Асимптотические свойства медленно меняющихся функций и субгармонических функций нулевого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Таров, Владимир Андреевич

• Таров, Владимир Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Таров, Владимир Андреевич

Указатель основных обозначений

Введение

Глава 1. Интегральные преобразования медленно меняющихся функций и правильно дифференцируемые функции

§1. Несколько вспомогательных утверждений.

§2. Свойства правильно дифференцируемых функций

§3. Среднее функции на луче.

§4. Неполное среднее функции на отрезке.

§5. Обобщённое среднее функции на луче.

§6. Обобщённое неполное среднее функции на отрезке

§7. Последовательное применение обобщённого среднего на луче и обобщённого неполного среднего на отрезке

§8. Преобразование, связанное с производным преобразованием Стилтьеса.

§9. Функции, эквивалентные монотонным правильно меняющимся функциям.

§10. Функции конечного порядка.

§11. Целые функции с правильно меняющимися характеристиками

Глава 2. Совершенные уточнённые порядки

Глава 3. Тип субгармонической функции нулевого порядка ~

§1. Формулы типа субгармонической функции нулевого порядка

§2. Точные оценки типа субгармонической функции нулевого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства медленно меняющихся функций и субгармонических функций нулевого порядка»

В диссертации исследуются асимптотические свойства субгармонических функций нулевого порядка, а также свойства медленно меняющихся функций, которые используются при изучении роста субгармонических функций нулевого порядка.

Изучением роста субгармонических функций нулевого порядка занимались Валирон Ж. [50]—[54], Хейман В.К. [46], Эдрей А., Фукс Дж. [47], Гольдберг А.А. [7, 9, 12], Братищев А.В. [2, 3], Коробейник Ю.Ф. [4], Заболоцкий Н.В. [14]—[18], Шеремета М.Н. [41, 49] и др. математики.

Асимптотические свойства медленно меняющихся функций исследовались Де Бруином Н.Г. [45], Балкемой А.А., Гелуком Ж.Л., Де Хаан L. [43], Гольдбергом А.А. [8] и рядом других авторов.

Приведём некоторые обозначения и определения.

Символами N, Z, Z+, Ш и С будем соответственно обозначать множества натуральных, целых, целых неотрицательных, вещественных и комплексных чисел.

Полагаем, что кр = +оо, если к G (1,оо) и р = +оо или если к (Е (0,1) и р = —оо; кр = 0, если к G (0,1) и р = +оо или если к € (1, сю) и р= —оо; 1Р = 1 Vp € [—оо, +оо].

Определение 0.1 (ср. [32]). Измеримая положительная на некотором луче (а, оо), а ^ 0, функция h(r) называется правильно меняющейся порядка р € [—оо,+оо], h{r) 6 Rp, если для любого к > 0 цт = (0.1) r-Я-оо h{r)

Определение 0.2 (см. [32]). Если h(r) Е -Ro> то Мг) называется медленно меняющейся функцией.

Определение 0.3 (ср. [44]). Непрерывно дифференцируемая в не-котой окрестности +оо правильно меняющаяся функция h(r) порядка p G [—со, +оо] называется нормализованной, h(r) G NRp, если lim rh'{r)/h{r) = p. (0.2) г—>+oo

Пусть п € R. Будем считать, что р — п = 4-оо, если р = +оо, и р — п — —оо, если р = —оо. Полагаем также, что +оо • (+со) = +оо, —оо • (+оо) = —оо.

Определение 0.4 (ср. [44]). Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, оо), а ^ 0, функция h(r) называется гладко меняющейся функцией порядка р £ [—оо, +оо], h{r) 6 SRP, если для любого п G N rnh№(rI аз)

Условимся называть функции /г(г) и р(г) эквивалентными, если эти функции эквивалентны при г —> +оо.

Любая правильно меняющаяся функция порядка р Е R эквивалентна [44, теорема 1.8.2] некоторой гладко меняющейся функции того же порядка р.

Из (0.3) вытекает, что гладко меняющаяся функция порядка р G [—оо,+оо], являясь (утверждение 1.4) правильно меняющейся функцией этого же порядка р, имеет, помимо свойства (0.1), дополнительные свойства, сходные со свойствами степенной функции.

Кроме того, если учесть вышеупомянутую теорему 1.8.2 [44], то ввиду (0.3) заключаем, что любая правильно меняющаяся функция порядка /эб1\0 эквивалентна функции, которая строго монотонна в некоторой окрестности +оо.

Оказывается, что медленно меняющиеся функции, эквивалентные монотонным, обладают рядом свойств, сходных со свойствами правильно меняющихся функций порядка р Е K\Z+.

Дадим следующее

Определение 0.5. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, +оо), а ^ О, функция h(r) называется правильно дифференцируемой функцией порядка р Е [—оо,+оо], h(r) Е DRp, если h(r) eRp и |/i<n)(r)| Е Rp-n Vn E N.

Множество всех правильно дифференцируемых функций обозначим через DR.

Заметим (см. утверждение 1.4), что DRp d SRp, но не всякая гладко меняющаяся функция является правильно дифференцируемой. Например, если р Е N, то rp Е SRP, но rp ^ DRP. Однако если р Е К. \ Z+, то =

В главе 1 с использованием ряда интегральных преобразований для любой монотонной медленно меняющейся функции получена эквивалентная ей правильно дифференцируемая функция.

В §1 главы 1 рассмотрено несколько вспомогательных утверждений.

Свойства правильно дифференцируемых функций изучаются в §2 главы 1. В этом параграфе, в частности, доказаны следующая

Теорема 1.1. Пусть функция h(r) положительна и бесконечно дифференцируема на некотором луче (ао,оо), ао ^ 0, причём для любого п Е N найдётся такое ап ^ ао, что h^(r) ф 0 при г > ап. Тогда h(r) Е DRp в том и только в том случае, когда гД(п+1)(г) lim f, w ч = p — n Vn € Z+. г-Ц-oo fr(n)(r)

Обобщением известного правила Лопиталя является

Утверждение 1.5. Если для бесконечно дифференцируемой на интервале (а, оо), a Е [—оо,+оо), вещественнозначной функции h(r) для любого п Е Z+ найдётся такое ап ^ а, что h^(r) ф 0 при г > ап, и существует предел lim^+oo hSn\r), равный —оо, -foo или О linir-j.+oo h(r) может быть и конечным не равным нулю числом d, если |/i(r) — d\ — медленно меняющаяся функция), то для любого к > О имеет место бесконечная цепочка неравенств r-»+oo h(r) r->+oo (h[r)Y r-Ц-оо (h{r)){n>

Ответ на вопрос о том, для каких функций приведённая выше цепочка неравенств обращается в цепочку равенств даёт

Теорема 1.2. Пусть h(r) — бесконечно дифференцируемая на интервале (о, оо); a G [—оо, +оо), вещественнозначная функция, причём для любого п G Z+ найдётся такое ап ^ а, что h^n\r) ф 0 при г > ап. Тогда для любого к > 0 имеет место ми . (МИ)(п) w ™ lim -VT- = lim \Л Nw ч Vn G N r-Я-oo h[r) r-t+oo (fl{r)pn> в том и только в том случае, когда |/г(г)| Е DR.

Для вещественнозначной измеримой на луче [а, оо), а ^ 0, функции h{r) такой, что функция h(r)/r2 интегрируема на этом луче, рассмотрим преобразование: г f°° h(t)/t2 dt при г > а и при г = а, если а > 0;

0.4) h(0) при г = 0, если а — 0.

Функцию g(r), будем называть средним функции h(r) на луче [а, оо). Свойства преобразования (0.4) изучаются в §3 главы 1.

Рассмотрим следующее преобразование вещественнозначной, измеримой, локально интегрируемой на луче [а, оо), а ^ 0, функции Л(г): g(r) = <

1/г) /аг h(t) dt при г > а и при г = а, если а > 0; ^ г(0) при г = 0, если а = 0.

Функцию #(г) будем называть неполным средним h(r) на отрезке. Заметим, что (интегральным) средним функции h(r) на отрезке [а, г] называется (см. [42]) величина да(г) = (1 /(г— а)) Ц h(t)dt. Отметим также, что если а = 0, то при г > а д(г) = да{г), а если а > 0 и д(г) > 0 в некоторой окрестности +оо, то g(r) ~ да{г) при г —> +оо.

Свойства преобразования (0.5) изучаются в §4 главы 1.

Пусть h(r) € NRq] на луче (а, оо), а ^ 0, h(r) дважды дифференцируема, h(r) > 0 и Ы(г) > 0; limr>+00 h(r) = +оо. На луче [6, оо), Ь > а, рассмотрим преобразование где (р(г) — дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче [6, оо) функция; <р~г(г) — определённая на луче [</?(&), оо) функция, обратная к функции cp(r); fi(r) — непрерывно дифференцируемая, положительная, неубывающая на луче [Ь, оо) функция.

Отметим, что если в (0.6) положить <р(г) = г и p(r) = 1 Vr € [6, оо), то в этом случае преобразование (0.6) является преобразованием (0.4) на луче [6, оо). Функцию д(г) в (0.6) будем называть обобщённым средним h(r) на луче [Ь, оо).

В §5 главы 1, ^ частности, показано, что в (0.6) можно подобрать число Ь и построить по h(r) <р(г) и (3(г) так, чтобы (теорема 1.3) д{г) была эквивалентна h(r) и выполнялось равенство Шг.++00гд"(г)/д'(г) = -1, причём если Иmr^+00rh"{r)/h'(r) ^ -1, то lim rg"{r)/g'{r) = -1. (0.7)

Г—Ц-ОО

Пусть h(r) е NRo-, на луче (а, оо), а ^ 0, h(r) дважды дифференцируема, h(r) > 0 и h'{r) > 0; linv^+oo h(r) = +оо. Рассмотрим на луче [с, оо), с > а, преобразование s(r) = W)[ "WW - hW dt' (°-8) где u(r) — дважды непрерывно дифференцируемая, положительная, возрастающая на луче [с, оо) функция.

Заметим, что если h(c) = 0 и в (0.8) положить (p{r) = г Vr G [с, оо), то в этом случае преобразование (0.8) представляет собой преобразование (0.5) на луче [с, оо). Функцию д(г) в (0.6) будем называть обобщённым неполным средним h(r) на отрезке.

В §6 главы 1, в частности, показано, что в (0.8) можно подобрать число с и построить по h(r) uj(r) так, чтобы (теорема 1.4) д(г) была эквивалентна h(r) и имело место равенство ]m\r^+00rg"{r)/g'{r) = —1, причём если Иmr^+OQrh"{r)/h'{r) ^ —1, то верно (0.7).

В §7 главы 1 для любой медленно меняющейся функции h(r), монотонной и не равной константе в некоторой окрестности +оо, построена (лемма 1.28) такая эквивалентная ей дважды непрерывно дифференцируемая и положительная на луче (0,оо) функция <?(г), что имеет место (0.7). Отметим, что в этом построении использовались преобразования (0.4) и (0.5) и последовательно применялись преобразования (0.6) и (0.8). Отметим также, что для полученной д{г) выполняется неравенство д'(г) > 0 (д'{г) < 0) при г > 0, если h(r) не убывает (не возрастает). Из указанных неравенств для д'(г) и (0.7) следует, что \rg'(r)\ Е NRo.

Заметим, что в [8] для любой монотонной медленно меняющейся функции h(r) построена эквивалентная ей непрерывно дифференцируемая функция д(г), такая, что rg'(r) G Rq. В указанном построении на последовательности отрезков, покрывающих полупрямую, "исправлялась" производная некоторой функции, связанной с h(r). При таком построении некоторые свойства исходной функции утрачиваются. Например, если 1пД(ег) вогнута, то In д(ег) вогнутой не будет.

Пусть h(r) е Rp, где р Е (—1,1), и h(r) неотрицательна на луче [О, оо). Рассмотрим преобразование

Отметим, что преобразование /0°° h(t)/(t + г)2 dt называется [40] производным преобразованием Стилтьеса.

В §8 главы 1 изучаются свойства преобразования (0.9).

С использованием вышеупомянутой леммы 1.28 и преобразования (0.9) в §9 главы 1 (теорема 1.5) показано, что для любой монотонной медленно меняющейся функции h(r) найдётся эквивалентная ей правильно дифференцируемая функция д(г), обладающая рядом дополнительных свойств. В частности, каждая производная д(г) имеет постоянный знак на (0, оо); если h[er) выпукла в окрестности +оо, то д{ег) строго выпукла на R; если In h(er) вогнута в окрестности +оо, то In д(ег) строго вогнута на R.

Заметим, что если rh'(r) € Ro, то по теореме 16 [43] для h{r) найдётся эквивалентная ей g(r) G DRq, причём для каждой производной д(г) найдётся своя окрестность +оо, в которой эта производная имеет постоянный знак. Построение, использованное в указанной теореме, не обеспечивает сохранение некоторых свойств исходной функции h(r). Например, если h(er) (ln/i(er)) выпукла (вогнута), то д(ег) (1п<?(ег)) не будет выпукла (вогнута).

Обратим внимание на то, что класс возрастающих медленно меняющихся функций такой, что если h(r) принадлежит этому классу, то в некоторой окрестности +оо функция h(er) выпукла, а функция 1 nh(er) вогнута, находит применение (см. [4], [27]) при исследовании асимптотических свойств субгармонических функций нулевого порядка.

0.9)

В теореме 1.6 для любой правильно меняющейся функции h(r) порядка р 6 R \ {0} получена эквивалентная ей гладко меняющаяся функция д(г), бесконечно дифференцируемая и положительная на луче (0, сю) и имеющая ряд других дополнительных свойств, причём если функция h(r)/rp эквивалентна монотонной функции, то д(г) — правильно дифференцируемая функция.

В §10 главы 1 для любой функции h(r) конечного порядка построена функция g(r) Е DRP с некоторыми дополнительными свойствами такая, что h(r) имеет нормальный (т. е. конечный положительный) тип при д(г), причём g(r) Е DRP, если Нтг»+00 h(r)/rp > 0.

В §11 главы 1 изучаются свойства целых трансцендентных функций порядка меньше 1 с правильно меняющимися характеристиками, у которых все нули расположены на одном луче.

В многочисленных работах, особенно в работах, касающихся роста субгармонических функций (частным случаем которых являются логарифмы модулей целых функций) положительные в окрестности +оо функции сравниваются с функциями вида h(r) = гр(т\ где р(г) — уточнённый порядок.

Определение 0.6 (см. [23]). Вещественнозначная дифференцируемая на некотором луче (а, + оо), а ^ 0, функция р(г) называется уточнённым порядком, если linv-я-оо p(r) = р, р е R,. и linV-^+oo г lnrp'(r) = 0.

Функция h(r) = rp(r\ где р(г) — уточнённый порядок, является, как это следует из леммы 5 [23, гл.1, §12], правильно меняющейся функцией порядка р, если Нт^+оо р(г) = р.

Дадим следующее

Определение 0.7. Бесконечно дифференцируемый в некоторой окрестности +оо уточнённый порядок р(г) называется совершенным, если для любого п € N lim rn In rp(n) (г) = 0. (0.10)

Г-++00 4 v '

В главе 2 (см. ниже теорему 2.1) установлена взаимосвязь между гладко меняющимися функциями конечного порядка и совершенными уточнёнными порядками.

Теорема 2.1. Пусть р Е №. Положительная бесконечно дифференцируемая на некотором луче (а, +оо), а ^ 0, функция h(r) является гладко меняющейся функцией порядка р тогда и только тогда, когда функция р\г) = —

In г является совершенным уточнённым порядком, для которого выполняется равенство lim р(г) = р.

J—У+ОО

Дадим ещё одно определение.

Определение 0.8 (см. [24]). Уточнённые порядки р\{г) и P2W называются эквивалентными, если linv^+oo^^r) — Р2 W) lnr = 0.

Следствием теоремы 2.1) является существование для любого уточнённого порядка эквивалентного ему совершенного уточнённого порядка. В частности, для любого уточнённого порядка найдётся эквивалентный ему сильный уточнённый порядок, т. е. дважды дифференцируемый в окрестности +оо уточнённый порядок, для которого выполнено (0.10) при п = 2.

В теореме 2.2 показано, что для любой <р(г) 6 Лр, р £ R, найдётся её совершенный уточнённый порядок, т. е. совершенный уточнённый порядок, при котором <р(г) имеет нормальный тип, причём ^ на некотором луче [Ь, оо).

В §1 главы 3 рассматриваются некоторые свойства субгармонических функций нулевого порядка. В частности, для этих функций получены формулы типа и нижнего типа, причём если субгармоническая функция является логарифмом модуля целой функции, то типы вычисляются через нули целой функции.

В §2 главы 3 (теорема 3.2) найдены точные оценки типа субгармонических функций нулевого порядка через верхнюю и нижнюю плотности распределения масс, а также через верхнюю плотность распределения масс и нижний тип. Точность оценок показана для каждой функции h(r), используемой в теореме 3.2 для получения характеристик субгармонических функций нулевого порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах: [27]-[29], [33]—[35]. Работы [27]—[29] выполнены в соавторстве с научным руководителем проф. В.В. Напалковым. Результаты диссертации, которые опубликованы в этих трёх работах, получены автором диссертации.

Отметим, что основные результаты главы 1 диссертации опубликованы в [28], [29], [34] и [35], главы 2 — в [28] и [29], главы 3 — в [27] и [33]. Лемма 1.19, а также отдельные утверждения лемм 1.15, 1.26 и теоремы 1.8 опубликованы в [34]. Теорема 1.5, утверждение 1.5 и частные случаи утверждения 1.6 опубликованы в [29] и [35], теорема 1.6 — в [29]. Теорема 2.1 и следствие этой теоремы опубликованы в [28] и [29]. Утверждения 3.1 и 3.3, следствия 1 и 2 утверждения 3.3, теорема 3.1, утверждение 3.4 и следствие этого утверждения опубликованы в [27]. Основные утверждения теоремы 3.2 опубликованы в [33].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Таров, Владимир Андреевич, 2004 год

1. Брайчев Г.Г. О некоторых характеристиках аналитических функций логарифмического роста // Теория операторов, субгармонические функции. — Киев, 1991. — С. 12-24.

2. Братищев А.В. Несколько замечаний о субгармонических в плоскости функциях нулевого порядка // Матем. заметки. — 1982. — Т.31. — Вып. 3. — С. 363-373.

3. Братищев А.В. Об обращении правила Лопиталя // Сб. "Механика сплошной среды". — Ростов-на-Дону: РГУ, 1985. — С. 28-42.

4. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. О некоторых характеристиках роста субгармонических функций // Матем. сб. — 1978. — Т.106(148). — №1(5). — С.44-65.

5. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. — М.: Наука, 1965. — 424 с.

6. Валирон Ж. Аналитические функции. — М.: ГИТТЛ, 1957. — 236 с.

7. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. II. // Матем. сб. — 1963. — Т.61 (103). — №3. — С. 334-349.

8. Гольдберг А.А. Интегральное представление монотонных медленно меняющихся функций // Известия вузов. Сер. матем. — 1988. — №4. С. 21-27.

9. Гольдберг А.А., Заболоцкий Н.В. Индекс концентрации субгармонической функции нулевого порядка // Матем. заметки. — 1983. — Т. 34. — Вып. 2. — С. 227-236.

10. Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции вполне регулярного роста // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — № 1. — С. 25-32.

11. Гольдберг А.А., Коренков Н.Е. Асимптотика логарифмической производной целой функции нулевого порядка // Укр. матем. журн. — 1978. — Т. 30. — Ко 3. — С. 291-298.

12. Гольдберг А.А., Островский И.В. О производных и первообразных целых функций вполне регулярного роста // Сб. "Теория функций, функциональный анализ и их приложения". — 1973. — Вып. 18. — С. 70-81.

13. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

14. Заболоцкий Н.В. Обобщение одной теоремы И.Ф. Красичкова / Львов, гос. ун-т. — Львов. 1981. — 9 с. — Деп. в ВИНИТИ 11.01.82, №129-82.

15. Заболоцкий М.В. Теореми типу Вал1рона-Тгтчмарша для щлих функцш нульовогу порядку // Укр. матем. журн. — 1996. — Т. 48. — №3. — С. 315-325.

16. Заболоцкий Н.В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Матем. заметки. — 1998. — Т. 63. — Вып. 2. — С. 196-208.

17. Заболоцкий Н.В. Существование угловой плотности корней целых функций нулевого порядка // Матем. заметки. — 2003. — Т. 73. — Вып. 5. — С. 698-703.

18. Заболоцкий Н.В., Шеремета М.Н. О медленном возрастании основных характеристик целых функций// Матем. заметки. — 1999. — Т. 65. — Вып. 2. — С. 206-214.

19. Зорин В.А. Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981.544 с.

20. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. — 424 с.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

22. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. — М.: Физматгиз, 1958. — 272 с.

23. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 632 с.

24. Маергойз Л.С. Индикаторная диаграмма целой функции уточнённого порядка и её обобщённые преобразования Бореля-Лапласа // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12. — Вып. 2. — С. 1-63.

25. Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука, 1992.432 с.

26. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. В 2-х т. Том II. Дальнейшее построение теории. — М.: Наука. — 1968. — 624с.

27. Напалков В.В., Таров В.А. О некоторых свойствах субгармонических и целых функций нулевого порядка // Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа. Сборник статей. М.: АФЦ, 1999. — С. 113-129.

28. Напалков В.В., Таров В.А. Правильно меняющиеся функции и уточнённые порядки // Вестник УГАТУ. — 2003. — Т. 4. — № 1.С. 48-54.

29. Напалков В.В., Таров В.А. Функции, эквивалентные правильно меняющимся функциям // Доклады АН. — 2003. — Т. 391. — Kq 5. — С. 598-601.

30. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. Теория функций (специальная часть). Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел. — Наука, 1978. — 432 с.

31. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. — М.: Наука, 1971. — 432 с.

32. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.144 с.

33. Таров В.А. Об одном классе монотонных медленнно меняющихся функций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Сер. матем. — 2003. — Вып. 1. — С. 121-131.

34. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: ГИТТЛ, 1951. — 508 с.

35. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т. Т. 2. — М.: Мир, 1984. — 738 с.

36. Харди Г.Г., Литлльвуд Дж.Е. и Полиа Г. Неравенства. Пер. с англ.М.: Гос. изд. ин. лит., 1948. — 456с.

37. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. Пер. с англ.М.: Мир, 1980. — 304с.

38. Хиршман И.И., Уиддер Д.В. Преобразования типа свёртки. — М.: ИЛ, 1958. — 313 с.

39. Шеремета М.Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевого порядка и коэффициентами их степенных разложений // Известия вузов. Сер. Математика. — 1968. — Ко6 (73). — С.115-121.

40. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Части 1-2. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

41. Balkema А.А., Geluk J.L., De Haan L. An extension of Karamata's Tauberian theorem and its connection with complementary convex functions // Quart. J. Math. Oxford(2). — 1979. — V.30. — № 120.C. 385-416.

42. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Encyclopedia of mathematics and its applications. V.27. — Cambridge: Cambridge University Press, 1987. — XX+491 c.

43. Bruijn N.G. De. Pair of slowly varying functions occuring in asymptotic problems concerning the Laplace transform // Niew. Arch. Wisk. — 1959. — V. 7. — C. 20-26.

44. Hayman W.K. Slowly Growing Integral and Subharmonic Functions 11 Comment, math. helv. — 1960. — V. 34, № 1. — C. 75-84.

45. Lee С.М. Generalization of L'Hopital's rule// Proc. Am. Math. Soc.1977. — V. 66. — №2. — C. 315-320.

46. Sheremeta M.M., Tarasyuk P.I., Zabolotskii M.V. On asymptotic of entire functions of finite logarithmic order // Матем. физика, анализ, геометрия. — 1996. — Т. 3. — № 1-2. — С. 146-163.

47. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null // Math. Ann. — 1911. — V.70. — C. 471-498.

48. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null // C. R. — 1913.V.156. — C. 534-536.

49. Valiron G. Sur les fonctions entieres d'ordre null et d'ordre fini et en particulier les fonctions a correspondance reguliere // Ann. fac. sci. univ. Toulouse (3). — 1914. — V. 5. — C. 117-257.

50. Valiron G. Les progres de la theorie des fonctions entieres depuis 1900 // Borel E. Legons sur les fonctions entieres. — Paris: Gauthier-Villars et Cie, 1921. — C. 124-155.

51. Valiron G. Lecture on the General Theory of Integral Functions. — Toulouse: E. Privat, 1923. — 208 c.