Асимптотические и численные методы исследования квантовых волноводов и приложения к резонансному туннелированию тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор наук Сарафанов Олег Васильевич

• Сарафанов Олег Васильевич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Сарафанов Олег Васильевич

Введение

1 Волноводы. Принцип излучения. Матрица рассеяния

1.1 Расширенное пространство волн

1.1.1 Волны в цилиндре

1.1.2 Волны в области G

1.2 Собственные функции непрерывного спектра. Матрицы рассеяния

1.2.1 Естественный и расширенный принципы излучения

1.2.2 Аналитичность матриц рассеяния как функций спектрального параметра

1.3 Другие свойства матриц рассеяния

1.3.1 Связь матриц S(ß) и S(ß) при г' < ß < т

1.3.2 Связь матриц S(ß) и S(ß) при т < ß < т"

1.3.3 Пределы lim S(ß) при ß ^ т ±

2 Метод вычисления матрицы рассеяния в волноводах

2.1 Метод вычисления матрицы рассеяния вне порогов

2.1.1 Формулировка метода

2.1.2 Задача в GR

2.1.3 Обоснование метода вычисления матрицы рассеяния

2.2 Метод вычисления матрицы рассеяния вблизи порогов

2.3 Метод вычисления матрицы рассеяния для эллиптических систем

2.3.1 Матрица рассеяния

2.3.2 Формулировка метода

2.3.3 Задача в GR

2.3.4 Обоснование метода

3 Асимптотическая теория резонансного туннелирования в двумерных квантовых волноводах

3.1 Постановка задачи о туннелировании электронов малой энергии

3.2 Предельные задачи

3.2.1 Предельные задачи первого рода

3.2.2 Предельные задачи второго рода

3.3 Специальные решения однородных предельных задач первого рода

3.4 Асимптотические формулы

3.4.1 Асимптотика волновой функции

3.4.2 Формулы для S'il, £12» С и С2

3.4.3 Формулы для характеристик резонансного туннелирования

3.5 Обоснование асимптотики

3.6 Асимптотика резонансного туннелирования электронов высокой энергии

3.6.1 Постановка задачи

3.6.2 Предельные задачи

3.6.3 Асимптотика волновых функций

3.6.4 Формулы для постоянных Cmi

3.6.5 Асимптотика матрицы рассеяния

3.6.6 Асимптотика полюсов матрицы рассеяния

3.6.7 Асимптотика резонансного туннелирования

4 Асимптотическая теория резонансного туннелирования в трехмерных квантовых волноводах

4.1 Туннелирование электронов малой энергии в трехмерном несимметричном волноводе

4.1.1 Постановка задачи

4.1.2 Предельные задачи первого рода

4.1.3 Предельные задачи второго рода

4.2 Туннелирование в волноводе с одним сужением

4.2.1 Частные решения предельных задач первого рода

4.2.2 Переход через сужение

4.2.3 Асимптотические формулы

4.2.4 Оценки остатков

4.3 Туннелирование в волноводе с двумя сужениями

4.3.1 Специальные решения задачи в резонаторе

4.3.2 Асимптотические формулы

4.3.3 Оценки остатков

4.4 Влияние магнитного поля на резонансное туннелирование

4.4.1 Постановка задачи

4.4.2 Предельные задачи

4.4.3 Асимптотические формулы

4.4.4 Асимптотические формулы в двумерном случае

5 Сравнение асимптотического и численного подходов

5.1 Сравнение между первым и вторым порогами

5.2 Сравнение выше второго порога

5.3 Сравнение в присутствии магнитного поля

Приложение. Принцип излучения и матрица рассеяния вне порогов

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические и численные методы исследования квантовых волноводов и приложения к резонансному туннелированию»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена развитию асимптотических и численных методов для стационарных задач рассеяния в квантовых волноводах, а также приложениям этих методов к исследованию резонансного туннелирования. Простейшая одномерная модель резонансного туннелирования описывается стационарным уравнением Шредингера с потенциалом, состоящим из двух потенциальных барьеров. Эффект резонансного туннелирования заключается в том, что коэффициент прохождения (то есть вероятность прохождения электронов сквозь барьеры) равен единице при некоторых "резонансных" значениях энергии. Устройства, основанные на эффекте резонансного туннелирования, широко распространены в электронике. Усилия направлены на миниатюризацию и улучшение свойств резонансных структур. В настоящее время наиболее популярны резонансные структуры на основе квантовых точек. Однако, в качестве резонансной структуры может выступать квантовый волновод переменного сечения. Вместо системы "электрод-квантовая точка—электрод" можно рассмотреть квантовый волновод с двумя сужениями. Сужение волновода служит эффективным потенциальным барьером для продольного движения электронов. Часть волновода между сужениями играет роль резонатора, где может возникать резонансное туннелирование. Такие квантовые резонаторы могут использоваться в качестве элементов наноэлектронных устройств и имеют некоторые преимущества в рабочих свойствах и технологии изготовления.

Коэффициенты прохождения и отражения электронов выражаются через элементы волноводной матрицы рассеяния. В работе обосновывается оригинальный метод приближенного вычисления матрицы рассеяния в волноводах (не только квантовых), который позволяет численно исследовать резонансное туннелирова-ние при условии, что диаметр сужений волновода не слишком мал. При стремлении диаметров сужений к нулю численная процедура теряет устойчивость и становится актуальным вопрос об асимптотическом описании резонансного тун-нелирования. В диссертации получены асимптотические формулы для резонансных значений энергии, описана форма резонансных пиков. Полученные формулы можно использовать, чтобы другим способом получить числовые значения для основных характеристик резонансного туннелирования. Для этого нужно рассмотреть главные части асимптотических формул и приближенно вычислить входящие в них постоянные коэффициенты. Ясно, что численные результаты, полученные из асимптотики, могут быть надежны только при достаточно малых значениях

диаметров сужений, а результаты, полученные непосредственным вычислением матрицы рассеяния — при достаточно больших значениях диаметров. Сравнение "асимптотических" и "численных" результатов показывает, что существует интервал диаметров сужений, в котором они совпадают с высокой степенью точности. Таким образом, асимптотические и численные методы дополняют друг друга и дают полную картину резонансного туннелирования в квантовых волноводах переменного сечения.

Цели и задачи работы. Целью работы является разработка асимптотических и численных методов исследования задач теории рассеяния в волноводах и приложение этих методов к изучению резонансного туннелирования в квантовых волноводах переменного сечения. Для достижения поставленных целей решаются следующие задачи:

1. Установить принцип излучения для квантовых волноводов и дать определение матрицы рассеяния на любом интервале непрерывного спектра, возможно, содержащем пороги.

2. Исследовать поведение матрицы рассеяния вблизи порогов.

3. Обосновать метод приближенного вычисления матрицы рассеяния в волноводах как вне порогов, так и в их окрестности.

4. Дать асимптотическое описание резонансного туннелирования в квантовых волноводах с двумя цилиндрическими выходами на бесконечность и с двумя сужениями при стремлении диаметров сужений к нулю.

5. Исследовать, как влияют на резонансное туннелирование усложнение формы волновода, повышение энергии электронов и присутствие в волноводе магнитного поля.

6. Сравнить результаты асимптотического и численного анализа резонансного туннелирования.

Основные результаты работы, выносимые на защиту.

1. В квантовом волноводе с конечным числом цилиндрических выходов на бесконечность установлен принцип излучения и определена матрица рассеяния на любом интервале непрерывного спектра, включая пороги. Показано, что матрица рассеяния как функция спектрального параметра имеет оба конечных односторонних предела на любом пороге и является на нем непрерывной справа.

2. Обоснован метод вычисления матрицы рассеяния как на интервале непрерывного спектра, отделенном от порогов, так и в окрестности порога. Предложенный

метод нечувствителен к присутствию собственных чисел, погруженных в непрерывный спектр (так называемых ловушечных мод). Схема обоснования метода обобщена на волноводы, описываемые произвольной самосопряженной эллиптической системой.

3. В квантовом волноводе, занимающем на плоскости бесконечную полосу с двумя одинаковыми сужениями малого диаметра, получена асимптотика волновой функции, описывающей рассеяние электронов, приходящих в волновод через один из цилиндрических выходов. Из асимптотики волновой функции выведены асимптотические формулы для основных характеристик резонансного туннелирования.

4. В двумерном квантовом волноводе с двумя сужениями изучено, как меняются асимптотические формулы при повышении энергии электронов, при возникновении дополнительных каналов рассеяния и вырожденных собственных чисел резонатора.

5. Построена асимптотическая теория резонансного туннелирования в трехмерных квантовых волноводах с неодинаковыми сужениями. Описано расщепление резонансных пиков при наличии в квантовом волноводе магнитного поля.

6. Проведено сравнение асимптотического и численного описаний резонансного туннелирования для энергий между первым и вторым порогами. Найден интервал диаметров сужений, в котором работают оба подхода. Изучено, как влияет на согласованность двух подходов увеличение интервала энергий до третьего порога.

Научная новизна и практическая значимость. Все выносимые на защиту результаты получены впервые. Развиты новые численные и асимптотические методы исследования волноводов, с их помощью построена полная картина резонансного туннелирования в квантовых волноводах переменного сечения. Полученные результаты могут использоваться для анализа работы электронных приборов, основанных на явлении резонансного туннелирования (см., например, [14,15,19]). Кроме того, развитые методы допускают обобщение для исследования аналогичных явлений в упругих и электромагнитных волноводах.

Публикации и личный вклад. Основные результаты по теме диссертации изложены в статьях [1-10], опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, а также в научной монографии [11]. Результаты диссертации использовались при подготовке патентов [14,15]. Цели и задачи исследования определялись совместно Л. М. Баскиным, П. Нейттаанмяки, Б. А. Пламеневским и диссертантом. Обоснование метода вычисления волноводной матрицы рассеяния вне порогов принадлежит Б. А. Пламеневскому и диссертанту в равной степени. В окрестности порогов постановка задачи с условиями излучения в квантовом волноводе, определение матрицы рассеяния и метод ее вычисления принадлежат в равной степени Б. А.

Пламеневскому, А. С. Порецкому и диссертанту. Асимптотические формулы для основных характеристик резонансного туннелирования в квантовых волноводах переменного сечения получены диссертантом лично. Приведенные в диссертации численные результаты получены М. М. Кабардовым, П. Нейттаанмяки и Н. М. Шарковой. Сравнение асимптотики и вычислений проводилось совместно Л. М. Баскиным, П. Нейттаанмяки, Б. А. Пламеневским и диссертантом.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: The Ninth U.S. National Congress on Computational Mechanics (USNCCM IX) (Сан-Франциско, 2007), European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, (ECCOMAS) (Венеция, 2008; Вена, 2012), XXII международная конференция им. И. Г. Петровского "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2011), Шестая Международная научная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения VI" (OTHA) (Ростов-на-Дону 2016), The Eighth St. Petersburg Conference in Spectral Theory (Санкт-Петербург, 2016), 27-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ) (Крым, 2016); Петербургский семинар по дифракции и распространению волн (2011, 2017), Городской семинар по теории вероятностей и математической статистике (Санкт-Петербург, 2017), научные семинары кафедры высшей математики и математической физики СПбГУ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации составляет 210 страниц, список литературы содержит 48 наименований.

Содержание работы

Во введении описываются методы исследования, структура и содержание работы.

Основные характеристики резонансного туннелирования выражаются через элементы волноводной матрицы рассеяния. Поэтому, при изучении резонансного туннелирования, главным образом анализируется поведение матрицы рассеяния. В первых двух главах диссертации определяются матрицы рассеяния, описываются их свойства и обосновывается метод вычисления этих матриц. При этом рассматриваются волноводы более общего вида (с конечным числом цилиндрических выходов на бесконечность), чем нужно в последующих главах для исследования резонансного туннелирования. Это обстоятельство не приводит к усложнению рассуждений, зато позволяет расширить круг возможных приложений.

В главе 1 устанавливается принцип излучения для уравнения Гельмгольца в волноводах (то есть исследуется разрешимость краевой задачи с условиями излучения), определяется матрица рассеяния и изучаются ее свойства вблизи пороговых значений спектрального параметра. Доказательство внепорогового варианта принципа излучения известно [40] и в частном случае (для уравнения Гельмголь-ца) приведено в приложении для удобства ссылок. В той ситуации, когда область изменения спектрального параметра содержит порог, результаты главы получены в работе [8].

Рисунок 1: Волновод С.

Пусть С — область в Мп+1, п = 1, 2, с гладкой границей дС, совпадающая вне большого шара с объединением П+ и • • • и П+ конечного числа непересекающихся полуцилиндров

П+ = {(уг,Г): уг е Пг,Г > 0},

где (уг ,1Г) — локальные координаты в П+ и Пг — ограниченная область в М (Рис. 1). Рассмотрим краевую задачу

—Ди(х) — ци(х) = 0, х е С, (1)

и(х) = 0, х е дС.

Мы считаем, что при некоторых условиях волновая функция электрона удовлетворяет задаче (1), что она ограничена и не исчезает на бесконечности. Чтобы описать поведение волновой функции на бесконечности, используются решения задачи в цилиндре

— (Д^ + ^)и(у,г) = 0, (у,1) е П х М = П, (2)

и(у,1) = 0, (у,1) е дП,

где П — область в М и Ду^ = Ау+д|. Непосредственные вычисления показывают, что ненулевые функции

П х М э (у, ¿) ^ ехр (±г(д - т)1/2£)р(у)

удовлетворяют задаче (2), только если

— (Ду + т)(р(у) = 0, уе П, (3)

((у) = 0, уе дП,

то есть ( является собственной функцией задачи (3), а — соответствующим собственным числом. Собственные числа задачи (3) называются порогами; они образуют возрастающую последовательность Т1 < т2 < ..., стремящуюся к

Зафиксируем один из порогов т < д и обозначим через рр, р = 1,... ,к(т), ор-тонормированный базис в соответствующем собственном подпространстве; к (г) — кратность собственного числа задачи (3). Положим

и±(у, I) = (2|ЛТ|)—1/2 ехр(гЛ^)рр(у), (4)

где Л± = ±(д — г)1/2. Функции (4) ограничены, удовлетворяют (2) и не стремятся к нулю на бесконечности. Мы будем называть и++ (и—) волной, приходящей из (уходящей в В общем случае, когда д е (т/, т/+1), число пар волн в цилиндре

П равно сумме к(т{) + • • • + к(т/).

Пусть д не совпадает ни с одним из порогов, то есть ни с одним из собственных чисел задач (3) в областях П1,..., Пу-. Зафиксируем д и пронумеруем все пары волн в цилиндрах П1,..., П-^ одним индексом ] = 1, 2,..., М. В пространстве волновых функций, заданных в области С, существуют такие функции У1,... , Ум, для которых справедливы разложения

м

У (ж) = и+(ж) + (ж) + 0(ехр(—ф|)) (5)

з=1

при |ж| ^ то, где 5 — достаточно малое положительное число и I = 1,... , М. Матрица

5 (д) = Н^- (д) 11^=1

называется матрицей рассеяния, она унитарна и симметрична. Размер М = М(д) матрицы 5(д) зависит от д, остается постоянным между двумя соседними порогами и испытывает скачки на порогах, возрастая до +то при д ^ +то. В диссер-

тации показано, что на любом пороге т существуют оба односторонних предела матрицы Б(р) при д ^ т ± 0 и, кроме того, Б можно естественным образом определить на пороге т, причем она будет непрерывна справа.

Пусть теперь т' < т" — пороги волновода С, между которыми расположен единственный порог т. Положим

й = 2—1^ ---т С 2^ («)> (6)

Ул у) = и^(у,г; у), (7)

где р = 1,..., Ь, к = Ь + 1,..., М, М = Ь + к(т), а функции и± определены формулами вида (4).

Предложение 0.0.1. Функции д ^ ы±(у, Ъ = Ь+1,..., М, допускают аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость. Эти целые функции гладко зависят от параметров у е е М (т. е. любые производные по у и £ также являются целыми функциями).

Базис волн (6)-(7) будем называть устойчивым на пороге т. Для д е (т',т) волны оказываются экспоненциально растущими при х ^ то. На интервале (т, т") в пространстве собственных функций непрерывного спектра существует базис У\..., Ум(•,№), подчиненный условиям

м

У3(х, ц) = 'ш+(х,р) + ^(р)-ы-(х,^) + 0(е—5Ы). (8)

к=1

В отличие от матрицы Б(р) новая матрица 5(р) = \\Sjk(р)\\ сохраняет размер на интервале (т', т''); она унитарна и симметрична. Матрица 5 (р) называется расширенной матрицей рассеяния. Отметим, что число д может оказаться собственным числом задачи (1). Тогда собственные функции непрерывного спектра (8) определены лишь с точностью до линейной комбинации собственных функций, отвечающих числу д. Так как собственные функции (в отличие от У^) обязаны убывать на бесконечности с экспоненциальной скоростью, то матрица 5 (р) определена однозначно.

Приведем корректную постановку задачи

—Ди(х) — ц,и(х) = /, х е С, (9)

и(х) = 0, х е дС,

с "расширенными" условиями излучения в волноводе С. При целых I > 0 обозначим через Н1 (С) пространство Соболева. Пусть р7 — гладкая положительная в С функция, которая на П+ задана равенством р7(уг, Ьг) = ехр(7Ьг), причем 7 Е М. Пусть еще Н7(С) — пространство с нормой \\и;Н7(С)У = ||р7и; Н (С)\\, а Н^(С) обозначает замыкание в Н2(С) множества гладких на С функций, имеющих компактный носитель в С и обращающихся в ноль на границе дС. Оператор и ^ (—А — м)и задачи (9) осуществляет непрерывное отображение

Л7(м) : Н72(С) ^ Н°(С). (10)

Обозначим через К линейную оболочку £(ш— , ...,ш—). Норму элемента ш = X] + V Е К + НН2(С), где су Е С иу Е Н2(С), определим равенством

н\ = ЕII + ;н72(с)\\.

Пусть А(м) — сужение оператора 7(м) на пространство К+ Н2(С), тогда непрерывно отображение

А(м): К + Н72(С) ^Н°(С).

Теорема 0.0.2. Пусть м Е (г — т + £), 7 Е (л/£ Vт" — т — 5), и пусть — описанный выше устойчивый базис волн в С. Пусть Х\,... , ^ — базис в пространстве кегД7(м), / Е Н°(С) и (/, ^)с = 0, ^ = 1,..., (1. Тогда:

1. Существует решение ш Е К + Н2(С) уравнения А(м)ш = /, определенное с точностью до произвольного слагаемого из линеала £(^1,...,

2. Справедливо включение

V = ш — с 1Ш— — • • • — смш~м Е Н2(С),

где су = (/, )с; черта над У^ означает комплексное сопряжение.

3. Для решения ш выполняется неравенство

; Н72(С)\\ + |С1| + • • • + |см| < ссш1 (\\/; Н°(С)\\ + \\р7о; и(С)\\) . (11)

Решение подчиненное условиям (ш°, х^ )с = 0 при ] = 1,... , (1, единственно, и для него верна оценка (11) с заменой правой части на еош^/; /Н1(С)\\.

Перейдем к описанию аналитических свойств матриц Б(м) и 5 (м).

Теорема 0.0.3. Пусть т' < т < т" — три последовательных порога для задачи (1). Тогда:

i). На интервалах (т',т) и (т,т") существуют аналитические базисы {ß ^ Yj(;,ß)} в пространствах собственных функций непрерывного спектра задачи (1), удовлетворяющие формулам (5) с матрицей рассеяния ß ^ S(р), аналитической на указанных интервалах.

ii). На интервале (т',т") существует аналитический базис {ß ^ У^(;,ß)} в пространствах собственных функций непрерывного спектра задачи (1), удовлетворяющий формулам (8) с матрицей рассеяния ß ^ S (р), аналитической на указанном интервале.

Элементы "нерасширенной" матрицы S(р) выражаются в терминах, связанных только с матрицей S (р). Это позволяет, в частности, доказать существование конечных пределов lim S(р) при ß ^ т ± 0 и вычислить такие пределы. Для базиса {y+(^ß)}Y в пространстве собственных функций непрерывного спектра (см. теорему 0.0.3, ii)) введем столбцы = (У+,..., У+f и У+2) = (У++1,... , У^) и, в соответствии с этими обозначениями, запишем при ß Е (г', г'') матрицу рассеяния в виде

5(ß) =( S{n)(,l) S{12)(м)

V S(21)(ß) $(22) (ß) ) '

где, например, S(n)(ß) — блок размера L х L, а S(22)(ß) — блок размера (М — L) х (М — L). Положим еще

D = ((ß — т )1/2 + 1)/((ц — т )1/2 — 1),

причем (р — т)1/2 = г(т — ß)1/2 для ß < т и (т — ß)1/2 > 0.

Лемма 0.0.4. Пусть ß Е (т',т] и S(р) — матрицарассеяния из теоремы 0.0.3, ii). Тогда

кет(И + 3(22)(р)) с кетЗ{12)(^), 1т(Б + 5(22)(р)) Э 1т8(21)(р).

Поэтому оператор 5(12)(р)(0 + $(22)(р))-1 определен на образе 1т(В + £(22)(р)) и на образе 1ш5(21)(д).

Следующее утверждение по существу содержится в [41].

Предложение 0.0.5. Пусть ц, е (т',т), а Б(р) и Б(р) — матрицы рассеяния из теоремы 0.0.3. Тогда справедливо равенство

S (р) = S{ll) (р) — S(i2)(p)(D + S(22)(ß))—1S(2D(ß). (12)

На интервале (т, т") матрицу S разобьем на четыре блока с диагональными блоками S11 размера L х L и S22 размера (М — L) х (М — L). Положим еще

d± = 2—!(A1/2 ±Л—1/2).

Предложение 0.0.6. При д Е (т, г") для блоков Sij(ß) матрицы рассеяния S(д) справедливы представления

511 = S11 — 5i2d—(^22d— + IM—Ld+)—1 S21, (13)

512 = ^12d+ — ^12d-(^22 d- + Im—l d+)—+ Im—Ld—), (14)

521 = + Im—Ld+)—1^21, (15)

522 = + Im—Ld+)—1(^22d+ + Im—l d—). (16)

Так как матрица 5(д) аналитична в окрестности порога т, то из формул (12)-(16) вытекает

Теорема 0.0.7. Имеют место соотношения:

lim S(д) = lim S11(^) = 5(и)(т) — S{12)(T)(D + S(22)M) —^^(т),

¡л—^т—0 т+0 v у v у v ' к '

lim S12(m) = lim S21(^) = 0, lim S22M = P — Q,

¡—T+0 л—т+0 г+0

где P — ортогональный проектор в CM L на ядро ker (522(т) — 1) и Q = I — P .В

r—L

частности, если ядро ker (522(т) — 1) тривиально, то limM—Т+0 S22(p) = — IM—L.

Переход к устойчивому базису решений в связи со сменой асимптотических режимов является достаточно стандартным приемом в асимптотических исследованиях. Например, в [22,38] устойчивый базис вводился для исследования асимптотики решений эллиптических краевых задач в окрестности конической точки на границе. Расширенная матрица рассеяния в различных геометрических ситуциях вводилась в работах [31,41,43] для общих эллиптических систем, самосопряженных относительно формулы Грина. В [30] асимптотика матрицы рассеяния для дифракционной решетки (малым параметром служило удаление энергии электрона от порога) была обоснована, по существу, с использованием устойчивого базиса. В [39] свойства матрицы рассеяния вблизи порога исследовались методами работы [30].

Во второй главе обосновывается метод вычисления матрицы рассеяния, применяемый впоследствии для численного исследования резонансного туннелирования. Введем следующие обозначения:

П+д = {(уг,Г) Е П : Г > Д}, Ск = С \

при больших Я. Тогда дСк \ дС = Гк = игГ>к, где Г>к = {(уг,Г) е Пг : Ьг = Я]. Мы ищем приближение для строки (Бц,... Iм) матрицы рассеяния 3 = 3(д). Таким приближением служит минимизатор некоторого квадратичного функционала. Чтобы построить этот функционал, рассмотрим задачу

-(Д + = 0, х е Ск;

X* = 0, х е дСЕ \ Гд;

+ .С= (д„ + 1()(и+ + ази-), х е ГК, (17)

где ( е М \ {0} фиксируется произвольным образом, V — вектор единичной нормали, а а\,... ,ам — комплексные числа.

Поясним происхождение этой задачи. Волновая функция электрона Ф1 является решением задачи (1), следовательно, удовлетворяет первым двум уравнениям из (17). Асимптотика (5) допускает дифференцирование, поэтому

м

(д„ + % )Ф 1 = (д„ + 1С )(и+ + ^ а3 и-) + 0(е-п)

3=1

при аз = Б^. Таким образом, ф удовлетворяет последнему уравнению в (17) с точностью до экспоненциально малой невязки.

В качестве приближения для строки (3ц,...,3ш) возьмем минимизатор

а0(Я) = (а!((Я),... ,а°м(Я)) функционала

м

^((ц,... ,ам) = \\Х? - и+ - ^а3иЬ2(Гп)||2, (18)

3=1

где Х1К — решение задачи (17). Можно ожидать, что а®(Я,у) ^ З1 3(ц) с экспоненциальной скоростью при Я ^ то и ] = 1,... ,М. Чтобы найти зависимость решения X? от параметров а1,... ,ам, рассмотрим краевые задачи

(-Д - ц)у± = 0, х е

= 0, х е дСк \ Гд; (19)

(д„ + <)у± = (д„ + К)и±,х е Гк; 2 = 1,...,М.

Ясно, что Я/д = г>+д + где = — решения задач (19). Введем

? «у «у ? «у ?

матрицы размера М х М с элементами

¿д = (к--ч-),к--^-))гй, (20)

тд = (К+ - - ^-й Гд,

и положим

ад = ((»>.+ -«,+),(»>+ -«+))

Функционал (18) можно переписать в виде

^д(а,М) = (а£д(М),а) + 2Яе (Тд(м),а) + ^Ы,

где Т/д — строка матрицы Тд с номером /, (•, ) — скалярное произведение в См. Минимум достигается на строке а0 = а°(Я,м), удовлетворяющей системе а°(Я,м)£д + Т/д = 0. Таким образом, в качестве приближения Бд(м) для матрицы рассеняния Б(м) принимается решение уравнения Бд£д + Тд = 0.

Для того чтобы обосновать метод, необходимо убедиться, что задачи (19) однозначно разрешимы при больших Я и при £ Е М \ {0}, матрица £д невырожденная, а минимизатор а°(Я,м) функционала </д( ,м) стремится к строке (Бп(м),..., Б/м (м)) матрицы рассеяния при Я ^ то и м Е [м, м2].

Предложение 0.0.8. При любых м Е К, £ Е М\{0} и Я > Я°, где Я° — достаточно большое большое положительное число, задача

-(Д+ = 0, ж Е Сд;

V = 0, ж Е о>Сд \ Гд; (д„ + г= к, ж Е Гд, (21)

имеет единственное обобщенное решение V Е Н 1(Сд) для любой правой части к Е Ь2(Гд).

Предложение 0.0.9. Пусть м, (мЯ подчинены тем же условиям, что и в предложении 0.0.8. Тогда матрица

д

с элементами (20) невырождена.

Теорема 0.0.10. Пусть [м', м"] — отрезок непрерывного спектра, не содержащий порогов. При всех Я > Я°, ( Е М \ {0} им Е ] существует единственный

минимизатор а(Я,м) = (а1(Я,м),..., ам(Я,м)) функционала (18), причем

|а, (Я, м) - Бу(м)| < с(А,С)е-Лд, ; = 1,..., М, (22)

где постоянные Л и с(Л,() положительны и не зависят от Я и ц,.

Для уравнения Гельмгольца в близкой ситуации обсуждаемый метод был предложен в работе [24]. Там же была описана схема его обоснования без полного исследования разрешимости задачи в Ск; предполагалось, что исходная задача в волноводе С не имеет вещественных собственных значений (ловушечных мод). Обобщение метода на случай самосопряженных эллиптических систем с переменными коэффициентами, стабилизирующимися на бесконечности с экспоненциальной скоростью, дано в [7]. В [3] этот результат был распространен на периодические волноводы с медленной стабилизацией коэффициентов. В упомянутых работах [7] и [3] разрешимость задачи в Ск постулировалась.

Полное обоснование метода впервые дано в работе [2] для уравнения Гельм-гольца в двумерном волноводе с одним выходом на бесконечность. При этом было показано, что метод нечувствителен к наличию точечного спектра. В волноводах сложной геометрии точечный спектр, как правило, присутствует, и возможность об этом не заботиться является существенным преимуществом метода. Для уравнения Гельмгольца в волноводах произвольной размерности и с произвольным (конечным) числов цилиндрических выходов метод обоснован в книге [11]. Метод вычисления матрицы рассеяния в электромагнитных волноводах анонсирован в заметке [44]. Реализация метода для квантовых волноводов проведена в [4], [6], [9].

На интервале непрерывного спектра, содержащем порог, аналогичным образом можно найти приближение для расширенной матрицы рассеяния 5 (ц), определенной соотношениями (8). Если матрица 5 (ц) вычислена, то, используя связь между Б(ц) и 5 (ц), установленную в первой главе, можно получить приближение для "нерасширенной" матрицы рассеяния Б(ц) в окрестности порога (в том числе и на самом пороге). Эти результаты получены в работе [8], вычисления вблизи порога проводились в [28], [29].

Отметим в этой связи метод Я-матрицы, изложенный, например, в [20]. Он применим только к волноводам специфической формы — составленным из отрезков цилиндров разного радиуса (см. [45-48]). Однако такие волноводы оказываются неудовлетворительными с точки зрения физики.

В третьей главе начинается асимптотическое исследование резонансного тун-нелирования. Волновод занимает на плоскости бесконечную полосу с двумя одинаковыми сужениями диаметра е, симметричную относительно координатных осей. Волновая функция удовлетворяет уравнению Гельмгольца в этой полосе и обращается в ноль на границе. Энергия электронов (спектральный параметр в уравнении Гельмгольца) предполагается принадлежащей интервалу между первым и вторым порогами, поэтому каждому выходу на бесконечность соответствует только один

канал рассеяния. Цель — вывести асимптотику при £ ^ 0 для резонансной энергии к^, для коэффициентов прохождения Т(к2) и отражения Я(к2), а также для добротности резонатора. Эти результаты получены в [4].

Как оказывается, асимптотические формулы существенным образом зависят от предельной формы сужений. Мы считаем, что предельный волновод вблизи каждого сужения совпадает с парой вертикальных углов. На первом этапе строится асимптотика соответствующей волновой функции методом "составных" асимптотических разложений (общая теория метода изложена, например, в [37], [33]). Такие разложения содержат слагаемые двух родов: слагаемые первого рода зависят от "медленной" переменной х и дают приближение для волновой функции "далеко" от сужений; слагаемые второго рода зависят от быстрых переменных х/е и служат приближением в окрестности сужений. Эти слагаемые являются решениями так называемых предельных задач первого и второго рода, соответственно. Анализ полученных разложений позволяет вывести асимптотические формулы для упомянутых характеристик резонансного туннелирования.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Сарафанов Олег Васильевич, 2018 год

- ^ / /

-0.02

-0.01

0.01

0.02

к2-к2

Рисунок 5.12: Форма резонансного пика при е = 0.2: асимптотическое значение Та(к2 — к2ез а)

(сплошная линия) и численное значение Тп(к2 — к1ез п) (пунктирная линия) коэффициента

2 ' и2

прохождения Т(к2 — к1ез)..

0

0

ГЭ5

Рисунок 5.13: Зависимость ширины Т(к, е) резонансного пика от е на половине высоты (пунктиром обозначена зависимость для "численного" пика, сплошной чертой — для

"асимптотического").

Е

Рисунок 5.14: Отношение Ап(к,е)/Аа(к,е) как функция от е. Это отношение не зависит от к в

пределах точности проводимых вычислений.

В предыдущих вычислениях этого пункта центр области, занятой магнитным полем, совпадал с центром симметрии резонатора. Рисунок 5.15 показывает зависимость величины максимального значения коэффициента прохождения Т (к2+) от интенсивности магнитного поля при четырех разных значениях сдвига области, занятой магнитным полем, в направлении, перпендикулярном оси волновода. Если центр этой области лежит на оси волновода, то Т(к2+) исчезает при некоторых значениях Н. Пусть радиус области, занятой магнитным полем, равен 0.2.

Рисунок 5.15: Зависимость Т(к^А от Н при сдвиге магнитного поля в направлении, ортогональном оси волновода. В отдельном окне указаны координаты центра области, занятой

магнитным полем.

Тогда Рисунок 5.15 показывает, в частности, что при сдвиге магнитного поля от оси волновода на расстояние 0.1 этот эффект практически исчезает.

Приложение. Принцип излучения и матрица рассеяния вне порогов

Краевая задача в цилиндре

Постановка задачи. Операторный пучок

Пусть О — ограниченная область в М с гладкой границей дО. В цилиндре П = {(у, ^ : у = (у\,..., уп) Е О^ Е М} мы рассматриваем задачу

(-А -¿)и(у,г) = ¡(у,г), (у,г) е п, (1)

и(у,1) = 0 (у,1) ЕдП,

где

п

А = АУ + %, Ау = £д£, д5 = д/ду3.

3=1

Применяя к задаче (1) преобразование Фурье

/+ТО

-то

получим семейство краевых задач, зависящих от параметра Л:

(-Ау + Л2 -д)и(у,Л) = Ду,Л), у Е О,

и(у ,Л) = 0, уЕдО.

Введем операторнозначную функцию С э Л ^ А(Л, д), определенную равенством

А(Л, д)у(у) = (-Ау + Л2 - д)у(у), уЕ О, (2)

на функциях V, гладких в О и равных нулю на дО; параметр д временно предполагается зафиксированным. Функция *&(•, д) называется операторным пучком. Число

Ао Е С называется собственным числом пучка А( ,д), если существует нетривиальное решение (собственный вектор) уравнения А(А°, = 0, то есть А0 и удовлетворяют краевой задаче

(—Ду + а2 — = 0, у Е п,

Лу) = 0, У Е т.

Рассмотрим еще задачу

(—Ду — р)у(у) = 0, у Е П, (3)

у(у) = 0, у Е дп,

со спектральным параметром д. Собственные числа задачи (3) называются порогами задачи (1). Пороги образуют положительную последовательность Т\ < т2 < ..., строго возрастающую к бесконечности. Любое собственное число т/ имеет конечную кратность, то есть существует лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих т/. Введем неубывающую последовательность (мксобственных чисел задачи (3), перенумерованных с учетом кратности. Вообще говоря, нумерации чисел т/ и ^ различны; любое число совпадает с одним из порогов Т/.

Для любого д собственные числа пучка А ^ А(А,д) заданы равенством А±(д) = ±(д — )1/2; говоря точнее, мы полагаем А±(д) = ±г(цк — м)1/2 при > д, где (ук — д)1/2 > 0, и А±(д) = ±г(д — дк )1/2 при < д, где (д — )1/2 > 0. Если д = ^к, то А+(д) = А—(д) = 0; в этом случае будем иногда писать А® (д) вместо . Кроме того, иногда будем писать А± вместо

А±(д). Если Цк—1 < М < ^к, то числа А±(д), А±+1(д),... чисто мнимые, а числа 1(д) вещественные. Собственным числам А± отвечает тот же со6-ственный вектор ^к, что и собственному числу дк задачи (3). Всякое собственное число пучка А(-,д) совпадает с одним из собственных чисел, введенных в этом пункте.

Обозначим через Нг(П) пространство Соболева в П с нормой

м* = (/ е лУ)1'2 , (4)

^ \а\<1

где I = 0,1,...; в частности, Я°(П) = Ь2(П). Кроме того, обозначим через Н2(П) замыкание в Н2(П) множества функций, гладких в П и исчезающих на дП.

Рассмотрим задачу

(-Лу + X2 - ß)<y) = f(y), У е Ъ (5)

v(y) = 0, уе дП.

Предложение 1. (см., например, [16]) (i). Предположим, что X не является собственным числом пучка где 1 фиксировано. Тогда для любой правой части f е L2(Q) существует единственное решение v е Н 2(&) задачи (5), причем справедливо неравенство

Ъх\21 IMI2- <с WfWl (6)

3=0

с постоянной С, не зависящей от f.

(ii). Пусть F — замкнутое подмножество комплексной плоскости, лежащее в полосе {X е C : \Im X| < h < и свободное от собственных чисел пучка

Тогда для любого X е F справедлива оценка (6) с постоянной С = С(F), зависящей от F, но не зависящей от X и .

Пусть X0 — собственное число пучка A(^,i), а — собственный вектор, отвечающий числу X0. Гладкие функции ..., заданные на Q, равные нулю на границе дQ и удовлетворяющие системе

1 1

]Г -дкх A(Xo,ß)pk = 0, 1 = 1,...,т - 1, (7)

к=о

называются присоединенными векторами. Упорядоченный набор ,ifl,..., if'm~l называется жордановой цепочкой, отвечающей числу X0. Ввиду (2), соотношения (7) принимают вид

A(Xo = 0,

A(Xo,ß)ip1 + 2Xo^0 = 0, (8)

A(Xo,ß)(pl + 2Xo(p1-1 + 2ip1-2 = 0, 1 = 2,...,т - 1.

Числа X± = 0 не имеют присоединенных векторов. Действительно, если предположить, что, например, числу X+ = 0 отвечает жорданова цепочка , то мы получаем равенства

4X1,11)^1 = 0, A(Xt,ß)tp\ + 2X+ip0k = 0,

которые можно записать в виде

(—Ду — Я = 0,

(—Ду — + = 0. (9)

Краевая задача

(—Ду — >(у) = /(у), у Е П; и(у) = 0, у Е Ш, (10)

имеет решение тогда и только тогда, когда выполнены условия (/, = 0 для любого собственного вектора ф этой задачи, отвечающего числу ; (/, обозначает скалярное произведение в Ь2(П). Таким образом, не существует решения ¥>1 уравнения (9) при А+ = 0. В случае д = имеем Л+ = Л— = 0 и существует жорданова цепочка ^, ^. Оба эти вектора удовлетворяют однородной краевой задаче (10) при / = 0, решение ^ должно быть ненулевым, а ^ может равняться 0. Из уравнения (8) при I = 0 и Л° = 0 нетрудно вывести, что не существует присоединенного вектора ^.

Оператор-функция Л ^ А(Л, д)—1 : Ь2(П) ^ #2(П) голоморфна всюду, кроме полюсов, совпадающих с собственными числами пучка Л ^ А(А,д). Чтобы описать поведение А(А, д)—1 в окрестности полюсов, воспользуемся частным случаем теоремы Келдыша. Пусть т — собственное число задачи (3) и пусть 3 — его геометрическая кратность. Введем базис

собственном подпространстве, отвечающем т. При д > т обозначим через Л± = А±(д) собственные числа ±(д — т)1/2 пучка А( ,д). Кратность числа Л± равна J , а собственное подпространство натянуто на векторы ^>(°'1),..., ). По теореме Келдыша, в некоторой окрестности числа Л+ имеет место представление

А(Л,М)—1 = (Л — Л+ )—1 ]г(^^Ь +Г(Л), (11)

з=1

где (м,^)^ обозначает скалярное произведение в Ь2(П), Г(Л) : Ь2(П) ^ #2(П) — голоморфная функция, а ^(°'1),..., — собственные векторы пучка А( , д), отвечающие числу А+ (и одновременно числу А—) и удовлетворяющие условиям

(ад(А+ = 6,к.

Поскольку 5дА(Л+,д) = 2Л+, имеем = , откуда, полагая

= 1, получаем ) = (2А+)—1^,(°'А Следовательно, представление (11)

принимает вид

А(Л,д)-1 = (Л -Л+)-1 ^(2Л+ ) + Г(Л). (12)

3=1

Чтобы получить представление для резольвенты А(Л,д)-1 в окрестности полюса Л-, достаточно заменить в (12) Л+ на Л-.

При д < т положим Л±(ц) = г(т - д)1/2, где (т - ц)1/2 > 0, а через обозначим ортонормированный базис в собственном подпространстве, отвечающем числу Л± (напомним, что числам Л+(ц) и Л-(ц) соответствует одно и то же собственное подпространство). Мы приходим к следующему утверждению.

Предложение 2. При любом вещественном д = т оператор-функция Л ^ А(Л,д)-1 допускает представление

ЩЛ,,!)-1 = (Л -Л±)-1 ^(2Л±)-1 (;<РМ)М(0>1) + Г(Л)

3=1

в некоторой окрестности числа Л± = Л±(р), где Л ^ Г(Л) : Ь2(О) ^ Н2(О) — голоморфная функция.

Теперь предположим, что д = т. Тогда Л0 = 0 является собственным числом пучка Л ^ А(Л, д), его геометрическая кратность равна 3. Пусть ((0,1\ ..., ((0,^ — базис в собственном подпространстве, отвечающем числу Л0, а ((0,) — жорданова цепочка, где ] = 1,... ,3. По теореме Келдыша, в некоторой окрестности числа Л0 справедливо представление

J 2 2-к

А(Л,д)-1 = ^^(Л -Л0)-к £(•, ^ ))п^{2-к-д,') + Г(Л), j=1 к=1 4=0

где ф(0,3\ф(1), ] = 1,... ,3 — набор жордановых цепочек пучка отвечаю-

щих числу Л0 и удовлетворяющих условиям

£ ^(^(Л0 Ь = 5а,с 80,,, (13)

р+4+г=2+ь1 ^ '

при а,( = 1,..., 3 и V = 0,1; оператор-функция Л ^ Г(Л) : Ь2(О) ^ Н2(О) голоморфна в некоторой окрестности числа Л0. Если базис ((0,1\ ..., ((0, J) орто-нормирован и любой присоединенный вектор ) равен нулю, то (13) сводится к

соотношениям

О ,/,(1,0

(рМ^О^ = ^, (рМ,^1^ + ^ад ,^(°,0)п = 0.

Из равенств (^>(°,а), = следует, что ^(°,а) = ^>(°,а) при а = 1,..., 3. Так

как

= 0, то (^(°,а), ф(1,<^))п = 0, откуда ) = 0 при ( = 1,..., 7.

Предложение 3. При д = г оператор функция А ^ А(Л,д) 1 в некоторой окрестности числа Л° = 0 допускает представление

А(А, М)—1 = (Л — Л°)—2 £ (•, ^ ) + Г(А),

з=1

где функция А ^ Г(Л) : Ь2(П) ^ Н2(П) голоморфная.

Разрешимость задачи в цилиндре

Пусть С£°(П) обозначает множество гладких функций с компактными носителями в П; как и выше, П = (у,£) : у Е П,£ Е М}. Для всех I = 0,1,... и Д Е М введем пространство Н1^ (П) как пополнение С(?0(П) по норме

||И; Н1р(П)|| = ( Е / ехр(2^)|^9>Ы)|2 ^¿)1/2.

\а\+к<Г П

Через Н2 (П) обозначим замыкание в пространстве Н2 (П) множества функций, гладких в П, имеющих компактный носитель в П и исчезающих на 5П. Оператор задачи (1) осуществляет непрерывное отображение

Ар(д) : #2(П) Э и ^ (—Д — Е Я°(П).

Нам понадобится комплексное преобразование Фурье

£(А) = (2^)—1/2 I ехр (—гАф(£) (И, А Е М + (14)

./М

где М + г^ = (Л Е С : 1шЛ = Д}, формула обращения

= (2^)—1/2 / ехр (Ш)^(А)^А,

и равенство Парсеваля

[ )|г;(г)12^ = [ |^(Л)|2 АХ. (15)

Теорема 4. Пусть прямая М + г( свободна от собственных чисел пучка Л ^ А(Л,д). Тогда для любой правой части / Е Нр(П) существует единственное решение и Е Н2 (П) задачи (1). Справедлива оценка

\\и;Н2(П)|| <С||^Н^ПЦ (16)

с постоянной С, не зависящей от /.

Доказательство. После преобразования Фурье (14) задача (1) сводится к семейству задач

(-А + Л2 -д)и(у ,Л) = ¡(у ,Л), УЕ О, (17)

и(Л, у) = 0, уЕдО,

с параметром Л Е М+г (. Эта прямая не содержит собственных чисел пучка Поэтому, в силу предложения 1, при любом Л Е М + г( существует единственное решение и(^, Л) := А(Л,д)-1 /(•, Л) задачи (17), удовлетворяющее неравенству

2

£ |Л|2-?Ци^АШ^ < С\\¡(;Л)\20, (18)

3 =0

где постоянная С не зависит от Л и /(Л, •). Следовательно,

2

[ £ |Л|* ЦЙ^ЛШ-.Л <С [ \\ я, Л)"2

JМ+ijв ■=0 JМ+ijв

2-з Л <С I \и (•, Л)\\0АЛ.

В силу (15), левая часть эквивалентна \\и; Н2(П)\\2, а правая часть равна С\\Н0(П)\\2. Таким образом, функция

и(•, г) = (2тт)-1/2 [ ехр(т)А(Л,д)-1 /(•, Л) АЛ (19)

Jм+i|3

удовлетворяет задаче (1) и допускает оценку (16). □

Асимптотика решений

Предположим, что / — гладкая функция с компактным носителем в П. Тогда функция Л ^ аналитична на всей комплексной плоскости С и быстро

убывает в любой полосе (Л Е С : |1шЛ| < К < то} при Л ^ то. Функция м(-,А) = А(А, д)—1/(-, Л) аналитична всюду, за исключением полюсов функции Л ^ А(А, д)—1. Кроме того, ввиду неравенства (18), функция г£(-, Л) также быстро убывает в упомянутой полосе при Л ^ то. Пусть Д и 7 — такие вещественные числа, что прямые (Л Е С : 1шЛ = Д} и (Л Е С : 1шЛ = 7} не содержат А(-, д)—1. Тогда в формуле вида (19 ) можно, пользуясь теоремой о вычетах, заменить Д на

7.

Найдем вычеты функции

Л ^ ^(Л) := (2^)—1/2 ехр (Ш)Я(А, д)—1/(-, А). (20)

По предложению 2,

.з г

ге8^ (А)|л=л± = (2^)—1/2 ехр(,А±£^(2А± )—1 / Ду, А±)^(°,.%)

как и выше, А± = А±(д), где А±(д) = ±(д—г)1/2 при д > т и А±(д) = ±г(т—д)1/2 при д < т. Для вещественных А± имеем

Д^А^Я^) ^ = (2эт)—1/2 / ехр (—¿А±й)/%) ^

= (2^)—1/2(/,2±)п,

где

5) = ехр (¿А^)^^')(у) (21)

и (•, )П — скалярное произведение в Ь2(П). Таким образом, если А± вещественно, то

7

ге8^ (А)|а=А± = (2А±)—1(/,^±)П^±

3=1

Для мнимых А± получаем

ге8^ (А)|А=А± = (2А±)—1(/,^7)П^

7 —1

3

3=1

где (у, в) определены равенством (21). По предложению 3, для Л° = 0 имеем

з п _

Гв8 ^( Л)|л=А0 = (2п)—1/2 £ р^Ч ^/(у, 0) + дл/(у, 0)) ч*°Л(у) йу

,'1 ** П

3=1

з

= (2тг)-1 ( / (И-гз)/(у, з)Р°^(у)(1у(1з

, ./е./ п

■=х шз п

= (2тг)-1 ]Г ((г°)пг1 + (г})иг°), (22)

3=1

где

г°(у, I) = ¿°Л(у), г}(у, I) = шрЫ\у). (23)

Лемма 5. Пусть Л± — собственное число пучка 1шЛ± = 0 и Р < 1шЛ+ <

7 (Р < 1шЛ- < 7). Тогда для любого Z = Z~ (^ = Z+) из (21) и любого / Е Н® (П) П Н° (П) справедлива оценка

|( и<С (У(П)|| + || ¡;Н0°(П)\\)

с постоянной С, не зависящей от ¡. Если Р < 0 <7 и Л± — вещественное собственное число, то оценка остается справедливой при любых Z± из (21), Z = и Z = Z) из (23).

Доказательство. Выберем щ, щ Е СТО(М) так, чтобы 0 < щ^) < 1, Щ^) = 1 при t> 1, ш(к) = 0 при I < —1 и щ + г]2 = 1. Предположим, например, что 1т Л+ = 0 и Р < 1шЛ+ <7. Тогда для Z = Z—— имеем

1()пI < С [ I¡(у, 8)1 ехр(—81шЛ—)йуй8 .)п

< 111(5)1 У, 5)1 ехр (Р<§)ехр(—в(1шЛ- + Р)) АуАв .) п

+ г]2(8)1 ¡(у, й)| ехр (7 в)ехр(—в(1шЛ- + 7)) ¿у¿з. п

Так как 1шЛ+ = —1шЛ , то 1шЛ + 7 > 0 и 1шЛ + Д < 0. Поэтому |(/,Я)п| < С||^1/; (П)|| (/^ ехр(—25(1шЛ— + £)) '

(г+то \ 1/2

| / ехр(—25(1шА- + 7)) <Ы < С(||/; (П)|| + ||/; Я7°(П)|). □

Следующая теорема описывает асимптотику решения задачи (1) на бесконечности.

Теорема 6. Пусть прямые (А Е С : 1шЛ = /3} и (А Е С : 1шЛ = 7} свободны от собственных чисел пучка А(-, д) и / Е Н®(П) П Н®(П). Тогда

ир = щ + 27гг6(/3, 7), (24)

где ир и и7 — решения задачи (1), принадлежащие пространствам Я|(П) и Я^(П), соответственно, /3 < 7 и 6(^,7) — сумма вычетов функции (20) в полосе (А Е С : Д < 1шЛ < 7}. 5се функции из (21), ^ и Z}■ из (23) удовлетворяют однородной задаче (1). Равенство (24) можно рассматривать как асимптотику решения ир(у,£) при £ ^ +то и как асимптотику решения и7(у,£) при £ ^ —то; при этом щ (ир) играет роль остатка, когда £ стремится к +то (к —то).

Доказательство. При / Е СГО(П) равенство (24) уже обсуждалось в начале этого пункта. По лемме 5 функционалы / ^ (/, 2)п из 6(^,7) непрерывны на пересечении Н® (П) П Н® (П). Поэтому мы можем получить формулу (24) при / Е Нр(П) П Я°(П), замыкая Ссто(П) по норме ||/1| := ||/; Я°(П)|| + ||/; Н®(П)|| пространства Щ (П) П Н® (П).

В том, что функции ^ и Z)¡ удовлетворяют однородной задаче (1), можно убедиться прямым вычислением. □

Перепишем равенство (24), используя более подробные обозначения. Пусть А± = А±(д) — собственные числа, определенные перед формулой (4). Кроме того, предположим, что соотвествует числу А±(д), другими словами, , £) = ехр (гА±(д)£)^(у), где ^ — собственный вектор, отвечающий числу А±(д) и т. д., см. (21), (22) и (23). Тогда (24) принимает вид

ир — щ =

тах(°„0}<1шЛ+<7 °>1шЛ->тт(°„0}

+ Е ^(2л±)—1(/, + Е * ((/, ^)п^ + (/, ) , (25)

А±еМ А°=°

где последние две суммы (отвечающие вещественным собственным числам) отсутствуют, если Д7 > 0.

Правая часть равенства (25) представляет собой линейную комбинацию решений Z—" и т. д. однородной задачи (1) (где /=0). Коэффициенты ¿(2 Л+)_1(/, Z—)п, ¿(2Л-)_1(/, Z+)п и т. д. этой линейной комбинации являются непрерывными функционалами на пространстве Я°|(П) П Д0(П).

Если полоса Д < 1тЛ < 7 содержит только вещественные числа пучка , д), то (25) упрощается:

^ — «7 = £ *(2Л±)-1(/, Z±)пZ± + е * ((/, Z,0)пZ,1 + (/, Z¿)пZ2);

если к тому же д не является порогом, то это равенство принимает вид

щ -Щ = £ *(2Л±)-1(

Для рассмотрений, проводимых в диссертации, это наиболее важный частный случай.

Задача в области С с цилиндрическими концами Постановка задачи. Фредгольмовость

Пусть С — область в Мп+1 с гладкой границей совпадающая вне большого ра с о линдров

шара с объединением П+ и • • • и П^ конечного числа непересекающихся полуци

Пг+ = {(уг, Г): уг е Пг, Г > 0},

— в П+.

где (уг, £ г) — локальные координаты в П+, а — ограниченная область в Мп. Рассмотрим задачу

—Д«(х) — д«(х) = /(ж), х е б,

и(х) = 0, х е <96. (26)

Для целых I > 0 обозначим через Н1 (б) пространство Соболева с нормой

/ * n 1/2

|| г;;Н (б) У =

£ / £ №(х)|2лх)

Предположим, что ¡3 = (Р1,..., ¡3т), где ¡3г вещественны, и обозначим через рр гладкую и положительную на С функцию, заданную на П^ равенством рр (уг, Ьг) = ехр(3). Введем еще пространство Н1р(С) с нормой \\и; Н1р(С)|| = Црри; Н1 (С)||. Пусть Нр(С) обозначает замыкание в Нр(С) множества гладких на С функций, имеющих компактный носитель в С и обращающихся в ноль на границе дС. Оператор и ^ (—А — ц)и задачи (26) осуществляет непрерывное отображение

Ар(ц) : Ц(С) ^ Н°(С). (27)

Обозначим через кет Ар (ц) ядро Ар (ц), а через 1шАр (ц) — образ оператора Ар (ц),

кет Ар (ц) = {и Е Нр(С) : А(ц)ри = 0},

1шДр(ц) = {¡Е Нр°(С) : ¡ = Ар(ц)и,и Е Нр(С)}.

Напомним, что оператор Ар (ц) называется фредгольмовым, если образ 1шАр (ц) замкнут, а ядро кет Ар (ц) и коядро сокетАр (ц) := Нр°(С)/\шАр (ц) конечномерны. Введем операторный пучок Л ^ Аг (Л, ц), определенный равенством (2) в области Пг ,г = 1,..., Г.

Теорема 7. (1). Оператор (27) фредгольмов тогда и только тогда, когда прямая {Л Е С : 1шЛ = Рг} свободна от собственных чисел пучка Аг(;,ц) для любого г = 1,..., Г.

(и). ¿1ш(Н0°(С)/\шАр(ц)) = кетА—р(ц).

(ш). ¡ Е 1шАр(ц) тогда и только тогда, когда (¡, = 0 для всех V Е кетА—р(ц); здесь (•, )с обозначает непрерывное продолжение скалярного произведения в (С) на пару пространств Нр°(С), Н— р(С).

Асимптотика решений

Теорема 8. Пусть и —решение задачи (26), принадлежащее пространству Нр (С) при 3 = (31,...,РТ). Пусть для некоторого г справедливо включение Т]г ¡ Е Н{°°г (П+ П С), где 3г < 7Г, цг обозначает гладкую функцию с носителем в П+ П С, причем цг (уг, Ьг) = 1 при Ьг > Т и большом Т. Предположим, что прямые {Л Е С : 1шЛ = Рг} и {Л Е С : 1шЛ = 7г} свободны от собственных чисел пучка Аг(;,ц).

Тогда в П+ при > Т справедливо равенство

и = £ + £

шах{0,/г }<1шЛ+<7г 0>1шА->шт{0,Зг }

+ £ Z± + £ (^ + + V, (28)

А±еМ А° =0

где функции Z+, Z— и т. д. определены в П := Пг = х М аналогично функциям в (25), с+, с— и т. д. — некоторые постоянные коэффициенты и е Н^г (Пг)• (Последние две суммы отвечают вещественным собственным числам и потому отсутствуют, если Дг7г > 0.)

Доказательство. Имеем

(—Д — д)(т]ги)(х) = <?(х), х е Пг, (^щ)(х) = 0, х е дПг,

где д = т]г/ — 2Ут]г V« — иДт]г. Так как производные Vт]г и Дтуг имеют компактный носитель, то д принадлежит пространству Н0 (Пг) П Н/2 (Пг). Применяя теоремы 4 и 6, получаем (25) при / = д, щ = цги и -и = м1. Отсюда следует равенство (28), где

с+ = ¿(2 Л+)—1( д, Z-)п^, с— = ¿(2Л—)—1 (р ,..., сО = % . □ (29)

Отметим, что в доказательстве функция д зависит от /, и и туг. Поэтому формулы (29) не дают явных выражений для коэффициентов в (28) как для функционалов, зависящих непосредственно от правой части / задачи (26). Такие выражения будут даны ниже (см. теорему 12).

Свойства индекса ¡^Д/ (д) и пространств кегД/ (д) и сокегД/ (д)

Пусть оператор А/ (д) фредгольмов. Разность dimkerДз (д) — dimcokerДз (д) называется индексом оператора А/ (д) и обозначается через 1пё А/ (д). Предполагая, что оба оператора А/ (д) и А7 (д) фредгольмовы, мы, в частности, выражаем разность 1пё А/(д) — 1пё А7(д) в терминах спектра пучков А(•, д).

Напомним, что для ненулевого собственного числа Л0 пучка А (,д) не существует присоединенных векторов и, следовательно, полная кратность числа Л0 равна его геометрической кратности, то есть его полная кратность совпадает с dimkerAг(Л0,д). Если Л0 = 0 оказывается собственным числом некоторого пучка А(-,д), то для любого собственного вектора е кегА(Л0,д) существует

присоединенный вектор и полная кратность числа Ао равна его удвоенной геометрической кратности.

Теорема 9. Пусть ( = ((3 1,...,(Tl, (ъ,..., (Т) и7 = (^ 1,...,jTl, (ъ,..., (т), где 3r < Y при всех г = 1,..., Ц, и пусть прямые R + i(r и R + i7г свободны от собственных чисел пучков Ar (;,ц), г = 1,. . . , Т. Обозначим через кг сумму полных кратностей всех собственных чисел пучка Ar(•, ц) в полосе {А Е C : (г < Im А < 7г }, где г = 1,... , Ц, и положим к = к1 + • • • + к71. Тогда

dim (kerAp(fi)/kerAy(ц)) + dim (kerA—y (ц)/kerA—p(ц)) = к, (30)

IndAp (ц) = IndAy (ц) + к. (31)

Доказательство. Перенумеруем одним индексом все функции вида T]rZ±, i]rZ0 и f]rZl, отвечающие собственным числам пучка A(;,ц) в полосе {А Е C : (г < Im А < 7r}, г = 1,..., 71, и получим набор Z1,... , Zк. Согласно теореме 8, любая функция и из ядра kerAp (ц) допускает асимптотическое представление

и = C1Z1 +----+ CvZv + v (32)

с постоянными коэффициентами Cj и остатком v из Hp(G). Поэтому существует не более, чем к векторов пространства kerAp (ц), линейно независимых по модулю kerAy(ц). Положим d := dim (kerAp(m)/kerAy(ц)), тогда 0 < d < к. Без потери общности можно считать, что в kerAp (ц) существуют векторы Uj, такие, что

к

Uj = Zj + cjkZk + Vj, j = 1,...,d, (33)

k=d+1

где Cjk = const и Vj Е Щ(G). Очевидно, что U1,... ,Ud линейно независимы по модулю пространства kerAy (ц).

Пусть D обозначает dim (kerA—y(ц)/kerA-p(ц)); мы покажем, что D = к — d. Предположим сначала, что D < к — d, и обозначим через f1,...,fD набор векторов из пространства kerA—y (ц), линейно независимых по модулю kerA—p (ц). Тогда существует ненулевая линейная комбинация Z = c°d+1Zq+1+• • •+ c0кZк, такая, что f := Ap(ц) Z Е Hy(G) и, кроме того, (f, (j)g = 0 при j = 1,..., D. Тогда по теореме 7 (iii) существует функция V, удовлетворяющая уравнению Ay(ц)У = f. Поэтому мы имеем Щ := V — Z Е kerAp(ц), причем векторы Uq,U1, ... ,Ud линейно независимы по модулю пространства kerAy (ц), что противоречит равенству d = dim (kerAp (m)/kerAy (ц)). Таким образом, мы установили неравенство D к d.

Теперь предположим, что D > к _ d. Пусть ..., ^ — набор элементов пространства ker^_7 (д), линейно независимых по модулю кегД_g (д). Выберем в пространстве Д0(С) набор векторов Ф1,..., Ф_о, удовлетворяющих условиям

(Ф^- )G = fijk, = 1,...,D, (Ф^,^)g = 0 при всех ^ Е кегД-р(д).

Тогда существует вектор Xj, удовлетворяющий уравнению Д^(м)х? = Ф^, где j = 1,..., D. Вычитая, если нужно, из Xj линейную комбинацию элементов U1,... , U базиса (33), можно обеспечить включение

к

X, _ £ d^ Е ¿^(G), J = 1,..., D. (34)

Никакая нетривиальная линейная комбинация векторов Xi,..., X-D не может принадлежать пространству Я^, иначе существовала бы линейная комбинация векторов Л7(^)Xj = Ф^, ортогональная всем ..., ^, что невозможно в силу выбора Ф1,..., Ф^. Отсюда и из (34) следует, что D < к — d. Таким образом, мы получаем равенство D = к, а значит, и равенство (30).

Проверим формулу (31). Согласно теореме 7 (ii), dimcoker^g (д) = dimker^._p (д), следовательно, справедливо равенство Ind^g (д) = dimker^g (д) — dimker^._g (д) и такое же равенство с заменой Д на 7. Из (30) следует, что

dimker^g (д) = dimkerAy (д) + d, dim kerA_g (д) = dim kerA_7 (д) + d — к,

и поэтому IndAg (д) = IndA7 (д) + к. □

Вычисление коэффициентов в асимптотике

Теперь все готово для того, чтобы получить явные формулы для коэффициентов в (28). Мы будем использовать обозначение Zj при ] = 1,..., к, введенное в

начале доказательства теоремы 9, и дополнительно положим

Zj* := (2Л±)—1при ^ = т;^ и Л± е М;

Zj* :=(2Л±)—1при Zj = ^ и Л± е М \ 0; (35)

Zjí := ^ пРи Zj = ^О и ЛО =0;

Zjí := ^О пРи Zj = ^ и Л00 = 0;

причиной такой связи между Zj и Zj* послужила формула (25).

Пусть выполнены условия теоремы 8 и асимптотика решения и е Н/ записана в виде (32).

Предложение 10. Пусть V = Z* + цги, где Z* — одна из функций (35) при неко тором г, а для остатка спра V удовлетворяет уравнениям

- - * / >

тором г, а для остатка справедливо включение V е Н2 /(С). Предположим, что

(—Д — (х) = 0, х = (/, Г) е П+, Г >Т, V(х) = 0, х е дП+ П дС, Г > Т.

Тогда для коэффициента ^ в формуле (32) справедливо равенство

ц = ¿(А/(д)7]ги, V)с. (36)

Доказательство. Положим ^^(уГ, £ г) := т]г (уг, £ £ г) при некотором положительном , тогда

(А/(д)77ги, V)с = (А/(д)77г,еи, V)с + (А/(д)(т] г ^7r,e)и, V)С.

Функция (туг — Т7г,е)и исчезает на бесконечности, значит, можно интегрировать по частям во втором слагаемом в правой части:

(А/Ы(?7г — 7?г,е)и, V)С = (( —Д — д)(Т7г — ?7г,е)и, V)

п+

= ((??г — ^г,е)и, ( —Д — )п+ = 0.

Поэтому

(А/(д)Т7ги, V)с = (А/(д)Т7г,еи, V)с (37)

= (А/ (д) Т7г,еи, Zj* )с + (А/ (д) Т7г,е и, V — Zjt)G.

Из доказательства теоремы 8 следует, что

Cj = i(Aß(f)rjr,£и, Z*)G. (38)

Кроме того,

KÄß (f) rjr,£ и, V -Z*)gI < С II ц^и; Hßß(G)\\\\v;H% || (39)

с постоянной С, не зависящей от е. Так как ||r]r,£и; Hß(G)|| ^ 0 при £ ^ 0, то соотношения (37), (38) и (39) приводят к (36). □

Предложение 11. Пусть выполнены условия теоремы 9 и пусть U1,...,Ud — векторы из пространства kerAß (f), удовлетворяющие (33), где d = dim (kerAß(p)/kerA1 (f)). Тогда существуют векторы Uj+i,..., U* из kerA-1 (f), такие, что

d

U* = Zj-^cjkZ*j + vi, k = d + l,..., к, (40)

j=i

и v*k e H-ß(G).

Доказательство. В силу теоремы 9 существуют векторы Vd+1,... ,VK из kerA-1 (f), линейно независимые по модулю пространства kerA-ß (f). Согласно теореме 8, Vk допускают представления

я

Vk = ^ hkjZj + Vk, Vk e H- ß (G), k = d + !,..., к. (41)

- ß

j=i

Имеем

Ъ Ti

0 = (Aß(ß)Uh, Vk)g = (Aß(f) ^ T]rZh, Vk)g + (Aß(f)(1 - ^ ^)Zh, Vk)g. (42)

r=l r=l

Функция (1 - Y^J= 1 Vr-)Zh принадлежит H^(G), значит,

Ti Ti

Aß(f)(1 - Vr) Zh = A7(f)(1 Vr) Zh. =i =i

Принимая во внимание это равенство, соотношение Е кегЛ—7 (д) и теорему 7

/"7-

(ш), получаем, что Л7(д)(1 — X)г= 1 Чг= 0 и

71

0 = (Да (м)^, Vfc )G = (Л^ (м)£ VrZh,Vk )g.

lrJ

r=1

Для того, чтобы вычислить правую часть, воспользуемся предложением 10 и ввиду (33) получим

к

bkh + Е Chfikj = 0, й = 1,..., d, fc = d + 1,..., к. (43)

j=d+i

Поэтому первые d столбцов (к — d) х d-матрицы b = ||являются линейными комбинациями остальных к — d столбцов. Ранг матрицы b равен к — d, поскольку V^+1,..., Ук линейно независимы по модулю кегЛ-р (м). Значит, матрица ||bkj|1к^'=й+1 невырожденная. Это позволяет считать, что bkj = Skj в (41) при fc, j = d + 1,..., к. Тогда, в силу (43), получаем

hh = - Chk, й = 1,...,d, fc = d+1,..., к,

что и требовалось. □

Мы переходим к основной теореме этого пункта. Как и выше, считаем, что Р = (р1,...,^1 ^,...,РГ) и 7 = (71,...,771 ,РГ2,...,РГ), где Рг < 7Г при всех г = 1,..., 71, и что прямые R + iРг и R + i7г не содержат собственных чисел пучков A ( ,м) при г = 1,..., Т. Обозначим через кг сумму полных кратностей собственных чисел пучка A(-,м), лежащих в полосе {A Е C : fir < ImA < 7Г} при г = 1,..., 71, и положим к = к1 + • • • + к71. Мы также сохраняем обозначение d := dim (кегЛ^(м)/кегЛ7(м)).

Теорема 12. Пусть / Е #0(G), и пусть задача (26) разрешима в пространстве Hp (G). Тогда для любых постоянных с1,..., q существует решение и Е (G) задачи (26), такое, что

d к

U = Е + Е + ^

j=1

где V Е Нр(С) и Z1,..., Zк — те же, что и в (32). Постоянная Ьк при к = (1 + 1,..., к вычисляется по формуле

а

Ьк = К¡, Щ)с + снснк, к=\

где ик принадлежит кетА—1 (р) и удовлетворяет (40), к = (1 + 1,..., к.

Доказательство. Пусть п Е Нр(С) — произвольное решение задачи (26), и пусть и1,... ,иа — векторы из пространства кетАр(р), определенные соотношениями (33). Выберем линейную комбинацию С векторов и1,..., и а, так чтобы для у := п + С было справедливо представление

я

у = X] + р, р Е Щ(С) з=

с постоянными коэффициентами ^. Вычислим ак. Функция г>(1—^г=1 т]г) принадлежит пространству Щ(С), откуда следует, что (Ар(р)у(1 — 1= 1 ^),ик)с = 0 (ср. с доказательством предложения 11). Поэтому

Тх

К 1,ик )С = КЛр {^у ,ик )С = ^2г(Ар (р) Г]гу ,ик )с.

г=1

Из предложения 10 следует, что правая часть равна ак. Требуемое решение и определяется теперь равенством и = V + с1и1 + • • • + саиа. □

Волны и матрица рассеяния Волны

Пусть О — ограниченная область в Мп с гладкой границей. Рассмотрим в цилиндре П = {(у, ^ : у = (у-\_,..., уп) Е О^ Е М} краевую задачу

(—А — р)и(у, I) = 0, (у, I) Е П,

и(у,1) = 0, (у,1) ЕдП, (44)

и связанный с нею операторный пучок

Щ\,ц)у(у) = (—Ау + Х2 — р)у(у), УЕ О; у\дп = 0.

Пусть {цк— неубывающая последовательность собственных чисел задачи

(—Ау -дМу) = 0, у Е П,

^(у) = 0, у е дП, (45)

перенумерованных с учетом кратности. Числа Дк называются порогами. Зафиксируем вещественное число д = Дк, & = 1, 2,..., и введем функции

, £;м) = (2|ЛЛ)-1/2 ехр(г Л^£ (у) (46)

в цилиндре П, где Л± = ±(д—Цк)1/2 — вещественное число; эти функции удовлета-оряют задаче (45). Будем называть (и—) волной, приходящей из (уходящей в Количество волн равно удвоенному количеству собственных чисел Дк (с

учетом кратности), таких, что Дк < Д. Число Л± является собственным числом пучка А(,д) с той же собственной функцией у, которая отвечала собственному числу Дк задачи (45). Собственные функции ортогональны и нормированы условием

( Уз, УкЬ = ^к.

Пусть С — область в Мп+1 с гладкой границей дб, совпадающая вне большого шара с объединением П+ и • • • и П+ конечного числа непересекающихся полуцилиндров

П+ = {(уг, Г): уг е , Г > 0},

где (уг, £ г) — локальные координаты в П+, а — ограниченная область в М. Рассмотрим задачу

—Ди(ж) — = /(ж), ж е б,

и(ж) = 0, ж е дб. (47)

Каждому П+ сопоставим задачу вида (44) в цилиндре Пг = {(уг, £г) : уг е , £ г е М}. Число г называется порогом для задачи (47) если т является порогом хотя бы для одной из задач в цилиндрах Пг. В этом параграфе мы предполагаем, что число д в (47) вещественно и не является порогом.

Пусть % е СТО(М) — срезка, %(£) = 0 при £ < 0 и %(£) = 1 при £ > 1. Домножим каждую волну в Пг на функцию £ ^ %(£г — £0) с некоторым (достаточно большим) £ 0 > 0 и затем продолжим это произведение нулем на всю область б. Обозначим полученные функции через г>1,..., у2м, где 2 М — число всех собственных чисел пучков с учетом их (геометрической) кратности.

Для всех I = 0,1,... и £ Е R введем пространство Hls (G) с нормой \\щ Hls(G)\\ = \\pju;H1 (G)\\, где p$ обозначает гладкую, положительную на G функцию, заданную на П+ П G равенством р$(yr, tr) = exp (£tr); весовой показатель Ö выбираем одним и тем же для всех цилиндрических выходов. Пусть H2(G) — замыкание в пространстве H2(G) множества гладких финитных функций на G. Теперь предположим, что Ö положительно и настолько мало, что полоса {Л Е C : |ImА| < содержит только вещественные собственные числа пучков A (-,м),г = 1,..., Т.

Обозначим через M линейное пространство, натянутое на функции г>1,... , v2m, и введем фактор-пространство W(д, G) := (M + iH2(G))/HH2(G). Элементы пространства W(д, G) называются волнами в G. Мы часто будем писать W вместо w (M,G).

Предложение 13. Билинейная форма

д(и, v) := ((-А - д)и, v)G - (и, (—А - ß)v)G (48)

имеет смысл для любых и uv из M+H2(G). Кроме того, если один из элементов и и v принадлежит H2(G), величина д(и, г>) равна нулю. Таким образом, форма </(•, •) определена на Wx W. Для любых двух волн U и V из W справедливо равенство

<г( и, V) = - gCVTU).

Доказательство. Любая функция из пространства M + H2(G) допускает представление с1г»1 + • • • + с2мv2m + w, где с1,..., с2м — некоторые постоянные и w Е H2(G). Функция (-А - д)fj имеет компактный носитель, а (-А - ^)w принадлежит H0(G), значит правая часть в (48) имеет смысл. Предположим, что и или v принадлежит H2(G), тогда, интегрируя по частям, получаем равенство

((-А - д)и, v)g = (и, (-А - ^)v)g.

Таким образом, можно положить

д(и,г;) := д(и,г»), (49)

для любых и и -и из M + H2(G), где через и и г> классы в W, содержащие, соответственно, и и -и. Равенство g(U, V) = -q(V, U) немедленно следует из (48) и (49).

□

Число U, U) чисто мнимое для любых U Е W. Волна U называется уходящей (приходящей), если гU, U) положительно (отрицательно). Пусть и± — волна вида (46) в цилиндре П+. Продолжим функцию (yr, tr) ^ - £0)и±(уГ, Г, д) нулем

на всю область С и обозначим ее класс в Ж через и±. Тем самым, мы определяем волны и±,..., и^; как и выше, 2М = 2М(р) равно числу всех вещественных собственных чисел пучков А1(^,р),..., Ат (•ф) с учетом кратности. Интегрируя по частям в выражении для формы д(и, у), где и и у — представители волн и±, получаем

Предложение 14. Функции и+ (и-), ] = 1,...,М, являются приходящими (уходящими) волнами. Набор и+,... ,и— ,и—,..., и-- образует базис в Ж подчиненный условиям ортогональности и нормировки

д( из ) = 0 при ] = к,

г д( и+,и+) = —1, 1Ч(и~)и~) = 1 при э = 1,...,М. (50)

Собственные функции непрерывного спектра. Матрица рассеяния

В этом пункте мы считаем, что параметр р лежит в интервале [р', р''], который не содержит порогов задачи (47), где р' > Т\ и т\ — первый порог. Тогда существует такое положительное число 5, что при всех р Е [р', р"] полоса {X Е C : |ImA| < содержит только вещественные собственные числа пучков A(•, р), г = 1,... , Т.

Если и Е kerA—s(р0) и и Е L2(G), то и называется собственной функцией непрерывного спектра задачи

—Аи(х) — ри(х) = 0, х Е G,

и(х) = 0, х Е dG, (51)

в точке р0. Если и Е kerA—s(р0), и = 0 и и Е L2(G), то и называется собственной функцией, а р0 — собственным числом задачи (51), погруженным в непрерывный спектр; в действительности всякая такая собственная функция принадлежит пространству kerAs(р0). Известно, что собственные числа задачи (51) не могут сгущаться на конечном расстоянии. Поэтому интервал [р', р''] содержит лишь конечное число собственных значений. Число dim (kerA—s(n)/keiA§(р)) называется кратностью непрерывного спектра в точке р. Равенство (30) при f = —5 и 7 = 5 принимает вид

dim (kerA_§(fi)/kerAs(р)) = М(р),

поскольку в этом случае к = 2М(р). Интервал [р',р''] не содержит порогов и поэтому на нем кратность непрерывного спектра постоянна.

Каждый элемент V Е кетЛ-5 (ц) определяет некоторый класс V в пространстве волн Ж; пусть К обозначает образ пространства кетА-§ (ц) в Ж; К является подпространством в Ж.

Теорема 15. Пусть и+(ц),..., (ц), и-(ц),... , и--(ц) — тот же базис в пространстве Ж(ц, С), что и в предложении 14. Тогда в К(ц) существуют такие базисы ^(ц),..., (м (ц) и Ц\(р),... , Цм (ц), что

м

Сз (ц) = и+ (ц) + £ Я* (ц) и- (ц), (52)

к=1 м

т (ц) = и-(ц) + ^т* (ц)и+(ц). (53)

=1

Матрица Б(ц) = \\Sjj~(ц)\\ унитарна и симметрична, причем Б(ц)-1 = Т(ц) = \\Тзк (ц)\-