Автоматизация моделирования физических процессов в задачах приборостроения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.01, доктор физико-математических наук Сизова, Наталья Дмитриевна

• Сизова, Наталья Дмитриевна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сизова, Наталья Дмитриевна

Введение

Глава 1 Теория R-функций в задачах изучения физико-механических полей в конструктивных элементах сложной геометрической формы

1.1 Основные соотношения в задачах исследования физических процессов

1.2 Структурные модели (GSS) задач исследования физических полей

1.3 Автоматизация вычислительного процесса и компьютерное 46 моделирование в задачах исследования физических процессов

Глава 2 Исследование электромагнитных полей в элементах сложной геометрической формы

2.1 Постановка задачи исследования электромагнитных полей

2.2 Структуры решений внутренних задач электродинамики

2.3 Расчет параметров двухчастотного гелий-неонового лазера с 54 микроволновым возбуждением

2.4 Исследование электромагнитных полей в полукоаксиальных 69 резонаторах, нагруженных кристаллами

2.5 Исследование электрооптического модулятора фотонного излучения 82 методом R-функций

2.6 Расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем

2.7 Исследование резонансных фотоприемных устройств на основе 97 полукоаксиального резонатора

Глава 3 Исследование тепловых процессов в элементах сложной геометрической конфигурации методом R-функций

3.1 Дифференциально-разностный метод и теория R-функций в 112 исследовании пространственных задач теплопроводности

3.2 Апостериорные оценки погрешностей структурных решений 120 краевых задач теплопроводности

3.3 Алгоритмы решения нестационарных краевых задач теплообмена

3.4 Исследование тепловых процессов излучающего тела

3.5 Температурные поля в полуаксиальных резонаторах, нагруженных 151 кристаллами

Глава 4 Исследование напряженно-деформированного состояния конструк- 170 тивных элементов неклассической геометрической формы

4.1 Оценка напряженно-деформированного состояния в цилиндрических и конических элементах технологической оснастки

4.2 Структурные модели термонапряженного состояния элементов 184 технологической оснастки

4.3 Исследование термонапряженного состояния лопатки авиационного 187 двигателя и цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса

4.4 Структурные и компьютерные модели задач упругопластического 194 деформирования

4.5 Алгоритм определения упругопластических деформаций в 197 осесимметричных телах конечных размеров

4.6 Структурная модель (GSS) задачи по отысканию силовых параметров 204 элементов технологического процесса

4.7 Алгоритм определения термовязкопластических напряжений в телах 208 сложной геометрии

4.8 Исследование напряженно - деформированного состояния кристалла, 213 помещенного в резонатор

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоматизация моделирования физических процессов в задачах приборостроения»

Актуальность темы.

При конструировании элементов приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. одной из задач является определение физических полей в них. Эта задача - один из наиболее важных факторов, влияющих на работоспособность, надежность и устойчивость работы элементов и приборов, так как изменение той или иной характеристики вызывает и изменение свойств различных материалов, входящих в состав всей исследуемой конструкции.

Экспериментальные исследования физических полей многих элементов и аппаратов неприемлемы в тех случаях, например, когда физические размеры компонентов достаточно малы, установка чувствительных приборов и датчиков в них представляется весьма трудной задачей. В силу этого актуальным является определение физических полей элементов и аппаратов аналитическими и численными методами.

Решение задачи определения необходимых физических параметров позволяет на стадии вычислительного эксперимента получить достоверную и объективную информацию о работе прибора или конструктивного элемента, частично или полностью заменить дорогостоящие опытные испытания режимов работы элементов и аппаратов расчетным проектированием, прогнозировать физические процессы, рассчитывать оптимальные режимы работы всего прибора.

В современной технике предъявляются повышенные требования к точности определения полей исследуемых элементов и узлов, поэтому объяснимо стремление создать универсальные методы и высокоточные алгоритмы решения таких задач.

Многие проблемы теоретического аспекта исследования физических полей в различных элементах связаны с необходимостью построения и исследования математических моделей, имеющих вид краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными [1-4]. Для любых краевых задач характерно наличие в некоторой области QeR3 , ограниченной некоторой поверхностью S, разрешающей функциональной компоненты модели. В зависимости от условий реальной задачи эта компонента может представлять собой функцию (например, для скалярного поля температур), тензор (в задачах определения напряженно-деформированного состояния тех или иных конструкций) или элементы других функциональных пространств.

Большое разнообразие математических моделей в задачах определения физических полей требует создания универсального математического и программного инструментария. Создание такого инструментария позволит оперативно переходить от одной математической модели к другой, проводить сравнение результатов, полученных при исследовании различных моделей, использовать результаты, полученные для одной модели как стартовые (вспомогательные) для исследования другой модели, применять различные методы (аналитические или численные) и т.д., т.е. речь идет об инструментарии универсального типа. Цель построения различных математических моделей для одной и той же задачи может быть продиктована стремлением убедиться в достоверности полученных результатов, а также в отсутствии ошибок в выкладках и программах. Именно такой подход рекомендовал в свое время академик А.Н. Крылов [5].

Наличие математического и программного инструментария, построенного по известному принципу математических аналогий, имеет значение для многих проблем исследования, расчета и оптимизации физических полей, охватывающих широкий круг научных направлений в различных отраслях промышленности.

В последние годы разработано много новых математических теорий, а на их основе появились новые разработки методов решения на ЭВМ задач исследования и оптимизации физических полей. Неослабевающий интерес к проблеме физических полей объясняется тем, что этой проблемой охвачен широкий круг таких направлений, как электродинамика, теплофизика, теория упругости и пластичности, магнитная гидродинамика и другие, развитие которых имеет первостепенное значение для научно-технического прогресса.

Математическими моделями исследования многих физических полей являются задачи для уравнений с частными производными при определенных начальных и краевых условиях. Специфическая особенность полей - их зависимость не только от характера физических законов, учитываемых соответствующими уравнениями, но и от формы взаимного расположения тел, в которых поля возбуждаются, конфигурации площадок их контактного взаимодействия и других геометрических и физических факторов.

С учетом названных особенностей рассматриваемого класса задач полное их исследование с помощью аналитических методов возможно лишь в немногих случаях.

Наличие в постановке краевых задач двух разнородных видов информации -аналитической и геометрической - серьезное препятствие при создании методов и алгоритмов решения этих задач, т.к. всякий метод должен учитывать оба вида информации. Это, в свою очередь, требует преобразования геометрической информации в аналитическую (следует заметить, что не всякое кодирование геометрической информации годится). В классических методах (разделения переменных, интегральных преобразований и др.) форма областей и участков их границ учитывается благодаря подходящему выбору систем координат, в вариационных методах - при построении координатных функций, в сеточных методах - при составлении уравнений для узлов, близких к границе и т.д. Метод конечных элементов (МКЭ) [6-12] возник именно в связи со стремлением как можно точнее учитывать геометрические формы. Появился ряд методов (Рейснера, штрафов и др.), в которых краевые условия естественны, и формально им можно не удовлетворять [11-12]. В этих методах геометрическая информация учитывается путем интегрирования по областям соответствующей формы (т.е. геометрическая информация учитывается интегрально).

Среди методов, широко используемых в исследовании различных вопросов исследования физических полей, отметим метод граничных элементов [13-15], вариационные методы [16-19], сведение к сингулярным интегральным уравнениям [20] и др., каждый из которых имеет свою сферу применения, но не всегда применим к определению тех или иных характеристик в неклассических областях.

Особенно актуальной задачей является создание таких моделей задач для исследования полей, которые отражали бы физические аспекты постановки, и позволяли осуществлять разработку методов решения краевых задач, имеющих универсальный характер, и не требующих от исследователя (как правило, не математика) знания тонких вопросов теории. Кроме того, универсальность обусловливает возможность привлечения методов системного программирования, что имеет существенное значение для автоматизации научных исследований в области краевых задач. Вообще же, для того или иного конкретного класса задач определения физических полей существуют или могут быть созданы специальные методы, превосходящие по эффективности любой универсальный метод. Однако их использование требует, как правило, хорошей математической и специальной подготовки, а также значительных затрат времени, что может оказаться неприемлемым для быстрого решения все новых и новых задач экспериментальной физики.

В данной работе предлагаются

• новый подход исследования некоторых физических полей в задачах экспериментальной физики, рассматриваемых в объектах сложной геометрической формы и находящихся под внешними воздействиями различной физической природы, который основан на использовании математического аппарата теории R-функций;

• новые математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости;

• компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• вычислительный эксперимент по определению необходимых физических и геометрических параметров конкретных приборов, аппаратов и элементов.

Исследуются физические поля в новых приборах и элементах, применяемых в лазерной технике, таких как: • автогенераторные гелий-неоновые лазеры;

• модуляторы;

• автогенераторные гетеродинные фотоприемники с резонаторами микроволнового диапазона длин волн.

Кроме того, определены температурные поля:

• в пространственных тепловых элементах неклассической геометрической формы конечных размеров (ТВЭЛы, термочувствительные датчики и др.);

• в аппаратах для добычи твердых полезных ископаемых;

• в теплоизлучающих объектах;

• в модуляторах, нагруженных электрооптическими кристаллами.

Изучаются также поля напряжений

• в элементах технологической оснастки, находящихся под механическими и температурными воздействиями и нагруженных за пределами упругости;

• в силовых элементах технологического процесса;

• в лопатке авиационного двигателя;

• в элементе цилиндрового блока аксиально-поршневого насоса;

• в кристаллах, находящихся в резонаторах, которые работают на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Математически каждая из перечисленных задач формулируется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка [1-2] где операторы А, В, С в общем случае могут быть нелинейными, f(x) - функция, характеризующая внешние воздействия на тело Q, функция <р(х) характеризует граничные условия на поверхности S, y/(x,t) - функция, определяющая состояние тела в начальный период времени, и(их,и2,иъ) - искомая разрешающая функциональная компонента поля (в общем случае, вектор).

Основные положения теории и аналитических и численных методов исследования задач (1)-(3) изложены в публикациях [3-55,158-182].

Обычно предполагается (а в некоторых случаях [24] приведено и доказано) существование и единственность решения задачи (1)-(3) в каком-то классе функций, а также непрерывная зависимость решения от данных задачи [44.48,49]: начальных (3) и граничных условий (2), массовых сил и т.д. Кроме того, в ряде работ [48], обсуждается поведение решения вблизи особых линий и точек (угловые точки, ребра, углы, точки приложения сосредоточенных сил, линии смены типа граничных условий и др.).

Au = f(x), в Q, Ви = <р{х), на S, Cu = y/(x,t), х е (XpX^Xj), t0<t<t] i'

1) (2) (3)

Многие методы исследования краевых задач математической физики обладают такими возможностями, как

1) универсальность;

2) алгоритмичность (т.е. легкость построения алгоритмов и их реализация на ЭВМ, наличие стандартных блоков и подпрограмм и др.);

3) эффективность (с точки зрения затрат машинного времени на ЭВМ);

4) существование математического обоснования (доказательство сходимости метода, оценки ошибок и т. д.);

5) ясность физической интерпретации результатов и др.

Однако, несмотря на обилие разработанных методов и подходов к решению различных задач исследования физико-механических полей, выбор того или иного метода исследования для конкретной, в частности, реальной задачи, представляется проблематичным ибо проблематичным представляется формулировка критерия, по которому возможно было бы провести объективное сравнение методов. Кроме того, отсутствует классификация численных методов, хотя бы на основе сравнения асимптотического числа операций N(e), нет указаний на сложности, возникающие при численной реализации известных методов, не выделен круг задач, где были бы наиболее эффективны применения той или иной численной схемы.

В связи с этим особенно актуальной является проблема разработки и исследования новых моделей задач физических полей в конструктивных элементах приборостроения, машиностроения, радиоэлектроники, в том числе в лазерной физике, атомной и ядерной спектрометрии, в метрологии лазерного, рентгеновского и гамма-излучений и др. и методов их решения; разработки и обоснования новых вычислительных алгоритмов в ограниченных областях неклассической формы; создание компьютерных моделей и программного обеспечения для их реализации; проведение широкого вычислительного эксперимента по исследованию необходимых физических характеристик различных объектов сложной геометрической формы.

Данная диссертационная работа посвящена развитию и использованию конструктивных средств теории R-функций (RFM) к исследованиям задач экспериментальной физики.

Теория R-функций в настоящее время достаточно широко применяется при исследовании краевых задач математической физики, в теории приближений, в задачах оптимального размещения и распознавания образов, в конструктивной теории функций, в автоматизации программирования и др., исследования по теории R-функций достаточно полно отражены в работах многих исследователей.

Метод R-функций дает такое функциональное представление приближенных аналитических решений (GSS), которые удовлетворяют граничным условиям и которые:

1) учитывает на аналитическом уровне геометрию области Q;

2) учитывает на участках ее границы Sk граничные условия;

3) позволяет учесть имеющуюся априорную информацию о точном решении задачи (если оно есть);

4) позволяет приблизиться к точному решению в метрике соответствующего функционального пространства г|.

При построении аналитических решений (структурных формул (GSS)) с использованием аппарата R - функций применяются дифференциальные операторы Dk и Тк, определяемые соотношениями к ък г ( ъ \к~'Г

D гЛд df{d(°

UkJ АЛ* ^k-i^i i-O да дсо о дхj дх2 дх} у

При этом на границе S операторы Dk и Тк имеют вид

D f\ =^LL т f\ u«j\s dv ' dT ' т.е. превращаются в производную по нормали п и касательной т соответственно. Операторы Dk и Тк зависят от функции со и

1) содержат информацию о форме области Q;

2) определены всюду в области Q;

3) на границе совпадают с производными по нормали и касательной, за исключением угловых точек;

4) позволяют продолжать граничные значения внутрь области;

5) представляют собой разложение функции f по неопределенным коэффициентам полинома Лагранжа.

Аналитическое описание уравнений <в(х) границ S произвольных областей Q предполагает следующие этапы построения:

1) теоретико-множественное описание области Q, т.е. представление с помощью операций алгебры множеств П, U, /;

2) логическое или предикатное описание области Q r , fl, xeQ;

0, xeQ;

3) аналитическое описание области с помощью R« - операций: fx л« Л = (/i + Л ~ V/i2 +Л2 -2 °fifl ) ~ Ra-КОНЪЮНКЦИЯ,

1 + а flvа /2 = + /г + л//2 + Л2 " ) - Ra-ДИЗЪЮНКЦИЯ,

1 + а f = -f -Ra-отрицание.

В данной работе применяются R-функции, которые строятся на множестве %(-со,со) и соответствуют двузначным (булевым) функциям алгебры логики.

Следует отметить, что применение метода R-функций к задачам физики позволяет сохранить многие важные с физической точки зрения особенности, содержащиеся в постановке исходной задачи. Как известно [68-69], задача интегрирования системы уравнений (1)-(3) может быть заменена эквивалентной вариационной задачей, а именно задачей нахождения на множестве D(A) элемента и (х), реализующего минимум функционала /(и) краевой задачи (1)-(3)

1(и) = (Ли, и)- 2(м,/) = |р|| - 2(м,/), (4) где (и,/) - скалярное произведение функций ми /, и

- энергетическая норма функции и.

Решение вариационной задачи (4) в энергетическом пространстве всегда существует и является, вообще говоря, обобщенным. Оно может быть получено методами Ритца, Бубнова - Галеркина и др. [68] и представимо в виде = (5)

1=1 где - координатная последовательность, которая предполагается известной и которая в данной работе строится с помощью метода R-функций (функций B.JI.

Рвачева). Неизвестные компоненты С, (i-1,2.п) находятся из условия минимума функционала dl(u) ас,. 0, U = 1,2,.,«), (6) представляющего собой систему алгебраических уравнений

У = 1,2,.,л). (7) 1

На основе созданной теории R-функций В.Л. Рвачевым было введено понятие структуры решения (GSS) краевой задачи [57-59,70] как пучка функций, удовлетворяющих граничным условиям краевой задачи. В настоящей работе рассматривались структуры полные или полные в некотором смысле.

В общем виде структуру решения можно представить в виде функционального соотношения и = В( Ф), (8) где В - известный оператор, учитывающий (или нет) граничные условия (2) краевой задачи, определенный на множестве М, элемент ФеМ выбирается так, чтобы наилучшим образом (в том или ином смысле) удовлетворить исходному уравнению (1) [58,71-75].

Эффективность использования структурных формул (8) существенно зависит от выбора аппроксимирующих полиномов (5). Оператор В структуры решения (8), воздействуя на полиномы "деформирует" их в последовательность {f,(x)j поэтому от аппроксимационных свойств функций (*)} существенно зависит характер приближения к краевой задаче, обусловленность и некоторые функциональные характеристики матрицы {ау} системы алгебраических уравнений (6) для определения коэффициентов Cj. Во многих случаях элементы матрицы {аи} являются интегралами по области Q.

Остановимся на вопросе об определении оператора В(Ф), структуры решения (8). В настоящей работе оператор В(Ф) представляется в виде разложения [58,73] i где Gk (к=\,2,.,г) - линейные дифференциальные операторы, являющиеся продолжением граничных дифференциальных операторов внутрь области Q; /&(*) - дифференциальные коэффициенты, которые конструируются таким образом, чтобы функция и(х) удовлетворяла (в том или ином смысле) заданной системе граничных условий (2).

Заметим, что использование линейных дифференциальных операторов (9) не уменьшает общности рассуждений и для нелинейных структурных формул типа (9), так как те нелинейные задачи, которые представлены в работах [62,63], необходимо линеаризовать, ибо все известные методы решения нелинейных задач сводятся к последовательности линейных задач [76].

Методы построения решения краевых задач (GSS), опирающиеся на теорию R-функций, содержат конструктивно простые средства для удовлетворения самым разным типам краевых условий при практически произвольной геометрии областей. В то же время они позволяют использовать в качестве аппроксимационного аппарата как классические полиномы, так и функции с локальными носителями (сплайны, атомарные функции и др.). Эти обстоятельства ставят теорию R-функций в исключительно выгодное положение при разработке программирующих систем в области исследования задач экспериментальной физики.

В таких задачах, как расчет физических полей с учетом геометрических форм, среды, расположения и распределения возбудителей поля, величин физических параметров и другой информации важен, и почти неизбежен этап проведения численных экспериментов. Эти эксперименты необходимы для проведения анализа, выяснения пригодности и корректности выбранных физических и математических моделей поля; выбора метода и реализующего его вычислительного алгоритма; составления и отладки программ; решения тестовых и модельных задач; анализа численных результатов и др.

Метод R-функций обладает широкими алгоритмическими возможностями, что позволило создать программный комплекс со специальным входным языком -программирующую систему ПОЛЕ - программный инструментарий, который осуществляет компьютерное моделирование и автоматизацию вычислительного процесса в задачах исследования физических процессов, имеет средства взаимодействия с программами на физическом или математическом языке постановки конкретной задачи исследования, дает возможность проводить многовариантные вычисления.

Целью работы является развитие конструктивных средств теории R-функций для задач экспериментальной физики.

В связи с этим рассмотрены такие вопросы:

• создание математических моделей задач экспериментальной физики;

• разработка аналитических методов исследования физических процессов в приборах и аппаратах неклассической геометрической конфигурации;

• создание компьютерных моделей численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики;

• проведение анализа физических процессов в приборах, аппаратах и конструктивных элементах.

Задачи и этапы исследования: создание и исследование широкого класса математических моделей задач электродинамики, теплопроводности, термоупругости в средах, описываемых системами линейных и нелинейных дифференциальных уравнений; проведение и теоретическое обоснование исследований электродинамических полей и характеристик в модуляторах, лазерах, приемниках и др. приборах; разработка методики решения пространственных и нестационарных задач теплопроводности, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций; проведение исследования апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач математической физики; разработка программного обеспечения для проведения исследований линейных, нелинейных и динамических задач теплопроводности, термоупругости, электродинамики; выполнение вычислительного эксперимента по определению резонансных частот и электродинамических характеристики объемных резонаторов, широко используемых как колебательные системы (резонансные контуры) и нагруженных электрооптическими кристаллами, полуаксиальных резонаторов измерительных фотоприемных устройств, фотоприемных устройств на основе лавинных диодов, лазерных устройств и др.; по определению температурных полей и напряженно-деформированного состояния упругих и неупругих тел, подвергающихся внешним воздействиям; разработка структурных моделей исследования дифракции установившихся и нестационарных упругих и термоупругих волн на объектах произвольной формы. Разработка новых вычислительных алгоритмов и схем для численной реализации новых структурных моделей.

Диссертационная работа выполнена в отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины и в Московском физико-техническом институте.

Связь работы по научными программами, планами темами основываются на исследованиях автора, которые выполнялись в МФТИ и отделе прикладной математики и вычислительных методов ИПМаш НАН Украины с 1985 по 2003 год, и отображена в отчетах ниже приведенных разработок:

Разработка эффективных методов и создание автоматизированных систем программирования» (ГР № 766077048);

Развитие математической теории R-функций и создание автоматизированного программного обеспечения» (ГР № 80023021);

Разработка модулей R-функций решения задач математической физики» (ГР № 018210012354);

Создание системы «ПОЛЕ-ЕС» (ГР № 01840082148);

Разработка новой теории программирования алгоритмов решения задач математической физики» (ГР № 93456081);

Создание на основе теории R-функций перспективного программного обеспечения и систем, ориентированных на решение задач математической физики, моделирующих взаимодействующие физико-механические поля» (ГР № 1870016839); 1

Совершенствование конструктивных средств теории R-функций и создание новых версий (для ЕС-ЭВМ) генераторов программ серии ПОЛЕ (ГР № 1840057174);

Разработка новых методов общей обработки и преобразования сложной геометрической и аналитической информации в математическом и компьютерном моделировании" (РК № 0196U004537);

Развитие и усовершенствование методов исследования структурных моделей и компьютерная реализация этих моделей для задач механики сплошных сред" (РК № 0196U0044543);

Развитие теории R-функций и создание на ее основе мобильного программного обеспечения современных ЭВМ ( в том числе персональных) для исследования термоупругих, упругопластических, деформационных, электромагнитных и магнитогидродинамических полей» (ГР №01900009451);

Создание на основе теории R-функций интеллектуальных систем, ориентированных на задачи расчета физико-механических полей в научных исследованиях, инженерной практике и учебном процессе» (ГР № 01900034544);

Интеллектуальный инструментарий компьютерной технологии в математической физике» (РК № 0196U004543);

Высокоинтеллектуальные системы программирования, ориентированные на использование алгебраизованных структурных формул решения краевых задач» (ГР № 0194U0353430); "Развитие теории R-функций (RFM), расширение ее предметной области, усовершенствование конструктивных и программных способов" (ГР № 0198U 0054125); " Методы построения и обращения операторов структурных и компьютерных моделей объектов сложной формы в механике сплошных сред" (№ 1/262, грант Государственного комитета Украины в делах науки и технологий);

Аналитико-геометрическое и компьютерное моделирование высоких технологий изготовления и эксплуатации объектов сложной конфигурации, находящихся в условиях высокоградиентных воздействий" (№ 2/847, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);

Разработка новых методов математического моделирования задач механики сплошных сред на основе теории R-функций и теории неархимедовых исчислений" (№ 1.4/162, грант Министерства Украины в делах науки и технологий);

Разработка новых методов исследования задач дифракции упругих и неупругих волн на объектах неклассической геометрической формы» (№1/2002 о научно-техническом сотрудничестве между ИРЭ РАН и ИПМаш НАНУ);

Разработка и обоснование новых численно-аналитических методов исследования задач упругости и термоупругости объектов сложной формы» (№2/2002 о научно-техническом сотрудничестве между НУК ИУ МГТУим. Н.Э. Баумана и ИПМаш НАНУ). Научная новизна результатов диссертации

• Предложен новый подход исследования физических полей экспериментальной физики в объектах сложной геометрической формы, основанный на использовании конструктивного аппарата теории R-функций.

• Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

• Исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках.

1. Найдены условия поперечного микроволнового резонансного возбуждения смеси стабильных изотопов гелия-3 и неона-20 с выходом когерентного излучения с длиной волны 0,6328 мкм, максимальной мощностью и шумами, не превышающими ее квантовых флуктуаций, при исследовании электродинамических полей в гелий-неоновом лазере с микроволновым возбуждением.

2. Определены области оптимальных геометрических размеров полукоаксиального резонатора, нагруженного кристаллами KDP и ниобата лития. Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах.

3. Проведены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом KDP. Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

4. Изучено электромагнитное поле фотоприемного устройства, созданное на основе биконического резонатора, внутри которого находится диод сложной геометрической формы.

5. Создана математическая модель и проведено численное моделирование и экспериментальные исследования электромагнитных полей в резонансных фотоприемных устройствах автогенераторного типа. В результате этих исследований удалось исключить побочные колебания гетеродина и найти оптимальную структуру поля в зазоре резонатора, воздействующую на фотоэлектронный умножитель и создать резонансные фотоприемные устройства, обеспечивающие максимальный коэффициент преобразования лазерного излучения в измеряемый гармонический сигнал.

Исследованы тепловые процессы в элементах сложной геометрической конфигурации.

1. Разработан подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории R-функций и дифференциально-разностного метода.

2. Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (GSS) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы.

3. Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию R-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию R-функций, а также метод наименьших квадратов и RFM.

4. Созданы математическая модель, алгоритм, вычислительные схемы и получены численные результаты задачи исследования температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы выхода на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

5. Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом R- функций.

6. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Исследовано напряженно-деформированное состояние конструктивных элементов неклассической геометрической формы.

1. Построены математические модели задач и проведен вычислительный эксперимент по исследованию напряженно - деформированного состояния в элементах технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

2. Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

3. Разработаны математические модели задач определения упругопластического состояния элементов технологического процесса.

4. Представлены алгоритмы, вычислительные схемы, численные результаты решения задач определения напряженно-деформированного состояния осесимметричных тел конечных размеров, которые широко используются в качестве элементов технологической оснастки, нагруженных за пределами упругости.

5. Создана математическая модель задачи отыскания силовых параметров элементов технологического процесса, которая рассматривается как задача упругопластического деформирования трубчатых заготовок.

6. Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

7. Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, построением априорных и апостериорных оценок погрешностей численных решений, сравнением результатов, представленных в диссертационной работе, с известными точными решениями или данными других авторов, а также с результатами некоторых физических экспериментов. Целесообразность разработанных подходов исследования физико-механических полей подтверждается вычислительным экспериментом в решении практически важных задач, а также результатами физических экспериментов, о чем имеется акт внедрения.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы подтверждены физическими экспериментами и использованы при создании новых приборов, таких как, газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Методы исследования.

В работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и математической физики, методы решения задач математической и экспериментальной физики, теория R-функций, компьютерное моделирование, программное обеспечение, вычислительный эксперимент.

Теоретическое значение работы. • Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

• Построены математические модели задач исследования электродинамических полей в лазерах, модуляторах, приемниках.

• Получены зависимости электродинамических характеристик модуляторов, лазеров и приемников от геометрических и физических параметров.

• Разработана методика исследования пространственных задач математической физики для уравнений эллиптического типа, которая использует дифференциально-разностный метод и теорию R-функций.

• Исследованы апостериорные погрешности решения пространственных краевых задач в неклассических областях, которые базируются на совместном использовании теории сопряженных вариационных задач и метода R-функций.

• Предложены подходы к исследованию нестационарных температурных полей в областях сложной геометрической формы, основанные на теории R-функций и ее сочетании с конечными разностями и интегральными преобразованиями.

• Разработана математическая модель задачи определения температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана.

• Предложен подход к исследованию задач для теплоизлучающего тела неклассической формы, который использует аппарат теории R-функций.

• Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

• Создана математическая и компьютерная модель определения термоупругих и упругопластических деформаций в элементах технологической оснастки, которые находятся в условиях сложного нагружения.

• Построены алгоритмы определения термовязкоупругопластичных полей в геометрических телах сложной формы.

• Разработана математическая модель исследования поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

• Разработаны новые структурные и компьютерные модели, алгоритмы и вычислительные схемы исследования динамических задач термоупругости (задачи дифракции упругих и термоупругих волн) для объектов неклассической формы.

Практическое значение работы.

Результаты диссертационной работы использованы при создании Государственного первичного эталона объемной активности радона-222 (ДЕТУ 12-01-97) и рабочего эталона единицы длины метра в области больших длин согласно с «Программой создания эталонной базы Украины на 1993-1997 годы» и применены для автоматизации моделирования физических процессов в эталонных генераторах радона-222, для исследования электромагнитных полей в элементах сложной геометрических формы- газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Теоретические исследования электромагнитных и температурных полей в элементах сложной геометрических формы использованы при создании новых приборов, таких как газоразрядные гелий-неоновые лазеры, электромагнитные модуляторы и фотоприемные устройства лазерных измерительных систем.

Это позволило сократить ряд дорогостоящих экспериментальных исследований и выбрать конструкцию приборов, обеспечивающих высокую точность измерений.

Предложенные в диссертационной работе структурные модели, методы, программное обеспечение используются для оценки термонапряженного состояния в установках для добычи твердых полезных ископаемых со дна мирового океана (НИПИ "Океанмаш", г. Днепропетровск), в исследовании задач определения упругих, термоупругих, упругопластических деформаций в технологических элементах, которые широко применяются в авиастроении, а также в иных разработках, которые выполнялись по темам государственного бюджета и договорным работам.

Апробация результатов работы. Главные идеи, положения и результаты исследований были представлены на конференциях и научных семинарах: на кафедре математической физики Харьковского университета (г. Харьков, 1980 г., рук. семинара д-р физ.-мат.н. В.А.Щербина); на Всесоюзной школе "Вычислительная математика и математическое моделирование" (г. Минск, 1984 г., рук. академик А.А. Самарский), на межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (г. Днепропетровск, 1987г., рук. академик В.И.Моссаковский), на кафедре общей механики Белорусского университета (г. Минск, 1988г., рук. д.-р физ.-мат.н. И.А. Прусов), на Республиканской конференции "Эффективные методы решения задач механики" (г. Харьков, 1989 г.); на Всесоюзной конференции "Жизнь и компьютер" (г. Харьков, 1991 г.); на Всеукраинской конференции "Новые подходы к решению задач математической физики" (г. Львов, 1993 г.), на Международной конференции 100 лет использования электромагнитных волн. Волновые процессы в радиофизике" (г. Москва, 1995 г); на Всеукраинской научной конференции "Разработка и использование математических методов в научно-технических исследованиях" (г. Львов, 1995 г.); на IV международной конференции по механике неоднородных структур (г. Тернополь, 1995 г.), на конференции, посвященной памяти профессора Ю.Н. Коляно (г. Львов, 1996 г.), на семинарах отдела прикладной математики и вычислительных методов Института проблем машиностроения НАН Украины ( 1987 -1999 гг.), на Международной научной конференции «Сучасш проблеми мехашки i математики» (м JIbBiB, 1998 р.); на Международной научной конференции "Physics and Engineering of Millimeter and Submillimeter Waves"(r. Харюв, 1998 p.), Международной научной конференции "Dynamical Systems Modeling and stability Investigation Systems Modeling" (r. Киев, 1999 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М. Муштари, 90-летию профессора К.З. Галимова и 80-летию профессора М.С. Корнишина (Казань, 26-30 июля 2000 г. Институт механики и машиностроения КНЦ РАН) « Актуальные проблемы механики оболочек»; шестой Международной конференции "Modern Trends in Computational Physics" (In Memory of N.N. Govorun, July 24-29, 2000, Dubna, Russia. Joint Institute for Nuclear Research, Laboratory of Computing Techniques and Automation), "Исследование физико-механических полей в областях сложной геометрической формы методом R-функций" (Московский государственный университет, 2002 г.), International Workshop on Laser and Filter-Optical Networks Modeling, (June 3-5, 2002, V.N. Karazin National University & National University of Radio Electronics, Харьков, Украина).

Личный вклад соискателя в работы, опубликованные в соавторстве: В работах [109-113] Н.Д. Сизовой представлены разработки математического обеспечения для исследования пространственных задач математической физики, в частности, задач стационарной теплопроводности, которое базируется на совместном использовании конечных интегральных преобразований и теории R-функций. Работы [135-138, 151-152] посвящены исследованию упругопластических полей, которые возникают при проектировании и эксплуатации элементов технологической оснастки самолетостроения, находящихся под влиянием комбинированной нагрузки. В этих работах Н.Д. Сизовой разработаны математическая модель, структурные формулы и компьютерные модели задач упругопластического деформирования. Вопрос построения аналитических решений в термоупругих квазистатических задачах, разработки алгоритмов, вычислительных схем и программного обеспечения рассматриваются автором диссертации в работе [130-134]. В работе [116] Н.Д. Сизова, рассматривает вопрос построения математической модели определения температурного поля в узлах установок, которые используются для добычи полезных ископаемых со на мирового океана. Новые разработки структурных моделей задач дифракции упругих волн приведены в работах [204-209] Н.Д. Сизова получила аналитические решения этих задач, построила алгоритмы, вычислительные схемы, получила численные результаты в задачах дифракции упругих волн в средах, которые ослаблены отверстиями сложной геометрической формы, исследовала влияние на напряженно-деформированное состояние физических характеристик от действия набегающей волны. Математическая модель, алгоритмы исследования электродинамических характеристик в модуляторах, рекомендации оптимального выбора поля с наперед заданной структурой, а также расчет характеристик биконического и полукоаксиального резонатор с оптическим кристаллом выполнены Н.Д. Сизовой в работах [163-166, 223]. В работе Н.Д. Сизова [124] исследовала апостериорные погрешности структурных решений с использованием теории R-функций, разработала алгоритмы, получила численные результаты с определения решений пространственных задач эллиптического типа и параболического типов. Н.Д. Сизова в работе [208] применила дифференциально-разностный метод совместно с теорией R-функций в исследованиях пространственных краевых задач эллиптического типа. В работах [140-141] Н.Д. Сизовой проведены исследования температурных полей в объектах сложной геометрической формы, построены вычислительные схемы, проведен вычислительный эксперимент и получены оценки решений для нестационарных задач. Алгоритм, численные решения задачи определения температурного поля излучающего тела получены представлены Н.Д. Сизовой Н.Д. в работах [117-119]. Апостериорные оценки погрешностей решения краевых задач математической физики для областей неклассической формы разработаны Н.Д. Сизовой в работе [127]. Алгоритм определения термоупругого состояния элементов из композитных материалов, разработан Н.Д. Сизовой и приведен в работе [139]. В работе [121] Н.Д. Сизовой приводятся оценки погрешности структурных решений для уравнений параболического типа.

Автором выполнены следующие разработки: предложен новый подход к изучению физических полей в приборах и элементах экспериментальной физики, который использует аппарат теории R-функций;

- разработаны новые математические модели задач исследования физических полей в областях неклассической геометрической формы;

- исследованы электродинамические поля в лазерах, модуляторах, приемниках, определены оптимальные геометрические характеристики резонаторов, имеющих наперед заданную структуру электродинамических полей;

- определены структуры магнитного и электрического поля в биконическом резонаторе;

- найдены оптимальные режимы работы фотоприемных устройств, созданных на основе биконического резонатора; исследованы диссипативно-тепловые процессы в электрооптических кристаллах; Разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям, выполнен расчет фотоприемных устройств лазерных измерительных систем и др.;

- разработана методика исследования температурных полей в пространственных областях неклассической геометрической формы, основанная на совместном применении дифференциально-разностного метода и теории R-функций; проведено исследование апостериорных оценок погрешности структурных решений пространственных краевых задач;

- исследовано температурное поле в сложных геометрических объектах, используемых в качестве ТВЭЛов в различных теплообменниках;

- получены тепловые характеристики и режимы работы установок для добычи твердых полезных ископаемых со дна океана;

- разработаны алгоритмы определения нестационарных тепловых полей, описываемых дифференциальными уравнениями параболического типа, на основе теории R-функций с использованием: а) интегральных преобразований, б) дифференциально-разностного метода, в) метода наименьших квадратов;

- предложен алгоритм решения задач определения температурных полей в излучающих системах;

- разработана математическая модель для исследования тепловых процессов в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов. Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. исследованы поля температур и напряжений в лопатках авиационных двигателей, а также в цилиндровом блоке аксиально-поршевого насоса; создана математическая модель и проведены исследования процессов формообразования и отыскания силовых параметров технологических элементов при упругом, термоупругом и упругопластическом деформировании трубчатых заготовок; определены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах, на основе созданной математической модели. созданы структурные модели и аналитические решения, вычислительные алгоритмы и схемы для численной реализации структурных моделей и задач дифракции упругих термоупругих и нестационарных волн на объектах произвольной формы; создано программное обеспечение для проведения численных исследований линейных, нелинейных и динамических задач математической физики, в рамках которого выполнен вычислительный эксперимент по определению физико-механический полей различной природы в сложных геометрических объектах, которые широко используются в различных отраслях промышленности. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 52 научных статьях, которые перечислены в списке литературы.

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, приложений. Общий объем работы - 279 е., таблиц -34, рисунков -134, библиография включает 234 наименований.

Заключение диссертации по теме «Приборы и методы экспериментальной физики», Сизова, Наталья Дмитриевна

Результаты исследования температурного поля в резонаторе, нагруженном кристаллом KDP, приведены в главе 3.

Таким образом, решение задачи термоупругости (4.51)-(4.52) заключается в том, чтобы определить при заданных тепловых воздействиях компоненты вектора перемещений и , компоненты тензора напряжений сгу. Найденное решение является единственным [27].

Отметим, что задача определения термоупругих характеристик кристаллов моделировалась в постановке, не учитывающей влияния подобных характеристик резонатора.

Определение термонапряженных характеристик кристалла.

-»

Перейдем к вопросу нахождения компонент вектора перемещений и по заранее найденному закону распределения температуры (3.19).

Запишем уравнение (4.51) в операторном виде

AU = Р

4.53)

Задача (8) может быть сведена к задаче о минимуме функционала I(U) при соответствующих граничных условиях [68] = || W(U)-UP^Q,

4.54) где W(JJ) - потенциальная энергия деформаций.

Решение вариационной задачи (4.54) в энергетическом пространстве всегда существует. Это решение является обобщенным и может быть получено методом Ритца, Бубнова-Галеркина и др. Представим его в виде t/ = £C(9>((x),

4.55) 1 где < <р,(х) \ ~ координатная последовательность. Она предполагается известной и строится

1 /=1 с помощью структурного метода [58,63].

Структура решения первой основной задачи для ортотропного тела, имеющего коэффициенты Ау в качестве упругих постоянных сщ, запишется в виде соотношений [63] щ = Фп -ЩФп +^{АА\-ТхФп + ВВ1 ■ 7]Ф21 + #1 • / + ggl■ /2} + й)2Ф12, А и2 = Ф21 - ЩФ2Х ~{АА2- ТХФ2Х + ВВ2-ТхФ1Х+//2-/х + gg2 • /2}+ й>2Ф22, А

4.55) где АА1

Абб(Ап+А22) + Ь4 5со V кдх2/, дсо дсо АА2 =

ВВ1 = А66

22

КдХ2;

42 дх, 5х2 ВВ2 = Л

ЛЭаЛ2 кдхх дй) дй) йс, дх2 дсол2 дх,] f дй)^ v^iy

-Д

12 f дсо ^ дх V 12 У

1 = ggl = f део^

Kdx2j ox,

Лб + ^i to}2 Kdxx,

A22 -62l — dxxJ dco дх. gg2 =

Axx-bx rdco^

Kdx2j dco dx2' dm дх,' AuA22 — Ax2 — A66(AU + A22 + 2A12),

Oij (ij=l,2) - неопределенные компоненты структурной формулы, при любом выборе которых краевые условия (4.52) удовлетворяются точно.

С учетом ортотропии кристалла выражение для функционала запишем в виде

J(ux,u2) = JJ

1 . (дщ? J dux du2 1 12 + W 22 ctc, ох2 Z f du^ 1 . (ди, ди Л

Kdx2J дх2 dxx fxu2- f2ux)dy, где x=(r,z), и и i/2 - компоненты вектора перемещений U (и r,uz),

7=1

Представим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов (4.55)

-V - я л + A '

11 12 йс, йс, д%и дХц , д%2Х дхх дхх дхх дхх J А

22 д%2 , дХи дх2 дх2 дХ\, , dZn дх2 дхх дх2 дхх da, j)

WJm ди\ d%XJ ди\ dX2j | dXxj ди°2 дхх дхп дхх дх2 у и - " ~ +Аг г где n I дхх дхх \f\ZiAy, А.

22 ди\ дХу дх2 дх2 А66 ди? ди^ + * Г I \

1^2 J [dx2 a*, J / dQ +

О г со fdm} KdxXJ

2 = fM dco

Лб +ь.

Ле +bi fdo^2 кдх2; dco\

1=1 N

U2 ="2°+ZC<*2,' i=1

CH m N = 2">

4.56)

X^V^-coD^+co i) 0 дсо

А У да дсо дх. ык dxlJ дсо дх,

13)

Di,T| -дифференциальные операторы: D. = д дсо а дсо д дсо д дсо дх. Эх. дх, дх. Т, — — дх1 дх2 дх2 аг, а = А6(А2+2А€6)+А66 ы дсо 4 удх2; Ь3

Vй*: ) дй) 2 дхи

6, = Аи -Ап -2А66, Ь2 = А2г-Ап-2А6Ь, Ь3 = АиА22 -Ап-4А66(А12 + А6й).

В условиях работы программирующей системы ПОЛЕ [82] получены численные результаты напряженно-деформированного состояния кристалла KDP, помещенного в модулятор, работающий на продольном электрооптическом эффекте.

На рис. 4.33 а, б представлены картины линий уровня напряжений о>, az соответственно. Максимальные напряжения сгг, стг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу. Это дает основания говорить о том, что при ином температурным режиме, в частности, с ростом температуры окружающей среды на внешней боковой поверхности может начаться разрушение кристалла. Эти выводы подтвердились и в численном эксперименте, когда максимальное температурное поле в кристалле принимало значения > 120°С.

Более темным цветом обозначены минимальны напряжения 0Г, о7. При этом зона минимальных напряжений аг несколько больше этой зоны для стг, в этом регионе напряжения стг, crz являются сжимающими. В то же время эти напряжения растягивающие на внешней боковой поверхности кристалла. а) б)

Анализ перемещений (рис. 4.34) показывает, что перемещения на всей внешней боковой поверхности кристалла возрастают, в центральной части кристалла ( при -0.2 rl <г <0.2 rl и 0.3 d<z<0.7 d, где rl, d - геометрические параметры кристалла) перемещения имеют значения на два порядка меньше, чем на боковой поверхности.

Рис. 4.34

Анализ напряжений и перемещений, возникающих в кристалле KDP, которым нагружен модулятор, работающий на продольном эффекте, показал:

1) максимальные напряжения стг, аг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу;

2) зона минимальных напряжений аг несколько больше этой зоны для стг, в этом регионе напряжения <тг, о7 являются сжимающими в верхней торцевой части кристалла, в то же время эти напряжения растягивающие па внешней боковой поверхности кристалла.

3) при возрастании температур данное распределение напряжений и перемещений может привести к разрушению кристалла.

Температурное поле в модуляторе, нагруженном кристаллом и работающем на поперечном электрооптическом эффекте [231], изучалось в гл.З.

Исследования термоупругой задачи для кристалла ниобата лития LiNb03 в том случае, дала такие результаты (рис. 4.36, а, б).

Максимальные напряжения су, аг охватывают внешнюю боковую поверхность кристалла, кроме того, напряжения возрастают к нижнему его торцу. Качественно напряжения <тг в этом случае повторяют картину этих напряжений для кристалла KDP, однако они ниже по своим значениям.

Картина линий уровня для напряжений uz иная, они минимальны на верхнем торце и растягивающими являются в очень малой зоне (более темный цвет на рис. 4.36, б). На внешней боковой поверхности у нижнего торца напряжения oz - максимальны, эти напряжения практически по всей поверхности кристалла-растягивающие.

Можно предположить, что для кристалла ниобата лития LiNb03 эти напряжения будут приводить к его разрушению быстрее, чем напряжения сгг. а) б)

Рис. 4.35

Зона минимальных перемещений (рис. 4.36) для кристалла LiNb03 (более темный цвет на рис.4.36) такова: -0.15 rl <г <0.15 rl и 0 <z< d, где rl, d - геометрические параметры кристалла.

Максимальные перемещения находятся на боковой поверхности кристалла и занимают значительную область ( 0 <z<0.7 d), что позволяет сделать вывод о том, что именно эта в зоне начнется разрушение кристалла ниобата лития LiNbO^.

Рис. 4.36

Анализ напряжений и перемещений, возникающих в кристалле KDP, которым нагружен модулятор, работающий на поперечном эффекте, показал:

1) напряжения ctz минимальны на верхнем торце и растягивающими являются в очень малой зоне;

2) напряжения ог практически по всей поверхности кристалла растягивающие;

3) напряжения стг повторяют картину этих напряжений для кристалла KDP, однако они ниже по своим значениям;

4) максимальные перемещения находятся на боковой поверхности кристалла и занимают значительную область на ней.

Таким образом, по электродинамическим полям с наперед заданной структурой в резонаторах сложной геометрической формы, нагруженных кристаллами, получены температурные поля и поля напряжений как при работе резонатора на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном.

Исследования физических полей в резонаторах сложной геометрической формы, нагруженных кристаллов выполнены с использованием теории R-функций.

Характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

Проведены расчеты напряженно-деформированного состояния кристаллов в резонаторах.

Определены зоны минимальных и максимальных напряжений и перемещений в кристаллах KDP и LiNb03.

Показано, что напряжения в кристалле LiNb03 ниже, чем в кристалле KDP, что объясняется их механическими и тепловыми характеристиками.

Данные исследования могут быть продолжены как для других типов резонаторов, так и для других типов кристаллов и смогут дать картину напряженно-деформированного состояния не только кристаллов, но и резонатора, а также исследовать их взаимное влияние на термонапряженные характеристики. Выводы

1. Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов. Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

2. Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

3. Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

4. Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

5. Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптическом эффектах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен новый подход исследования физико-механических полей в объектах сложной геометрической формы, находящихся под механическими и физическими воздействиями, основанный на использовании теории R-функций.

Построены математические модели, аналитические решения - структуры решения (GSS), алгоритмы, вычислительные схемы основных типов задач электродинамики, теплопроводности, теории упругости.

Созданы компьютерные модели численного исследования основных задач, моделирующих физические процессы экспериментальной физики.

2. Исследованы электродинамические поля в резонаторах, модуляторах, лазерах, приемниках.

• Получена наперед заданная структура поля как при работе микроволновых модуляторов лазерных пучков на продольном, так и на поперечном электрооптических эффектах. Сравнение приведенных теоретических результатов с экспериментальными результатами показало их согласие в пределах относительной погрешности эксперимента, не превышающей ± 8% при Р=0,95. Представлены исследования биконического резонатора, нагруженного внутренним кристаллом KDP.

• Получены зависимости электродинамических характеристик биконического резонатора от его геометрических параметров и параметров кристалла. Определена геометрическая форма кристалла, обеспечивающая минимальные поперечные и продольные градиенты электрической компоненты поля, что обеспечивает оптимальную модуляцию пучка фотонного излучения.

• Получена заданная структура электрического поля в зоне преобразования лазерного излучения и определены электродинамические характеристики лазеров.

• Решена краевая задача определения собственных колебаний биконического резонатора, внутри которого находится диод с заданной диэлектрической проницаемостью.

• Исследована задача о связи полуаксиального резонатора (ПРК) с цилиндрическим запредельным резонатором. Предложены алгоритм и метод теоретических исследований ПКР и излучения в запредельный цилиндрический резонатор.

3. Разработан и теоретически обоснован подход к решению пространственных задач теплопроводности в областях сложной геометрической формы, основанный на совместном применении теории R-функций и дифференциально-разностного метода.

• Получены с использованием теории сопряженных вариационных задач апостериорные оценки погрешности структурных решений (GSS) задач исследования пространственных температурных полей в областях сложной геометрической формы. Это позволило, располагая двумя приближенными решениями краевой задачи, найденными с помощью исходной и сопряженной вариационной формулировок, оценить (порознь) погрешности этих решений.

• Разработаны алгоритмы и вычислительные схемы для задач исследования нестационарных краевых задач теплопроводности, которые используют теорию R-функций и интегральные преобразования, совместно метод конечных разностей и теорию R-функций, а также метод наименьших квадратов и RFM.

• Приводится разработанная математическая модель, алгоритм и численные результаты задачи исследования температурного поля в элементах аппаратов для добычи полезных ископаемых со дна мирового океана. Определены температурные режимы входа на стационарный режим работы аппаратов сложной геометрической конфигурации.

• Приводятся результаты исследования задач для теплоизлучающего тела неклассической формы. Данная задача рассматривается как нелинейная с граничными условиями интегрального типа, которая подвергается линеаризации с последующим исследованием линейных задач методом R- функций.

• Изучены тепловые процессы в электрооптических кристаллах микроволновых модуляторов по найденным с наперед заданной структурой электродинамическим полям. Рассматривались полуаксиальные резонаторы сложной геометрической формы, нагруженные кристаллами. Получены температурные поля при работе модулятора лазерных пучков как на продольном электрооптическом эффекте, так и на поперечном. Установлено, что характер распределения температурного поля в резонаторах и кристаллах качественно совпадает с характером распределения электродинамических полей.

• Выполнены сравнения температурных полей, полученные в резонаторах с кристаллах методом R-функций, сравнивались с экспериментальными температурными полями на поверхности кристалла, измеренными бесконтактным методом с относительной погрешностью, не превышающей ±8 % при Р=0,95. В результате исследования тонкой структуры температурного поля по объему кристалла найдены условия для распространения лазерных пучков без фоторефракции с максимальной глубиной модуляции.

4. Построены математические модели задач определения термонапряженного состояния конструктивных технологических элементов.

• Проведен вычислительный эксперимент в условиях эксплуатации программирующей системы ПОЛЕ по исследованию напряженно-деформированного состояния элементов технологической оснастки, ослабленных ребрами жесткости.

• Созданы математические и компьютерные модели исследования термонапряженного состояния в лопатке авиационного двигателя и в цилиндровом блоке аксиально-поршневого насоса.

• Проведены исследования структурных моделей упругопластического деформирования конструктивных элементов технологической оснастки. Построена математическая модель для определения упругопластического состояния полых цилиндрических заготовок, которые изготовляются методом раздачи.

• Предложен алгоритм определения термонапряженного состояния тел произвольной формы, находящихся в условиях упругопластических деформаций.

• Найдены (по температурным и электродинамическим полям с наперед заданной структурой) поля напряжений в кристаллах, находящихся в резонаторах, работающих на продольном и поперечном электрооптических эффектах.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сизова, Наталья Дмитриевна, 2004 год

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Физматгиз, 1977. - 736 с.

2. Кошляков Н.С., Глинер Г.Э., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Наука, 1978. - 710 с.

3. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наук, думка, 1972. - 502 с.

4. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости М.: Наука, 1981.688 с.

5. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: АН СССР, 1933.- 178 с

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. -349 с.

7. Стренг Г., Фикс Дж. Теория.методов конечных элементов для эллиптических задач М.: Мир, 1977. -349 с.

8. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980. -512 с.

9. Деклу Ж. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1976. -97 с.

10. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Строй-издат, 1977. -128 с.

11. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. -428 с.

12. Метод конечных элементов в механике твердых тел / Под ред. А.С.Сахарова и И. Аль• тенбаха. Киев: Вища школа; Лейпциг: Феб Фахбухферлаг, 1982. -420 с.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир,1982. -248 с.

14. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. -524 с.

15. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов твердого тела. М.: Мир, 1987. -328 с.

16. Мускелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. -599 с.

17. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. -542 с.

18. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. щ -590 с.

19. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 278 с.

20. Бердичевский А.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука,1983.-417 с.

21. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. -518 с.22.23,24,25,26.