Асимптотические методы исследования ресурсных СМО с непуассоновскими входящими потоками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Лисовская, Екатерина Юрьевна

• Лисовская, Екатерина Юрьевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Лисовская, Екатерина Юрьевна

Оглавление

Оглавление

Введение

Глава 1 Исследование математических моделей ресурсных бесконечнолинейных СМО с непуассоновскими входящими потоками

1.1 Модификация метода динамического просеивания для исследования ресурсных СМО

1.2 Исследование бесконечнолинейной полумарковской ресурсной СМО вида М(У)/01А»

1.3 Асимптотический анализ бесконечнолинейной ресурсной СМО с ММРР входящим потоком

1.4 Асимптотический анализ бесконечнолинейной ресурсной СМО с

рекуррентным входящим потоком

Выводы по главе 1

Глава 2 Исследование математических моделей многофазных ресурсных бесконечнолинейных СМО с непуассоновскими входящими потоками

2.1 Модификация метода многомерного динамического просеивания для исследования двухфазных ресурсных СМО

2.2 Асимптотический анализ двухфазной бесконечнолинейной ресурсной СМО с ММРР входящим потоком

2.3 Асимптотический анализ двухфазной бесконечнолинейной ресурсной СМО с рекуррентным входящим потоком

2.4 Основные результаты исследования ¿-фазных бесконечнолинейных

ресурсных СМО

Выводы по главе 2

Глава 3 Комплекс программ имитационного моделирования ресурсных систем массового обслуживания и численный анализ области применимости асимптотических результатов

3.1 Имитационное моделирование ресурсных систем массового обслуживания с произвольным временем обслуживания

3.1.1 Алгоритм имитационного моделирования

3.1.2 Анализ результатов, полученных с помощью имитационного моделирования

3.2 Область применимости асимптотических результатов для однофазных ресурсных СМО

3.2.1 Численный анализ точности асимптотических результатов для однофазной ресурсной СМО с входящим ММРР-потоком

3.2.2 Численный анализ точности асимптотических результатов для однофазной ресурсной СМО с рекуррентным входящим потоком

3.3 Область применимости асимптотических результатов для двухфазных ресурсных СМО

3.3.1 Численный анализ точности асимптотических результатов для двухфазной ресурсной СМО с ММРР-входящим потоком

3.3.2 Численный анализ точности асимптотических результатов для двухфазной ресурсной СМО с рекуррентным входящим потоком

Выводы по главе 3

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы исследования ресурсных СМО с непуассоновскими входящими потоками»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В начале XX века А. К. Эрланг впервые сформулировал и изучил проблему телефонных сетей [102-103]. Изучив процесс изменения числа абонентов на телефонной станции, он разработал формулу, теперь известную как «формула Эрланга», чтобы рассчитать долю звонящих, пытающихся вызвать кого-то за пределами населенного пункта, которые должны ждать, потому как все линии используются другими абонентами. Хотя модель Эрланга является простой, математика, лежащая в основе современных сложных телефонных сетей, по-прежнему основана на его работе. Модели массового обслуживания различных конфигураций в настоящее время используются для анализа показателей и улучшения эффективности так называемых систем в различных областях: телефонная сотовая связь [14, 91, 102-103, 113], распределенные вычислительные системы [58, 63, 87, 89], теория телетрафика [5-7], колл-центры [94, 96], социально-экономические модели [2-3, 24-25, 30, 42, 59, 69], производственные системы и модели управления запасами [61, 97, 108, 133], системы управления транспортными потоками [4, 29, 34, 88, 104] и т.д.

С каждым днем в мире увеличивается количество пользователей мобильных устройств беспроводных сетей связи и мобильный широкополосный доступ продолжает сильно расти. Согласно отчету о мобильной связи компании Ericsson, ожидается, что каждый день до конца 2022 года будет появляться в среднем более 1 миллиона новых абонентов мобильной широкополосной сети [101]. Существующие модели сетей связи позволяют анализировать некоторые параметры каналов при определенном количестве пользователей [10, 111, 129, 131, 134]. Недостаток указанных моделей состоит в том, что они не учитывают стохастическую природу поступления и обслуживания абонентов. Для более реального описания процесса передачи информации широко применяются методы теории

массового обслуживания. К тому же, ввиду неоднородности предоставляемых услуг (телефонные звонки, передача текстовых сообщений, медиа-контента, использование интернет), необходимо учитывать объем передаваемой информации. В связи с этим актуальным является разработка новых ресурсных моделей, сформулированных в терминах систем массового обслуживания (СМО), которые бы позволили оценить объемы занятого ресурса.

Э. Л. Ромм и В. В. Скитович во второй половине XX века впервые сформулировали обобщение задачи Эрланга, где каждое поступающее требование обладает некоторым информационным качеством, которое авторы называют величиной требования, с отказами в обслуживании, когда величина поступающего требования превосходит разность между емкостью СМО и суммой величин требований, находящихся на обслуживании в момент появления нового требования [73].

В дальнейшем существенный вклад в развитие методов исследования ресурсных СМО внес О. М. Тихоненко с коллегами. В своих работах [71, 7986, 136-138] авторы рассматривают системы обслуживания требований случайного объема как класс систем с некоторой емкостью и зависимым или независимым временем обслуживания требований от их объема. Так в [80] было получено обобщение результата [73] на случай произвольного времени обслуживания на приборах, найдено стационарное распределение числа требований и вероятность потери требования.

Ресурсные СМО с ограниченными ресурсами используются в работах К. Е. Самуйлова с коллегами [8-9, 27, 66-68, 74, 77, 124-125, 135] в качестве моделей беспроводных сетей связи следующего поколения. В работе [77] помимо потока заявок в систему поступает поток сигналов, при поступлении которых заявки заново разыгрывают объем занимаемых ресурсов. Несколько работ А. В. Печинкина с коллегами [35, 70] посвящены исследованию суммарного объема заявок в системах, функционирующих в дискретном времени.

Следует отметить, что все аналитические результаты в вышеперечисленных работах были получены для моделей систем с пуассоновскими входящими потоками. Однако реальные потоки передаваемой информации в беспроводных сетях не соответствуют пуассоновским [53, 99-100, 105-106, 127]. Для их моделирования активно применяется рекуррентный поток событий, который определяется произвольной функцией распределения вероятностей длин интервалов между моментами наступления событий с конечными первым и втором моментами. Кроме того, адекватной математической моделью реальных потоков являются MAP-потоки (Markovian Arrival Process) и его частные случаи, в том числе MMPP (Markov Modulated Poisson Process), предложенные D. M. Lucantoni и M. F. Neuts в 1991 году [120, 126] или дважды стохастические пуассоновские потоки [98, 109].

В работах Э. С. Сопина, А. К. Самуйлова с коллегами [1, 68, 78] рассматриваются однолинейные ресурсные СМО, то есть проводится моделирование занимаемого ресурса на одном из каналов беспроводной сети, но для моделирования такой сети в целом, необходимо учитывать ее многоканальность. Поэтому возникает необходимость построения и исследования математических моделей многолинейных ресурсных СМО. Системы с неограниченным числом приборов (бесконечнолинейные системы) используют в качестве аппроксимации многолинейных систем при условии пренебрежимо малой вероятности отказа в обслуживании, как показали в своих работах J. E. Reed, А. А. Puhalskii, A. Mandelbaum [120, 122, 128, 130]. Кроме того, модели с неограниченным числом приборов позволяют оценить возможную загрузку в системе и применять меры по предотвращению перегрузки систем с ограниченным числом приборов и минимизации потерь, вызванных нехваткой свободного канала и/или ресурса.

Многофазные СМО [17, 26, 42, 54-57, 65] являются моделями, предоставляющими последовательную обработку или передачу данных.

Такие системы представляют собой последовательность систем массового обслуживания, называемых фазами обслуживания, где выходящий из каждой фазы поток является входящим для следующей, кроме последней. В научной литературе более известны исследования двухфазных систем [90, 95, 107108, 110]. Модели многофазных ресурсных СМО применяются при моделировании сети, в которой абоненту необходимо предоставление ресурса на нескольких станциях, имеющих различные характеристики каналов передачи данных, в том числе объемы предоставляемых ресурсов [75-76, 93].

В настоящей диссертационной работе проводится исследование ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, неэкспоненциальным обслуживанием и входящими рекуррентным и ММРР- потоками.

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является построение и исследование математических моделей ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновскими входящими потоками и неэкспоненциальным обслуживанием.

Задачи:

1. Построить математические модели ¿-фазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов с входящими рекуррентным и ММРР- потоками заявок.

2. Разработать модификацию метода многомерного динамического просеивания, позволяющего проводить исследование суммарного объема занятого ресурса в ¿-фазных ресурсных системах с неограниченным числом приборов при неэкспоненциальном обслуживании и непуассоновских входящих потоках.

3. Применить метод асимптотического анализа для построения гауссовской аппроксимации многомерного стационарного распределения вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса

в ¿-фазных ресурсных системах с неограниченным числом приборов и неэкспоненциальном обслуживании при непуассоновских входящих потоках.

4. Разработать комплекс проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования и численного анализа ¿-фазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов.

Научная новизна результатов, представленных в диссертации,

состоит в следующем:

1. Впервые предложены математические модели ¿-фазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, позволяющие учитывать требование заявки на предоставление случайного количества ресурса, необходимого для ее обслуживания.

2. Разработана модификация метода многомерного динамического просеивания, предназначенного для исследования ¿-фазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, которая позволяет выполнять анализ суммарного объема занятого ресурса в системе.

3. Впервые применен метод асимптотического анализа для исследования суммарного объема занятого ресурса в ¿-фазных ресурсных системах массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновскими входящими потоками заявок и неэкспоненциальным обслуживанием.

4. С использованием модификации метода многомерного динамического просеивания и метода асимптотического анализа доказано, что стационарное асимптотическое распределение вероятностей суммарного объема занятого ресурса в ¿-фазных ресурсных системах с неограниченным числом приборов, неэкспоненциальным обслуживанием и различными типами входящих непуассоновских потоков имеет вид многомерного гауссовского распределения вероятностей.

5. С использованием разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ и алгоритмов для имитационного моделирования и численного анализа ¿-фазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов установлена область применимости полученных асимптотических результатов в допредельных условиях, и даны рекомендации по выбору оптимального количества предоставляемого ресурса на фазах.

Методы исследования. Для проведения диссертационных исследований использовались методы математического моделирования, теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, дифференциальных уравнений, имитационного моделирования.

Исследование рассматриваемых немарковских ресурсных систем массового обслуживания выполнялось с помощью предложенных в работе методов. Модификация метода многомерного динамического просеивания -для решения проблемы построения уравнений, определяющих распределение вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в ресурсных системах с непуассоновскими входящими потоками. Для решения составленных уравнений применялся метод асимптотического анализа [60, 62] в предельном условии растущей интенсивности входящего потока. Применение метода асимптотического анализа позволяет сделать вывод о том, что в предельном условии стационарные распределения вероятностей числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в ресурсных системах массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновскими входящими потоками и неэкспоненциальным обслуживанием является асимптотически многомерными гауссовскими.

Для определения области применимости полученных асимптотических результатов используются методы имитационного моделирования [1113, 23, 31-33, 52]. Имитационное моделирование и определение области применимости произведено с помощью комплекса проблемно-

ориентированных программ и алгоритмов для моделирования многофазных ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, представленного в диссертации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Модели ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов, непуассоновскими входящими потоками и неэкспоненциальным обслуживанием позволяют существенно расширить круг решаемых задач в теории массового обслуживания. Впервые продемонстрирована возможность применения метода многомерного динамического просеивания для исследования процесса изменения суммарного объема занятого ресурса в ресурсных системах массового обслуживания с неограниченным числом приборов, что является вкладом в развитие методов, используемых для анализа систем массового обслуживания.

Ресурсные СМО могут быть использованы в качестве математических моделей инфокоммуникационных систем при проектировании сетей нового поколения, в том числе и при разработке технологий Интернета вещей; кредитно-депозитных организаций при расчетах оборотного капитала, где ресурсом служат денежные средства, вносимые клиентами на счета; суперкомпьютеров при моделировании процессов обработки больших данных; а также видеокарт с целью выпуска специализированных комплектующих для майнинга криптовалюты.

Результаты диссертации использовались при подготовке к защите выпускных работ бакалавров и магистерских диссертаций в Национальном исследовательском Томском государственном университете по направлению «Прикладная математика и информатика».

Достоверность полученных результатов подтверждается математически корректными выводами и доказательствами теорем, представленными в работе, согласованностью результатов, полученных для разных моделей, как между собой, так и с известными в теории массового обслуживания результатами, а также многочисленными компьютерными

экспериментами с применением имитационного моделирования и численного анализа.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Постановка изложенных задач была сделана научным руководителем, доктором физико-математических наук, доцентом С. П. Моисеевой. Автор лично участвовал в получении всех результатов, изложенных в диссертации, а именно в разработке и исследовании математических моделей ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом массового обслуживания, непуассоновскими входящими потоками и неэкспоненциальным обслуживанием, выводе всех формул, доказательстве всех представленных в диссертации теорем, разработке представленного комплекса проблемно-ориентированных программ и алгоритмов, выполнении статистического и численного анализа полученных результатов. В совместных публикациях С. П. Моисеевой принадлежат постановки задач и указание основных направлений исследования. Вклад других соавторов состоит в выполнении численных расчетов по экспериментальным данным, выполненным с помощью имитационного моделирования.

Связь работы с крупными научными проектами. Значительная часть результатов, изложенных в работе получена в рамках выполнения:

1. Гранта № 16-31-00292 мол_а «Разработка асимптотических методов исследования математических моделей телекоммуникационных систем» при финансовой поддержке РФФИ (2016-2017 гг.).

2. Научно-исследовательской работы № 1.511.2014/К «Исследование математических моделей информационных потоков, компьютерных сетей, алгоритмов обработки и передачи данных» в рамках проектной части государственного задания Минобрнауки России в сфере научной деятельности (2015-2016 гг.).

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю доктору физико-математических

наук, доценту Светлане Петровне Моисеевой за тесное сотрудничество, понимание, терпение, за проработку всего материала и за моральную поддержку при подготовке к защите. За совместную работу в рамках диссертационного исследования, за помощь и конструктивную критику автор благодарит профессора Микеле Пагано (Michele Pagano, professor, University of Pisa, Italy). За ценные замечания в процессе выполнения и апробации работы на регулярных научных семинарах искреннюю благодарность автор выражает заведующему кафедрой теории вероятностей и математической статистики доктору технических наук, профессору Анатолию Андреевичу Назарову, а также коллективу кафедры теории вероятностей и математической статистики Национального исследовательского Томского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 работ, из них 2 статьи в журналах, входящих в Перечень рецензируемых научных изданий, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки Российской Федерации для опубликования основных научных результатов диссертаций (в том числе одна статья в российском научном журнале, индексируемом Scopus), 4 статьи в зарубежных изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus, 20 работ опубликовано в трудах международных и всероссийских конференций, а также получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Апробация работы. Основные результаты работы и отдельные ее положения докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях международного и всероссийского уровня: 54-я Международная научная студенческая конференция МНСК (Новосибирск, 2016), VI Всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 2016), XX Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи: Математика. Информатика» (Анжеро-Судженск, 2016),

IV Всероссийская молодежная научная конференция с международным участием «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2016), XV Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Катунь, 2016), XIX Международная научная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь ^ССК)» (Москва, 2016), Двенадцатая Международная азиатская школа-семинар «Проблемы оптимизации сложных систем» (Новосибирск, 2016), VII Всероссийская конференция с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, 2017),

V Международная молодежная научная конференция «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем» (Томск, 2017), Международная конференция «Вычислительная и прикладная математика 2017» (Новосибирск, 2017), XX Международная научная конференция «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь ^ССК)» (Москва, 2017), XVI Международная конференция имени А. Ф. Терпугова «Информационные технологии и математическое моделирование» (Казань, 2017).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации составляет 138 страниц; иллюстративный материал представлен 38 рисунками и 13 таблицами; список литературы содержит 138 наименований.

Глава 1 Исследование математических моделей ресурсных бесконечнолинейных СМО с непуассоновскими входящими потоками

При проектировании реальных инфокоммуникационных систем обработки и передачи информации актуальной является задача определения объема памяти (ресурса), предназначенной для хранения информации в период его обработки. Например, запросы пользователей беспроводной мобильной сети порождают требования на использование ресурса, объем которого является случайной величиной. В качестве математических моделей таких систем используют модели СМО со случайным объемом требований [79-86] или, так называемые, ресурсные СМО [8-10, 27, 66-68, 74-77, 124-125, 135].

Например, в моделях мультисервисных сетей с потерями [5, 92] требования пользователей к занимаемому ресурсу являлись детерминированными величинами, в работах [92, 109, 132] эти требования определялись как дискретные случайные величины, определяемые числом условных единиц ширины полосы пропускания, занимаемой в сети. В настоящей работе для описания моделей реальных информационных систем предлагается считать объем передаваемой информации неотрицательной случайной величиной (непрерывной или дискретной), заданной произвольной функцией распределения вероятностей G(y) с конечными первым и вторым моментами.

Исследования в этих случаях можно проводить с помощью классических методов ТМО. В работах О. М. Тихоненко были рассмотрены модели однолинейных и многолинейных ресурсных СМО с неэкспоненциальным временем обслуживания. Например, получена обобщенная формула Эрланга для системы MУGIУда [81].

К сожалению, классическими методами не удается исследовать модели с непуассоновскими входящими потоками, в том числе модулированными пуассоновскими, рекуррентным и т.д.

В данной главе рассматриваются однофазные ресурсные СМО с ММРР- и рекуррентным входящими потоками, неограниченным числом приборов и неограниченным объемом предоставляемого ресурса. Решается задача исследования двумерного процесса числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в системе. Для этого предлагается совокупность методов: модификация метода динамического просеивания [57] и метода асимптотического анализа [60, 62].

1.1 Модификация метода динамического просеивания для исследования ресурсных СМО

Рассмотрим бесконечнолинейную СМО с неограниченным количеством некоторого ресурса без отказов в обслуживании поступающим заявкам (Рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 - Бесконечнолинейная ресурсная СМО

На вход системы поступает некоторый поток заявок (простейший, ММРР, рекуррентный). Входящая заявка занимает любой свободный прибор, где обслуживается в течение случайного времени £ > 0 с функцией распределения вероятностей В(т) = Р < т} с конечным первым моментом.

Кроме того, каждое поступающее требование формирует запрос на выделение ресурса случайного объема V > 0 с функцией распределения вероятностей G(y) = Р^ < у} с конечными первым и вторым моментами.

Определение. Суммарным объемом занятого ресурса в системе будем называть сумму всех ресурсов, занимаемых всеми заявками.

Будем считать, что ограничений на суммарный объем нет, таким образом, в рассматриваемой СМО нет отказов в обслуживании. По окончании обслуживания заявка покидает систему и освобождает занимаемый ресурс.

Пусть в начальный момент времени ¿0 система пуста. Обозначим ¡(¿) -

¿(г)

число занятых приборов, V(г) = - суммарный объем занятого ресурса в

¿=1

системе в момент времени ? > ¿о.

Ставится задача нахождения стационарного распределения вероятностей двумерного случайного процесса {¡(¿), К(?)}. Так как рассматриваемый двумерный процесс не является марковским, предлагается разработать модификацию метода динамического просеивания [62], позволяющую учитывать занятые ресурсы лишь теми заявками, которые находятся в системе к произвольному моменту времени ? = Т.

Зафиксируем некоторый момент времени Т > ¿0 (Рисунок 1.2). Моменты наступления событий входящего потока отметим на оси 0. Будем учитывать объемы занятых ресурсов только тех заявок, которые к моменту времени Т не закончат свое обслуживание. Зададим функцию £(?), определяющую динамическую вероятность просеивания на ось 1 , следующим образом:

5 (г) = 1 - В (Т - г),

то есть - вероятность того, что заявка поступившая в систему в момент времени ? < Т, к моменту времени Т не закончит обслуживание и будет занимать некоторый объем ресурса. Соответственно, с вероятностью 1 -заявка закончит свое обслуживание и освободит тот объем ресурса, который

занимала при поступлении в систему, следовательно, в просеянном потоке она не рассматривается. Отметим, что значения функции принадлежат отрезку [0,1].

Рисунок 1.2 - Просеивание заявок входящего потока

Обозначим п(Т) - число событий просеянного потока, наступивших на промежутке W(t) - суммарный объем занятого ресурса «просеянными» заявками. Очевидно, что полученный считающий процесс не является марковским в случае непуассоновского входящего потока, в [57] приведены компоненты, необходимые для его марковизации.

Кроме того, в [57] установлена связь между процессами п^) и Показано, что законы распределения вероятностей значений обозначенных случайных процессов в момент времени t = Т совпадают:

Р { (Г ) = ж} = Р{п (Г ) = ж}

для любых т.

Нетрудно показать, что:

Р{ (Т) = ж, (Т) < х} = Р {п (Т) = ж, (Т) < х} (1.1)

для любых т и х. Равенство (1.1) будем называть основной формулой метода динамического просеивания для ресурсных систем массового обслуживания с неограниченным числом приборов.

Далее рассмотрим применение метода для ресурсных систем массового обслуживания с простейшим, ММРР- и рекуррентным потоками.

1.2 Исследование бесконечнолинейной полумарковской ресурсной СМО вида М(у)/С1/да

Пусть на вход системы поступает простейший поток заявок с интенсивностью X (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - Бесконечнолинейная ресурсная СМО с простейшим входящим потоком

Дисциплина обслуживания определена в разделе 1.1. Построим двумерный случайный процесс {п(/), Щ/)}, который является марковским. Введем обозначение распределения вероятностей

р{п(г) = п,Ж(г)<ы} = р(п,г) для п = 0,1,2,..., w > 0. По формуле полной вероятности запишем равенство

р (п, ы, г + Аг) = р (п, ы, г )(1 - Ш)+р (п, 2, г) ХАг (1 - 5 (г)) +

+ХАг5 (г) | р (п -1, ы - у, г) <0 (у) + о (Аг).

о

Отсюда получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова дР (п, w, г)

дг

= ^ (г)

| Р (п -1, ^ - .у, г) йО (.у)- Р (п, г)

с начальным условием

Р (п, w, г0)

1, п = w = 0,

0, иначе.

Введем характеристическую функцию вида:

ад ад

к (и, V, г ) = Х в]ип | в]тР (п, ^ г). п=0 0

Учитывая, что

ад w

X в]ип | ] | Р (п -1, й (w - у), г )йО (у)

п=0 0 0

ад ад w

= в]и X в]и(п_1) |] • в]{м,-у) |Р (п -1, й (w - у), г) йО(у) =

п=0 о

ад ад ад

в]и |] Xв]и(п-1)|]м"у)Р(п -1,й(w - у),г)

п=0 0

йО (у)

где

ад ад

= в] и |в^ук (и, V, г) йО (у) = в1ик (и, V, г )\в^йО (у) =

0 0

= в]ик (и, V, г) О* (V),

О* (V ) = | в]уйО (у)

уравнение (1.2) запишется в виде

^^ = ^ (г) к (и, V, г)[ в-О" (V)-1],

с начальным условием

к ( и, V, г0) = 1.

(1.2)

(1.3)

(1.4)

решение которого имеет вид:

0

t

h(u,v,t) = expi X[ejuG* (v) -1] JS(x)dx

При t = T, to ^ —го, учитывая (1.1), для характеристической функции двумерного процесса числа занятых приборов и суммарного объема занятого ресурса в стационарном режиме получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лисовская, Екатерина Юрьевна, 2018 год

Список литературы

1. Агеев К. А. Анализ показателей качества трафика реального времени в беспроводной сети с помощью ресурсных СМО / К. А. Агеев, Э. С. Сопин // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2017) : материалы XVI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Томск, 29 сентября - 03 октября 2017 г. - Томск: Изд-во НТЛ, 2017. - Ч. 1. -С. 248-254.

2. Ананина И. А. Математическая модель изменения дохода торговой компании / И. А. Ананина, С. П. Моисеева, А. А. Назаров // Финансово-актуарная математика и смежные вопросы (ФАМ-2009) : труды восьмой международной конференции. Красноярск, 24-26 апреля 2009 г. -Красноярск: СФУ, 2009. - С. 114-116.

3. Ананина И. А. Основные вероятностные характеристики дохода торговой компании с учетом влияния скидки на товар / И. А. Ананина, С. П. Моисеева // Научное творчество молодежи : материалы XIII Всероссийской научно-практической конференции. Томск, 14-15 мая 2009 г. - Томск, 2009. - Ч. 1. - С. 8-10.

4. Афанасьева Л. Г. Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей / Л. Г. Афанасьева, Е. В. Булинская // Труды Московского физико-технического института (государственного университета), 2010. - Т. 2, № 4. - С. 6-21.

5. Башарин Г. П. Лекции по математической теории телетрафика: учебное пособие / Г. П. Башарин. - 3-е изд., испр. и доп. - М. : РУДН, 2009. -342 с.

6. Башарин Г. П. Математическая теория телетрафика и ее приложения к анализу мультисервисных сетей связи следующих поколений / Г. П. Башарин, Ю. В. Гайдамака, К. Е. Самуйлов // Автоматика и вычислительная техника. - 2013. - № 2. - С. 11-21.

7. Башарин Г. П. Новый этап развития математической теории телетрафика / Г. П. Башарин, К. Е. Самуйлов, Н. В. Яркина, И. А. Гудкова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 12. - С. 16-28.

8. Вихрова О. Г. Анализ показателей качества сети LTE с помощью систем массового обслуживания с ограниченным ресурсом и случайными требованиями / О. Г. Вихрова, Э. С. Сопин // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2015. - Т. 2, № 11. - С. 185-191.

9. Вихрова О. Г. К вычислению вероятностных характеристик СМО ограниченной емкости со случайными требованиями к ресурсам /О. Г. Вихрова // Вестник РУДН. Серия МИФ. - 2017. - Т. 25, № 3. - С. 203210.

10. Вихрова О. Г. Модель разделения ресурсов беспроводной сети как система массового обслуживания с требованиями случайного объема: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.17 / Ольга Геннадиевна Вихрова. - Москва, 2017. - 93 с.

11. Войтиков К. Ю. Компонентная модель распределенной объектно-ориентированной системы имитационного моделирования / К. Ю. Войтиков, А. Н. Моисеев, П. Н. Тумаев // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2010. -№ 1. - С. 78-83.

12. Войтиков К. Ю. Модель компонентов объектной распределенной системы моделирования процессов массового обслуживания / К. Ю. Войтиков, А. Н. Моисеев // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009) : материалы VIII Всеросийской научно-практической конференции с международным участием. Анжеро-Судженск, 13-14 ноября 2009 г. - Томск: Изд-во Том. унта, 2009. - Ч. 1. - С. 122-124.

13. Войтиков К. Ю. Общие вопросы архитектуры объектно-ориентированной распределенной системы моделирования процессов массового обслуживания / К. Ю. Войтиков, А. Н. Моисеев // Обозрение

прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, № 6. - С. 10401041.

14. Гайдамака Ю. В. Анализ зависимости параметров модели сервера протокола установления сессий с групповым поступлением сообщений от распределения длины группы сообщений [Электронный ресурс] / Ю. В. Гайдамака, Э. Р. Зарипова, Ю. Н. Орлов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2015. - № 27. - 16 с. - URL: http://library.keldysh.ru/preprint. asp?id=2015-27 (дата обращения: 15.03.2017).

15. Гайдамака Ю. В. К анализу эффектов группового поступления сообщений на время ожидания в очереди обработки SIP-сервера / Ю. В. Гайдамака, Э. Р. Зарипова, Ю. Н. Орлов // Информационные технологии и вычислительные системы. - 2015. - № 3. - С. 74-80.

16. Гайдамака Ю. В. Модели обслуживания вызовов в сети сотовой подвижной связи / Ю. В. Гайдамака, Э. Р. Зарипова, К. Е. Самуйлов. - М. : РУДН, 2008. - 72 с.

17. Галажинская О. Н. Бесконечнолинейная бесконечнофазная система массового обслуживания со случайным прерыванием обслуживания / О. Н. Галажинская // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2006. - № 18. - С. 261-266.

18. Галилейская А. А. Исследование двухфазной бесконечнолинейной системы массового обслуживания требований случайного объема с простейшим входящим потоком / А. А. Галилейская, Е. Ю. Лисовская // Марчуковские научные чтения - 2017. Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук. Новосибирск. 25 июня - 14 июля 2017 г. - Новосибирск: Омега Принт, 2017. - С. 152.

19. Галилейская А. А. Исследование двухфазной бесконечнолинейной системы массового обслуживания требований случайного объема с входящим простейшим потоком / А. А. Галилейская, Е. Ю. Лисовская // Труды Международной конференции «Марчуковские научные чтения -

2017». Академгородок, Новосибирск, Россия, 25 июня - 14 июля 2017 г. -ФГБУН Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН. - С. 186-190.

20. Галилейская А. А. Исследование двухфазной бесконечнолинейной системы массового обслуживания с ММРР входящим потоком требований случайного объема / А. А. Галилейская, Е. Ю. Лисовская // Труды / Томский государственный университет. Серия физико-математическая. - Томск, 2017. - Т. 301: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы V Международной молодежной научной конференции. Томск, 19-20 мая 2017 г. - С. 92-97.

21. Галилейская А. А. Исследование двухфазной бесконечнолиненой СМО с ММРР входящим потоком требований случайного объема / А. А. Галилейская, Е. Ю. Лисовская // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2017) : материалы XVI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Казань, 29 сентября -03 октября 2017 г. - Томск: Изд-во НТЛ, 2017. - Ч. 1. - С. 43-49.

22. Галилейская А. А. Исследование многофазной ресурсной СМО с ММРР входящим потоком / А. А. Галилейская, Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Молодежная научная школа по прикладной теории вероятностей и телекоммуникационным технологиям (АРТСТ-2017) : материалы молодежной научной школы. Москва, 23-27 октября 2017 г. - М. : РУДН, 2017. - С. 80-82.

23. Гамма Э. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования / Э. Гамма [и др.]. - СПб. : Питер, 2010. - 368 с.

24. Гарайшина И. Р. Исследование математических моделей процессов государственного пенсионного страхования: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Ирина Рашитовна Гарайшина. - Томск, 2005. - 148 с.

25. Глухова Е. В. Математические модели страхования / Е. В. Глухова, О. А. Змеев, К. И. Лившиц. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 2004. - 180 с.

26. Грачев В. В. Многофазная модель массового обслуживания системы распределенной обработки данных / В. В. Грачев, А. Н. Моисеев,

A. А. Назаров, В. З. Ямпольский // Доклады ТУСУРа. - 2012. - № 2 (26), Ч. 2.

- С. 248-251.

27. Гудкова И. А. К разработке модели схемы совместного доступа к ресурсам беспроводной сети с адаптивной скоростью обслуживания пользователей / И. А. Гудкова, К. Е. Самуйлов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем : материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 24-28 апреля 2017 г. - Москва: Изд-во РУДН, 2017. - С. 116-118.

28. Деза Е. И. Энциклопедический словарь расстояний / Е. И. Деза, М.-М. Деза [пер. с англ. В. И. Сычева] // Моск. гос. пед. ун-т; Нормальная высш. шк., Париж. - М. : Наука, 2008. - 448 с.

29. Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими / Д. Дрю. -М. : Транспорт, 1972. - 424 с.

30. Жидкова Л. А. Математическая модель потоков покупателей двухпродуктовой торговой компании в виде системы массового обслуживания с повторными обращениями к блокам / Л. А. Жидкова, С. П. Моисеева // Известия Томского политехнического университета. - 2013.

- Т. 322, № 6. - С. 5-9.

31. Задорожный В. Н. Аналитико-имитационные исследования систем и сетей массового обслуживания: монография / В. Н. Задорожный. - Омск : изд-во ОмГТУ, 2010. - 280 с.

32. Задорожный В. Н. Имитационное моделирование: учеб. пособие /

B. Н. Задорожный. - Омск : ОМГУ, 1999. - 151 с.

33. Задорожный В. Н. Методы аналитико-имитационного моделирования систем с очередями и стохастических сетей: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.18 / Владимир Николаевич Задорожный. - Омск, 2011. -397 с.

34. Задорожный В. Н. Транспортная сеть массового обслуживания: теория и эксперименты / В. Н. Задорожный // Динамика систем, механизмов и машин. - 2014. - № 3. - С. 162-165.

35. Касконе А. Система Geom/G/1/n с дисциплиной LIFO без прерывания обслуживания и ограничением на суммарный объем заявок /

A. Касконе, Р. Манзо, А. В. Печинкин, С. Я. Шоргин // Автоматика и телемеханика. - 2011. - № 1. - С. 107-120.

36. Колбасова В. А. Исследование суммарного объема заявок в двухфазной бесконечнолинейной системе массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком / В. А. Колбасова, Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева, M. Pagano // Распределенный компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2017) : материалы Двадцатой международной научной конференции. Москва, 25-29 сентября 2017 г. - Москва: ТЕХНОСФЕРА, 2017. - С. 54-61.

37. Колбасова В. А. Исследование суммарного объема требований в бесконечнолинейной СМО с рекуррентным входящим потоком /

B. А. Колбасова, Е. Ю. Лисовская // Труды / Томский государственный университет. Серия физико-математическая. - Томск, 2016. - Т. 299: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы IV Международной молодежной научной конференции. Томск, 20-21 мая 2016 г. - С. 96-99.

38. Колбасова В. А. Исследование суммарного объема требований в СМО вида GI(v)/GI/^ и GI(v)/GI(2)/^: магистерская дис. по направлению подготовки: 01.04.02 [Электронный ресурс] / Вера Александровна Колбасова - Томск, 2017. - 70 с. - URL: http://vital.lib.tsu.ru/vital/access/manager/ Repository/vital:4405 (дата обращения: 13.09.2017).

39. Колбасова В. А. Исследование суммарного объема требований в СМО вида GI|M|ro методом асимптотического анализа / В. А. Колбасова, Е. Ю. Лисовская // Научное творчество молодежи. Математика. Информатика : материалы XX Всероссийской научно-практической

конференции. Томск, 28-29 апреля 2016 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2016. - Ч. 1. - С. 97-101.

40. Колбасова В. А. Суммарный объем заявок в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком / Колбасова В. А., Лисовская Е. Ю., Моисеева С. П. // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016) : материалы Девятнадцатой международной научной конференции. Москва, 21-25 ноября 2016 г. - Москва: Изд-во РУДН, 2016. -Т. 3. - С. 248-255.

41. Кононов И. А. Исследование бесконечнолинейной СМО MAP|GI|^ с заявками случайного объема / И. А. Кононов, Е. Ю. Лисовская // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2016. - Ч. 1. -С. 67-71.

42. Королькова Л. И. Оптимизация процессов предприятия на основе новой методики расчета характеристик многофазной системы массового обслуживания с непрерывной загрузкой без промежуточных накопителей [Электронный ресурс] / Л. И. Королькова, П. П. Переверзев // Современные проблемы науки и образования. - 2012. - № 3. - URL: www.science-education.ru/103-6424 (дата обращения: 17.10.2016).

43. Лисовская Е. Ю. Асимптотический анализ второго порядка для бесконечнолинейной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком требований случайного объема / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - аль-Хорезми 2016 : труды международной конференции. Ташкент, 09-10 ноября 2016 г. - Ташкент, 2016. - С. 205-208.

44. Лисовская Е. Ю. Асимптотический анализ немарковской бесконечнолинейной системы обслуживания требований случайного объема с входящим рекуррентным потоком / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева //

Вестник Томского государственного университета. Управление вычислительная техника и информатика. - 2017. - № 39. - С. 30-38.

45. Лисовская Е. Ю. Асимптотический анализ системы MMPP|GI|œ с обслуживанием требований случайного объема / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Труды / Томский государственный университет. Серия физико-математическая. - Томск, 2016. - Т. 299: Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем : материалы IV Международной молодежной научной конференции. Томск, 20-21 мая 2016 г. - С. 99-104.

46. Лисовская Е. Ю. Имитационная модель бесконечнолинейной системы обслуживания требований случайного объема с ММРР входящим потоком / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева, M. Pagano // Свидетельство № 2017615302 от 12.05.2017 г. о государственной регистрации программы для ЭВМ. - 2017.

47. Лисовская Е. Ю. Имитационное моделирование системы массового обслуживания требований случайного объема [Электронный ресурс] / Е. Ю. Лисовская, M. Pagano // Проблемы оптимизации сложных систем : сборник докладов Двенадцатой международной азиатской школы-семинара. Новосибирск, Академгородок, 12-16 декабря 2016 г. - Новосибирск, 2016. -С. 352-357. - URL: http://conf.nsc.ru/opcs2016/ru/proceedings (дата обращения: 14.01.2017).

48. Лисовская Е. Ю. Исследование бесконечнолинейной системы массового обслуживания требований случайного объема с входящим MMPP-потоком / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Международной конференции имени А.Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2016. - Ч. 1. - С. 77-82.

49. Лисовская Е. Ю. Исследование суммарного объема требований в бесконечнолинейной системе массового обслуживания вида M|GI|œ / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Информационно-телекоммуникационные

технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем : материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 18-22 апреля 2016 г. - Москва: Изд-во РУДН, 2016. - С. 28-30.

50. Лисовская Е. Ю. Моделирование процессов передачи данных с помощью СМО требований случайного объема / Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева, А. А. Галилейская // Материалы XVIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию. Иркутск, 21-25 августа 2017 г. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2017. -С. 80-81.

51. Лисовская Е. Ю. Характеристическая функция распределения вероятностей суммарного объема заявок в системе M/GI/да / Е. Ю. Лисовская // Материалы 54-й Международной научной студенческой конференции МНСК-2016: Математика. Новосибирск, 16-20 апреля 2016. - Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2016 г. - С. 108.

52. Лоу А. Имитационное моделирование / А. Лоу, В. Кельтон. - 3-е изд. - СПб. : Питер, 2004. - 848 с.

53. Лукашенко О. В. Применение гауссовских процессов в моделировании сетевого трафика / О. В. Лукашенко, Е. В. Морозов, M. Pagano // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. - 2010. - № 3. - С. 51-58.

54. Матвеев С. А. Применение метода начальных моментов для исследования многофазной системы массового обслуживания GI/(M/^)K / С. А. Матвеев, А. Н. Моисеев, А. А. Назаров // Доклады ТУСУРа. - 2014. -№ 3 (33). - С. 129-134.

55. Моисеев А. Н. Анализ многофазной системы обслуживания SM/(GI/^)K в условии высокой интенсивности входящего потока / А. Н. Моисеев, А. А. Назаров // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2015) : материалы XIV Международной конференции им. А. Ф. Терпугова. Анжеро-Судженск, 18-22 ноября 2015 г. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2015. - Ч. 1. - С. 142-147.

56. Моисеев А. Н. Асимптотический анализ многофазной системы массового обслуживания с высокоинтенсивным рекуррентным входящим потоком потока / А. Н. Моисеев, А. А. Назаров // Автометрия. - 2014. - Т. 50, № 2. - С. 67-76.

57. Моисеев А. Н. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания / А. Н. Моисеев, А. А. Назаров. - Томск : Изд-во НТЛ, 2015. -240 с.

58. Мокров Е. В. Модель системы облачных вычислений в виде системы массового обслуживания с несколькими очередями и с групповым поступлением заявок / Е. В. Мокров, К. Е. Самуйлов // Телекоммуникации и транспорт. - 2013. - Т. 7, № 11. - С. 139-141.

59. Морозова А. С. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов / А. С. Морозова, С. П. Моисеева, К. М. Одинцов // Научное творчество молодежи : материалы XI Всероссийской научно-практической конференции. Анжеро-Судженск, 20-21 апреля 2007 г. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - Ч. 1. - С. 37-39.

60. Назаров А. А. Асимптотический анализ марковизируемых систем: монография / А. А. Назаров. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1991. - 153 с.

61. Назаров А. А. Исследование потоковых моделей управления запасами методом г-аппроксимации / А. А. Назаров, В. И. Бронер // Информационно-управляющие системы. - 2016. - № 5 (84). - С. 91-97.

62. Назаров А. А. Методы асимптотического анализа в теории массового обслуживания / А. А. Назаров, С. П. Моисеева. - Томск : Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

63. Назаров А. А. Распределенная система обработки данных физических экспериментов / А. А. Назаров, А. Н. Моисеев // Известия вузов. Физика. - 2014. - Т. 57, № 7. - С. 112-117.

64. Назаров А. А. Теория массового обслуживания / А. А. Назаров, А. Ф. Терпугов. - Томск : Изд-во НТЛ, 2010. - 228 с.

65. Наумов В. А. Исследование некоторых многофазных систем массового обслуживания: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.09 / Валерий Арсентьевич Наумов. - Москва, 1979. - 97 с.

66. Наумов В. А. О моделировании систем массового обслуживания с множественными ресурсами / В. А. Наумов, К. Е. Самуйлов // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. - 2014. - № 3. - С. 60-64.

67. Наумов В. А. О связи ресурсных систем массового обслуживания с сетями Эрланга / В. А. Наумов, К. Е. Самуйлов // Информатика и ее применения. - 2016. - Т. 10, № 3. - С. 9-14.

68. Наумов В. А. О суммарном объеме ресурсов, занимаемых обслуживаемыми заявками / В. А. Наумов, К. Е. Самуйлов, А. К. Самуйлов // Автоматика и телемеханика. - 2016. - № 8. - С. 125-135.

69. Носова М. Г. Автономная немарковская система массового обслуживания и ее применение в задачах демографии: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Мария Геннадьевна Носова. - Томск, 2010. - 204 с.

70. Печинкин А. В. Ограничение на суммарный объем заявок в дискретной системе Оео/ОЛ/да / А. В. Печинкин, И. А. Соколов, С. Я. Шоргин // Информатика и ее применения. - 2012. - Т. 6, № 3. - С. 107113.

71. Позняк Р. И. Определение характеристик суммарного объема требований в однолинейных системах обслуживания с ограничениями / Р. И. Позняк, В. В. Ревинский, А. М. Старовойтов, О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. - 1990. - № 11. - С. 182-186.

72. Потатуева В. В. Асимптотический анализ системы ММРРЮ1/да с заявками случайного объема / В. В. Потатуева, Е. Ю. Лисовская, С. П. Моисеева // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем : материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 24-28 апреля 2017 г. - Москва: Изд-во РУДН, 2017. - С. 47-49.

73. Ромм Э. Л. Об одном обобщении задачи Эрланга / Э. Л. Ромм, В. В. Скитович // Автоматика и телемеханика. - 1971. - № 6. - С. 164-168.

74. Самуйлов К. Е. К разработке эффективных вычислительных алгоритмов нахождения вероятности блокировки для системы со случайными требованиями / К. Е. Самуйлов, Э. С. Сопин, О. Г. Вихрова // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. - 2016. - С. 192-197.

75. Самуйлов К. Е. Об эффективности разнесения восходящего и нисходящего каналов в беспроводных гетерогенных сетях / К. Е. Самуйлов, Э. С. Сопин, Р. Н. Ковальчуков // Технологии информационного общества : сборник трудов X Международной отраслевой научно-технической конференции. - 2016. - С. 62.

76. Самуйлов К. Е. Построение вероятностной модели разнесения нисходящего и восходящего радиоканалов в беспроводной гетерогенной сети / К. Е. Самуйлов, Э. С. Сопин, Р. Н. Ковальчуков // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2016) : материалы XV Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Катунь, 12-16 сентября 2016 г. - 2016. - С. 197-202.

77. Самуйлов К. Е. Система массового обслуживания с ограниченными ресурсами и сигналами для анализа показателей эффективности беспроводных сетей / К. Е. Самуйлов, Э. С. Сопин, С. Я. Шоргин // Информатика и ее применения. - 2017. - Т. 11, № 3. - С. 99-105.

78. Сопин Э. С. Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностных характеристик для СМО с ограниченными ресурсами и случайными требованиями / Э. С. Сопин, К. Е. Самуйлов // Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем : материалы Всероссийской конференции с международным участием. Москва, 24-28 апреля 2017 г. - 2017. - С. 52-54.

79. Тихоненко О. М. Анализ систем обслуживания требований случайной длины при ограниченном суммарном объеме / О. М. Тихоненко, К. Г. Климович // Проблемы передачи информации. - 2001. - Т. 37, № 1. -С. 78-88.

80. Тихоненко О. М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации / О. М. Тихоненко. - Минск : Университетское, 1990.

- 191 с.

81. Тихоненко О. М. Обобщенная задача Эрланга для систем обслуживания с ограниченным суммарным объемом /О. М. Тихоненко // Проблемы передачи информации. - 2005. - Т. 41, № 3. - С. 64-75.

82. Тихоненко О. М. Определение характеристик систем обслуживания с ограниченной памятью / О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. -1997. - № 6. - С. 105-110.

83. Тихоненко О. М. Определение характеристик суммарного объема требований в однолинейных системах обслуживания с абсолютным приоритетом / О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 8.

- С. 181-188.

84. Тихоненко О. М. Распределение суммарного объема в однолинейной системе с экспоненциальным обслуживанием и рекуррентным входным потоком / О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. - 1999. -№ 7. - С. 80-84.

85. Тихоненко О. М. Система обслуживания с разделением процессора и ограниченным объемом памяти, управляемая механизмом AQM / О. М. Тихоненко, В. М. Кемпа // Автоматика и телемеханика. - 2015. - № 10.

- С. 90-105.

86. Тихоненко О. М. Системы обслуживания требований случайной длины с ограничениями / О. М. Тихоненко // Автоматика и телемеханика. -1991. - № 10. - С. 126-134.

87. Топорков В. В. Модели распределенных вычислений / В. В. Топорков. - М. : Изд-во Физматлит, 2004. - 320 с.

88. Федоткин М. А. Модели в теории вероятностей / М. А. Федоткин. -М. : Изд-во Физматлит, 2012. - 608 с.

89. Хорошевский В. Г. Расчет показателей эффективности функционирования распределенных вычислительных систем / В. Г. Хорошевский, В. А. Павский // Автометрия. - 2008. - Т. 44, № 2. - С. 315.

90. Ahn H.-S. Optimal control of a two-stage tandem queuing system with flexible servers / H.-S. Ahn, I. Duenyas, M. E. Lewis // Probability in the Engineering and Informational Sciences. - 2002. - Vol. 16, № 4. - P. 453-469.

91. Andrews J. G. Heterogeneous cellular networks with flexible cell selection: a comprehensive downlink SINR analysis / J. G. Andrews, H. Jo, Y. J. Sang, P. Xia // IEEE Trans. Wireless Communications. - 2012. -Vol. 11, № 10. - P. 3484-3495.

92. Basharin G. P. Mathematical Theory of Teletraffic and Its Application to the Analysis of Multiservice Communication of Next Generation Networks / G. P. Basharin, Yu. V. Gaidamaka, K. E. Samouylov // Automatic Control and Computer Sciences. - 2013. - Vol. 47, № 2. - P. 62-69.

93. Boccardi F. Why to Decouple the Uplink and Downlink in Cellular Networks and How To Do It / F. Boccardi, J. Andrews, H. Elshaer, M. Dohler, S. Parkvall, P. Popovski, S. Singh // IEEE Communications Magazine. - 2016. -Vol. 54, № 3. - P. 110-117.

94. Borst S. Dimensioning large call centers / S. Borst, A. Mandelbaum, M. I. Reiman // Operations Research. - 2004. - Vol. 52. - P. 17-34.

95. Boxma O. J. M/G/œ tandem queues / O. J. Boxma // Stochastic Processes and their Applications. - 1984. - Vol. 18. - P. 153-164.

96. Brown L. Statistical analysis of a telephone call center: a queueing-science perspective / L. Brown, N. Gans, A. Mandelbaum, A. Sakov, H. Shen, S. Zeltyn, L. Zhao // Journal of the American Statistical Association. - 2005. -Vol. 100. - P. 36-50.

97. Chao X. Markov network processes with product form stationary distributions / X. Chao, M. Miyazawa, R. F. Serfozo, H. Takada // Queueing Systems. - 1998. - Vol. 28. - P. 377-401.

98. Cox D. R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the inclusion of supplementary variables / D. R. Cox // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 1955. - Vol. 51, № 3. - P. 433-441.

99. Czachorski T. On stochastic models of internet traffic / T. Czachorski, J. Domanska, M. Pagano // Communications in Computer and Information Science. - 2015. - Vol. 564. - P. 289-303.

100. De Nicola C. Fractional Levy motion with dependent increments and its application to network traffic modeling / C. De Nicola, Yu. Khokhlov, M. Pagano, O. Sidorova // Informatics and Applications. - 2012. - Vol. 6. - P. 5963.

101. Ericsson mobility report 2015 [Электронный ресурс] - URL: https://www.ericsson.com/mobility-report (дата обращения: 02.10.2017).

102. Erlang A. K. Solution of some Problems in the Theory of Probabilities of Significance in Automatic Telephone Exchanges / A. K. Erlang // Elektrotkeknikeren. - 1917. - Vol. 13. - P. 5-13.

103. Erlang A. K. The theory of probabilities and telephone conversations / A. K. Erlang // Nyt Tidsskrift for Matematik. Seria B. - 1909. - Vol. 20. - P. 3339.

104. Fedotkin M. A. On a class of stable algorithms for control of conflicting flows or arriving airplanes / M. A. Fedotkin // Problems of control and information theory. - 1977. -Vol. 6, № 1. - P. 13-22.

105. Garroppo R. G. On the implications of the OFF periods distribution in two-state traffic models / R. G. Garroppo, S. Giordano, M. Isopi, M. Pagano // IEEE communications letters. - 1999. - Vol. 3. - P. 220-222.

106. Garroppo R. G. Testing alpha-stable processes in capturing the queuing behavior of broadband teletraffic / R. G. Garroppo, S. Giordano, M. Pagano, G. Procissi // Signal processing. - 2002. - Vol. 82. - P. 1861-1872.

107. Gómez-Corral A. A tandem queue with blocking and Markovian arrival process / A. Gómez-Corral // Queueing Systems. - 2002. - Vol. 41. - P. 343-370.

108. Gopalan M. N. Stochastic modelling of a two-stage transfer-line production system with end buffer and random demand / M. N. Gopalan, N. Anantharaman // Microelectronics and Reliability. - 1992. - Vol. 32, № 1-2. -P. 11-15.

109. Kelly F. P. Reversibility and Stochastic Networks / F. P. Kelly. - New York : J. Wiley & Sons, 1979. - 630 p.

110. Kim C. A tandem BMAP/G/1 ^ •/M/N/O queue with group occupation of servers at the second station / C. Kim, A. Dudin, V. Klimenok, O. Taramin // Mathematical Problems in Engineering. - 2012. - Vol. 2012. - Article ID 324604. - 26 p.

111. Kleinrock L. Resource allocation in computer systems and computer communication networks / L. Kleinrock // Proceedings of IFIP Cong. Proc. - 1974. - P. 11-18.

112. Kullback S. On information and sufficiency / S. Kullback, R. A. Leibler // The Annals of Mathematical Statistics. - 1951. - Vol. 22, № 1. - P. 79-86.

113. Lee W. C. Y. Mobile cellular telecommunications: analog and digital systems, 2nd ed. / W. C. Y. Lee. - N.Y. : McGraw-Hill, 1995. - 664 p.

114. Lisovskaya E. Infinite-Server Tandem Queue with Renewal Arrivals and Random Capacity of Customers / E. Lisovskaya, S. Moiseeva, M. Pagano // Communications in Computer and Information Science. - 2017. - Vol. 700. -P. 201-216.

115. Lisovskaya E. On the Total Customers' Capacity in Multi-Server Queues / E. Lisovskaya, S. Moiseeva, M. Pagano // Communications in Computer and Information Science. - 2017. - Vol. 800. - P. 56-67.

116. Lisovskaya E. Study of the MMPP/GI/œ Queueing System with Random Customers' Capacities / E. Lisovskaya, S. Moiseeva, M. Pagano, V. Potatueva // Informatics and Applications. - 2017. - Vol. 11, № 4. - P. 111— 119.

117. Lisovskaya E. The Total Capacity of Customers in the Infinite-Server Queue with MMPP Arrivals / E. Lisovskaya, S. Moiseeva, M. Pagano // Communications in Computer and Information Science. - 2016. - Vol. 678. -P. 110-120.

118. Lisovskaya E. The total capacity of customers in the MMPP/GI/да queueing system / E. Lisovskaya, S. Moiseeva, M. Pagano // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016) : материалы Девятнадцатой международной научной конференции. Москва, 21-25 ноября 2016 г. - Москва: Изд-во РУДН, 2016. -Т. 3. - С. 313-325.

119. Lisovskaya E. Total customers' capacity in the multi-server queues / E. Lisovskaya // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2017) : материалы XVI Международной конференции имени А. Ф. Терпугова. Казань, 29 сентября - 03 октября 2017 г. - Томск: Изд-во НТЛ, 2017. - Ч. 1. - C. 10-17.

120. Lucantoni D. M. New results on single server queue with a batch Markovian arrival process/ D. M. Lucantoni // Stochastic Models. - 1991. -Vol. 7. - P. 1-46.

121. Mandelbaum A. State-dependent queues: approximations and applications / A. Mandelbaum, G. Pats // Stochastic Networks, IMA Volumes in Mathematics. - 1995. - P. 239-282.

122. Mandelbaum A. The impact of customers' patience on delay and abandonment: some empirically-driven experiments with the M/M/n + G queue / A. Mandelbaum, S. Zeltyn // Operations Research. - 2004. - Vol. 26. - P. 377411.

123. Moiseev A. Infinite-server queueing tandem with MMPP arrivals and random capacity of customers / A. Moiseev, S. Moiseeva, E. Lisovskaya // Proceedings of 31st European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2017. - Budapest, 2017. - P. 673-679.

124. Naumov V. LTE performance analysis using queuing systems with finite resources and random requirements / V. Naumov, K. Samouylov, N. Yarkina, E. Sopin, S. Andreev, A. Samuylov // 7th Congress (International) on Ultra-Modern Telecommunications and Control Systems ICUMT-2015 Proceedings. - Piscataway, NJ, USA: IEEE, 2015. - P. 100-103.

125. Naumov V. Two approaches to analysis of queuing systems with limited resources / V. Naumov, K. Samouylov, E. Sopin, S. Andreev // UltraModern Telecommunications and Control Systems and Workshops Proceedings. -IEEE, Piscataway, NJ, USA, 2014. - P. 485-488.

126. Neuts M. F. Models based on the Markovian arrival process / M. F. Neuts // IEICE Trans. Commun. - 1992. - P.1255-1265.

127. Paxson V. Wide-area traffic: the failure of Poisson modeling / V. Paxson, S. Floyd // IEEE/ACM Transactions on Networking. - 1995. - Vol. 3, № 3. - P. 226-244.

128. Puhalskii A. A. On many-server queues in heavy traffic / A. A. Puhalskii, J. E. Reed // Annals of Applied Probability. - 2008. - Vol. 20. -P. 129-195.

129. Raspopov A. Resource Allocation Algorithm Modeling in Queuing System Based on Quantization / A. Raspopov, Y. Y. Katsman // Key Engineering Materials. - 2016. - Vol. 685. - P. 886-891.

130. Reed J. E. The G/GI/N queue in the Halfin-Whitt regime I: infinite-server queue system equations / J. E. Reed. - The Stern School, NYU. - 2007.

131. Reyhanimasoleh A. Resource Allocation in Uplink Long Term Evolution / A. Reyhanimasoleh // PhD thesis. - 2013.

132. Ross K. W. Multiservice loss models for broadband telecommunication networks / K. W. Ross. - Berlin : Springer-Verlag, 1995. - 343 p.

133. Silver E. A. Inventory management and production planning and scheduling, 3rd edn. / E. A. Silver, D. F. Pyke, R. Peterson. - New York : Wiley, 1998.

134. Singh S. Joint resource partitioning and offloading in heterogeneous cellular networks / S. Singh, J. G. Andrews // IEEE Trans. Wireless Communication. - 2014. - Vol. 13 - P. 888-901.

135. Sopin E. Evaluating a case of downlink uplink decoupling using queuing system with random requirements. / E. Sopin, K. Samouylov, O. Vikhrova, R. Kovalchukov, D. Moltchanov, A. Samuylov // Lecture Notes in Computer Science. - 2016. - Vol. 9870. - P. 440-450.

136. Tikhonenko O. Busy Period Characteristics for Single Server Queue with Random Capacity Demands / O. Tikhonenko, M. Kawecka // Communications in Computer and Information Science. - 2012. - Vol. 291. -P. 393-400.

137. Tikhonenko O. On the queue-size distribution in the multi-server system with bounded capacity and packet dropping / O. Tikhonenko, W. M. Kempa // Kybernetika. - 2013. - Vol. 49, № 6. - P. 855-867.

138. Tikhonenko O. Performance evaluation of an M/G/n-type queue with bounded capacity and packet dropping / O. Tikhonenko, W. M. Kempa // International Journal of Applied Mathematics and Computer Science. - 2016. -Vol. 26, № 4. - P. 841-854.