Асимптотические методы для сингулярно возмущенных и осциллирующих систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Есипенко, Дмитрий Георгиевич

• Есипенко, Дмитрий Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Есипенко, Дмитрий Георгиевич

Содержание

Введение

Глава I. Осциллирующие системы с двумя быстрыми временами

§ 1. Обозначения и необходимые утверждения

§ 2. Системы в стандартной форме с двумя быстрыми

временами

2. 1. Построение асимптотики (25). 2. 2. О задачах, приводящих к системам с двумя быстрыми временами (30).

§ 3. Системы второго порядка с двумя быстрыми временами

Глава II. Сингулярно возмущенные быстро осциллирующие системы

§ 4. Асимптотика решения начальной задачи

4. 1. Обозначения и необходимые утверждения (50). 4. 2. Постановка начальной задачи (52). 4. 3. Построение асимптотики (53). 4. 4. Оценка остаточного члена (60).

§ 5. Асимптотика решения краевой задачи

5. 1. Предварительные утверждения (67). 5. 2. Постановка краевой задачи (71). 5. 3. Построение асимптотики (73). 5. 4. Оценка остаточного члена (84). 5. 5.

О некоторых оптимизационных задачах, приводящих к краевым для сингулярно возмущенных осциллирующих систем (99).

Глава III. Асимптотические методы в задачах вибрационного управления

§ 6. Вибрационное управление в системах, описываемых векторными уравнениями второго порядка

6. 1. Высшие приближения в окрестности асимптотически устойчивой точки покоя (106). б. 2. Вибрационная стабилизируемость точки покоя (117). § 7. Вибрационное управление в сингулярно возмущенных системах с погранслоем

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические методы для сингулярно возмущенных и осциллирующих систем»

Введение

Настоящая работа посвящена разработке асимптотических методов для осциллирующих и сингулярно возмущенных осциллирующих систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Задачи такого рода возникают везде, где имеют место определенные быстро переходные процессы. Со времен Лапласа и Лагранжа и до наших дней такие задачи продолжают привлекать внимание, и их список продолжает пополняться. "Неослабевающий интерес к методам малого параметра обусловлен больше всего их большой прикладной значимостью. Асимптотические методы решения задач, содержащих малые параметры, находят широкое применение в гидродинамике, нелинейной механике, химической и биологической кинетике, экологии, электродинамике, теплофизике, задачах управления, теории оболочек, теории гироскопических систем, физике полупроводников и многих других областях" [52].

В работе будут рассмотрены два новых класса задач: осциллирующие системы с двумя быстрыми временами и сингулярно возмущенные осциллирующие системы, и построены их асимптотики, а также рассмотрены некоторые приложения предлагаемых асимптотических методов к задачам вибрационного управления.

Хорошо известно, что бурно развивающиеся в настоящее время численные методы не исключают асимптотических. Это происходит по ряду причин. Во-первых, разумно построенная асимптотика, особенно ее главный член, несет существенную для приложений информацию о качественном поведении решения и в этом смысле в определенной мере заменяет точное решение, которое чаще всего не может быть найдено.

Во-вторых, как это следует из сказанного выше, знание структуры решения помогает при разработке численных методов решения сложных задач, поэтому развитие асимптотических методов способствует развитию методов численных. В-третьих, для некоторых задач, особенно связанных с быстрыми осцилляциями, эффективных численных методов, дающих достаточную степень точности, пока просто нет.

Основы теории возмущений были заложены еще Лапласом и Ла-гранжем [31, 32], в работах которых встречались разложения координат планет по степеням малых планетных масс. Уже на первых этапах развития теории возмущений появились задачи как регулярно, так и нерегулярно зависящие от малых величин.

Первыми из задач с нерегулярной зависимостью, возникшими в связи с проблемами небесной механики и электротехники, стали нелинейные уравнения, которые в настоящее время часто называют осциллирующими. Уже в работах Гаусса и Делоне [18, 23] можно найти различные усредняющие схемы для нахождения приближенных решений таких задач. Систематическое применение усреднения связано с открытием ван-дер-Полем нелинейных процессов в радио- и электротехнике.

Огромную роль в создании теоретических основ асимптотических методов сыграли работы А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре [36, 48], в которых исследовались обыкновенные дифференциальные уравнения, правые части которых регулярно зависели от малого параметра, а решение рассматривалось на конечном промежутке времени.

Идея построения асимптотических рядов для дифференциальных уравнений, регулярно зависящих от малого параметра, но рассматриваемых на асимптотически больших или бесконечных промежутках времени, впервые появилась в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова в связи с очень актуальными на тот момент проблемами нели-

нейной механики. Задачи такого типа уже не могут быть отнесены к регулярно возмущенным. В работе [30], стр. 6, о рассматриваемых там "колебательных системах" говорится: "Область применимости формул, получаемых при помощи обычных методов разложения, необходимо ограничить достаточно узким интервалом времени", — и далее, — "настоящая монография и посвящена рассмотрению методов разложения по степеням малого параметра ..., равномерно удовлетворяющим дифференциальным уравнениям с точностью до фиксированной степени еп.

Дальнейшее развитие эти идеи получили в многочисленных работах ученых киевской математической школы. Суть разработанного метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского [9] состоит в автономизации исходной системы, т. е. в нахождении замены переменной, приводящей исходную систему дифференциальных уравнений к простой автономной, которая может быть легко решена. После нахождения первого и улучшенного первого приближения и подстановки их в исходное уравнение по той же схеме может быть найдено следующее приближение и т. д.

Метод усреднения для общего класса дифференциальных уравнений, имеющих многомерные векторы быстрых и медленных движений был разработан В. М. Волосовым [14,15, 16]. Им были построены первое и второе приближения для таких задач. Ю. А. Митропольский показал, как строить N-06 приближение асимптотики [40]. Позднее этот подход был применен Л. Перко к системам в стандартной форме с условно-периодическими коэффициентами [45].

Некоторые трудности, осложняющие применение метода усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского, связаны с громоздкостью аналитических преобразований. Вследствие этого разрабатывались различные модификации метода усреднения [41], [27]. В частности,

В. В. Стрыгин [50], [51], в связи с задачами теории гироскопических систем, предложил искать асимптотику в виде суммы плавной и вибрационной составляющих.

Несмотря на почтенный возраст теории усреднения, многие связанные с ней вопросы остаются до конца не изученными. В частности, так называемая проблема резонансов [2], [57], [20]. С другой стороны, в приложениях, например, в моделях вибрационного управления [37], возникают задачи, требующие несколько иного подхода.

В главе I данной работы рассмотрены система в стандартной форме с двумя быстрыми временами

и вибрационная система, описываемая векторным дифференциальным уравнением второго порядка с двумя быстрыми временами

д + В(д)с[ = .Р(д) + кФ(д, к1) + к2Ф(д, к*, к2*), к » 1,

и построены асимптотические разложения решений начальных задач для этих систем.

Система в стандартной форме с двумя быстрыми временами обобщает систему в стандартной форме по Боголюбову [30]. Система второго порядка рассматривается, поскольку такими уравнениями описываются многие практические задачи. Математические модели с двумя быстрыми временами могут оказаться эффективным средством при изучении осциллирующих систем с частотами различного порядка. Например, к рассмотрению системы в стандартной форме с двумя быстрыми временами приводит квазигармоническое уравнение

, 2 л/ . Ау

если = у/е. Переход к системе с несколькими быстрыми временами может оказаться полезным также при возникновении эффектов

типа резонансных. Если частоты системы близки к рационально соизмеримым, то можно ввести малый параметр, который будет эту соизмеримость характеризовать, что приведет к возникновению нового времени.

Зависимость от быстрых времен в данной работе предполагается условно-периодической, как это бывает во многих приложениях [59], [2]. Еще в классической работе [30] системы в стандартной форме были рассмотрены именно в предположении об условной периодичности колебаний (в современной терминологии).

С чисто математической точки зрения выбор в пользу рассматриваемого класса условно-периодических функций сделан исходя из следующих соображений. Если /(£) — периодическая функция и М — ее среднее значение, то /о(/($) — — вновь периодическая функция

с тем же периодом. Как известно, для почти периодических (в смысле Бора) функций аналогичное утверждение неверно. То есть если /(¿) — почти периодическая функция и М — ее среднее значение, то /о(/(а) ~ М)йв — может не быть почти периодической, ограниченной функцией. Это проявляется в расходимости соответствующего обобщенного ряда Фурье. Следовательно, в этом случае при построении асимптотики возникает необходимость проверять сходимость рядов, причем при построении каждого приближения. Поэтому в данной работе класс почти периодических функций ограничивается до подкласса условно-периодических функций Лш, где ш удовлетворяет условию отсутствия резонанса.

Определение 0.1. Класс Лш обозначает множество функций / : [0,оо) —Б,", представимых в виде /(г) = Р{шт), где — фик-

сированный вектор, а ^ : Ы* —у Ип — бесконечно дифференцируемая 2тг-периодическая по каждому аргументу функция.

Таким образом, по определению функции класса Лш допускают простую конечную аналитическую запись, что позволяет легко оперировать с ними. Часто условно-периодические функции вводятся с помощью ряда Фурье. Эквивалентность определения обосновывается следующей леммой.

Лемма 0.1. Функция / G Лш тогда и только тогда, когда выполнены следующие три условия :

1- /М = Е

le ik

2. коэффициенты ai, а_[ — комплексно сопряжены;

3. для любой константы (3 > 0 существует а > 0 такая, что ||а/|| < а|/|_/? для всех I G Z*.

В работе используется следующее условие отсутствия резонанса, обеспечивающее замкнутость класса условно-периодических функций относительно операций интегрирования.

Определение 0.2. Вектор и G называется нерезонансным, если найдутся такие константы g, 7 > 0; что

\(1^)\>Q\IP

для всех I G 1ф 0.

Как указывается в работе [45], мера Лебега множества нерезонансных векторов равна единице.

Суть предлагаемого подхода к конструкции асимптотик состоит в следующем. В рассмотрение вводятся медленное и быстрые времена, и асимптотика ищется в виде суммы плавной (зависящей от медленного времени) и осциллирующих компонент с нулевым средним:

xN(t, г, -â, е) = u0(t)+£{ui(t)+vi(t, t)}+£2{u2(t)+v2(t, T)+w2(t, г, #)}+. . .

Для определения коэффициентов асимптотического разложения формальный ряд подставляется в уравнение и начальное условие. В новых переменных разложение имеет вид регулярного ряда, поэтому правая часть уравнения легко может быть разложена в ряд Тейлора по степеням малого параметра. Далее приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях е и производится декомпозиция плавной и осциллирующих компонент с помощью оператора усреднения. Компоненты одинаковых типов в левой и правой частях приравниваются друг к другу, и таким образом легко и естественно получаются задачи для определения любого приближения асимптотики, коэффициенты которых выражаются через приближения более низкого порядка. Для каждой из рассматриваемых систем получены соотношения, из которых последовательно могут быть определены коэффициенты асимптотики. При этом вибрационные компоненты находятся простым интегрированием, а плавные компоненты получаются как решения некоторых начальных задач в медленном времени, причем для отыскания первого и последующих приближений получаются линейные дифференциальные уравнения, отличающиеся только неоднородностями.

К иному типу нерегулярно возмущенных задач, по сравнению с названными выше осциллирующими, можно отнести дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр при старшей производной, то есть сингулярно возмущенные.

Фактически еще Лиувиллем [34] было рассмотрено уравнение такого рода и, выражаясь современным языком, построена его асимптотика. В 1904 г. Прандтль [47] написал знаменитые уравнения пограничного слоя, описывающие поведение жидкости малой вязкости вблизи границы. На практике возникало много сложных задач с сингулярными возмущениями, исследованием которых занимались в каждом конкретном случае представители прикладных дисциплин,

так как соответствующего математического аппарата еще разработано

не было о

Математические основы теории сингулярных возмущений были заложены А. Н. Тихоновым в работе [53]. С этого времени началось бурное развитие данной теории, привлекшее внимание широкого круга математиков. А. Б. Васильева [11, 12, 13] разработала метод погранфункций для построения асимптотик широкого класса сингулярно возмущенных нелинейных систем. Упомянутые выше работы В. М. Волосова [15, 16] можно рассматривать как обобщение метода усреднения для сингулярно возмущенных систем в колебательном случае. Метод регуляризации С. А. Ломова [35] позволяет строить асимптотики сингулярно возмущенных систем в зависимости от свойств спектра дифференциальных операторов.

Как отмечается в работе [13], "едва ли можно говорить о получении единого простого алгоритма для всех классов задач теории сингулярных возмущений ввиду их большого разнообразия, но можно ставить вопрос о некоторой общей идее построения асимптотики, открывающей возможность получения соответствующего алгоритма в каждом отдельном случае". Представленная в главе I модификация метода усреднения допускает естественное объединение с методом погранфункций А. Б. Васильевой и поэтому, возможно, представляет некоторые перспективы в этом плане. Построению асимптотик некоторых задач на основе такого подхода посвящена вторая глава этой работы.

В главе II рассмотрен новый класс задач, описываемый сингулярно возмущенными быстро осциллирующими дифференциальными уравнениями:

= у, г),

(0.1)

= С(х)у + г).

(0.2)

Система в стандартной форме по Боголюбову является частным случаем системы (0.1), (0.2), если С = 0, D = 0. Если же отсутствует зависимость от г = t/e, то рассматриваемая система становится сингулярно возмущенной системой Васильевой.

Зависимость от быстрого времени т = t/e Е [0,Т/е] предполагается условно-периодической, а условие отсутствия резонанса (определение 0.2) выполненным.

При выполнении ряда естественных требований для системы (0.1), (0.2) построены асимптотики решений по степеням е как начальной, так так и краевой задачи. Предлагаемые для этого методы основаны на идеях А. Б. Васильевой [13] и подходе, представленном в главе I.

При построении асимптотики задачи Коши предполагалось выполненным хорошо известное условие устойчивости

sup Re\i(C(uo(t)) < 0,

1<г<т, iG[0,T]

где щ — решение задачи начального приближения. Асимптотика в данном случае имеет вид суммы трех компонент:

xN(t, е) = uo(t) + e{ui(t) + vi(t, т) + щ(г)} + ...,

yN(t, е) = U0(t) + F0(i, т) + П0(г) + e{L\(t) + V\{t, т) + Щт)} + ....

Здесь uQ(t) + eu\(t) + ..., Uo(t) + eU\(t) + ... — плавная составляющая, ev\(t, т) + ..., Vo(t, т) + eV\ (t, r) + ... — вибрационная составляющая с нулевым средним по г, а е-к\(т) + ..., П0(т) + еП^т) + ... — погран-слойная составляющая асимптотики.

Краевые условия для системы (0.1), (0.2) в данной работе задаются в следующем достаточно общем виде (предполагается, что t £ [0,1]):

Гц®(0, ё) + Г12®(1, ё) = а, Г20(О, е) + Г22у(1, ё) = (3. (0.3)

При этом должно быть выполнено требование условной устойчивости

Re\i(C(u0(t))) <0, i = 1,... ,fc, Re\i(C{u0(t))) >0, i = +

при всех t £ [0,1], где щ — начальное приближение асимптотики, а также естественные условия разрешимости краевых задач.

Асимптотика краевой задачи (0.1), (0.2), (0.3) построена в виде суммы четырех компонент:

xN(t, е) = u0(t) + e{ui(t) + vi(t, т) + tti(t) + gi(n)} + ...,

yN(t, e) = U0(t) + V0(t, т) + Пo(r) + g0(n)+

+е{и^) + V^t, t) + ni(r) + Qi(T!)} + ....

Здесь новой по сравнению с начальной задачей является погранслой-ная составляющая в окрестности t = 1 £qi(ri)+..., Qo(ri)+£Qi(7i)+- • -, где т\ = (t — 1 )Je.

Соотношения для определения коэффициентов асимптотик как для начальной, так и для краевой задач получаются аналогично тому, как это делалось в главе I: формальное разложение подставляется в систему, правые части раскладываются в ряд Тейлора по степеням е, затем с помощью операторов усреднения и выделения погранслоя составляющие разных типов отделяются друг от друга, и, наконец, одинаковые составляющие одного порядка малости относительно е в левой и правой части приравниваются. Полученные соотношения в определенной последовательности могут быть разрешены относительно искомых коэффициентов асимптотики.

Теоремы, обосновывающие асимптотический характер разложений, доказаны при тех же естественных требованиях, которые необходимы и для построения асимптотик.

В конце второй главы рассматриваются два примера: задача вариационного исчисления и задача оптимального управления (регулятор состояния), исследование которых приводит к сингулярно возмущенным осциллирующим системам в условно устойчивом случае. На возникновение задач с погранслоями и осцилляциями в сложных задачах управления указывается, в частности, в [46].

Глава III посвящена приложениям предлагаемых асимптотических методов к анализу задач вибрационного управления.

Альтернативный принцип вибрационного управления (Vibrational Control), впервые математически сформулированный С. М. Меерко-вым, состоит в воздействии на управляемую систему вибрацией высокой частоты с нулевым средним с целью изменения динамических свойств этой системы желаемым образом [37]. Вибрационное управление может оказаться эффективным в тех случаях, когда применение более традиционных методов затруднено или невозможно вследствие недоступности управляемого объекта для подачи определенных управляющих сигналов или (и) измерений отклонений. Еще в 40-х годах, задолго до изучения этих вопросов математиками, вибрация была применена для улучшения параметров /^-ускорителей элементарных частиц [33]. С тех пор вибрационное управление находит многочисленные приложения к процессам в химических реакторах, лазерах [39], плазме [44].

Основы соответствующей математической теории для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, были заложены в работах [37], [38], [5] - [7], где в общем виде изучались различные качественные изменения, которые могут вызвать вибрации в поведении управляемых систем, и были сформулированы критерии вибрационной управляемости, стабилизируемости и инвариантности.

В данной работе рассматривается вибрационное управление в си-

стемах, описываемых векторными уравнениями второго порядка и в сингулярно возмущенных системах. Порядок амплитуд и частот вибрации предлагается определенным образом выразить через большой параметр. Такой подход, основанный на представленных в главах I, II асимптотических методах, позволяет исследовать качественные изменения как свойства задач, не зависящих от параметров вибрации, а осцилляции решений, возникающие вследствие вибраций, при этом оказываются малы.

В §6 изучается вибрационная стабилизируемость положения равновесия системы, описываемой векторным дифференциальным уравнением второго порядка

q + B(q)q = F(q). (0.4)

Система под действием вибрации имеет вид

q + B(q)q = F(q) + кФ(r)q, t G [0, oo). (0.5)

Определение 0.3. Тривиальное решение (0.4) называется вибраци-онно стабилизируемым [37] (при данном типе вибрации), если существует такая вибрационная матрица кФ(г), что тривиальное решение (0.4) асимптотически устойчиво.

Для (0.5) построена асимптотика решения начальной задачи на полуоси. Автономное уравнение начального приближения позволяет анализировать качественное поведение (0.5), в том числе определять область влияния тривиального решения, а асимптотика — получить решение с высокой степенью точности. На основе этого получен критерий вибрационной стабилизируемости.

В конце третьей главы вибрационное управление применяется к сингулярно возмущенным системам с погранслоем

doc dz

— = g(x, z\ E2— = C{x)z + D(x). (0.6)

Вибрация регулярной части определяется по правилу £~1к(х, г), т = причем МТЩ = 0. С помощью почти тождественной замены переменной данная задача приводится к виду сингулярно возмущенной осциллирующей системы, что позволяет применить результаты, полученные в главе II. Таким образом, поведение сингулярно возмущенной системы вибрационного управления может быть легко изучено. Эти результаты могут быть использованы в задачах вибрационного управления для широкого класса сингулярно возмущенных управляемых систем [28].

По теме диссертации опубликованы работы [60]-[63]. Публикации [60]-[62] выполнены в соавторстве с научным руководителем. В [60] идеи в 3, 5, 7, касающеся осциллирующих систем с одним быстрым временем, принадлежат Стрыгину В. В. Эти результаты в данную работу не вошли. Остальные результаты были получены соискателем при напрвляющей роли со стороны научного руководителя, за которую соискатель очень благодарен.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Есипенко, Дмитрий Георгиевич

Основные результаты, представленные в данной работе, докладывались на конференции А1М 96 "Асимптотики в механике", Санкт-Петербург, на конференции "Математическое моделирование систем", Воронеж, 1998, на семинарах факультета ПММ и кафедры Вычислительной математики ВГУ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Есипенко, Дмитрий Георгиевич, 1998 год

Литература

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.— М.:

Физматшз., 1959, 915 с.

2. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике.— УМН, 1963, Т. 18, N 6, с. 92-161.

3. Атанс М., Фалб P. JL Оптимальное управление.— М.: Машиностроение, 1968, 764 с.

4. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Усреднение процессов в периодических средах.— М. Наука, 1984, 352 с.

5. Беллман Р. Е., Бенцман И., Меерков С. М. (Bellman R. Е., Bentsman J., Meerkov S. M.) Vibrational Control of Nonlinear Systems: Vibrational Stabilizability.— IEEE. Trans. Automat. Contr., 1986 Vol. AC-31, N 8, pp. 710-716.

6. Беллман P. E., Бенцман И., Меерков С. М. (Bellman R. Е., Bentsman J., Meerkov S. M.) Vibrational Control of Nonlinear Systems: Vibrational Controllability and Transient Behavior.— IEEE. Trans. Automat. Contr., 1986 Vol. AC-31, N 8, pp. 717-724.

7. Беллман P. E., Бенцман И., Меерков С. М. (Bellman R. Е., Bentsman J., Meerkov S. M.) Vibrational Control of Systems with Arrhenius Dynamics.— J. Math. Anal. Appl., 1983, Vol. 91, pp. 152-191.

8. Бибиков Ю. H. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.— М: Высш. шк., 1991, 303 с.

9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.— М: Физматгиз, 1963, 410 с.

10. Бор Г. Почти периодические функции.— M.-JT. Гостехтеориздат, 1934, 172 с.

11. Васильева А. Б — ДАН СССР, 1959, Т. 124, N 3, с. 509-512.

12. Васильева А. Б.— Успехи мат. наук, 1963, Т. 18, N 3, с. 15-86.

13. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.— М.: Наука, 1973, 272

с.

14. Волосов В. М. Метод усреднения.— Мат. Докл., N 2, 1961, с. 221— 224.

15. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.— УМН, 1962, Т. 13, N6, с. 3 - 126.

16. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.— Изд-во МГУ, 1971, 507 с.

17. Вулард Э. Теория вращения Земли вокруг центра масс.— М.: Физ-матгиз, 1963, 144 с.

18. Гаусс К. Ф (Gauss С. F.) Determinativ attractions quam in punctum quodwis data exercerat planeta, si ejus massa per totam orditam ratione temporis quo singulae partes describunfur esset dispertita.— Gottingen, Werke, 3, 331, 1867.

19. Гребенников E. А., Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике.— М.: Наука, 1971.

20. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике.— М.: Наука, 1978.

21. Далецкий Ю. JL, Крейн С. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М.: Наука, 1970, 534 с.

22. Далецкий Ю. J1. Асимптотический метод для некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами.—

ДАН СССР, 1962, Т. 143, N 5, с. 1026-1029.

23. Делоне X. (Delaunay С.) Theorie du mouvement de la Lune.— Paris,

1, 1860.

24. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа, ч. I — М.: Наука, 1982, 616 с.

25. Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа, ч. И.— М.: Наука, 1980, 448 с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Наука, 1976, 576 с.

27. Кеворкян Ж. (Kevorkian J.) The uniformly valid asymptotic representation of the solution of certain nonlinear ordinary differential equations.— Doctoral thesis, California Institute of Technology, Pasadena 1991.

28. Кокотович П. В. (Kokotovic P. V.) Applications of Singular Perturbation Techniques to Control Problems — SIAM Review, 1984, Vol. 26, JV 4, pp. 501-550.

29. Колмогоров A. H., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1989, 623 с.

30. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. (Приближенные и асимптотические методы нелинейной механики.)— Киев: Изд-во АН УССР, 1937, 364 с.

31. Лагранж Ж. JI. (Lagrange J. L.) Oeuvres.— Paris, IV, 1772.

32. Лаплас П. С. (Laplase P. S.) Mecanique celeste.— Paris, Т. V, 1825.

33. Ливингстон M. C. (Livingston M. C.) High-Energy Accelerators. — New York: Wiley-Intercience, 1954.

34. Лиувилль Ж. (Liouville J.) Second memorie sur le development des fonctions en series dont divers termes sont assujettis, a satisfaire a une meme equation.— J. Math. Pure Appl., 1837, N 2, pp. 16-35.

35. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.—

М.: Наука, 1981, 400 с.

36. Ляпунов А. М. Собрание сочинений.— М., Л.: Наука, 1996, Т. 2, с. 7 - 263.

37. Меерков С. М. (Meerkov S. М.) Principle of Vibrational Control: Theory and Applications.— IEEE. Trans. Automat. Contr., 1980, Vol. AC-25, N4, pp. 755-762.

38. Меерков С. M. (Meerkov S. M.) Condition of Vibrational Stabilizabil-ity for a Class of Nonlinear Systens.— IEEE. Trans. Automat. Contr., 1982, Vol. AC-27, N2, pp. 485-487.

39. Меерков С. M., Шапиро Г. И. (Meerkov S. М., Shapiro G. I.) Method of Vibrational Control in the Problem of Stabilization of Ionization-Thermal Instability of a Powerful Continuous C02 Laser.— Automat. Remote Contr., 1976, Vol. AC-37, pp. 821-830.

40. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.— Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.

41. Моррисон Ж. A. (Morrison J. A.) Comparison of the modified method of averaging and the two variable expansion procedure.— SIAM Rev., 1966, N 8, pp. 66-85.

42. Найфе A. X. Методы возмущений — M.: Мир, 1976, 455 с.

43. Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой.— ПММ, Т. 48, вып. 2, 1984, с. 197-204.

44. Осовец С. М. Динамические методы сохранения и стабилизации

плазмы.— Успехи Советск. физики, 1974, Т. 112 с. 637-684.

45. Перко JI. М. (Perko L. М.) Higher Order Averaging and Related Methods for Perturbed Periodic and Quasi-Periodic Systems.— SI AM. J. Appl. Math., 1968, Vol. 17, N 4, pp. 698 - 724.

46. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления.— Дифферент уравнения, 1985, Т. 21, N10, с. 1713-1717.

47. Прандтль Jl. (Prandtl L.) Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung.— In: Verhandl d. IV, Inter. Mathem. Kongress, Heidelberg, 1904.

48. Пуанкаре A. (Poincare H.) Les Methodes nouvelles de la Mecanique Celeste — Paris, 1892.

49. Сибуя Я. (Sibuya Yasutaka) Some global properties of matrices of functions of one variable.— Math. Ann., Vol. 161, 1965, pp. 67-77.

50. Стрыгин В. В. Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений.— ПММ, 1984, Т. 48, вып. 6, с 1042 - 1045.

51. Стрыгин В. В. Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем, находящихся под воздействием быстро осциллирующих сил.— ПММ, 1989, Т. 53, вып. 3, с 518 - 519.

52. Тихонов А. Н. Методы малого параметра и их применение. — Дифференц. уравнения, 1985, Т. 21, с. 1659 - 1661.

53. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра.— Мат. сб., 1948, Т. 22, вып. 64, N 2, с. 193 - 204.

54. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных.— Мат. сб., 1952, Т. 31,

вып. 73, N 3, с. 575 - 586.

55. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А., Г. Дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1985, 231 с.

56. Тупчиев В. А. Асимптотика решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений первого порядка с малым параметром при производной.—ДАН, Т. 143, N 6, 1962, с. 1296-1299.

57. Ферхальст Ф. (Verhulst F.) Nonlinear differential equations and dynamical systems.— Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 1990, pp. 161168.

58. Флэтто Jl., Левинсон H. Периодические решения сингулярно возмущенных систем.— Математика, Т. 2, N 2, 1958, с. 61-68.

59. Шарлье К. Небесная механика.— М.: Наука, 1966, 628 с.

60. Стрыгин В. В., Есипенко Д. Г. (Strygin V. V., Yesipenko D. G.) Method of separation of movement and finding of higher order averaging for nonlinear systems with quasi-periodic coefficients.— Berlin-New York, Nonlinear World, N 3, 1996, pp. 807-834.

61. Стрыгин В. В., Есипенко Д. Г. (Strygin V. V., Yesipenko D. G.) Hybrid Asymptotical Method of Mechanical Systems Motion Integration Described by Singularly Perturbed Equations with Quasi Periodical Quickly Oscillating Coefficients.— AiM 96, Asymptotics in Mechanics, Proceeding of the Second International Conference, S.-Petersburg, 1997, pp. 253-360.

62. Стрыгин В. В., Есипенко Д. Г. Гибридный метод построения асимптотики для нелинейной сингулярно возмущённой задачи Коши с быстро осциллирующими условно-периодическими коэффициентами—Дифференц. уравнения, 1998, N 3, Т. 34, с. 320-325.

63. Есипенко Д. Г. Вибрационное управление в сингулярно возмущенных системах с погранслоем.— Математическое моделирование систем, тезисы конференции, Воронеж, 1998, с. 37-38.