Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Васин, Алексей Валерьевич

• Васин, Алексей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Васин, Алексей Валерьевич

Введение

Глава 1. Необходимые понятия и вспомогательные утверждения

Глава 2. Базисы, в которых для почти всех функций асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью £

2.1 Верхние оценки ненадежности схем

2.2 Нижние оценки ненадежности схем

2.3 Выводы.

Глава 3. Базисы, в которых для почти всех функций асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 2 е

3.1 Верхние оценки ненадежности схем

3.2 Нижние оценки ненадежности схем

3.3 Выводы.

Глава 4. Базисы, в которых для почти всех функций асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью Зе

4.1 Верхние оценки ненадежности схем.

4.2 Нижние оценки ненадежности схем

4.3 Выводы.

Глава 5. Базисы, в которых для почти всех функций асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 4е или 5е

5.1 Верхние оценки ненадежности схем.

5.2 Нижние оценки ненадежности схем

5.3 Выводы.

Глава 6. Сложность схем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотически оптимальные по надежности схемы в полных базисах из трехвходовых элементов»

Настоящая работа относится к одному из важнейших разделов математической кибернетики - теории синтеза, надежности и сложности управляющих систем.

Актуальность исследований в этой области обусловлена важностью многочисленных приложений, возникающих в различных разделах науки и техники. Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессов, цифровая связь и телевидение и т.д. строятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности микросхемы - от логических элементов, выполняющих простейшие операции, до сложнейших программируемых кристаллов, содержащих миллионы логических элементов Логические элементы цифровых устройств во многом определяют функциональные возможности последних, их конструктивное исполнение, технологичность, надежность.

К числу основных модельных объектов математической теории синтеза, сложности и надежности управляющих систем относятся схемы из ненадежных функциональных элементов, реализующие булевы функции. Разработка специальных методов синтеза схем из ненадежных функциональных элементов связана, главным образом, с выбранной математической моделью неисправностей. Одна из основных моделей определяется инверсными неисправностями на выходах элементов. В диссертации рассматривается задача построения асимптотически оптимальных (асимптотически наилучших) по надежности схем в предположении, что функциональные элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах. Решение этой задачи усложняется дополнительным требованием к сложности схем, которое состоит в том, чтобы сложность асимптотически оптимальных по надежности схем по порядку равнялась сложности схем, построенных только из надежных элементов. Задача решается в полных базисах, содержащих функции не более чем трех переменных.

Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных функциональных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной ему булевой функцией ср в неисправном состоянии, в которое переходит независимо от других элементов схемы с вероятностью е (е Е (0; 1/2)), реализует функцию (р. С помощью итерационного метода Дж. фон Нейман установил, что произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит С\£ при любом е Е (0; 1/6] {с\ - некоторая абсолютная константа). Однако сложность такой схемы с ростом числа итераций увеличивается экспоненциально (примерно, в Зк раз, где к - число итераций).

Затем схемы с инверсными неисправностями на выходах элементов исследовались в работах P.JI. Добрушина, С.И. Ортюкова, Д. Улига [2-7] и некоторых других авторов, причем главное внимание уделялось сложности схем (задача синтеза схем наилучших по надежности не ставилась). Введем необходимые понятия, чтобы сформулировать результаты названных авторов.

Определение. Полное (в Рг) множество В = {ei,e2, .,em} называется полным базисом в B¿

Определение. Полный базис В называется неприводимым полным базисом (в Р2), если никакое его собственное подмножество полным не является.

Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в полном конечном базисе В = {ei, в2,., em}, т Е N [8]. (Множество всех функциональных элементов Е{, функции которых e¿ принадлежат базису В, будем также называть базисом В [9].) Каждому элементу базиса Е( приписано положительное число v(Ei) - вес данного элемента. Сложность L(S) схемы S определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью £ переходят в неисправные состояния. Ненадежность схемы определяется как максимальная вероятность ошибки на выходе схемы при всевозможных входных наборах. Вводится функция Шеннона Lp¿(n) = maxminL(S), характери s зующая сложность схем, реализующих функции от п переменных в базисе В, где минимум берется-по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию f(xi,X2, с ненадежностью P(S) ^ р, а максимум

- по всем булевым функциям / от п переменных.

Пусть р = min(v(Ei)/(n(Ei) — 1)), где минимум берется по всем эле

Ei ментам Е{ базиса, для которых n(i?¿) > 1, п(Е{) - число существенных переменных функции e¿, реализуемой элементом Д-, a v{Ei) - вес функционального элемента Е^, г = 1,., га.

Пусть Pj?(üj(S,á) - вероятность появления значения /(а) на выходе схемы S при входном наборе а. Ненадежность P(S) схемы S, реализующей булеву функцию /(£), равна P(S) = таxPj^(S,a): где максимум берется по всем возможным входным наборам а. Надежность схемы S равна l-P(S).

О.Б. Лупанов [10] показал, что для схем, реализующих булевы функции от п переменных и состоящих из абсолютно надежных элементов (т. е. при е = 0 и р = 0), выполняется соотношение Lo,о ~ Р • 2п/п.

С. И. Ортюков [6] для инверсных неисправностей на выходах элементов получил следующий результат: пусть 0 < е < £q, р > q(£)Lg, где Lg

- минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования д(х 1,^2,^3) = Х1Х2 V xix% V Х2Х3 в рассматриваемом базисе, q(e) - некоторая функция такая, что = £ + Зе2 + о(е2) при £ —у 0. Тогда существует такая функция р(е) —> р при е —ь 0, что

LP,e(n) < Р(е) • 2"/п. i

Д. Улиг [7] для инверсных неисправностей на выходах элементов, с вероятностью ошибки £ доказал, что для любых, сколь угодно малых чисел Ъ и h (b, h > 0) существует число e'ie' е (0,1/2)) такое, что при любом £ £ (0, б7], и любом р, удовлетворяющем условию (1 4- h)eLg ^ р ^ 1/2 (точнее q(£)Lg ^ р ^ 1/2), справедливо соотношение LPj£(n) < (1 + b)p • 271/п.

Таким образом, в результатах С.И. Ортюкова и Д. Улига асимптотика функции Шеннона сохраняется с точностью до множителя, сколь угодно близкого к единице (при этом вероятность сбоя £ ограничена константой), т.е. найденные ими методы синтеза позволяют строить асимптотически оптимальные по сложности схемы, функционирующие с некоторым уровнем надежности.

Далее будем считать веса всех элементов равными единице. Тогда сложность 1/(5') схемы 5 равна числу функциональных элементов в ней.

Из результатов Н. Пиппенджера [11] следует, что в базисе {Ж1&Ж2, V Х2, х\} при инверсных неисправностях на выходах элементов любую булеву функцию от п переменных можно реализовать такой схемой 5, что Р(5) ^ 18е при всех 5 6 (0,1/200], Щ) < 170 • 271/п.

С.В. Яблонский [12] рассматривал задачу синтеза надежных схем в базисе В = {жх&а^ х\ V Х2, хг, Х2, Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования д{х 1,^2,^3) = V х\х$ V жг^з абсолютно надежный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор - ненадежные, подвержены произвольным неисправностям, ненадежность каждого из них не больше е. Им доказано, что для любого р > 0 существует алгоритм, который для каждой булевой функции /(#1, Х2,. ■ ■, хп) для любого п строит такую схему 5, что Р(3) ^ р, < 21г~1/п.

В.В. Тарасов [13] рассматривал задачу построения схем сколь угодно высокой надежности (когда Р(5) —> 0). Для базисов из ненадежных функциональных элементов с двумя входами и одним выходом В.В. Тарасов нашел необходимые и достаточные условия, при которых произвольные булевы функции можно реализовать схемами сколь угодно высокой надежности. Из полученных им результатов следует невозможность построения сколь угодно надежных схем для функций, отличных от переменных, при инверсных неисправностях выходах элементов.

М.А. Алехина [17] решала задачу построения асимптотически оптимальных (асимптотически наилучших) по надежности схем при однотипных константных неисправностях только на входах или только на выходах элементов. Чтобы сформулировать полученные М.А. Алехиной результаты, введем необходимые определения.

Если неисправность такова, что элемент (реализующий в исправном состоянии приписанную ему булеву функцию) в неисправном состоянии, в которое переходит с вероятностью е £ (0; 1/2), реализует константу 0, то она называется неисправностью типа 0 на выходе элемента. Неисправности типа 1 на выходах элементов определяются аналогично.

Неисправности типа 0 на входах элементов характеризуются тем, что поступающий на вход элемента нуль не искажается, а единица - с вероятностью е (е Е (0,1/2) может превратится в нуль. Входы всех элементов схемы переходят в неисправные состояния типа 0 независимо друг от друга. Неисправности типа 1 на входах элементов определяются аналогично.

Пусть P£(f) = inf P(S), где инфимум берется по всем схемам S из s ненадежных элементов, реализующим функцию f(x\, Х2, ■., хп). Схема А из ненадежных элементов, реализующая функцию /, называется асимптотически наилучшей (асимптотически оптимальной) по надежности, если

Р (f)

Р(А) ~ P£(f) при £ 0, т. е. Hm-^ = 1.

Обозначим В2 - множество всех булевых функций, зависящих от двух переменных х\, Х2, а В3 - множество всех булевых функций, зависящих от трех переменных xi, £2,

М.А. Алехиной [17] доказано, что во всех неприводимых полных базисах В С jb2 (исключая три случая) почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами S, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной P(S) ~ аеь при е —> 0, константы а и t зависят от базиса и типа неисправностей, a Е {1,2,3}, t Е {1,2}. Для почти всех функций сложность таких схем в случаях константных неисправностей только на выходах или только на входах элементов удовлетворяет соотношению L(S) < кв • 2п/п, причем мультипликативная константа кв зависит только от базиса I?, 40 ^ кв ^ 168.

Если неисправность элемента такова, что поступающее на вход значение a (a Е {0,1}) с вероятностью е Е (0; 1/2) может превратиться в ¿т, то она называется инверсной неисправностью на входе элемента.

В.В. Чугуновой [19] доказано, что во всех неприводимых полных базисах В С B<i при инверсных неисправностях на входах почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами S, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной P(S) ~ а£ при £ —^ 0, константа а зависит от базиса, а Е {2,3,4}. Для почти всех функций сложность предлагаемых схем удовлетворяет соотношению L(S) < кв • 2п/п, причем мультипликативная константа кв также зависит только от базиса В, 168 ^ к в ^ 504.

С.И. Аксеновым [14] получена верхняя оценка ненадежности схем в произвольном полном конечном базисе В при инверсных неисправностях на выходах элементов. Он доказал, что существуют такие положительные константы £о и d, зависящие от базиса В, что любую булеву функцию можно реализовать схемой S, ненадежность которой

P{S) < 5е + de2 (1) при любом е £ (0;£оЗ

Отрицательный ответ на вопрос о возможности снижения мультипликативной константы 5 в оценке ненадежности (1) для некоторых полных конечных базисов получен в этой работе.

В [15] С.И. Аксенов получил следующий результат: пусть

Ti = {ж, 0, 1} U {xi&,X2i Ж1&Ж2&Ж3, •••},

Т2 = {0, 1} U {XI$¿X2, Ж1&Ж2&Ж3, ., Xi&¿X2&¿.&¿Xk, .}U

U {Ж1&Ж2, Ж1&Ж2&Ж3,xi&¿x2&¿.&:xk,.}, и Т3 = Т|, Т4 = Т2 (Т3 и Т4 - множества функций, двойственных функциям множеств Ti и Т2 соответственно). Если полный в Р2 базис В не является подмножеством ни одного из множеств T¿, i = 1,2,3,4, то существуют такие положительные константы ео и с/, что в базисе В любую булеву функцию / можно реализовать схемой S с ненадежностью P(S) ^ 4е + d£2 при всех £ 6 (0; £Го].

Пусть булева функция m(xi, Х2,., хь) зависит от к {к > 3) переменных и обладает свойством: найдется такой набор (61, 62,что на нем и всех соседних с ним наборах функция т принимает значение 0, а на наборе (&i, 62,., и всех соседних с ним наборах - значение 1. Пусть G. - множество всех булевых функций с названным свойством. Обозначим Nb(G) - наименьшее число надежных элементов, необходимое для реализации какой-либо функции из множества G в базисе В.

В [16] М.А. Алехиной и С.И. Аксеновым доказано, что в произвольном полном конечном базисе В для любого Ъ > 0 существуют константы £о € (ОД/2)) и d > 0 такие, что при любом п любую булеву функцию

Х2,можно реализовать схемой S, для которой при любых £ Е (0, е0] верно P(S) < sNB(G) + de2, L(S) <3(1 + Ъ)р- 2n/n при n —CO.

В работе [22] M.A. Алехина и A.B. Шилов рассматривали реализацию булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементах во всех полных конечных неприводимых базисах, содержащих функции двух переменных, и получили верхние оценки ненадежности схем.

Вопрос о возможности построения асимптотически наилучших по надежности схем при инверсных неисправностях на выходах элементов в базисах, не содержащих медиану [1], а также отличных от {х\\х2\ и {х\ 4, Х2} [18], оставался открытым.

Всюду далее во введении будем считать, что базисные элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах.

Известно (см., например, [23]), что при инверсных неисправностях на выходах элементов в любом полном базисе любая схема S, реализующая любую булеву функцию f(xi,x2,.,жп) (тг ^ 1), отличную от Х{ (i = 1, 2, .,n), имеет ненадежность

P(S) > (2)

Пусть S - любая схема в произвольном полном базисе, и пусть S содержит N > 1 элементов. Тогда, применяя формулу полной вероятности, ненадежность P(S) схемы S при всех е £ (0,1/2) можно представить полиномом n

3) г=1 с целыми коэффициентами £ {1, 2,., iV}, a G {0,1,., щг^т}, i = 2,3, .,N.

Таким образом, верно утверждение 1.

Утверждение 1. Для любой схемы S, содержащей N ^ 1 элементов; найдется такое целое число с\ 6 {1, 2,N}, что P(S) ~ с\б при е —> 0.

Учитывая результаты (1), (2) получаем утверждение 2

Утверждение 2. Пусть В - произвольный полный конечный базис. Существуют такие константы во £ (ОД/2) и й > 0, что любую булеву функцию /(х1,х2,.,хп) (п ^ 1), отличную от а^ (г = 1,2, .,п), моэю-но реализовать схемой 5, ненадежность Р(5) которой удовлетворяет соотношению: е ^ ^ 5е + ¿е2 при любом е 6 (0,£о].

Из утверждений 1 и 2 следует утверждение 3.

Утверждение 3. Пусть В - произвольный полный конечный базис, функция ${х1,Х2->.--,х.п) (п ^ 1), отлична от Х{ (г = 1,2,.,п). Тогда существуют целое число с Е {1, 2,3,4,5} и схема Б, реализуются функцию такие, что Р(5) ~ се при е —> 0.

Из утверждения 3 следует, что число с и схема 5, функционирующая с ненадежностью Р(<5") ~ се при е 0, зависят от заданного базиса и конкретной булевой функции.

Пусть полный конечный базис задан, а каждая булева функция реализованы асимптотически оптимальной по надежности схемой 5, функционирующей с ненадежностью Р(5) ~ с/£ (с/ 6 {1,2,3,4,5}) при £—*■().

Обозначим с = тахс/, а К - множество булевых функций / таких, что /£Р2 с/ = с. Возникают следующие вопросы:

1) для каких функций / число с/ будет наибольшим?

2) Как много функций содержится в классе К?

3) Какие свойства базиса определяют число с?

Ответы на эти вопросы можно получить, решив следующую задачу.

Задача. Для каждого значения 1, 2, 3, 4, и 5 константы с описать все полные конечные базисы В, в которых любую функцию / £ К можно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой функционирующей с ненадежностью ~ се при е —> 0.

В диссертации эта задача решена во всех полных базисах В С В% при условии, что элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах. Уделено внимание сложности таких схем.

Определение. Булевы функции /х и /2 назовем конгруэнтными, если одна из них может быть получена из другой заменой переменных (без отождествления).

Пусть I С В3. Обозначим Сопдг(Х) - множество всех функций, зависящих от переменных хч, жз, каждая из которых конгруэнтна некоторой функции множества X.

Например: Сопдг{1, Хг, х1&х2} = {1, Х2, £3, Х1&Х2, Ж2&Ж3, Ж1&Ж3}. Введем следующие множества.

1. Ог = {х?х? V х?х°3 V 4243|(тг- Е {0,1}, г Е {1, 2, 3}}, \Сг\ = 8;

2. 'С?2 = СолргК^? Е {0,1}, * Е {1,2,3}}, |<32| = 24;

3. а3 = Сопдф^х? Чх?х13\а{ Е {0,1}, г Е {1,2,3}}, |С?3| = 24;

4. С? = и 02 и С3, |<?| = 56;

5. М1 = С<тдг{х11ха22 V ^о^з'К Е {0,1}, г Е {1, 2, 3}}, \Мг\ = 24;

6. М2 = V х?х?х13 V 41Е {0,1}, г Е {1, 2, 3}}, \М2\ = 8;

7. М3 = Сопрг{ж1(42 Е {0,1}, г Е {1,2,3}}, |М3| = 12;

8. М4 = СопдгК1^2^3 V Е {0,1}, г Е {1, 2, 3}}, |М4| = 4;

9. М* - множество функций, двойственных соответственно функциям множества Мг-, I = 1,2, 3,4; 4

10. М = и (Мг и м;), |М| = 96, и М\ = 152; г=1

И. М5 = Сопдг{х 1 фж2фа, £1 ФЖ2ФЖ3Ф6 |а, Ь Е {0,1}}, |М5| = 8;

12.© = С<тдг{х11х1\ х\1ха2гх1\ х{1 {ха22V ж|2жз3)1^ е {0,1>, i Е {1,2,3}}, |0| = 32;

13. 0* - множество функций, двойственных функциям множества 0;

14. Ф = © и Сопдг{х\{х^ V Жз3)|<тг- Е {0,1}, ¿Е{2,3}}, |Ф| = 44;

15. Ф* - множество функций, двойственных функциям множества Ф, |Ф*| = 44;

16. Ф = Ф и Ф* и Сопдг{хъ хъ 0,1}, |Ф| = 96, очевидно, что Ф = В3\(С? и МиМ5);

17. Н = Сопдг{х1Х2, Х1Х2Х3, х\ V ж2, х\ V х2 V ж3,х!(х2х^ V х2хз), х\ V (х2х^ V .т2хз)}, \Н\ = 14; .

18. Г2 = Сопдг{х\Х2, Ж1£2, Х1Х2Х3}',

19. - множество функций, двойственных функциям множества О;

20. Пг = П и Сопдфг^хЧ3 V х%3х%3)\а{ Е {0,1}, г Е {2,3}};

21. - множество функций, двойственных функциям множества Г^;

22. Ki(n) - множество всех булевых функций, зависящих от переменных

Xi,X2, . . . ,Хп (n ^ 3) И ОТЛИЧНЫХ ОТ фуНКЦИЙ 0, 1, Xi, Xi, X{\Xj, Х{ 4- Xj, 00-i ^^ 00 j j 001 У 00 j j 00i 00j j ОС£ CD 00j j OOj^&ZtOOj j 00£ V 00j у J — X 2 2 j . 2 ^ J ) 7

23. K2(n) - множество всех булевых функций /(ж 1,Ж2,. •., жп) (гг ^ 3), не представимых в виде (xf&ih(x))b или (xfSzxb V xfSzxbSzh(x))c, где h(x) -произвольная функция, i:j Е {1,2,. ,72}, а, 6, с Е {0,1}, ¡7^2(^)1 ^ 22" — 4 • (n22"1 + (п2 - п) • 2ЗП-2);

24. Кз(п) - множество всех булевых функций f(x 1,^2,., хп) (п ^ 3), не представимых в виде (xfSzh(x))b или ((х?- © xj)a • h(x))b, где h(x) - произвольная функция, г ф £ {1,2, .,п}, а, Ъ Е {0,1}, \Кз(п)\ ^ 22«22«-Ч1.(п2 + п);

25. К4.(11) - множество всех булевых функций /(Х\,Х2,. ,хп) (n ^ 3), не представимых в виде (xf&ch(x))b, где h(x) - произвольная функция, г Е {1,2,., п}, а, Ь Е {0,1}, \КА(п)\ 2 22" - 4п • 22П"; оо

26. Ki= \jKt{n),i = 2,3,4;

27. /Г = ДГ3 П К4]

28. К(ть) = К2(п) П К3(п) П К4(п) (n ^ 3), |X(n)| ^ 22" - 2(n2 + п) • 22"-1 -4(п2 — п) • 22"-2.

Мощности введенных множеств легко вычисляются непосредственным подсчетом.

Замечание. Нетрудно проверить, что при любом п ^ 3 мощность множества К(п) удовлетворяет неравенству

К(п)\ > 22" - 2(п2 + п) • 22"-1 - 4(п2 - п) • 22"'2.

Поэтому 1 ПРИ п оо. Следовательно, множество К содержит почти все булевы функции.

Основные результаты работы в самом общем виде можно сформулировать в виде теорем 1,2.

Теорема 1. Для любого полного базиса 5 С 53 можно указать натуральное с Е {1,2, 3,4, 5} такое, что для любой булевой функции / существует схема S, реализующая /, для которой

P(S) < ce + dis2, и для любой булевой функции / £ К

РеШ (12е2 при всех е £ (0; 1/960], где <¿1 и б?2 ~ некоторые (абсолютные) положительные константы.

Теорема 2. Для любого полного базиса В С В3, любого действительного числа Ь > 0 существует константа £о £ (0; 1/2) такая, что при любом п ^ 3 любую булеву функцию /(жь ., хп) £ К{п) можно реализовать схемой 5/, для которой -Р(<5/) — Р£(/) ^ ^£2 при всех £ б (0,£о]> Ь(5/) < 3(1 + Ь)р2п/п при п —> оо, где ¿¿з - некоторая (абсолютная) положительная константа.

Из теоремы 1 следует, что любому полному базису В С В3 можно сопоставить такое натуральное с £ {1,2,3,4,5}, что для любой функции / £ К можно построить асимптотически оптимальную по надежности схему Л, реализующую /, для которой Р(А) ~ с£ при е —> 0.

Из теоремы 2 следует, что для почти всех булевых функций / можно строить асимптотически оптимальные по надежности схемы, сложность которых асимптотически не болыне.чем в 3(1+6) раз превышает сложность минимальных схем, построенных из абсолютно надежных элементов, где Ь - любое, сколь угодно малое положительное число.

Для всех базисов В С константы с, <1х, (¿2 найдены явно и представлены в таблицах 1 и 2.

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 44 названия. Общий объем работы - 100 страниц, в работе содержатся 11 рисунков и 2 таблицы. Нумерация таблиц и рисунков -сквозная.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Васин, Алексей Валерьевич

5.3. Выводы

Из теоремы 5.1 следует, что если полный базис В удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:

1. В содержит функцию, конгруэнтную функции <Р\ — Х\Х2Х2, и хотя бы одну из функций хг, 1;

2. В содержит функцию, конгруэнтную функции (р\ = х\ V х2 V жз и хотя бы одну из функций х\, 0;

3. В содержит функцию, конгруэнтную функции (р2 = Х1(х2 ФЖзФ<73) или <рз = ххх2х3, где <73 6 {0,1}, и функцию х\\

4. В содержит функцию, конгруэнтную функции — х\ V (х2 Ф жз Ф 0"з) или (рз = хх V х2 V ж3, где <73 Е {0,1}, и функцию жь то в этом базисе любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадежность которой не больше 4е + 250е2 при всех е Е (0; 1/960].

Из теоремы 4.6 следует, что если полный базис В удовлетворяет условиям теоремы 5.1, то в базисе В для почти всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 4е при е —» 0.

Из теорем 1.2 и 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 следует, что в полном базисе В С Сопдг{Ж1&Ж2, Ж1&Ж2&Ж3, жь 0,1} или В С Сопдг{х\Ьх2, х\к.х2к.хз, жх&ж2, Ж1&Ж2&Ж3, 0,1} или В С Сопдг{х\ V Ж2, х\У х2У ж3, х\, 0,1} или В С Сопдг{XIV х2, жх V Ж2 V Жз, х\ V х2, х\ V ж2 V ж3, 0,1} при е Е (0; 1/960] любая схема, реализующая функцию / Е К^п), функционирует с ненадежностью, не меньше 5е(1 — е)4.

Таким образом, из теорем 5.2, 5.3, 5.4 и 5.5 следует, что других пол/ ных базисов В С В% (кроме названных в теореме 5.1), в которых почти все функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 4е при £ —У 0, нет.

Итак, в полном базисе В С В3 для почти всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы имеют ненадежность, асимптотически равную 4е (е —> 0), тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из условий:

1. В СОДерЖИТ фуНКЦИЮ, КОНГруЭНТНуЮ фуНКЦИИ = Х1Х2Х3 и хотя бы одну из функций х\, 1;

2. В содержит функцию, конгруэнтную функции (р* = х\ V х2 V ж3 и хотя бы одну из функций Ж1, 0;

3. В содержит функцию, конгруэнтную функции <р2 = ^(жгФ^зФсз) или 3 = где (73 е {0,1}, и функцию XI,

4. В содержит функцию, конгруэнтную функции — х\ V (х2 Ф £3 ф ст3) или щ = Ж! V х2 V хз, где сг3 € {0,1}, и функцию х\.

Из теорем 1.2 и 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 следует, что в полном базисе В С Сопдг{х\к.Х2, Х1&.Х2&Х3, х\, 0,1} или В С Сопдг{х\^х2, х\к,х2^хз, Ж1&Ж2, Х\&,Х2&1Хз, 0,1} или В С Сопдг{х\ V Х2, х\ V х2 V аг3, х\, 0,1} или В С Сопдг{х1 V х2, х\ V Х2 V ж3, ^х V Жг, V жг V ж3, 0,1} для почти всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 5е при г 0.

Глава 6. Сложность схем

Пусть полный базис В С Напомним, что веса всех базисных элементов равны единице, поэтому сложность схемы - число функциональных элементов в ней.

Д. Улиг [7] для инверсных неисправностей на выходах элементов с вероятностью ошибки s доказал, что для любых сколь угодно малых чисел b и h (b,h > 0) существует число s'(s' G (0,1/2)) такое, что при любом £ G (0,£7], и любом р, удовлетворяющем условию р ^ (1 + h)sLg, справедливо соотношение LP)£(n) < (1 4- Ъ)р • 2п/п, где Ьд - минимальное число надежных элементов необходимых для реализации функции голосования д{х\, х2, жз) — xix2 V Ж2Ж3 V в рассматриваемом базисе.

Лемма 6.1 [17]. Пусть f - произвольная булева функция, а схема S\ реализует f с ненадежностью P(S\). Пусть схема А реализует функцию д(х \,х2,х%) = х\х2 V Х\Х% V х2х3 с ненадежностью Р(А). Тогда функцию f можно реализовать такой схемой S2, что P(S2) < Р{А) + 3P2(Sj).

Докажем основной результат этого раздела.

Теорема 6.1. Пусть полный базис В С В$. Для любого b > 0 существуют константы с G {1,2,3,4,5}, £1 G (0,1/2) и > 0, зависящие только от базиса, такие, что при любом п ^ 3 любую булеву функцию fix 1, х2:., хп) G К{п) мооюно реализовать асимптотически оптимальной по надежности схемой S, для которой P(S) < es + d3s2 при любом £ G (0,£i], L(S) < 3(1 + Ъ)р2п/п при ti —у оо.

Доказательство. Пусть полный базис В С В3. По базису В (см. табл. 1, 2) определим единственную константу с G {1,2,3,4,5} и положительную константу di такие, что любую функцию можно реализовать схемой А, ненадежность которой Р(А) ^ es + d\£2, причем для почти всех функций Р(А) ^ œ — d2£2 при £ G (0; 1/960]. Реализуем функцию g(xi,x2:x3) — xix2 V Х1Х3 V х2х% схемой Sg, ненадежность которой P(Sg) ^ с£ + ¿¿i£2.

Пусть /(^1,^2, - произвольная булева функция. Возьмем произвольное число Ъ > 0 и воспользуемся результатом Д. Улига [7], полагая К — 1. Тогда существует е2 (е2 Е (0,1/2)) такое, что при любом г Е (0, е2] и р = 2£1/? функцию / можно реализовать схемой для которой Р(5х) < и ¿(Ях) < (1 + Ь)р • 2п/гг.

Полагаем £х = шт{ 1/960, £2}. Возьмем три экземпляра схемы 5х и соединим их выходы со входами схемы Бд. Построенную схему обозначим через 5. По лемме 6.1 при е Е (0, ех] получаем Р(5) < + 3Р2(5х) < се + -1- 3(2еЬд)2 = се + где <¿3 = с?х + 12(£5)2. Очевидно, Ь(5) — 31,(5х) + < ЗЬ(5х) < 3(1 + Ь)р • 2»/п.

Теорема доказана.

Замечание 10. В теореме 6.1 константа р = 1, если базис В содержит только функции двух переменных, и р — 1/2, если в базисе В содержится функция, существенно зависящая от трех переменных.

Схемы построенные при доказательстве теоремы 6.1 для почти всех функций являются асимптотически оптимальными по надежности, а их сложность отличается от сложности минимальных схем, построенных из абсолютно надежных элементов в 3(1 + 6) раз, где Ь - любое сколь угодно малое положительное число.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Васин, Алексей Валерьевич, 2010 год

1. von Neuman J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata studies, edited by Shannon C., Mc. Carthy J. Princeton University Press, 1956. (Русский перевод: Автоматы. M.: ИЛ, 1956. С. 68 - 139.)

2. Добрушин Р.Д., Ортюков С.И. О нижней оценке для избыточности самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов // Пробл. передачи информ., 1977. Т. 13, N 1. С. 82 89.

3. Добрушин Р.Л., Ортюков С.И. Верхняя оценка для избыточности самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов // Пробл. передачи информ., 1977. Т. 13, N 3. С. 56 76.

4. Ортюков С. И. К вопросу о синтезе асимптотически безызбыточных самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов // Пробл. передачи информ. 1977. Т. 13, N 4. С. 3 8.

5. Ортюков С. И. Метод синтеза асимптотически оптимальных самокорректирующихся схем, исправляющих близкую к линейной долю ошибок // Проблемы передачи информации. 1981. Т. 17, вып. 4. С. 8497.

6. Ортюков С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27 29 января 1987 г.). М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. С. 166 - 168.

7. Uhlig D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity // Fundamentals of Computation Theory. Intern, conf. FCT'87 (Kazan, June 1987). Proc. Berlin: Springer-Verl., 1987. P. 462 - 469. (Lecture Notes in Comput. Sci.; V. 278).

8. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 192 с.

9. Jlyпанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

10. Лупанов О.Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1958. Т. 1, N 1. - С. 120 - 140.

11. Pippenger N. On networks of Noisy Gates. // 26 Symposium on Foundation on Computer science, 21 23.10.1985, Portland. - P. 30 - 38.

12. Яблонский C.B. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов // Banach Center. 1982. N 7. -P. 11 - 19.

13. Тарасов В.В. К синтезу надежных схем из ненадежных элементов // Матем. заметки. 1976. -Т.20. - №3. - С. 391 - 400.

14. Аксенов С.И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. №6(21) 2005. - С. 42 - 55.

15. Алехина М.А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов (Монография). Пенза: Информационно - издательский центр ПГУ, 2006. - 156 с.

16. Алехина М.А. О надежности и сложности схем в базисе {х\у} при инверсных неисправностях элементов // Дискретный анализ и исследование операций. Апрель-июнь 2005. Сер. 1. Том 12.- №2 - С. 3 - 11.

17. Чугунова В.В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов // Дисс. . канд. физико-математических наук. Пенза, 2007.

18. Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике: учебное пособие. -М.: Издательский отдел Фак-та ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. 76 с.

19. Алехина М.А. О надежности схем в базисах, содержащих медиану // Труды VIII международной конференции "Дискретные модели в теории управляющих систем "(Лесной городок Моск. Обл., 6-9 апреля 2009 г.) М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 13 - 17

20. Алехина М.А., Шилов A.B. Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при инверсных неисправностях на выходах элементов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Естественные науки. № 5(26) 2006. - С. 4 - 12.

21. Алехина М.А. Синтез, сложность и надежность управляющих систем: Учебное пособие. Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 1999. - 40 с.

22. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для вузов. / Под ред. В.А. Садовничего. 3-е изд., стер. - М.: Высш. ж.; 2001. - 384 с.

23. Редъкин Н.П. О полных проверяющих тестах // Математические вопросы кибернетики. вып. 3, 1989, - с. 198 - 222.

24. Васин A.B. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {жх|ж2, х\ 1 Х2, Ж1&Ж2, xi V X2, Ж.} // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2009 г. - № 1 (9). - С. 3 - 10.

25. Алехина М.А., Васин A.B. Синтез асимптотически оптимальных схем // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2009 г. - № 2(10). - С. 48 - 62.

26. Васин A.B. О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы имеют ненадежность 2е // Материалы X Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения "(г. Москва, 1-6 февраля 2010 г.). М.: Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2010. - С. 94 - 97.

27. Васин A.B. О надежности схем в полных конечных базисах, содержащих линейную функцию // Труды международного симпозиума "Надёжность и качество, 2010"(г. Пенза, 24 31 мая 2010 г.). - Пенза: ИИЦ ПГУ, 2010 г. - Том 1. - С. 241 - 242.

28. Васин A.B. О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью Ъе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. Пенза: ИИЦ ПГУ, 2010 г. - № 1 (13). - С. 64 - 79.