Асимптотические разложения собственных элементов оператора Шредингера с возмущением, локализованным на малом множестве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Бикметов, Айдар Ренатович

• Бикметов, Айдар Ренатович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бикметов, Айдар Ренатович

Введение

Глава 1. Сходимость решений и собственных элементов возмущенной краевой задачи для оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве

§1. Сходимость решений возмущенной задачи

§2. Сходимость собственных элементов возмущенной задачи

Глава 2. Полная асимптотика собственных элементов возмущенной задачи в трехмерном случае

§1. Формальное построение первых членов асимптотик.

§2. Внешнее и внутреннее разложения.

§3. Построение полных асимптотических разложений.

§4. Обоснование асимптотических разложений.

Глава 3. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенной задачи в n-мерном случае

§1. Асимптотики в случае п > 2.

§2. Асимптотики в случае п — 1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические разложения собственных элементов оператора Шредингера с возмущением, локализованным на малом множестве»

Асимптотические методы занимают важное место в теории дифференциальных уравнений. Это объясняется тем, что задачи, рассматриваемые в теории дифференциальных уравнений, в подавляющем большинстве не имеют явного решения в виду сложной зависимости от числовых и функциональных параметров, входящих в эти задачи. Однако правильное описание решения или нахождение приближенного решения можно существенно упростить, если известно, что некоторые из параметров очень малы, либо, наоборот, велики. Для решения таких задач привлекаются асимптотические методы. Асимптотические методы решения задач, как правило, связаны со спецификой рассматриваемой задачи. Одним из классов задач, которые успешно решаются применением асимптотических методов являются сингулярно возмущенные задачи. Такие задачи описывают многие реальные модели окружающего мира. Этим они интересны для исследователей-физиков. Значительный вклад в развитие асимптотических методов в теории сингулярно возмущенных задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Н. Н. Боголюбов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жиков, А. М. Ильин, JI. А. Калякин, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, J1. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, Ю. А. Митропольский, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Палеисия, Б. И. Сулей-манов, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев и многие другие (см., например, [1], [2], [6] - [13], [15] - [20], [23], [26] - [30], [32], [34], [38], [39], [41], [42], [46], [50], [47], [55], [56], [62], [63], [72], [77], [79]). Одним из типов сингулярно возмущенных задач являются задачи, решения которых не могут быть описаны при помощи только одного асимптотического ряда. Для полного и правильного описания решения требуется построение нескольких асимптотических рядов. Такого типа задача исследуется в данной диссертационной работе.

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Шредингера в ограниченной области. Практически во всех задачах, рассматриваемых в диссертации, возмущение описывается потенциалом, который зависит от малого параметра е таким образом, что при е —» 0 мера носителя потенциала стремиться к нулю, а значение потенциала неограниченно растет. В последнем параграфе заключительной главы, рассматривается случай, когда возмущение - потенциал, принимающий конечные значения. С физической точки зрения, рассматриваемая задача, в зависимости от знака потенциала, соответствует или задаче о потенциальной яме или задаче о потенциальном барьере с бесконечно высокими стенками. Цель работы - построение асимптотических разложений собственных значений и соответствующих собственных функций для рассматриваемых задач. То есть, в диссертации проводится исследование дискретного спектра оператора Шредингера, с указанным выше возмущением.

Изучение дискретного спектра стационарного оператора Шредингера, возмущенного малым потенциалом, на оси и плоскости - классическая задача математической физики. Исследованию такой задачи посвящено достаточно много работ. Выделим лишь основные.

В книге [37] авторами рассмотрена задача о возмущении оператора Шредингера малым потенциалом на оси. На физическом уровне строгости авторами вычислены асимптотики собственных значений и соответствующих собственных функций. Математически строгие результаты для задач на оси и плоскости были получены в работах [66], [67], [78]. В этих работах исследован дискретный спектр операторов на оси и плоскости, соответственно. Функция V удовлетворяет условию где 7 > 0 - некоторое число. В этой постановке авторами были установлены необходимые и достаточные условия существования малого собственного значения. Оказалось, что вопрос наличия собственного значения зависит от среднего значения потенциала V:

В случае, когда собственное значение существует, то строятся первые члены его асимптотики по малому параметру г. Случай нелинейной зависимости потенциала от малого параметра был рассмотрен в [57]. В работах [19], [20] результаты, полученные в работах [37], [57], [66], [67], [78] были обобщены на случай возмущения, осуществляемого произвольным малым локализованным оператором второго порядка. Упомянем также про задачи о квантовых волноводах: задачи для оператора Лапласа в бесконечном цилиндре в Rn, п > 2 с граничным условием Дирихле на границе и с малым возмущением. Возмущением может быть, например, малый потенциал, искривление области, смена типа граничного условия и т.д. Таким задачам посвящены работы [58] - [61]. В свою очередь, результаты последних работ были обобщены в статье [64]. В этой работе был развит подход, предложенный автором в [19], [20]. Е x < оо

Заметим, что в отличие от приведенных выше работ, где рассматривалось регулярное возмущение, в диссертации рассматривается случай, когда возмущение является сингулярным. А именно в диссертации рассматривается задача в ограниченной области с возмущением осуществляемым потенциалом

-У®, а < 2, где V - бесконечно дифференцируемая финитная функция. То есть, при е —> 0 носитель потенциала сжимается в точку, в то время как значение потенциала неограниченно растет. Заметим также, что в силу ограниченности области замена переменных у = же-1 не сводит эту задачу ни к упомянутым выше, решенным задачам, ни к более простой.

Похожими по постановке с задачами, рассматриваемыми в диссертации, являются задачи о концентрированной массе. Особенность и схожесть этих задач заключается в том, что в качестве возмущения рассматривается прикрепление массы на малом участке области, диаметр, которой является малым параметром е. С математической точки зрения, масса соответствует множителю при спектральном параметре произвольного эллиптического оператора в ограниченной, либо неограниченной области с произвольным граничным условием. Этот множитель, зависящий от малого параметра е, стремиться к бесконечности при е —> 0. Для таких задач ставится вопрос об изучении влияния единичной сосредоточенной массы на спектр эллиптического оператора при различных условиях на скорость роста значений массы. Этим задачам посвящены работы [21], [22], [24], [43] - [45], [62], [65], [68], [70], [75] - [77].

Заметим, что задачи, рассматриваемые в диссертации, не сводятся к задачам о концентрированной массе.

Близкими по постановке являются задачи для эллиптических операторов, рассматриваемые либо в областях, которые получаются из фиксированной области выбрасыванием из нее малой подобласти, либо со сменой типа граничного условия на малой части границы. Таким задачам посвящены работы [14], [25], [39], [48], [49], [54], [73], [74], [80] и других авторов.

Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе доказывается сходимость решений, собственных значений и соответствующих собственных функций рассматриваемых возмущенных краевых задач к решениям, собственным значениям и соответствующим собственным функциям предельной задачи Дирихле в ограниченной области в пространстве Mn, п > 2. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования асимптотик собственных элементов возмущенных задач, строящихся во второй главе диссертации.

Пусть П - связная ограниченная область в п > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, V(t) - бесконечно дифференцируемая финитная функция, 0 < е <С 1 - малый параметр, а < 2 - некоторое фиксированное число. Предполагается, что Q содержит начало координат.

Рассматривается возмущение задачи Дирихле для оператора Лапласа: —Auo = Auo + /o в Q, щ = 0 на Г, (0.1) где /о € Ь2(П).

Возмущение описывается потенциалом, принимающим большие значения, но имеющим малый носитель:

-Д + e~aV и£ = ХиЕ + fe в Q, = 0 на Г, (0.2) где f£ G 1/г(Г2). Под символами || • || и || • ||i будем понимать норму в L2(Q) и И^С^), соответственно: о

Через И^1^) обозначим пополнение функций из Cq°(Q) по норме Wj^)-Обозначим через (•, •) скалярное произведение в пространстве Z/2(f2). Решения этих задач будем понимать в обобщенном смысле (см. [36], [40],

51]). А именно, под решением краевой задачи (0.1) понимается элемент о wo € И/Г21(^), удовлетворяющий интегральному тождеству

Vu0, Vv) = A(uo, v) + (/о, v) о для любой функции v Е W^fi). Аналогично под решением краевой задао чи (0.2) понимается элемент и£ е И^1^), удовлетворяющий интегральному тождеству

W, Vu) + (у i/, и) = Х(и0, V) + (Л, V) о для любой функции v Е W^fi).

В первой главе изучается сходимость решений возмущенной задачи (0.2) и доказывается следующее утверждение.

Лемма 0.1. Пусть Q - произвольный компакт в комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений краевой задачи

-Аф0 = Х0ф0 в П, ф0 = 0 на Г. (0.3)

Тогда

1) существует число eq > 0 такое, что при любом е < ео и любом Л 6. Q существует единственное решение и£ краевой задачи (0.2)

2) если ||/е — /о|| —> 0; то имеет место сходимость 0 0

Затем, применением леммы 0.1 доказывается следующая теорема, являющаяся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 0.1. Пусть До - собственное значение краевой задачи Дирихле (0.3) кратности N. Тогда

1) совокупная кратность собственных значений Х£,г краевой задачи

-А + е-ау(^)}фе = \ефЕ в П, ф£ = 0 на Г, (0.4) сходящихся к До при е —> 0; равна N;

2) из любой последовательности {^j^Lx —> 0 можно выделить подпоследовательность 0 такую что для соответствующих Х£'г собственных функций ф£,г краевой задачи (0-4), нормированных в Z-2(0); имеет место сходимость 0(M|(l 0, где ф°'г, i — 1,., N - ортонормированные в 1/2(П) собственные функции, соответствующие собственному значению До

Из теоремы 0.1 немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3), а фо - соответствующая нормированная в собственная функция этой задачи. Тогда

1) существует собственное значение Xе краевой задачи (0.4), сходящееся к Ао, при £ —>■ 0. Это собственное значение простое;

2) для соответствующей Xе нормированной в собственной функции фе имеет место сходимость \\ф£ — ^olli 0 при г —> 0.

В конце первого параграфа выводится равномерная по малому и спектральному параметрам оценка решений краевой задачи (0.2).

Во второй главе рассматривается случай ficR3. Основным результатом второй главы является

Теорема 0.2. Пусть Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3) а фо - соответствующая нормированная в 1/2(Г2) собственная функция этой задачи. Тогда асимптотика собственного значения Xе возмущенной задачи (0-4), сходящегося к Ао при е —■» 0, имеет вид

ОО 00

А'-Ао + Х)Е£ЛтЛАи- (0-5) г=О j=1

Аод = Ф1(0) (V), (0.6) а асимптотика соответствующей собственной функции в норме имеет вид

00 00 ф%х) = ф0(х) + XiE^^W' хеП\{х:\х\<е^2}, (0.7) о j=1

00 оо 2s1/2, (0.8) i=0 j=0 где

P(i,j) = i + (2-a)j, {V) = J V(t)dt.

R3

Доказательство теоремы 0.2 проводится в несколько этапов. Вначале методом согласования асимптотических разложений (на формальном уровне) строится первый член теории возмущений собственного значения краевой задачи (0.4). Одновременно с этим строятся первые члены рядов (0.7), (0.8). Коэффициенты ряда (0.7) являются сингулярными решениями краевых задач в ограниченной области, не содержащих малый параметр е, а коэффициенты ряда (0.8) являются растущими на бесконечности решениями уравнений Пуассона, рассматриваемых во всем пространстве К3. Решения этих краевых задач и уравнений имеют произвол, который определяется в результате согласования асимптотических разложений рядов (0.7), (0.8). Далее показывается, что формально построенные частичные суммы асимптотических разложений собственных элементов удовлетворяют рассматриваемой возмущенной задаче с точностью до невязок малого порядка. Затем построенные асимптотические разложения строго обосновываются. Последнее означает вывод оценки разности между истинными собственными значениями и построенными асимптотическими рядами, а также оценки разности между соответствующими собственными функциями и построенными асимптотическими разложениями.

Во третьей, заключительной главе строятся асимптотики собственных значений для рассматриваемого в настоящей работе возмущенного оператора Шредингера в случае пространства произвольной размерности.

В первом параграфе третьей главы рассматривается случай пространства размерности п > 2.

Постановка задач следующая. Пусть П - связная ограниченная область в R™, п > 2 с бесконечно дифференцируемой границей Г, Ао - простое собственное значение краевой задачи (0.3), а фо - соответствующая нормированная в собственная функция, V £ Co°(Rn), 0 < е 1 малый параметр,

Предполагается, что П содержит начало координат.

Целью первого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 0.3. Пусть а < 1 - произвольное фиксированное число. Асимптотика собственного значения Xе краевой задачи (0.4), сходящегося к Ао при е —» 0; имеет вид

В конце параграфа будет также приведено представление для соответствующей собственной функции ф£.

Как видно из условия теоремы 0.3, на параметр а наложены более слабые ограничения в отличие от условия, наложенного на а в главе 1 (а < 2). Данное ослабление позволяет построить и строго обосновать первые члены асимптотик собственных значений в случае пространства размерности п, не привлекая при этом метод согласования асимптотических разложений. Для построения асимптотик собственных значений используется регулярная теория возмущений.

Во втором параграфе третьей главы строится и строго обосновывается асимптотика собственного значения возмущенного оператора Шрединге-ра в одномерном случае. Постановка задачи следующая. Рассматривается возмущенная краевая задача на собственные значения

А£ = Ао+£п-а ("00(0) (V) + о(1)) .

0.9)

0.10) фЦО) = ф£{ 1) = 0, где xq - произвольная фиксированная точка из интервала (0,1).

Основной результат этого параграфа формулируется в виде следующего утверждения.

Теорема 0.4. Собственное значение Xе краевой задачи (0.10), сходяще-6С.Я тс собственному значению Ао краевой задачи х 6 (0,1), ((ш)

00 (0) = = о. имеет асимптотику

Ае = Ao + eAi + 0(£3/2), (0.12)

Х1 = ф20(х0) {V). (0.13)

Кроме того, в данном параграфе будет построена и строго обоснована асимптотика собственных функций. Соответствующее утверждение будет сформулировано и доказано в конце параграфа. Построение асимптотик, как и во второй главе проведено методом согласования асимптотических разложений.

В дальнейшем для удобства чтения формулы, а также формулировки лемм и теорем, приведенные во введении, будут повторяться в тексте диссертации с сохранением нумерации.

Результаты первой и второй главы диссертации опубликованы в статье

И].

Результаты первого параграфа третьей главы опубликованы в работе [5]. В данной совместной работе Гадылынину Р. Р. принадлежит постановка задачи, а также лемма 3.1.

Результаты второго параграфа третьей главы опубликованы в совместной статье [3]. В этой работе Борисову Д.И. принадлежит обработка изложения текста статьи и литературный обзор.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадыльшину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Автор благодарен к.ф.-м.н., доценту кафедры математического анализа БГПУ им. М. Акмуллы Борисову Денису Ивановичу за многократные обсуждения результатов и ценные замечания.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бикметов, Айдар Ренатович, 2008 год

1. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 125 с.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984 г. 352 с.

3. Бикметов А. Р., Борисов Д. И. О дискретном спектре оператора Шре-дингера с узкой потенциальной ямой // ТМФ. 2005. - Т. 145. № 3. - С. 373-385.

4. Бикметов А. Р. Асимптотики собственных элементов краевых задач оператора Шредингера с большим потенциалом, локализованным на малом множестве // ЖВМиМФ. 2006. Т. 79. № 4. - С. 666-681.

5. Бикметов А. Р. , Гадылыпин Р. Р. . О спектре оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Матем. заметки. 2006. - Т. 79. №5. - С. 787-790.

6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

7. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67. №. 6. - С. 23-70

8. Борисов Д. И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном // Матем. сб. 2006. - Т. 197. № 4. - С. 3-32.

9. Борисов Д. И., Гадыльшин Р. Р. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. сб. 2007. - Т. 198. № 8. - С. 3-34.

10. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. - Т. 12. № 5. - С.3-122.

11. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифф. уравнения. 1986. - Т. 22. № 4 - С. 640-652.

12. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1988. - С. 3-15.

13. Гадыльшин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки // Матем. заметки. 1993. - Т. 54. № 6. - С. 10-21.

14. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью // Матем. сб. 1998. - Т. 189. № 4. - С. 25-48.

15. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. № 3. - С. 51-96.

16. Гадыльшин Р. Р. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении // Труды МИРАН. 2002. - Т. 236. - С. 79-86.

17. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения // Матем. сб. 2002. - Т. 193. № 11. - С. 43-70.

18. Гадыльшин Р. Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 2003. - Т. 5. - С 3-32.

19. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // ТМФ. 2002. - Т. 132. - С. 97-104.

20. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на плоскости // ТМФ. 2004. - Т. 138. - С. 41-54

21. Головатый Ю. Д. Спектральная задача Неймана для оператора Лапласа с сингулярно возмущенной плотностью. // УМН. 1990. - Т. 45, № 4. - С. 147-148.

22. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами: эффект локальных колебаний. // Тр. Моск. матем. о-ва. 1992. - Ж 54. - С. 29-72.

23. Головатий Ю. Д., Головач И. А. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех.-матем. 1997. - Вып. 48. - С. 88-99

24. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой // Сиб. мат. журнал. 1998. - Т.29. №5. - С.71-91.

25. Днестровский Ю. Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей. // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. - № 9. - С. 61-74.

26. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 462 с.

27. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай // Матем. сб. 1976. - Т. 99. № 4. - С. 514-537.

28. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием // Матем. сб. 1977. - Т. 103. № 2. - С. 265-284.

29. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

30. Калякин JI. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15. № 4. - С. 668-680.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

32. Козлов С. М., Пятницкий A. JI. Усреднение на фоне исчезающей вязкости // Матем. сб. 1990. - Т. 181. № 6. - С. 813-832.

33. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Издание четвертое. М.: Наука, 1976. 543 с.

34. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // УМН. 1988. - Т. 43. № 5. - С 55-98.

35. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 749 с.

36. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

37. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 768 с.

38. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. 207 с.

39. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. - Т. 48. № 2. - С. 347-371.

40. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 с.

41. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 335 с.

42. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифф. уравнения. 1976. - Т. 12. № 10. - С. 625-637.

43. Олейник О. А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов // УМН. 1987. - Т.42. Вып. 3. - С. 221-222.

44. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. С. 101-128.

45. Олейник О. А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функиональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988. С. 165-171.

46. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.- 311 с.

47. Олейник О. А., Шамаев А. С. Об усреднении решений краевой задачи для уравнения Лапласа в частично перфорированной области с условиями Дирихле на границе полостей // Доклады АН. 1994. -Т. 337. № 2. - С. 168-171.

48. Планида М. Ю. О сходимости решений сингулярно возмущенных краевых задач для Лапласиана // Матем. заметки. 2002. - Т. 71. Вып. 6. - С. 867-877.

49. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов. // ДАН СССР. 1948. - Т. 63. № 6. - С. 631-634.

50. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

51. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

52. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989. 254 с.

53. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Издание третье. М.: Наука, 1966. 742 с.

54. Черданцев М. И. Асимптотика собственного значения оператора Лапласа в области с сингулярно возмущенной границей // Матем. заметки. 2005. - Т. 78. №2. - С. 299-307

55. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Матем. сб. 1993. - Т. 184. № 6. - С. 99-150.

56. Чечкин Г. А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. 1993. - Т. 48. № 4. - С. 218-219.

57. Bentosela F., Cavalcanti R. М., Exner P., Zagrebnov V. A. Anomalous electron trapping by localized magnetic fields. // J. Phys. A. 1999. -V. 32. No. 16. - P. 3029-3039.

58. Borisov D., Exner P., Gadyl'shin R., Krejcirik D. Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann. H. Pome are. 2001. - V. 2 No 3. -P. 553-572.

59. Bulla W., Gesztesy F., Renger W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. - No 127. - P. 1487-1495.

60. Duclos P., Exner P. Curvature-induced bound states in quantum waveguides in two and three dimensions// Rev. Math. Phys. 1995. - V. 7. No 1. - P. 73-102.

61. Exner P., Vugalter S. A. Bound states in a locally deformed waveguide: the critical case // Lett. Math. Phys. -1997. V. 39. No 1. - P. 59-68.

62. Golovatyj Yu. D. Proc. of Int. conf. "Nonlinear partial differential equations" Kiev, August 26-30. IX. 1997. - P. 62.

63. Gadyl'shin R. R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 1999. - t. 329. No 12. - P. 1121-1126.

64. Gadyl'shin R. R. On regular and singular perturbations of acoustic and quantum waveguides // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 2004. -t. 332. No 8. -P. 647-652.

65. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. -V. 78. No 8. - P. 841-865.

66. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension // Ann. Phys. 1977. - V. 108. - P. 288-300.

67. Klaus M., Simon B. Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Ann. Phys. 1980. -V. 130.-P. 251-281.

68. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass. Quart. Appl. Math. XLVII, 1989. No.l , P. 93-103.

69. Lobo M. and Perez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary // Math. Models Methods Appl. Sci.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. 1995. - V. 5. No 5. - P. 565-585.

70. Oleinik О. A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singulary pertubed operators. // In: Non classical continuum mechanics., 1987. - Lecture Notes Series. 122, - Cambridge University Press. - p. 188-205.

71. Oleinik 0. A., Sanchez-Hubert J., Yosifian G. A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sc. math. Ser. 2. 1991. -V. 115. - P. 1-27.

72. Oleinik 0. A., Shamaev A. S., Yosifian G. A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenazation. Nort-Holland: Amsterdam, 1992.

73. Ozawa Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian. // Proc. Jap. Acad. 1980. - V. A 56. - P. 351-357.

74. Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. 1983. - Sect. I A 30. - P. 259-277.

75. Sanchez-Palecia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with concentrated masses. // In: Trends and Application of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.

76. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systems avec masse concentee// C.R. Acad. Sci. Paris Ser. II 1989. - V. 309. -P. 507-510.

77. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palecia E. Vibration and Coupling of Continuos Systems. Asymptotic Methods. Springer: Heidelberg, 1989.

78. Simon B. The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. 1976. - V. 97. - P. 279-288.

79. Suleimanov В. I. On asymptotics of regular solutions for a special kind of Painleve V equation // Lecture Notes in mathematics. 1986. - V.1193. - P.230-260.

80. Swanson C. A. Asymptotic variontional formulae for eigenvalues. // Canad. Math. Bull. 1963. - V. 6. No 1. - P. 15-25.