Асимптотические методы моделирования стационарных процессов в трубчатых химических реакторах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Маневич, Олег Леонидович

• Маневич, Олег Леонидович
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Маневич, Олег Леонидович

Содержание

Введение

Глава 1. Обзор литературы. Постановка задачи

1.1. Обратная задача химической кинетики

1.2. Основные математические модели трубчатых реакторов

1.2.1. Общая постановка задачи

1.2.2. Переход к безразмерному виду

1.2.3. Иерархия моделей

1.2.4. Методы решения

1.3. Об асимптотических разложениях для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений

1.4. Паде-аппроксимация

1.4.1. Одноточечная Паде-аппроксимация

1.4.2. Многоточечные аппроксимации Паде

1.5. Задачи исследования

Глава 2. Обратная задача химической кинетики

2.1. Формулировка задачи

2.2. Функциональные уравнения для определения функций (р(Т) и /(а)

2.3. Следствия из функциональных уравнений

2.4. Построение аа - кривых для разных типов химических реакций

2.5. Построение ТТ - кривых для разных типов химических реакций

2.6. Изотермический случай

2.7. Пример. Кинетика процесса синтеза 4-метилпентена-1 (4МР1) каталитической димеризацией пропилена (изотермическая кинетика)

Глава 3. Изотермические модели трубчатых реакторов

3.1. Асимптотические разложения в стационарной задаче для одномерного

проточного реактора

3.1.1. Математическая постановка задачи

3.1.2. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения

3.1.3. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания

3.1.4. Паде-аппроксимация

3.2. Построение асимптотических разложений для конкретных реакций

3.2.1. Реакция типа /(с) =

1 ~ь

к с

3.2.2. Реакция типа /Гс) =—-—гт-

(1 + к2с)2

Глава 4. Одномерный адиабатический реактор

4.1. Математическая постановка задачи

4.2. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения

4.3. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания

4.4. Паде-аппроксимация

4.5. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции

типа Лэнгмюра-Хиншельвуда

Глава 5. Неадиабатические модели трубчатых реакторов

5.1. Асимптотический анализ одномерной модели неадиабатического реактора

5.1.1. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения

5.1.2. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания

5.1.3. Паде-аппроксимация

5.1.4. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции типа Лэнгмюра-Хиншельвуда

5.2. Асимптотический анализ двухмерной модели неадиабатического реактора

5.2.1. Реактор, близкий к реактору полного вытеснения

5.2.2. Реактор, близкий к реактору полного перемешивания

5.1.3. Паде-аппроксимация

5.1.4. Построение асимптотических разложений для экзотермической реакции типа Лэнгмюра-Хиншельвуда

Заключение

Приложения.

Приложение 1. Свойства 4-Метил-Пентен-1

Приложение 2. Описание эксперимента по синтезу 4МП1 каталитической

димеризацией пропилена

Приложение 3. Пример, иллюстрирующий возникновение погранслойной компоненты в асимптотическом разложении сингулярно возмущенной задачи, рассмотренной в главе 1

Приложение 4. Метод стрельбы и его реализация в математическом пакете

Maple V

Приложение 5. Примеры одноточечной и двухточечной Паде-аппроксимант.. 129 Приложение 6. Анализ стационарных режимов одномерного проточного химического реактора с реакцией типа автокаталитической

Приложение 7. О выборе погранслойного приближения вблизи боковой поверхности

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы моделирования стационарных процессов в трубчатых химических реакторах»

Введение.

В последние десятилетия в связи с потребностями химической промышленности весьма интенсивно проводились и проводятся исследования сложных процессов, происходящих в химических реакторах. Эти процессы включают не только собственно химическую реакцию, но также диффузию, теплопроводность и конвекцию. Как правило, кинетика реакции описывается функциями, нелинейно зависящими от концентрации реагента и температуры. В таких случаях математическое моделирование химических реакторов сводится к решению системы нелинейных уравнений с частными производными, не допускающих точного аналитического решения. В связи с этим, большое распространение получили упрощенные модели, в которых ряд существенных характеристик может не учитываться или учитываться лишь частично. Однако, и после подобных упрощений уравнения остаются достаточно сложными и решаются, в большинстве случаев, численно. В то же время, возможность получения аналитических представлений рассматриваемых процессов, трудно переоценить, прежде всего, с точки зрения оптимального проектирования химических реакторов [И_Ар, Е_РН]. Это послужило толчком к применению приближенных аналитических методов, среди которых выделяются своей универсальностью и эффективностью методы теории возмущений (или асимптотического анализа).

Эта теория как раз и предназначена для того, чтобы получить решения уравнений, которые не могут быть решены точно. При использовании методов асимптотического анализа, главная цель состоит в том, чтобы выяснить детали, существенные для понимания наиболее важных особенностей полного решения, с минимальной математической сложностью, что вполне реально, поскольку уже первый член асимптотического разложения (специальный тип обычного разложения в ряд) в большинстве случаев отражает основные физические особенности рассматриваемой проблемы. Включение большего количества членов в асимптотическое разложении обычно обеспечивает не более, чем некоторое уточнение решения. Более того, некоторые асимптотические разложения являются расходящимися, так что включение слишком большого количества членов может привести к большой погрешности. В течение последних двадцати лет, одновременно с ростом мощности компьютеров, асимптотическим методам уделялось все меньше внимания. Это связано с тем, что полные решения все усложняющихся проблем обычно могут генерироваться на компьютерах без всякой аппроксимации.

Однако, методы приближенных аналитических решений, основанные на асимптотическом анализе, по прежнему играют важную роль, а их эффективность проявляется, напри-

мер, в том, что на основе проведенных параметрических исследований проблемы, в большинстве случаев, удается выделить наиболее многообещающие направления дальнейшего исследования, многократно при этом сократив объемы (и затраченные усилия) требуемых вычислений. Даже если считать устаревшими потребности в предварительных исследованиях процесса, необходимость применения асимптотических методов остается, так как точность численных решений часто критически зависит от поведения решения на бесконечности, а также около особых точек в области определения решения (например, точки покоя). Асимптотические методы идеальны для получения решений именно в таких ситуациях. Асимптотический анализ очень часто дает неизмеримо лучшие результаты в тех случаях, когда численные методы оказываются бессильны. Например, проблемы, в которых имеются различные временные или пространственные масштабы, идеальны для асимптотики, но весьма проблематичны с точки зрения численных решений. Именно к таким проблемам относится расчет проточных химических реакторов, требующий учета целого ряда факторов, относительный вклад которых в исследуемый процесс часто характеризуется малыми либо большими параметрами.

Поэтому систематическое применение асимптотических методов к исследованию сложных процессов, протекающих в химических реакторах, являющихся объектом исследования в настоящей работе, представляется актуальным. Поскольку это исследование инициировано Череповецким производственным объединением «Азот» в связи с планируемым широкомасштабным производством 4-Метил-Пентена-1 каталитической димеризацией пропилена, в диссертации рассмотрен ряд существенных вопросов, возникающих при описании реакции димеризации и близких к ней (с математической точки зрения) реакций.

С учетом того, что построение кинетической модели сложной химической реакции является первым и наиболее ответственным этапом математического моделирования химического реактора, в данной работе, наряду с асимптотическим анализом процессов «диффузия -теплопроводность - конвекция - реакция», предполагалось дополнить арсенал существующих методов химической кинетики, разработав метод решения обратной задачи кинетики, который позволил бы, прежде всего, обоснованно выбирать вид кинетического уравнения на основании экспериментальных данных, притом не только в случаях, когда проводятся изотермические эксперименты, но и в случае неизотермического эксперимента.

Таким образом, целью работы является решение, с использованием приближенных аналитических методов, задач, возникающих при описании стационарных режимов в трубчатых реакторах, начиная с проблемы описания собственно химической реакции на основе экспериментальных кинетических данных и кончая расчетом концентрационных, а также температурных полей в реакторе. При этом, рассматриваются возрастающие по степени сложности модели: изотермический, адиабатический и, наконец, неадиабатический реактор.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

- показано, что задача математического описания кинетики химической реакции на основе экспериментальных данных может быть сведена к анализу функциональных уравнений, позволяющему установить типы функций, входящих в кинетические уравнения, и определить их параметры не делая каких-либо априорных предположений.

- в рамках построенной иерархии последовательно усложняющихся математических моделей, описывающих стационарные процессы в наиболее важных с прикладной точки зрения типах химических реакторов, на основе асимптотического подход, поставлены и решены задачи макрокинетики, учитывающей совместное протекание процессов химической реакции, диффузии, теплопроводности и конвекции;

- на основе асимптотического подхода с применение Паде-аппроксимант получены приближенные аналитические решения задач о распределении концентрационного поля в изотермическом реакторе, а также концентрационного и теплового полей в адиабатическом реакторе (с использованием пространственно одномерных моделей) во всей области изменения числа Пекле, характеризующего относительный вклад процессов диффузии и конвекции;

- предложен новый асимптотический алгоритм расчета одномерных реакторов, близких к реактору полного перемешивания, позволяющий перейти от решения краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений к решению нелинейных алгебраических уравнений;

- на основе методов теории регулярных и сингулярных возмущений проведен полный асимптотических анализ двумерной модели проточного химического реактора, позволивший выявить пространственную структуру распределения концентрационных и температурных полей; показано, что для реакторов, близких к реакторам полного вытеснения, наряду с регулярной частью асимптотики, соответствующей, по существу, решению для адиабатического реактора, выделяется пограничный слой вблизи боковой поверхности, который описывает быстро изменяющееся температурное поле;

- путем сопоставления решений неадиабатических задач для одномерной и двумерной моделей реактора, показано, что учет влияния теплообмена в рамках одномерного приближения соответствует реальной ситуации лишь для реакторов, близким по своим характеристикам к реактору полного перемешивания; в случае же реактора, близкого к реактору полного вытеснения, подобное приближение оказывается необоснованным, поскольку в действительности влияние теплообмена оказывается существенным лишь в узкой зоне, примыкающей к боковой поверхности реактора.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Маневич, Олег Леонидович

Заключение

1. Развит единый асимптотический подход к анализу иерархии нелинейных математических моделей трубчатых химических реакторов, предполагающий, что малым, либо большим параметром является число Пекле, которое характеризует соотношение диффузионных и конвекционных эффектов.

2. В предваряющем основное содержание работы исследовании показано, что вопрос о корректном описании собственно химической реакции в рассматриваемых моделях на основе экспериментальных данных может быть, при определенных условиях, сведен к решению функциональных уравнений. Актуальность этого вопроса связана с тем, что выбор кинетического уравнения, определяющего зависимость скорости реакции от температуры и концентрации реагента («обратная задача» химической кинетики), является важным этапом математического моделирования химических процессов. Функциональный тип этих уравнений обычно выбирается, исходя из определенных теоретических предпосылок, а параметры функций (энергия активации и т.п.) находятся из экспериментальных кривых «концентрация - время». В то же время методы нелинейного программирования (являющиеся «последним словом» в развитии этого направления в настоящий момент) часто оказываются неэффективными вследствие плохой обусловленности проблемы, особенно в случае неизотермических экспериментов. В работе предлагается эффективный метод решения обратной задачи химической кинетики, основанный на использовании функциональных уравнений. Функциональные уравнения позволяют установить типы функций, входящих в кинетические уравнения, и определить их параметры не делая каких-либо априорных предположений.

3. Развиваемый в работе подход, реализация которого существенным образом опирается на использование математического пакета символьных преобразований Maple, апробирован на модели изотермического реактора, простейшей в рассматриваемой иерархии моделей. Первые несколько членов разложений искомого решения по числу Пекле и обратной ему величине рассматриваются как отправная точка для построения Паде-аппроксимант, описывающих распределение концентрации реагентов (продуктов) реакции по длине реактора во всем диапазоне конвекционных и диффузионных характеристик. Эффективность такого подхода подтверждается путем сопоставления с результатами численного решения нелинейной краевой задачи, которое в данном случае было получено методом стрельбы.

4. Основной качественной особенностью распределения градиента концентрации реагента по длине одномерного изотермического реактора является наличие узкой зоны быстрого его изменения вблизи верхнего сечения реактора при больших числах Пекле. Эта зона постепенно вырождается с уменьшением числа Пекле. При этом существенно, что сама концентрация погранслойной компоненты реагента в области пограничного слоя существенно меньше, чем концентрация, соответствующая регулярному решению. В случае же реактора, близкого по своим характеристикам к реактору полного перемешивания, распределения как концентрации так и градиента концентрации реагента близки к однородным, а малые отклонения от однородности проявляются при асимптотическом анализе лишь в более высоких приближениях.

В случае адиабатического реактора, несмотря на значительное математическое усложнение задачи из-за необходимости решения краевой задачи для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений, сохраняются все основные качественные закономерности, относящиеся к пространственному распределению концентрации. Оказывается, что подобные закономерности характерны и для распределения температурных полей. Показано как влияет температурное поле на изменение концентрационного профиля по сравнению с изотермическим реактором.

Предыдущий вывод сохраняет силу и при учете теплообмена в рамках одномерной модели. При этом наблюдаются заметное изменение температурного профиля по сравнению со случаем адиабатического реактора.

5. Асимптотический подход оказывается особенно эффективным при использовании наиболее реалистичной - двумерной модели трубчатого реактора, т.к. позволяет расщепить весьма сложную нелинейную краевую задачу для системы уравнений с частными производными на сравнительно простые составляющие. Особенно важно, что таким путем удается отчетливо представить пространственную структуру концентрационного и температурного полей и выделить области быстрого их изменения. Асимптотическое исследование двумерной модели приводит к выводу, что учет влияния теплообмена в рамках одномерного приближения соответствует реальной ситуации лишь для реакторов, близким по своим характеристикам к реактору полного перемешивания. В случае же реактора, близкого к реактору полного вытеснения, подобное приближение оказывается необоснованным, поскольку в действительности влияние теплообмена оказывается существенным лишь в узкой зоне, примыкающей к боковой поверхности реактора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Маневич, Олег Леонидович, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. [Я_АД] Аншелес В.Р., Далин М.А. и др. Высшие олефины (производство и примене-

ние). - Л.: Химия, 1984. 320 с.

2. [R_Ap] Арис Р. Оптимальное проектирование химических реакторов. - М.: Иностр.

Лит., 1963.473 с.

3. [R B] Безденежных A.A. Математические модели химических реакторов. - Киев: Тех-

шка, 1970.213 с.

4. [К БРШ] Берман B.C., Рязанцев Ю.С., Шевцова В.М. О числе стационарных режимов

одномерного проточного химического реактора с реакцией типа автокаталитической. // ФГВ, т. 19, №1, 1983. с.56-60

5. [R_Br] Бейкер Дж., Грейвс П. Аппроксимации Паде. - М.: Мир, 1986. 523 с.

6. [R_BB1] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотика решений некоторых задач для

обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. // УМН, т. 18, №3, 1963. с. 15-86.

7. [R_BB2] Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных

возмущений. М., Высшая Школа, 1990. 208 с.

8. [R_BC] Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реак-

торов. - М.: Химия, 1981. 184 с.

9. [R_rC] Глейзер Р.Г., Софиев А.Ф. Иерархия моделей в задачах исследования реакторов

полимеризации. // Хим. Пром., №1, 1994. с.41-47

10. [R_ry] Гухман A.A. Введение в теорию подобия. - М.: Высшая школа, 1963. 315 с.

11. [Т1_ДИ] Дробышевич В.И., Ильин В.П. Решение уравнений тепломассопереноса в реак-

торе с неподвижным слоем катализатора. // Сб. Математическое моделирование химических реакторов. - Новосибирск: Наука, 1984. с. 128-144.

12. [R_3] Зеленяк Т.П. Математические вопросы моделирования каталитических процес-

сов. // Сб. Математическое моделирование химических реакторов. -Новосибирск: Наука, 1984. с. 83-102

13. [R_E] Ермакова А. Новый комплекс численных методов идентификации и анализа ки-

нетических моделей. // Сб. Математическое моделирование каталитических реакторов. -Новосибирск: Наука, 1989. с. 121-149.

14. [R_H] Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых за-

дач. -М.: Наука, 1989, 334 с.

15. [R_KK] Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. - М.-

Л.: Физматигиз, 1962. 640 с.

16. [Я_Л] Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов. - М.: Химия,

1969.664 с.

17. [Я_Лу] Лушпа А.И. Основы химической термодинамики и кинетики химических реак-

ций. - М.: Машиностроение, 1981. 239 с.

18. [Ы_ММ] Маневич А.И., Маневич О.Л. К построению математических моделей химиче-

ских реакций. // Вопросы Радиоэлектроники, сер. ЭВТ, 1998, вып.1, М., с. 21-30.

19. [Л_Ма1] Маневич О.Л. Асимптотический анализ стационарных процессов в адиабати-

ческом проточном реакторе. // Тезисы V Международной конференции «Математика, Компьютер, Образование», Дубна, 1998, с. 130.

20. [11_Ма2] Маневич О.Л. Об асимптотических разложениях в стационарной задаче для

одномерного изотермического проточного реактора (реакция типа Лэнгмюра-Хиншельвуда). // Математика, Компьютер, Образование. Вып. 5. Часть 2, - М.: Прогресс-Традиция, 1998, с. 196-204.

21. [Я МаЗ] О.Л.Маневич. Оптимизационная модель процесса нефтедобычи как задача

нелинейного программирования. // Радиопромышленность, 4, М., 1997. с. 68-76.

22. [Ы_Ма4] Маневич О.Л. Асимптотический анализ стационарных процессов в неадиаба-

тическом трубчатом реакторе. // Тезисы VI Международной конференции «Математика, Компьютер, Образование», Пущино, 1999. с. 184.

23. [Я_Ма5] Маневич О.Л. Исследование стационарных процессов в неадиабатическом

трубчатом реакторе методами теории возмущений. // Сб. Трудов «Проблемы нелинейной механики и физики материалов». - Днепропетровск: Полиграфист, 1998. с. 179-196 (принято к опубликованию).

24. [11_МНЧ] Матрос Ю.Ш., Носков А.С., Чумаченко В.А. Математическое моделирование

нестационарных процессов обезвреживания в реакторах с неподвижным слоем катализатора. // Сб. Математическое моделирование каталитических реакторов. -Новосибирск: Наука, 1989. с. 232-237.

25. [Ы_ПБ] Павлов Б.В., Брин Э.Ф. Обратные задачи химической кинетики. // Химическая

физика. т.З, №3, М., 1984. с.393-404.

26. [Я РШ] Рязанцев Ю.С., Шевцова В.М. О числе стационарных режимов адиабатическо-

го проточного химического реактора с автокаталитической реакцией. // ФГВ, т.20, №1, М., 1984. с.86-89.

27. [ЯССО] Семиохин И.А., Страхов В.В., Осипов А.И. Кинетика химических реакций. -

М.: Издательство Московского Университета, 1995. 393 с.

28. [R C1IIK] Стегасов А.П., Шитаров А.Б., Кириллов В.А. Некоторые вопросы анализа

математических моделей однофазных реагирующих потоков в неподвижном слое катализатора. // Сб. Математическое моделирование каталитических реакторов. -Новосибирск: Наука, 1989. с. 26-53.

29. [R_T] Технико-экономический расчет строительства опытно-промышленного произ-

водства 4-метилпентена-1, Днепродзержинский филиал ГИАП Череповецкого производственного объединения "АЗОТ", Днепродзержинск, 1989. 68 с.

30. [R ThI] Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от мало-

го параметра. // Матем. сб. 22(64), № 2, 1948. с. 193-204.

31. [R_Th2] Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих пара-

метры. //Матем. сб. 27(69). № 1, 1950. с. 147-156.

32. [R_Th3] Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые па-

раметры. // Матем. сб. 31(73). № 3, 1952. с. 575-586.

33. [R TBC] Тихонов А.Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г.. Дифференциальные уравне-

ния, 2-е изд. - М.: Наука, 1985. 643 с.

34. [Rj3>] Фарлоу С. Уравнения с частными производными (для научных работников и

инженеров). - М.: Мир, 1985. 379 с.

35. [Я_ФК] Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. -

М.: Наука, 1987. 471 с.

36. [R_®p] Фрэнке Р. Математическое моделирование в химической технологии. - М.:

Химия, 1971. 315 с.

37. [R_4M] Чумакова Н.А., Матрос Ю.Ш. Моделирование реакторов с неподвижным сло-

ем катализатора при постоянном гидравлическом сопротивлении. // Сб. Математическое моделирование каталитических реакторов, Новосибирск: Наука, 1989. с. 5-25.

38. [E_AS] Abramowitz М. and Stegun I., Handbook of Mathematical Functions. - New York:

Dover Publications Inc., 1965. 542 p.

39. [E_AD] Adanez J., de Diego L.F. Modelling of Carbon Combustion Efficiency in Circulating

Fluidized Bed Combustors. 1. Selection of Submodels and Sensitivity Analysis. // Ind. Eng. Chem. Res, 34,No.9, 1995. p.3129-3138.

40. [E ARS] Arbel A., Rinard I.H., Shinnar R. Dynamics and Control of Fluidized Catalytic

Crackers. 2. Multiple Steady-States and Instabilities. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, No.9, 1995. p. 3014-3026.

1. [E_BH] Bartholomew C.H., Hecker W.C. Catalytic reactor design. // Chem. Ing., vol. 101, №6,

1994. p.70-75.

42. [E_BB] Bertucco A., Barollo M. Estimation of Chemical Equilibria in High-Pressure Gase-

ous Systems by a Modified Redlich-Kwong-Soave Equation of State. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, No.9, 1995. p. 3159-3165.

43. [E_BR] Bressloff P.C., Rowlands G. Exact travelling wave solutions of the "integrable" dis-

crete reaction-diffusion equation. // Physica D 106, 1997. p. 255-269.

44. [E_BNS1] Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary

value problems in case of exchange of stabilities. // Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics Preprints (WIAS Preprints), 379, 1997. 10 p.

45. [E_BNS2] Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed boundary

value problems for Tichonov's type in case of exchange of stabilities. // WIAS Preprints, 4081, 1998. 15 p.

46. [E_D] Dankwerts P.V. Continuous Flow Systems. Distribution of Residence Times. //

Chemical Engineering Science, №1, 1953. 13 p.

47. [E_Da] Davis M.E. Numerical Methods and Modeling for Chemical Engineers. - USA: John

Wiley & Sons, Inc., 1984. 355 p.

48. [E_DKL] Deckwer W., Kolbel H., Langemann H. The influence of stoichiometry and excess

on the conversion in axial-dispersed tubular flow reactors. // Chemical Engineering Science, vol.27, № 9, 1972. p. 1643-1652.

49. [E_DD] Desikan S., Doraiswamy L.K. The Diffusion-Reaction Problem in Threephase Ca-

talysis. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, №10, 1995. p. 3524-3537.

50. [E_DMS] Doolan E.P., Miller J.H., Schilders W.H.A. Uniform numerical methods for prob-

lems with initial and boundary layers. - Dublin: Boole Press, 1980, 200 p.

51. [E_En] Engelhardt R. Modelling Pattern Formation in Reaction-Diffusion Systems. // Mas-

ters Thesis. University of Copenhagen, Denmark, 1994. 106 p.

52. [E_Fo] Folger H.S. Elements of Chemical Reaction Engineering. 2nd ed., Prentice Hall, 1992.

444 p.

53. [E_FI] Forni L., Invernizzi R. Kinetics and Mechanism of Propylene to 4-Metyl-l-pentene

Catalytic Dimerization. // Ind. Eng. Chem. Process Des. Develop., vol. 12, №4, 1973. p. 455-459.

54. [E_FR] Fridman L.M., Rumpel R.J. On the asymptotic analysis of singularly perturbed sys-

tems with sliding mode. // WIAS Preprints, 246, 1996. 25 p.

55. [E_FB] Froment G.F., Bischoff K.B. Chemical Reactor Analysis and Design. - USA: John

Wiley and Sons, 1979. 327 p.

56. [EJFHK] Funk G.A., Harold M.P., Ka M. Ng. Experimental Study of Reaction in Partially

Wetted Catalytic Pellet. // AIChE Journal, vol.37, №2, 1991. p. 202-213

57. [E_G] Gallavotti G. Perturbation theory. // Notes in margin to the Mathematical Physics to-

ward the XXI century conference. University of Negev. Beer-Sheva. 1993, 13p.

58. [E_GSM] Goto M., Smith J.M., McCoy B.J. Parabolic profile approximation (linear driving-

force model) for chemical reactions. // Chemical Engineering Science, vol.45, №2, 1990. p.443-448.

59. [EHag] Hagberg A.A. Fronts and patterns in reaction-diffusion equations. // Ph.D. Disserta-

tion, Faculty of the Graduate Interdisciplinary Program in Applied Mathematics, The University of Arizona, 1994. 136 p.

60. [E Hap] Happel R. Structural perturbation of Autocatalytic Reaction Networks. // Disserta-

tion. Institute of theoretical chemistry, Vienna, Austria, 1996. 141 p.

61. [E HHl] Hlavacek V., Hofmann H. Modeling of chemical reactors - XVI. Steady state axial

heat and mass transfer in tubular reactors. An analysis of the uniqueness os solutions. // Chemical Engineering Science, vol.25, 1970. p. 173-185.

62. [E_HH2] Hlavacek V., Hofmann H. Modeling of chemical reactors - XVII. Steady state axial

heat and mass transfer in tubular reactors. Numerical investigation of multiplicity. // Chemical Engineering Science, vol.25, 1970. p. 187-199

63. [E_Ho] van der Hoeven J. Automatic asymptotics. // PhD. Thesis, Ecole Politechnique,

France, 1996. 405 p.

64. [E_HAL] Horner M., Arce P., Locke B.R. Convective-Diffusive Transport and Reaction in

Arterial Stenoses Using Lubrication and Area-Averaging Methods. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, №10, 1995. p. 3426-3436.

65. [E_JR] Jensen K.F., Ray W.H. The bifurcation behavior of tubular reactors. // Chemical En-

gineering Science, vol.37, №2, 1982. p. 199-222.

66. [E_K] Kao Y.K., Bankoff S.G. Perturbation analysis of recycle reactors. // Chemical Engi-

neering Science, vol.26, №2,1971. p. 189-200.

67. [E_KHH] Kubicek M., Hofmann H., Hlavacek V. Nonisothermal nonadiabatic tubular reac-

tor. One dimensional model-detailed analysis. // Chemical Engineering Science, vol.34, №4, 1979. p. 593-600.

68. [E LST] Lobry C., Sari T., Touhami S. On Tykhonov's theorem for convergence of solutions

of slow and fast systems. // Electronic Journal of Differential Equations (EJDE). №19, 1998. p. 11-22.

69. [E_MV] Marconi P.F., Vatistas N. Steady state multiplicity depending on coalescence in liq-

uid-liquid continuous stirred reactors with reaction in the dispersed phase. // Chemical Engineering Science, vol.35, №11, 1980. p. 2305-2310.

70. [E_Ma] Marcussen L. Comparison of experimental and predicted breakthrough curves for

adiabatic adsorption in fixed bed. // Chemical Engineering Science, vol.37, №2, 1982. p. 299-309.

71. [E MHW] Meade D.B., Hara B.S., White R.E. The Shooting Technique for the Solution of

Two-Point Boundary Value Problems. // MapleTech 3(1), 1996. p. 85-93.

72. [E_MA] Mehta B.N., Aris R. Communications on the theory of diffusion and reaction -VII.

The isothermal pth order reaction. // Chemical Engineering Science, vol.26, №10, 1971. p. 1699-1712.

73. [E_NSK] Naglic M., Smidovnick A., Koloini T.. Kinetics of Catalytic Transfer Hydrogéna-

tion of Soybean Lecithin. // Ind. Eng. Chem. Res, 36, 1997. p. 5240-5245.

74. [E_NM] Nery G., Musolino M.G. and other. Kinetic Modelling of 2,4-Dinitrotoluene Hydro-

génation over Pd/C. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, 1995. p. 2226-2231.

75. [E_NN] Nigam K.M., Nigam K.D.P. Application of Galerkin technique to diffusion problems

in tubular reactor. // Chemical Engineering Science, vol.35, №11, 1980. p. 2358-2360.

76. [E_OR] Ou J.-J., Ranz W.E. Mixing and chemical reactions (a contrast between fast and slow

reactions). // Chemical Engineering Science, vol.38, №7, 1983. p. 1005-1013.

77. [E PRC] Paladino O., Ratto M., Costa P.. Non-linear modelling in process engineering. //

Preprint. ISTIC - Facoltà di Ingegneria - Université di Genova, 1997. 4 p.

78. [E_PNK] Park T.Y., Nam I.-S., Kim Y. G. Kinetic Analysis of Mixed Alcohol Synthesis

from Syngas over K/MoS2 Catalyst. // Ind. Eng. Chem. Res, 34, 1997. p. 5246-5257.

79. [E_PH] Paynter J.D., Haaskins D.E. Determination of optimal reactor type. // Chemical En-

gineering Science, vol.25, №8, 1970. p. 1415-1422.

80. [E_Pe] Pearson J.R.A. A Note on the "Dankwerts" Boundary Conditions for Continuous

Flow reactors. // Chemical Engineering Science, 10, №4, 1959. p. 630-639.

81. [E_Pi] Pismen L.M. Kinetic instabilities in man-made and natural reactors. // Chemical Engi-

neering Science, vol.35, №9, 1980. p. 1950-1978.

82. [E RS] Razon L.F., Schmitz R.A. Multiplicities and instabilities in chemically reacting sys-

tems - a Review. // Chemical Engineering Science, vol.42, №5, 1987. p. 1004-1047.

83. [E_RME] Ray W.H., Marek M., Elnashaie S. The effect of heat and mass dispersion on tu-

bular reactor performance. // Chemical Engineering Science, vol.27, №8, 1972. p. 1527-1536.

84. [E_SK] Sapre A.V., Katzer J.R. Core of Chemical Reaction Engineering: One Industrial

View. // Ind. Eng. Chem. Res. №34, 1995. p. 2202-2225.

85. [E_SL] Shepelev V., Luss D. Steady state multiplicity of fluidized bed reactors. The solid-

circulation model. // Chemical Engineering Science, vol.34, №4, 1979. p. 515-520.

86. [E_SSA] Song X., Schmidt L.D., Aris R. Steady states and oscillations in homogenous-

heterogeneous reaction systems. // Chemical Engineering Science, vol.46, №5/6, 1991. p. 1203-1215.

87. [E SLB] Stroh F., Lovo M., Balakotaiah V. On the Number of Steady States of the Nonadia-

batic Tubular Reactor. // AIChE Journal, vol.36, №12, 1990. p. 1905-1907.

88. [E_SM] Sun L.M., Meunier F. An Improved Finite Difference Method for Fixed-Bed Multi-

component Sorption. // AIChE Journal, vol.37, №2, 1991. p. 244-254.

89. [E_VGH] Viljoen H.J., Gatica J.E., Hlavacek V. Bifurcation analysis of chemically driven

convection. // Chemical Engineering Science, vol.45, №2, 1990. p. 503-517.

90. [E_We] Wehner I.F., Wilhelm R.H. Boundary Conditions of a Flow Reactor. // Chemical

Engineering Science, vol.6, №1, 1956. p. 135-147.

91. [E_Wi] Wissler E.H. On the asymptotic behavior of a tubular reactor in the limit of small

axial diffusivity. // Chemical Engineering Science, vol.24, №5, 1969. p. 829-832.

92. [E_Wo] Wohlfahrt K. The design of catalyst pellets. // Chemical Engineering Science.

vol.37, №2, 1982. p. 283-290.

93. [E_WH] Wohlfahrt K., Hoffmann U. Concentration and temperature profiles for complex

reactions in porous catalysts. // Chemical Engineering Science, vol.34, №4, 1979. p. 493-501.

94. [E_WV] Wrentas J.S., Vrentas C.M. A Green's Function Method for the solution of Diffu-

sion-Reaction Problems. // AIChE Journal, vol.34, №2,1988. p. 347-349.