Асимптотическое поведение спектральной функции автоморфного Лапласиана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Головчанский, Владимир Васильевич

• Головчанский, Владимир Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Головчанский, Владимир Васильевич

Введение

Глава 1. Спектральное тождество и оценка ядра

§1. Оператор Лапласа-Бельтрами на пространстве

L2(F,X,dKz))

§2. Основные факты спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами

§3. Спектральное разложение автоморфного ядра и его специализация

§4. Оценка ядра кт(р, а)

Глава 2. Вычисление правой части тождества

§1. Суммирование правой части спектрального тождества по элементам 7 6 Г : p(z,jz') > 1 для компактной подобласти фундаментальной области

§2. Чисто гиперболические подгруппы

§3. Кокомпактные подгруппы с эллиптическими элементами

§4. Некокомпактные подгруппы

Глава 3. Асимптотика спектральной функции

§1. Асимптотика спектральной функции 6(z,z\T) для кокомпактных подгрупп

§2. Асимптотика спектральной функции 6(z:z\T) для некокомпактных подгрупп

§3 Поведение собственных функций i/jj(z) при j —>

00 для кокомпактных подгрупп

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение спектральной функции автоморфного Лапласиана»

Основы гармонического анализа на гиперболическом пространстве были заложены в основополагающей работе А.Сельберга [28]. Мотивом для его создания послужили задачи аналитической теории чисел и, в первую очередь, гипотеза Римана. Хотя гипотеза Римана с привлечением новых идей работы [28] так и не была доказана, однако эта работа послужила толчком как в развитии теории, очерченной самим Сельбергом, так и в разработке далеко идущих обобщений этой теории (Л.Д.Фаддеев [12], В.Рельке [26] И.М.Гельфанд, М.И.Граев, И.И.Пятецкий-Шапиро [5], Р.П.Ленглендс [21], Хариш-Чандра [17]).

Аналогом оператора Лапласа в Д", в гиперболическом пространстве Нп служит оператор Лапласа-Бельтрами. Аналогом периодических функций в Rn служат Г-автоморфные функции в гиперболическом пространстве Нп, где Г разрывная группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического пространства.

Далее, ввиду обширности темы, мы ограничим себя изложением результатов для двумерного гиперболического пространства Н2. В пространстве Н2 группа изометрий (движений), сохраняющих ориентацию, представляет собой группу дробно-линейных преобразований с коэффициентами из группы SL2 (R).

ЛД.Фаддеев [12] и В.Рельке [26] независимо др}ч? от друга и существенно разными методами доказали теорему о разложении гильбертова пространства Г-автоморфных функций в прямую сумму подпространств, натянутых на собственные функции дискретного и непрерывного спектра оператора Лапласа-Бельтрами для дискретных подгрупп Г группы SL2 (-R), объем фундаментальной области которых конечен.

Асимптотика функции распределения собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами для групп с фундаментальной областью конечного объема изучалась рядом авторов. Асимптотика для коком-пактных групп (группы с компактной фундаментальной областью) была получена в работе Д.Хейхала [18]. Для групп с некомпактной фундаментальной областью (некокомпакные группы) асимптотика получена для модулярной группы ,SX2(Z) в работе Н.В.Кузнецова [10], для конгруэнц-подгрупп модулярной группы асимптотика опубликована в монографии А.Б.Венкова [4]. Получение асимптотики для произвольной некокомпактной группы наталкивается на серьезные трудности, связанные с наличием в этом случае непрерывного спектра у оператора Лапласа-Бельтрами. Все полученные асимптотики вейлевского типа, однако в работе Р.С.Филипса и П.Сарнака [24] показано, что деформации арифметических групп при выполнении определенных условий приводят к исчезновению параболических форм. Таким образом, вопрос об асимптотике фзгнкции распределения оказался сложнее, чем думали ранее.

Исследование асимптотического поведения спектральной функции в(х,х;Т) самосопряженных эллиптических операторов началось с работы Т.Карлемана, который выделил главный член для уравнений второго порядка (см. Труды 8-го Математического Конгресса, Стокгольм). Результат Т.Карлемана для общего случая был получен Л.Гардингом. В работе Б.М.Левитана [11] для оператора Лапласа была получена оценка остаточного члена R(x,x; Т) = 0(л/Т). Л.Хермандер[19] обобщил результат работы[11] на случай произвольных самосопряженных положительно определенных эллиптических операторов и псевдо-дифференциальных операторов, заданных на компактном многообразии с тем же остаточным членом.

Практически не исследовано асимптотическое поведение спектральной функции В,(х,х']Т). Имеется одна публикация В.М.Бабича и Б.М.Левитана [1] в которой получена асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами R(z,z';T) для задачи Дирихле на компактной римановой поверхности с бесконечно гладкой границей, на которой выполняется условие положительности геодезической кривизны.

Целью настоящей работы является исследование асимптотического поведения спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами на замкнутой римановой поверхности с конечным числом точек ветвления и дырок. Хорошо известно, что такие поверхности уни-формизуются дискретными подгруппами 6X2 (i?), фундаментальные области которых имеют конечный объем. В приложениях к теории чисел часто возникают автоморфные формы с характером, поэтому мы расширили класс рассматриваемых пространств введением характера, тем более, что это не вызывает дополнительных. трудностей.

Первая глава (§§1-4) является основной, хотя формально в ней не получено ни одного результата, представляющего самостоятельный интерес. Дело в том, что в параграфе 4 получено асимптотическое представление преобразования Хариш-Чандры весовой функции в спектральном разложении автоморфного ядра. Это представление во второй главе используется при суммировании по группе в правой части спектрального тождества.

В первом параграфе вводится модель Пуанкаре гиперболического пространства Н2.; излагаются основные свойства фундаментальной области F фуксовых групп первого рода, определяется пространство L2(F,x,dfi(z)) - гильбертово пространство Г-автоморфных форм с квадратичным характером квадратично интегрируемых на фундаментальной области F по инвариантной мере fi(z) = dxdy/y2. то есть где 7 Е Г и Г- фуксова группа 1-го рода.

Далее в модели Пуанкаре на подпространстве бесконечно гладких Г-автоморфных форм задается инвариантный оператор Лапласа-Бельтрами L: замыкание которого задает нам оператор на всем L2(F./ х-, dii(z)).

Второй параграф посвящен изложению основных фактов спектральной теории оператора Лапласа-Бельтрами. В общем случае фуксовой группы 1-го рода спектр состоит из дискретной и непрерывной части. Дискретный спектр {Aj}j£j неотрицательный, конечной кратности и не имеет точек сгущения кроме, быть может, бесконечности. Непрерывный спектр заполняет полуось [1/4, оо). Функции непрерывного спектра представляют собой аналитическое продолжение рядов Эйзенштейна Ei(z, s) на прямую Res = 1/2. Ряд Эйзенштейна Ei(z,s) при Res > 1 задается абсолютно сходящимся и регулярным по переменной s рядом

76ГДГ где Гг- = {y!f, к £ Z] - стационарная параболическая подгруппа сингулярной (x(ji) — 1) параболической вершины к{ многоугольника F. Элемент сг; G SL2(R) такой, что a^jiCfi = Too, Too : ^ —► ^ + 1. Из этих условий элемент сг?; определяется однозначно. Кратность непрерывного спектра равна числу неэквивалентных сингулярных параболических вершин. Пространство L2(F,XidfJ.(z)) разлагается в прямую сумму инвариантных ортогональных подпространств, порожденных собственными функциями дискретного и непрерывного спектров.

В параграфе 3 вводится в оборот спектральное разложение авто-морфного ядра, которое будет служить основным инструментом для получения асимптотики спектральной функции. Поэтому приведем его во всей полноте. Спектральное разложение автоморфного ядра впервые получено Сельбергом, обобщение на ядра с характером получено А.Б. Венковым и имеет вид ^ / f°°

Фз{*)Фз(г'/ 1/2 + it)h(t)dt =

1) где {i/jj(z)} есть ортонормированная система собственных функций дискретного спектра и = — 1/4.

Функция h(r) четная, регулярная в полосе \1тг\ < 1/2 + в,в > 0 и такая, что \h(r)\ < C(\r| + с <5 > 2. u(z.z') - инвариант пары точек, u{z,z') = \z- z'\2/(yy').

Ядро к (и) есть преобразование Хариш-Чандры функции /i(r), определяемое следующим образом:

1 Г dQ(u) и) = — '

7Г Ju л/oj - u Q(eL + е~г - 2) = g(t), g(t) = - / e~irth{r)dr.

Берется двухпараметрическое семейство функций а) следующего вида: hT(r,a) = ^ J e~air-ti2dp.

Функции hx{r,a) при Т > 0, а > 0 удовлетворяют требованиям, наложенным на функцию h(r). Кроме того, при а —оо функция Нт{г,а) сходится к ступенчатой функции, равной 1 на интервале [-Т.Т] и 0 вне его и, следовательно, левая часть тождества при а —>■ оо сходится к спектральной функции.

Простые вычисления дают следующее выражение для преобразования Хариш-Чандры кт(и,а) функции Нт(г,а). dfsjsM kT(u а) = — / V J тг2 Jp(u) у/2{сЫ - chр{и)) где dip(u) = и/2 + 1 и p(u(z.z')) есть гиперболическое расстояние между точками z ж z'.

В параграфе 4 изучается асимптотическое поведение функции exp(-fi) л/2(сЫ - chр) при Т —^ со. Раскрывая дифференциал и переходя в интеграле к пределам интегрирования от 0 до оо, приходим к стандартному интегралу. Осциллирующий по Т член в подынтегральном выражении имеет вид exp(iTt), поэтому применимо интегрирование по частям. Поскольку подынтегральное выражение имеет особенность t~1!2 в окрестности t — 0, то в подынтегральном выражении выделяется подходящая сингулярная часть, чтобы обеспечить интегрирование по частям. Поскольку функция кт(р:а) зависит от двух свободных параметров р и а, принимающих значения на всей положительной полуоси, то это создает дополнительные трудности. Приводим окончательный результат.

Лемма 1. (2) LJJ±£1 + 0{tV\ если р <1 т1/2 T^ht») mm(/9, a)(ch.p)L'z J

2тг р

Во второй главе диссертации (§§1-4) проводится суммирование по группе в правой части спектрального тождества. Суммирование проводится по модулю. Используется оценка (2) и теорема Лакса-Филипса о числе точек решетки в гиперболическом пространстве.

В параграфе 1 получена оценка вклада элементов 7 группы Г с условием p(z,jz!) > 1 для компактной подобласти фундаментальной области F.

Лемма 2. Пусть К С F и компактно. Тогда для z,z' £ К справедливо

Е ШЧр^ТЛ^т1^/4/^- (3) p(z,jz')>l

В параграфе 2 рассматриваются чисто гиперболические подгруппы. Используя некоторые результаты геометрии дискретных групп, показано, что для всех 7 £ Г с условием p(z, 7z') < 1, кроме, быть может, одного p(z.jz') отделена от нуля константой, зависящей лишь от Г. Это, с учетом (3), дает следующий результат:

Предложение 1. Пусть Г чисто гиперболическая группа. Тогда

MTpiz.^z' p(z, 7 *z' О (т1'2еа 4 где 7* 6 Г элемент, на котором достигается минимум p(z,jzr), а главный член когда z = z' понимается как предел и равен Т2/47Г.

В параграфе 3 рассматриваются группы, содержащие только гиперболические и эллиптические элементы. Показано, что для всех 7 с условием p(z,^z') < 1, кроме, быть может, 7 6 Г2., где Гг. стационарная подгруппа эллиптической вершины г; и р(г, Zj) достигает минимума на Zi, когда Zj пробегает все эллиптические вершины фундаментальной области F, p{z)^*z') отделена от нуля константой, зависящей только от Г. С учетом (3) получается следующий результат:

Предложение 2. Пусть группа Г содержит только гиперболические и эллиптические элементы. Тогда

2тг V / где л;- эллиптическая вершина, на которой реализуется минимум p(z. Zj), когда Zj пробегает все эллиптические вершины области F.

В параграфе 4 рассматриваются группы, содержащие параболические элементы. В этом случае фундаментальная область группы некомпактна, а асимптотика числа точек решетки в круге гиперболической плоскости работает неэффективно, так как порядок роста остаточного члена по 2 и z', когда они стремятся к параболическим вершинам, не установлен. Ввиду возникшей необходимости установлен порядок роста остаточного члена по г и г'. Поскольку этот результат имеет и самостоятельный интерес, то мы его формулируем как теорему.

Теорема. Пусть Г фуксова группа первого рода. Тогда Nr(z,zf,t) = ж вЧхАГ V Г^еМ2+*')16-(г)б17) (с \ Ог(у/уШ^5/6е2ф), где y(z) = max Im{a~lz), Xj = y/1/4 - Xj, {(/)j{z), 1/6 < x7 < 1/2} l<?'<m ортонормированные собственные функции оператора Лапласа-Бельтрами, действующего на L2(F,dfi(z)). Vol(F) объем фундаментальной области .

Р.Филипс и 3.Рудник вычислили среднее значение нормированного остаточного члена асимптотики при z = z'. Этот предел оказался равным \Et(z,1/2)\2 « c0y(z). Следовательно, оценка остаточного члена асимптотики (6) по z и z' не может быть улучшена.

Используя асимптотику (6), получена следующая оценка

Лемма 3. p{z,-yz')>l

Т1/2 max (^(y(z)y(z'))1/2а1/3еа/36. .

Далее показывается, что p[z,jz') может быть сколь угодно мало, только если z ж z' лежат обе в одной некомпактной компоненте Fi 1 -Г-1 области F, образ которой ai F{ представляет полуполосу, и при этом 7 принадлежит стационарной подгруппе параболической вершины ki. Ввиду этого и леммы 3 получается следующий результат. Для краткости обозначим через z'> Т, со) левзчо часть тождества (!)•

Предложение 3. Пусть группа Г некокомпактна. Тогда:

1. если z,z'eF0 и группа Г содержит эллиптические элементы, то где zt- эллиптическая вершипа, на которой реализуется минимум p(z, Zj), когда Zj пробегает все эллиптические вершины области F.

2. если z, z' G F0 и группа Г не содержит эллиптические элементы, то y{z,z,T,a) = —х 7 -т-ГТ;— + ° Т е V» >

Z7T P{Z,J*Z') V /

•3. ее,ли ^ G Fq и z' G Fi, то

Y^/ / m ч T—J^Tpjz^^z'))

L(z>z>T>a) = nix(T) ^

2тг ' p(z:j*z О [г1'2 max (ea/A/^fa, \Jy[zr)e or/36^1/3

4. если z G Fi и z' G Fj, i ф j, то

T, a) — О (Г1/2 max (ea/4/y^, v/y(z)y(z')ea^6a1/3

5. если z, z' £ Fj, то

Vv¥] О (t1/2 max [ea'A/^ v/y(z)y(z')e^36a1^ ) .

В третьей главе (§§1-3) оценивается погрешность, вносимая весовой функцией кт(г,а) в спектральную функцию и выбирается оптимальный параметр а. В заключительном параграфе для кокомпакт-ных подгрупп получена оценка сверху для собственных функций и дана количественная мера степени осцилляции собственных функций.

В первом параграфе получена оценка погрешности для случая ко-компактных подгрупп. Вначале выбирается оптимальный шаг дискретизации 8=1/а/су, затем оцениваются суммы Е

Для получения оценки этих сумм используются асимптотические форм}>лы (4) и (5). Остаточный член в (4) и (5) имеет экспоненциальный рост по су, поэтому полагаем а = 1пТ и в результате получаем.

Лемма 4. Справедлива оценка

ХА —

Используя эту оценку, получаем оценку погрешности, которая оказывается равной 0(Т/\/\пТ).

Во втором параграфе получена оценка погрешности в случае не-кокомпактных подгрупп. Левая часть формально записывается в виде интеграла от обобщенной функции. Этот трюк сводит данный случай к предыдущему и оценка погрешности проводится по той же схеме. Оценка погрешности оказывается равной 0(л/уу'Т/\/1пТ). Далее, в полученном выражении спектральной функции, переходим от спектрального параметра я к спектру А по соотношению

Л = х2 + 1/4. В правой части выделенные члены могут быть меньше остаточного члена. Выделенные члены заведомо будут по порядку роста не более остаточного, если выполняется неравенство |Ji{\/Tр)\/р < 1/л/1пТ. Используя асимптотику функции Бесселя при большом аргументе, решаем неравенство и получаем р > (In2Т/Т)1/6. С учетом вышесказаного, получается окончательный результат.

Чтобы формулировки результатов были самодостаточными, соберем в одном месте разбросанные по тексту обозначения. z\, • ■ • ,Z[ - эллиптические вершины фундаментального многоугольника F.

TZl, • • • , TZI - соответствующие им стационарные подгруппы. ki, ■ ■ • ,кт - параболические вершины фундаментального многоугольника F.

7ь ''' 51т образующие стационарных подгрупп параболических вершин. )°то - элементы группы SL2(-R), которые отображают посредством сопряжения стационарные подгруппы параболических вершин в подгруппу сдвигов модулярной группы. Это требование определяет элементы а\. ■ ■ ■ , <тт однозначно.

A-i < А2 < • • • < Xj < . - точки дискретного спектра с учетом кратности. i/jj(z)}j£j - система соответствующих ортонормированных собственных функций дискретного спектра.

Ei(z}s) - ряд Эйзенштейна, ассоциированный с параболической вершиной ki. xij) - характер на группе Г. p(z, z') - гиперболическое расстояние между точками z и z'. Далее предполагается, что z £ Т, что не умаляет общности. y(z) — max I-mia'1 z).

1 < г < m

7* - элемент группы Г на котором достигается минимум p(z.jz').

6{z,z',T) - спектральная функция.

Для кокомпактных групп

6(г,г',Т)= £ О

Для некокомпактных групп

6(z,z\T) = I , fVT Vj(z)vj(z') + 7 1/2 + it)Ei(z\ 1/2 + it)dt, xj<t 71 i здесь знак ' означает что суммирование ведется только по сингулярным параболическим вершинам, то есть вершинам, для которых х(ъ) = 1

Теорема 1. Пусть Г чисто гиперболическая груша. Тогда 1. если p(z,j*z') < (In2 Т/Т)1/6, то wn-fm'^^+o1 1Т

2тт p{z,i*z') \ V 1пТ

2. в противном случае

0(z,z\T) = O^

Т 1пТ

Теорема 2. Пусть группа Г кокомпактна и содержит эллиптические элементы. Тогда 1. если p(z,i*z') < (In2 Т/Т)1/6, то а) если p(zuz) < (In2 Т/Т)1/6 hp(z1}1*z') < (In2 Т/Т)1/6,™ z', T) = ^ £ ЩГ^Р^')) + 0

VT

2тг тег, p[z,jj*z'

Т In Т

Ь) в противном случае

0(z,z ,Т) = —X\l )-7-—-+ О

2тг p(z,j*z'

1 Т In Т

2. в противном случае

6(z,z',T) = oU Т ыт

Теорема 3. Пусть группа Г некокомпактна. Тогда если p{Zll*z') < (In2Т/Т)1/6, то а) еслир{гиг) < (In2 Т/Т)1/6 и р{ги-у*г') < (In2 Т/Т)1/6 то,

Ь) в противном случае

0(z z' Т) V ^ТЫ^тр^у-Ч^ + Ь)) ' ' j " 2тг ^ m ] p{(j~lz.i о-+ к) Q , . lTy{z)y{z'

In Т где M(z, z'. Т) = ® \/y(z)y(z') и & таково, что y(z) = Im(a 1 .

2. в противном случае e(z^z\T) = o^iTy{z)y{z'

In Т

В третьем параграфе для кокомпактных подгрупп получена оценка в норме Too ортонормированной в Т2 системы {i/jj(z)}'*Ll собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами. Определим меру на N следующим образом: lim #{k:kes,k<n} n-Юо п

Теорема 4. Для почти всех ijjj(z) справедлива оценка

Ф3{г) ||оо<С ^ln(Aj).

Возьмем ортонормированную систему {^(z)}^! вещественно-значной и пусть Rj(z) есть радиус максимального круга в гиперболической метрике с центром в точке 2, в котором функция i/jj(z) знакопостоянна. Справедлива

Теорема 5. Существует подпоследовательность {'iJ)jk(z)}c£L1 такая, что

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Получена асимптотическая формула спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами для фуксовых групп первого рода.

2. Получена оценка сверху в норме Ь^ ортонормированных собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.

3. Получена оценка сверху диаметра области знакопостоянства подпоследовательности ортонормированных собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами для групп с компактной фундаментальной областью.

По теме диссертации опубликовано 4 работы [5]-[8].

Основные результаты диссертационной работы докладывались на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2004г); на научных семинарах Хабаровского отделения ИПМ ДВО РАН (рук. чл.кор. РАН Н.В. Кузнецов); на научном семинаре Хабаровского технического университета (рук. проф. А.Г. Зарубин).

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Головчанский, Владимир Васильевич

Заключение.

Вкратце коснемся вопроса об остаточном члене асимптотики. Суммирование в правой части тождества проводилось по модулю, что дало по параметру а оценку ехр(су/4) равномерную по парамеру Т. В действительности, сумма по элементам группы 7 с условием p(z,jz') > 1 ограничена по парамеру а. поскольку левая часть тождества и слагаемые с p(z,jz') < 1 в правой части при а —> со стремятся к конечному пределу. Это говорит о том, что оценка по модулю далека от наилучшей. Поскольку оцениваемая сумма зависит и от Т и осциллирует по нему, то можно ожидать, что нетривиальное суммирование даст оценку остаточного члена порядка Т1/4 вместо полученной л/Т/ In Т.

В заключение приношу искреннюю благодарность руководителю Н.В.Кузнецову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, что позволило в значительной степени сделать текст более прозрачным и читаемым.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Головчанский, Владимир Васильевич, 2006 год

1. Бабич В.М., Левитан Б.М. Задача о фокусировке и асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами. Докл. АН СССР, 1976, т. 230, N 5, с. 1017-1020.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2 М., 1974. 295 с.

3. Бердон А. Геометрия дискретных групп. М., 1986. 300 с.

4. Венков А.Б. Спектральная теория автоморфных функций. Труды МИАН, 1981, т.153. 170 с.

5. Гельфанд И.М., Граев М.И., Пятецкий-Шапиро И.И. Обобщенные функции. Вып. 6. М., 1966. 512 с.

6. Головчанский В.В. Асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами для кокомпактных дискретных подгрупп SL(2,R). Препринт ИПМ ДВО РАН, 1995, 16 с.

7. Головчанский В.В. Асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами для кокомпактных дискретных подгрупп SL(2,R). Мат. сб., 1998, т. 189, N 7, с. 977-990.

8. Головчанский В.В. Асимптотика спектральной функции оператора Лапласа-Бельтрами для некокомпактных дискретных подгрупп SL{2,R). Препринт ИПМ ДВО РАН, 2004, 22 с.

9. Головчанский В.В. Полуклассический предел собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами для кокомпактных подгрупп SL(2,R). Препринт ИПМ ДВО РАН, 2005, 12 с.

10. Левитан Б.М. О разложении по собственным функциям оператора Лапласа. Мат. сб., 1954, т. 35, N 2, с. 267-316.

11. Фаддеев Л.Д. Разложение по собственным функциям оператора Лапласа на фундаментальной области дискретной группы на плоскости Лобачевского. Труды ММО, 1967, т.17, с. 323-349.

12. Aurich R., Steiner F. Statistical properties of highly excited quantum eigenstates of a strongly chaotic systems. Phys. D, 1993, vol. 64, N 1-2, p. 185-214.

13. Berry M. V. Regular and irregular semiclassical wavefunctions.

14. J. Phys. A: Math. Gen, 1977, vol. 10, N 12, p. 2083-2091.

15. Bogomolny E., Georgeot B.,Giannoni M-J.,Schmit C. Arithmetical chaos. Phys. Rep., 1997, vol. 291, N 5-6, p. 219-326.

16. Bohigas 0., Giannoni M.-J., Schrnit C. Characterization of chaotic quantum spectra and universality of level fluctuations laws. Phys. Rev. Lett., 1984, vol. 52, N 1, p. 1-4.

17. Harish-Chandra. Automorphic forms on semisimple Lie groups. Lect. Notes in Math.,1968, vol. 62. 138 p.

18. Hejhal D.A. The Selberg trace formula for PSL(2,R,). Lect. Notes in Math., 1976, vol. 548, 516 p.

19. Hormander L. The spectral function of an elliptic operator. Acta Math., 1968, vol. 121, p. 193-218.

20. Iwaniec П., Sarnak P. L°° norms of eigenfunctions of arithmetic surfaces. Annals of Math., 1995, Vol. 141, N 2, p. 301-320.

21. Langiands R.P. On the functional equations satisfied by Eisenstein series. Lect. Notes in Math., 1976, vol. 544, 337 p.

22. Lax P.D., Phillips R.S. The asymptotic distribution of lattice points in Euclidean and non-Eucliclean spaces. J. Funct. Anal., 1982, vol. 46, No. 3, p. 280-350.

23. Maass H. Uber eine neue Art von nichtanalytischen automorphen Funktionen und die Bestimrmmg Dirichletsher Reichen durch Funk-tionalgleichungen. Math. Ann., 1949, Bel 121, S. 141-183.

24. Phillips R.S, Sarnak P. Cusp forms for character varieties. Geom. Funct. Anal., 1993, vol. 17, No. 5, p. 61-125.

25. Phillips R.S., Ruclnick Z. The circle problem in the hyperbolic plane. J. Funct. Anal., 1994, vol. 121, No. 1, p. 78-116.

26. Roelcke W. Das Eigenwertproblem der automorphen Formen in der hyperbolischen Ebene. Math.Ann., 1966,Bel 167, S. 292-337; 1967, Bd 168, S. 261-324.

27. Seger A., Sogge C. Bounds for eigenfunctions of differential operators. Indiana Univ. Math. J., 1989, vol. 38, N 3, p. 669-682.

28. Selberg A. Harmonic analisis and cliscontinuous groups in weakly symmetries Riemannian spaces with applications to Dirichlet series. J. Indian Math. Soc., 1956. vol. 20, p. 47-87.

29. Sogge C., Zelditch S. Riemannien manifolds with maximal eigenfunc-tion growth. Duke Math. J., 2002, vol. 114, N 3, p. 387-437.