Автомодельные течения вязкого газа в плоских и осесимметричных диффузорах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Ибрагимов Умар Гарунович

• Ибрагимов Умар Гарунович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Ибрагимов Умар Гарунович

Оглавление

Введение

1. Актуальность темы исследования

2. Степень разработанности темы исследования

3. Цели и задачи работы

4. Научная новизна

5. Теоретическая и практическая значимость работы

6. Методология и методы исследования

7. Положения, выносимые на защиту

8. Степень достоверности и апробация результатов

Глава 1. Автомодельные ламинарные течения вязкого газа в плоском клиновидном диффузоре

1.1 Ламинарное течение газа при степенной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры, г|, к ~ Тк. Частный случай

к =

1.1.1 Автомодельное течение газа при к ^ О

1.2 Автомодельное течение газа при произвольной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Результаты расчетов

1.2.1 Аналитическое решение в приближении тонкого клина. Сравнение расчетных и экспериментальных данных для течения газа в микродиффузоре

1.3 Автомодельные несимметричные течения газа в клине при различной температуре стенок

1.3.1 Точное аналитическое решение при малых дозвуковых скоростях течений газа

1.3.2 Численное решение при произвольном числе Маха

1.4 Автомодельное течение газа твердых сфер к — 0, т^О. Численная схема и результаты расчетов

1.5 Выводы по первой главе

Глава 2. Автомодельные ламинарные течения вязкого газа в осесимметричном диффузоре

2.1 Течение газа при степенной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. Газ твердых сфер

2.2 Течение газа при произвольном значении параметра автомодельности т

2.2.1 Сравнение автомодельных решений с численными расчетами уравнений Навье - Стокса

2.3 Выводы по второй главе

Глава 3. Автомодельные турбулентные течения в плоском и осесимметричном диффузоре

3.1 Турбулентное течение газа в клине в рамках модели пути смешения Прандтля. Определяющие уравнения и численная схема расчета

3.1.1 Результаты расчетов. Сравнение полученного профиля скорости с логарифмическим профилем

3.2 Турбулентное течение газа в коническом диффузоре в рамках модели пути смешения Прандтля. Определяющие уравнения и численная схема расчета

3.3 Выводы по третьей главе

Заключение

Список использованной литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Численная схема решения автомодельных уравнений. Ламинарное течение в клине

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Таблицы полученных значений определяющих параметров течения: а, Т , Мп, Яе,,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автомодельные течения вязкого газа в плоских и осесимметричных диффузорах»

Введение

Точные решения уравнений Навье-Стокса, описывающих динамику вязкого сжимаемого газа, представляют собой большую редкость. Большинство известных точных решений относятся к динамике вязкой несжимаемой жидкости [1], среди которых можно выделить наиболее известные решения Пуазейля и Куэтта, имеющие множество приложений в гидродинамике.

Отдельно можно выделить известное точное решение, описывающее течение жидкости от источника/стока массы, которое независимо получили Г. Джеффри (1915) [2] и Г. Гамель (1917) [3]. Стоит отметить, что это одно из самых сложных решений для течения вязкой несжимаемой жидкости. В случае конфузорного течения решение существует при любом значении числа Рейнольдса (определяемого как Яе = Q| / ур, где Q - расход газа) и угла

раствора клина а<п; при этом течение симметрично относительно оси клина.

В случае диффузорного течения симметричное решение при заданном угле раствора существует при числе Рейнольдса, не превышающим некоторый предел Яетах. При Яе > Яетах профиль скорости не монотонный, возникают области возвратного течения. При Яе ^^ решение вовсе перестает существовать [4].

Вопросы перехода ламинарного режима в турбулентный в задаче Джеффри-Гамеля изучались Ф. Дразином (1986) [5]. Эта задача имеет практическое значение при проектировании, например, конфузоров и диффузоров аэродинамических труб. Заметим, что автомодельное решение для несжимаемой вязкой жидкости удается построить только в плоском случае, в осесимметричном случае течение оказывается неавтомодельным [6].

Естественно возникает вопрос о существовании аналогичных автомодельных решений для газа. В работах [7 - 13] впервые удалось построить автомодельные решения для некоторых частных моделей течения вязкого сжимаемого газа в осесимметричном и плоском каналах. При этом автомодельные решения найдены только для некоторых частных моделей газа.

Во всех этих работах предполагалась степенная зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры. В работе Дж. Вильямса [7] численно решена задача о течении газа в конусе с граничными условиями проскальзывания скорости и температуры на стенке. В работах [8, 9] численно исследована задача о течении газа в конусе с внешним источником тепла (неадиабатическое течение газа). В работах [10, 11] А.П. Быркиным, а также А.П. Быркином и И.И. Межировым [12] решена аналогичная задача для течения газа в клине и конусе с массоотводом на стенке. Во всех этих работах также предполагалась степенная зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры с показателем степени к=0.5 или 0.76.

В работе [10] установлено, что автомодельное течение имеет место как в расширяющемся, так и сужающемся каналах. В первом случае течение реализуется как при отводе или отводе тепла от стенок канала, так и в теплоизолированном канале. Во втором случае автомодельное течение существует только при отводе тепла от стенок канала.

Следует отметить, что во всех работах [7 - 13] система автомодельных уравнений исследуется только с применением численных методов. Кроме того область существования решения исследована лишь в ограниченном диапазоне определяющих параметров; в частности, не исследовано влияние автомодельных параметров на размер данной области. Напомним, что во всех указанных работах изначально предполагалась исключительно степенная зависимость коэффициентов вязкости и теплопроводности от температуры; режим течения везде предполагался ламинарным.

В недавней работе М.А. Брутяна [14] найдено аналитическое решение для ламинарного течения вязкого газа, истекающего от источника массы, помещенного в вершину клина. В специальном случае постоянной температуры вдоль стенок канала и постоянных коэффициентов вязкости и теплопроводности, систему автомодельных уравнений удается решить до конца. В случае степенной зависимости коэффициентов вязкости и

теплопроводности от температуры удается найти решение в квадратурах.

10

В работе М.А. Брутяна и П.Л. Крапивского [15] найдено аналогичное решение для плоской струи вязкого газа от линейного источника импульса. Стоит отметить также недавние работы [16, 17] в которых были получены точные решения для течений типа Куэтта и Пуазейля с коэффициентами вязкости и теплопроводности, произвольным образом зависящими от температуры.

В работах [7 - 14] также установлено, что автомодельное решение, если оставаться в рамках модели сплошной среды, существует только для каналов с умеренными значениями полуугла раствора. В плоском канале решение существует только в случае теплоизолированной стенки, в осесимметричном случае при заданной температуре стенок. При этом как показано в работе М.А. Брутяна и У.Г. Ибрагимова [18] автомодельное решение существует только при определенной комбинации числа Рейнольдса, Маха, полуугол раствора и температура стенки. Всего можно выбрать два независимых параметра. При умеренных значениях полуугла раствора канала число Ренольдса оказывается небольшим, что соответствует течению сильно разреженного газа или течению газа в каналах с малым характерным размером, или течению газа в микроканале.

В настоящее время наблюдается повышенный интерес к исследованию микро/нано-течений и процессов теплопередачи. Такой интерес обусловлен преимуществами использования микроустройств в микроэлектронике, микроэлектромеханике и биомедицинских технологиях. В монографиях [19, 20] описаны течения в микро и нано-устройствах а также процессы теплопереноса в тонких пленках с использованием лазерного излучения. С развитием технологий микроэлектромеханических систем (МЭМС) стало возможным развитие новых технологий контроля орбиты и высоты полета небольших наземных спутников [21]. Микроканалы активно используются в подобных системах. Технология микродвигателей и связанные с ними исследования течений в микроканалах представлены, например, в [22 - 24].

Как показал проведенный анализ, в отдельных случаях континуальный подход может оказаться не применимым для описания течений с характерным масштабом порядка нескольких микрометров. В этом случае необходимо использовать специальные подходы, например граничные условия проскальзывания для скорости и температуры. В настоящей работе изучаются автомодельные режимы течения, для которых континуальный подход и стандартные граничные условия могут быть применены.

В работе С.С. Мехендалы и др. [25] предложено относить к микроканалам системы с диаметром сечения от 1 до 100 мкм, а С.Г. Кандликары и др. -каналы с диаметром поперечного сечения до 200 мкм [26]. Как будет показано в диссертации именно в таких масштабах и реализуются автомодельные течения. В указанных работах также отмечено, что эффекты, связанные с течением разреженного газа, начинают проявляться в каналах с диаметром сечения от 0.1 до 10 мкм. В практически важных случаях течение в микроканалах удается описать в рамках модели сплошной среды, см., например [27, 28].

Интересно также рассмотреть вопрос существования автомодельных решений для турбулентного течения. Впервые такие решения были найдены для турбулентного течения вязкого газа в тонких конусах и клиньях и опубликованы в недавних работах У.Г. Ибрагимова [29] и М.А. Брутяна, У.Г. Ибрагимова [30]. Следует отметить, что полученные в работах результаты могут быть применены для описания макротечений в каналах.

Диссертационная работа состоит из вводной части, трех тематических глав, выводов по каждой главе, заключения, списка литературы и двух приложений.

В первой главе рассмотрены автомодельные ламинарные течения вязкого газа в клине. Получены аналитические решения для случая течения газа с коэффициентами вязкости и теплопроводности, зависящими от температуры по закону Фроста, ц, к ~ Тк. В следующем разделе первой главы получено автомодельное решение для случая течения газа с коэффициентами вязкости и

Далее в первой главе рассмотрены автомодельные несимметричные течения при постоянной но различной температуре стенок. Для случая дозвуковых течений в клине полученной аналитическое решение. В общем случае задача решается с приминением численных методов.

Во второй главе рассмотрены автомодельные течения вязкого газа в конусе. В первом разделе главы получено автомодельное решение для случая течения газа твердых сфер (ц, к ~ Т05). Система автомодельных уравнений решается численно с применением аналитических методов при широкой вариации определяющих параметров. Во второй части главы получены автомодельные решения для течения газа Максвелловских молекул и реального газа (ц, к ~ Т076). Далее в главе числено исследуются неавтомодельные режимы течения в усеченном конусе. Результаты расчетов сравниваются с автомодельным решением.

В третьей главе получены новые точные решения для турбулентного течения вязкого газа в клине и конусе. В первом разделе главы система автомодельных уравнений решается численно при широкой вариации определяющих параметров для течения газа сверхтвердых сфер и газа, с коэффициентами вязкости и теплопроводности, зависящими от температуры по закону Сазерленда. Полученный автомодельный профиль скорости сравнивается с логарифмическим профилем скорости.

В приложении А приведена численная схема, используемая для расчета системы автомодельных уравнений. В приложении Б приведены полные таблицы найденных определяющих параметров задачи.

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Ибрагимов Умар Гарунович

Заключение

1. Рассмотрены автомодельные ламинарные течения вязкого газа в плоском клине. Впервые установлено, что в случае теплоизолированных стенок удается получить автомодельные решения для течения газа с коэффициентами вязкости и теплопроводности, произвольным образом зависящими от температуры. Полученные автомодельные решения сравниваются с имеющимися экспериментальными данными. Для случая течения газа сверхтвердых сфер система автомодельных уравнений решена в широком диапазоне определяющих параметров, определены области существования автомодельных решений.

2. Для случая течения газа в клине с постоянной, но разной температурой стенок впервые получены несимметричные автомодельные решения. Показано, что тепловой поток на стенках в этом случае оказывается одинаковым и противоположно направленным. При этом автомодельное решение существует в ограниченном диапазоне значений теплового потока.

3. Рассмотрены автомодельные ламинарные течения вязкого газа в конусе, с коэффициентами вязкости и теплопроводности, зависящими от температуры по степенному закону Фроста. Система автомодельных уравнений решена численно при широкой вариации определяющих параметров. Установлено, что автомодельное решение существует при определенной комбинации определяющих параметров, и в ограниченном диапазоне значений числа Маха.

4. При помощи численного решения уравнений Навье-Стокса исследованы неавтомодельные режимы течения в усеченном конусе. Показано, что при соблюдении граничных условий на стенках конуса в некоторой внутренней области устанавливается автомодельный режим течения.

5. Впервые получены автомодельные решения для турбулентного течения вязкого газа в клине и конусе. В рамках гипотезы Буссинеска и классической модели пути смешения Прандтля удалось построить автомодельное решение уравнений ЯЛКБ. Полученный профиль скорости сравнивается с известным логарифмическим профилем скорости.

Автомодельные решения, исследованные в данной работе, могут быть полезны при проектировании микромеханических систем, для которых масштабы течения имеют порядок микрометров. Кроме того полученные точные автомодельные решения могу быть полезными в качестве тестовых примеров при верификации существующих и разрабатываемых компьютерных кодов численного решения полной системы уравнений Навье-Стокса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ибрагимов Умар Гарунович, 2023 год

1. Drazin P.G., Riley N. The Navier-Stokes Equations: A Classification of flows and Exact Solutions // Cambridge University press. 2006. pp. 1-195.

2. Jeffery, G. B. L. The two-dimensional steady motion of a viscous fluid // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 29.172. 1915. pp. 455-465.

3. Hamel G. Spiralförmige Bewegungen zäher Flüssigkeiten // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1917. V. 25. pp. 34-60.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 735 с.

5. Sobey I.J., Drazin P.G. Bifurcations of two-dimensional channel flows // J. Fluid Mech. 1986. V. 171. pp. 263-287.

6. Ackerberg R.C. The viscous incompressible flow inside a cone // J. Fluid. Mech. 1965. V. 21. pp. 47-81.

7. Williams J.C. III. Conical nozzle flow with velocity slip and temperature jump // AIAA Journal. 1967. V. 5. № 12. pp. 2128-2134.

8. Williams J.C. III. Diabatic Internal Source Flow // Appl. Sci. Res. 1967. V. 17. pp. 407-421.

9. Williams J.C. III. Conical nozzle flow of a viscous compressible gas with energy extraction // Appl. Sci. Res. 1968. V. 19. pp. 285-301.

10. Быркин А.П. О точных решениях уравнений Навье - Стокса для течения сжимаемого газа в каналах // Ученые записки ЦАГИ. 1970. Т. 1, № 6, С. 15-21.

11. Быркин А.П. Об одном точном решении уравнений Навье - Стокса для сжимаемого газа // ПММ. 1969. Т. 33. № 1. С. 152-157.

12. Быркин А.П., Межиров И.И. О некоторых автомодельных течениях вязкого газа в канале // Изв. АН СССР. МЖГ. 1969. № 1, С. 100-105.

13. Щенников В.В. Об одном классе точных решений уравнений Навье -Стокса для случая сжимаемого теплопроводного газа // ПММ. 1969. Т. 33. № 3. С. 582-584.

14. Брутян М.А. Автомодельные решения типа Джеффери - Гамеля для течения вязкого сжимаемого газа // Уч. записки ЦАГИ. 2017. Т. XLVIII, № 6, С. 13-22.

15. Брутян М.А. Крапивский П.И. Точные решения стационарных уравнений Навье-Стокса вязкого теплопроводного газа для плоской струи из линейного источника // ПММ. 2018. Том 82, выпуск 5, С. 644-656.

16. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. О сжимаемом течении Куэтта // Уч. Записки ЦАГИ. 2018. Вып. 49. № 1. С. 27-38.

17. Хорин А.Н., Конюхова А.А. Течение Куэтта горячего вязкого газа // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Вып. 24. № 2 С. 365-378.

18. Брутян М.А., Ибрагимов У.Г. Автомодельные течения вязкого газа, истекающего из вершины конуса // Уч. записки ЦАГИ. 2018. Т. XLIX. № 3. С. 26-35.

19. Karniadakis G., Beskok A., Narayan A. Microflows and Nanoflows: Fundamentals and Simulation // New York: Springer-Verlag. 2002.

20. Tzou D.Y. Macro-to-Microscale Heat Transfer // Washington D.C.: Taylor & Francis. 1997.

21. Lewis D.H., Janson J., Cohen R.B., Antonsson E.K. Digital micropropulsion // Sensors and Actuators A, Physical. 2000. V. 80. № 2. pp. 143-154.

22. Bayt R.L. Analysis, Fabrication and Testing of a MEMS-based Micropropulsion System // PhD Thesis MIT, Cambridge, MA. 1999. pp. 1-162.

23. Bayt R.L. Fabrication and Testing of Micron-Sized Cold-Gas Thrusters // Micropropulsion for Small Spacecraft. 2000. V. 187. pp. 381-397.

24. Gulcainski F. Dulligan M. Lake J.P. Micropropulsion research at AFRL // AIAA 2000-3255. 2000. pp. 1-12.

25. Mehendal S.S., Jacobi A.M., Shah R.K. Fluid flow and heat transfer at micro-and meso- and meso-scales with application to heat exchanger design // App, Mech. Rev. 2000. V. 53. № 7. pp. 175-193.

26. Kandlikar S.G., Garimella S., Li. D. et al. Heat transfer and fluid flow in

minichannels and microchannels // Elsevier. 2006.

87

27. Kuznetsov V.V., Safonov S.A., Sunder S., Vitovsky O.V. Capillary controlled two-phase flow in rectangular channel // Proc. Int. Conference on Compact Heat Exchangers for the Process Industries. - N. Y.: Begell House. 1997. pp. 291-303.

28. Wong H., Radke C.J., Morris S. The motion of long bubbles in polygonal capillaries. Part 1. Thin films // J. Fluid Mech. 1995. V. 292. pp. 71-94.

29. Ибрагимов У.Г. Автомодельные турбулентные течения вязкого газа в конусе // Ученные записки ЦАГИ. 2019. Т. L. № 6. С. 33-40.

30. Брутян М.А., Ибрагимов У.Г. Автомодельные турбулентные течения вязкого газа в клине // Труды МФТИ. 2020. Т. 12., № 3. C. 141 - 149.

31. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя // Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва. 1974. 712 с.

32. Cochran, W.G. The Flow Due to a Rotating Disk // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 30. 1934. PP. 365-375.

33. Левич В. Г. Физико-химическая гидродинамика // М.: Издательство АН СССР. 1952. 538 с.

34. Bassous E., Taub H.H., Kuhn L. Ink jet printing nozzle arrays etched in silicon // Appl. Phys. Lett. 1977. V. 31. pp. 135-137.

35. Petersen K.E. Fabrication of an integrated planar silicon ink-iet structure // IEEE Trans. Electron Devices. 1979. V. 26. pp. 1918-1920.

36. Petersen K.E. Silicon as a mechanical material // Proc. IEEE. 1983. V. 70. pp. 420-457.

37. Terry S.C., Jerman J.H., Angell J. B. A gas chromatographic air analyzer fabricated on a silicon wafer // IEEE Trans. Electron Devices. 1979. V. 26. pp. 18801886.

38. Tuckerman D.B., Pease R.F.W. High-performance heat sinking for VLSI // IEEE Electron Device Lett. 1981. V. 2 pp. l26-129.

39. Zdeblick M.J., Barth P.W., Angell J.A. Microminiature fluidic amplifier // Sensors and Actuators. 1988. V. 15. pp. 427-433.

40. Jiang X.N., Zhou Z.Y., Huang X.Y., Li Y., Yang Y., Liu C.Y. Micronozzle/diffuser flow and its application in micro valveless pumps // Sensors and Actuation. 1998. V. 70. pp. 81-87.

41. Li Xiu-Han, Yu Xiao-Mei, Zhang Da-Cheng, Cui Hai-Hang, Li Ting, Wang Ying, Wang Yang-Yuan Characteristics of gas flow within a micro diffuser/nozzle pump // Chin. Phys. lett. 2006. V. 23. № 5. pp. 1230-1233.

42. Hao P.F., Ding Y.T., Yao Z.H., He F., Zhu K.Q. Size effect on gas flow in micro nozzles // J. Micromech. Microeng. 2005. V. 15. P. 2069-2073.

43. Williams J.C. III. Viscous compressible and incompressible flow in slender channels // AIAA Journal. 19636 V. 1. № 1. pp. 186-195.

44. Rae W.J. Some numerical results on viscous low-density nozzle flows in the slender-channel approximation // AIAA Journal. 1971. V. 9. № 5. pp. 811-820.

45. Rae W.J. Final Report on a Study of Low-Density Nozzle Flows with Application to Micro thrust Rockets // Rept. AI-2590-A-1. Cornell Aeronautical Lab., Buffalo, N.Y. 1969. pp. 1-146.

46. Быркин А.П., Межиров И.И. О расчете течения вязкого газа в канале // Изв. АН СССР, МЖГ. 1967. № 6. С. 33-41.

47. Быркин А.П., Щенников В.В. О расчете течения газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (прямая задача) // Ученные записки ЦАГИ. 1971. Т. II. № 1. С. 33-41.

48. Быркин А.П., Щенников В.В. Расчет течений вязкого газа в плоских каналах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 3. С. 728-736.

49. Быркин А.П. Автомодельные течения вязкого газа в каналах с тепло- и массообменом на стенке // Ученые записки ЦАГИ. 1976. Т. VII, № 2, С. 25-36.

50. Себиси Т., Бредшоу П. Конвективный теплообмен. М.: Мир, 1987, С. 474507.

51. Cebeci T. Unsteady boundary layers with an intelligent numerical scheme // Journal of Fluid Mechanics. 1986. V. 163. pp. 129-140.

52. Probstein R.F., Kemp N.H. Viscous Aerodynamic Characteristics in

Hypersonic Rarefied Gas Flow // J. Aerosp. Sci. 1960. V. 27. № 3. pp. 174-192.

89

53. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика // М.: Наука, Главная редакция физ-мат. лит-ры. 1979. Т. 10.

54. Чепмен С., Коулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. // М.: Изд-во иностр. лит. 1960.

55. Sutherland W. LII. The viscosity of gases and molecular force // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1893. V. 36. № 223. pp. 507-531.

56. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. - М.: Мир, 1976.

57. Ernst M.N. Nonlinear model-Boltzmann equations and exact solutions // Phys. Rev. 1981. V. 78, N 1, p. 1-171.

58. Ernst M.N. Exact solutions of nonlinear Boltzmann equation // J. Stat. Phys. 1984. V. 34, N 516, p. 1001-1017.

59. Бобылев А.В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа // Теорет. и мат. физика. 1984. Т. 60, № 2, c. 280-310.

60. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.

61. WilcoxD.C. Turbulence Modeling for CFD. DCW Industries, 2006, P. 1-515.

62. Hasen G.A. Navier-Stokes Solutions for an Axisymmetric Nozzle // AIAA-81-1474, July 27-29, 1981.

63. Boussinesq J. Essai sur lar theorie des eaux courantes // Mem. Presentes Acad. Sci., 23:46, 1877.

64. PrandtlL. Uber die ausgebildete turbulenz // ZAMM., 5:136-139, 1925.

65. Meier H.U., Rotta J.C. Experimental and theoretical investigation of temperature distributions in supersonic layers // AIAA Paper. 1970. № 744.