Асимптотический анализ эволюционных задач с большим параметром тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Крутенко Елена Владимировна

• Крутенко Елена Владимировна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Крутенко Елена Владимировна

Введение

1 Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

§1. Однородное уравнение

1°. Формулировка

2°. Построение формальной асимптотики

3°. Обоснование

§2. Неоднородное уравнение

§3. Однородное уравнение произвольного ранга

§4. Неоднородное уравнение произвольного ранга

2 Нормальная система первого типа

§1. Однородная система

1°

2° 3°

3 Нормальная система второго типа

§1. Однородное уравнение. Случай различных характеристических

корней

1°

2° 3°

корней

§2. Однородное уравнение. Случай кратных характеристических корней

1o. Построение формальной асимптотики

2o. Обоснование

4 Приложение. Доказательство теоремы

1o

2o

3o. Третий случай

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ эволюционных задач с большим параметром»

Введение

Решение многих задач физики и техники сводится к исследованию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В редких случаях для таких уравнений можно получить точное решение. Во многих же случаях для их исследования используют приближенные методы, к которым относятся численные и асимптотические методы. Для дифференциальных уравнений с высокочастотными членами (т.е. зависящими от произведения большого параметра - частоты - и времени), которые рассматриваются в диссертации, непосредственное применение численных методов - в частности, разностных - связано с известными проблемами (из-за большого сомножителя при временной переменной). Поэтому здесь необходимо использовать асимптотические методы (как правило, в сочетании с численными). Их зарождение применительно к линейным уравнениям связано с именем Лиувилля, изучавшего (в связи с разложением функций в ряды Фурье по собственным функциям краевых задач) асимптотическое поведение собственных чисел и собственных функций. Так, в 1837 году Лиувиллем [1] были построены и обоснованы асимптотические разложения фундаментальной системы решений у\(х, Л), у2(х, Л) обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (уравнения Штурма-Лиувилля) вида

у + (Л2г(х) + д(х)) у = 0, х Е [0, а],

где Л - большой параметр, a r(x) и q(x) - непрерывные функции, причём r(x) > 0. Им получены разложения вида

/ x

yi(x, Л) = ^yoi(x) + Л yii(x) + ...^ sin ¡Л J J r(x)dx

/ x

y2(x, Л) = ^yo2(x) + ЛУ12(x) + ...^ cos ¡Л J Jr(x)dx I ,

x E [0,a}.

В дальнейшем асимптотические представления решений стали применяться не только при исследовании сходимости разложений по собственным функциям, но и во многих задачах иного рода, включая прикладные задачи. Например, указанная работа Лиувилля была использована Де-Спааром [2 при интегрировании уравнения баллистики вращающегося артиллерийского снаряда, которое имеет вид

" . 2 / N

y + Л r(x)y = 0, r > 0,

при Л ^ то. Построенная Де-Спааром асимптотика была обоснована Горном [3]. Фауллер и Локк [4] позже также использовали результаты Лиувилля в задаче о движении снаряда.

В XX веке важнейшие результаты об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений с большим параметром были получены Биркгофом [5], Шлезингером [6] и Та-маркиным [7]. А В.И. Тржитзинский [8] обобщил теорию Шлезингера-Биркгофа-Тамаркина на интегро-дифференциальные уравнения. В послевоенные годы теория асимптотического интегрирования уравнений с большим параметром получила дальнейшее развитие в работах В.С.Пугачёва [9],

A.A. Дородницина [10], И.M. Раппопорта [11], H.H. Моисеева [12,13] и других авторов. В работах Территина Х.Л. [14,15] и Сибуйя [16] рассматривается вопрос асимптотического расщепления нормальной системы линейных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка, число которых определяется количеством тождественно кратных корней характеристического уравнения. Дальнейшее развитие это направление получило в работах C.B. Фещенко [17,18]. Н.И.Шкиль [19-22] провел в своих работах асимптотический анализ нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром в случае кратных корней характеристического уравнения. Отметим ещё работы В. Вазова [23] и Э. Коддингтона, Н.Левинсона [24],в которых задачи с кратными корнями характеристического уравнения упрощаются с помощью соответствующих линейных преобразованиях. В работах М.В. Федорюка [25] рассмотрена, в частности, задача на бесконечном промежутке изменения независимой переменной, где асимптотическое разложение решений построено одновременно по малому параметру и независимой переменной (двойная асимптотика).

В упомянутых выше работах коэффициенты уравнений являются, как правило, произведениями степеней асимптотического параметра и зависящих от времени функцией. Единственной, исключая наши исследования, работой об асимптотическом интегрировании линейных дифференциальных уравнений, в которых кроме коэффициентов, зависящих от большого параметра ш указанным выше образом (их называют плавными, или медленными коэффициентами), имеются и высокочастотные (или быстрые) коэффициенты, является работа Ю.А. Далецкого [26] (см. эти результа-

ты также в гл. VIII монографии [27]). При этом в [26]([27]) решается задача об асимптотическом расщеплении уравнений ( в случае, например, простого спектра старшего операторного коэффициента задача приводит к реализации асимптотического интегрирования уравнения) и там рассматриваются не просто нормальные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, а линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с ограниченными операторными коэффициентами. К работам по асимптотическому интегрированию линейных дифференциальных уравнений с быстрыми коэффициентами относятся также работы В.Б.Левенштама, Г.Л.Хатламаджияна, Д.А.Басистой и Е.В.Крутенко [2838]

Настоящая диссертация посвящена развитию теории асимптотического интегрирования систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих плавные и высокочастотные коэффициенты, пропорциональные определённым ( в том числе, положительным) степеням частоты осцилляции. Полученные результаты развивают и дополняют соответствующие результаты Моисеева Н.Н.[12,13], Ю.Л. Далецкого [26,27] , Коллинг-тона Э. и Левинсона Н.[24], Эвельсона Р.Л.[39] .

Структура основных результатов диссертации следующая. 1. Для каждого типа рассматриваемых задач описан вид асимптотического разложения решения. 2. Показано, что вычисление любого коэффициента этого разложения сводится к решению конечного числа простых однозначно разрешимых задач без асимптотического параметра. 3. Построенная формальная асимптотика обоснована, т.е. доказаны оценки разности решений и частичных сумм асимптотик по определённым нормам.

Перейдём к изложению основных результатов. Предварительно договоримся о следующих обозначениях. Для непрерывной 2п-периодической по т (вектор-) функции a(t,т), где t - параметр, положим

2п

.)> = 2П У a(t,s)ds, 0

{a(t,.)} = a(t,т) - (a(t,т)>.

Напомним, что (вектор-)функцию (а(Ь, .)> называют усреднением (вектор-) функции a(t, т) по т. В дальнейшем точкой будем обозначать производную по переменной а штрихом - по переменной т.

Одной из основных задач диссертации является задача о построении и обосновании асимптотического разложения решения задачи Коши для однородных уравнений второго порядка

3

X +

ы2а2^) + ^^ ш32'Ьк(^ ш^

X = 0, t е [0,Т]

к=0

х(0) = х0, X (0) = их\,

и

2р—1

X(t) + ш2£— | ш2a2(t) + ш—22ш^ ) x(t) = 0,

¿=0

Р

х(0) = х0, Х(0) = ш2 х1.

Здесь ш — большой вещественный параметр, Т > 0 Р е ^ 3, a(t), a0(t) и Ьк(t, т), к = 0,1,..., 2р — 1, — заданные па множествах t е [0, Т] и (t, т) е [0, Т] х [0, то) = П, соответственно, вещественные непрерывные функции, обладающие непрерывными производными по ^ ^^^^^^ ^^ядка ипот-первого порядка. Предполагается, что a(t) = |, к е a0(t) = 0, функции

Ьк(г, т) являются 2п-периодическими по ^ а хр хх — заданные вещественные числа.

Второй основной задачей диссертации является построение и обоснование полных асимптотических разложений фундаментальных матриц решений (т.е. базиса в пространстве решений) для двух классов нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

х(г) = ш1 (А(г,ш) + В(г,шг,ш)) х(г), г е [0,Т] (0.1)

и

х(г) = (шА(г,ш) + ш2в(г,шг,ш)) х(г), г е [0,т] (0.2)

где ш — большой вещественный параметр, Т > 0 т,п е Ж,

т т

А(г,ш) = ^ш-кАк(г), в(г,т,ш) = ^ш-квк(г,т), к=0 к=0

Ак и Вк, к = 0, т - квадратные матрицы порядка п. Предполагается, что элементы последних определены и непрерывны на множествах г е [0,Т] и (г,т) е [0,Т] х [0, то) причём элементы матрицы Ак имеют на интервале г е (0, Т)

рывных на отрезке г е [0, Т ] функций, а мат рицы В к (г, т) - 2п-периодичны по т с нулевым средним: (Вк(г,т)) = 0. В системе (0.1) матрица А0(г) имеет различные характеристические корни Лх(г), Л2(г),..., Ап(г), а в случае системы (0.2) рассмотрены два случая: 1) Ак(г) — Лj(г) = ¿й, й е к = ^ , и 2) матрица А0(г) имеет единственный корень кратности п.

В диссертационной работе, помимо однородных дифференциальных уравнений второго порядка и однородных нормальных систем дифференциальных уравнений рассматриваются некоторые классы соответствующих неоднородных уравнений и систем. Подробнее об этом сказано во второй части

введения. Решения всех рассматриваемых в диссертационной работе задач понимаются в классическом смысле.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, приложения и списка литературы, содержащего 39 наименований. Общий объём диссертации 144 страницы.

В первой главе исследуются дифференциальные уравнения второго порядка. Для формулировки основных результатов этой главы введём в рассмотрение следующие элементарные задачи, в которых функции a, Ь2, Ь3 -

те же, что и выше.

Задачей типа (А) назовём задачу па полуоси т е [0, то) о нахождении 2п-периодического по т с нулевым средним решения уравнения

ди , ч

дт = >,

где t е [0, Т] — параметр, а ) — непрерывная па множестве П функция, 2п-периодическая по т с пулевым средним.

Задачей типа (В±) назовём задачу на полуоси т е [0, то) о нахождении 2п-периодического по т решения уравнения

д^,т) ± т) = ),

дт

где t е [0, Т] - параметр, а т) - непрерывная на множестве П функция, 2п-периодическая по т с пулевым средним.

Задачей типа (С±) назовём задачу Коши на участке t е [0, Т] вида

±2т^)и + | (6^,т) + &з(^т)0±(^т)> ± ia(t) — ^^^^^ = ^

и(0) = и0, 10

где х(г),и0 — непрерывная функция и число, а в±(г, т) — 2п-периодическое

т

д2в±, 2. (г)дв± х, (г п

Как известно, задачи А, В± и С± однозначно разрешимы, а потому решения задач В— и С— при заме не ^, х и и0 на их комплексно сопряжённые связаны с соответствующими решениями задач В+ и С+ операцией комплексного сопряжения.

Скажем теперь коротко об используемом методе построения формального асимптотического разложения решения. Такое разложение, представленное в виде соответствующего асимптотического ряда ( в §1,например, это ряд (1.3)), подставляется в исходное уравнение и в полученном равенстве приравниваются коэффициенты при одинаковых функциях. В результате приходим к бесконечной последовательности равенств, каждое из

(... )

рой переменной т = шг на два уравнения. Для однозначного определения медленных коэффициентов потребуются начальные условия (для быстрых имеется условие периодичности), которые определяются путём подстановки асимптотического ряда в заданные начальные условия и приравнивания

ш

Обоснование формального асимптотического разложения можно разбить на три пункта. В первом пункте производятся необходимые преобразования, во втором - доказывается вспомогательная лемма, в которой установлены априорные оценки решений, в третьем - доказываются оценки разности решений и частных сумм, отвечающих им асимптотик.

В §1 рассматривается обыкновенное однородное дифференциальное уравнение вида

х + ш2a2(t) + ш2+ + ш2+ х = 0, (0.3)

с начальными условиями

х(0) = х0, х(0) = шх1. (0.4)

Данные задачи удовлетворяют указанным выше ограничениям.

Асимптотическое разложение решения х^(^ задачи (0.3), (0.4) ищется в виде ряда

^^ /(ш\к(s))ds / з \

x(t) = ^ е0 М0ки + ш—2 (и^й + з(t, ш^)) I , (0.5)

к=1 V з=1 /

где функции и^кЙ т) являются 2п — периодическими по т с пулевым средним.

Частичную сумму ряда (0.5)

2 1 / п \

^—г f((лЛk/ ^—г з \

xn(t) = е0 И0к(0 + 2^ Ш—2(изк(t) + з(^)) ,

к=1 \ з=1 /

(0.6)

(п = 0,1, 2,...)

будем называть п-ым приближением решения х^ (t) рассматриваемой задачи (0.3), (0.4).

Основным результатом первого параграфа является следующая теорема.

п

такие положительные числа Сп и шп что при ш > шп эффективно строится

и-ое приближение хп(£) решения хш(£) задачи (0.3), (0.4), которое является вещественным, и при всех£ € [0,Т] удовлетворяет оценкам

X(£) - хп(£)| < Спш^г1, ^(£) - хп(£)| < Спш^.

Под эффективностью понимается тот факт, что построение приближения хп(£) сводится к решению конечного числа задач каждого из типов :

Рассматриваемый случай а(£) = |, к € называют нерезонансным. Резонансный случай исследован позже в работе Левенштама В.Б.[36]. Во втором параграфе рассматривается неоднородное уравнение вида

х +

ш2а2(£) + ш3 Ь3 (£, ш£) + шЬ2 (£, ш£) + ш1Ь^£, ш£) + Ь0 (£, ш£)

г / 2^(в)^¿в

= е ^ у (/(£,ш) + д(£,ш,ш£)),

х =

(0.7)

с начальными условиями

х(0) = х0, х(0) = шх!. (0.8)

Здесь Т > 0,т € а(^), (£) и Ь*(£,т),д^(£,т),к = 0,3,^ =

—4, _ заданные на множествах £ € [0,Т] и (£,т) € [0, Т] х [0, то) = П, соответственно, непрерывные функции, обладающие непрерывными производными по £ любого порядка. Будем предполагать, что а(£) и д!(£), д2(£) _ вещественные? а остальные функции могут быть комплекснозначными. Кроме того, а(£) и д!(£) не принимают целых и полуцелых значений, а Ь^ (£,т) и д*(£,т) - 2-^-периодические по т функции, а

т т

/(£,ш) =^2 ш—к/к(£), д(£,т,ш) = X]ш—2д*(£,т),

&=—4 &=—4

т > —4, где /кй,д^),и дк(t,т) — непрерывные при Йт) Е П функции, сколь угодно гладкие по ^причём (дк(t,т)) = 0. Положим

0, a(t) ± Д1Й = п,п Е ^ Е [0, Т];

г = <> —1, a2(t) = м2й, (Ьз(t,т)) = М1 Е [0,Т];

—2, a2(t) = (Ьз(t,т)) = (^)дг(^),^ Е [0,Т];

(0.9)

и будем рассматривать три указанные здесь ситуации.

Асимптотическое разложение решения задачи (0.7), (0.8) ищется в виде

хш вд = Ё ш г

з=0

Ее^ У (и* (t)+ з (t,шt)) +

к=1

+е У (рз(t)+ с/з(t,шt))

где функции из'к(t, т) и (t, т) — 2п - периодичны по т с нулевым средним.

п

х" (t) = Е ш '

3=0

2 § (ш\ц~ (в)+" 1 А2к(в)1

Ее^ (изк (t)+ изк (t,шt)) +

к=1

+ е у (Рз(t)+ /з(t,шt))

Введём в рассмотрение ещё одну элементарную задачу. Задачей типа (Д) назовём задачу на полуоси т Е [0, то) о нахождении 2п-периодического по т решения уравнения

/" Йт) + 2^)/ (t, т) + — ) = д(^т),

где t Е [0, Т] - параметр, а д(t, т) - непрерывная на множестве П функция, 2п-периодическая по т с нулевым средним.

Легко видеть, что в условиях (0.9) эта задача однозначно разрешима. Справедлив следующий результат.

Теорема 1.2. Для любого целого неотрицательного числа n найдутся такие положительные числа Cn и шп, что при ш > шп эффективно строится n-oe приближение xn(t) решения (t) задачи (0.7), (0.8), которое при всех t G [0,T] удовлетворяет оценкам

К (t) - xn(t)| < СпШ ^ , |жы (t) - x n(t)| < СпШ ^ .

Под эффективным построением приближения решения в этой теореме понимается тот факт, что для построения каждого слагаемого приближения сводится к решению конечного числа линейных однозначно разрешимых задач без асимптотического параметра типов A, С±, а в первом случаи ещё и типа D.

Доказательство теоремы 1.2 приведено в приложении. В третьем параграфе для любого натурального числа p > 2 (случай

p = 2 исследован в первом параграфе) рассматривается задача Коши

2p-1 \ ш2a2(t) + X! ш-2&i(t,wt)J x(t) = 0, t G [0,T] (0.10) ¿=0 )

P

x(0) = x0, X(0) = ш2 x1, (0.11)

где a0(t) = 0 при всех t G [0, T], число p называется рангом (в соответствии с [12]). .

Асимптотическое разложение решения задачи Коши (0.10), (0.11) ищется в виде

2 \f p p-2 p— 1 А

J Ai,fc(s)+J] №fc2A2fc(s) ds x(t) = > e0 V i=i /x

k=i

x(t)

2p-1 + Ш 2

X ^Mok(t) + Ш 2 (Ujk(t) + j(t,^t))J ,

где функции Vjk(t, т), j = 1, 2,..., k = 1, 2, и (t, т), l = 1, 2, ...,p — 2, k = 1, 2 являются 2-^-периодическими пот, и Vjk (t,T ), j = 1, 2,...,k = 1, 2, имеют нулевые среднии. Частичную сумму

2 t i p P—2 p—l i \

^^ / w2w"^Ik(s,ws)+w2A2fc(s) ds

xn(t) = ^ e^ 1=1 / x

k=i

x ^uok(t) + ^ ш-2 (Ujk(t) + Vjk(t,wt))^ ,n G N,

ряда x(t) будем называть n-ым приближением решения задачи Коши (0.10), (0.11).

Имеет место следующий результат.

Теорема 1.3 .Для любого натурального n построение приближения xn решения задачи Коши (O.lO)-(O.ll) сводится к решению конечного числа задач типов А и C+. При этом вектор-функция xn вещественна, и справедливы оценки

n + 1

sup |x(t) — xn(t)| < Ci^—-+-,

tG[0,T ]

X 4 x ч , n+1 — P

sup |x(t) — xn(t)| < C2W—1—-,

tG[0,T ]

где C1 и C2 - не зависимые от ш постоянные.

Эффективность здесь понимается аналогично том, как она понимается в теореме 1.2.

В §4 рассматривается неоднородное уравнение произвольного рангар > 2 / 2р-! \ . р Г ^,

2р-1 / 1 2 ^—г _А \ 2 J г(в)«в

ж(£)+ы 2 ы2а2(£) + ы 2Ьг(£,ы£) ж(£) = е 0 (/(£, ы)+#(£, т, ы)),

' 0 (0.12)

где

т т

/(£,ы) = ^ Ы-^/л(£) ^(£,Т,Ы)= X] Ы-2^(£,т)

Л=—2р Л=—2р

с начальными условиями

р

ж(0) = жо, хх (0) = ы р Х1, (0.13)

где параметр ы >> 1,т € Вещественные функции а0(£),г(£) и ком-плекснозначные /(£), Ьг(£,т)и (£,т) определены и непрерывны на множествах £ € [0,Т], (£,т) € [0,Т] х [0, то) соответственно, причём Ьг,дл _ 2^-периодичные по т , а имеет нулевое среднее по т, а0(£) = 0 а2(£) = г2(£), У£ € [0,Т], ж0 и Х1 - некоторые комплексные заданные числа.

Асимптотическое разложение решения данной задачи Коши ищется в виде

ж(£) = ^ е0 4 1=1 у х

л=1

то

ы-2 (М'Л(£) + ( £, ы£

2 Г / р р-2 р-1 1 \

Д ^ 2 ^ М1к 2\2к (в) ¿в

0 V 1 = 1 /

х ( Мол(£) + ы 2 (М-*(£) + г^(£,ы£)) ) +

■ р Г / N 7 П

г^ ^ г(в)ав ^—г ^

+ е 0 2^ы-2 (р(£) + ^(£,ы£)),

где функции г^л(£, т), ^ = 1, 2,..., к =1, 2, и ^(£, т), I = 1, 2, ...,р — 2, к = 1, 2 являются 2-^-периодическими по т с пулевыми средними. Справедлив следующий результат.

Теорема 1.4. Для любого n £ N найдутся такие положительные числа cn и шП} что при ш > шп эффективно строится n-oe приближение xn решения задачи Коши (0.12)-(0.13), которое при Bcext £ [0,T] удовлетворяет оценкам

—n— 1

sup |x(t) - xn(t)| < Схш-n-_,

t£[0,T ]

sup |x(t) - xn(t)| < С2Ш-n-±p,

t£[0,T ]

где C\ и C2 - да зависимые от ш постоянные.

Эффективность понимается в том же , что и в теоремах 1.2, 1.3 смысле. Отметим, что рассматриваемые в гл. I уравнения 2-го порядка аналогичны соответствующим уравнениям H.H. Моисеевым [12, гл. IV], в которых высокочастотные слагаемые отсутствуют. Перейдём ко второй главе.

Здесь, а также в третьей главе, многократно будем пользоваться следующими обозначениями. По любой квадратной матрице S определим матрицы S и S где S получена из S заменой в последней диагональных элементов нулями, a S = S — S.

В первом параграфе этой главы рассматривается нормальная система дифференциальных уравнений вида

X(t) = ш2 (A(t,w)x(t) + B(t,wt,w)) x(t),w >> 1, (0.14)

где

m m

A(t, ш) = ш—k (t),B(¿,т,ш) = ^ ш—2Bk(t, T), k=0 k=0

Ak и Bk, k = 0, m - квадратные матрицы порядка n. Будем предполагать, что элементы последних определены и непрерывны на множествах£ £

[0, Т] и (£, т) € [0, Т] х [0, то), причём они имеют на интервале£ € (0, Т) производные любого порядка, которые продолжпмы до непрерывных на отрезке £ € [0, Т] функций, а матрицы В?(£, т) - 2п -периодичны по т с нулевым

2п

средним: (Вк(£,т)) = 2л/ (£,т)^т = 0. Предположим ещё, что матрица

о

А0(£) имеет различные характернстпческие корпи А^), Л2(£),..., Ап(£), £ € [0,Т ].

Асимптотическое разложение фундаментальной матрицы решений системы (0.14) ищется в виде

X (£) =

3

( I

3=1

Р0(£) + ^ ы—2 (Р3 (£) + Н (£,ы£))

где Р3 (£) и Н3(£,т) - квадратные матрицы порядка п, причём Н3 (£,т) - 2п-периодичпы по т с нулевым средним, Р0(£) - невырождены, диагональные элементы матриц Р0—1(0)Р3(0),^ > 1, равны нулю, ф(£,ы) = ы21(£) + ф0(£),ф—1(£) = 1)(£^ и ^0(£) = (3(£)^ - диагональные матрицы порядка п, удовлетворяющие условиям ф—1(0) = ф0(0) = 0.

Положим

I

Р1 (£,ы) = Р0(£) + ^ ы—2 Р3 (£),

3=1

I

Н1 (£, т, ы) = ^ ы—2 Н3 (£, т);

3=1

и _ к-ые столбцы матриц Р1 и Н1 соответственно;

^ = (р? + ^);

— к-ый диагональный элемент матрицы символами || А|| и | а| будем обозначать какие-либо согласованные нормы матрицы А и вектора а.

Имеет место следующий результат

Теорема 2.1. Существует число и0 > 0, такое что при и > и0 для каждого k = 1, n найдётся решение системы уравнений (0.14), для которого при всех целых неотрицательных l выполняется оценка

sup |pf(t)e-qk - pf(t)| ^-т+г, te[0,T] и 2

где c = c(l) - не зависящая от и константа. При этом столбцы , k = 1, n, составляют фундаментальную матрицу решений.

В конце параграфа построено асимптотическое разложение решения неоднородной задачи Коши вида

x(t) = и22A(t,u)+ и2B(t,ut,u) x(t) + f(t,u) + d(t,ut,u),

x(0) = x0

на участке t G [0,T], где

m m

Ek k и-2ff(t), ф,т,и)=2^ и-2df(t,т),

f=-i f=-i m- натуральное число.

Здесь элементы вектор-функций ff (t) и df (t, т) относятся к тем же классам функций , что и элементы матриц Af (t) и Bf (t,T) соответственно, кро-

df т

Асимптотическое разложение частного решения рассматриваемой задачи построено в виде

то

x(t) = ^ и-2 [Vj (t) + Wj (t,иt)] , j =0

где Wj - 2-^-периодические по т вектор-функции с пулевым средним.

Для данной неоднородной задачи и последующих линейных неоднородных задач при построении асимптотик решений задач Коши мы ограничиваемся построением формальных асимптотик их частных решений. Отметим, что асимптотики соответствующих однородных задач строятся с обоснованием предварительно. Формальные асимптотики указанных частных решений можно обосновать аналогично.

Перейдём к третьей главе.

В первом параграфе этой главы рассматривается нормальная система дифференциальных уравнений вида

= шА(£,ш)ж(£) + ш1В(¿,ш£,ш)ж(£),ш >> 1, (0.15)

где

т т

А(£,ш) = ш-кАк(¿), В(¿,т,ш) = ш-кВк(¿,т), к=0 к=0

в случае когда характеристические числа матрицы А0 удовлетворяют

условию Ак — А, = 5г, в Е Это нерезонансный случай. Резонансный случай исследован В.Б. Левенштамом [36].

Заметим, что в [26] исследованы уравнения аналогичного (0.15) вида, но в банаховом пространстве с ограниченными операторами А и В. При этом, однако, в [26] отсутствует большой сомножитель ш2 при быстро осциллирующем слагаемом. Кроме этого, здесь используется более простая, отвечающая конечномерной ситуации, техника.

Асимптотическое разложение фундаментальной матрицы решений системы (0.15) построено в виде

то

Ро(£) + ^ ш—2 (Р,(¿) + Н(£,ш£))

3=1

где

Q(t,w) = wQ_2(t) + w2 Q_i(t) + Qo(t),Qk (t) = (q£- (t)),k = -2,-1,0,

_ дИагональные матрицы, удовлетворяющие условиям Qf(0) = 0, матрицы P0(t) - невырождены, диагональные элементы матриц S0(t) = P0-1(0)Pj(0) -нулевые, а матрицы Hj(t,T), j = 1, 2,..., являются 2п-периодическими по т с нулевым средним.

При введённых во второй главе обозначениях имеет место следующий результат.

Теорема 3.1. Существует w0 > 0, такое что при w > w0 для каждого k = 1, n найдётся решение системы уравнений (0.15), для которых при всех целых неотрицательных l выполняется оценка

sup e_qk _ pf ,

te[0,T] w 2

где c = c(l) - не зависящая от w константа.

Отметим, что для систем (0.14) и (0.15) в отсутствие быстрых слагаемых (B(t,T, w) = 0) аналогичный результат имеется в монографии Э.А. Коллинпони. Н. Левинсона [24, гл. VI].

В конце параграфа построено асимптотическое разложение решения неоднородной задачи Коши вида

X(t) = wA(t,w)x(t) + w2B(t,wt,w)x(t) + f (t, w) + d(t, wt,w),w >> 1.

Здесь

m s

A(t,w) = ^ w_ 2 Ak (t), B (t,T,w) = ^ w_ 2 Bk (t, т), k=0 k=0 причём матрица A0(t) имеет различные характеристические числа

s s

f(t,w)= £ w_2fk(t), d(t,T,w) = ^ w_2df(t,т), k=_2p k=_2p

Элементы вектор-функций /к(¿) и ^(¿,т) относятся к тем же классам функций , что и элементы матриц Ак(¿) и Вк(¿,т)соответственно, кроме того, элементы ^ имеют нулевое среднее по т.

Асимптотическое разложение частного решения ищется в виде

то

1

3 =0

где т, - 2-^-периодические по т вектор-функции с нулевым средним.

Во втором параграфе этой главы рассматривается система того же вида,

А0

корень кратности п.

В этом параграфе для любой матрицы порядка т положим

т-1

с = с(з),

3=1—т

где С,) - матрица порядка т, у которой ^'-ая диагональ совпадает с ^'-ой

с

А также для формулировки основного второго параграфа этой главы введем в рассмотрение следующую задачу

Именно, рассматривается нормальная система дифференциальных уравнений вида

х(£) = ш [д(£)Е + Л] х + ш1 [А(£) + В(¿, ш£)] х, ш >> 1. (0.16)

Здесь д(£),£ Е [0,Т], - непрерывная комплекснозначная функция, А и В

т

фициентами, Е - единичная матрица, ^ - первый единичный косой ряд

ш

порядка т с характеристическим числом д(£)). Элементы матриц А и В определены и непрерывны на множествах £ £ [0,Т] и (£,т) £ [0, Т] х [0, то) соответственно. Матрица В(£,т) является 2п-периодической по т с пулевым средним:

2п

(В(£, т)) :=2л/ В(£,т)^т = 0.

о

По аналогии с [12, 13, 39] фундаментальную матрицу решений системы (0.15) можно представить в виде

г

X = Л(ы) (и(ы, £) + ы-вV(ы, £, ы£)) х е0 ,

где Л, и, V и Ф - искомые матрицы, причём Л, Ф - диагональные, а элементами матрицы V являются 2п-периодические по последнему аргументу т = ы£ функции с нулевыми средними, а и в _ искомые положительные числа.

Введём следующие обозначения:

I

и1 (£,ы) = ^ ы-2т и, (£), з =о

I

V1 (£, т, ы) = ^ ы-^ V, (£, т), з =о

I

Ф1(£,т, ы) = ^ ы-^ Ф, (£, т), ,=о

где I £ Ж или I = то, ито = и, Vто = V; и г>к - к-тые столбцы матриц и1 и V1 соответственно, = / ^ыд(й) + ы^тгД^ ¿й,^5(£) = + ы-2тг^. Теорема 3.2. Существует ы0 > 0, такое что при ы > ы0 для каждого

к = 1, т найдётся решение системы уравнений (0.16), для которого при

l

c

sup (t)e_qk _ pf(t)| ,

t€[0,T] w 2m

c = c(l) w

Отметим, что в работах [12, 13, 39] исследовалась система вида (0.16) без сомножителя w1 и высокочастотного слагаемого B(t, т). При этом обоснование асимптотик там практически отсутствует.

1 Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Асимптотика решения задачи Коши.

§1. Однородное уравнение

1°. Формулировка. Пусть Т > 0 а(£) и (£,т),к = 0,1, 2,3, — заданные на множествах £ Е [0, Т^ и (£,т) Е [0,Т] х [0, то) = П, соответственно, вещественные непрерывные функции, обладающие непрерывными производными по £ любого порядка. Будем предполагать, чтоа(£) не принимает целых и полуцелых значений (а(£) = |, п Е , а функции (£,т),к = 0,1, 2,3, являются 2-^-периодическими по т, причём (£,т) имеют непрерывные на Пт

Рассмотрим на участке £ Е [0,Т] задачу Коши

ж + ш2а2(£) + ш2Ь3(£,ш£) + шЬ2(£,ш£) + ш2+ Ь0(£,ш£) ж = 0, (1.1)

ж(0) = ж0, ж(0) = шж, (1.2)

где ш — большой вещественный параметр, аж0 и х1 — заданные вещественные числа.

Замечание 1.1. Вместо второго условия (1.2) можно рассматривать условие вида ж(0) = шж2 + ш1 х1 + ж0. Кроме того, к коэффициентам уравнения (1.1) и к правым частям (1.2) можно добавить слагаемые, пропорциональные степеням ш-где п — натуральное. При этом, как видно из дальнейших рассуждений, алгоритм построения асимптотики и его обоснование, по существу, не меняются.

Асимптотическое разложение решения (£) задачи (1.1), (1.2) согласно

методу В КБ и методу двухмасштабных разложений будем строить в виде

ж(£) = ^ е0 I иок(£) + ш-2 (з(£) + з(£, ш£)) I , (1.3)

к=1 \ 3=1 /

где 3(£,т) - 2п-периодичны по т с нулевым средним:

2п

(3(£,т)> = 2-J 3(М)^ = 0. (1.4)

о

Функции Ак(¿),Дк(¿),мз-к(£) и 3(£,т), входящие в (1.3), будем искать следующим образом. Подставим ряд (1.3) в уравнение (1.1) и приравняем в левой и правой частях полученного равенства коэффициенты при одинаковых функциях. Отметим, что указанные функции имеют вид

г

т

штео , т = 4,3, 2,..., к = 1, 2. (1.5)

Получим бесконечную последовательность равенств, каждое из которых разобьём затем с помощью операции усреднения <...> по быстрой переменной т = ш£ на два уравнения. В результате найдём неизвестные Ак, Дк ,а также получим уравнения для коэффициентов 3(£,т) и коэффициентов м^к (^.Коэффициенты 3 (£,т) однозначно определяются построенными уравнениями в силу условия (1.4). Для однозначного определения коэффициентов м^к(£) требуются начальные условия, которые находим, подставив ряд (1.3) в равенства (1.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ш.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крутенко Елена Владимировна, 2019 год

Список литературы

[1] Liouville J. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными meine Л.Math. Pure AppL, 1837, L.P. 16-35.

[2] Sparre Асимптотическое интегрирование Sur le monvement des proyectiles oblongs. Jnp. Rational, 1893.

[3] Horn J. // Cryst, J., 1910, 198

[4] Fowler A., Lock С. Approximate solution of linear differential equations// Proc. Lond. Math. Soc., 1921. 20, 2, P. 127-147

[5] Bikhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parametr //Trans. Amer. Math. Soc., 1908, 9 P. 219-231

[6] Schlesinger Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential Systemeable Funktionen eines Parametere //Math. Ann., 1907, 63, P. 207-300

[7] Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Питербург 1917, 308 с

[8] Tryizinski W. Y. Theory of linear differential equations Containing aparametr //Acta math. 1936, 67. P. 1-50.

[9] Пугачев В. С. Об асимптотических представлениях интегралов систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр //Матем. сб., 1944, Т.15, №1, с. 13-46

[10] Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМК, 1952, Т VII, вып. 6

[11] Раппопорт, И. М. О некоторыхасимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд. АН УССР, 1954

[12] Моисеев H. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

[13] Моисеев H. Н. Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений в случае кратных элементарных делителей характеристического уравнения // ДАН СССР, 1966, Т. 170, №4, с. 780-782

[14] Turritin H. L. -Amer. J. Math., 1936, 58. P. 364-376.

[15] Терри/тин X. Л. Асимптотическое разложение решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр //Математика:С. пер., 1957, 1, №2. С. 29-59.

[16] Sibuya Ir. F.Some Global properties of Matrices of Functions of jne variable // Math. Ann., 1956, 161, №1. P.67-77.

[17] Фещенко С. Ф.Об асимптотическом расщеплении системы линейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. жури.. 1949, 7, №4. С. 99155

[18] Фещенко С. Ф.Об асимптотическом расщеплении системы линейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. жури.. 1955, 7, №4. С. 443452.

[19] Шкилъ Н. И. Асимптотическое поведение решений линейных систем в случае кратных корней характеристического уравнения //Укр. мат. жури.. 1975, 27, т. С. 137-140.

[20] Шкилъ Н. И. Построение общего асимптотического решения системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром //Изв. вызов. Математика, 1966, №1, С. 163-169.

[21] Шкилъ Н. И. Об асимптотическом решении системы линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр //Докл. АН СССР. 1963, 150, №5. С. 1005-1008.

[22] Щкллъ М. I. Асимптотичш методи в дифференщальних р1вняннях. И.Выща шк., 1971, 226 с.

[23] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир, 1968, 464 с.

[24] Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Изд-во Иностранной литературы, 1956, 474 с

[25] Федорюк М. В. Асимптотические методы для обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Наука, 1983. 352 с.

[26] Далецкий Ю. Л. Асимптотические методы для некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами //ДАН СССР. 1962, т. 143, №5.

[27] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

[28] Левенштам В. Б.Обоснование метода усреднения для задачи конвенции при высокочастотной вибрации // Сибирский математический журнал. 1993, №2, с. 92-109

[29] Басистая Д. А., Левенштам В. /^.Асимптотики решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Серия: Естественные науки. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. 2004, с.46-48.

[30] Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // ДАН. 2005, Т.405, №2, с. 169-172.

[31] Левенштам В. Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2006, Т.70, №2, с. 25-56.

[32] Левенштам В. В., Хатламаджиян Г. ЛТаспространиение теории усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстро осциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях// Известия высших учебных заведений. 2006, №6, с. 35-47

[33] Левенштам В. Б. Асимптотические разложения периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с боьшими высокочастотными слагаемыми // Дифференциальные уравнения. 2008, Т.44, №1, с. 52-68

[34] Крут,емко Е. В., Левенштам В. Б. Асимптотический анализ некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с большим параметром // Жури. выч. мат. и мат. физ. 2009, Т.49, №12, с. 1-13

[35] Крут,емко Е. В., Левенштам В. /^.Асимптотики решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с большими слагаемыми // Сибирский математический журнал. 2010, Т.51, №1, с. 74-89

[36] Левенштам В. Б. Асимптотический анализ линейных дифференциальных уравнений с большим параметром. Резонансный случай // Сибирский математический журнал. 2012, Т.53, №1, с. 124-131

[37] Крутенко Е. В. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Высокочастотные асимптотики //Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки. 2012, №6, с.31-33.

[38] Крут,емко Е. В., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы линейных дифференциальных уравнений с высокочастотными членами и старшим матричным коэффициентом - жордановой клеткой // Экологический вестник научногых центров ЧЭС. 2013, №1, с. 47-53.

[39] Евельсон Р. Л. Матричный метод асимптотического интегрирования системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с одним элементарным делителем произвольной кратности // Дифференциальные уравнения. 2011, Т.47, №5, с. 621-627