Аттракторы уравнения Гинзбурга-Ландау и его конечномерного аналога тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Куликов, Дмитрий Анатольевич

• Куликов, Дмитрий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Куликов, Дмитрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Исследование билокальпой модели уравнения

Гинзбурга - Ландау (Курамото - Цузуки).

§1.1. Описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений.

§1.2. Простейшие автомодельные циклы.1G

§1.3. Противофазный цикл.

§1.4. Асимметричные циклы.

§1.5. Устойчивость и бифуркации асимметричных циклов.

§1.6. Два особых случая.

§1.7. Периодические решения двух слабосвязанных осцилляторов.

ГЛАВА II. Бифуркация автоволн обобщенного кубического уравнения Шредингера в цилиндрической области.

§2.1. Постановка задачи. Бегущие волны.

§2.2. Нормальная форма в базисном случае.

§2.3. Анализ нормальной формы и основные результаты в базисном случае.

§2.4. Бифуркации бегущих волн в "несимметричиом"случае.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аттракторы уравнения Гинзбурга-Ландау и его конечномерного аналога»

Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач, возникающих при рассмотрении широко известного уравнения Гинзбурга -Ландау, которое часто называют иначе: уравнением Курамото - Цузу-ки. Данное нелинейное уравнение, впервые было получено в работах B.JI. Гинзбурга и Л.Д. Ландау, а также Л.А. Абрикосова (см., например, [39 -- 41]) как одна из математических моделей в теории сверхпроводимости. Это уравнение возникло при моделировании различных физических процессов, возникающих при изучении плазмы, турбулентных режимов в гидродинамике, нелинейной оптике и т.д. (см.,например, [2,21—23,27,29]).

Второй вариант названия (уравнение Курамото - Цузуки) появился после работ японских физиков И. Курамото, Т. Цузуки [42 - 44], которые на физическом уровне строгости получили его при рассмотрении систем химической кинетики с учетом диффузии. Строгий математический вывод этого уравнения возможен при рассмотрении систем уравнений с частными производными типа реакция - диффузия, но лишь в том случае, когда коэффициенты диффузии пропорциональны малому параметру (см.,например, [1], а также библиографию, которая приведена в данной монографии).

Исследованию динамики решений различных краевых задач для уравнения Гинзбурга - Ландау посвящено достаточно большое число работ. Их обзор и библиографию можно найти в монографиях [1,2]. Следует отметить, что во введении и далее используется сокращенное название этого уравнения. Во многих источниках уравнение Гинзбурга - Ландау называют "временно зависимое уравнение Гинзбурга - Ландау"(quintic time -dependent Ginzburg - Landau equation). Далее везде будем пользоваться укороченным вариантом названия этого уравнения, тем более, что оно стало уже общепринятым.

В физических приложениях системы уравнений и, следовательно, уравнение Гинзбурга - Ландау изучаются очень часто сведением задачи к конечномерной с помощью разностных аппроксимаций или галеркинских приближений (см.,например, работы А.В. Гапонова - Грехова, М.И. Га-биновича [45,46] и Т.С. Ахромсевой, Г.Г. Малинецкого [47 - 49]), а также И.А. Магницкого и С.В. Сидорова [59]. Естественно, что выводы после анализа таких конечномерных систем имеют феноменологический характер, тем более, как правило, рассматриваются малоразмерные приближения. Но традиции, физические соображения позволяют считать такой подход достаточно убедительным или, по крайней мере, достаточно при-смлимым.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию би-локальной модели уравнения Гинзбурга - Ландау, если это уравнение рассматривается вместе с краевыми условиями непроницаемости (однородными условиями Неймана) или периодическими краевыми условиями. Это означает, что каждая из краевых задач ди . . . д2и . . |2 , . = (ai + + и + (a3 + га.1)и\и\ (0.1) ди, ди. . =0 (а2) или ч , ,, Зи, ди. u(t,0) = u(t,l), -\х=() = -\х=1 (0.3) заменяется на систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений = dexp(-i<*)Dt + е - (1 + (0-4)

7Г 7Г

Здесь ai,a2,a3,a4,c G Ш, а\ > 0,аз < 0,d > 0, а 6 [——;—],« — u{t,x)

Jj Zi комплекснозначная функция двух переменных t и х £ [0;/] (/ > 0). Наконец, а 2(f) ~ комплекснозначные функции. При этом £1 (t) = u(t,x 1),

2(t) = u(t,x2), a xi,x2 G (0;/). (Более детально см. §1.1.)

Для системы (0.4) в главе I рассматривается круг вопросов связанных с существованием и исследованием устойчивости простейших аттракторов : циклов и двумерных торов. Их существование выявлено аналитическими методами, а при исследовании их характеристик и свойств иногда применялся компьютерный анализ, но он сведен до возможного минимума. В данной диссертационной работе не рассматриваются вопросы связанные с компьютерным анализом системы (0.4) для определения таких характеристик как ляпуновская и фрактальная размерность аттракторов этой системы. Этому вопросу посвящено достаточно большое число исследований (см., например, [7,11,50 - 52,59j и другие). Особо следует отметить работы, посвященные тому же кругу вопросов, но, где конечномерный аналог уравнения Гинзбурга - Ландау выписывался с помощью метода Галеркина [47 - 49,52,59].

Перейдем к более детальному обзору содержания главы I. В §1.1 дано подробное описание рассматриваемого класса дифференциальных уравнений, а также постановка задачи, которая рассматривается в этой главе.

В §1.2 исследован вопрос об устойчивости и локальных бифуркациях простейшего автомодельного цикла, т.е. периодического решения уравнения (0.4) вида f = ф ехр(—гс£).

Этот цикл принято называть однородным [1,2,7], синхронным ([3 - 6]). В дайной работе этот цикл будем называть циклом Андронова - Хопфа. В этом параграфе показано, что вопрос об устойчивости этого решения сводится к проверке неравенств. Пусть коэффициенты си и с таковы, что d\ = csina;—cosa > 0. Тогда при d > d\ этот цикл орбитально асимптотически устойчив и он неустойчив при d < d\. В случае, когда оказывается, что величина d\ < 0, то цикл Андронова - Хопфа устойчив ири любом выборе параметров задачи. Впрочем этот результат хорошо известен (см., например, [1,7]) и он приведен для полноты изложения. Можно назвать и другие работы, где этот факт упоминается. Недавно появилась статья [60], где этот результат отмечался еще раз. Основной результат этого параграфа относится к задаче о локальных бифуркациях от данного цикла. Положим d =■ d\ — е, где е - малый параметр. Используя широко известную технику построения нормальных форм в сочетании с приемами, использующими специфику уравнения (0.4), показано, что вопрос о бифуркациях от цикла Андронова - Хопфа сводится к нахождению состояний равновесия скалярного уравнения р = еХр + Ьр\ (0.5) где р = p(t) 6 К, х, b - действительные постоянные. При исследовании уравнения (0.5) центральную роль играет величина Ъ (в первую очередь знак этого коэффициента). В §1.2 приведена формула, выражающая Ь через оставшиеся свободными параметры задачи, т.е. b = b(a,c). Ввиду громоздкости этих формул приведены рисунки, дающие разбиения области параметров (а, с) на области сохранения знака b = b(a,c). Учитывая, что в нашем случае х > 0, в силу способа выбора бифуркационного параметра е попятно, что уравнение (0.5) может иметь два нетривиальных состояния равновесия, если 6 и £ имеют разные знаки. Каждому состоянию равновесия соответствует цикл исходного уравнения (0.4). Точная формулировка результата содержится в теореме 1.1.

В §1.3 рассматривается аналогичный круг вопросов для цикла, который естественно называть противофазным:

Z = pa ехР(icrat), где pl= 1 — 2d cos a, a cra = 2d sin а + 2cd cos а —с. Этот цикл существует

7 1 , . . 7Г. 1 при а <-(а Ф ±—). Он устойчив при а < --и неустойчив при cos а 2 4 cos а d > --. Как и в предыдущем параграфе вопрос об устойчивости и

4 cos а бифуркациях от этого цикла сводится к исследованию тех же вопросов, но нулевого решения вспомогательного уравнения в С2. При этом показано, что если d\ > 0, то потеря устойчивости может происходить лишь колебательным образом. Следовательно, вопрос о бифуркациях от этого цикла сводится к вопросу о бифуркациях от нулевого состояния равновесия в случае близком к критическому пары чисто мнимых собственных значений, т.е. в итоге к применению классической теоремы Андропова -Хопфа. Для исходной системы (0.4) это означает, что от противофазного цикла бифурцирует двумерный инвариантный тор. В диссертационной работе (§1.3) приведены рисунки областей сохранения знака ляпуновской величины в плоскости параметров (а, с), которая и в теореме Андронова - Хопфа и, естественно, здесь играет центральную роль. Явная аналитическая формула для ляпуновской величины в тексте §1.3 не приводится в виду ее громоздкости. По этой же причине затруднен анализ ее знаков. Выводы и рисунки сделаны с помощью численного анализа соответствующей формулы. В приложении 1 приведена программа па языке Pascal в среде Delphi 5.0, вычисляющая эту величину в зависимости от выбора параметров а и с. Тело программы содержит явный вид самой формулы для ляпуновской величины.

Центральную роль в главе I играет §1.4. В нем рассмотрен вопрос о существовании иных, отличных от цикла Андронова - Хопфа и противофазного цикла, автомодельных периодических решений. Напомним, что автомодельными периодическими решениями здесь и ниже называются решения, которые нредставимы в виде = r)Qxp{iat), Tie С2. (0.6)

При 771 = г}2 получаем цикл Андронова - Хопфа. При щ = —щ - понятно противофазный. В §1.4 рассматривается вопрос о существовании решений (0.6), для которых

Ы Ф М

Такие циклы принято в физике называть асимметричными [3 - 6,54]. Первая попытка найти решения такого вида была предпринята в фундаментальной работе [4]. Там была отмечена важность этой задачи и предложен вариант ее решения в частном случае, когда а = 0. При этом окончательный ответ следует из анализа трапцендентного уравнения, которое весьма сложно для исследования. В диссертационной работе (см. §1.4) эта задача решена при всех возможных а и вопрос о существовании асимметричных решений сведен к анализу квадратного уравнения. Последнее обстоятельство делает возможным по крайней мере точно ответить на вопрос о количестве автомодельных периодических решений. При этом все параметры таких решений достаточно легко восстанавливаются по формулам из §1.4.

В конце данного параграфа указана связь между асимметричными решениями и теми периодическими решениями, которые бифурцируют из однородного цикла (см. §1.2).

В §1.5 сначала исследуются асимметричные решения на устойчивость. Используя нелинейные замены, вопрос об их устойчивости, как и обычно, удается свести к вопросу об устойчивости состояний равновесия вспомогательной системы из трех действительных уравнений. В свою очередь, при анализе устойчивости этих состояний равновесия на основе критерия Рауса - Гурвица (см. приложение 2) с использованием компьютерной программы на языке Pascal в среде Delphi 5.0 удалось показать существование такой постоянной d3 = ds(a, с) > 0, что при d > d^ эти циклы устойчивы. При d < d% они становятся неустойчивыми и потеря их устойчивости происходит колебательным образом. Последнее означает, что при d = g?3 спектру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия принадлежит пара собственных значений ±г> (и = > 0), а третье собственное число отрицательно. Отметим дополнительно, что компьютерный анализ из приложения 2 сводится к проверке четырех громоздких неравенств. Последнее обстоятельство, к сожалению, не дало возможности сделать этот анализ традиционным аналитическим способом. Результаты вычислений проиллюстрированы таблицами.

Пусть теперь d = — s, где е - малый параметр. Понятно, что вопрос о бифуркациях от асимметричных решений сводится к вопросу о бифуркациях от соответствующего состояния равновесия в случае, когда применима классическая теорема Андронова - Хонфа и ответ зависит от коэффициентов (главную роль при формулировке ответа играет их знак) нормальной формы. Для этих коэффициентов нормальной формы получены рекуррентные формулы, которые приведены в теле программы из приложения 2. Результаты вычислений приведены в виде рисунков, где, как и ранее, при исследовании аналогичных вопросов, дано разбиение плоскости параметров (а, с) на области сохранения знаков соответствующей ляпуновской величины. Все это вместе (замены и анализ вспомогательной системы) означает, что от асимметричных циклов бифурцируют двумерные инвариантные торы, устойчивые или дихотомичные, в зависимости от выбора параметров а, с и е.

Следующий параграф, т.е. §1.0, посвящен анализу двух частных, а

7Г можно сказать и особых случая, когда а = — и а = 0. 2

7Г

Пусть а = —. Этот случай часто называют волновым, так как уравнение (0.4) имеет такой вид, если уравнение (0.1) рассматривается при а\ = 0. Т.е. уравнение (0.4) является билокальпой моделью обобщенного нелинейного уравнения Шредингера. В свою очередь, нелинейное уравнение Шредингера служит квазинормальной формой при исследовании ряда краевых задач для нелинейного волнового уравнения [24,25]. Рассмотрение этого частного случая во многом повторяет построения ранее рассмотренных вариантов выбора а. Вместе с тем имеются и отличия, и упрощения. Именно на отличиях и делается акцент при разборе этого i частного случая (а = —).

В значительной мере, только что сделанные замечания, относятся и к другому особому частному случаю (а = 0). Именно анализу этого случая в значительной мере и посвящена работа [4]. Сразу отметим, что при а = 0 все асимметричные циклы заведомо неустойчивы, что означает их физическую нереализуемость. Видимо поэтому авторы работы [4] не придали большого значения наличию асимметричных циклов. Возвращаясь к общему случаю (т.е. а ф 0) можно заметить, что вывод о неустойчивости асимметричных циклов не является обязательным и возможны наоборот варианты выбора параметров задачи, когда они устойчивы (см. §1.6).

7Г

Возвратимся к особому случаю, когда а = —. Оп более содержателен.

В §1.6 приведен рисунок, где плоскость параметров (с, d) разбита на области, где асимметричных цикла два (d2 < с2) и соответственно четыре, или они вообще отсутствуют.

Детально рассмотрен лишь случай d2 < с2 и с > 0. При таком выборе параметров, показано, что существует такая положительная постоянная с?з(с) < с, что при d (Е (dz(c),c) оба асимметричных цикла устойчивы, а при d G (0;</з(с)) они оба неустойчивы. Потеря устойчивости происходит колебательным образом и при d < d$(c) (|d — d^(c)\ « 1) от каждого асимметричного цикла бифурцирует двумерный асимптотически устойчивый инвариантный тор. Точные формулировки соответствующих утверждений приведены в теореме 1.6.

Особое место в главе I занимает последний ее параграф. В §1.7 рассмотрена задача о динамике двух слабосвязапных идентичных осцилляторов Ван дер Поля - Дуффинга. Эта задача достаточно хорошо известна и рассматривалась в различных постановках. Например, когда рассматривались два слабосвязанных и близких к идентичным осциллятора. Различные постановки задачи можно найти в работах [3 - 6,21,28]. Тот вариант постановки, который будет рассмотрен в этом параграфе часто (см. [3 - 6]) называют симметричным. При этом следуя работам [3 - 6,54] будем предполагать наличие как диссипативной (диффузионной), так и инерционной связей. То что связь слабая проявляется в том, что ряд коэффициентов пропорционален малому параметру е. В §1.7 рассматривается следующая система: х\ — 2ех\ + х\ + х\х\ + bx\ + £7(2:1 - £2) + £(3{ii — £2) = О,

0.7)

Х2 - 2ех2 + х2 + х\х2 + Ьх\ + £7(22 - х\) + е(3(х2 - £1) = 0.

Здесь 6,7 - произвольные действительные постоянные, (3 > 0, £ 6 (0;ео)> а £о - достаточно малая положительная постоянная. При 7 = 0 = 0 система (0.7) представляет собой два идентичных генератора Ван дер Поля -Дуффинга, каждый из которых генерирует устойчивый цикл с амплитудой пропорциональной y/s (см.,например, [55,58]). Симметричность здесь проявляется в том, что замены х\ Х2, £2 —> х\ не меняют систему.

Применяя метод нормальных форм, исследование структуры нулевого решения сводится к исследованию системы (0.4). Поэтому все грубые аттракторы, отмеченные у (0.4), имеют аналоги и у системы (0.7). Точные формулировки соответствующих утверждений можно найти в тексте §1.7. В частности, утверждения о наличие однородного, противофазного и асимметричных циклов. Попятно, что рассмотрен вопрос о бифуркациях от этих циклов. От противофазного и асимметричных циклов бифурци-руют, как правило, двумерные инвариантные торы. Отметим, что в иной постановке задача рассматривалась в работе [56].

Перейдем к содержанию главы II. В этой главе рассмотрено обобщенное кубическое уравнение Шредингера ut = и- (I + ic)u\u\2 - id/\u. (0.8)

Здесь с, d Е Ж (d > 0), и = u(t,x,z) - комплекснозначная функция переменных t,x,z. Уравнение (0.8) является частным случаем уравнения (0.1), если в уравнении положить aj = 0. Это уравнение возникает во многих физических приложениях (см.,например, [21 - 23,29]). С точки зрения приложений это уравнение Гинзбурга - Ландау, в котором учтена дифракция, но отсутствует диффузионный член. Такая ситуация типична для лазерных резонаторов и других нелинейных оптических сред, поскольку световые лучи обладают поперечной дифракцией, но не диффузией. Само же уравнение описывает в этом случае пространственную эволюцию электромагнитного пакета в указанных средах.

В диссертационной работе рассматривается тот случай, когда пространственные переменные (х, z) принадлежат цилиндрической области, т.е. х G [0; 2n]mod(27r), z G [0;/]. При этом уравнение (0.8) рассматривается вместе с краевыми условиями u(t,x + 2тс, z) = u(t,x,z), (0.9)

Uz\z=Q = Uz\z=l = 0. (0.10)

Данная краевая задача ранее не рассматривалась. Уравнение (0.8), безусловно, уже изучалось в других областях и с другими краевыми условиями. Достаточно подробный обзор этих работ и библиографию можно найти в монографиях [1,10,10,25], а также работах [24,34,37,38,01].

7xz

Замена z\ — — сводит краевую задачу (0.8), (0.9), (0.10) к вспомогательной задаче ut = и — (1 + ic)u\u\2 — idLu, (0-И) u(t,x+ 2ж, z) = u(t,x, z), (0-12)

Uz\z=0 = Uz\z=i: = 0. (0.13) Здесь индекс "l"y переменной z опускаем,

Lu = — + ' 0 < ж < 27г(то<Й7г), 0 < z <тг.

В диссертационной работе рассматривалась задача (0.11), (0.12), (0.13), что немного удобнее с технической точки зрения. Эта краевая задача имеет решения в виде плоских периодических воли: un(t, х, z) = exp{iant + inx), где n€Z (множеству целых чисел), crn = dn2 — с.

Во второй части §2.1 рассмотрен вопрос об их устойчивости в норме фазового пространства решений краевой задачи (0.11), (0.12), (0.13).

При этом на основе принципа самоподобия [33 - 34] и связанных с ним замен задача сводится к исследованию устойчивости нулевого решения вспомогательной краевой задачи

Wt = -idLw - (1 + ic)(w + w) — (1 + ic) (2ww + w2 -f w2w), где комплекснозначная функция w(t, х, z) удовлетворяет тем же краевым условиям, что и функция u(t,x,z).

Достаточно стандартный анализ вспомогательной краевой задачи показал, что при с > - min(l, ад) ее нуле!юе решение теряет устойчивость (как, естественно, и решение un(t,x,z) исходной краевой задачи).

При с = -min(l,ao) реализуется критический случай в задаче об 2 устойчивости пулевого решения вспомогательной краевой задачи. Отметим, что при ao = 1 спектру устойчивости этой задачи принадлежит нулевое собственное значение кратности четыре, которому отвечают четыре линейно независимых собственных функции.

Далее в работе рассматривался именно этот случай: ад = 1, а также случай, когда ao ~ 1- Первый из них (базисный) рассмотрен в §2.2 и §2.3. Изучение второго, когда |ао — 1| << 1, во многом повторяют построения применяемые при изучении базисного случая, хотя результаты, естественно, несколько разнятся.

В §2.2, §2.3 на основе применения принципа самоподобия и метода нормальных форм при d = 2с — е построена система двух обыкновенных дифференциальных (амплитудных) уравнений, динамика которых в грубых случаях индуцирует динамику исходной краевой задачи. После перенормировок она приобретает вид

Pi = Р 1 ~ PifaiPi + bito),

0.14) р'2 = Р2 - P2{bm + aip2), где pi — р\{т) > 0, р2 = Р2{т) >0, т - медленное время, а штрихом обозначена производная по т. Наконец,

30с1 - 9с2 +1 2 2 ai =--, bi = 4с2 1 - с2). о

Понятно, что а\ > 0, а\ + Ъ\ >0 при всех рассматриваемых значениях коэффициента с.

Система (0.14) имеет три нетривиальных состояния равновесия: 1

Е\: р\ = —, р2 = 0; Е2: р\ = 0, р2 = —; ai а\

Еъ ■ Pi = Р2 = ——г CL\ + Ь\ т / 9 / 33±v^73,

Состояние равновесия Ез изолировано, если а\ ф b 1 (с ф -—-).

108

Именно этот случай рассматривается в работе. При этом состояния равновесия Е\,Е2 асимптотически устойчивы, если выполнено неравенство а\ < Ъх (0.15) и неустойчивы, если ai > h. (0.16)

Состояние равновесия асимп тотически устойчиво, если выполнено неравенство (0.16) и неустойчиво при выполнении неравенства (0.15). Напомним, что d > 0, а следовательно, в критическом случае и с > 0. Откуда элементарно проверяется, что неравенство (0.15) выполнено, если с € (ci;c2), а неравенство (0.16) выполнено, если с G (0; ci) U (с2;оо),

33-у/т 33 +л/Ш где С\ = \ ---и 0.179, с2 = \ ---« 0.761.

V 108 ' V 108

В заключительной части §2.3 показано, что состоянию равновесия Е2 соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия соответствует уже счетное число двумерных инвариантных торов исходной краевой задачи. Построенные циклы и торы наследуют устойчивость (неустойчивость) соответствующих состояний равновесия. Развернутые, математически более строгие утверждения сформулированы в виде теорем 2.2 - 2.4 и следствий из них.

Последний параграф посвящен тому случаю, когда \clq — 1| << 1. В §2.4 исходная краевая задача рассматривается, когда fitg = 1 — re, d = 2с — 5.

Построения, в которых основные моменты повторяют построения двух предыдущих параграфов, приводят как и там, задачу о бифуркации плоских воли к исследованию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, подобной системе (0.14),

Pi = Pi- Pi{aiPi + bip2),

0.17)

Р2 = др2 - Р2(Ь\Р1 + aip2), где д = 1 + 2сг. При I = 7г (ао = 1) получаем, что д = 1 (г = 0).

Эта система может иметь нетривиальные состояния равновесия трех типов

Е\д : pi = —, Р2 = 0; Е2д : р\ = 0, р2 = —, если р > 0; а\ ai ai - big а\д -Ь\ a\- hg aig-bi

Ец • pl = —-7T, p2 = —о-ССЛИ -— > 0, -— > 0. a\ — b\ a{ — of a i — b\ a\ — b\

В §2.4 выведены условия их устойчивости и показано, что состоянию равновесия Е2д соответствует счетное число циклов, а состояниям равновесия Eig, Е?,д - двумерные инвариантные торы. Как и раньше в §2.3 свойства устойчивости наследуются.

Наконец, диссертация содержит два приложения. Каждое из них содержит компьютерную программу на языке Pascal в среде Delphi 5.0 [57]. Первое из них относится к §1.3 и программа предназначена для вычисления ляпуповских величин для нормальной формы при исследовании бифуркационной задачи этого параграфа. В §1.3 не приводится явный вид формул для подсчета этих величин, так как они слишком громоздки и вдобавок не поддаются аналитическому исследованию даже на знак. Это сделано численно, в циклах по а и с. Сами формулы в виду громоздкости записаны рекуррентно и имеются в теле программы. Здесь автор следует традиции вычислений ляпуновской величины (см. приложение 5, стр. 346 - 349 из монографии [14]).

В приложении 2 приведена программа для численного анализа условий устойчивости асимметричных циклов, а также подсчета и, в частности, определения ляпуповских величин. Схематически структура этого приложения примерно такая же как и приложения 1.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре для аспирантов на кафедре математического моделирования; па Всероссийской конференции посвященной 200 - летию образования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (2003 г.); на международной конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы"(Н. - Новгород, 2006 г.); на Всероссийской конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения", посвященная 100 -летию со дня рождения заслуженного деятеля науки РСФСР, профессора И.П.Макарова (Рязань, 2006 г.).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах [62 - 69].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору А.Ю. Колесову за руководство работой и помощь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Куликов, Дмитрий Анатольевич, 2006 год

1. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. - М.: Физ-матлит, 2005. - 432 с.

2. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 33G с.

3. Пиковский А., Розенблюм М.; Куртц Ю. Синхронизация. Фундаментальное явление. М.: Техносфера, 2003. - 431 с.

4. Aronson D.G.,Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude Response of Coupled Oscillators // Phisika D. 1990. - Vol. 41. - P. 403 - 449.

5. Poliashenko M., McKay S.R., Smith C.W. Hysteresis of syncronous -asynchronous regimes in a system of two coupled oscillators // Phys.Rev. A. 1991. - Vol. 49. - P.5G38 - 5641.

6. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух слабосвязанных осцилляторов Ban дер Поля Дуффинга с диссипативпой связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т. 11, М. - С.48 - 63.

7. Глызин С.Д. Динамические свойства простейших конечноразност-ных аппроксимаций краевой задачи "реакция диффузия"// Дифферент уравн. - 1997. - Т. 33, №6. - С. 805 - 811.

8. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука, 1967. 472 с.

9. Колесов А.Ю., Куликов А.Н. Инвариантные торы нелинейных эволюционных уравнений / Учебное пособие. Ярославль: Изд. - во Ярославского гос. уп - та, 2003. - 107 с.

10. Колесов АЛО., Розов Н.Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. 408 с.

11. Kolesov Yu. S, Smirnov A.V. A simple explanation of one of two basic problems of theoretical ecology // Fuctional differentional equations. -1997. V. 4, № - 4. - P. 271 - 278.

12. Куликов Д.А. Десипхронизация однородного цикла разностной модели динамики изменения численности вида за счет миграционного фактора // Современные проблемы математики и информати-ки.Ярославль. 2004. - В. б. - С. 31 - 38.

13. Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - 368 с.

14. Гукенхеймер Дж., Холмс. Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных нолей. Москва Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 5G0 с.

15. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колосов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. 336 с.

16. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959. 915 с.

17. Баутин Н.Н. О рождении предельного цикла из состояния равновесия // ЖЭТФ. 1938. - Т. 8. - В. 6.

18. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

19. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

20. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 496 с.

21. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио, 1997. 368 с.

22. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1997. 624 с.

23. Колесов АЛО., Колесов Ю.С. Бифуркация автоколебаний сингулярно возмущенного волнового уравнения // ДАН СССР. 1990. - Т. 313, М. - С. 281 - 283.

24. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений //Тр.МИАН им. В.А. Стеклова. 1998. - Т. 222. - 192 с.

25. Olemskoi A.I., Koplyk I.V. Theory of time spatial evolution of a nonequilibrium thermodynamics system // Phys - Uspekhi. - 1995. -V. 10. - P. 1061 - 1097.

26. Haken H. Synergetics. Berlin: Springer Verlag, 1978.

27. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

28. Scheuer J., Малотес1 В.А. Stable and chaotic solutions of the Ginzburg- Landau equation with periodic bondary conditions // Physika D. -2002. V.161. - P. 102-115.

29. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

30. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения // Тр. ММО. 1970. - Т. 23. - С. 37 - 59.

31. Калмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. 496 с.

32. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. // ТМФ. 2003. - Т. 143. - №3. - С. 353- 373.

33. Колесов А.10., Куликов А.Н., Розов Н.Х. Цилиндрические бегущие волны обобщенного кубического уравнения Шредингера // Доклады РАН. 2006. - В. 73. - М. - С. 125 - 129.

34. Колесов А.Ю. Структура окрестности однородного цикла в среде с диффузией // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1989. - Т. 53. - М. - С. 345 - 346.

35. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Установившиеся режимы уравнения Хатчинсона с малой диффузией // Качественные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1988. - С. 44 - 54.

36. Куликов А.Н. Бифуркация автоколебаний в сингулярно возмущенных периодических краевых задачах // Математика в ЯрГУ: сборник статей к 25 летию математического факультета. Ярославль. -2001. - С. 183 - 193.

37. Куликов А.Н. К вопросу о бифуркации автоколебаний для сингулярно возмущенной нелинейной краевой задачи гиперрболического типа // Известия РАЕН. Дифференц. уравн. Рязань. 2001. - №5.- С. 74 75.

38. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1950. - Т.20. - С. 1064.

39. Абрикосов А.А. // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - С. 1442

40. Одех. Ф. Задача о бифуркации в теории сверхпроводимости // Сб. статей под редакцией Келлера Дж.Б. и Айтмапа С. М.: Мир. 1974.- С. 63 70.

41. Kuramoto Y., Tsuzuki Т. Reductive perturbation approach to chemical instabilities // Progr. Theor. Phys. 1974. - V. 52. - P. 1399 - 1401.

42. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems // Progr. Theor. Phys. - 1975. - V. 54. -P. 687 - 699.

43. Kuramoto Y. Chemical oscillations, waves and turbulence // Berlin. Springer, 1984. 156 p.

44. Талонов Грехов A.B., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелинейные волны. Структуры и бифуркация. М.: Наука. - 1987. - С. 7 - 44.

45. Ахромеева T.C., Малинецкий Г.Г. Двухкомпактные системы в окрестности точки бифуркации. Поведение решений в малых областях // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР. 1983. - №29. 28 с.

46. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. О новых свойствах нелинейных диссипативных систем // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР.- 1983.-№118. 28 с.

47. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. О диффузионном хаосе // Препринт ИПМ им. Келдыша М.В. АН ССР. 1983. - №140. 28 с.

48. Глызин С.Д. Динамические свойства решений одного класса экологических уравнений // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ. мат. наук.Ярославль. - 1990. - 150 с.

49. Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляиунов-ского показателя хаотического аттрактора // Диффереиц. уравн. -2005. Т. 41, №2. - С. 2G8 - 273.

50. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малииецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестациопраные структуры и диффузионный хаос // М.: Наука, 1992. 544 с.

51. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Хаотическая буферность в цепочках связанных осцилляторов // Дифференц. уравн. 2005. -Т. 41, М. - С. 41 - 49.

52. Кузнецов А.П., Паксютов В.И. Особенности устройства пространства параметров двух иеидептичиых связанных осцилляторов Ван дер Поля Дуффинга // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2005. - Т. 13, Ш. - С.З - 19.

53. Малкин И.Г. Некоторые задачи нелинейных колебаний // М.: Гос. из во технической лит - ры, 1956. - 491 с.

54. Колесов Ю.С. Динамические эффекты, возникающие при сильном взаимодействии резонансных автоколебательных систем // Исследование по устойчивости и теории колебаний. Ярославль. 1980. -С. 136 - 142.

55. Бобровский С. Delphi 5.0: Учебный курс //Спб:Питср, 2001. 640 с.

56. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики // М.: Наука, 1981. 500с.

57. Магницкий И.А., Сидоров С.В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад двумерных торов: численный анализ // Диффереиц. уравн. 2005. - Т. 41, №11. - С. 1550 - 1559.

58. Колесов Ю.С, Харьков А.Е. Динамика популяций при их простейшем миграционном воздействии // Доклады РАН. 2006. - Т.409, т. - С. 594 - 597.

59. Колесов Ю.С, Харьков А.Е. Сходство и различия динамики плоских и трехмерных нелинейных волн // Матем.сборник. 2005. - Т.196, №2. С. 57 - 84.

60. Куликов Д. А. Циклы билокальиой модели волнового уравнения: полный анализ // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2001. - В. 4. - С. 93 - 96.

61. Куликов Д.А. Исследование динамики билокальиой модели нелинейных волновых уравнений // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2002. - В. 5. - С. 46 - 52.

62. Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от однородного цикла // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2005. В. 7. - С. 78 - 81.

63. Куликов Д.А. Бифуркация плоских волн обобщенного кубического уравнения Шредиигера в цилиндрической области // Моделирование и анализ информ. систем. Ярославль. 2006. - Т. 13, №1. - С. 20 - 26.

64. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения в задаче о динамике двух слабосвязанных осцилляторов: полный анализ // Вестник Поморского ун та. Серия "Естественные и точные науки" -2006. - т. - С. 152 - 156.

65. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения двухточечной разностной аппроксимации уравнения Гинзбурга Ландау // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Нелинейные волновые процессы."1 - 7 марта 2006. Н. - Новгород. - 2006. - С. 91.

66. Куликов Д.А. Структура окрестности бегущих волн обобщенного кубического уравнения Шредиигера в цилиндрической области // Известия РАЕН.Диффереиц. уравн. Рязань. 2006. - №11. - С. 135 - 137.

67. Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от иих в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. -Т. 14. - №5.- С. 120 - 132.