Автоморфизмы дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Биткина Виктория Васильевна

• Биткина Виктория Васильевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Биткина Виктория Васильевна

Содержание

Список сокращений

Введение

1 Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {125, 96,1; 1,48,125}

2 Автоморфизмы сильно регулярного графа с

параметрами (1197,156,15,21)

3 Автоморфизмы монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156,252)

4 Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {243, 220,1; 1, 22, 243}

5 Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {243, 220,1; 1, 4, 243}

Список сокращений

лих автоморфизм

антип. антиподальный

в-на вершина

в-нно вершинно

гр. граф

дрг дистанционно регулярный граф

кр-ть кратность

м-д метод

мн-во множество

МП массив пересечений

непус. непустой

окр-ть окрестность

подгр. подграф

пр-ия пред. проекция представления

пуст. пустой

ПЧ простое число

реб. реберно

СЗ собственное значение

симмет. симметричный

срг сильно регулярный граф

т-ка точка

эл-т элемент

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоморфизмы дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярны»

Введение

Ввиду окончания классификации конечных простых групп появилась задача, заключавшаяся в едином представлении конечных простых групп с помощью автоморфизмов (далее ЛИТ) конечных геометрий. Позже в этом направлении появились задачи, которые не были связаны с групповым действием, к примеру, одной из таких задач является задача исследования дистанционно регулярных графов [1].

Пусть вершины (далее в-ны) а, Ь графа (далее гр.) Г расположены на расстоянии % в графе. Тогда через Ь{(а,Ь) (через С{(а,Ь)) обозначим количество в-н в пересечении Г^+Да) (Г^^а)) с [Ь]. Гр. Г, имеющий диаметр ё,, называется дистанционно регулярным с массивом пересечений(далее дрг с МП) {Ь0, Ъ\,..., Ьа-\; с\, . . . , с¿}, если значения Ьг(а, Ь) и с^а, Ъ) от выбора в-н а, Ь не зависят, где а, Ь расположены на расстоянии % в Г для любого % = 0, ...,<Л.

Реберно симметричным (далее реб. симмет.) графом назовем граф, группа автоморфизмов (далее ЛИТ-ов) которого транзитивно действует на множестве (далее мн-ве) дуг этого графа (упорядоченных ребер).

Сильно регулярным графом (далее срг) с параметрами (у,к,Х,^) называется гр. Г, если он имеет V в-н, валентность каждой в-ны графа равна к, каждое ребро Г лежит точно в Л треугольниках и для любых двух несмежных в-н а, Ь подгр. [а] П [Ь] содержит точно д в-н.

Дж. Куленом была предложена задача изучения дрг, окрестности (далее окр-ти) в-н которых есть срг со вторым собственным значением (далее СЗ), не большим £ для некоторого заданного натурального числа £. Обратим внимание, что срг с нецелым СЗ - это гр. в половинном случае, а вполне регулярный

гр., окр-ти в-н которого есть срг в половинном случае, либо имеет диаметр 2, либо представляет собой гр. Тэйлора. Отсюда следует, что задача Кулена решается пошагово для t = 1, 2,....

В работе Махнева А.А., Падучих Д.В. [2] были получены МП дрг, в которых окр-ти в-н - срг со вторым СЗ t, 2 < t < 3. Задача Кулена для t = 4 была решена Махневым А.А. и Падучих Д.В. в [3].

В диссертации рассмотрены некоторые дрг, окр-ти в-н которых являются срг со вторым СЗ 3 или 4 и изучены их AUT-ы.

Система инцидентности (X, В), где X - мн-во точек (далее т-к) и В - мн-во блоков, называется t-(V, К, Л) схемой, если мощность мн-ва X равна V, в каждом блоке лежат ровно К т-к и любые t т-к содержатся ровно в Л блоках. Каждая 2-схема есть (V,B,R,K, Л) схема с числом блоков В, где каждая точка инцидентна R блокам, а так же справедливы равенства VR = В К, (V— 1)Л = R(K — 1). Схему будем называть симметричной, если В = V. Схема называется квазисимметричной, если любые два блока В, В' Е В имеют IB П В'I Е {х, у}. Числа х, у называются числами пересечений квазисимметричной схемы, и будем предполагать, что х < у.

Блочным графом квазисимметричной схемы (X, В) будем называть граф, в котором в-нами будут блоки схемы и два блока В, С Е В смежны, если IB П СI = у. Блочный граф (V, B,R,K, Л) схемы, являющейся квазисимметричной, будет срг с СЗ к = ((R — 1)К — хВ + х)/(у — х) кратности (далее кр-ти) 1, (R — К — Л + х)/(у — х) кр-ти V — 1 и —(К — х)/(у — х) кр-ти В — V

[4].

Производной схемой для t-(V, К, Л) схемы V = (X, В) в т-ке х Е X называется схема Vx с мн-вом т-к Хх = X — {х} и мн-вом блоков Вх = {В — {х} | х Е В Е В}. Схему Е будем называть расширением схемы Т>, если в некоторой

точке производная схемы £ изоморфна схеме Т*.

П. Камерон [4] описал расширения симметричных 2-схем:

Пусть 3-(У,К, Л) схема £ = (X, В) является расширением симметричной 2-схемы. Тогда верно одно из утверждений:

(1) £ является адамаровой 3-(4Л + 4, 2Л + 2, Л) схемой;

(2) V = (Л + 1)(Л2 + 5Л + 5) и К = (Л + 1)(Л + 2);

(3) V = 496, К = 40 и Л = 3.

В случае (3) имеем Я = 495, В = 6138 и дополнительный гр. к блочному графу схемы имеет параметры (6138,1197,156,252). Дополнительный гр. к блочному графу 3-(496,40,3) схемы был назван А.А. Махневым монстром Камерона. Окр-ть каждой в-ны в монстре Камерона есть срг с параметрами (1197,156,15, 21).

В диссертации найдены ЛИТ-ы монстра Камерона и срг с параметрами (1197,156,15,21).

Цель диссертации. Найти ЛИТ-ы дрг с МП {125,96,1; 1,48,125}, {243, 220,1; 1, 4, 243} и {243, 220,1;1, 22, 243}. Найти ЛИТ-ы срг с параметрами (1197,156,15,21) и монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156,252).

Методы (далее м-ды) исследования. Исследование проводилось в основном теоретико-графовыми м-дами и м-дами теории конечных групп. Например, используется м-д Г. Хигмена (см. [5]) приложения теории характеров к выяснению порядков ЛИТ-ов дрг.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:

- найдены ЛИТ-ы дрг с МП {125,96,1; 1, 48,125}, определены композиционные факторы группы ЛИТ-ов графа;

- найдены ЛИТ-ы срг с параметрами (1197,156,15, 21), доказано, что срг с параметрами (1197,156,15, 21) не является вершинно симметричным (далее в-нно симмет.);

- найдены ЛИТ-ы монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156,252), определены композиционные факторы группы ЛИТ-ов графа и доказано, что гр. не является реб. симмет.;

- найдены ЛИТ-ы дрг с МП {243, 220,1;1, 22, 243}, доказано, что в-нно симметричный гр. является реб. симмет. графом с цоколем группы ЛИТ-ов, изоморфным Ь2(35);

- найдены ЛИТ-ы дрг с МП {243, 220,1;1,4, 243}, доказано, что гр. не является в-нно симметричным.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация представляет собой законченную научно-квалификационную работу, носящую теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в геометрии и теории графов.

Апробация работы. Основные результаты работы сообщались и обговаривались на алгебраическом семинаре, проводимом отделом алгебры и топологии ИММ УрО РАН, а также были представлены на следующих конференциях: международная конференция "Алгебра и приложения" посвященная 100-летию со дня рождения Л.А. Калужнина, Нальчик, 2014 г., всероссийская научная конференция "Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования", посвященная 60-летию В.А. Койбаева, Владикавказ, 2015 г., международная конференция "Группы и графы, алгоритмы и автоматы", посвященная 70-летию В.А. Баранского и 80-летию В.А. Бело-ногова, Екатеринбург, 2015 г., международная конференция "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2016 г.

Публикации. По теме диссертации были изданы 9 публикаций [12]—[20] (5 статей опубликованы в журналах из списка ВАК). Из пяти статей две написаны тремя авторами (соавторы Гутнова А.К., Махнев А.А.), одна в соавторстве с Махневым А.А. В работах трех авторов Гутнова А.К. и Махнев А.А. улучшали некоторые моменты доказательства, предложенного Битки-ной В.В. В статье Махнева А.А. и Биткиной В.В. первому автору принадлежат постановки задач, а также идеи доказательств, сами доказательства проведены Биткиной В.В.

Структура и объем работы. Диссертационная работа включает в себя список сокращений, введение, 5 глав и список литературы, содержащий 20 наименований. Общий объем диссертации составляет 76 страниц.

Содержание диссертации. Во введении представлены основные определения и обозначения, используемые в процессе исследования, обосновывается общая мотивировка решаемых задач, описаны основные результаты. В главе 1 получены ЛИТ-ы дрг с МП {125, 96,1; 1,48,125}. В главе 2 найдены ЛИТ-ы срг с параметрами (1197,156,15,21). В главе 3 найдены ЛИТ-ы монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156,252). В главах 4 и 5 получены ЛИТ-ы дрг с МП {243, 220,1; 1, 22, 243} и {243, 220,1; 1,4, 243}, соответственно.

Нами исследуются неориентированные графы, не имеющие петель и кратных ребер. Пусть и^ - в-ны гр. Г. Тогда расстояние между и и обозначим через ¿(и, ад) , а через Гi(u) обозначим подграф графа Г, индуцированный мн-вом в-н гр. Г, расположенных в нем на расстоянии % от в-ны и. Подгр. Г^и) называется окрестностью (далее окр-тью) в-ны и и обозначается через [и]. а^ представляет собой подгр., являющийся шаром с радиусом 1 с центром в в-не а.

Система инцидентности, которая состоит из т-к и прямых, называется а-

частичной геометрией порядка (з^), если на каждой прямой лежит ровно в + 1 точка, каждая точка содержится ровно на £ + 1 прямой (причем прямые должны пересекаться не более, чем по одной т-е) и для любой т-ки а, не лежащей на прямой Ь, найдется ровно а прямых, которые проходят через а и пересекают Ь. Обозначается а- частичная геометрия порядка ($,£) через рСа(з,1). При а = 1 геометрию называют обобщенным четырехугольником и обозначают С(^(з,1). Точечный гр. частичной геометрии определяется как граф, в-нами которого являются т-ки геометрии, и две различные в-ны смежны, если они лежат на общей прямой (коллинеарны). Заметим, что точечный гр. «-частичной геометрии рСа(з, £) есть срг с параметрами (у, к, X, д), определяемыми как V = (в + 1)(1 + в1/а), к = + 1), Л = (в — 1) + (а — 1)1, д = а(Ъ + 1). Срг с такими параметрами для некоторых натуральных чисел а, в, Ь называется псевдогеометрическим графом для рСа(з, £).

Нахождение ЛИТ-ов дрг базируется на м-де Хигмена приложения теории характеров конечных групп [5]. В этом случае гр. Г рассматривается нами как симметричная схема отношений (X, имеющая ё, классов, где X есть мн-во в-н графа, Я0 представляет собой отношение равенства на X и для % > 1 класс Кь состоит из пар (и,т), для которых справедливо <!(и,и!) = г. Для и € Г обозначим через ^ = |Г(и)|, V = |Г|. Классу Щ поставим в соответствие гр. Г с мн-вом в-н X, в котором в-ны и,п) смежны, если справедливо (1(и,п)) = %. Пусть А{ есть матрица смежности гр. Г для г > 0 и А0 равняется I, где I есть единичная матрица. Тогда справедливо равенство А^А^ = £ р1^А1 для подходящих неотрицательных целых р1-, которые называются числами пересечений гр. Г.

Положим Pi есть матрица, у которой элемент, расположенный на месте (3,1), есть . Тогда СЗ р\(0), ...,р\((1) матрицы Р\ есть СЗ гр. Г, имеющие

кр-ти т0 = 1,...,т<]1. Матрицы Р и Q, у которых на пересечении г строки и ] столбца стоят р^(г) и qj(г) = )/к,, соответственно, будем называть

первой и второй матрицей СЗ схемы и для них справедливо равенство РЯ =

ЯР = IXII.

Положим и^ ( п)^ ) есть левый (правый) собственный вектор матрицы Р1. и1 и Wj отвечают СЗ р1(^) и имеют первую координату 1. Тогда кр-ть т^ СЗ Р1(]) равняется V / {и^ ,Wj) (где {•, •) есть скалярное произведение в евклидовом пространстве С^+1). В сущности, есть столбцы матрицы Р, а т^и^ есть строки матрицы

Подстановочное представление группы С = ЛШ;(Г) на в-нах гр. Г дает нам обычным образом матричное представление 'ф группы С в СЬ(у, С). Пространство С есть ортогональная прямая сумма W0,..., Wd, где W0,..., Wd есть собственные подпространства матрицы смежности А = А1 гр. Г. Матрица ф(д) перестановочна с А для любого д Е С. Отсюда подпространство Wi является ^(С)-инвариантным. Пусть х% есть характер представления . Тогда для д Е С получим равенство

а

Хг(д) = V-1 Е ЯцЩ (g), 3 =0

где а^ (д) есть количество т-к х из X таких, что (1(х,хд) = ]. Обратим внимание, что значения характеров есть целые алгебраические числа. И из того, что правая часть выражения для Хг(д) есть рациональное число, следует Хг(д) есть целое число.

В работе [2] были получены МП дрг, в которых в качестве окр-ти в-н служат срг со вторым СЗ £, 2 <1 < 3. В главе 1 изучаются ЛИТ-ы одного из этих дрг, имеющий МП {125,96,1; 1,48,125}. Окр-ти в-н рассматриваемого графа являются псевдогеометрическими гр-ми для обобщенного четырехугольника

GQ(4,6). Следующие результаты являются основными в главе 1.

Теорема 1 [12]. Пусть Г есть дрг, имеющий МП {125,96,1; 1,48,125}, С есть группа ЛиТ-ов графа Г (обозначается через С = Ли^Г) ), д € С, где д есть элемент (далее эл-т) простого порядка р, и ^ = Их(д). Тогда п(С) С {2,3, 5, 7,11} и выполняется одно из утверждений:

(1) ^ есть пустой граф (далее пуст. гр.) и возможны случаи:

(г) р равняется 2, а\(д) равняется 60t — 6 и а2(д) равняется 384 — 60Ь, а3(д) равняется 0;

(и) р равняется 3, а\(д) равняется 90t + 36 — 31 и а2(д) равняется 342 — 90t — 61, а3(д) равняется 91;

(Иг) р равняется 7, а\(д) € {126,336} и а2(д) € {252,42}, а3(д) равняется 0;

(2) ^ = Р1х(д) содержит в Ь антиподальных классах по в в-н и возможны случаи:

(г) р =11 и П есть дрг с МП {15, 8,1; 1,4,15};

(п) р = 7 и П есть дрг с МП {13,12,1;1,6,13};

(Иг) р = 5 и ^ есть антиподальный (далее антип.) класс или ^ — дрг с МП {25,12,1; 1,6,13}, либо

(т) р = 3, ^ есть объединение трех изолированных 3-клик или ^ является объединением трех изолированных 6-клик, а\(д) = а3(д) =0 и ®2(д) = 360, или ^ есть регулярный гр. степени 35, а\(д) = а3(д) = 0 и ®2(д) = 270, либо

(у) р = 2, й равняется 1 и ^ есть 6-клика или з равняется 3, Ь € {4,14, 24}, а3(д) равняется 0, а\(д) равняется 20и> — 12 + 9Ь и а2(д) равняется 390 — 20w — 12г.

Следствие 1. Пусть Г — дрг с МП {125,96,1; 1,48,125}, ^ есть антип.

класс и группа С = Ли;(Г) действует на мн-ве в-н гр. Г транзитивно. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) если Б (С) = 1, то группа Р *(С) изоморфна и3(3), и3(5) или А9;

(2) если С действует транзитивно на мн-ве дуг гр. Г, то Г есть единственный граф с Р*(С) = Би3(5) и группой С{р}, изоморфной расширению экстраспециальной группы порядка 125 с помощью циклической группы порядка 24.

Махнев А.А.[6] (см. также [7]) доказал, что для монстра Камерона Г выполняются следующие утверждения:

(1) окр-ть каждой в-ны в гр. Г — срг с параметрами (1197,156,

15, 21) и спектром 1561,9741, —15455, причем порядок коклики в этом графе не больше 105;

(2) мн-во блоков Сх, содержащих т-ку х схемы Е, является 495-кокликой графа Г, для которой в границе Хофмана и в границе Цветковича достигаются равенства;

(3) подгр. Г — Сх есть срг с параметрами (5643,1092,141, 228) и спектром 10921, 95148, —96494;

(4) для различных т-к х,у схемы Е имеем 1СХ П Су| = 39, причем для коклики Сх — Су гр. Г — Су достигается в границе Хофмана равенство .

В главе 2 изучены ЛИТ-ы срг с параметрами (1197,156,15,21).

Основными результатами главы 2 являются:

Теорема 2 [13]. Пусть Г есть срг с параметрами (1197,156,15, 21), С = Ли;(Г), д Е С, где д есть эл-т простого порядкар, и П = Пх(^). Тогда |П| < 171, п(С) С {2,3, 5, 7,11,13,19} и справедливо одно из нижеперечисленных утверждений:

(1) Гр. П пустой и возможны случаи:

(г) р равняется 3 и а1(д) равняется 721, либо (и) р равняется 7 и а1(д) равняется 168/ — 21, либо (ш) р равняется 19 и а1(д) равняется 456/ + 171;

(2) П есть п-клика и либо

(г) р равняется 13, п равняется 1 и а1(^) равняется 312/ + 156, либо (и) р равняется 2, п равняется 9 и а1 (д) равняется 48/ + 12 или п равняется 11 и а1(^) равняется 32/ — 12, либо

(ш) р равняется 5, п равняется 2 и а1(^) равняется 120/ + 45 или п равняется 7 и а1(^) равняется 120/ — 30;

(3) П есть 3Ь + 1-коклика, р равняется 3 и а1(д) равняется 72/ + 12 — 45Ь;

(4) П содержит геодезический 2-путь и р < 13.

Следствие 2. Срг с параметрами (1197,156,15, 21) не является в-нно симметричным.

В главе 3 с помощью теоремы 2 найдены ЛИТ-ы монстра Камерона.

Теорема 3 [14]. Пусть Г есть монстр Камерона с параметрами (6138,1197, 156, 252), С = Ли;(Г), д есть элемент порядка р из С, где р—ПЧ. П = Пх(^). Тогда |П| < 171, к(С) С {2, 3, 5, 7,11,13,19,31} и справедливо одно из следующих утверждений:

(1) Гр. П пустой и , либо р равняется 31 и тогда а1 (д) равняется 31 • 78, либо р равняется 11 и а1(д) равняется 11(114/ — 6), либо р равняется 3 и а1(д) равняется 3(114/ + 54), либо р равняется 2 и тогда а1(д) равняется 2(114/ — 33);

(2) П есть п-клика, либо

(г) р равняется 19, п равняется 1 и а1(д) равно 19(6/ + 3), либо (и) р равняется 13, п равняется 2 и а1(д) равно 6 • 13(19/ — 5), либо

(m) p равняется 5, n равняется 3 и a\(g) равно 3(190/ + 25) или п равняется 8 и а\(д) равняется 6(95/ + 20), либо

(iv) р равняется 2, п равняется 10 и а\(д) равняется 6(38/ + 4) или п равняется 12 и а\(д) равняется 6(38/ — 21);

(3) Q является т-кокликой, р равно 3, m равно 3t, t < 70 и а\(д) равно 9(38/+10+3í) илир равно 7, m равно 7t—1, t < 70 и а\(д) равно 63(38/+8+t);

(4) Q содержит ребро и является объединением m (m > 2) изолированных клик, р равняется 2 и порядки изолированных клик в Q равны 10 или 12;

(5) Q содержит геодезический 2-путь и р < 13.

Следствие 3. Пусть Г есть срг с параметрами (6138,1197,156,252), окр-ти в-н которого есть срг с параметрами (1197,156,15, 21) (в частности, Г — монстр Камерона), и группа G = Aut(r) действует транзитивно на мн-ве в-н гр. Г. Тогда S (G) = 02,3(G), цоколь Т группы G = G/S (G) изоморфен L2(32) и либо

(1) Ta есть подгруппа порядка 16, V = S (G) есть абелева 3-группа, \V : =3 и Т действует неприводимо на V, либо

(2) Ta - подгруппа порядка 32, S (G) = VW, где V есть силовская 3-подгруппа из S (G), IV : Va] =3 и Т действует неприводимо на V, W есть силовская 2-подгруппа из S (G), \W : Wa| =2 и T действует неприводимо на W.

В частности, |G| не делится на 19 и Г не является реб. симмет. гр-ом.

В работе [3] окончена классификация дрг, в которых окр-ти в-н есть исключительные непсевдогеометрические графы со вторым СЗ 4. Дрг, в котором окр-ти в-н есть срг с параметрами (243,22,1,2), имеет МП {243, 220,1; 1, 22, 243}

или {243, 220,1; 1,4, 243}.

В главе 4 рассматриваются ЛИТ-ы дрг с МП {243, 220,1; 1, 22, 243}. Следующие результаты являются основными.

Теорема 4 [15]. Пусть Г есть дрг, МП которого имеет вид {243, 220,1; 1, 22, 243}, С = ЛШ;(Г)—группа ЛиТ-ов графа Г, д есть эл-т из С,имеющий порядок р, где р—ПЧ,и П = Р1х(д) пересекает по в в-нам £ антип. классов. Тогда п(С) С {2,3, 5, 7,11, 61} и выполняется одно из утверждений: (1) П является пуст. гр-ом, либо р равняется 2, а1(д) равняется 244,а3(д) равняется 0, либо р равняется 11, а1(д) равняется 594т + 242 — 11/, а3(д) равняется 11(11/ + 2), либо р равняется 61, а1(д) равняется 244, а3(д) равняется 0;

(2) Ь равно 1, р равняется 3, а1(д) равняется 243, а3(д) равняется 0;

(3) р равняется 11, либо Ь равняется 2, либо Ь равняется 13 и каждая связная компонента графа П есть 13-клика или гр. К13>13 с удаленным максимальным паросочетанием;

(4) р равняется 7, либо з равняется 11, Ь равняется 13, 20, причем в случае Ь равно 13 подгр. П есть дрг с МП {12,10,1; 1,1,12}, либо з равняется 4, Ь равняется 13, 20,..., 55;

(5) р равняется 5, з равняется 6, Ь равняется 14,19,..., 39, причем в случае Ь равно 14 подгр. П есть дрг с МП {13,10,1; 1, 2,13};

(6) р равняется 3 и либо

(г) й равняется 11, Ь равняется 13,16,19, 22, в случае Ь равно 13 подгр. П есть дрг с МП {12,10,1; 1,1,12}, либо

(и) й равняется 8, Ь равняется 13,16,..., 28, либо

(ш) й равняется 5, Ь равняется 7,10,..., 46, причем в случае Ь равно 7 подгр. П есть дрг с МП {6, 4,1; 1,1,6}, либо

(IV) в равняется 2, £ равняется 10,13,...,46, причем в случае £ равно 46 подгр. П есть дрг с МП {45, 22,1; 1, 22,45};

(7) р равняется 2 и либо

(г) й равняется 9, £ равняется 20, 22,..., 26, причем в случае £ равно 20 подгр. ^ есть дрг с МП {19,16,1; 1, 2,19}, либо

(и) й равняется 7, £ равняется 16,18,..., 34, причем в случае £ равно 16 подгр. ^ есть дрг с МП {15,12,1; 1, 2,15}, либо

(ш) й равняется 5, £ равняется 12,14,..., 48, причем в случае £ равно 12 подгр. ^ есть дрг с МП {11,8,1; 1, 2,11}, либо

(т) в равняется 3, £ равняется 8,10,..., 68, причем в случае £ равно 8 подгр. ^ есть дрг с МП {7,4,1; 1, 2, 7}, а в случае £ равно 68 подгр. ^ есть дрг с МП {67,44,1; 1, 22,67}.

Результаты теоремы 4 уточняются далее в теореме 6 с помощью описания ЛИТ-ов срг с параметрами (243, 22,1, 2).

Теорема 5 [15]. Пусть Г есть срг с параметрами (243,22,1,2), С = Ли;(Г), д есть эл-т из С,имеющий порядок р, где р—ПЧ, и ^ = Их(д). Тогда п(С) С {2,3, 5,11} и выполняется одно из утверждений:

(1) ^ является пуст. гр-ом, р равняется 3 и а\(д) равняется 271;

(2) ^ есть п-клика, либо п равняется 1, р равняется 11, а\(д) равняется 991 + 22, либо р равняется 5, п равняется 3, а\(д) равняется 451 — 15, либо р равняется 2, п равняется 3, а\(д) равняется 181 — 6;

(3) ^ есть т-коклика, р равняется 2, т равняется 2£ + 1, £ < 13, а\(д) равняется 181 + 4 — 10£;

(4) если ^ есть объединение изолированных клик, то либо ^ — клика или коклика, либо р равняется 2, ^ есть объединение т изолированных в-н и п треугольников;

(5) П содержит геодезический 2-путь и либо

(г) р равняется 3, П есть срг с параметрами (9,4,1, 2) и а1(д) равняется 271 + 9 < 72, либо

(и) р равняется 2, |П| равняется 21 + 1 < 27, каждая связная компонента графа П есть треугольник, срг с параметрами (9,4,1, 2) или граф диаметра 3 степени 6 и с не менее чем 21 в-ной.

Теорема 6 [15]. Пусть Г есть дрг, имеющий МП {243, 220,1; 1, 22, 243}. Окр-ти в-н гр. Г есть срг с параметрами (243, 22,1, 2), С = ЛШ;(Г), д есть элемент из С,имеющий порядок р, где р—ПЧ, и П = Р1х(д) — непус. гр., пересекающий Ь антип. классов по в в-нам. Тогда п(С) С {2,3, 5, 7,11,61} и выполняется одно из утверждений:

(1) Ь равняется 1, р равняется 3, а3(д) равняется 0, а1(д) равняется 243;

(2) р равняется 7, з равняется 4, Ь равняется 34,41,48, 55, причем в случае Ь равняется 34 подгр. П есть дрг с МП {33, 24,1; 1,8,33};

(3) р = равняется 5, 8 = 6, Ь = 39 и подгр. П есть дрг с МП {38,35,1; 1, 7, 38};

(4) р равняется 3 и либо

(г) й равняется 5, Ь равняется 22, 25,..., 46, причем в случае Ь = 22 подгр. П есть дрг с МП {21,16,1; 1, 4, 21}, либо

(и) й равняется 2, Ь равняется 10,13,...,46, причем в случае Ь =10 подгр. П есть дрг с МП {9,4,1; 1,4,9}, а в случае Ь = 46 подгр.П есть дрг с МП {45, 22,1; 1, 22,45};

(5) р равняется 2 и либо

(г) й равняется 7, Ь равняется 28,30,32, 34, причем в случае Ь = 28 подгр. П есть дрг с МП {27, 24,1; 1, 4, 27}, либо

(и) й равняется 5, Ь равняется 20, 22,..., 48, причем в случае Ь = 20 подгр. П есть дрг с МП {19,16,1; 1, 4,19}, либо

(m) s равняется 3, t равняется 12,14,..., 68, причем в случае t = 12 подгр. Q есть дрг с МП {11, 8,1; 1,4,11}, а в случае t = 68 подгр. Q есть дрг с МП {67,44,1; 1, 22,67}.

Следствие 4. Пусть Г есть срг с параметрами (243, 22, 1, 2), группа G = Aut(r) действует транзитивно на мн-ве в-н гр. Г и 11 делит \G/S(G)\. Тогда G есть полупрямое произведение элементарной абе-левой группы порядка 243 и группы Мц.

Следствие 5. Пусть Г есть дрг с МП {243, 220,1;1, 22, 243}, F есть антип. класс и группа G = Aut(r) действует транзитивно на мн-ве в-н гр. Г. Тогда S (G) = 1, группа T = F *(G) изоморфна L2(35), Т{р} расширение элементарной абелевой группы порядка 243 с помощью циклической группы порядка 121.

В главе 5 изучаются AUT-ы дрг с МП {243, 220,1; 1,4, 243}.

Следующие результаты являются основными в главе 5.

Теорема 7 [16]. Пусть Г есть дрг, имеющий МП {243, 220,1;1,4, 243}, G = Aut^), g есть эл-т из G,имеющий порядок р, где р—ПЧ,и Q = Fix(g) пересекает t антип. классов по s в-нам. Тогда 'k(G) Ç {2,3, 5, 7,11,61} и выполняется одно из утверждений:

(1) Q есть пуст. гр., либо р равняется 2, а3(д) равняется 1121 и а\(д) равняется 161 + 72т — 8, либо р равняется 7, а3(д) = 56/ < 13664,/ = 6(mod7), а\(д) равняется 252т + 8/ + 64, либо р равняется 61, а3(д) равняется 0, ai(g) = 244 + 2196/, I < 6;

(2) s равняется 1, либо р равняется 5, t G {4,9,14,19, 24}, а\(д) равняется 180т — t + 64, либо р равняется 11, t G {2,13, 24}, а\(д) равняется 396т — t + 244;

(3) Ь равняется 1, р равняется 3, а0(д) = й сравнимо с 2 по модулю 3, и а\(д) равняется 108т — 9й + 72, Ь равняется 1;

(4) р равняется 3, Ь равняется 4, 7,..., 121, й равняется 2, 5,..., 56, вЬ не больше 224 и а\(д) равняется 108т — 9st + 8t + 64, в случае ^ = 4 подгр. ^ есть дрг с МП {9,4,1; 1,4,9} или {Ь — 1,16,1; 1, 4,£ — 1}, г равняется 22, 28, либо

(5) р равняется 2, Ь равняется 2,4,..., 120, й равняется 2,4,..., 56, вЬ не больше 224 и а\(д) равняется 8t — 9st + 72/ — 8, в случае ^ = 4 подгр. ^ есть дрг с МП {Ь — 1,4(з — 1), 1; 1, 4,Ь — 1}, где в равняется 2 и Ь равняется 10 или з равняется 4 и Ь равняется 16, или з равняется 6 и Ь равняется 22, 26, в случае = 2 подгр. П дрг с МП {£ — 1, 2(в — 1), 1;1, 2,£ — 1}, где з = 2 и Ь = 6 или б = 4 и Ь =10, или б = 6 и Ь =14,16, или б = 8 и г = 16,18, или 8 = 10 и г = 22.

Следствие 6. Пусть Г есть дрг, имеющий МП {243, 220,1;1,4, 243}. Тогда группа С = Ли1(Г) действует интранзитивно на мн-ве в-н графа Г.

1 Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {125, 96,1; 1,48,125}

В работе [2] найдены МП дрг, в которых окр-ти в-н — срг со вторым СЗ

2 <1 < 3. Завершается изучение ЛИТ-ов дрг из заключения следствия в [2]. К данному моменту остались неизученными массивы {125, 96,1;1,48,125}, {176,150,1; 1, 25,176} и {256, 204,1;1, 51, 256}. В данной работе изучаются ЛИТ-ы дрг с МП {125,

96,1; 1,48,125}.

Пусть Г есть дрг с МП {125,96,1; 1, 48,125}. Тогда Г имеет V = 1 + 125 + 250 + 2 = 378 в-н и спектр 1251, 5210, —1125, —2 542. Порядок клики в Г не превосходит 1 — к/0л = 6. Так как 25 = 52, то окр-ти в-н в Г есть псевдогеометрические графы для С(^(4, 6) (см [2]).

Теорема 1.1. Пусть Г есть дрг, имеющий МП {125,96,1; 1,48,125}, С есть группа АиТ-ов графа Г (обозначается через С = Ли^Г) ), д € С, где д есть эл-т простого порядка р, и ^ = Их(д). Тогда п(С) С {2, 3, 5, 7, 11} и выполняется одно из утверждений:

(1) ^ есть пуст. гр. и возможны случаи:

(г) р равняется 2, а1(д) равняется 60t — 6 и а2(д) равняется 384 — 60Ь, а3(д) равняется 0;

(и) р равняется 3, а1(д) равняется 90t + 36 — 31 и а2(д) равняется 342 — 90t — 61, а3(д) равняется 91;

(ш) р равняется 7, а1(д) € {126,336} и а2(д) € {252,42}, а3(д) равняется 0;

(2) ^ = Р1х(д) содержит в Ь антиподальных классах по в в-н и возможны случаи:

(г) р =11 и П есть дрг с МП {15, 8,1; 1,4,15}; (п) р = 7 и П есть дрг с МП {13,12,1;1,6,13};

(ш) р = 5 и П есть антиподальный (далее антип.) класс или П — дрг с МП {25,12,1; 1,6,13}, либо

(т) р = 3, П есть объединение трех изолированных 3-клик или П является объединением трех изолированных 6-клик, а1(д) = а3(д) =0 и ы2(д) = 360, или П есть регулярный гр. степени 35, а1(д) = а3(д) = 0 и ^2(д) = 270, либо

(у) р = 2, й равняется 1 и П есть 6-клика или з равняется 3, Ь € {4,14, 24}, а3(д) равняется 0, а1(д) равняется 20ад — 12 + 9Ь и а2(д) равняется 390 — 20w — 12г.

Для доказательства теоремы 1.1 полезна

Теорема 1.2. Пусть Г есть срг с параметрами (125, 28, 3, 7), С = ЛШ;(Г), д есть элемент из С,имеющий порядок р, где р—ПЧ,и П = Пх(^). Тогда п(С) С {2, 3, 5, 7} и выполняется одно из утверждений:

(1) П есть пуст. гр., р равняется 5, а1(д) равняется 50t — 25 и а2(д) равняется 150 — 50Ь;

(2) П есть п-клика, либо п равняется 5, р равняется 2, а1(д) равняется 20Ь — 10 и а2(д) равняется 130 — 20Ь, либо р равняется 3 и п равняется 5, а1(д) равняется 30й, а2(д) равняется 120 — 30й или п равняется 2, а1(д) равняется 30й — 9, а2(д) равняется 132 — 30й;

(3) П есть (7w+6)-коклика, р равняется 7, а1(д) равняется 70з+13+21ад и а2(д) равняется 105 — 28w — 70й;

(4) П содержит геодезический 2-путь и либо

(г) р < 5, и в случае р равняется 5 подгр. П есть 5 х 5-решетка, а1(д) равняется 50й и а2(д) равняется 100 — 50й, либо

(и) р равняется 3, равняется 31 + 2, I € {1, 2,..., 11}, а1(д) равняется 30й + 39 — 91 и а2(д) равняется 84 + 6/ — 30й, либо

(Иг) р равняется 2, |П| равняется 21 + 1, I € {2,..., 17}, а1(д) равняется 20й + 2 + 6/ и а2(д) равняется 122 — 20й — 81.

Следствие 1.1. Пусть Г есть дрг с МП {125,96,1;1,48,125}, Р есть антип. класс и группа С = ЛШ;(Г) действует транзитивно на мн-ве в-н графа Г. Тогда выполняются следующие утверждения:

(1) если Б (С) = 1, то группа Р *(С) изоморфна и3(3), и3(5) или А9;

(2) если С действует транзитивно на мн-ве дуг графа Г, то Г — единственный гр. с Р* (С) = 5^з(5) и группой С{р}, изоморфной расширению экстраспециальной группы порядка 125 с помощью циклической группы порядка 24.

В леммах 1.1-1.3 предполагается, что Г есть срг с параметрами (125, 28,3, 7) и спектром 281,384, —740, С = Ли^Г).

Лемма 1.1. Пусть д € С, \2 есть характер проекции представления (далее пр-ии пред.) ф на подпространство, имеющее размерность 40. Тогда а^(д) равняется а^д1) для любого натурального числа I, взаимно простого с 1д1, Х2(э) равняется (3а0(д) — а1(д))/10 — 5/2. Если 1д| = р есть ПЧ, то Х2(д) — 40 делится на р, а если |д| = р2, р есть ПЧ, то Х2(9Р) — 40 делится на р2.

Доказательство. Имеем

' 11 1 *

Я =

84 9 —7/2 40 —10 5/2

Значит, х2(д) равняется (8а0(д) — 2а1(д) + а2(д)/2)/25. Подставляя а2(д) = 125 — а0(д) — а1(д), получим что х2(9) равняется (3а0(д) — а1(д))/10 — 5/2.

Остальные утверждения леммы следуют из леммы 1 [8].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Биткина Виктория Васильевна, 2018 год

Список литературы

[1] Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs // Berlin etc: Springer-Verlag - 1989.

[2] Махнев А.А., Падучих Д.В. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным значением, не большим 3 // Доклады академии наук 2015. Т. 464, N 4. С. 396-400.

[3] Махнев А.А., Падучих Д.В. Графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны со вторым собственным значением 4 // Мальцевские чтения. Тез. докл. Новосибирск 2016. С. 96.

[4] Cameron P., Van Lint J. Designs, Graphs, Codes and their Links. London Math. Soc. Student Texts, N 22, Cambridge: Cambr. Univ. Press, 1981, 240 p.

[5] Cameron P.J. Permutation Groups, London Math. Soc. Student Texts №45, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

[6] Makhnev A.A. On extensions of some block-designes // Proceedings of Intern. Russian - Chinese Conf. 2015, Nalchik, P. 123-124.

[7] Махнев А.А. О расширениях некоторых блок-схем // Доклады академии наук 2016. Т. 470, № 5. С. 508-510.

[8] Гаврилюк А.Л., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярных графов с массивом пересечений {56,45,1; 1,9, 56} // Доклады академии наук 2010, т. 432, N 5, 512-515.

[9] Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sibirean electr. Math. Reports 2009. V. 6. P. 1-12.

[10] Brouwer A.E., Haemers W.H. The Gewirtz graph: an exercize in the theory of graph spectra // Europ. J. Comb. 1993. V. 14. P. 397-407.

[11] Behbahani M., Lam C. Strongly regular graphs with non-trivial automorphisms // Discrete Math. 2011. V. 311, N 2-3. P. 132-144.

Работы автора по теме диссертации

[12] Биткина В.В., Махнев А.А. Об автоморфизмах дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {125,96,1; 1, 48,125} // Ученые записки Казанского университета, Сер. Физ.-матем. науки 2017. Т.159, кн. 1. С.13-20.

[13] Биткина В.В., Гутнова А.К., Махнев А.А. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1197,156,15,21) // Владик. матем. журнал 2015. Т. 17, № 2. С. 5-11.

[14] Биткина В.В. Автоморфизмы монстра Камерона с параметрами (6138,1197,156,252) // Владикавказский математический журнал 2017. Т.19, № 1. С. 11-17.

[15] Махнев А.А., Гутнова А.К., Биткина В.В. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {243, 220,1; 1, 22, 243} // Сибирские электрон. матем. известия 2016, т. 13, С. 1040-1051.

[16] Биткина В.В. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {243, 220,1;1,4, 243} // Сибирские электрон. матем. известия 2017, т. 14. С. 26-32.

[17] Биткина В.В., Махнев А.А. Об автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {125,96,1; 1, 48,125} // "Алгебра и приложения". Тез. докл. Межд. конф., Нальчик 2014, С. 17-19.

[18] Биткина В.В., Гутнова А.К., Махнев А.А. Автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (1197,156,15,21) // "Группы и графы, алгоритмы и автоматы". Тез. докл. Межд. конф., Екатеринбург 2015, С. 36-37.

[19] Биткина В.В., Махнев А.А. Об автоморфизмах графа, являющегося 3-накрытием 126-клики // "Алгебра, анализ и смежные вопросы математического моделирования". Тез. докл Всерос. конф., Владикавказ 2015, С. 31-33.

[20] Биткина В.В. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {243, 220,1;1,4, 243} // "Мальцевские чтения". Тез. докл Межд. конф., Новосибирск 2016, С. 72.