Асимптотическая эффективность критериев согласия, основанных на характеризационных свойствах распределений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Волкова, Ксения Юрьевна

• Волкова, Ксения Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волкова, Ксения Юрьевна

Оглавление

Введение

1 Вспомогательные сведения

1.1 Сведения из теории II— и V—статистик

1.2 Определение и вычисление бахадуровской эффективности

1.3 Большие уклонения V— и У—статистик

2 Критерии экспоненциальности

2.1 Характеризация Россберга

2.1.1 Статистика

2.1.2 Статистика

2.2 Характеризация Ахсануллаха, первый случай

2.2.1 Статистика

2.2.2 Статистика/}^1

2.3 Характеризация Ахсануллаха, второй случай

2.3.1 Статистика

2.3.2 Статистика Д^2

2.4 Характеризация Шимидзу

2.4.1 Статистика

2.4.2 Статистика

2.5 Условия локальной асимптотической оптимальности

3 Критерии нормальности

3.1 Статистика

3.2 Статистика

4 Критерии согласия со степенным законом

4.1 Статистика

4.2 Статистика

4.3 Условия локальной асимптотической оптимальности

5 Критерии согласия с законом арксинуса

5.1 Статистика

5.2 Статистика l)f:

5.3 Условия локальной асимптотической оптимальности

Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая эффективность критериев согласия, основанных на характеризационных свойствах распределений»

Введение

Цель настоящей диссертации - построение и исследование ряда новых критериев согласия, основанных на характеризациях распределений, а также вычисление их асимптотической относительной эффективности.

Математическая теория проверки гипотез была создана Ю. Нейманом и Э. Пирсоном в 1930-х годах, и с тех пор построение статистических критериев и изучение их асимптотических свойств является одним из важнейших разделов математической статистики. В настоящий момент существует огромное множество критериев для проверки гипотез. Например, в недавней монографии [4] подробно описано около 250-ти статистических критериев.

Большое многообразие критериев обусловлено тем, что для проверки гипотез даже в классических параметрических моделях лишь в редких случаях удается построить критерий, который является наилучшим, оптимальным (равномерно наиболее мощным) критерием. Поэтому многие тесты предлагаются их авторами из эвристических соображений, примерами могут служить знаменитые критерии хи-квадрат, Колмогорова и омега-квадрат. Далее, как отмечается в [3], на практике иногда удобнее использовать более простые с точки зрения вычислений критерии, так возникли, скажем, ранговые критерии. Еще один источник появления новых критериев - неопределенность при построении исходной модели, в этом случае оправдано построение устойчивых, робастных критериев, свойства которых мало меняются при изменении априорных предположений.

Кроме того, нужно учитывать, что любую гипотезу следует проверять с помощью нескольких возможных критериев, поскольку с абсолютной уверенностью ее можно лишь отвергнуть, а каждый новый критерий, не отвергающий гипотезу, лишь постепенно приближает статистика к осознанию ее справедливости. В афористической форме это выражено в знаменитой фразе А.Эйнштейна [33]: "Keine noch so grosse Zahl vori Experimenten kann beweisen, dass ich recht habe; ein einziges Experimcnt kann beweisen, dass ich unrecht habe." (Эксперимент не может подтвердить теорию, он может лишь опроверг-

нуть ее.)

При проверке непараметрических гипотез число возможных критериев увеличивается еще больше. Поэтому возникает интерес к выработке единой меры сравнения критериев, чтобы систематизировать их и дать количественную оценку их чувствительности для выработки рекомендаций по их использованию на практике. Такой мерой в последние десятилетия служит их асимптотическая относительная эффективность (АОЭ).

Пусть мы располагаем выборкой Х\,..., Хп с распределением 0 € в С Я1, а {Тп\ и {Уп} - две последовательности статистик для проверки гипотезы Но : в £ Во, где ©о С © против альтернативы А : 0 £ ©1, ©1 = 0 \ ©д. Будем считать критическими большие значения статистик.

Определим величину ету(а, /?, 0) - относительную эффективность последовательности статистик Тп по отношении к Уп соотношением

ету{*,М = Ыа<Му

где N7{сх, ¡3,0) и А^у(о;, [3, в)— минимальные объемы исходной выборки, для которых последовательности статистик {Тп} и {Уп} соответственно достигают мощности (3 6 (0,1) при уровне значимости а > О и альтернативном значении параметра в 6 ©ь

Так как вычислить относительную эффективность обычно не представляется возможным, то изучают всевозможные предельные значения ету(а, /3, в) :

- Ита 10 ету (а, (3,0) - подход Бахадура,

- 1ш1^1ету{о:,Р,0) - подход Ходжеса-Лемана,

- Нп10_>0©о ету(сх., /3, 0) - подход Питмена.

Популярность этих методов объясняется тем, что на практике наиболее важны случаи малых уровней значимости, высоких мощностей и близких альтернатив.

Кроме того, существуют принципиально другие подходы к вычислению АОЭ, предложенные Г. Черновым, В. Калленбергом, а также В. Хёффдингом.

Наиболее полная информация о подходах к вычислению АОЭ содержится в монографии [10].

По-видимому, [2], одна из первых задач характеризации распределений возникла еще в знаменитой работе Гаусса [37], посвященной методу наименьших квадратов, в 1809 году. Современная теория характеризаций получила свое развитие с работы Д. Пойа 1923 г. [69] о характеризации нормального закона равнораспределенностью линейных форм, и затем привлекла интерес таких математиков как Ю. Марцинкевич, М. Кац, С.Н. Бериштейн, Э. Лукач. К).В. JIннник. A.A. Зиттгер, Ж. Дармуа, В.П. Скитович, С.P. Pao, A.M. Каган, Я. Галамбопт, С. Котц и многих других. Существует немало монографий о характеризационных задачах [1], [2], [14], [27], [35], [48], [57], [79].

Идея построения критериев согласия на основе характеризации распределений свойством равнораспределенности статистик была предложена Ю.В. Линником в работах [6], [7]. В конце обширной работы [7] он писал : "... можно поставить вопрос о построении критериев согласия выборки со сложной гипотезой, основанных на одинаковой распределенности двух соответствующих статистик gi(x\, ...хг) и д2{х\, ...хг) и на сведении, таким образом, вопроса к критерию однородности." Проиллюстрируем этот подход следующим образом.

Рассмотрим характеризацию некоторого закона одинаковой распределенностью двух статистик д\(Х\,... , Хг) и д2{Х\,. .., Xs). Предположим, что мы располагаем выборкой Х\,...,Хп независимых одинаково распределенных наблюдений, имеющих непрерывную ф.р. F и проверяем сложную гипотезу согласия Щ-.Fe Fq, где Tq - "нулевой" класс распределений, отвечающий упомянутому закону, против альтернативы И\ : F £

В соответствии с характеризацией построим две U-эмпирические ф.р.

По теореме Гливенко-Каителли для {/-эмпирических ф.р. [46] (см. также [41]) функция L^it) равномерно сходится к функции Ll(t) = P(gi(Xi,..., Xr) < t) при больших п, и аналогично функция L2n(t) равномерно сходится к функции L2{t). Поскольку при нулевой гипотезе Ll{t) = L2(t), поэтому мы можем заключить, что при гипотезе //(>

sup | Lln(t) - Ll(t) |—> 0, n —> оо, teR1

и можно построить тестовую статистику, основываясь на близости статистик Lln(t) и L2(t). При альтернативной гипотезе значения тестовой статистики оказываются большими и позволяют отвергнуть нулевую гипотезу.

Ввиду технических трудностей при анализе подобных критериев, идея Линиика была развита только в 90-х годах прошлого века в работах Барин-гхауза и Хенце [26], Мульере и Никитина [61], Литвиновой и Никитина [8], [9], а также в недавних работах [47], [58], [74]. Однако этот подход далеко не исчерпал свои возможности, что демонстрируется в нашей работе.

Мы будем рассматривать для каждой из задач два вида статистик. Одна из них интегрального типа, которую мы будем обозначать /п, а в верхнем индексе указывать принадлежность к рассматриваемой характеризации. В обозначениях нашего абстрактного примера, такие статистики имеют вид

In= [ (L^-LK^dFnit), (0.1)

JR

где Fn(t)— обычная эмпирическая ф.р. Простейшие статистики такого вида уже изучались в [8].

Вторая статистика колмогоровского типа, которую мы будем обозначать Dn = sup<6/i»i | Lln{t) — L^{t) | . АОЭ для таких статистик исследуется впервые, поскольку метод изучения их больших уклонений был разработан лишь в работе 2010г. [65], впрочем более простые статистики колмогоровского типа уже изучались в работах [24], [10], |43], [32], [39].

Следует заметить, что статистики интегральною типа, как правило, имеют более высокую АОЭ по сравнению со статистиками колмогоровского типа,

зато последние, в свою очередь, являются состоятельными против любых альтернатив (см., например, [44]).

В качестве метода вычисления АОЭ критериев нами выбран подход Бахадура по следующим соображениям:

- статистика колмогоровского типа Дг не является асимптотически нормальной, поэтому подход Питмена к ней не применим. В случае интегральной статистики /п, локальная АОЭ по Бахадуру и питменовская эффективности совпадают [82], [10].

- АОЭ по Бахадуру различает статистики, имеющие одинаковую питме-новскую эффективность.

- при использовании эффективности по Ходжесу-Леману, все двусторонние критерии оказываются асимптотически оптимальными [10], [49], а в случае односторонних критериев АОЭ по Ходжесу-Леману локально совпадает с АОЭ по Бахадуру [10].Тем самым АОЭ по Ходжесу-Леману оказывается менее удобным и содержательным средством сравнения критериев, чем бахадуровская АОЭ.

- развитие теории больших уклонений, в частности работы [11] и [65] позволяют преодолеть трудности по вычислению асимптотики больших уклонений [/—статистик и функционалов от [/—эмпирических распределений.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.

Общий объем диссертации составляет 144 страницы. Список литературы содержит 91 наименование.

В первой главе введены необходимые вспомогательные сведения из теории II- и У—статистик, основные определения и теоремы теории больших уклонений и теории Бахадура.

Вторая глава посвящена построению и анализу критериев для проверки экспоненциальности. Экспоненциальное распределение играет важную роль

в теории вероятностей и математической статистике, а модели с экспоненциально распределенными наблюдениями часто встречаются в прикладных областях, таких как теория надежности, анализ данных типа времени жизни, анализ живучести систем и др. Поэтому проверка экспоненциальности принадлежит к числу важнейших задач проверки статистических гипотез.

Существует множество критериев для проверки экспоиенциалыюсти, основанных на различных идеях ¡30], |21|, [42], ¡25), [521, ¡62]. Среди характери-заций, на основе которых строились критерии проверки экспоненциал.ьности, изучались характеризации свойством отсутствия памяти [15], [18], [50], и другие характеризации [8], [26], [51], [73], [65], [72].

Общая постановка задачи проверки экспоиенциалыюсти выглядит так: пусть X)...., Хп - независимые одинаково распределенные наблюдения (и.о.р. с.в.), имеющие непрерывную ф.р. F. Рассмотрим проверку сложной гипотезы экспоненциалыюсти Hq : F{x)— ф.р. экспоненциального закона с плотностью f(x) = Ле~Аж, х > 0, где Л > 0 - некоторый неизвестный параметр.

В качестве альтернатив для рассматриваемых характеризаций мы используем стандартные альтернативы к гипотезе экспоненциалыюсти: i) альтернативу Вейбулла с плотностью

(1 + 6)хеехр{-х1+9),6 > 0, х- > 0; и) альтернативу Макегама с плотностью

(1 + в(1 - е~х)) ехр(—ж - 9{е~х - 1 + ж)), в > 0, ж > 0;

iii) альтернативу линейности функции интенсивности отказов с плотностью

(1 + вх)е~х^вх\в > 0, ж > 0;

iv) гамма-альтернативу с плотностью

у.о

-е~\в >0,х> 0.

Г(0 + 1)

Мы рассмотрим критерии экспоненциалыюсти, основанные на следующих характеризациях:

1. Характеризация Россберга [76, 751.

Будем обозначать через Х8.п в—ю порядковую статистику, 1 < в < п, в выборке X},..., Хп.

Пусть Х\,..., Хп - неотрицательные п.о.р.с.в. Если для некоторого ] статистики — Х^п и Ху.п-^ одинаково распределены, то выборка име-

ет экспоненциальный закон распределения.

Рассмотрим частный случай этой характеризации при п = 3,5 = 1 и 3 = 1. Тогда рассматриваемая характеризация примет вид: если статистики Х2,з — Х1>3 и т'т(Х1, Х2) одинаково распределены, то выборка имеет экспоненциальный закон распределения.

В соответствии с этой характеризацией строятся две ¿/-эмпирические ф.р.

здесь и далее под выражением 5 — 1,2, понимается й-я порядковая

статистика выборки А',. Xj, Л'/,.

Мы предлагаем строить критерии для проверки гипотезы экспоненциаль-ности на инвариантных к параметру масштаба Л статистиках:

Заметим, что в принципе можно строить критерии экспоненциальности, основанные на более сложных вариантах характеризации Россберга, чем рассматриваемые нами. Однако критерии, получающиеся при этом, оказываются довольно громоздкими и редко дают ощутимый выигрыш в эффективности для стандартных альтернатив.

2. Характеризация Ахсануллаха.

Предположим, что ф.р. Р принадлежит классу распределений Т, удовлетворяющему следующим условиям: ^Р строго монотонна, а функция интен-

(0.2) (0.3)

д? = 8ир I я«Ю - |.

г>о

сивности отказов f(t)/(l — F(t)) монотонно возрастает или убывает для всех

Ахсануллах доказал в [16] следующую характеризацию свойствами порядковых статистик в пределах класса Т'.

Пусть ... ,Хп - неотрицательные и.о.р.с.в. с ф.р. из класса Т. Если для некоторых г и ] статистики (к — — Х^к) и {к — — Х^^)

одинаково распределены, для 1 < I < 2 < к, то выборка имеет экспоненциальный закон распределения.

Задачи проверки экспоненциальности в классе Т еще называют проверкой отсутствия старения против альтернативы, что наблюдается положительное (отрицательное) старение. Такие задачи важны для теории надежности и данная область сейчас активно исследуется, см., например, [17], [52].

Мы рассмотрим два частных случая характеризации:

а) Случай к = 2, г = 0 и 2 = 1. Характеризация примет вид: Пусть X и У - неотрицательные и.о.р.с.в. с ф.р. из класса Т. Если статистики \Х — У\ и 2 тш(Х, У) одинаково распределены,, то X имеет экспоненциальный закон распределения.

Рассмотрим критерии для проверки экспоненциальности, использующие данную характеризацию, против альтернатив из класса Т.

Строятся две У-статистические ф.р.

Критерии для проверки гипотезы экспоненциальности могут быть основаны на инвариантных к параметру масштаба Л статистиках:

t > 0.

= t> 0, IV

i,j= 1 n

Gfl(t) = — V 1{2min(X7;, Xj) <t}, t> 0.

(0.4)

D?1 = sup | tff (i) - Gi\t)

(0.5)

t>o

б) При к — 3, г = 1 и j = 2 характеризация формулируется так:

Пусть ХЪХ2 и Xz неотрицательные и.о.р.с. в. с ф.р. из класса Т. Если статистики Х^^ — и 2(^2,3 — одинаково распределены, то выборка имеет экспоненциальный закон распределения.

Снова в соответствии с характеризацией построим две V - статистические ф.р.

1 "

Hnh2(t) = ^ - X2,{i,3,k} <t}, t > О,

i,j,k=1

1 П

Gih2{t) = -3 ^ - ,{i,j,k}) < t ^

ТЪ

i,j,k=1

Мы предлагаем основывать критерии против альтернатив из класса Т на

следующих инвариантных к параметру масштаба Л статистиках:

/>оо

С2 = / 2(*) - Gf 2(i)) dFn(f), (0.6)

./о

Pf2 = sup [ - Gf\t) I . (0.7)

i>0

3. Характеризация Шимидзу.

Одна из наиболее известных характеризаций экспоненциального распределения принадлежит Дезу [29]: Пусть X и Y - неотрицательные н.о.р.с.в. с ф.р. F. Тогда X и 2 min(X, Y) одинаково распределены тогда и только тогда. когда выборка имеет экспоненциальный закон распределения. Критерии экспоненциальности, основанные на характеризации Дезу, изучались в [8] и [65].

Мы рассмотрим критерии для проверки экспоненциальности, основанные на обобщении характеризации Дезу, в более общем виде сформулированном. Шимидзу [79] (см. также [1], [35], [77]):

Пусть Xi,..., Хп - неотрицательные н.о.р.с.в. и пусть некоторые натуральные к и т такие, что ^^ - иррационально. Тогда статистики k min(Xi,..., Xk) и т min(Xi,..., Хт) одинаково распределены тогда и только тогда, когда выборка имеет экспоненциальный закон распределения.

В соответствии с этой характеризацией строятся для некоторого натурального I > 1 У—эмпирическая ф.р. Gi(t) и {/—эмпирическая ф.р. Hi(t).

п

Gfz(t)=n~l Y, Ц1тт(Хг1,...,Хг1) <¿}, t>0, h,...,ii=1

H?*(t) = (Л ]Г l^min^,... <*},*> 0.

l<h<...<ii<n

Критерии для проверки гипотезы экспоненциалы-гости могут быть основаны на инвариантных к параметру масштаба А статистиках:

J roo

I (Gf{t) - GsJ\t)) dFn(t), (0.8)

о

Dfm = sup I H¡z{t) - HsJ{t) I . (0.9)

t> о

Построенные статистики являются обобщением статистик, рассмотренных в [8] и [65].

У всех построенных статистик интегрального типа 1п найдены предельные распределения при нулевой гипотезе. Предельное распределение статистики колмогоровского типа Dn неизвестно, о чем более подробно написано в первой главе. Найдены вероятности больших уклонений обеих статистик при гипотезе #о, вычислена их локальная бахадуровская эффективность при указанных альтернативах, изучены условия их локальной асимптотической оптимальности.

В третьей главе рассматриваются критерии для проверки нормальности. Нормальное распределение имеет множество характеризаций, о которых можно судить по монографиям [27], [2| и [57J. Первая в истории характериза-ция нормального закона, по-видимому, принадлежит Гауссу [37] и связана с описанием распределения ошибок в методе наименьших квадратов.

Затем уже в XX веке новая характеризация была найдена Пойа [69]: пусть X и У независимые и одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним. Тогда X и (X + Y)/\J2 имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда X и Y нормально распределены с некоторой положительной дисперсией. Впоследствии эта характеризация Марцинкевичем

и другими была обобщена на линейные комбинации случайных величин [271, й-

Критерии нормальности, основанные на характеризации Пойа и ее обобщениях, были построены в [61] и [9], где рассматривался интегральный критерий, а также в [65] и [64], где был предложен критерий типа Колмогорова. Эти критерии использовали идею построения £7- или У-статистических ф.р. Оказалось, что их локальная асимптотическая эффективность по отношению к естественным параметрическим альтернативам (сдвиг, скошенность, загрязнение) довольно высока, а критерии перспективны для использования.

В 1964 г. Шепп показал [78], что если X и У - две независимые нормальные случайные величины со средним нуль и некоторой дисперсией т2 > 0, то и случайная величина 2ХУ/л/Х2 + У2 имеет снова распределениеЛ/*(0, г2). Это утверждение обычно называют свойством Шеппа. В 2003 г. было доказано [36], что с указанным свойством связана характеризация нормального закона в широком классе распределений.

Рассмотрим ф.р. Г из класса определяемого условиями 0 < Р(0) < 1 и тем, что Н(х) — х) регулярно меняется в нуле с показателем 1. В [36] доказано следующее утверждение. Пусть X и У независимые случайные величины с общей ф.р. И из класса Тогда равенство по распределению

2ХУ/^/Х2 + У2 = Х

имеет место в том и только том случае, когда X £ М{0, г2) для некоторой дисперсии т2 > 0. Эта характеризация позволяет нам построить новые критерии нормальности, основанные на свойстве Шеппа.

Пусть Х\,... ,Хп независимые наблюдения с нулевым средним и ф.р. И, а, Еп - обычная эмпирическая ф.р., построенная по этим наблюдениям. Нас интересует проверка сложной гипотезы Но : Р € Л/*(0,т2) при некоторой неизвестной дисперсии г2 против альтернативы Н\, при которой И 6 но гипотеза Но неверна. Обозначим для краткости к(х,у) = 2ху/ух2+у2 и построим ]/-эм лирическую ф.р. и [/-эмпирическую ф.р. Н^ [5, §1.4],

[46] с помощью формул

1 <i<j<n

1

Gnh(t) = "гЕ HHXitXj) <t},te R\ тъ

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Волкова, Ксения Юрьевна

Заключение

В настоящей работе построены и изучены полтора десятка новых критериев согласия, основанных на идеях характеризации, а также обобщены некоторые ранее известные критерии.

Для всех построенных статистик описаны предельные распределения и найдена логарифмическая асимптотика вероятностей больших уклонений при нулевой гипотезе. Вычислена их локальная бахадуровская эффективность при указанных альтернативах, изучены условия локальной асимптотической оптимальности.

Статистики интегрального типа в целом имеют более высокую эффективность по сравнению со статистиками супремалыюго типа, хотя последние -более простого вида и состоятельны против любых альтернатив. Все же в первую очередь рекомендуется использовать на практике интегральные статистики типа /*.

Статистики для проверки нормальности и согласия со степенным законом оказались довольно эффективными для рассмотренных альтернатив и могут быть рекомендованы для практической статистики. Кроме того, для критериев согласия со степенным законом были получены условия ЛАО довольно простого вида.

Статистики для проверки экспоненциальиости в целом менее эффективны по сравнению с классическими тестам Джини, Морана и Г'ринвуда, но для ряда альтернатив оказались весьма конкурентоспособными.

Критерии для проверки согласия с законом арксинуса оказались не слишком эффективными для стандартных альтернатив. Мы рекомендуем использовать вместо них классические критерии, основанные на статистиках Колмогорова-Смирнова, и статистике Крамера - фон Мизеса при проверке простой гипотезы согласия с симметричным законом арксинуса. Однако нами найден вид альтернатив, образующих область ЛАО наших критериев. В целом мы считаем, что изучение II - эмпирических критериев, основанных на характеризациях закона арксинуса, довольно перспективно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волкова, Ксения Юрьевна, 2011 год

Список литературы

1. Азларов Т. А., Володин Н. А. Характеризационные задачи, связанные с экспоненциальным распределением. — Ташкент: Фан, 1982.

2. Каган А. М., Лип пик Ю. В., Pao С. Р. Характеризационные задачи математической статистики. — М.: Наука, 1972.

3. Кеидалл М., Стыоарт А. Статистические выводы и связи. — М.: Наука, 1973.

4. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. — М., Физмат-лит, 2006.

5. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория [/-статистик. — Киев: Наукова Думка, 1989.

6. Линник Ю. В. Линейные статистики и нормальный закон распределения. //Докл. АН СССР. - 1952. - Т. 83, 3. — С. 353-355.

7. Линник Ю. В. Линейные формы и статистические критерии.I, II Украинский матема. журнал. - 1953. - Т. 5, № 2. - С. 207-243; № 3. -С. 247-290.

8. Литвинова В. В. Асимптотические свойства критериев симметрии и согласия, основанных на характеризациях. Кандидатская диссертация. СПбГУ. 2004.

9. Литвинова В. В., Никитин Я. Ю. Два семейства критериев нормальности, основанных на характеризации Пойа, и их асимптотическая эффективность // Зап. научи, семин. ПОМИ. - 2005. - Т. 328. - С. 147-159.

10. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических

статистических критериев. М.: Наука, 1995.

11. Никитин Я. Ю., Поникаров Е. В. Грубая асимптотика вероятностей больших уклонений черновского типа для функционалов Мизе-са и [/—статистик. //Труды Санкт-Петербургского математического общества.- 1999. - Т. 7. - С. 23-47.

12. Чирина А. В. Асимптотическая эффективность и локальная оптимальность по Бахадуру критерия экспоненциальности, основанного на статистике Морана.// Зап. научн. семин. ПОМП. - 2002. - Т. 294. - С. 245259.

13. Чирина А. В. Асимптотическая эффективность критериев экспоненциалыюсти, свободных от параметра масштаба. Кандидатская диссертация. СПбГУ. 2005.

14. Янушкявичус Р. В. Устойчивость характеризаций вероятностных распределений. — Вильнюс: Мокслас, 1991.

15. Ahmad I., Alwasel I. A goodness-of-fit test for exponentiality based on the memoryless property. //J. Roy. Statist. Soc.- 1999. - B61, Pt.3. - P. 681

- 689.

16. Ahsanullah M. On a characterization of the exponential distribution by spacings. // Ann. Inst. Statist. Math.-1978.-A30.—P. 163 - 166.

17. Anis M. Z., Dutta S. Recent tests of exponentiality against IFR alternatives: a survey. //J. of Statist. Comput. and Simul.- 2010. - V. 80, № 12. -P. 1373 - 1387.

18. Angus J. E. Goodness-of-fit tests for exponentiality based on a loss-of-memory type functional equation.// J. Statist. Plann. Infer.—1982. — V. 6.

- P. 241 - 251.

19. Arnold В. C. Some characterizations of the Cauchy distribution. //Austr. J. Statist..—1979.—V. 21.-P. 166 - 169.

20. Arnold B. C., Groeneveld R. A. Some properties of the arcsine distribution. //J. of the Arner. Statist. Association. - 1980. - V. 75, № 369. - P. 173 -175 .

21. Asher S. A survey of tests for exponentiality. //Commun. Statist. Theory and Methods. - 1990. - V. 19. - P. 1811 - 1825.

22. Azzalini A. A class of distributions which includes the normal ones.// Scand. J. Statist.- 1985.— V. 12.- P. 171 - "178.

23. Bahadur R. R. Rates of convergence of estimates and test statistics.// Ann. Math. Statist.—1967.— V. 38,- P. 303 - 324.

24. Bahadur R. R. Some limit theorems in statistics.— Philadelphia: SIAM, 1971.

25. Balakrishnan N., Ba.su A. The exponential distribution: theory, methods and applications.— Langhorne, PA: Gordon and Breach, 1995.

26. Baringhaus L., Henze N. Tests of fit for exponentiality based on a characterization via the mean residual life function. // Statist. Papers.— 2000,- V. 41.- P. 225 - 236.

27. Bryc W. Normal distribution: characterization with applicatins. // Lecture Notes in Statist. Berlin: Springer, 1995,— V. 100.

28. De Helguero, F. Sulla rappresentazione analítica delle statistiche abnormali. // Atti del IV Congresso Internaz. dei Matematici, Roma. — 1908. — V. 8. - P. 288 - 289.

29. Desu M. M. A characterization of the exponential distribution by order statistics. //Ann. Math. Statist.- 1971.-V. 42, № 2.-P. 837-838.

30. Doksum K. A., Yandell B. S. Tests of exponentiality. // Handbook of Statist..—1984,— V. 4. North-Holland.- P. 579-612.

31. Durbin J. Kolmogorov-Smirnov tests when parameters are estimated with applications to tests to exponent,iality and tests on spacings. // Biometrika. -1975.- V. 62,- P. 5 - 22.

32. Durio A., Nikitin Ya. Yu. Local asymptotic efficiency of some goodness-of-fit tests under skew alternatives. // J. of Statist. Plann, and Inference.—2003.— V. 115, № 1,- P. 171-179.

33. Einstein A. Collected Papers. — V. 7. — Document 28. — The Berlin Years: Writings, 1918-1921.- Princeton University Press, 2002.

34. Gail M.H., Gastwirth J.L. A scale-free goodness-of-fit test for the exponential distribution based on the Gini statistic. // J. Roy. Statist. Soc.—1978.— Ser. B, V. 40, № 3.- P. 350-357.

35. Galambos J., Kotz S. Characterizations of probability distributions. // Lecture Notes in Math. New York: Springer, 1978.— V. 675.

36. Galambos J., Simonelli I. Comments on a recent limit theorem of Quine. // Statist, and Probab. Lett.- 2003,- V. 63,- P. 89-95.

37. Gauss C. F. Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium Frid. — Perthes et. I. H. Besser, Hamburgi, 1809.

38. Greenwood M. The statistical study of infectuous diseases. // J. Roy. Statist. Soc.—1946.— Ser. A, V. 109.- P. 85-110.

39. Groeneboom P., Oosterhoff J. Bahadur efficiency and probabilities of large deviations. // Statist. Neerlandica—1977.— V. 31, № 1,- P. 1-24.

40. Haimos P. R. The theory of unbiased estimation. Arm. Math. Statist. — 1946. -V. 17. - P. 34-43.

41. Helmers R., Janssen P., Serfling R. Glivenko-Cantelli properties of some generalized empirical DF's and strong convergence of generalized L-statisties. // Probab. Theory Relat. Fields. -1988,- V. 79,- P. 75-93.

42. Henze N., Meintanis S. G. Goodness-of-fit tests based on a new characterization of the exponential distribution.// Corrimun. Stat. Theor. and Meth.-2002.-A31.- P. 1479 - 1497.

43. Henze N., Nikitin Ya. Yu. A new approach to goodness-of-fit testing based on the integrated empirical process. // J. Nonparam. Statist.—2000.—V. 12.— P. 391 - 416.

44. Hettmansperger T. Statistical inference based on ranks.— New York: Wiley, 1984.

45. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution. // Ann. Math. Statist.- 1948. V. 19.-P. 293-325.

46. Janssen P. L. Generalized empirical distribution functions with statistical applications.— Limburgs Universitair Centrum: Diepenbeek, 1988.

47. Janssen P., Swanepoel J. W. H., Veraverbeke N. New tests for exponentiality against new better than used in pth quantile. // ,J. Nonparam. Statist.— 2009.—V. 21, № l.-P. 85 - 97.

48. Kakosyan A. V., Klebanov L. B., Melamed J. A. Characterization of distributions by the method of intensively operators. // Lecture Notes in Math. New York: Springer, 1984.— V. 1088. Berlin: Springer-Verlag.

49. Kallenberg W. C. M., Kourouklis S. Hodges-Lehrnarm optimality of tests. //Statistics and Probab. Lett.-1992 - V. 14.-P. 31 - 38.

50. Koul H. L. A test for new better than used. //Commun. Statist. Theory and Meth.—1977.— A6.-P. 563 - 574.

51. Koul H. L. Testing for new is better than used in expectation. //Commun. Statist. Theory and Meth.-1978.- A7.-P. 685 - 701.

52. Lai C. D., Xie M. Stochastic ageing and dependence for reliability.— New York: Springer-Verlag, 2006.

53. Lee A. J. [/—statistics: Theory and Practice. — New York: Dekker, 1990.

54. Lehrnann E. The power of rank tests. //Ann. Math. Statist.— 1953 —V. 24, № l.-P. 23-43.

55. Lillicfors H. On the Kolmogorov-Smirnov test for the exponential distribution with mean unknown. // J. Amer. Statist. Ass. —1969.— V. 64.— P. 387 -389.

56. Martynov G.V. Cramer-von Miscs test for the Weibull and Pareto Distributions.// Proceedings of Dobrushin international conference. — July 15-20, 2009. - Moscow. - P. 117 - 122.

57. Mathai A. M., Pederzoli G. Characterizations of the normal probability law. - New York: Wiley, 1977.

58. Meintanis S. G., Nikitin Ya. Yu., Tchirina A. V. Tests for exponentiality against NBRUE alternative life distributions.// International J. Statist, and Management Systems. -2007.-V. 2, № 1-2.-P. 31 - 43.

59. Mises R. von. On asymptotic distribution of differentiable statistical functions.// Ann. Math. Statist.- 1947.-V. 18, № 2.-P. 309-348.

60. Moran P. The random division of an interval - Part II. // J. Roy. Statist. Soc. -1951.- Ser. B, V. 13, № 1.- P. 147 - 150.

61. Muliere P., Nikitin Ya. Yu. Scale-invariant test of normality based on Polya's characterization // Mctron. -2002,- V. 60, № 1-2,- P. 21 - 33.

62. Nabendu P., Chun J., Crouse R. Handbook of exponential and related distributions for engineers and scientists. — Chapman and Hall, 2002.

63. Nikitin Ya. Yu. Bahadur efficiency of a test of exponentiality based on a loss-of-memory type functional equation.// J. Nonparam. Statist.—1996.—V. 6,

l.-P. 13-26.

64. Nikitin Ya. Yu. [/-statistical Kolmogorov-Smirnov tests: large deviations and asymptotic efficiency.// Proceedings of ISNI2008./ ed. by J.C. Fernandez-Pardo and J.de Una-Alvarez: Vigo.-2008.-P. 138 - 142.

65. Nikitin Ya. Yu. Large deviations of [/-empirical Kolmogorov-Smirnov tests, and their efficiency. // J. Nonparam. Statist.—2010,—V. 22,—P. 649 - 668.

66. Nikitin Ya. Yu., Peaucelle I. Efficiency and local optimality of distributionfree tests based on U - and V - statistics. // Metron.—2004,— LXII, № 2 — P. 185 - 200.

67. Nikitin Ya. Yu., Tchirina A. V. Bahadur efficiency and local optimality of a test for the exponential distribution based on the Gini statistic.// J. of Ital. Statist. Soc.-1996.-V. 5, № l.-P. 163 - 175 .

68. Nikitin Ya. Yu., Tchirina A. V. Lilliefors test for exponentiality: large deviations, asymptotic efficiency, and conditions of local optimality.// Math. Meth. Statist. - 2007. - V. 16, № 1. - P. 16-24.

69. Polya G. Herleitung des Gauss'schen Fehlergesetzes aus einer Funktionsalsgleichung // Math.Zeitschrift.- 1923,- V. 18.- P. 96 -108.

70. Puri P. S., Rubin H. A. A characterization normality on the absolute difference of two i.i.d. random variables.//Ann. Math. Statist.— 1970.— V. 41.-P. 2113-2122.

71. Raghavachari M. On a theorem of bahadur on the rate of convergence of test statistics. /7 Ann. Math. Statist.- 1970.-V. 41, № 4.-P. 1695-1699.

72. Rank R.F. Statistische Anpassungstests und Wahrscheinlichkeiten grosser Abweichungen. Vom Fachbereich Mathematik der Universität Hannover zur Erlangung des Grades Doktor der Naturwissenschaften Dr. rer.nat. genehmigte Dissertation. Hannover, 1999.

73. Rao J. S., Taufer E. The use of Mean Residual Life to test departures from Exponentiality. /7 J. Nonparam. Statist-2006 -V. 18.-P. 277 - 292.

74. Rensburg H. M. J. van., Swanepoel J. W. H. A class of goodness-of-fit. tests based on a new characterization of the exponential distribution. // J. Nonparam. Statist.-2008.-~V. 20, 6—P. 539 - 551.

75. Riedel M. , Rossberg H. J. Characterization of the exponential distribution function by properties of the difference Xk+^n — Xk:n of order statistics.// Metrika. -1994. -V. 41.-P. 1-19.

76. Rossberg H. J. Characterization of the exponential and the Pareto distributions by means of some properties of the distributions which differences and quotients of order statistics arc subjected to.// Math. Operationsforseh Statist.-1972.-V. 3.-P. 207-216.

77. Sethuraman J. On a characterization of three limiting types of extremes. // Sankhya.— 1965,- A27.-P. 357-364.

78. Shepp L. Normal functions of normal random variables. ,// SIAM Rev.— 1964. - V. 6,— P. 459 - 460.

79. Shimizu R. A characterization of the exponential distribution. // Ann. Inst. Statist. Math.—1979. —V. 31, № 3.-P. 367-372.

80. Shorack G. R. The best test of exponentiality against gamma alternatives. // J. Amer. Statist. Ass. -1972,- V. 67, № 337,- P. 213 - 214.

81. Silverman B. W. Convergence of a class of empirical distribution functions of dependent random variables. // Ann. Probab.—1983.—V. 11—P. 745-751.

82. Wieand H. S. A condition under which the Pitman and Bahadur approaches to efficiency coincide. //Ann. Statist.-1976.—V. 4,—P. 1003 - 1011.

Работы автора по теме диссертации

83. Волкова К. Ю. Об асимптотической эффективности критериев экспо-ненциальности, основанных на характеризации Россберга. // Зап. научи, семин. ПОМИ. - 2009. - Т. 368. - С. 95-109.

84. Волкова К. Ю., Никитин Я. Ю. Об асимптотической эффективности критериев нормальности, основанных на свойстве Шегша. // Вестник СПБГУ. - 2009. - Сер. 1, вып. 4. - С. 13-19.

85. Волкова К. Ю., Никитин Я. Ю. Критерии нормальности, основанные на характеризации Галамбоша-Симонелли. // Обозрение прикл. и про-мышл. матем. - 2009. - Т. 16, № 2. - С. 256.

86. Nikitin Ya,. Yu., Volkova X. Tests of normality based on Shepp property, and their efficiencies. — Abstracts of the 2th Workshop of the ERCIM Working Group on Computing and Statistics, 2009, p. 87.

87. Volkova K. Tests of the exponentiality based on properties of order statistics.— Proceedings of the 6th St. Peters burg Workshop on Simulation. 2009.-V. 2,- P. 761-764.

88. Nikitin Ya. Yu., Volkova K. Yu. Asymptotic efficiency of exponentiality tests based on order statistics characterization. //The Georgian Math. J.— 2010.— V. 17.—P. 749-763.

89. Volkova K. Yu. On asymptotic efficiency of exponentiality tests based on properties of order statistics.— Abstracts of the 10th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics, 2010, p. 288 - 289.

90. Volkova K. Yu. Goodness-of-fit, tests based on distribution characterizations, and their efficiencies.— Proceedings of Workshops on Inverse Problems, Data,

Mathematical Statistics and Ecology, Linkoping University, 2011, p. 129 -134.

91. Nikitin Ya. Yu., Litvinova V. V., Volkova K. Yu. [/-empirical tests of fit based on characterizations, and their efficiencies.— Book of Abstracts and Program of the Conference "Analytical Methods in Statistics" (Amistat 2011), October 28 - 30, Prague, Czech Republic, p. 6-7.