Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Хачай, Олег Юрьевич

• Хачай, Олег Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Хачай, Олег Юрьевич

Содержание

Введение

Список используемых обозначений и сокращений

Глава 1. Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке

1.1. Введение

1.2. Постановка задачи. Схема решения

1.3. Построение внешнего разложения

1.4. Внутреннее разложение

1.5. Промежуточное разложение

1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений

1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения

1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев

Глава 2. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке

2.1. Постановка задачи

2.2. Внутреннее разложение

2.3. Промежуточное разложение

2.4. Внешнее разложение

2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения

2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения

Глава 3. Согласование степенно-логарифмических асимптотических разложений

3.1. Постановка задачи в целом

3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями

3.3. Процесс согласования асимптотических разложений

3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений

Заключение

Литература

Приложение А. Некоторые вспомогательные утверждения

А.1. Операции со степенно-логарифмическими рядами с неопределенными коэффициентами

А.2. Некоторые свойства степенных и степенно-логарифмических рядов с неопределенными коэффициентами

Приложение Б. Пример применения результатов второй главы

Б.1. Формальный анализ асимптотических разложений

Б.2. Получение явных формул для первых членов внешнего разложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика решений сингулярно возмущенных нелинейных дифференциальных уравнений с дополнительными асимптотическими слоями»

Введение

Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание; подробное описание методики обезразмеривания содержится, например, в монографии Л. И. Седова [1]). Такие уравнения используются для описания гироскопических систем [2], систем с автоматическим регулированием, в том числе при расчетах управления дорожным движением [3-6], применяются они и в динамике плазмы [7], газа и жидкости [1; 8-19], в термодинамических задачах с обострением [20]. Уравнения с малыми параметрами часто называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохранить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи. Но поскольку на практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля величинами, то даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество важных, необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Это происходит тогда, когда порядки некоторых или всех дифференциальных уравнений предельной системы отличаются (в меньшую сторону) от порядков соответствующих уравнений исходной системы, например, когда малый параметр является коэффициентом при старшей производной в уравнении, в таких случаях предельная система уравнений не оставляет достаточной свободы, чтобы удовлетворить всем начальным или краевым условиям. Также сингулярность может быть привнесена в задачу за счет рассмотрения бесконечной области изменения независимых

переменных, непостоянства типа дифференциального уравнения в частных производных на рассматриваемой области, наличия особенностей у получаемых разложений, которых нет у точного решения. В некоторых задачах эти источники сингулярности комбинируются друг с другом. Большому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изменение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.

Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля [8] на 3-м Международном математическом конгрессе в Гейдельберге. В докладе [8] рассматривалась задача обтекания твердого тела жидкостью с очень малой вязкостью, впервые было введено понятие пограничного слоя, его характерной толщины, также являющейся малым параметром. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова [21-23], в которых выявляются особенности предельного перехода решения сингулярной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с малыми параметрами при производных к решению невозмущенной задачи, выписываются общие условия осуществимости такого перехода, обосновывается равномерность этого перехода на множестве точек, не включающем как угодно малую окрестность начальной точки, стали отправной вехой для последующего развития теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым [24], в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Градштейном [25; 26]. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории в нашей стране и за ее пределами связаны с применением следующих методов: метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [27-30], В. М. Волосов [31; 32] и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов [33], М. В. Федорюк [34] и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (задач с точками срыва) (Л. С. Понтрягин [35], Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов [36] и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов [37] и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль [8; 9; 38], М. И. Вишик, Л. А. Люстерник [39-42], В. А. Треногин [43], А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. X. Багирова [44-50] и др.), метода согласования асимптотических разложений(Л. Прандтль [8; 9; 38], К. О. Фридрихе, В. Р. Вазов [51; 52], С. Каплун, П. А. Лагерстром, Дж. Коул, [53-57], М. Ван-Дайк [10], А. М. Ильин, Р. Р. Гадылынин, А. Р. Данилин, Л. А. Калякин, Б. И. Сулейманов [19; 58-65] и др.).

Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений, который входит в семейство асимптотических методов. Основными достоинствами асимптотических методов являются, в частности следующие:

1. упрощение решения, сведение сложной задачи к цепочкам более простых, зачастую не зависящих малого параметра задач; запись приближенного решения в элементарных функциях в случае, когда точное решение не имеет такого представления;

2. интегрированность асимптотических методов с алгебраическим, вариационным, численным и другими математическими подходами;

3. применение асимптотических методов сродни физическому моделированию, демонстрирует физическую суть задачи.

Начало современной теории асимптотических разложений принято связывать с опубликованной в 1886 г. работой А. Пуанкаре [66], в которой было дано определение асимптотического ряда. Асимптотическое приближение решения для многих задач теории возмущений строится именно в виде рядов, для которых доказывается не сходимость, а асимптотический характер. Однако из асимптотического характера ряда следует лишь, что погрешность частичной суммы такого ряда меньше некоторого элемента асимптотической последовательности [67, С. 17-24] функций малого параметра (например, некоторой его степени), умноженного на постоянную величину, которая не известна. Если рассматривать малый параметр, как бесконечно малую величину, то этого результата достаточно. На практике же необходимо знать эту величину, для построения оценки решения. Тем не менее, методы обоснования асимптотичности разложений в виде рядов обычно позволяют установить оценки и для этих неизвестных постоянных.

Существует два основных определения асимптотического разложения функции в ряд. Рассмотрим их различия применительно к вещественнозначным функциям. Согласно определению, носящему имя Эрдейи, ряд

называется асимптотическим разложением функции /(ж) при х —> х0, если существует некоторая асимптотическая при х —> хо последовательность функций

оо

У^ Ск<рк(х): с^ 6 К, /г 6

такая, что

N

(0.1)

Другое определение, носящее имя Пуанкаре, отличается от определения по Эрдейи следующими дополнительными требованиями:

1. последовательность {<Рк{х): к £ Z+} должна быть асимптотической при х —> х0;

2. соотношение (0.1) должно выполняться, если в качестве функций г) будут взяты функции (рк+1(х), к е ТЛ.

В главах 1 и 2 сначала строятся послойные асимптотические разложения решения в смысле Пуанкаре, из которых затем получается составное асимптотическое разложение в смысле Эрдейи, равномерно приближающее решение на всем рассматриваемом отрезке.

Обычно, выбирая подход к решению научной задачи, приходится сталкиваться с тем, что простота получения приближенного решения и точность этого приближения антагонич-ны друг другу. Стремясь получить более точное решение, приходится пожертвовать высокой точностью и наоборот. Однако принцип локализации, используемый в асимптотических методах, позволяет одновременно получить и высокую точность, и значительное упрощение процесса решения при достаточном сужении области рассматриваемых значений параметров. Во многих случаях даже нахождение одних только главных членов асимптотического разложения дает почти всю основную информацию о решении, а знание нескольких первых членов (обычно, первых двух) позволяет находить решение с достаточной точностью. Но, зачастую провести обоснование только нескольких первых членов асимптотики так же сложно, как и обоснование бесконечного асимптотического ряда целиком, поэтому во многих научных трудах и в данной диссертации производится обоснование бесконечных асимптотических рядов.

Очень удобной в силу своей простоты является степенная последовательность с постоянным шагом показателя. В некоторых задачах оказывается необходимым рассматривать степенно-логарифмические асимптотические последовательности, вводя логарифмические сомножители при степенных функциях, именно такие асимптотические разложения строятся в данной диссертации. Кроме простоты этих последовательностей некоторая стандартизация выбора асимптотических последовательностей для построения приближенных решений, когда во многих научных работах используются именно степенные и степенно-логарифмические последовательности, связана с возможностью удобно производить над такими асимптотическими разложениями операции умножения, возведения в степень, почленного дифференцирования и почленного интегрирования. Произвольная асимптотическая последовательность, вообще говоря, не обеспечивает возможность производить эти операции с сохранением

асимптотического характера результирующих формальных рядов. Возможность осуществления таких действий подробно исследовалась Й. Ван-дер-Корпутом, А. Эрдейи и Г. де Брей-ном [67-69]. Умножение асимптотических рядов может быть определено только если результаты попарного перемножения всех членов исходной асимптотической последовательности могут быть упорядочены в единую асимптотическую последовательность. Особенно удобно, когда результирующая асимптотическая последовательность не выходит за рамки исходной, и это выполняется для степенных с постоянным шагом показателя и соответствующих степенно-логарифмических последовательностей. Кроме того, среди всех дифференцируемых функций одной переменной только степенные функции обладают свойством масштабной инвариантности, если предположить гладкую зависимость масштабирующего коэффициента при зависимой переменной от соответствующего коэффициента при независимой переменной.

На различных этапах асимптотического исследования возникают вопросы о существовании и возможности произвести оценки решений некоторых начальных или краевых задач. Существенную роль в исследовании таких вопросов для уравнений с частными производными играют теоремы о существовании, единственности и устойчивости решения и о принципе максимума, доказанные в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонниковым и Н. Н. Ураль-цевой [70-72].

Остановимся подробнее на истории метода согласования (сращивания, matching) асимптотических разложений. Исходное название этого метода — метод внутреннего и внешнего разложений, метод двух асимптотических разложений, который является развитием и обобщением теории пограничного слоя, начало которой связывается с работами Л. Прандт-ля [8; 9; 38]. Этот метод использовался в 1940-е и 1950-е годы американскими учеными для описания течений вязкой жидкости и газа за эти годы выкристаллизовалась техническая и алгоритмическая основы метода. Так, К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым [51; 52] были получены результаты по описанию течения жидкости в каналах малой глубины, способы расчета возникновения ударной волны из обычной волны сжатия в газе. С. Каплун в работе [53] ввел в теорию пограничного слоя формальные внутренний и внешний предельные переходы и понятия внутреннего и внешнего разложений. Изучение процесса согласования асимптотических разложений было подробно произведено в совместной работе С. Каплуна и П. А. Лагерстрома [55]. Применяя идеи этого метода, С. Каплун [54] и независимо от него И. Праудман and Дж. Пирсон [73], используя разложение Озеена [74], построили равно-

мерное приближение для неограниченно простирающегося течения несжимаемой жидкости, при малых числах Рейнольдса обтекающего тело цилиндрической формы (так называемый парадокс Стокса). В отличие от такого обтекания в условиях больших чисел Рейнольдса (парадокс Даламбера), рассмотренного Л. Прандтлем [38], при котором область неоднородности имеет вид тонкого пограничного слоя у поверхности обтекаемого тела, в задаче о парадоксе Стокса область неравномерности представляет собой окрестность бесконечно удаленной точки. С. Гольдштейн [75; 76] и И. Имаи [77] получили асимптотическое разложение решения задачи Блазиуса для пограничного слоя на полубесконечной пластине. Л. Тингом [78] была решена задача о вязком сдвиговом слое между двумя соприкасающимся, движущимися с разной скоростью, потоками вязкой жидкости. И. Д. Чжан [79] исследовал асимптотическое разложение при больших удалениях от объекта решения двумерной задачи обтекания тела, сечение которого координатной плоскостью есть конечная область, ограниченная гладкой замкнутой кривой. Б. М. Булах [15] применил этот метод для исправления линеаризованных сверхзвуковых конических течений и получения приближений высших порядков в окрестности головной ударной волны.

Начиная с 1960-х годов метод согласования стал использоваться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других эллиптических, параболических и гиперболических уравнений математической физики и для ОДУ. По мере усложнения рассматриваемых сингулярных задач возрастала роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Современное его название было предложено Ф. П. Бретертоном в 1962 г. в статье [80]. Большое количество конкретных примеров, иллюстрирующих процесс согласования, содержит монография М. Ван-Дайка1. Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимптотических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких классов задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: Р. Р. Гадылыниным, А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным и др. [19; 60-62]. Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется исследованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие задачи называются бисингулярными. Это задачи с

1 Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. С. 296

двумя особенностями, одна из которых обусловлена сингулярной зависимостью решения от малого параметра, а вторая — неограниченностью или негладкостью членов асимптотики, то есть, различными сингулярностями, которые отсутствуют у точного решения задачи. Некоторые виды бисингулярных задач были исследованы без использования метода согласования, например, в работах Н. X. Розова, В. Г. Сушко и др. [81; 82].

Хотя исследования асимптотическими методами в основном сосредоточились на уравнениях в частных производных, некоторые новые сложные переходные эффекты, в том числе вызванные нелинейностью уравнений, исследовались и для ОДУ с малыми параметрами и их систем. Так, например, в обширной статье JI. А. Люстерника и М. И. Вишика [39] произведено подробное исследование условий, при которых имеет место предельный переход к решению вырожденного уравнения, выяснено, как изменяется характер этих условий в зависимости от распределения знаков корней характеристического уравнения для произвольного линейного ОДУ п-го порядка. В работе Л. А. Калякина [63] для модели авторезонанса при колебаниях, обусловленных вынуждающим возмущением в виде колебаний с малой амплитудой и медленно меняющейся большой частотой найдены условия, при которых траектория системы под влиянием такого возмущения уходит от начальной точки равновесия на конечное расстояние. Математическая запись этой модели авторезонанса имеет вид системы двух нелинейных ОДУ с малым параметром.

Сравним постановки задач, исследуемых в диссертации, с постановками задач в ранее опубликованных работах других авторов. Рассмотрим систему ОДУ, вообще говоря, нелинейных:

ev'jUz(t, е) - ft(t, i/i(i, в),..., Uh(t, £)) = 0, (0.2)

где е £ (0, во) ~~ малый параметр, е0 € (0,1), /г = ft(t, U\,..., Uh) — гладкие функции в некоторой области D = [0, t ] х Rh изменения своих аргументов, показатели уг малого параметра е удовлетворяют условиям

Уг е Q, ьг > 0, тах{г>1,... ,vh} = 1, (0.3)

индекс г предполагается пробегающим набор чисел 1,... ,h.

Обычно для выделения из общего семейства решений системы (0.4), (0.5) конкретного решения задаются или начальные условия вида

Ut(0,e) = Ulfi.

или двухточечное краевой условие

Щиг(0),ин{ 0), и^Т),..., ин{1)) = 0,

где Яг — некоторые функции. Есть также работы, анализирующие случай многоточечного краевого условия с подвижной границей, например, [46] и большое количество задач, поиска периодических решений [83-85].

В диссертации рассматриваются задачи Коши для уравнений вида (0.2) с начальными данными (0.6), (0.7). В главе 1 значения параметров задачи выбраны следующими: /1=1, г>1 = 1; во второй главе — такими: /г = 2, г^ = 1, г>2 = 0; в главе 3 рассматривается общий случай системы (0.2) когда показатели ^ степеней малого параметра могут принимать произвольные рациональные значения из отрезка [0,1], удовлетворяющие только соотношениям (0.3).

Задачи, исследованные в главах 1 и 2 относятся к более общему классу задач вида

e— = F(t,U,V), (0.4) ' dV

— = G(t,U,V), (0.5)

U(0,e) = A, (0.6)

V(0 ,£) = B, (0.7)

где e > 0 — малый параметр, U(t, e), F(t, U, V), А и V(t, e), G(t, U, V), В — вектор-функции со значениями из пространств К," и Rm, соответственно, п + т = h, функции F(t, U, V) и G(t,U,V) определены и к раз дифференцируемы в некоторой открытой области Vtjj y, содержащей точку (0, А, В). Такого вида задачи исследовались при дополнительных ограничениях, о которых будет сказано ниже, в работах [21-23; 50].

Запишем так называемую предельную систему, получаемую из уравнений (0.4), (0.5) с помощью подстановки 6 = 0:

0 = F(t,U,V), (0.8)

Уравнение (0.8), является конечным, т.е. недифференциальным. Во всех работах [21-23; 50] и в данной диссертации предполагается, что уравнение (0.8) может быть разрешено относительно переменной U :

U = <p(t, V) при (t, V) G Vty, (0.9)

где соответствие (0.9), вообще говоря, не является однозначным, T>t v — некоторая замкнутая подобласть проекции области T>tiu,v на пространство переменных (t, V), содержащая точку t = 0, V = В, такая, что {(t,<p(t,V),V): (t, V) в Vty] С VttUy. В работах [22; 23; 50] предполагается, что можно выделить некоторую ветвь этой функции, отдаленную от всех других её ветвей на положительное расстояние в смысле нормы || • \ \c(vt v)-

В статье [21] А. Н. Тихонов рассмотрел задачу (0.4)-(0.7) при т = 1 для различных вариантов поведения ветвей многозначной функции (0.9), был дан ответ на вопрос, будет ли истинное решение задачи (0.4)-(0.7) стремиться к некоторой ветви функции (0.9), и, если да, то к какой. В работе [86] В. Ф. Бутузов и Н. Н. Нефедов рассмотрели при т = 1, п = 1 случай, когда ветви многозначной функции (0.9), являющейся решением уравнения (0.8) пересекаются, была получена оценка разности между точным решением задачи (0.4)-(0.7) и устойчивой ветвью функции (0.9). В статье [87] А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева рассмотрели задачу (0.4)-(0.7) с похожим эффектом пересечения двух ветвей функции (0.9) при т = 1, п = 0 и получили равномерное асимптотическое разложение с точностью до произвольной степени малого параметра. Для задач, исследуемых в главах 1 и 2 данной диссертации значения параметров равны т = 1,п = 0ит = 1, n = 1, соответственно, и здесь также возможны частные случаи, когда ветви функции (0.9) имеют общую точку при t = 0, но не точку пересечения, а точку касания, в которой касательные к обеим ветвям становятся вертикальными (см. замечание 1.3.1). Для решений обеих задач Коши в главах 1 и 2 получены равномерные асимптотические разложения с точностью до произвольной степени малого параметра.

Основное отличие задач вида (0.4)-(0.7), для которых в главах 1 и 2 диссертации построена асимптотика, от задач такого же вида, исследованных в монографии [50], состоит в следующем. В монографии предполагается, что для стационарного решения

W{r) = tp(t 0,V0) (О.Ю)

так называемой присоединенной системы

d^l = F(t0,W(r),V0), (0.11)

где ¿п и У0 — параметры, выполнены условия теоремы о равномерной для всех (i0j V"o) € Dty асимптотической устойчивости при т —+оо по первому приближению. В задачах, рассмотренных в главах 1 и 2 диссертации это условие не выполняется, более того, в последнем разделе главы 1 рассмотрен частный случал задачи, при котором неподвижная точка (0.10) становится неустойчивой особой точкой системы (0.11) при значении параметра

¿о = 0, таким образом этот частный случай не подпадает под описание, даваемой теоремой Тихонова [23], [50, С. 28-31].

Дополнительная сложность, преодолеваемая в диссертации, связана с технической стороной применения метода согласования разложений. Асимптотики при г] -» оо коэффициентов ь)т^п(г1), стоящих при ет(1пе)п, разложения решения в некотором асимптотическом слое с переменной г) содержат выражения вида г}~к(Ыг))1, где 0 < I < Ь(к) и Ь(к) линейно растет с ростом к. После перехода к смежному асимптотическому слою с заменой г) — £А£, получим степени выражений 1п 77 = 1п£ + Л1пе. Во многих случаях, если привести подобные и собрать формальный ряд вида ^ ег ^ то множество показателей J(i) лога-

рифмов малого параметра при фиксированном значении г может оказаться неограниченным сверху, а сам формальный ряд в таком случае не может быть асимптотическим при е —> 0. В работах [64; 65] для преодоления такого препятствия в согласовании рядов применяется сдвиг независимой переменной внутреннего слоя. Подобный подход использовался, также, и в работах [88; 89], в которых метод согласования применяется в комбинации с методом усреднения Крылова-Боголюбова и методом ВКБ. В монографии [59, гл. 3, §3] применяется замена системы калибровочных функций £г(1п е)1 системой рациональных функций от £ и 1п £. В статье [61] при исследовании некоторых задач оптимального быстродействия, зависящих от малого параметра доказано отсутствие асимптотического разложения по рациональным функциям от малого параметра и логарифмов малого параметра и построена полная асимптотика времени быстродействия, зависящая от малого параметра более сложным образом, с помощью функции заданной неявно, как решение трансцендентного уравнения. В настоящей диссертации сформулированы условия, при которых множества 3(г) являются ограниченными при каждом значении г € I и есть возможность получить разложение в новом слое с переменной согласованное с предыдущим разложением, найденным для слоя с переменной г].

Для задач, рассматриваемых в первой и второй главах настоящей диссертации отмечается эффект качественного усложнения, обусловленного увеличением порядка системы уравнений. В первой главе исследуется задача Коши для одного уравнения первого порядка. Здесь внешнее асимптотическое разложение по степеням малого параметра может быть полностью построено независимо от начальных данных задачи и поведения решения в более внутренних слоях, которое автоматически оказывается полностью согласованным с асимптотикой решений в этих слоях. Для задачи Коши из второй главы, для которой порядок

системы уравнений равен 2, внешнее асимптотическое разложение по степеням малого параметра оказывается, вообще говоря, несогласованным с асимптотиками, получаемыми на внутренних слоях, правильное внешнее разложение не может быть построено независимо от начальных данных. Иллюстрация этого эффекта на конкретном примере приведена в приложении Б.

Задачи, исследованные в диссертации, являются естественными обобщениями рассмотренных ранее задач и представляют важное направление в теоретических исследованиях, что и обеспечивает ее актуальность. При написании данного обзора автором использованы обзорные части статей [17; 43; 48; 58; 90] и монографий [10; 16; 59; 91; 92].

Цель диссертационной работы. Построение и обоснование асимптотики решения сингулярной начальной задачи для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Для достижения поставленной цели были использованы следующие методы: метод согласования асимптотических разложений, асимптотические методы анализа, классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Теоретические результаты диссертации позволяют находить равномерное асимптотическое приближение решений бисингулярных задач Коши для систем ОДУ с малым параметром. Такие задачи возникают, в том числе, при анализе нелинейных задач математической физики.

На защиту выносятся основные результаты и положения:

1. Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, правая часть которого имеет в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хачай, Олег Юрьевич, 2013 год

Литература

1. Седов J1. И. Методы подобия и размерности в механике. 4-е изд. М.: Наука, 1977. 440 с.

2. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной душ исследования гироскопических систем // Изв. АН СССР, сер. МТТ. 1970. № 4. С. 50-57.

3. Lighthill M. J., Whitham G. В. On Kinematic Waves. II. Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1955. Vol. 229. P. 281-345.

4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

5. Иносэ X., Хамада Т. Управление дорожным движением. М.: Транспорт, 1983. 248 с.

6. Гасников А. В. Асимптотика по времени решения задачи о распаде «размазанного разрыва» для закона сохранения // Труды МФТИ. 2009. Т. 1, № 4. С. 120-125.

7. Райзер Ю. П. Дозвуковое распространение световой искры и пороговое условие для поддержания плазмы излучением // ЖЭТФ. 1970. Т. 58, № 1. С. 2127-2138.

8. Prandtl L. Uber Flussigkeitsbeneegung bei sehr kleiner Reibung // Verhandl d. III, Inter Mathem. Kongress, Heidelberg. 1904. S. 71-75.

9. Прандтль Л. Теория несущего крыла. 4.1. Движение жидкости с очень малым трением. М.-Л.: ГНТИ, 1931. 32 с.

10. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 311 с.

11. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения саплошной среды. М.: Гостехиздат, 1955. 804 с.

12. Гандельман Г. М., Франк-Каменецкий Д. А. // ДАН СССР. 1956. Т. 107, № 6. С. 811-814.

13. Баренблатт Г. И. Об автомодельных решениях задачи Коши для нелинейного параболического уравнения нестационарной фильтрации газа в пористой среде // ПММ. 1956. Т. 20, № 6. С. 761-763.

14. Sakurai A. On the problem of a shock wave arriving at the edge of a gas // Communie, on Pure and Appl. Math. 1960. Vol. 13. P. 353-370.

15. Булах Б. М. О некоторых свойствах сверхзвуковых конических течений газа // ПММ. 1961. Т. 25, № 2. С. 229-241.

16. Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматгиз, 1963. 688 с.

17. Брушлинский К. В., Каждан Я. М. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики // УМН. 1963. Т. 18, № 2 (110). С. 3-23.

18. Сычев В. В. К теории сильного взрыва в теплопроводном газе // ПММ. 1965. Т. 29, № 6.

19. Ильин А. М., Калякин Л. А. Возмущение конечносолитонных решений уравнений Кор-тевега-де-Фриса // Докл. РАН. 1994. Т. 336, № 5. С. 595-598.

20. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука Главная редакц физ.-мат. литературы, 1987. 477 с.

21. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. Нов. сер. 1948. Т. 22, № 2. С. 193-204.

22. Тихонов А. Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. Т. 27(69), № 1. С. 147-156.

23. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. сб. 1952. Т. 31(73), № 3. С. 575-586.

24. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: ОНТИ, 1935. 386 с.

25. Градштейн И. С. Применение теории устойчивости А.М. Ляпунова к теории дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. Т. 32 (74), № 2. С. 263-286.

26. Градштейн И. С. О решениях на временной полупрямой дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных // Матем. сб. 1953. Т. 32(74), № 3. С. 533-544.

27. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний. Киев: Изд-во АН УССР, 1934. 112 с.

28. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. Москва-Ижевск: НИЦ «РХД», 2004. 353 с. Репринт издания: Киев: Изд-во АН УССР, 1937 г. 365 С.

29. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Hayкова думка, 1971. 440 с.

30. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 410 с.

31. Волосов В. М. О решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с медленно изменяющимися коэффициентами // ДАН СССР. 1957. Т. 114, № 6. С. 1149-1152.

32. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1962. Т. 17, № 6 (108). С. 3-126.

33. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977. 384 с.

34. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983. 352 с.

35. Понтрягин JI. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер. матем.. 1957. Т. 21, № 5. С. 605-626.

36. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с.

37. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 400 с.

38. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. Т. 2. 314 с. Перевод с немецкого Г. А. ВОЛЬПЕРТА.

39. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12, № 5. С. 173-266.

40. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений, 1. // УМН. 1960. Т. 15, № 3(93). С. 3-80.

41. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстро меняющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН. 1960. Т. 15, № 4(94). С. 27-95.

42. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. // ДАН СССР. 1960. Т. 132, № 6. С. 1242-1245.

43. Треногин В. А. Развитие и приложение асимптотического метода Люстерника-Виши-ка // УМН. 1970. Т. 25, № 4(154). С. 123-156.

44. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости // ДАН СССР. 1959. Т. 128, № 6. С. 1110-1113.

45. Васильева А. Б. Асимптотические формулы для решений обыкновенных дифференциальных уравнений с малым множителем при старшей производной, справедливые на бесконечном промежутке // ДАН СССР. 1962. Т. 142, № 4. С. 709-712.

46. Васильева А. Б., Багирова Н. X. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, определяемых различными дополнительными условиями // уч. зап. Азерб. ун-та, физ. матем. и хим. серия. 1962. № 4.

47. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнениями с малыми параметрами при старших производных // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1963. Т. 3, № 4. С. 611-642.

48. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // УМН. 1963. Т. 18, № 3(111). С. 15-86.

49. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 с.

50. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990. 207 с.

51. Friedrichs К. О., Wasow W. R. Singular perturbations of non-linear oscillations // Duke Math. Journ. 1946. Vol. 13, no. 3. P. 367-381.

52. Friedrichs R. O. Formation and decay of shock waves // Comm. on Pure and Appl. Math. 1948. Vol. 1, no. 3. P. 211-245.

53. Kaplun S. The role of coordinate systems in boundary-layer theory // Z. angew. Math. Phys. 1954. Vol. 5. P. 111-135.

54. Kaplun S. Low Reynolds number flow past a circular cylinder //J. Math. Mech. 1957. Vol. 6. P. 595-603.

55. Kaplun S., Lagerstrom P. A. Asymptotic expansions of Navier-Stokes solutions for small Reynolds numbers // J. Math.Mech. 1957. Vol. 6. P. 585-593.

56. Lagerstrom P. A., Cole J. D. Examples illustrating expansion procedures for the Navier-S-tokes equations // Rat. Mech. Anal. 1955. Vol. 4. P. 817-882.

57. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

58. Ильин А. М. Пограничный слой // Дифференциальные уравнения с частными производными - 5, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 34, ВИНИТИ. 1988. С. 175-214.

59. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с. англ. пер.: A.M. Il'in, Matching of asymptotic expansions of solutions of boundary value problems, Transí. Math. Monogr., 102, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992.

60. Гадылынин P. P., Ильин A. M. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 25-48.

61. Данилин А. Р., Ильин А. М. О структуре решения одной возмущенной задачи быстродействия // Фундамент, и прикл. матем. 1998. Т. 4, № 3. С. 905-926.

62. Данилин А. Р., Захаров С. В., Ильин А. М. Применение метода согласования асимптотических разложений к решению краевых задач // Совр. мат. и ее приложения. Асимпт. методы анализа. ИК ГАН. 2003. Т. 5. С. 33-78.

63. Калякин JI. А. Авторезонанс в динамической системе // Совр. мат. и ее приложения. Асимпт. методы анализа. ИК ГАН. 2003. Т. 5. С. 79-109.

64. Ильин А. М., Сулейманов Б. И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 1. С. 55-70.

65. Ильин А. М., Сулейманов Б. И. Асимптотика специального решения уравнения Абеля, связанного с особенностью сборки. И. Большие значения параметра t // Матем. сб. 2007. Т. 198, № 9. С. 81-106.

66. Poincaré H. Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires // Acta Mathematica. 1886. no 8. P. 295-344.

67. Эрдейи A. Асимптотические разложения. M.: Физматгиз, 1962. 127 с.

68. Van der Corput J. G. Asymptotic developments I. Fundamental theorems of asymptotics // J. Anal. Math. 1956. Vol. 4, no. 1. P. 341-418.

69. Брейн Г. де. Асимптотические методы в анализе. М.: ИЛ, 1961. 247 с.

70. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

71. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

72. Ладыженская О. А., Уральцева H. Н. Обзор результатов по разрешимости краевых задач для равномерно эллиптических и параболических квазилинейных уравнений второго порядка, имеющих неограниченные особенности // УМН. 1986. Т. 41, № 5 (251). С. 59-83.

73. Праудман И., Пирсон Дж. Разложения по малым числам Рейнольдса в задачах обтекания сферы и кругового цилиндра //Сб. Механика. 1958. Т. 2, № 48.

74. Oseen С. W. Uber die Stokes'sche Formel, und iiber eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik // Ark. Math. Astronom. Fys. 1910. Bd. 6, H. 29.

75. Goldstein S. Flow of an incompressible viscous fluid along a semi-infinite flat plate // Tech. Rep. Eng. Res. Inst. Univ. Calif.t. 1956. no. HE-150-144.

76. Goldstein S. Lectures on fluid mechanics. New York: Wiley, 1960.

77. Imai I. Second approximation to the laminar boundary-layer flow over a flat plate // Aeronat Sci. 1957. Vol. 24. R 155-156.

78. Ting L. Boundary layer over a flat plate in presence of shear flow // Phys. Fluids. 1960. Vol. 3. P. 78-81.

79. Chang I. D. Navier-Stokes solutions at large distances from a finite body //J. Math. Mech. 1961. Vol. 10. P. 811-876.

80. Bretherton F. P. Slow viscous motion round a cylinder in a simple shear / / Journal of Fluid Mechanics. 1962. Vol. 12, no. 4. P. 591-613.

81. Булычева О. H., Сушко В. Г. Построение приближенного решения для одной сингулярно возмущенной параболической задачи с негладким вырождением // Фунд. и прикл. мат. 1995. Т. 1, № 4. С. 881-905.

82. Розов Н. X., Сушко В. Г., Чудова Д. И. Дифференциальные уравнения с вырождающимся коэффициентом при старшей производной // Фунд. и прикл. мат. 1998. Т. 4, № 3. С. 1063-1095.

83. Wasow W. On the construction of periodic solutions of singular perturbation problems // Ann. of Math. Stud. 1950. no. 20. P. 313-350.

84. Волк И .M. Некоторые обобщения метода малого параметра в теории периодических движений неавтономных систем. // Прикл. матем. и мех. 1947. Т. 11, № 4. С. 433-444.

85. Флэтто JL, Левин сон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем // Математика. 1958. Т. 2, № 2. С. 61-68.

86. Бутузов В. Ф., Нефедов Н. Н. Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости // Матем. заметки. 1998. Т. 63, № 3. С. 354-362.

87. Долбеева С. Ф., Ильин А. М. Асимптотика решения дифференциального уравнения с малым параметром при условии пересечения линий устойчивости предельного решения // Докл. РАН. 2006. Т. 408, № 4. С. 443-445.

88. Гарифуллин Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внешнее разложение // Электронный журнал "Исследовано в России". 2005. Т. 180. С. 1857-1875. URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/180.pdf.

89. Гарифуллин Р. Н. Построение асимптотического решения задачи об авторезонансе. Внутреннее разложение // Фундамент, и прикл. матем. 2006. Т. 12, № 6. С. 33-48.

90. Васильева А. В., Волосов В. М. О работах А.Н. Тихонова и его учеников по обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр // УМН. 1967. Т. 22, № 2(134). С. 149-168.

91. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич J1. И. Асимптотическая математика и синергетика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 302 с.

92. Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 454 с.

93. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения вырожденной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Актуальные проблемы теории устойчивости и управления: Тез. докл. междунар. конференции. Екатеринбург, Россия, 21-26 сентября 2009 г. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2009. С. 79-81.

94. Хачай О. Ю. Matching of power-logarithmic asymptotic expansions of singular Cauchy problem for system of ODEs // Нелинейные уравнения и комплексный анализ. Тезисы Международной конференции, 18-22 марта 2013 г. / Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: 2013.-3. С. 54.

95. Хачай О. Ю. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым параметром // Современные проблемы математики. Тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции, 27 января — 2 февраля 2013 г. / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2013. С. 157-159.

96. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы дифференциальных уравнений с малым параметром и с особой начальной точкой // Докл. РАН. 2008. Т. 422, № 4. С. 1-4.

97. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения начальной задачи для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 2. С. 270-272.

98. Ильин А. М., Леонычев Ю. А., Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы дифференциальных уравнений с малым параметром и с особой начальной точкой // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 1. С. 81-102.

99. Хачай О. Ю. Асимптотика решения системы нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 4. С. 605-608.

100. Хачай О. Ю. О согласовании степенно-логарифмических асимптотических разложений решения сингулярной задачи Коши для системы ОДУ // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 300-315.

101. Хачай О. Ю. Асимптотическое разложение решения одной бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного уравнения первого порядка // Екатеринбург, ИММ УрО РАН, Деп. в ВИНИТИ. 2005. Т. 16, № 174-В2005. С. 1-46.

102. Зорич В. Б. Математический анализ. Часть I. 4-е, исправленное изд. М.: МЦНМО, 2002. 664 с.

103. Ильин А. М., Хачай О. Ю. Структура пограничных слоёв в сингулярных задачах // Докл. РАН. 2012. Т. 445, № 3. С. 256-258.

104. Айне Э. Л. Обыкновенные диференциальные уравнения. Киев: ОНТИ, 1939. 719 с.

105. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Т. 1. 616 с.

106. Ильин А. М., А.Р.Данилин. Асимптотические методы в анализе. М.: Физматлит, 2009. 248 с.

107. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 714 с.

108. Коддингтон Е. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 470 с.

109. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. 296 с.

110. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

111. Рейуорд-Смит. Теория формальных языков. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. 128 с.

112. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.