весового гармонического анализа

1.1 Обозначения и основные понятия

1.1.1 Классы функций

1.1.2 Сингулярное уравнение Бесселя, ^функции Бесселя

1.1.3 Оператор Пуассона, обобщенные сдвиги и свертки

1.1.4 Конечные разности порожденные обобщенным сдвигом. Связь с конечной разностью радиальной функции. Модуль гладкости весовых лебеговских классов функций.

1.1.5 Интегральное преобразование Фурье-Бесселя

1.2 Теоремы типа Пэли-Винера, Ахиезера и Киприянова-Куликова о носителе экспоненциальной функции.

1.3 .Рв -мультипликаторы

2 Теорема об аппроксимации целыми весовыми функциями экспоненциального типа

2.1 Ограниченность смешанной о.к.разности в весовых функциональных классах.

2.2 О модуле непрерывности, порожденном смешанным обобщенным сдвигом.

2.3 Приближение весовыми экспоненциальными функциями

3 В-ядра Бесселя-Макдональда и операции В-лиувиллевского типа

3.1 В-Ядро Бесселя-Макдональда и его свойства.

3.2 Оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда

3.3 Принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству С.М. Никольского Н['7.

3.4 Операция /7)Г лиувиллевского типа, порожденная смешанным преобразованием Фурье-Бесселя.

3.4.1 Последовательности в 8еу и

3.4.2 Операции В-лиувиллевского типа /7)Г.

3.4.3 Представление операции /7)Г в виде обобщенной свертки с В-ядром Бесселя-Макдональда.

3.5 Расширение понятий обобщенной свертки и Ев -мультипликатора

3.5.1 О расширении понятия обобщенной свертки

3.5.2 Ев -мультипликаторы в «?'е1).

3.5.3 Обобщенная свертка Ев -мультипликатора с регулярной в смысле Щ -функцией.

3.6 ГВ-мультипликатор, равный единице на области в К^ •

3.7 Изоморфизм классов Соболева-Киприянова

3.8 Оценка наилучшего приближения операции лиувиллевского типа /7)Г/.

3.8.1 Экспоненциальные функции сферического типа у

3.8.2 Приближение В-лиувиллевских операций экспоненциальными функциями сферического типа у

4 Приближение функций их обобщенными свертками с Вядрами Валле-Пуссена-Никольского

4.1 В-ядра Балле-Пуссена.

4.1.1 В-ядро Дирихле В7|Л(*) - Щ=1 ^ъЛ

4.1.2 В-ядра Валле-Пуссена-Никольского на основе Вядра Дирихле Р7)д.

4.2 Приближение функций посредством обобщенной свертки с В-ядром VPN

4.2.1 Обобщенные свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского

4.2.2 Приближение функций с помощью В-ядер VPN

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «B-лиувиллевские операции и приближение функций из весовых классов»

Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа 1Г , определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими. Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (195Т), А. Кальдерон (1959), С.М. Никольский, П.И. Лизоркин и др. Операции лиувиллевского типа изучались С.М. Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Исследованию проблем В-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Гаджиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались С.С. Платоновым.

В диссертации исследуются свойства весовых операций ли-увиллевского типа, порожденных В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов И.А.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Киприянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления функций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.

Тема исследований диссертации актуальна в связи со значимостью в естествознании задач с симметриями, возникающих во многих разделах фундаментальной физики, компьютерной томографии, теории оболочек и многих технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщенным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.

Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа /7]Г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки смешанных В-производных В-ядер, принадлежность В-ядра к весовому пространству С.М. Никольского . Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству Никольского ii['7 .

2. Введены В-лиувиллевские операции /7;Г , порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией 11}Т класса функций Щ на класс функций Соболева-Киприянова . В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произвольной функции из WJ'r в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из L^ .

3. Получена теорема о наилучшем приближении В-лиувиллевской операции /7)Г экспоненциальными функциями сферического типа.

4. Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссепа-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебеговских классов.

5. Доказана теорема о приближении функций из весовых лебеговских классов 1Л экспоненциальными функциями посредством соответствующей обобщенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.

Практическая значимость и теоретическая значимость.

Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2010 — 2012 гг., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2011 г., в Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в г. Ростов-на-Дону в 2011 — 2012 гг., на Международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского в г. Москва в 2011 г., на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в г. С.-Петербурге в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования. Общий объем диссертации 130 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Феоктистова, Александра Александровна, 2012 год

1. Ахиезер Н.И. К теории спаренных интегральных уравнений // Ученые записки Харьковского гос. ун-та. — 1957. — Т.80. — С. 5 — 21.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, Физматлит, 1966. 296 с.

3. Бремерман Г.Б. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье.— М.: Мир, 1968. — 276 с.

4. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон; перевод со второго англ. изд. B.C. Бермана. — М.: ИЛ, 1947. — 780 с.

5. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. - 224 с.

6. Гаджиев А.Д., Алиев И.А. Потенциалы Рисса и Бесселя, порожденные обобщенным сдвигом // Докл. расширенного семинара им. Векуа. — Тбилиси, 1988. — Т.З. — С.21-24.

7. Гоц Е.Г., Ляхов Л.H. Обобщенные разности и общие В-сингулярные интегралы // ДАН. 2005. - Т. 405, №4. - С. 444 - 447.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М: ГИФМЛ, 1965. — 1100 с.

9. Delsarte J. Sur unt extension de la formule de taylor // Journal pures et appl. 1938. - T.17. - C.213 - 130.

10. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сб.- 1955.- Т.36(78), №2. С. 299 - 310.

11. Катрахов В.И., Ляхов Л.Н. Полное преобразование Фурье-Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Дифференц. уравнен. 2011. - Т. 47, №5. — С. 681 - 685.

12. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр.МИРАН.— 1967.- Т.89. С. 130 -213.

13. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. — М.: Наука, 1997. 199 с.

14. Киприянов И.А., Ключанцев М.И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига.П // Сиб.мат.журн. — 1970.- Т.11, №5. С.1060 - 1082.

15. Киприянов И.А., Куликов А.А. Теорема Пэли-Винера-Шварца для преобразования Фурье-Бесселя // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 298, №1. С. 21 - 25.

16. Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. Об одном классе псевдодифференциальных операторов // ДАН. 1974. - Т. 218, №2. - С. 278 -280.

17. Киприянов И.А., Ляхов JI.H. О мультипликаторах смешанного преобразования Фурье-Бесселя // ДАН. —1997. — Т. 354, №4. — С. 449 -451.

18. Куликов A.A. Фундаментальные решения и гипоэллиптичность дифференциальных уравнений, содержащих оператор Бесселя. — Воронеж, ВГУ. — 2008. — 116 с.

19. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // УМН.- 1951.- Т.6, №2.- С.102 143.

20. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Ьр{Еп) . Теоремы вложения // Мат.сб.— 1963.- Т.60, №3.- С. 325 353.

21. Лизоркин П.И. Пространства LTV . Теоремы продолжения и вложения // ДАН. 1965. - Т. 145. - С. 527 - 530.

22. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложения классов дифференцируемых функций // Тр. МИ АН. 1969.- Т.105. - С. 89 - 167.

23. Лизоркин П.И. Описание пространства Lrp{Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов // Мат.сб. — 1970. — Т.81, №1. С.79 - 91.

24. Лизоркин П.И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием и классы дифференцируемых функций // Тр.МИАН.— 1972. Т.117. - С. 212 - 243.

25. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // ДАН.- 1990. Т.315, т.- С. 291 - 296.

26. Ляхов Л.Н. Пространство B-потенциалов Рисса // ДАН. — 1994.— Т.334, №3.- С. 278 280.

27. Ляхов Л.Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя // Тр. МИРАН. 1996. - Т. 214. - С. 234 - 249.

28. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потпциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом.— Воронеж: ВГТА, 1997.— 144 с.

29. Ляхов Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию функциональных классов Киприянова и к интегральным уравнениям с В-потенциальными ядрами. — Липецк: ЛГПУ, 2007.- 232 с.

30. Ляхов Л.Н. Описание пространств В-потенциалов Бесселя В-гиперсингулярными интегралами / / Условно-корректные задачи математической физики и анализа: Тез. докл. на-учн.конф.,Новосибирск, 1-5 июня 1992 г. ИМ СО РАН. — Новосибирск, 1992.— С. 202 203.

31. Ляхов Л.Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя // ДАН. —1998.- Т. 360, №1. С. 16 - 19.

32. Ляхов Л.Н. О радиальных функциях и классических стационарных уравнениях в евклидовом пространстве дробной размерности //Материалы 6-ой международной конференции АМАБЕ-2011. — Минск, издательский центр БГУ, 2012. — С. 115 — 126.

33. Ляхов Л.Н., Иголкина Л.М. О конечных разностях и модулях непрерывности сферически симметричных функций. // Актуальные проблемы естественных наук и их преподавание. Школа молодых ученых Липецкой области. — Липецк: ЛГПУ, 2008. — С. 192- 203.

34. Ляхов Л.Н., Половинкина М.В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов. //Труды математического института им. Стеклова. (тр. МИАН). 2005. - Т.250. - С. 192 - 197.

35. Ляхов Л.H., Санина Е.Л. Многочлены Шлемильха, интерполяционная формула Рисса для B-производной и неравенств Берштейна для дробных B-производных Вейля-Маршо // Доклады Академии Наук. 2007. - Т. 417, №5. - С. 1 - 5.

36. Московский A.B. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 < Р < 2 , на полупрямой // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней школы. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1997.

37. Михлин С.Г. О мультипликаторах рядов Фурье // ДАН СССР. — 1956. Т. 109. - С. 701 - 703.

38. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные уравнения и интегральные уравнения. — М.: Физматгииз, 1962. — 258 с.

39. Никольский С.М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука. — 1977. — 456 с.

40. Платонов С.С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. —2007. — Т. 71, №5. С. 149 -Ц 196.

41. Платонов С.С. Обобщенные сдвиги Бесселя и некоторые задачи теории приближения функций на полупрямой. // СМЖ. — 2009. Т.50, №1. - С. 154 - 174.

42. Платонов С.С. Об одной теореме Пэли-Винера-Ахиезера // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". Выпуск 5, 1998. - С. 131 -139.

43. Половинкина М.В. В-гиперсингулярные интегралы и их приложения к олписанию весовых функциональных классов дробной гладкости. Диссернт. на соискание . кандидата ф.-м.наук. // Воронеж: ВГУ, 2009. 133 с.

44. Самко С.Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы; их символы и обращение // Тр.МИАН.— 1980.— Т.156 С.157 - 222.

45. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. — Ростов н/д: Изд-во Рост.ун-та. — 1984.— 208 с.

46. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения — Минск: Наука и техника. — 1987.— 688 с.

47. Санина E.JI. Дробные B-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Бернштейна для B-производных от четных многочленов Шлемильха. Диссернт. на соискание . кандидата ф.-м.наук. // Воронеж: ВГУ. — 2008. — 118 с.

48. Стейн Н., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых многообразиях. — М.: Мир. — 1974. — 331 с.

49. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: "Наука главная редакция физико-математической литературы. — 1980. — 464 с.

50. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: Иностранная литература. — 1948. — 456 с.

51. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир. — 1965. — 380 с.

52. Хермандер Л. Оценки для операторов инвариантных относительно сдвига / пер. с англ. Б.П. Панеяха. — М.: ИЛ. — 1962. — 71 с.

53. Шварц Л. Theorie des distributions, I-II. — Paris. — 1950-1951.