Асимптотические задачи линейной гидродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Лежнев, Виктор Григорьевич

• Лежнев, Виктор Григорьевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Лежнев, Виктор Григорьевич

Содержание

Введение

I Асимптотика решений при больших значениях времени

1 Общие оценки

1.1 Асимптотика интегральных преобразований Бесселя

1.2 Оценки в полуплоскости функций Ганкеля

1.3 Неравенство Бернштейна для целых функций, ограниченных на полуоси

2 Задача Коши для уравнения Ащ 4- их = 0

2.1 Оценка решения в случае Л3

2.2 Принцип предельной амплитуды

2.3 Асимптотика решения задачи Коши в й2

3 Первая краевая задача в ограниченной области для уравнения волн Россби

3.1 Спектральная задача

3.2 Почти периодичность по £ решений первой краевой задачи

3.3 Управление в первой краевой задаче

4 Внешние краевые задачи для уравнения Ащ + иХ1 = 0

4.1 Первая краевая задача во внешности круга

4.2 Оценка решения для внешности компакта в В3

5 О решениях уравнения Соболева и уравнения внутренних

волн

5.1 Асимптотика решения задачи Коши уравнения Соболева

5.2 Почти периодичность решений уравнения внутренних волн

в простых областях

II Задача определения начального возмущения

6 Обратные задачи ньютонова потенциала

6.1 Системы точечных потенциалов

6.2 Задача о плотности потенциала двойного слоя

6.3 Определение плотности объемного потенциала

7 Определение начального возмущения

7.1 Локализация носителя и аппроксимация начальной функции

7.2 Алгоритмы и численный анализ

Литература

164

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические задачи линейной гидродинамики»

Введение

Математическое изучение движений жидкости приводит к различным математическим моделям, требующим своих специальных подходов изучения и самых разных математических методов.

Теории волновых движений жидкости посвящено большое количество монографий, статей, специальных сборников и обзоров (Г. Ламб, 1932; А.И. Некрасов 1918, 1944; И.Е. Кочин 1926, 1935, 1949; М.В. Келдыш 1935; Л.И. Седов 1936, 1967; Л.Н. Сретенский 1933, 1977; М.А. Лаврентьев 1937, 1946, 1958; В.Г. Левич 1948; Дж. Дж. Стокер 1953, 1959; Дж. Лайтхил 1959, 1981; Дж. Уизем 1950, 1977).

Одним из основных вопросов теории является поведение решений нестационарных задач при больших значениях времени.

В данной работе исследуется поведение при £ —> оо решений и(х^) уравнений

Аии(х^) + иХзХз(х^) = 0, (1)

Аии(х^) + иХ1Х1(х,г) + иХ2Х2(х,Ь) = 0, (2)

Ащ{х,Ь) + иХ1(х,г) = 0, (3)

где А - оператор Лапласа, х = ..., хп); рассматривается также обратная задача определения начального возмущения по измерениям решения и(х^) в дискретных точках хт на примере задачи Коши для уравнения

(А - а2)щ{х,Ь) = 0. (4)

Уравнение (1) называется уравнением вращающейся жидкости -

уравнением Соболева [57], уравнение (2) - уравнением внутренних волн (гравитационной стратифицированной жидкости) [14], уравнение (3) называется уравнением планетарных волн и, как и уравнение (4), описывает длинные океанические волны, возникающие на сфере большого радиуса вследствие ее вращения (приближение "/3-плоскости") [30], [65]; уравнения (1)-(4) выводятся из линеаризованных уравнений Эйлера с соответствующей массовой силой без диссипации и трения.

Наиболее полному исследованию подвергнуто уравнение Соболева и эквивалентная ему система уравнений малых колебаний вращающейся идеальной жидкости, имеется ряд обзоров и монографий (Соболев С.Л., 1954, Зеленяк Т.И., 1970, Зеленяк Т.И., Михайлов В.П., 1970, Лайтхилл Д., 1981, Успенский C.B., Демиденко Г.В., Перепёлкин В.Г., 1984, Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан, 1989, и др.). В частности, известна точная оценка решения задачи Коши системы уравнений вращающейся идеальной жидкости в Л3 при t —> оо (Масленникова В.Н., 1971).

В диссертационной работе получены первые члены асимптотического разложения при t —> оо; методика позволяет получать все последующие члены асимптотического разложения.

Интенсивно изучалось в последние годы уравнение (2), основные результаты и библиография представлены в монографиях Габова A.C. и Свешникова А.Г. (1986, 1990), Копачевского Н.Д., КрейнаС.Г., Нго Зуй Кана, 1989.

В диссертационной работе доказана почти периодичность по t решений первой краевой задачи для уравнения (2) в специальных областях.

Менее изучено уравнение (3). При t оо известны оценки сверху решений некоторых краевых задач и задачи Коши (Ильин A.M., 1972, Успенский C.B., Демиденко Г.В., 1985).

Совместные круп помаештабн ые эксперименты в северной части Атлантики, проведенные в 70-е годы ведущими державами мира (программы "Полигон" и "Mode"), установили существование медленно меняющихся течений с временными масштабами до нескольких месяцев и с длинами волн порядка десятков километров.у,Для понимания динамики этих движений необходимо знать основы линейной теории планетарных волн, или волн Россби [30].

Уравнение (3) является новым объектом математической гидродинамики и основным предмептом исследований в данной работе. Уточнение асимптотических оценок, получение других качественных результатов является важным этапом построения теории исследуемого явления.

Актуальным является также рассмотрение обратных задач, в частности, обратных задач гидродинамики, Вторая часть работы посвящена постановке и исследованию одной из таких проблем [54], [7 D]

Часть первая состоит из пяти глав. Первая глава имеет вспомогательную роль, состоит из трех параграфов и содержит некоторые новые полученные автором оценки общего характера.

В параграфе 1.1 рассматривается поведение при t —> оо интегралов типа преобразования Бесселя

S£(t) = f\mg(x)Jn(xt)dx, п = 0,1,... .

Интегралы такого вида исследовались многими авторами (см., например, Тихонов А.Н., 1950, Арсеньев A.A., 1964, Федорюк М.В., 1987), когда b — оо, д(х) € С00[0, ос) и д(х) достаточно быстро исчезает на бесконечности. При этом оценки интеграла и члены асимптотического разложения зависят лишь от левого конца х = 0([1],[29],[61],[67]).

Основным результатом параграфа 1.1 является учет влияния правого конца х = b в асимптотическом разложении (лемма 1.2), что необходимо при использовании для получения оценок и асимптотик решений задачи Кош и для некоторых уравнений математической физики. В частности, мы имеем

sjw = Ш + á&,h т + 0{t-V\ t оо,

V v

причем могут быть получены все следующие члены асимптотического разложения при t —» оо. Используя реку рентные соотношения для J„(f), можно получить отсюда непосредственно разложение для <S®(¿).

В параграфе 1.2 дается равномерная в полуплоскости {fmz > 0} оценка отношений функций Ганкеля (гz) ¡Н^ (z), г > 1 полезная для задач во внешности круга [31],[56].

В параграфе 1.3 доказывается, что неравенство Бернштейна для целых функций экспоненциального типа может быть распространено на функции, ограниченные на полуоси. Известны различные обобщения этого неравенства ([2],[3],[4],[22]), данное обобщение особенно удобно при исследовании решений некоторых уравнений. Отметим, что формулировка данного обобщения вытекает из одной теоремы [8] об аппроксимации на полуоси целыми функциями (конечной полу степени

и конечной степени), а доказательство, приведенное здесь, опирается на результаты и технику теории рядов экспонент [42].

Вторая глава содержит результаты по асимптотике решений задачи Коши. Оценки решения в общем случае пространства К1 указывались, в частности, в [65], поведение интеграла по Ь от решения задачи Коши в Я3 рассматривалось в [52], »

Получен главный член асимптотического разложения при ¡£ —> оо решения задачи Коши уравнения планетарных волн в Я3, показано существование энергетической зоны.

Получена оценка по Ь решения задачи Коши в показано, что вне энергетической зоны убывание решения к нулю сильнее любой степени

гК

В главе 3 рассматривается поведение по Ь решений краевых задач для (3) в ограниченной области С

В случае Я1 и Я2 поведение решений первой краевой задачи для уравнения (3) и неоднородного уравнения изучались в [24], [25] где указаны оценки роста решений при Моо и оценки среднего по времени от решения. В общем случае ограниченной области С Я3 ъ [64] доказывается разрешимость первой краевой задачи и оценка решения.

В параграфе 3.2 доказывается, что решение и(х,£) для ограниченной области € С1, является почти периодической функцией £ в

о

пространстве Н1 Интегралы по времени также являются почти

периодическими функциями в случае Я1.

Известны некоторые результаты о поведении решений первой краевой задачи для уравнения (3) в неограниченных областях. Для случая

полупространства в Rn указывается оценка [65]

\u(x,t)| < СГ^ Ух = (xi,x2,... ,хп) G R\ = {х : х\ > 0},£ > ¿о;

если область имеет вид Q — (—оо, оо)xQ' Э (rci, х'), где Q' - ограниченная область в Яп_1, то имеет место неравенство \u(x,t)\ < Ci_1//2, t —у оо [59]

(начальные функции Мо(я) финитны и достаточно гладкие, wq — 0).

dQ

В главе 4 рассматривается решение первой краевой задачи во внешности круга в R2 получена оценка вида 0(£~1//2) для точек некоторой подобласти Q. В параграфе 4.2 доказывается убывание и для случая, когда дополнением к области, в которой решается задача, является ограниченная область в i?3.

Глава 5 содержит некоторые результаты для уравнений (1) и (2). Известны оценки решения задачи Коши для уравнения Соболева ([43],[66]); в параграфе 5.1 определяются главные члены асимптотики. Используются результаты раздела 1.1. В 5.2 показано, что для случая параллелепипеда и эллипсоида в Л3 решение первой краевой задачи для уравнения (2) является почти периодической функцией t. Доказательство следует идеям, используемым в [18].

В части II, состоящей из двух глав, ставится проблема определения начального возмущения. Данная задача сводится к обратным задачам теории потенциала и рассматривается на примере задачи Коши для уравнения (4), возникающего в динамической океанографии при описании планетарных волн в стратифицированной жидкости.

В главе 6 построена определенная методика исследования обратных задач ньтонова потенциала. Используется вариационный подход,

исследуются свойства систем точечных потенциалов, получены теоремы единственности.

В главе 7 рассматривается задача локализации носителя начальной функции и ее аппроксимации в норме ¿2-

Данный подход позволяет строить достаточно простые аппроксимирующие алгоритмы.

Проведены численные эксперименты по аппроксимации и локализации, приводятся численные результаты. Дополнительно излагается и иллюстрируется на примере задачи Неймана применение методики, изложенной в главах б и 7, для решения краевых задач уравнения Пуассона в ограниченных областях Я3.

Часть I

Ассимптотика решений при больших значениях времени

1 Общие оценки

В первом разделе получены некоторые асимптотические оценки при £ —» оо преобразований Бесселя. Второй раздел посвящен оценкам в полуплоскости отношений функций Ганкеля, в последнем разделе главы рассмотрены оценки целых функций экспоненциального типа, ограниченных на оси или полуоси.

1.1 Асимптотика интегральных преобразований Бесселя

Рассматривается поведение при £ —У оо следующих интегралов, содержащих функции Бесселя 1-го рода

где ш, п = 0,1,2,...

Доказываются следующие утверждения. Лемма 1.1. Если д(х) £ С1 [0,6], то

Ь > 0.

(1.1)

Лемма 1.2. Если д(х) G С2[0,Ь], то

50 = ¡g(x)J0(xt)dx = ^(1 - L(bt)) +

(L2)

где

/ОО 1

L(x) = /

.'Ж íí

у

1

а для функции (.г;) имеем <?i(0) = -<?' (0),

хд'(х) -д(х) +д(0)

gi(x) = д (ж)

х2

Эта лемма позволяет получить произвольное число членов асимптотического разложения при t —> со для So с достаточно гладкой //(х), учитывающего влияние обоих концов отрезка [0,6]. Разложим функцию L(x). Так как [17] L(0) = 1, то

roo 1 roo 1

¿(ж) = / -J^yjdy = ~ / -dj0(y) =

Jx у Jxу

Jq(X) j-oo 1

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Лежнев, Виктор Григорьевич, 1998 год

Литература

[1] Арсеньев A.A. О преобразовании Фурье медленно убывающих функций // ДАН СССР/ 1964/ Т. 154. С. 251 - 254.

[2] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М., 1947.

[3] Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Неравенства для производных, аналогичные неравенству С.Н. Бернштейна // ДАН СССР. 1957. Т. 117. N 3. С. 735 - 738.

[4] Бари Н.К. Обобщения неравенств Бернштейна и Маркова // ДАН СССР. 1953. Т. 90. N 5.

[5] Бибербах Л. Аналитическое продолжение. М., 1967.

[6] Боровиков В.А. Асимптотика при t оо функции Грина уравнения внутренних волн // ДАН СССР. 1990. Т. 313. N 2.

[7] Бродский М.М., Страхов В.Н. О решении обратной задачи для многогранников с переменными плотностями // ДАН СССР. 1987. Т. 283. N 2. С. 336 - 339.

[8] Брудный Ю.А. Приближения целыми функциями на внешности отрезка и полуоси // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. N 4. С. 593 - 613.

[9] Векуа И.Н. О метагармонических функциях // Труды / Тбилисский матем. ин-т. 1943. Т. 12. С. 105 - 166.

[10] Великович А.Л., Зельдович Я.Б. Об одном подходе к решению обратной задачи теории потенциала. // ДАН СССР, 1973, Т. 212, N 3.

[11] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М., 1976.

[12] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1981.

[13] Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М., 1986.

[14] Габов A.C., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М., 1990.

[15] Глазман И.Н., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М., 1969. С. 475.

[16] ГладскоЙ И.Б. О поведении решения задачи Коши для уравнения Aut — ux = 0 // Волновые движения жидкости: теория и эксперимент. Краснодар, 1984. С. 42 - 47.

[17] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов... М., 1971.

[18] Денчев Р.Т. О спектре одного оператора // ДАН СССР. 1959. Т. 126. N 2. С. 259 - 262.

[19] Доценко С.Ф., Черкесов Л.В. О нестационарных волнах в непрерывно стратифицированном потоке жидкости конечной глубины // Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1976. N 6. С. 87 - 93.

[20] Зеленяк Т.И., Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск, 1970.

[21] Зиновенко С.Н., Лежнев В.Г. Задача Дирихле для уравнения внутренних волн // Волновые движения жидкости: теория и эксперимент. Краснодар., 1984. С. 75 - 80.

[22] Иванов В.И. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов и их производных // Матем. заметки. 1975. Т, 18, N 4. С. 489 - 498.

[23] Ивашев - Мусатов О.С. О коэффициентах Фурье-Стильтьеса сингулярных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. N 2. С. 179 - 196.

[24] Ильин A.M. Об асимптотике решения одной краевой задачи // Матем. заметки. 1970. Т. 8. N 3.

[25] Ильин A.M. О поведении решения одной краевой задачи при t ос // Матем. сборник. 1972. Т. 87. N 4. С. 529 - 553.

[26] Капитонов Б.В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости // Матем. сборник. 1979. Т. 109. N 4. С. 607 - 628.

[27] Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан, Операторные методы в линейной гидродинамике. М., 1989.

[28] Лайтхилл Д. Волны в жидкостях. М., 1981.

[29] Ларичев В.Д. Асимптотическое поведение интегралов, содержащих большой параметр в аргументе функции Бесселя // ЖВМ и МФ. 1973. Т. 13. N 4. С. 1029 - 1035.

[30] Jle Блон П., Мойсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981

[31] Лежнев В.Г. Об асимптотическом поведении при t оо решения одной внешней краевой задачи для уравнения Соболева // Диф. уравн. 1969. Т. 5. N 1. С. 159 - 173.

[32] Лежнев В.Г. К неравенству Бернштейна для целых функций. Деп. ВИНИТИ. 1983. N 44 - 53 - 84.

[33] Лежнев В.Г. Почти периодичность по времени решения одной краевой задачи // Применение функц. методов и методов теории функций к задачам математической физики: IX Советско-чехословацкое совещание. Донецк, 1986.

[34] Лежнев В.Г., Малыхин К.В. Асимптотика решения задачи Коши уравнения длинных волн // Вопросы волновых движений жидкости. Краснодар, 1987. С. 71 - 75.

[35] Лежнев В.Г. Вычисление некоторых интегралов от функций Бесселя // Численный анализ: методы, алгоритмы, программы. М., 1988. С. 133 - 138.

[36] Лежнев В.Г. Одна обратная задача для гармонических функций // Методы и алгоритмы численного анализа. М., 1989. с. 182 - 187.

[37] Лежнев В.Г., Чижиков В.И. К задаче геопотенциала // Некорректно поставленные задачи в естественных науках: Тез. междунар. конф. М., 1991. С. 189.

[38] Лежнев В.Г. Асимптотика решений задачи Коши уравнений вращающейся жидкости // Волновые движения жидкости и смежные вопросы. Краснодар, 1991. С. 67 - 75.

[39] Лежнев В.Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. Краснодар, 1993, 91С.

[40] Lezhnev V.G. Approximation of inverse problem for Newtonian potential // Обратные и некорректно поставленные задачи, Тезисы докл. междунар. конфер., Москва, МГУ, 1996, С. 117.

[41] Лежнев В.Г. Аппроксимация обратных задач ньютонова потенциала // Численные методы анализа, М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997, С. 52-67.

[42] Леонтьев Л.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М., 1980.

[43] Масленникова В.Н. Математические вопросы гидродинамики вращающейся жидкости и системы Соболева: Автореф. дис. ... д-ра физ. -мат. наук. Новосибирск, 1971.

[44] Математическая энциклопедия. М., 1984.

[45] Михайлов В.П. О принципе предельной амплитуды // ДАН СССР. 1964. Т. 159. N ;. С. 750 - 752.

[46] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1983.

[47] Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. М., 1988.

[48] Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

[49] Муравей JI. А. Асимптотическое поведение при большом значении времени решений второй и третьей внешних краевых задач для волнового уравнения с двумя пространственными переменными // Труды/матем. ин-т АН СССР. 1973 Т. 129 . С. 73 - 144.

[50] Новиков П.С. Об единственности решения обратной задачи потенциала. // ДАН СССР, 1938, Т. 18, N 3.

[51] Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М., 1984.

[52] Петрушко И. М. О поведении по t решения задачи Коши для уравнения Ащ — их = 0 при большом времени // Исследования по уравнениям математической физики: Труды/МЭИ. М., 1975. N 250.

[53] Прилепко А. И. Обратная задача теории потенциала // Матем. заметки. 1973. Т. 14. С. 756 - 767.

[54] Прилепко А.И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. // Усл.-корр. задачи матем. физики и анализа, Новосибирск, 1992, С. 151-162.

[55] Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. // Вестник МГУ, Серия 1, 1995, N 6, С. 78-80.

[56] Русанов В. В. Медленное, неустановившееся обтекание кругового цилиндра // Вестник. ЛГУ. Сер. матем. 1955. N 2.

[57] Соболев С. JL Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. N 7. С. 3 - 50.

[58] Страхов В.Н. О линейных некорректных задачах гравиметрии и магнитометрии. // Усл.-корр. задачи матем. физики и анализа, Новосибирск, 1992, С. 176-204.

[59] Тикиляйнен A.A. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. N 4. С. 534 - 548.

[60] Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР, 1943, Т. 39, N 5.

[61] Тихонов А.Н. Об асимптотическом поведении интегралов, содержащих бесселевы функции // ДАН СССР, 1959. Т. 125. N 5. С. 982 - 985.

[62] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978.

[63] Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., 1984.

[64] Успенский C.B., Демиденко Г.В. О смешанных краевых задачах для одного класса уравнений, не разрешенных относительно старшей производной // Дифф. уравнения с частными производными: Труды семинара Соболева. N 2. 1980. С. 95 - 115.

[65] Успенский С.В., Демиденко Г.В. О поведении при t —> со решений некоторых задач гидродинамики // ДАН СССР, 1985. Т, 280. N 5. С. 1072 - 1075.

[66] Успенский С.В., Демиденко Г.В., Перепелкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск, 1984.

[67] Федорюк М.В. Асимптотика, интегралы и ряды. М., 1987.

[68] Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М., 1963.

[69] Чередниченко В.Г. К вопросу об определении плотности тела по заданному потенциалу. // ДАН СССР, 1978, Т. 240, N 5.

[70] Hormander L. The boundary problems of physical geodesy // Arch. Rational Mech. and Anal. 1976. N 62. P. 1 - 52.