Атомистическое моделирование для развития теории диффузии нанополостей и газонаполненных нанопузырьков в кристаллических материалах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Антропов Александр Сергеевич

• Антропов Александр Сергеевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Антропов Александр Сергеевич

Введение

Глава 1. Обзор литературы

1.1. Теория диффузии газовых пузырьков в твердых телах

1.1.1. Поверхностная самодиффузия

1.1.2. Свободная энергия дефектов

1.1.3. Континуальная теория диффузии пузырьков

1.1.4. Теория Бира образования террас

1.1.5. Теория Вещунова образования террас

1.1.6. Теория Михлина

1.1.7. Теория Вещунова-Шестака

1.1.8. Давление газа в пузыре

1.2. Эксперименты

1.2.1. Броуновское движение пузырьков

1.2.2. Интегральный выход газа

1.3. Работы по моделированию газовых пузырьков

1.3.1. Атомистические методы

1.3.2. Моделирование интегрального выхода газа

Глава 2. Методы и модели расчета

2.1. Метод молекулярной динамики

2.2. Модели межатомных потенциалов

2.2.1. Уран

2.2.2. Алюминий и гелий

2.2.3. Диоксид урана

2.3. Расчет энергии поверхностных дефектов при нулевой температуре

2.4. Расчет концентрации дефектов при конечной температуре

2.5. Расчет коэффициента поверхностной самодиффузии по определенной поверхности

2.6. Расчет среднего коэффициента поверхностной самодиффузии по поверхности пузырька

2.7. Моделирование свободной диффузии пузырька

2.8. Ускоренный метод расчета коэффициента диффузии полости

2.8.1. Описание метода

2.8.2. Общее обоснование ускоренного метода

2.8.3. Обоснование ускоренного метода в случае поверхностного механизма диффузии

2.8.4. Ускоренный метод в случае механизма образования террас

2.8.5. Схема реализации ускоренного метода

Глава 3. Моделирование диффузии пустых полостей

3.1. Уран

3.1.1. Поверхностные дефекты

3.1.2. Диффузия пузырька

3.1.3. Обсуждение

3.2. Алюминий

3.2.1. Свойства поверхности

3.2.2. Диффузия пузырька

3.2.3. Обсуждение результатов

3.2.4. Дополнения к теории нуклеации террас, сделанные в этой работе

3.3. Выводы по главе

Глава 4. Диффузия газовых пузырьков

4.1. Пузырьки гелия в алюминии

4.1.1. Уравнение состояния газа

4.1.2. Диффузия газонаполненых пузырей

4.1.3. Дефекты на поверхности с газом

4.1.4. Обсуждение результатов: область небольших давлений

4.1.5. Обсуждение результатов: высокие давления

4.1.6. Обсуждение результатов: образование дислокационных петель

4.1.7. Сравнение с экспериментальными данными

4.1.8. Выводы по разделу

4.2. Пузырьки ксенона в диоксиде урана

4.2.1. Результаты моделирования

4.2.2. Обсуждение

4.2.3. Сравнение с экспериментальными данными

4.3. Выводы по главе

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Атомистическое моделирование для развития теории диффузии нанополостей и газонаполненных нанопузырьков в кристаллических материалах»

Введение

Актуальность темы исследования. На сегодняшний день ядерная энергетика, несмотря на ряд вопросов, связанных с безопасностью эксплуатации реакторов, остается одним из перспективных и экологически чистых путей обеспечения достаточной выработки энергии. Важнейшим условием стабильного долгосрочного развития ядерной энергетики является переход к замкнутому топливному циклу и эксплуатации реакторов на быстрых нейтронах. Это позволит существенно расширить топливную базу ядерной энергетики и сократить объемы захораниваемых ядерных отходов. В России активно ведутся разработки технологических решений для реакторов на быстрых нейтронах в рамках проекта "Прорыв". Для обоснования эффективности и безопасности проектируемых реакторных установок чрезвычайно важно иметь теоретические и вычислительные модели, подробно описывающие все физические процессы, происходящие в активной зоне. Подобные модели не менее актуальны и для эксплуатации уже существующих реакторов, так как с их помощью можно моделировать нештатные режимы работы.

В ядерном топливе во время работы реактора происходит множество взаимосвязанных процессов, которые меняют механические и теплофизические свойства топлива. Одним из таких процессов является транспорт газовых продуктов деления, растворенных в матрице, в частности ксенона и гелия. У ядер ксенона маленькая длина свободного пробега, поэтому для ядерного топлива в первую очередь интересен транспорт этого газа. Гелий при этом также попадает и в конструкционные материалы, в первую очередь - в оболочки ТВЭЛов, поэтому в металлах в первую очередь представляет интерес диффузия гелия. Аналогично, транспорт гелия интересен также в конструкционных материалах термоядерных реакторов.

Растворенный в решетке топлива газ может выходить из материала либо образовывать пузырьки. Оба эти процесса дают нежелательные эффекты

при работе реактора. Вышедшие из таблеток газовые продукты деления ухудшают теплопроводность в зазоре между топливом и ТВЭЛом, что приводит к повышению температуры топлива, дальнейшему стимулированию выхода газа и увеличению внутреннего давления, оказываемого на оболочку. Кроме того, топливная таблетка является первым барьером, препятствующим выходу продуктов деления в окружающую среду, и поэтому желательно, чтобы она удерживала как можно больше газа. С другой стороны, рост пузырьков приводит к распуханию и росту пористости топлива, что также негативно сказывается как на теплопроводности топлива, так и на механическом воздействии на оболочку ТВЭЛа. Выход газовых продуктов деления особенно важен для случаев глубокого выгорания топлива, когда накапливается значительное количество газа, а также для режимов работы с кратковременным скачком мощности, когда резко повышаются все кинетические коэффициенты, в том числе и коэффициенты диффузии [1, 2].

Выход газа из материала можно разделить на два процесса: выход на поверхность зерен и движение по межзеренным границам. Границы зерен по структуре и энергетически отличаются от решетки в объеме зерна и могут обеспечивать более быстрые пути диффузии газовых продуктов деления, а также служить областями для гетерогенного зарождения и роста пузырьков [2]. Рост и диффузия пузырьков на поверхности зерен имеют множество особенностей и их изучение - отдельная тема исследований. В данной работе речь пойдет о диффузии пузырьков в объёме зерна.

Моделирование этих процессов реализовано в ряде топливных кодов, например МРРЯ [3, 4], который был разработан в ИБРАЭ РАН. Модели кода включают в себя набор кинетических коэффициентов для каждого из указанных процессов. При этом существует чрезвычайно мало экспериментальных данных о кинетике рассматриваемых процессов в силу экстремальных условий, при которых они протекают в реакторе. Это особенно касается новых видов топлива для реакторов на быстрых нейтронах.

Диффузия точечных дефектов и одиночных атомов газа достаточно хорошо изучена и ее теоретические принципы позволяют предсказывать коэффициенты диффузии из результатов высокоточных расчетов из первых принципов [5]. Наибольшую же сложность представляет получение коэффициентов диффузии газовых пузырьков. При этом для полного описания транспорта газа необходима модель, применимая для пузырей со сколь угодно малыми размерами вплоть до нескольких межатомных расстояний. На этом масштабе перестают работать простые континуальные модели, применимые для микропор.

С другой стороны, современные методы многомасштабного атомистического моделирования являются перспективным инструментом для определения кинетических коэффициентов в кодах. Используя многомасштабные подходы в перспективе можно определять параметры кинетических моделей из перво-принципных расчетов.

Степень разработанности темы исследования.

Экспериментально газовые пузырьки в твердых телах изучаются различными методами. Существует множество работ по их непосредственному наблюдению в металлических фольгах с помощью электронного микроскопа. Методами спектроскопии изучается уравнение состояния газа в нанопузырьках. Также существует целый рад исследований интегрального выхода газа из облученного материала (Fission Gas Release, FGR) в процессе отжига. Такие работы в основном проводятся с диоксидом урана, как самым распространенным ядерным топливом.

Диффузия газовых пузырьков в твердых телах рассматривается во многих теоретических работах, начиная с середины прошлого века и заканчивая последними годами. Континуальная теория диффузии пузырьков в твердых телах подробно описана во многих источниках [6]. Однако газ в пузырьках может находиться под большим давлением. В связи с этим в серии работ Михлина было показано, что пересжатый газ должен существенно подавляет скорость диффузии. Эта идея получила развитие в работе Вещунова-Шестака, в которой

рассматривается влияние давления газа на кинетику процессов на поверхности и усовершенствовал представления Михлина.

Другим ответвлением от континуальной теории диффузии стала теория диффузии фасеточных пузырьков. Биром были заложены основные идеи, объясняющие механизм диффузии пузырька путем нуклеации террас на гранях. В 2021 году вышла работа Вещунова, в которой теория Вира дополняется, принимая во внимание более точные выкладки из теории критических зародышей Лифшеца-Слёзова.

В последние два десятилетия появилось множество работ по численному моделированию пузырьков в твердых телах на разных масштабах. Квантовыми методами изучаются равновесные свойства точечных дефектов и небольших кластеров вакансий с газом. Методами МД изучаются термодинамические равновесные свойства нанопузырьков, моделируется кинетика дефектов. Существуют работы, в которых реализованы континуальные модели, описывающие эволюцию целой популяции газовых пузырьков. Методами фазового-поля (Phase-Field) моделируется миграция и коалесценция пузырьков, а также созревание Оствальда.

Цели и задачи диссертационной работы.

1. Разработка методов МД моделирования, позволяющих рассчитывать коэффициент диффузии газового пузырька в материале, а также термодинамические и кинетические свойства точечных дефектов, от которых зависит коэффициент диффузии.

2. Расчет коэффициентов диффузии нанопузырьков гелия в алюминии и ксенона в диоксиде урана и сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

3. Верификация и, при необходимости, модификация существующих теорий диффузии газовых пузырьков в соответствии с результатами атомистического моделирования.

Научная новизна.

1. Разработан оригинальный МД метод расчета коэффициента диффузии полости в кристаллической решетке через неравновесное моделирование ее дрейфа под действием силы, приложенной к атомам решетки, аналогов которого нет в литературе.

2. Впервые проведены МД расчеты длительностью до нескольких микросекунд, которые позволили рассчитать коэффициенты диффузии нанопузызьков радиусом 9-26 А в различных материалах.

3. Впервые методами численного моделирования количественно изучается механизм нуклеации террас на гранях и его влияние на кинетику поверхностных процессов в пузырьке.

4. В работе предлагаются дополнения к существующей теории нуклеации террас на гранях пузырька, которые позволяют улучшить предсказательные свойства этих теорий по отношению к результатам моделирования.

5. Обнаруженные в работе механизмы образования поверхностных междо-узельных атомов и дислокационных петель вокруг пузырька дают возможность объяснить существенное расхождение между экспериментальными данными и предсказаниями существующих теорий.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии теории и методов моделирования диффузии газовых пузырьков.

Практическая значимость работы заключается в возможности использования как отдельных количественных данных, так и численных моделей из данной работы в топливных кодах или более высокоуровневых континуальных моделях.

Положения, выносимые на защиту.

1. Теоретически обоснован и реализован метод расчета коэффициента диффузии пузырьков в кристаллической решетке путем неравновесного МД моделирования, который может давать ускорение в десятки раз по сравнению с моделированием свободной диффузии.

2. Механизм нуклеации террас определяет энергию активации диффузии пустых нанопузырьков в ОЦК уране и ГЦК алюминии. Энергия активации соответствует энергии образования диаметральной ступени на одной грани. Образование террасы только на одной грани возможно за счет наличия поверхностей - стоков дефектов в пузырьке.

3. Коэффициент поверхностной самодиффузии экспоненциально зависит от давления газа и показатель экспоненты определяется через дополнительный объем образования и миграции ад атомов. Коэффициент диффузии пузырька также экспоненциально зависит от давления газа при малых давлениях.

4. При больших давлениях газа пузырьки растут, испуская междоузельные атомы, которые в алюминии и диоксиде урана остаются вблизи поверхности пузырька. В небольшом количестве они ускоряют диффузию пузырька. В большом количестве они могут образовывать дислокационные петли, значительно тормозящие пузырек.

Методология и методы исследования. Классические молекулярно-динамические расчеты, расчеты из первых принципов в рамках теории функционала плотности (DFT), создание новых моделей взаимодействия, анализ результатов в контексте существующих теоретических представлений, внесение изменений в существующие теории.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность полученных коэффициентов диффузии пузырька подтверждается согласием неравновесного и равновесного методов расчета. Достоверность предлагаемых дополнений к теории определяется тем, что с одной стороны эти дополнения соответствуют механизмам, непосредственно наблюдаемым в МД траекториях, а с другой стороны они улучшают численное согласие теорий с моделированием и экспериментом.

Апробация результатов проводилась на 17 конференциях: "Interaction of Intense Energy Fluxes with Matter" (Россия, Эльбрус, 2019,2021); "International Conference on Equations of State for Matter" (Россия, Эльбрус, 2018,2020,2022);

и

"Diffusion Fundamentals VIII" (Германия, Эрланген, 2019); "NuMat2020: The Nuclear Materials" (Бельгия, Онлайн, 2020); "Теплофизика реакторов нового поколения" (Россия, Обнинск, 2020); IX научный семинар "Моделирование технологий ядерного топливного цикла" (Россия, Снежинск, 2020); Конференция молодых специалистов, ученых и аспирантов по физике ядерных реакторов «Волга-2018» (Россия, Тверь, 2018); XX Всероссийская школа-конференция "Проблемы физики твердого тела и высоких давлений" (Россия, Сочи, 2021); Всероссийская научная конференция МФТИ (Россия, Долгопрудный, 2016, 2018, 2019, 2020, 2021); VI Международная конференция «ЛаПлаз — 2020» (Россия, Москва, 2020).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 8 статей в рецензируемых журналах:

1. Antropov A. S., Stegailov V. V. "Helium bubbles diffusion in aluminum: influence of gas pressure."Journal of Nuclear Materials (2023): 154123.

2. Antropov A. S., Stegailov V. V. "Ultrafast diffusion of overpressurized gas filled nanobubbles in U02". Journal of Nuclear Materials 551 (2021): 152942.

3. Antropov A. S., Stegailov V. V. "Nanobubbles diffusion in bcc uranium: Theory and atomistic modelling". Journal of Nuclear Materials 533 (2020): 152110.

4. Антропов А. С. "Диффузия нанопузырей в ГЦК алюминии". Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики 112 (2020): 325-331

5. Антропов А. С., Озрин В. Д., Стегайлов В. В., Тарасов В. И. "Связь поверхностной самодиффузии и подвижности пузырей в твердом теле: теория и атомистическое моделирование". Журнал экспериментальной и теоретической физики 156 (2019): 125-134

6. Antropov A. S., Ozrin V. D., Smirnov G. S., Stegailov V. V., Tarasov V. I. "Bubbles in 7-uranium: atomistic simulation of surface self-diffusion". Journal of Physics: Conference Series 1133 (2018): 012029.

7. Antropov A. S., Fidanyan K. S., Stegailov V. V. "Phonon density of states for solid uranium: accuracy of the embedded atom model classical interatomic potential". Journal of Physics: Conference Series 946 (2018): 012094.

8. Антропов A.C., Фиданян К.С., Стегайлов В.В. "Анализ колебаний решетки в моделях кристаллического а- и 7-урана" // Вопросы атомной науки и техники. Сер. материаловедение и новые материалы. 2018. вып. 2(93). с. 23-37.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. Постановка задач, вошедших в диссертационную работу, выполнена под руководством В.В. Стегайлова. Выводы и положения, выносимые на защиту, сформулированы лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав (первая - обзор литературы, вторая - методы и модели расчета, третья и четвертая - результаты и выводы работы), списка обозначений заключения и библиографии. Общий объем диссертации 126 страниц включая 36 рисунков. Библиография включает 99 наименований.

13

Глава 1 Обзор литературы

1.1. Теория диффузии газовых пузырьков в твердых телах

Газ, заключенный в пузыре не может выйти за его пределы. Таким образом, диффузия газового пузыря, по сути, это диффузия полости, кластера вакансий, образующего пузырь. Поэтому логично начать рассмотрение диффузии пузырей с диффузии полостей, отложив на время вопрос о влиянии газа.

Сразу надо оговориться, что пузырь без газа не может долго существовать в реальном материале и распадается на отдельные вакансии. Это связано с тем, что равновесная концентрация вакансий над сферической полостью больше, чем равновесная концентрация вакансий над плоской границей, которая и устанавливается в материале в пределе бесконечного времени. Из-за этого в случае пустого пузыря возник бы поток вакансий от него, кластер вакансий начал бы "испаряться". Однако этот факт не мешает нам рассматривать диффузию полостей с теоретической точки зрения, допустив повышенную концентрацию вакансий в окружающем объеме, с которым пузырь находится в равновесии.

Существует три возможных механизма переноса атомов матрицы с одной области поверхности пузыря на другую, обеспечивающих диффузию: объемная самодиффузия, поверхностная самодиффузия и испарение-конденсация [6]. Эти три механизма могут идти одновременно и скорость диффузии определяется наиболее быстрым из них. При этом в большинстве рассматриваемых в литературе материалов (металлы, диоксид урана) механизм переноса через пузырь выражен очень слабо в виду огромной энергии испарения атомов с поверхности, и им можно пренебречь. Классический подход к рассмотрению объемного и поверхностного механизмов связывает коэффициент диффузии пузыря с ко-

эффициеытами объемной и поверхностной самодиффузии атомов матрицы [6]. Зависимость коэффициента диффузии от радиуса пузыря имеет вид^ Л-3 для объемного и ~ Л-4 для поверхностного механизмов.

1.1.1. Поверхностная самодиффузия

Коэффициент поверхностной самодиффузии связан с концентрациями и коэффициентами диффузии отдельных дефектов на поверхности.

Обычно в работах рассматривается два типа поверхностных дефектов - адато-мы (АО) и поверхностные вакансии (БУАС). Адатомы на порядки подвижнее поверхностных вакансий. Однако, как будет показано в работе, в некоторых случаях, например в ОЦК уране, или в других материалах при большом давлении газа над поверхностью начинает играть роль третий тип поверхностных дефектов - поверхностные междоузельные атомы (БЯЗА). Этот тип дефектов имеет место, когда энергия образования междоузлий в первом поверхностном слое меньше, чем в объеме, и при этом сравнима с энергией образования ад атомов. Тогда:

+ С8уасО 8уас + дд{а. (1.1)

Температурная зависимость концентраций и коэффициентов диффузии точечных дефектов определяется законом Аррениуса [7]:

°def = ехР^—= C°def ехр ^, (1.2)

/—Пт \ / —Пт \

Ddef = 4Х2и ехр () = ^, ехр () , (1.3)

где Gddej и G™ej, j и H'dj - энергии Гиббса и энтальпии образования и миграции дефектов, Л - расстояние между атомами на поверхности, v - частота колебаний атомов в направлении седловой точки при миграции дефекта, cdef и Ddej

- константы, включающие энтропию. Далее мы будем пренебрегать различием колебательных частот атомов в разных положениях, так как эти относительно слабые различия сильно усложняют рассмотрение.

1.1.2. Свободная энергия дефектов

В работе подробно изучаются вопросы, связанные с энергией образования дефектов и террас (кластеров поверхностных дефектов) на поверхности кристаллической решетки. Для удобства выберем свободную энергию атома в идеальной кристаллической решетке за точку отсчета свободной энергии, приходящейся на атом. Свободная энергия поверхности Р = и—где и - потенциальная энергия, а энтропия $ складывается из конфигурационной и колебательной энтропии. Конфигурационная энтропия связана с количеством способов расположить дефекты на поверхности [8]. Колебательная энтропия может быть выражена через частоты всех колебательных мод системы [8]. Для простоты не будем учитывать изменение колебательной энтропии атомов матрицы при переходе из одного положения в другое (например, из объема на поверхность или в междоузельное положение), так как оно относительно мало по сравнению с потенциальным и конфигурационным вкладом в рассматриваемой задаче. Так как конфигурационная энтропия в идеальной решетке равна нулю, то свободная энергия атома в идеальной решетке равна его потенциальной энергии.

Рассчитаем свободную энергию формирования целого слоя атомов на поверхности (при нулевом давлении). При формировании такого слоя площадь и структура поверхности не меняются, а объем кристалла увеличивается наЖ^, где ^ - количество атомов поверхности. Энергия добавления атома в идеальную решетку равна нулю, так как мы выбрали эту энергию за точку отсчета. Тогда можно сказать, что энергия образования целого слоя атомов равна нулю. Однако энергия поверхности, заполненной частично, зависит от степени покрытия этой поверхности адатомами = или же от степени покры-

тия вакансиями в8юас =1 — дш1 . Эта зависимость дана, например, в [9]:

F,

ads

T S Zw

^ ^ ^ ^ = (1 — 9a,d) + $ad ln 9,d + (1 — вad) ln (1 — 0,d) , (1.4)

где U = NadZw (1 — 9ad) — полная энергия нескомпенсированных «горизонтальных» связей, Z — число ближайших соседних узлов на поверхности, w — энергия связи между соседними адатомами, S = —kNad ln Oad—k (Ns — Nad) ln (1 — 9ad) — конфигурационная энтропия размещения Nad адатомов no Ns узлам поверхностной решетки. Здесь учитываются только горизонтальные связи, так как количество нескомпенсированных вертикальных связей пропорционально площади и предполагается, что она остается прежней, а меняется лишь ее структура.

Рис. 1.1. Зависимость свободной энергии поверхности от степени покрытия адатомами для разных соотношений

В случае Zw/kT > 2 минимум свободной энергии достигается в случае небольшого заполнения идеальной поверхности адатомами и вакансиями (рис. 1.1).

Между этими двумя состояниями существует энергетический барьер. Для бесконечной грани размер критического зародыша стремится к бесконечности. Барьер непреодолим, если нет избытка или недостатка дефектов в объеме или на другой поверхности, с которой данная поверхность граничит. Для грани конечного размера критический зародыш (терраса) имеет конечный размер и барьер может быть преодолен, хотя и редко. На этом строится механизм диффузии пузырька путем нуклеации террас. В случае Zw/kT > 2 есть небольшое количество ад атомов в слое над поверхностью и небольшое количество вакансий в слое под поверхностью. Если мы заберем с поверхности некоторую часть ада-томов, то покрытие дш1 изменится, и свободная энергия вырастет.

В случае Zw/kT < 2 минимум свободной энергии достигается в случае покрытия дш1 = 0.5 (рис. ). Покажем, что во втором случае поверхность является идеальным стоком дефектов. Для этого учтем не только потенциальную энергию связей в одном монослое, но и во всех других монослоях над и иод поверхностью. При значительном покрытии = 0.5 слоя адатомы над поверхностью объединяются в террасы, над ними начинает заполняться второй сверху слой, для которого также справедливо = 0.5; аналогично вакансии начинают появляться во втором снизу слое и так далее. Если теперь забрать с поверхности некоторую часть ад атомов, то их недостаток восполнится из более верхних слоев, недостаток в них из еще более верхних и так далее. На каждом уровне необходимое для перераспределения количество адатомов будет падать в два раза. В итоге поверхность останется в состоянии минимума свободной энергии. Таким образом, такая поверхность является идеальным стоком/источником дефектов.

Стоками дефектов также могут быть неплотно упакованные поверхности с высокой ориентацией, где возможные места расположения адатомов находятся далеко друг от друга, что означает п) ~ 0 . Наглядное сравнение горизонтальных связей на поверхностях с разными индексами в ГЦК решетке показано на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. ГЦК решетка. Синие атомы - атомы первого поверхностного слоя, при их удалении поверхность переходит сама в себя. Желтые атомы - ближайшие соседи красного. На поверхности [111] среди поверхностных атомов 6 соседей, на [001] - 4, а на [123] нет вообще.

1.1.3. Континуальная теория диффузии пузырьков

В рамках континуального рассмотрения (атомные размеры пренебрежимо малы по сравнению с размерами пузыря и, как следствие, форма пузыря практически не меняется при переносе атомов), диффузия пузырька обусловлена объемной и поверхностной самодиффузией, а также механизмом испарение-конденсация, который намного слабее (рисунок 1.3(а)). Коэффициент диффузии сферического пузыря радиусом Я в случае объемного механизма дается выражением [6]:

В1 = В

30

и 4^3'

(1.5)

где - коэффициент объемной самодиффузии, О - объем, занимаемый атомом матрицы.

Коэффициент диффузии сферического пузырька по поверхностному механизму в пределе больших радиусов выражается как [6]:

Ц = - ^ О?

ь 2п 8 Е4

(1.6)

где Б8 - коэффициент поверхностной самодиффузии, Я - радиус пузырька, О - атомный объем. В литературе представлены также аналогичные этому выражения, которые были выведены другими путями и с другими геометрическими

Рис. 1.3. (А) Континуальная теория движения пузырька в кристаллической решетке за счет самодиффузии. (Б) Схема механизма образования террас: две комплементарные террасы на разных гранях. Желтые атомы - терраса, красные атомы - ступень. (В) Терраса на одной грани образуется из атомов стока (синие).

приближениями и отличаются численным коэффициентом в пределах одного порядка [10, 11, 12, 13]. Так как ни одна из этих теоретических моделей не обходится без приближений, то это выражение стоит воспринимать как оценку по порядку величины для коэффициента диффузии.

Зависимость коэффициента диффузии от радиуса пузыря имеет вид ~ ВГ^3 для объемно го и ~ ВГА для поверхностного механизмов. При этом на порядки выше, чем поэтому для нанометровых пузырьков поверхностный механизм преобладает над объемным, а для микрометровых пор - наоборот. Так как в нашей работе изучаются пузырьки нанометровых размеров, то далее мы будем рассматривать только поверхностный механизм переноса атомов.

1.1.4. Теория Бира образования террас

Экспериментально было обнаружено [14], что в фасеточных пузырях (пузырях с устойчивыми плотноупакованными гранями) скорость диффузии может определяться частотой образования критических террас; на устойчивых гранях. Для того чтобы грань переместилась на одну атомную плоскость, она

должна быть полностью заполнена адатомамп или вакансиями. Полному заполнению предшествует частичное заполнение, когда на грани образуется так называемая терраса (кластер из поверхностных вакансий или адатомов). Образование террасы повышает свободную энергию системы и из-за этого возникает дополнительный энергетический барьер. Этот эффект иногда называют четвертым механизмом диффузии, однако правильнее было бы называть его механизмом подавления, так как перенос атомов все равно происходит за счет самодиффузии. Учет механизма роста террас в сочетании с объемной самодиффузией подробно описан Вещуновым и Шестаком в [15]. Для этого используется теория роста поверхности кристалла Бертона [16].

Но механизм образования террас особенно выражен в пузырях малого радиуса 1-10 нм), где фасетки занимают большую часть общей поверхности. В таких пузырях поверхностный механизм самодиффузии преобладает над объемным. Поэтому далее мы будем говорить именно о механизме образования террас в контексте поверхностной самодиффузии. В частности, это значит, что объем пузыря остается постоянным в любой момент времени, а меняется только его форма (рисунок 1.4).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антропов Александр Сергеевич, 2023 год

Список литературы

1. Olander D. R. Fundamental aspects of nuclear fuel elements // Technical Information Center & Energy Research and Development Administration (publisher), USA. 1976. P. 193-194.

2. Tonks M., Andersson D., Devanathan R. et al. Unit mechanisms of fission gas release: Current understanding and future needs // Journal of Nuclear Materials. 2018. Vol. 504. P. 300-317.

3. Veshchunov M., Ozrin V., Shestak V. et al. Development of the mechanistic code MFPR for modelling fission-product release from irradiated U02 fuel // Nuclear Engineering and Design. 2006. Vol. 236, no. 2. P. 179-200.

4. Veshchunov M., Dubourg R., Ozrin V. et al. Mechanistic modelling of urania fuel evolution and fission product migration during irradiation and heating // Journal of nuclear materials. 2007. Vol. 362, no. 2-3. P. 327-335.

5. Zhang X., Grabowski В., Hickel Т., Neugebauer J. Calculating free energies of point defects from ab initio // Computational Materials Science. 2018. Vol. 148. P. 249-259.

6. Гегузин Я. E., Кривоглаз М. Движение макроскопических включений в твердых телах. Металлургия, 1974.

7. Mehrer Н. Diffusion in solids: fundamentals, methods, materials, diffusion-controlled processes. Springer Science & Business Media, 2007. Vol. 155.

8. Noirot L. A method to calculate equilibrium concentrations of gas and defects in the vicinity of an over-pressured bubble in U02 // Journal of Nuclear Materials. 2014. Vol. 447, no. 1-3. P. 166-178.

9. Veshchunov M. On the theory of the mobility of faceted inclusions in crystals // Journal of Nuclear Materials. 2021. Vol. 552. P. 153030.

10. Nichols F. On the diffusional mobilities of particles, pores and loops // Acta Metallurgica. 1972. Vol. 20, no. 2. P. 207-214.

11. Goodhew P., Tyler S. Helium bubble behaviour in bcc metals below 0.65 T

m // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. 1981. Vol. 377, no. 1769. P. 151-184.

12. Greenwood G., Speight M. An analysis of the diffusion of fission gas bubbles and its effect on the behaviour of reactor fuels // Journal of Nuclear Materials. 1963. Vol. 10, no. 2. P. 140-144.

13. Gruber E. Calculated size distributions for gas bubble migration and coalescence in solids // Journal of Applied Physics. 1967. Vol. 38, no. 1. P. 243-250.

14. Willertz L., Shewmon P. Diffusion of helium gas bubbles in gold and copper foils // Metallurgical Transactions. 1970. Vol. 1, no. 8. P. 2217-2223.

15. Veshchunov M., Shestak V. An advanced model for intragranular bubble diffu-sivity in irradiated U02 fuel // Journal of nuclear materials. 2008. Vol. 376, no. 2. P. 174-180.

16. Burton W.-K., Cabrera N., Frank F. The growth of crystals and the equilibrium structure of their surfaces // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences. 1951. Vol. 243, no. 866. P. 299-358.

17. Beere W. The nucleation of atomic steps on inert gas bubbles intersected by dislocations // Philosophical Magazine. 1972. Vol. 25, no. 1. P. 189-200.

18. Beere W., Reynolds G. Rate controlling nucleation and diffusion processes in faceted inert gas bubbles and voids // Acta Metallurgica. 1972. Vol. 20, no. 7. P. 845-848.

19. Beere W. Transport kinetics in faceted bubbles // Journal of Nuclear Materials. 1972. Vol. 45, no. 2. P. 91-95.

20. Zeldovich Y. B. On the theory of new phase formation: cavitation // Acta Physicochem., USSR. 1943. Vol. 18. P. 1.

21. Mikhlin E. Y. Suppression of diffusion mobility of small gas bubbles in solids // physica status solidi (a). 1979. Vol. 56, no. 2. P. 763-768.

22. Barani T., Pastore G., Magni A. et al. Modeling intra-granular fission gas bubble evolution and coarsening in uranium dioxide during in-pile transients // Journal

of Nuclear Materials. 2020. P. 152195.

23. Greenwood G., Foreman A., Rimmer D. The role of vacancies and dislocations in the nucleation and growth of gas bubbles in irradiated fissile material // Journal of Nuclear Materials. 1959. Vol. 1, no. 4. P. 305-324.

24. Jager W., Manzke R., Trinkaus H. et al. Density and pressure of helium in small bubbles in metals // Journal of Nuclear Materials. 1982. Vol. 111. P. 674-680.

25. Barnes R., Mazey D. The migration and coalescence of inert gas bubbles in metals // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 1963. Vol. 275, no. 1360. P. 47-57.

26. Tyler S., Goodhew P. The growth of helium bubbles in niobium and Nb-1% Zr // Journal of Nuclear Materials. 1978. Vol. 74, no. 1. P. 27-33.

27. Ono K., Furuno S., Hojou K. et al. In-situ observation of the migration and growth of helium bubbles in aluminum // Journal of nuclear materials. 1992. Vol. 191. P. 1269-1273.

28. Gulden M. E. Migration of gas bubbles in irradiated uranium dioxide // Journal of Nuclear Materials. 1967. Vol. 23, no. 1. P. 30-36.

29. Baker C. The migration of intragranular fission gas bubbles in irradiated uranium dioxide // Journal of Nuclear Materials. 1977. Vol. 71, no. 1. P. 117-123.

30. Lawrence G. A review of the diffusion coefficient of fission-product rare gases in uranium dioxide // Journal of Nuclear Materials. 1978. Vol. 71, no. 2. P. 195-218.

31. Une K., Kashibe S. Fission gas release during post irradiation annealing of BWR fuels // Journal of Nuclear Science and Technology. 1990. Vol. 27, no. 11. P. 1002-1016.

32. Copeland P. Onset of gas release and grain face vesting rates in large grain fuel // AEAT-0254, AEA Technology. 1996.

33. Zacharie I., Lansiart S., Combette P. et al. Thermal treatment of uranium oxide irradiated in pressurized water reactor: Swelling and release of fission gases // Journal of nuclear materials. 1998. Vol. 255, no. 2-3. P. 85-91.

34. Valin S. Etude des mécanismes microstructuraux liés au relâchement des gaz de fission du dioxyde d'uranium irradié: Ph.D. thesis / Grenoble INPG. 1999.

35. Noirot J., Pontillon Y., Yagnik S., Turnbull J. Post-irradiation examinations and high-temperature tests on undoped large-grain U02 dises // Journal of Nuclear Materials. 2015. Vol. 462. P. 77-84.

36. Moore E., Corrales L. R., Desai T., Devanathan R. Molecular dynamics simulation of Xe bubble nucleation in nanocrystalline U02 nuclear fuel // Journal of nuclear materials. 2011. Vol. 419, no. 1-3. P. 140-144.

37. Murphy S., Chartier A., Van Brutzel L., Crocombette J.-P. Free energy of Xe incorporation at point defects and in nanovoids and bubbles in UO 2 // Physical Review B. 2012. Vol. 85, no. 14. P. 144102.

38. Jelea A., Pellenq R.-M., Ribeiro F. An atomistic modeling of the xenon bubble behavior in the U02 matrix //J. Nucl. Materials. 2014. Vol. 444, no. 1-3. P. 153-160.

39. Liu X.-Y., Andersson D. Molecular dynamics study of fission gas bubble nucleation in U02 // Journal of Nuclear Materials. 2015. Vol. 462. P. 8-14.

40. Schwen D., Averback R. Intragranular Xe bubble population evolution in UC2: A first passage Monte Carlo simulation approach // Journal of Nuclear Materials. 2010. Vol. 402, no. 2-3. P. 116-123.

41. Yang L., Wirth B. Evolution of pressurized xenon bubble and response of uranium dioxide matrix: A molecular dynamics study //J. Nucl. Materials. 2021. Vol. 544. P. 152730.

42. Karavaev A., Dremov V., Ionov G. Equilibrium thermodynamics of radiation Vol. 468. P. 46-55.

43. Beeler B., Andersson D., Cooper M. W., Zhang Y. A molecular dynamics study of the behavior of Xe in U3SÍ2 // Journal of Nuclear Materials. 2019. Vol. 523. P. 413 - 420.

44. Perez D., Sandoval L., Blondel S. et al. The mobility of small vacancy/helium

complexes in tungsten and its impact on retention in fusion-relevant conditions // Scientific reports. 2017. Vol. 7, no. 1. P. 2522.

45. Gao N., Yang L., Gao F. et al. Long-time atomistic dynamics through a new self-adaptive accelerated molecular dynamics method // Journal of Physics: Condensed Matter. 2017. -feb. Vol. 29, no. 14. P. 145201.

46. Morishita K., Sugano R. Modeling of He-bubble migration in bcc Fe // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms. 2007. Vol. 255, no. 1. P. 52-56.

47. Xiao Z., Wang Y., Hu S. et al. A quantitative phase-field model of gas bubble evolution in U02 // Сотр. Mat. Sci. 2020. Vol. 184. P. 109867.

48. Hu S., Henager Jr C. H., Heinisch H. L. et al. Phase-field modeling of gas bubbles and thermal conductivity evolution in nuclear fuels // Journal of Nuclear Materials. 2009. Vol. 392, no. 2. P. 292-300.

49. Gao Y., Zhang Y., Schwen D. et al. Formation and self-organization of void superlattices under irradiation: A phase field study // Materialia. 2018. Vol. 1. P. 78-88.

50. Зборовский В. Развитие моделей поведения ядерного топлива в условиях повышенного выгорания, переходных режимов и при пенальном контроле герметичности оболочек ТВЭЛов: дис. канд. физ.-мат. наук 05.13.18 // Троицк. - 144.С. - 2012.

51. Verma L., Noirot L., Maugis P. Modelling intra-granular bubble movement and fission gas release during post-irradiation annealing of U02 using a meso-scale and spatialized approach // Journal of Nuclear Materials. 2020. Vol. 528. P. 151874.

52. Verma L. Spatialized study of the coupling between extended defects and mobile species in the nuclear fuel: Ph.D. thesis / Aix Marseille Université. 2019.

53. Norman G. E., Stegailov V. V. Stochastic theory of the classical molecular dynamics method // Math. Models Comput. Simul. 2013. Vol. 5, no. 4. P. 305-333.

54. Frenkel D., Smit B. Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to

Applications. Second edition. San Diego: Academic Press, 2002. Vol. 1 of Computational Science Series. Series editors: D. Frenkel, M. Klein, M. Parrinello and B. Smit. First edition published in 1996.

55. Tuckerman M. E., Berne B. J. Molecular dynamics algorithm for multiple time scales : Systems with disparate masses // J. Chem. Phys. 1991. Vol. 94, no. 2. P. 1465 1469.

56. Thompson A. P., Aktulga H. M., Berger R. et al. LAMMPS-a flexible simulation tool for particle-based materials modeling at the atomic, meso, and continuum scales // Computer Physics Communications. 2022. Vol. 271. P. 108171.

57. Brown W. M., Wang P., Plimpton J. S., Tharrington A. N. Implementing molecular dynamics on hybrid high performance computers short range forces // Computer Physics Communications. 2011. Vol. 182, no. 4. P. 898 911.

58. Eastman P., Swails J., Chodera J. D. et al. OpenMM 7: Rapid development of high performance algorithms for molecular dynamics // PLoS computational biology. 2017. Vol. 13, no. 7. P. el005659.

59. Smirnova D. E., Starikov S. V., Stegailov V. V. Interatomic potential for uranium in a wide range of pressures and temperatures // J. Phys.: Condens. Matter. 2012. Vol. 24, no. 1. P. 015702.

60. Beeler B., Deo C., Baskes M., Okuniewski M. Atomistic properties of 7-uranium //J. Phys.: Condens. Matter. 2012. Vol. 24, no. 7. P. 075401.

61. Fernández J. R., Pascuet M. I. On the accurate description of uranium metallic phases: a MEAM interatomic potential approach // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2014. Vol. 22, no. 5. P. 055019.

62. Moore A., Beeler B., Deo C. et al. Atomistic modeling of high temperature uranium zirconium alloy structure and thermodynamics // Journal of Nuclear Materials. 2015. Vol. 467. P. 802 819.

63. Tseplyaev V., Starikov S. The atomistic simulation of pressure-induced phase transition in uranium mononitride // Journal of Nuclear Materials. 2016. Vol. 480. P. 7 14.

64. Mendelev M., Kramer M., Becker C. A., Asta M. Analysis of semi-empirical interatomic potentials appropriate for simulation of crystalline and liquid Al and Cu // Philosophical Magazine. 2008. Vol. 88, no. 12. P. 1723-1750.

65. Stumpf R., Scheffler M. Ab initio calculations of energies and self-diffusion on flat and stepped surfaces of Al and their implications on crystal growth // Physical Review B. 1996. Vol. 53, no. 8. P. 4958.

66. Stumpf R., Scheffler M. Theory of self-diffusion at and growth of Al (111) // Physical Review Letters. 1994. Vol. 72, no. 2. P. 254.

67. Gotoh K. Liquid structure and Lennard-Jones (6, 12) pair potential parameters // Nature Physical Science. 1972. Vol. 239, no. 96. P. 154-156.

68. Zhen S., Davies G. Calculation of the Lennard-Jones n-m potential energy parameters for metals, phys. stat. sol.(a) 78 // Physica status solidi (a). 1983. Vol. 78, no. 2. P. 595-606.

69. Mills R., Liebenberg D., Bronson J. Equation of state and melting properties of He 4 from measurements to 20 kbar // Physical Review B. 1980. Vol. 21, no. 11. P. 5137.

70. Young D. A., McMahan A., Ross M. Equation of state and melting curve of helium to very high pressure // Physical Review B. 1981. Vol. 24, no. 9. P. 5119.

71. Mills R., Liebenberg D., Bronson J., Schmidt L. Procedure for loading diamond cells with high-pressure gas // Review of Scientific Instruments. 1980. Vol. 51, no. 7. P. 891-895.

72. Stewart J. W. Compression of solidified gases to 20,000 kg/cm2 at low temperature // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1956. Vol. 1, no. 3. P. 146-158.

73. Ercolessi F., Adams J. B. Interatomic potentials from first-principles calculations: the force-matching method // EPL (Europhysics Letters). 1994. Vol. 26, no. 8. P. 583.

74. Liu X.-Y., Ercolessi F., Adams J. B. Aluminium interatomic potential from

density functional theory calculations with improved stacking fault energy // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 2004. Vol. 12, no. 4. P. 665.

75. Brommer P., Kiselev A., Schopf D. et al. Classical interaction potentials for diverse materials from ab initio data: a review of potfit // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. 2015. Vol. 23, no. 7. P. 074002.

76. Kresse G., Furthmuller J. Efficient iterative schemes for ab initio total-energy calculations using a plane-wave basis set // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54, no. 16. P. 11169-11186.

77. Kresse G., Hafner J. Ab initio molecular dynamics for liquid metals // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 47, no. 1. P. 558-561.

78. Potashnikov S., Boyarchenkov A., Nekrasov K., Kupryazhkin A. Y. High-precision molecular dynamics simulation of U02-Pu02: Pair potentials comparison in U02 // Journal of Nuclear Materials. 2011. Vol. 419, no. 1-3. P. 217-225.

79. Balboa H., Van Brutzel L., Chartier A., Le Bouar Y. Assessment of empirical potential for MOX nuclear fuels and thermomechanical properties // Journal of Nuclear Materials. 2017. Vol. 495. P. 67 - 77.

80. Boyarchenkov A., Potashnikov S., Nekrasov K., Kupryazhkin A. Y. Investigation of cation self-diffusion mechanisms in U02±x using molecular dynamics // Journal of nuclear materials. 2013. Vol. 442, no. 1-3. P. 148-161.

81. Tang K., Toennies J. The van der Waals potentials between all the rare gas atoms from He to Rn // The Journal of chemical physics. 2003. Vol. 118, no. 11. P. 4976-4983.

82. Cooper M., Kuganathan N., Burr P. et al. Development of Xe and Kr empirical potentials for Ce02, Th02, U02 and Pu02, combining DFT with high temperature MD // Journal of Physics: Condensed Matter. 2016. Vol. 28, no. 40. P. 405401.

83. Darden T., York D., Pedersen L. Particle mesh Ewald: An N log (N) method for Ewald sums in large systems // The Journal of chemical physics. 1993. Vol. 98,

no. 12. P. 10089-10092.

84. Stukowski A. Visualization and analysis of atomistic simulation data with OVI-TO — the Open Visualization Tool // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2010. Vol. 18, no. 1. P. 015012.

85. Антропов А., Озрнн В., Стегайлов В., Тарасов В. Связь поверхностной самодиффузии и подвижности пузырей в твердом теле: теория и атомистическое моделирование / / Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2019. Vol. 156, no. 1. Р. 125-134.

86. Antropov A., Stegailov V. Nanobubbles diffusion in bcc uranium: Theory and atomistic modelling // Journal of Nuclear Materials. 2020. P. 152110.

87. Ландау Л., Лифшиц E. Теоретическая физика. Том V. Статистическая физика, часть 1 // книга. 1976.

88. Marconi U. М. В., Puglisi A., Rondoni L., Vulpiani A. Fluctuation-dissipation: response theory in statistical physics // Physics reports. 2008. Vol. 461, no. 4-6. P. 111-195.

89. Geguzin Y. E., Krivoglaz M. A. Migration of macroscopic inclusions in solids. Springer, 1973.

90. Smirnov G., Stegailov V. Formation free energies of point defects and thermal expansion of bcc U and Mo // Journal of Physics: Condensed Matter. 2019. Vol. 31, no. 23. P. 235704.

91. Wulff G. Some theorems concerning the growth and dissolution rates of crystals // Z. Kristallogr. 1901. Vol. 34. P. 449-530.

92. Ono K., Furuno S., Hojou K. et al. In-situ observation of Brownian motion and diffusion of helium bubbles in aluminum // Defect and Diffusion Forum / Trans Tech Publ. Vol. 95. 1993. P. 335-340.

93. Valikova I., Nazarov A. V. Simulation of atomic structure and diffusion characteristics of point defects in BCC and FCC metals // Solid State Phenomena / Trans Tech Publ. Vol. 172. 2011. P. 1222-1227.

94. Nazarov A., Mikheev A. Diffusion under a stress in fee and bcc metals // Journal

of Physics: Condensed Matter. 2008. Vol. 20, no. 48. P. 485203.

95. Xie H., Gao N., Xu K. et al. A new loop-punching mechanism for helium bubble growth in tungsten // Acta Materialia. 2017. Vol. 141. P. 10-17.

96. Medasani B., Vasiliev I. Computational study of the surface properties of aluminum nanoparticles // Surface science. 2009. Vol. 603, no. 13. P. 2042-2046.

97. Vassen R., Trinkaus H., Jung P. Helium desorption from Fe and V by atomic diffusion and bubble migration // Physical Review B. 1991. Vol. 44, no. 9. P. 4206.

98. Maiya P. Surface diffusion, surface free energy, and grain-boundary free energy of uranium dioxide // Journal of Nuclear Materials. 1971. Vol. 40, no. 1. P. 57-65.

99. Evans J. The role of directed bubble diffusion to grain boundaries in post-irradiation fission gas release from U02: a quantitative assessment // Journal of nuclear materials. 1996. Vol. 238, no. 2-3. P. 175-182.