Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Ушаков, Юрий Юрьевич

• Ушаков, Юрий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ушаков, Юрий Юрьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Функции на группах и автоморфизмы алгебр

1.1 Ручные и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр

1.2 Функции Эйлера-Холла на группах и гомоморфизмы свободных групп на п-порождённые группы

1.3 Функция числа классов сопряжённых элементов и гипотеза Пыбера для класса групп лиева типа ранга 1

1.4 Оценка п-й функции Эйлера-Холла

Глава 2. Вопрос о второй функции Эйлера-Холла на группах

лиева типа ранга 1

2.1 Подгрупповые описания групп Ри и унитарных групп

2.2 Рекуррентные формулы для второй функции Эйлера-Холла

£¿2 на унитарных группах и группах Ри

2.3 Решение вопроса о функции ¿2 на группах Ри

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы свободных алгебр и функции на группах лиева типа ранга 1»

Введение

В диссертации исследуются вопросы о функциях на конечных группах и автоморфизмы свободной ассоциативной алгебры.

В 1969 году в Коуровской тетради Л. А. Бокуть записал

Известный вопрос. Описать группу автоморфизмов свободной ассоциативной алгебры ранга п > 2 [6, Вопрос 3.3].

Для свободной ассоциативной алгебры Ап (с единицей) ранга п над полем естественно определяются элементарные автоморфизмы; порождённые ими автоморфизмы называют ручными, а остальные автоморфизмы — дикими. Таким образом, вопрос 3.3 сводится к нахождению и описанию диких автоморфизмов. Трудным оказывается даже вопрос, когда группа Ai.it Ап совпадает с подгруппой всех ручных автоморфизмов Ап.

Ещё к началу 1970-х годов А. Г. Чернякевич было доказано, что все автоморфизмы алгебры А2 — ручные. Первый «подозрительный» автоморфизм выявился уже для алгебры А3. В монографии Кона [17] он называется автоморфизмом Аника. Лишь в 2003 году завершено доказательство его дикости в случае основного поля характеристики 0, И. П. Шестаков и У. У. Умирбаев [36], [12]. Примечательно, как показали в 2005 году те же авторы, что тождественное продолжение автоморфизма Аника на алгебру Ап ранга п > 3 всегда даёт ручной автоморфизм.

Эти работы опирались, в первую очередь, на метод свободных дифференцирований Фокса и матриц Якоби. В 2004 г. на основе тех же методов В. А. Романьков [9] установил критерий обратимости эндоморфизма алгебры Ап.

Уже краткий обзор указывает на трудность получения результатов в этом направлении и на необходимость разработки новых подходов.

В 1936 году Ф. Холл [26] ввёл важные функции на конечных группах С, исследуя гомоморфизмы свободных групп на п-порождённые группы. Он называет п-базой конечной группы С всякий упорядоченный порож-

дающий набор п её элементов. Число всех п-баз группы С обозначает через </?п(С), называя <рп п-й обобщённой функцией Эйлера. (Её называем также функцией Эйлера-Холла.) Очевидно, когда С — циклическая группа, (р\ (С) совпадает со значением на )С| обычной теоретико-числовой функции Эйлера.

С другой стороны, в [26] доказано существование для любой (известной) конечной простой неабелевой группы С и натурального числа п наибольшего числа с1 = с1п(С) такого, что прямая степень Сс1 порождается п элементами. Там же установлена взаимосвязь введённых функций:

С. А. Сыскин записал в Коуровской тетради вопрос вычисления значений (^(С) для конечных простых групп С [6, вопрос 12.86]. Конечно, для чисел <¿2(С) единообразную формулу можно ожидать лишь для отдельных классов групп.

Более естественна, в целом, гипотеза Уайголда:

Если С — конечная простая неабелева группа, то ^(С) > л/Щ [6, вопрос 17.116].

В работах Эрфаниана, Реза, Мароти и Тамбурини гипотеза Уайголда, по существу, изучена [20], [21], [22], [23], [32]. Минимальное число элементов, порождающих прямую степень группы, изучалось в [39]-[42].

Числа с1-2(С) изучались для конечных простых групп лиева типа ранга 1. Их рекуррентное описание для групп Сузуки 2£?2(2771) и групп Р5Ь2(2та) получили Н.М. Сучков и Д.М. Приходько [И]. Числа <^2(С) вычислены Ф. Холлом в [26] явно для групп Р51/2(д) с простыми q (как и для некоторых групп подстановок малых степеней); для нечётных д их изучал Д. М. Приходько [7], [8].

Случай оставшихся групп Ри 2(?2(<?) и унитарных групп Рви^2) мало изучен; они отличаются тем, что в них существуют неразрешимые подгруппы с неединичным разрешимым радикалом [5].

JI. Пыбер обозначает через k(G) функцию числа классов сопряжённых элементов конечной группы G. Для силовских подгрупп Ри \G\ = |Pi||P2| • • • I-Prl, он высказывает гипотезу k(G) < к(Р1)к(Р2)... /с(Рг), [6, Вопрос 14.76].

В диссертации разрабатывается новый подход к изучению автоморфизмов свободных ассоциативных алгебр и исследуются вопросы С. А. Сыскина, Дж. Уайголда и JI. Пыбера в классе конечных простых групп лиева типа ранга 1 (Коуровская тетрадь [6], вопросы 3.3, 12.86, 14.76, 17.116).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящего из 50 наименований.

Основные результаты диссертации направлены на исследование известных функций на группах лиева типа ранга 1 и на исследование вопросов об автоморфизмах свободных алгебр.

К основным результатам диссертации относятся следующие:

- найдены оценки п-й функции Эйлера-Холла dn на группах лиева типа ранга 1, которые при п = 2 подтверждают гипотезу Уайголда, и для тех же групп подтверждена гипотеза Пыбера;

- вычисление функции d2 завершено на группах Ри, а для оставшихся (унитарных) групп лиева типа ранга 1 редуцировано к перечислению пар элементов из подгрупп с неединичным разрешимым радикалом;

- вопрос о диких автоморфизмах свободной ассоциативной алгебры редуцирован к аналогичным вопросам для идеала R многочленов с нулевым свободным членом и фактор-алгебр R/Rk; в случае алгебраически замкнутого основного поля автоморфизмы изучены по модулю Rk, к < 4.

В главе 1 к- новому подходу исследования Aut Ап мы приходим, рассматривая алгебру Ап как алгебру многочленов F[x\, х2,..., хп] от некоммутативных переменных (основные результаты опубликованы в нераздельном соавторстве в [44]). Многочлены с нулевым свободным членом образуют в ней идеал, который обозначим через R. По аналогии с алгеброй Ап, определяются ручные и дикие автоморфизмы идеала Я, его

степеней и фактор-алгебр R/Rk, к > 1. В § 1.1 вопрос 3.3 JI. А. Бокутя редуцируется к аналогичным вопросам для идеала Я и нильпотентных фактор-алгебр R/Rk, к — 2,3,... . Основные в § 1.1 — теоремы 1.1.1 и 1.1.2.

Теорема 1.3.1 в § 1.3 подтверждает гипотезу Пыбера на конечных группах лиева типа ранга 1. Она опубликована в [43].

В § 1.2 приведена теорема Ф. Холла, показывающая существование наибольшего числа d = dn{G) для конечной простой неабелевой группы G такого, что d-я прямая степень группы G порождается п элементами. Там же введена обобщённая функция Эйлера (или функция Эйлера-Холла) ц)п и приведена установленная Холлом связь функций срп и dn.

Теорема 1.4.1 в § 1.4 даёт оценку функции dn на группах G лиева типа ранга 1; в частном случае п = 2 она подтверждает для этого класса групп гипотезу Уайголда. Теорема опубликована в [45].

В § 2.1 главы 2 приводятся известные подгрупповые описания групп Ри 2G2(q) и проективных специальных унитарных групп PSUs(q2), необходимые для рассмотрения вопроса Сыскина для этих групп.

Полностью вопрос С. А. Сыскина для групп Ри 2G2(q) завершает доказываемая в § 2.3 теорема 2.3.1. Теорему получили в нераздельном соавторстве автор и Д. В. Левчук [46].

По аналогии с группами Ри, в § 2.2 устанавливается редукционная теорема 2.2.1 для унитарных групп, опубликованная в [47].

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах [43]-[47]; из них [45], [46] и [47] входят в перечень ВАК. Работа носит теоретический характер.

Результаты диссертации апробировались на международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008), международной конференции «Мальцевские чтения-2009» (Новосибирск, 2009). международной конференции «Алгебра, логика и приложения» (Красноярск, 2010),

международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация» (Екатеринбург, 2012), международной конференции «Мальцевские чтения-2012» (Новосибирск, 2012).

Автор благодарен научному руководителю профессору Левчуку Владимиру Михайловичу за постановку задачи и внимание к работе. Признателен сотрудникам кафедры алгебры и математической логики и Института математики СФУ за хорошие условия работы над диссертацией.

Работа над диссертацией была поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968) и проектом «Алгебро-логические структуры и комплексный анализ с приложениями к передаче и защите информации» (выполняемому в рамках «Задание Минобрнауки РФ»).

Стандартные обозначения

Ai.it 6? — группа автоморфизмов группы или алгебры С; Ап — свободная ассоциативная алгебра ранга щ

Р(х\,..., хп) — свободная ассоциативная алгебра над полем .Р со свободными порождающими х\,..., хп (или алгебра многочленов от некоммутативных переменных £1, ..., хп).

[а, Ь] = а~1Ь~1аЬ — коммутатор элементов а и 6;

аь = Ъ~1аЪ — элемент, сопряженный с а с помощью элемента 6;

— конечное поле порядка

((^(д) : — степень расширения поля С^(^) над

К* — мультипликативная группа обратимых элементов кольца А';

Ыс{М) — нормализатор множества М в группе С;

Сс(М) — централизатор множества М в группе С;

Сс(х) — центарлизатор в группе С элемента х:

Ап — знакопеременная группа на п элементах;

<5>п — симметрическая группа на п элементах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ушаков, Юрий Юрьевич, 2013 год

Список литературы

[1] Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969. 284 с.

[2] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М: Наука -Физматлит, 1996. 288 с.

[3] Кроуэл Р., Фокс Р. Теория узлов. М.: Мир, 1967. 348 с.

[4] Левчук В.М., Нужин Я.Н. О строении групп Ри // Алгебра и Логика, 1985. Т. 24. Ж. С. 26-41.

[5] Левчук Д.В. Функции Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский математический журнал, 2008. Т. 10. №1. С. 37-39.

[6] Нерешенные задачи теории групп. Коуровская тетрадь. 17-е изд. Но-восибирск:НГУ, 2010. 219 с.

[7] Приходько Д.М. О числе пар порождающих элементов некоторых групп Ь2 (я) // Материалы XXXIV научной студенческой конференции, 2001. Красноярск: КрасГУ. С. 91-102.

[8] Приходько Д.М. О числе пар порождающих простой конечной группы // V Международная конф. "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения 2003. Тула: ТГПУ. С. 185-186.

[9] Романьков В.А. Теорема об обратной функции для свободных ассоциативных алгебр // Сиб. мат. журн., 2004. Т. 45. №5. С. 1178-1183.

[10] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 263 С.

[11] Сучков Н.М., Приходько Д.М. О числе пар порождающих групп Ь2(2т) и Sz{22fc+1) // Сиб. мат. журн., 2001. Т. 42. №5. С. 1162-1167.

[12] Умирбаев У. У. Определяющие соотношения группы ручных автоморфизмов алгебры многочленов и дикие автоморфизмы свободных ассоциативных алгебр // Докл. Академии Наук, 2006. Т. 407. №3. С. 319-324.

[13] Bloom D. The subgroups of P5L3(q) for odd q // Trans. Amer. Math. Soc., 1967. Vol. 127. Issue 1. P. 150-178.

[14] Bryant R. M., Gupta C. K., Levin F., Mochizuki H. Y. Non-tame automorphisms of free nilpotent groups // Comm. in Algebra, 1990. Vol. 18. №11, P. 3619-3631.

[15] Carter R. W. Simple groups of Lie type. New York: Wiley and Sons, 1972. 331 P.

[16] Chernyakiewicz A. G. Automorphisms of a free associative algebra of rank 2 // Trans. Amer. Math. Soc. Part I, 1971, Vol. 160, P. 393-401; Part II, 1972, Vol. 171. P. 309-315.

[17] Cohn P. M. Free rings and their relations, 2nd Ed. London: Academic Press, 1985, 608 p.

[18] Conway J. H., Curtis R.T., Wilson R.A., Norton S.P., Parker R.A. ATLAS of finite groups. Oxford Univ. Press, 2003.

[19] Dickson L.E. Linear groups with an exposition of the Galois Field theory. New York: Dover Phoenix editions, 1958.

[20] Erfanian A. A note on growth sequences of alternating groups // Arch. Math., 2002. Vol. 78. Issue 4. P. 257-262.

[21] Erfanian A. A note on growth sequences of PSL(m,q) // Southeast Asian Bull. Math., 2005. Vol. 29. Issue 4. P. 697-713.

[22] Erfanian A., Rezaei R. On the growth sequence of PSp(2m,q) // Intern. J. Algebra, 2007. Vol. 1. Issue 2. P. 51-62.

[23] Erfanian A. Growth Sequence of Free Product of Alternating Groups // Int. J. Contemp. Math.Sc., 2007. Vol. 2. Issue 14. P 685-691.

[24] www.gapsystem.org.

[25] Gupta N. Free Group Rings // Contemporary Mathematica, Vol. 66. 129 PP.

[26] Hall Ph. The Eulerian functions of a group // Quart. J. Math., 1936. Vol. 7. P. 134-151.

[27] Hartley R. W. Determination of ternary collineation groups whose coefficients lie in the field GF(2n) // Annals of Maths. 2nd series., 1925. Vol. 27. Issue 2. P. 140-158.

[28] Hurrelbrink J., Rehmann U. Eine endliche Presentation der Gruppe G2(Z) // Mathematische Zeitschrift, 1975. Vol. 141. P. 243-252.

[29] Janko Z., Thompson J.C. On a class of finite simple groups of Ree //J. Algebra, 1966. Vol. 4. Issue 2. P. 274-292.

[30] Kemper G., Lubeck F., Magaard K. Matrix generators for the Ree groups 2G2(q) // Comm. Algebra, 2001. Vol. 29. Issue 1. P. 407-413.

[31] Kleidman P. The subgroup structure of some finite simple groups. PhD thesis, Cambridge University, 1987.

[32] Maroti A., Tamburini M. C. A solution to a problem of Wiegold // Comm. in Algebra, 2013. Vol. 41. Issue 1. P. 34-49.

[33] Mitchell H.H. Determination of the ordinary and modular ternary linear groups /1 Trans. Amer. Math. Soc., 1911. Vol. 12. Issue 2. P. 207-242.

[34] Nagata M. On Automorphism Group of k[x, y] // Lect. in Math., Kyoto Univ, Kinokuniya, Tokio, 1972.

[35] Papistas A. I. Non-tame automorphisms of free nilpotent groups of rank 2 // Comm. in Algebra, 1993. Vol. 21. Issue 5. P. 1751-1759.

[36] Shestakov I. P., Umirbaev U. U. The Nagata automorphism is wild // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 2003. Vol. 100. Issue 22. P. 12561-12563.

[37] Suzuki M.. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math., 1962. Vol. 75. Issue 1. P. 105-145.

[38] Ward H.N. On Ree's series of simple groups // Trans. Am. Math. Soc., 1966. Vol. 121. Issue 1. P. 62-89.

[39] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups //J. Austral. Math. Soc.,

1974. Vol. 17. P. 133-141.

[40] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups //J. Austral. Math. Soc.,

1975. Vol. 20. P. 225-229.

[41] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups // J. Austral. Math. Soc., 1978. Vol. 25. P. 142-144.

[42] Wiegold J.. Growth sequence of finite groups //J. Austral. Math. Soc., 1980. Vol. 29. P. 14-16.

Список публикаций по теме диссертации

[43] Ю.Ю. Ушаков. Оценка числа классов сопряжённых элементов в группах лиева типа ранга 1. // Алгебра и теория моделей., Новосибирск: НГТУ, 2005, Т. 5. С. 229-236.

[44] С. К. Gupta, V.M. Levchuk, Yu. Yu. Ushakov. Hypercentral and monic automorphisms of classical algebras, rings and groups. // Journal of SFU., Phys&Maths., 2008. Vol. 4. Issue 1. P. 380-390.

[45] Ю.Ю. Ушаков. Оценка функций Ф. Холла на группах лиева типа ранга 1 // Владикавказский мат. журн., 2011. Т. 14. №2. С. 50-56.

[46] Д.В. Левчук, Ю.Ю. Ушаков. Функции Эйлера-Холла на группах Ри // Сиб. мат. журн., 2013. Т. 54. №2. С. 420-431.

[47] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Известия Иркутского государственного университета, 2013. Т. 6. №1. С. 78-84.

[48] Ю.Ю. Ушаков Гипотеза Уайголда для групп лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конференци «Алгебра, логика и приложения». Красноярск: СФУ, 2010. С. 101-102.

[49] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация». Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012.

[50] Ю.Ю. Ушаков Функции Эйлера-Холла на группах лиева типа ранга 1 // Тезисы международной конференции «Мальцевские чтения». ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012.