Автоматическая интерполяция числовых данных функциями из заданного множества с наименьшим количеством параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.17, кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Александрович

• Никитин, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Александрович

Введение.

1. Анализ методов построения интерполирующей функции. Постановка задачи.

1.1. Методы интерполяции.

1.2. Разностные схемы.

1.3. Дискретные преобразования.

1.4. Постановка задачи.

1.4.1. Цифровая фильтрация.

1.4.2. Методы синтеза БИХ-фильтров по заданной импульсной характеристике.

Выводы к главе.

2. Синтез БИХ-фильтра по началу его импульсной характеристики.

2.1 Алгоритм расчёта цифрового рекурсивного фильтра по началу импульсной характеристики.

2.2. Область применимости алгоритма А1.

Выводы к главе.

3. Автоматическая интерполяция числовых данных функциями из заданного« множества с наименьшим количеством параметров.

3.1. Определение функциональной зависимости по коэффициентам соответствующего фильтра.

3.2. Расширение области применения.

3.2.1. Линейная комбинация функций, уже известных алгоритму.

3.2.2. Проверка применимости к произвольным функциям.

3.2.3. Замена функции рядом Тейлора.

3.2.4. Использование метода для автоматического определения аппроксимирующей функции.

3.3. Описание системы автоматической интерполяции, основанной на предложенном методе.

3.4. Сравнение с другими методами отыскания функции, график которой проходит через заданный набор точек.

Выводы к главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоматическая интерполяция числовых данных функциями из заданного множества с наименьшим количеством параметров»

Существует ряд классических методов построения функций, график которых точно проходит через заданный набор точек. Это различные интерполяционные формулы, а также различные дискретные преобразования. Полученную функцию (интерполянт) можно использовать для вычисления значений функции между исходными точками (интерполяция), за их пределами (экстраполяция), а также для компактной записи или дальнейшего анализа исходных данных. Для интерполяции и экстраполяции также могут использоваться разностные схемы, хотя они и не дают точной записи интерполянта.

В качестве интерполянтов чаще всего используются алгебраические полиномы, суммы экспонент, Фурье-суммы, сплайны [7, 27, 28, 64]. Известны несколько способов построения интерполяционных многочленов степени не более п-1 по п исходным точкам. При этом любые п значений функции являются полиномиально зависимыми, и имеются формулы, которые дают принципиальную возможность выписать соответствующий многочлен степени п-1. Например, интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона [26] удобны при интерполировании точек, близких к первой исходной точке. Для точек, близких к остальным исходным точкам, целесообразно использовать формулы Стирлинга и Бесселя [20]. Для получения интерполяционного многочлена с заданными значениями производных до некоторого порядка можно также использовать интерполяционный многочлен Эрмита [57].

Большая погрешность вычислений при интерполяции может проявляться и в открытом Рунге эффекте осцилляции при использовании многочленов высоких порядков [80]. Этого недостатка можно избежать, если 3 использовать для интерполяции сплайны - кусочно-гладкие функции, например, классические сплайны, представленные на отрезках алгебраическими полиномами [26]. С 1960-х годов сплайны используются при моделировании в системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике, однако они использовались математиками задолго до этого. В частности, показано, что кривые Безье являются частным случаем многочленов Бернштейна, описанных в 1912 году. Сплайны обладают тем недостатком, что объём обрабатываемых данных возрастает по сравнению с интерполяционным многочленом: возрастает количество полиномов, при этом для обеспечения гладкости в узлах сплайна добавляется информация о значениях производных в узлах.

Также существуют алгоритмы интерполирования функций с использованием разностных схем [52, 56, 57]. Данные методы в этой работе рассматриваться будут рассмотрены очень кратко, так как они не дают аналитической записи интерполянта, а также, по сути, выполняют многочленную интерполяцию.

При использовании различных дискретных преобразований получается интерполирующая функция, являющаяся линейной комбинацией базисных функций данного преобразования. Например, дискретное преобразование

Фурье (ДПФ) дает разложение в ряд гармоник [30, 3]. Из-за того, что количество и частота гармоник ограничены, возникают такие недостатки как эффект Гиббса и муар [58]. Модификацией ДПФ, лишённой некоторых недостатков, является дискретное косинусное преобразование [13]. Есть также ряд других преобразований, в которых в качестве базисных функций используются другие наборы базисных функций (дискретное преобразование

Хартли, преобразование Уолша-Адамара и др.). В последние 20-30 лет активно развивается такое направление как дискретное вейвлетпреобразование [21], начало которому было положено в работах Хаара. В таком преобразовании базисными функциями являются колебания, локализованные по времени и частоте. Уже описано довольно много видов 4 вейвлетов (см. например работы Добеши, Малла, Ньюланда) [35, 74, 78]. В настоящее время используются во многих сферах, в том числе заменяя собой преобразование Фурье, так как лучше подходят для описания ограниченных по времени и нестационарных сигналов. При использовании дискретного преобразования его базис должен быть выбран заранее, и при этом полученная функция будет чаще всего суммой всех базисных функций. То есть количество параметров (коэффициентов перед базисными функциями) получается сравнимым с количеством исходных точек.

Из других видов интерполянтов, кроме описанных выше, наиболее известна интерполяция рациональными функциями — отношениями двух полиномов. Такая интерполяция может быть полезна в случаях, плохо интерполируемых полиномиальными методами. Долгое время единственным алгоритмом рациональной интерполяции был алгоритм Булирша-Штера [5]. Недостатками данного алгоритма является отсутствие механизма обнаружения полюсов и то, что не всегда можно построить интерполирующую рациональную функцию. В 1986 году Шнайдер и Вернер описали алгоритм рациональной интерполяции, использующий барицентрическое представление рационального интерполянта [82]. Затем этот алгоритм был улучшен Беррутом и др. [73]. Улучшенный алгоритм решает практически все проблемы, препятствовавшие использованию алгоритма Булирша-Штера, однако обладает собственными недостатками. Почти в то же время появился алгоритм Флоатера и Хорманна построения рациональной интерполирующей функции, не имеющей полюсов на действительной оси [75]. Важными чертами алгоритма Флоатера-Хорманна являются высокая скорость работы, устойчивость и надежность. По этим параметрам он сравним со сплайн-интерполяцией.

В других упомянутых интерполянтах количество слагаемых (количество коэффициентов) также определяется количеством исходных точек. Вид интерполянта в конкретной задаче обычно выбирается заранее на основании дополнительной информации о зависимости между исходными значениями. 5

То есть упомянутые методы не предназначены для поиска наиболее подходящей модели данных — каждый из них уже предполагает конкретную модель. Кроме того, классические методы не предназначены для построения интерполянта в виде сумм функций из разных классов (например, сумма экспонент и синусоид).

Таким образом, классические методы построения функций, график которых точно проходит через заданный набор точек, удобно использовать, когда вид интерполянта заранее выбран и остаётся только определить его параметры (коэффициенты). В случае если вид интерполянта заранее неизвестен, либо в заданном множестве функций необходимо определить интерполирующую функцию с наименьшим количеством параметров, то использование данных методов становится затруднительным, так как для каждого отдельного вида функции приходится выполнять отдельную процедуру построения интерполянта.

Также стоит заметить, что при обработке больших наборов данных в различных областях науки и техники кроме методов интерполяции не менее часто используются методы аппроксимации, образующие вместе группу методов приближения функций. Это связано с тем, что в значениях измеряемой величины практически всегда присутствует погрешность. Методы аппроксимации могут быть как модификациями методов интерполяции (например, аппроксимирующий сплайн), так и независимыми методами.

В связи с этим разработка метода, позволяющего автоматически определять из множества одномерных известных функциональных зависимостей такую, которая описывает исходные данные с наименьшим количеством параметров, представляет интерес. При этом полезными свойствами такого метода могли бы быть: возможность искать интерполянт в виде суммы функций из разных классов, а также возможность определения функции, которая хорошо аппроксимирует заданный набор точек, если интерполирующей функции найти не удалось. 6

Цель исследования: разработка эффективного метода автоматического определения интерполирующей функции с наименьшим количеством параметров из некоторого множества функций, позволяющей настраивать множество видов искомых интерполянтов.

Задачи исследования:

1. Провести анализ современных методов интерполяции.

2. Разработать алгоритм синтеза рекурсивного цифрового фильтра (фильтра с бесконечной импульсной характеристикой, БИХ-фильтра), значения отсчётов импульсной характеристики которого задаются некоторой одномерной функциональной зависимостью.

3. Разработать метод определения вида функции и вычисления её параметров-исходя из коэффициентов БИХ-фильтра, получаемого с помощью предложенного алгоритма синтеза.

4. Разработать программную реализацию, использующую предложенный метод автоматической интерполяции числовых данных.

Методы исследования. В ходе исследования использовались основные положения цифровой, обработки сигналов, линейной алгебры, функционального анализа, численных методов алгебры и анализа, а также теории алгоритмов.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Доказана возможность синтеза рекурсивного цифрового фильтра по значениям отсчётов его импульсной характеристики, описываемой любой математической функцией / из определённого множества Ф (оно названо множеством функций, известных алгоритму). Показан алгоритм синтеза таких фильтров.

2. Разработан метод автоматической интерполяции на основе разработанного алгоритма синтеза рекурсивного цифрового фильтра, отличающаяся от аналогов возможностью одновременного обнаружения функций нескольких видов, множество которых можно настраивать.

3. Разработаны способы расширения множества Ф; показана применимость алгоритма синтеза рекурсивного цифрового фильтра по импульсной характеристике, когда / является любой линейной комбинацией функций из множества Ф.

Реализация результатов работы. Программа поиска функциональных зависимостей в числовых последовательностях «FunSearch 1.0» прошла экспертизу и зарегистрирована в Отраслевом фонде алгоритмов и программ при Федеральном агентстве по« образованию (№ государственной регистрации 50200700388, per. № ОФАП 7729).

Практическая значимость исследований. Разработанный алгоритм синтеза БИХ-фильтра по началу его импульсной характеристики имеет ряд возможных приложений. В. данной работе наиболее глубоко исследовано его применение для автоматической интерполяции числовых данных. Особенности алгоритма позволили разработать вычислительно эффективный метод для одновременного поиска в данных нескольких классов функций.

Основные защищаемые положения.

1. Разработанный алгоритмз синтеза рекурсивного цифрового- фильтра* по началу импульсной характеристики, члены которой задаются математической функцией, самостоятельно определяет необходимый порядок фильтра.

2. Теоремы существования и единственности БИХ-фильтров, импульсные характеристики которых определяются математическими функциями из указанного множества.

3. Метод автоматической интерполяции, основанный на предложенном алгоритме синтеза БИХ-фильтров, способен отыскивать наиболее простой интерполянт в выбранном множестве функций, а также позволяет настраивать это множество функций.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на Конференции-конкурсе «Технологии 8 t і

Microsoft в теории и практике программирования» (2007 г.), Международной конференции IEEE по управлению и связи SIBCON-2007, международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» (RLNC-2007), Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2009), международной научной- конференции «Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики» (Караганда, 2010), а также на научно-практических семинарах кафедры безопасности информационных технологий СибГАУ (2006, 2009, 2011 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Полный список публикаций представлен в> конце автореферата. 3 работы опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и трёх приложений общим объемом. 108 с. Список использованной литературы содержит 83 наименования.

Заключение диссертации по теме «Теоретические основы информатики», Никитин, Дмитрий Александрович

Выводы к главе

В данной главе описана система автоматической интерполяции, ядром алгоритмического обеспечения которой является алгоритм А1. Метод автоматической интерполяции состоит; из трёх шагов, на' первом (и самом трудоёмком; из которых) .применяется предложенный алгоритм. Остальные шаги очень просты. Результатом работы такой системы; является определение всех участков во; входных; данных', которые могут быть, интерполируются некоторой функцией. Каждый такой участок может описываться функцией со своими уникальными; параметрами. Для обнаружения; участка:' необходимо, чтобы описывающая егог-функция входила вошножество.функций, известных алгоритму. Множество,- таких функций (то есть,' фактически,, множество; 'зависимостей; которые могут быть обнаружены предлагаемым методом) определяется/множеством видов импульсных характеристик, к которым применим? алгоритм А1. Для: каждого, участка .описывающая его функция, определяется с точностью до свободного члена.

Уникальность, алгоритма А1 состоит также и в том, что он позволяет отыскивать такие функции с минимально возможным числом- параметров. Аналогичные, методы не. позволяют этого делать, так как в них сначала задаются некоторой моделью данных, а затем пытаются определить её параметры, ©писанный в данной работе метод, по сути, сначала определяет простейшую модель из известных ей, которой можно описать имеющиеся-данные, а потом определяет её параметры.

В. целом основными преимуществами такой, системы обнаружения зависимостей перед аналогами являются:

1. Скорость работы не сильно зависит от их количества обнаруживаемых видов интерполянтов.

2. Возможность настройки множества видов обнаруживаемых интерполянтов. Методика настройки описана в работе.

3. Минимизация количества параметров функциональных зависимостей. Из всего множества интерполирующих функций находится функция с наименьшим количеством параметров.

4. Возможность потоковой работы (обработку данных можно начинать, когда поступили ещё не все данные).

В заключение даны оценки вычислительной сложности обнаружения функциональных зависимостей и вычислительной сложности вычисления значений найденной функции.

Далее, в приложениях, дан пример реального приложения, созданного для отработки и демонстрации работы алгоритма А1, а также листинги программ, выполняемых в системе МАТЬАВ.

Заключение

В процессе выполнения диссертационной- работы была решена задача разработки; метода автоматической интерполяции числовых наборов-;данных, отличающегося от аналогов тем; что . он позволяет осуществлять, одновременный поиск зависимостей-различных видов и из возможных видов выбирает, наиболее простую ' (с . наименьшим количеством параметров), которая; точно (не приближённо) описывает исходные, данные. Чем больше отыскиваемых видов зависимостей, тем больше вычислительная эффективность предложенного метода по- сравнению; с применением классических алгоритмов.

В основе метода лежит также разработанный в ходе диссертационного' исследования; алгоритм синтеза- рекурсивного« цифрового фильтра по. значениям отсчётов его- импульсной; характеристики. Применить данный, алгоритм для обнаружения зависимостей позволил тот факт, что он даёт решение: в том случае, когда значения отсчётов импульсной? характеристики, задаются некоторой одномерной функциональной зависимостью:- Приведены: доказательства корректности данного« алгоритма? для* нескольких; классов функций; Особенностью алгоритма является определение минимального необходимого порядка;фильтра. •.■■., .

Также предложены способы расширения; области применимости предложенного метода автоматической, интерполяции (для обнаружения других функций помимо тех, которые описаны, в работе).

Так как метод позволяет производить поиск в необходимом множестве зависимостей и наиболее выгодно её применение, именно при ¿одновременном поиске большого числа зависимостей, то в работе описана система автоматической интерполяции, основанная на предложенной^ методике. Приведена методика настройки такой системы на конкретное множество функций. Также описаны некоторые аспекты реализации, позволяющие оптимизировать скорость работы системы автоматической интерполяции.

94 V

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никитин, Дмитрий Александрович, 2011 год

1. Айфичер Э. С., Джервис Б. У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. —М.: Издательский дом «Вильяме», 2004.

2. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В.Н. Вапника. —М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

3. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М., Мир; 1979.

4. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по спец. «Радиотехника». — М.: Высш. шк., 2000.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. § 17. Рациональная интерполяция // Численные методы. — 6-е издание. — М.: Бином, 2008. — С. 85, —636 с.

6. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. —М.: Наука, 1983.

7. Бер М.Г., Малозёмов В.Н. Об интерполяции дискретных периодических данных. // Проблемы передачи информации. Т. 28. 1992, Вып. 4. - С. 60-68.

8. Богнер Р., Константинидис А. Введение в цифровую фильтрацию. — М.: Мир, 1976.

9. Большаков А. А., Каримов Р.Н. Методы обработки многомерных данных и временных рядов. — М.: Горячая линия Телеком, 2007.

10. Ю.Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12-19.

11. ГВащенко Г.В. Bычиcлитeльнaяíмaтeмaтикa: основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. —Красноярск: СибГТУ. — 2008.

12. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

13. Гайдышев И. Анализ и обработка данных: специальный справочник. — СПб.: Питер, 2001.

14. Галлагер Р. Теория информации и надёжная связь. — М.: Советское радио, 1974.

15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.

16. Гашников М. В., Глумов Н. И., Сергеев В. В. Адаптивный алгоритм интерполяции для иерархической компрессии изображений // Компьютерная оптика — ИСОИ РАН, Самара, 2002. — Вып. 23. — С.89-93.

17. Гончар А. А., Рациональные аппроксимации аналитических функций, Совр. пробл. матем., 2003, 1, 83-106.

18. ГОСТ 19.002-80. ГОСТ 19.003-80. Схемы алгоритмов и программ.

19. Даутов Ш. А. Об абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Тейлора рациональной функции двух переменных. Устойчивость двумерных цифровых рекурсивных фильтров. — Доклады АН СССР,' 1981, т. 257, №6, с. 1302-1305.

20. Демидович Б.П., МаронИ.А. Основы вычислительной математики. — М:: Наука, 1970. 664 с.

21. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: COJIOH-Пресс, 2002, 448 с.

22. Дьяконов В. П. MATLAB 6.0/6.1/6.5+SP1 + Simulink 4/5. Обработка сигналов^ изображений. — М'.: COJIOH-Пресс, 2005.

23. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7 + Simulink 5/6. в математике и моделировании. —М.: COJIOH-Пресс, 2005.

24. Елисеев С. Н. Исследование линейных алгоритмов ^устройств цифровой обработки сигналов в системах связи и радиовещания. — Самара, 2002. — 223 с. '

25. Завьялов М. Н., Елизаров Д. В. Комбинированный вариантгармонического разложения Пронин Журн. СФУ. Сер: Матем. и.физ., 2008, 1(4), С. 443-452.26.3ализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение вычисленные методыдля физиков. —М.: Едиториал УРСС, 2002.

26. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. Под ред. проф. В. Н. Малозёмова. -СПбГУ, 2009. 584 с.

27. Калиткин H.H. Численные методы. М., Наука, 1978. - 512 с.

28. Кловский Д. Д. Теория передачи сигналов. — М.: Связь, 1973.

29. Кормен Т. X., Лейзерсон Ч. И., Ривест Р. Л:, Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ. —М.: Издательский дом «Вильяме», 2005.

30. Куприянов М. С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка-сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. — СПб.: Политехника, 1999.

31. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1978.

32. Лебедев Е. К. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. — Красноярск: КГУ, 1989.

33. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. — М.: Наука, 1966.

34. Малла С.— Вэйвлеты в обработке сигналов. — М.: Мир. — 2005.96

35. Маергойз Л. С., Варава Б. Н. Об одной модификации метода Прони // Сибирский журнал индустриальной математики, 2007, том X, № 2(30).

36. Макконелл Дж. Основы современных алгоритмов. —М.: Техносфера, 2004.

37. Марпл мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1990.

38. Математический энциклопедический словарь. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1995.

39. Никитин Д.А. Алгоритм сжатия медиаданных / Д.А. Никитин // X Междунар. науч. конф. с междунар. участием «Решетневские чтения» / СибГАУ. — Красноярск, 2006. — С. 313-314.

40. Никитин Д.А. Об одной численной методике упрощения алгебраических выражений / Д.А. Никитин // Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики: Материалы междунар. научной конф. (24-26 июня 2010 г.) Караганда: 2010. - С. 150-153.

41. Никитин Д.А. Приложения алгоритма синтеза рекурсивных цифровых фильтров по импульсной характеристике / Д.А. Никитин // Цифровая обработка сигналов. — 2009, №4. — С. 8-15.

42. Никитин Д.А. Программа поиска функциональных зависимостей в числовых последовательностях «EunSearch 1.0» — М.: ВНТИЦ, 2007. — № 50200700388, per. № ОФА1Г7729.

43. Никитин*Д?.А. Программные способы оптимизации алгоритмов, цифровой обработки сигналов / Д.А. Никитин // Схемотехника, 2006, №2 — С. 27-30, № 3 — С. 24-27.

44. Никитин Д.А. Сжатие временных рядов с использованием блочной интерполяции / Д.А. Никитин // Информационные технологии моделирования и управления. Науч.-технич. журнал. — Воронеж: Научная книга, 2007. — Вып. 1 (35). — С. 85-89.

45. Никитин Д.А. Сжатие с использованием поиска функциональных зависимостей / Д.А. Никитин // Конференция-конкурс «Технологии Microsoft в теории и практике программирования» / НГУ. — Новосибирск, 2007. — С. 133-135.

46. Никитин Д.А:, Ханов В.Х. Синтез рекурсивных цифровых фильтров по импульсной-характеристике, определяемой элементарной математической функцией /Д.А. Никитин // Цифровая-обработка сигналов; — Москва, 2008, №3. — С. 10-14.

47. Носов В. А. Основы теории алгоритмов и анализа их сложности: курс лекций. М. 1992: .■■■''. .

48. Пётрусев;А;С. Разностные схемы и,их анализ. МФТИ, 2004. - 89 с.,

49. Политехническийсл0варь / Редкол.:;Ишлинский А. Ю: (гл. ред.) и др. .—3"-е изд., перерабги-доп.—- Mi: БолынаяРоссийскаягэнциклопедия;2000: — ISBM5-85270-264-L.

50. Прохоров С. А., ЕрафкишВ: B'i. Анализ погрешности-аппроксимации; структурных функций ортогональными функциями экспоненциального типа // Вестник.СамГТУ, серия-физ.-мат. науки, 2007, №1(4); с. 188

51. Рабинер Л1 Р., Тоулд Б: Теория и применение:цифровой обработки сигналов. — Mi r Мир, 1978.

52. Самарекий A.A. Введение в теорию разностных схем: М.: Наука, 1971, - 553 с.

53. Самарский A.A., Г'улин A.B. Численные методы. М;: Наука; 1989, -432 с. .

54. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2003.

55. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том 1. — М-;: Физматлит, 1958.

56. Солонина А. И., Улахович Д. А-., Яковлев Л. А. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002'.

57. Трауб Дж., Васильковский F., Вожьняковский X. Информация, неопределённость, сложность. — М.: Мир, 1988.

58. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: Наука, 1979:98

59. Успенский В. А., Семёнов A. JI. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

60. Фаддеев М.А. Марков К.А. Численные методы (учебное пособие). -ННГУ, 2010. 158 с.

61. Формалёв В. Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

62. Ханов В.Х., Никитин Д.А. Алгоритм анализа числовых последовательностей // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. — Красноярск, 2006. —№ 6 (13). —С. 11-15.

63. Хашин С. И. Интерполяционный метод сжатия графики // Вестн. Иван, гос. ун-та. 2002. Вып. 3. — С. 140-143.

64. Хашин С. И. Семнадцатиточечная интерполяционная формула от 2 переменных // Вестн. Иван. гос. ун-та. 2003. Вып. 3. — С. 133-137.

65. Хэмминг Р.'В. Теория кодирования и теория информации. — М.: Радио и связь, 1983.

66. ХэммингР. В. Цифровые фильтры. —М. Сов. Радио, 1980.

67. Шахтарин Б. И. Обнаружение сигналов. — М.: Гелиос АРВ, 2006.

68. Щипин К. С. Система прогнозирования на основе многокритериального анализа временных рядов. — М. МИСиС, 2004.

69. Jean-Paul Berrut, Richard Baltensperger, Hans D. Mittelmann Recent developments in barycentric rational interpolation // International Series of Numerical Mathematics Vol. 151. — Basel: Birkhauser, 2005. — P:27-51.

70. Daubechies. Ten lectures on wavelets. SPAM, Philadelphia, PA, 1992.

71. Kailath Т., Poor H.V. Detection of stochastic processes // IEEE Trans. 1998. V. IT-44, № 6. P. 2230-2259. Русский перевод в 71.: Кайлат Т., Hyp X. Обнаружение стохастических процессов.

72. David Е. Newland, "Harmonic wavelet analysis," Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), vol. 443, no. 1917, p. 203-225 (8 Oct. 1993).

73. Runge К. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten (нем.) // Zeitschrift für Mathematik und Physik. — 1901. — T. 46. — C. 224—243.

74. Sedgewick, R. Algorithms. —Addison-Wesley Publishing Company Inc., 1983.

75. C. Schneider, W. Werner Some new aspects of rational interpolation // Mathematics of Computation, №47 (175). — 1986. — P. 285-299.

76. WienerN. Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series, with Engineering Applications. New York: Wiley, 1949.