Арифметическая теория тэта-функций и последовательностей Сомоса\n тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Монина Мария Дмитриевна

• Монина Мария Дмитриевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Монина Мария Дмитриевна

Оглавление

Предисловие

Введение

Глава 1. Арифметические методы доказательства тождеств для тэта-

функций

1.1. Универсальное арифметическое тождество

1.2. Тождество Успенского

1.3. Тождество для тройного произведения

1.4. Тождество для пятикратного произведения

1.5. Трёхчленное тождество для произведения тэта-функций Якоби от одной и двух переменных

1.6. Тождество для восьмикратного произведения

1.7. Арифметическая интерпретация трёхчленного тождества из теории эллиптических функций

1.8. Смешанное трёхчленное тождество

Глава 2. О целочисленных последовательностях Сомос-8 и Сомос-9

2.1. Эллиптические системы последовательностей

2.2. Целочисленные последовательности Сомос-8

2.3. Целочисленные последовательности Сомос-9

Список литературы

Предисловие

В своих основополагающих работах Якоби сразу же открыл тесную связь между эллиптическими и тэта-функциями. Последние встречались уже ранее в работах Бернулли, Эйлера, Фурье и других авторов. Но лишь Якоби удалось по-настоящему глубоко изучить их свойства и применить построенную им теорию тэта-функций к решению фундаментальных проблем теории эллиптических функций, механики и теории чисел. В частности, ему удалось получить точные формулы для числа представлений натуральных чисел суммой двух, четырёх, шести и восьми квадратов. Позднее выяснилось, что многие результаты на эту тему были известны ранее Гауссу. Они не были опубликованы, но были обнаружены после смерти Гаусса в его дневниках.

В работах Якоби и последующих авторов было найдено множество тождеств для тэта-функций. В своей книге "Лекции о тэта-функциях" по этому поводу Д. Мамфорд написал: "Мы уделили этим соотношениям столько места, чтобы проиллюстрировать одно из ключевых свойств теории тэта-функций: исходная симметрия быстро приводит к нагромождению формул, порядка которых не видно; дать ясную картину их алгебраических следствий обычно бывает нелегко". Тождества для тэта-функций можно доказывать различными способами. Один из самых распространенных опирается на теорему Лиувилля из теории функций комплексного переменного о том, что если голоморфная на всей комплексной плоскости функция ограничена, то она является константой. Тот же самый автор, Лиувилль, разработал элементарные арифметические методы для доказательства тождеств с тэта-функциями.

В серии из восемнадцати статей, опубликованных в "Journal de mathématiques pures et appliquées" в 1858-1865 годах под общим названием "Sur quelques formules générales qui peuvent être utiles dans la théorie des nombres", французский математик Ж. Лиувилль привёл без доказательств большое число арифметических тождеств. Опираясь на них, он в огромном количестве заметок, опубликованных

в те же годы и также без доказательств, нашёл формулы для числа представлений натуральных чисел квадратичными формами специального вида. Методы Лиувилля были воссозданы в работах Баскакова, Назимова, Успенского и других авторов, а также получили дальнейшее развитие и новые применения.

В диссертации дан частичный ответ на вопрос Мамфорда, базирующийся на элементарных арифметических методах, восходящих к Лиувиллю. В ней предложена универсальная арифметическая конструкция, которая позволяет с единой точки зрения изложить более ранние результаты, а также получить новые. Кроме того, в диссертации представлены новые результаты, относящиеся к вопросам построения целочисленных последовательностей Сомоса, доказательства которых опираются на теорию тэта-функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметическая теория тэта-функций и последовательностей Сомоса\n»

Введение

Актуальность темы. В 1861 году в письме к Лиувиллю Эрмит написал: "После нашей последней беседы по поводу арифметических вопросов, которые составляют предмет ваших исследований и на которых вы мне показали новый пример великой плодотворности методов, которых принцип вы скрываете, мне, думается, удалось удовлетворить в некоторой мере желанию, которое вы неоднократно выражали касательно превосходных теорем Кронекера о числе классов квадратичных форм". В своём ответе на это письмо, опубликованном в "Journal de mathematiques", Лиувилль характеризует свой метод так: "Мы (с вами) идем к одной цели, но совершенно по разным путям, которые всё-же связаны с работами Якоби...Эта теория (теория эллиптических функций), которою вы непосредственно пользуетесь, для меня заменяется формулами, принадлежащими к области элементарной алгебры и полученными при помощи весьма простых тождеств". Позднее методы Лиувилля были воссозданы в работах в работах Баскакова, Назимова, Гирстера, Успенского, Венкова и других авторов. В их работах было получено много новых конкретных арифметических результатов.

В 1984 году появилась заметка (Heath-Brown D.R. Fermat's two squares theorem. Invariant, 1984. C. 2 5) с коротким элементарным доказательством представимости простых чисел вида 4n +1 суммой двух квадратов. Оно вошло в сборник лучших доказательств со времен Евклида до наших дней (Proofs from THE BOOK by M. Aigner, G.M. Zeigler. Springer-Verlag, 1998) и опирается на арифметическую инволюцию, лежащую в основе методов Лиувилля. В серии работ Макдональда, Каца, Муди, Леповского и других авторов по теории представлений бесконечномерных алгебр Ли, публиковавшихся начиная с 1972 года, были предложены новые методы доказательств тождеств из теории тэта-функций. В 90-х годах прошлого века в работах канадского математика К.С. Вильямса и его учеников (см. [ ]) активно начали использоваться методы Лиувилля для доказательства новых классов арифметических тождеств и их приложений. Рассматриваемая тематика

и её приложения по-прежнему в центре внимания специалистов по теории чисел, теории автоморфных функций и другим разделам математики.

В последнее десятилетие прошлого века большое внимание специалистов привлекли последовательности Сомоса. В первую очередь это связано с тем, что они естественным образом возникают при выполнении операции сложения точек на эллиптических кривых. Особенно большой интерес вызывает вопрос о цело-численности вышеупомянутых последовательностей. Этим вопросом занимались Малуф, Бомбьери, Хикерсон, Лотто, Фомин, Зелевинский, Хоун, Сворт и др.

Степень разработанности темы. В работах предшествующих авторов по теме исследования арифметические методы Лиувилля не применялись для доказательства многих фундаментальных тождеств в теории тэта-функций, таких как тождество для тройного, пятикратного и восьмикратного произведений. Известные ранее арифметические тождества рассматривались каждое само по себе и применялись в основном для изучения представлений чисел квадратичными формами.

Существующие методы, опирающиеся на теорию тэта-функций позволяют исследовать вопросы целочисленности для последовательностей Сомос-к с 2 ^ к ^ 7. В случае к ^ 8 этот вопрос практически не был изучен.

Цели работы. Построение новых универсальных арифметических тождеств, содержащих в себе ранее полученные тождества Лиувилля, Успенского и других авторов. Доказательство с их помощью тождеств для тройного, пятикратного и восьмикратного произведений, а также получение новых соотношений для тэта-функций.

Разработка новых методов построения целочисленных последовательностей Сомос-8 и Сомос-9, опирающихся на теорию тэта-функций.

Методы исследования. В работе использованы элементарные методы теории чисел, теории тэта-функций, теории бесконечных произведений и рядов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. К важнейшим можно отнести следующие:

• универсальное арифметическое тождество из теоремы ; пятикратное и восьмикратное произведения, опирающиеся на арифмети-

ческие методы Лиувиддя;

• новое элементарное арифметическое доказательство трёхчленного соотношения для произведения функций Якоби от двух переменных;

•

одной и двух переменных;

Сомос-9, основанный на теории тэта-функций.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, и разработанные в ней методы могут быть применены в теории представлений чисел квадратичными формами, теории эллиптических, тэта-функций и теории последовательностей Сомоса. Кроме того, полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе в рамках специальных курсов и семинаров.

Положения, выносимые на защиту. В своих основополагающих работах [ ] и [ ] Якоби в качестве одного из главных инструментов для построения теории эллиптических функций использовал четыре тэта-функции

то то

(z) = ; q) = 2q4 ^ qn(n+1) sin(2n + 1)z = —i ^ (—1)nq(n+1)2e(2n+1)iz,

n=0 n=—то

то то

$2 (z) = ^(z; q) = 2q4 ^ qn(n+1) cos(2n + 1)z = ^ q(n+1 )2e(2n+1)iz,

n=0 п=—то

тото

$3(z) = $3(z; q) = 1 + 2 ^ qn2 cos(2nz) = ^ qne2mz,

n=1 п=—то

тото

$4(z) = $4(z; q) = 1 + 2 1)kqn2 cos(2nz) = ^ (—1)nqn2e2inz.

n=1 п=—то

Позднее в работе [ ], посвященной динамике твёрдого тела, он ввёл ещё одну тэта-функцию от двух переменных

тото

H(z, w) = H(z, w; q) = ctg z + ctg w + 4 ^^ ^^ q2mn sin(2mz + 2nw).

m=1 n=1

В первой главе диссертации излагаются новые результаты, развивающие арифметические методы Лиувиддя и его последователей.

Фундаментальную роль в теории тэта-функций играют следующие разложения тэта-функций Якоби си = б2^ :

1 то

1 ^ -1)bub+1 q(b+1 )2 =

^(z; q) = 1 ^ (-1)bub+ 2q(

i

b=—oo

= i(« 2 - u-2 )q in (i - q2k )(i - uq2k )(i - u-1q2k),

Г.2 - u 2 )q4

k=1

то

-1„2Ь

то

$2(z; q) = ^ ub+1 q(b+2)2 = (u2 + u-2)q4 Д (1 - q2k)(1 + uq2k)(1 + u-1q2k)

b=—то k=1

TO TO

$3(z; q) = ^ ubqb2 = J](1 - q2k)(1 + uq2k-1 )(1 + u-1q2k-1);

b=—то k=1

TO TO

$4(z; q) = ^ (-1)bubqb2 = JJ(1 - q2k)(1 - uq2k-1)(1 - u-1q2k-1).

b=—то k=1

Они были открыты в основополагающих работах Якоби (см. [ ]) и независимо в опубликованных много лет спустя научных дневниках Гаусса (см. [ ]). Некоторые авторы называют их разложениями в тройное произведение по количеству множителей в бесконечных произведениях.

На странице 433 первого тома монографии Фрикке [ ] представлено ещё одно замечательное тождество

то 2 то

2q6 ^ (-1)b cos (nz(6b + 1)) qт = ^(z; q)^(z; q)^(z; q) - q2k)-2

b=—то k=1

С помощью замен

1 i

z ^ z + - и q ^ q2 2

его можно записать в следующем виде

то

(1 - u-1) П(1 - qk)(1 - uqk)(1 - u-1qk)(1 - u2q2k-1)(1 - u-2q2k-1) = k=1

TO

2

= ^ q"(u3b - u-3b-1), (0.1) b=

которое переоткрывалось в работах [],[],[ ] и [ ]. В свою очередь (0.1) после замен (см. [ 1

6 3

q ^ q и u ^ uq

преобразуется к виду

00 00 q(u-u-1) ^(1 -q6k)(1 -uq3k)(1 -u-1q3k)(1+ uq6k)(1+ u-1 q6k) = ^ Х-з(b)ubq&2,

k—1 6=-то

(0.2)

где

/

0, если b = 0 (mod 3); X-3(b) = \ 1, если b = 1 (mod 3);

-1, если b = -1 (mod 3)

квадратичный характер по модулю 3. Тождество (0.2) иногда называют тождеством для пятикратного произведения.

Пусть v = e2iw. К числу важнейших в теории эллиптических и тэта-функций относится тождество для восьмикратного произведения

uv - 1 (1 - qk)(1 - qk)(1 - uvqk)(1 - u-1v-1qk) _

(u - 1)(v - 1)11 (1 - uqk)(1 - u-1qk)(1 - vqk)(1 - v-1qk) = k—1

1 1

= 1-----V (umvn - u-mv-n)qmn.

1 - u 1 - v

m,n—1

С помощью разложения тэта-функции ^1(v; q) в тройное произведение и замен

q ^ q2, u ^ u2, v ^ v2

оно преобразуется в восходящее к Якоби тождество (см. по этому поводу [ ], стр. 92)

Q / \ Q.J ОО 00

n +w) л1 = ctg z + ctg w + 4 V V q2mn sin(2mz + 2nw) = H(z, w), (0.3) )^1(w) ,,

m—1 n—1

где — производная по z в нуле нечетной функции Якоби $1.

В разделе 1.1 первой главы излагается общая конструкция, которая с единой точки зрения объясняет все ранее полученные результаты. С её помощью доказываются тождества для разложения $3 в тройное произведение, а также тождества для пятикратного и восьмикратного произведений.

Сформулируем результаты из раздела 1.1.

Пусть £ - ненулевая линейная форма от в (=2, 3,...) независимых переменных х,... , с целыми коэффициентами , а

: К5 ^ К5

- четыре линейных преобразования, определяемых матрицами размера в х в с целыми коэффициентами и определителем ±1. Пусть также О - конечное подмножество в

= {ш = (т!,...,т5) | Е Ж},

которое разбивается на три непересекающихся подмножества Оо, О_ и О+ с помощью ограничений:

L(m) = 0, L(m) < 0 и L(m) > 0.

Предположим, что:

(I) J, U_, U+ - инволюции (обратное преобразование совпадает с исходным) и при этом

R = J о U+ = U_ о J;

(П)

L о J = -L; (0.4)

(III) инволюции J, U_ и U+ определяют, соответственно, биекции и

на себя.

Замечание 0.1. Начиная с этого момента A - произвольная аддитивная абе-лева группа.

ТЕОРЕМА . Пусть Ф : Zs ^ A - произвольная функция, для, которой

Ф^(т)) = _Ф(т) Vm Е Zs.

Тогда

У^ Ф(т) = ^ Ф(т).

шео шЕ^о

и

следствие 1. Предположим, что Я1 = Б (тождественное преобразование) для некоторого чётного натурального I. Тогда для любой функции Б : Ъя ^ А справедливо утверждение теоремы 1 с

1-1

Ф = ^(_1)*Б о Я*. ¿=0

В разделе 1.2 первой главы доказывается

ТЕОРЕМА . Пусть С : Ж3 ^ А произвольная функция с

С(_ш) = _С(ш) (ш е Ж3).

Тогда, для, любого натурального 1 выполняется равенство

У^ Ф(а,6,с) = ^ Ф(к,п _ к, 2п _ к),

62+ае=й ¿=п2

0<к<2п

Ф(ш) = С(ш) + С(Я2(ш)) + С(Я4(ш)) =

= С(ш!, ш2, ш3) + С(ш! + 2ш2 _ ш3, _ш! _ ш2, _ш!) +

+С(_ш3, _ш2 + ш3, _ш! _ 2ш2 + ш3).

В соответствии с обозначениями, суммирование в левой части ведётся по целым 6, а также натуральным а и с, связанным соотношением 62 + ас = 1. В качестве следствия из теоремы 2 получается тождество Успенского

^ {Б(а + с, 6, _а + с) _ 2Б(а _ 26, 6 + с, _а + 26 + 2с)}

62+ае=й

^ {Б(2п,п _ к, 2п _ 2к) _ 2Б(к,п,к)},

¿=п2 0<к<2п

впервые опубликованное им в работе [ ]. Оно выполняется для любой функции Б

Б(ш!, _ш2, _ш3) = Б(ш!,ш2, ш3) = _Б(_ш!,ш2,ш3) (ш!,ш2,ш3 е

В разделе 1.3 с помощью теоремы 2 доказывается следующее утверждение.

ТЕОРЕМА . Пусть f : Z ^ C произвольная чётная функция. Тогда для любого натурального d выполняется тождество

-1 £ °f (Ь) - Е (-Dc°f (c - Ь) =

b2+ac=d b2+ac=d

a — чётное a — нечётное

n2f (n), если d = n2, 0, если d = n2.

Также в этом разделе объясняется почему тождество из теоремы 3 эквивалентно разложению тэта-функции в тройное произведение.

В разделе 1.4 с помощью теоремы 2 доказывается ещё одно утверждение. Здесь и далее через обозначим характеристическую функцию делимости на n:

t 1, если b = 0 (mod n);

¿n(b) =

0, если b ^ 0 (mod n) bn

ТЕОРЕМА . Пусть g : Z ^ C произвольная нечётная функция. Тогда, для,

d

- 1 £ ¿6(a>X-s(b)g(b) - £ ВД(1 + ВД(-1)>Х-з(Ь)д(Ь - с) =

b2+ac=d b2+ac=d

X-3(n)(n2 - 1)g(n), если d = n2 0, d = n2

Также в этом разделе объясняется почему утверждение для теоремы 4 эквивалентно тождеству для пятикратного произведения.

Особо подчеркнём, что доказательство теорем 2 и 3 основаны на частном случае универсального арифметического тождества из теоремы 1, соответствующего следующей конструкции.

Нетрудно проверить, что преобразования

J : (mi, m2, m3) ^ (m3, -m2, mi),

: (ш!, ш2, ш3) ^ (ш! + 2ш2 _ ш3, _ш2 + ш3, ш3)

определяют целочисленные линейные автоморфизмы квадратичной формы

^(ш!, ш2, ш3) = ш2 + ш!ш3.

При этом для

Ь(ш!, ш2, ш3) = ш! + 2ш2 _ ш3

выполняется условие (0.4), а для конечных множеств

П = ^(1) = {(а, 6, с) е N х Ж х N | ф(а, 6, с) = 62 + ас = 1}

условия теоремы при любом натуральном 1. По определению, преобразование

Я(ш) = J(и+ (ш)) = (ш3, ш2 _ ш3, ш! + 2ш2 _ ш3),

для которого

Я3(ш) = (_ш!, _ш2, _ш3).

Для 1, отличных от квадрата, ^0(1) - пустое множество, а для 1 = п2

^0(п2) = {(к, п _ к, 2п _ к) | 0 < к < 2п}.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.2. По той же схеме с помощью теоремы 2 доказываются остальные разложения в тройное произведения тэта-функций $1, $2, $4. Впрочем, как хорошо известно, их можно получить из разложения для $3 путём следующих замен:

1) и ^ —ид для

2) и ^ ид для $2;

3) и ^ —и для $4.

В разделе 1.5 доказывается следующий новый результат. ТЕОРЕМА . Для любых комплексных , ¿2,г3 и |д| < 1 выполняется тождество

$3^ъ д2)Я(_^2, —¿3; д) + $3(^1 _ 2^; д2)Н(¿1 + ¿3 _ ¿2, ¿2; д)+

+$3(^1 + 2^3; д2)Я(и, ¿2 _ ¿3 _ ; д) = 0.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.3. С содержательной точки зрения теорема 5 представляет собой аналитический вариант теоремы 2. В тексте диссертации она выводится из теоремы 2. При этом все элементы доказательства этого факта обратимы и в этом смысле могут рассматриваться как доказательство теоремы 2 с помощью теоремы 5.

В разделе 1.6 теорема 1 специализируется с помощью еще одной конструкции. Преобразования

J : (ш1,т2,т3,т4) ^ (т4, —т3, — т2,т^),

: (т1? т2, т3, т4) ^ (т1 + т2 + т3 — т4, —т2 + т4, —т3 + т4, т4)

определяют целочисленные линейные автоморфизмы квадратичной формы

ф(т1? т2, т3, т4) = т2 + т3 + 2ш1ш4.

При этом для

Ь(т1? т2, т3, т4) = т1 + т2 + т3 — т4

выполняется условие (0.4), а для конечных множеств

^ = ОД = {(а, 61,62,с) е N х Ъ2 х N | 62 + 62 + 2ас = 1}

условия теоремы при любом натуральном 1. По определению, преобразование

Я(т) = J (и+(т)) = (т4, т3 — т4, т2 — т4, т1 + т2 + т3 — т4),

для которого

Я3(т) = (—т1, —т2, —т3, —т4).

Из равенства

Ь(ш) = т1 + т2 + т3 — т4 = 0

следует, что

^(т) = т2 + т3 + 2ш1(ш1 + т2 + т3) = (т1 + т2)2 + (т1 + т3)2.

В рассматриваемом случае теорема 1 и следствие 1 приводят к следующему утверждению.

ТЕОРЕМА 6. Пусть С : Ж4 ^ А произвольная функция с С(—т) = —С(т) (Ут Е Ж4). Тогда для любого натуралъного ( выполняется равенство

Ф(Мъ&2,с) = ^ Ф(а,Ь1,&2,а + 61 + 62),

б1+б2+2ае=й (а+61)2+(а+62)2=й

а+б!+62>0

Ф(т) = С(т) + С(Я2(т)) + С(Я4(т)) = = С(т1, т2, т3, т4) + С(т1 + т2 + т3 — т4, —т1 — т3, —т1 — т2, —т1) + +С(—т4, —т3 + т4, —т2 + т4, —т1 — т2 — т3 + т4).

В этом же разделе с помощью теоремы 6 доказывается следующее утвержде-

ТЕОРЕМА . Пусть К : Ж2 ^ С произвольная функция, для которой ^(т1, т2) = К(т2, т1) = —К(—т1, —т2) (Ут1, т2 Е

(

^ Х_4(&1)Х—4(&2)К(а + 61,62 + с)

б2+б2+2ае=й а, с— чётные

Х—4(П1)Х—4(П2)(П2К(П1,П1) — 2 ^ К(£,П2))

нечет

гс^е штрихи подразумевают коэффициент 2 при £ = ±п1 и

0, если 6 — чёт но; Х—4(6) = . _

(—1) 2 , если 6 — нечётно

квадратичный характер по модулю 4.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.4. Теорему 7 можно рассматривать как арифметический вариант тождества (0.3).

В разделе 1.7 теорема 1 специализируется с помощью третьей конструкции, в которой

J : (т1, т2,т3,т4) ^ (т3,т4,т1,т2), : (т1, т2, т3, т4) ^ (т2 + т4, т1 — т3, т4, т3)

определяют целочисленные линейные автоморфизмы квадратичной формы

^(т1, т2, т3, т4) = т1т4 + т2 т3. По определению, преобразование

Я(т) = J (и+(т)) = (т4, т3, т2 + т4, т1 — т3),

для которого

Я6(т) = (—т1, —т2, —т3, —т4).

При этом ^(1) состоит из всех четверок натуральных чисел (т1, т2, т3, т4), для которых

т1т4 + т2т3 = 1.

Безотносительно к представленной в разделе 1.1 общей конструкции, соответствующий результат для этого случая содержится в следующем утверждении, доказанном в работе [ 19],

ТЕОРЕМА . Пусть Ф : Ъ4 ^ А — произвольная функция, для которой

I т' т'— т\ (тт' Ф =Ф

у—п' п' + п у уп п'

Тогда, для, любого натурального 1

Е/ I 110 110 1

Ф — Ф.

п п' п п'

тп'+ш'п=а \ \ / \

= Е ( Е ф (011) — Е Ф (6(1

Из этой теоремы выводится соотношение Н (г, ад)Н (г', ад') + Н (г + г', ад')Н (—г, —ад + ад') + Н (—г', ад — ад')Н (г + г', ад) = 0,

впервые упомянутое в [ ] (глава 12, упражнение 6).

тт'\ ( т — т'

И, наконец, в разделе 1.8 доказывается ещё один новый результат на рассматриваемую тему.

ТЕОРЕМА . Для любых комплексных , г2,г3,г4 и |я| < 1 выполняется тождество

$3(^2; 4)^3(^3; д)# (¿1, ¿4; Я)+ +$3(^3 — ¿1; 4)^3(^2 — ¿1; д)#(¿1 — ¿2 — ¿3 — 24, —¿1; я) +

+$3^3 + ¿4; Я)$3^2 + ¿4; д)#( — ¿4, —¿1 + ¿2 + ¿3 + ¿4; Я) = 0.

Она выводится из теоремы 2. При этом в доказательстве рассуждения можно обратить и по этой причине теоремы 2 и 10 можно считать эквивалентными утверждениями.

Во второй главе предложен новый метод построения целочисленных последовательностей Сомос-8 и Сомос-9, опирающийся на теорию тэта-функций и результаты работ [ ], [ ], [ ] и [ ]. Для натурального к ^ 2 последовательность Сомос- к: А : Ж ^ С удовлетворяет квадратичному рекуррентному соотношению

[к/2]

А (п + к) А (п) = £ а А (п + к — ;) А (п + ;)

с константами о,-. В ситуации общего положения, за исключением некоторых вырожденных случаев, эта последовательность однозначно определяется коэффициентами а1,... , а[к/2] и начальными значениями А(1),... , А(к). В частных случаях с а8 = 1 и начальными значениями, также равными 1, при к = 4, 5,6 и 7 в работе [ ] Сомос предположил, что возникающие при этом последовательности состоят из натуральных чисел (см. обзор [ ]). При к = 8 численные эксперименты показали, что это утверждение уже неверно. Фомин и Зелевинский

к = 4, 5, 6

7

ми от коэффициентов а и формальных переменных А±1(1),..., А±1(к). Отсюда немедленно следует целочисленность последовательностей Сомоса с единичными

к = 4 5

[ ] были построены более широкие классы целочисленных последовательностей Сомоса с удовлетворяющими некоторым условиям целыми начальными данными и рациональными коэффициентами.

В разделе 2.1 формулируются необходимые для дальнейшего результаты, относящиеся к теории эллиптических систем последовательностей. Пусть А — целочисленная последовательность Сомоса вида

А(п) = еап2+Ьп+%г(го + пг),

где а, 6, с, г0 и г = 0 — произвольные комплексные числа, а Г — любая решётка на комплексной плоскости. Здесь присутствует сигма-функция Вейерштрасса,

Г

г ч 11 ()2

— - I рш + 2 ( ш )

) = г П И — -)

е ш 2 ^ ш ^ .

ад7

■шеГ\{0}

В вырожденных случаях:

1) для Г = {0} аг(г) = г;

2) для Г = {тад|т е Ъ} с ад е С\{0}

*г(* ) = г П (!

г \ +1 ()2 ад , пг п2 / г ^2

е пш + 2 ( пш ) = - 81П -б 6 ( — ' .

пш п ад

пеЪ\{0}

Определим целочисленную последовательность В : Ъ ^ Ъ по формуле

В (п) = 1А(п) + ЬА(п + 2Ж)

с фиксированным целым N = 0 и целыми 1 и В разделе доказывается следующее утверждение Теорема И. Если

( В(6)В(0) В(5)В(1) В(4)В(2) В(3)В(3)^

det

= 0,

В(5)В(—1) В(4)В(0) В(3)В(1) В(2)В(2) В(4)В(—2) В(3)В(—1) В(2)В(0) В(1)В(1) уВ(3)В(—3) В(2)В(—2) В(1)В(—1) В(0)В(0)у

В

Определим целочисленную последовательность В : Ъ ^ Ъ по формуле

В (п) = 1А(п) + ЬА(п + 2N + 1)

с фиксированным целым N и целыми /и В разделе доказывается ещё одно утверждение на эту тему

Теорема 12. Если

(

B(7)B(0) B(6)B(1) B(5)B(2) B(4)B(3) B(6)B(-1) B(5)B(0) B(4)B(1) B(3)B(2) B(5)B(-2) B(4)B(-1) B(3)B(0) B(2)B(1) B(4)B(-3) B(3)B(-2) B(2)B(-1) B(1)B(0)

det

= 0,

/

B

Отметим так же, что в разделах 2.2 и 2.3 приводятся конкретные примеры последовательностей B (n), удовлетворяющих условиям теорем и

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• «Diophantine Analysis» — Астрахань, Россия (30 июля - 3 августа 2012); года) ; года) ;

Чехия (30 июня 4 июля 2014 года); года) ;

statistics» Санкт-Петербург, Россия (14 18 сентября 2015 года)

и научном семинаре ХО ИПМ ДВО РАН (рук. рук. В.А. Быковский).

По теме диссертации опубликовано 6 статей в ведущих российских изданиях

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из предисловия, введения, двух глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 63 страницы. Библиография включает 39 наименований.

[19], [30], [31] и [35Н37].

ГЛАВА 1

Арифметические методы доказательства тождеств для тэта-функций

1.1. Универсальное арифметическое тождество

Пусть £ - ненулевая линейная форма от в (=2, 3,...) независимых переменных х1,... , х с целыми коэффициентами , а

^Ц^Ц^Я : к5 ^ к5

_ четЫре линейных преобразования, определяемых матрицами размера в х в с целыми коэффициентами и определителем ±1. Пусть также О - конечное подмножество в

= {т = (т1,..., т5) | т^ е ж},

которое разбивается на три непересекающихся подмножества О0, и с помощью ограничений:

£(т) = 0, £(т) < 0 и £(т) > 0.

Предположим, что:

(I) 7, Ц+ - инволюции (обратное преобразование совпадает с исходным) и при этом

Я = 7 о Ц+ = Ц— о 7;

(И)

£о 7 = -

(III) инволюции J, U_ и U+ определяют, соответственно, биекции и

на себя.

Замечание 1.1. Из условия (II) следует, что J определяет биекцию на себя; а также устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами и

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. В условии (III) достаточно потребовать биективности первой и второй инволюции (или первой и третьей), так как из условий (I) и (II) следует, что третья инволюция биекция (соответственно, вторая биекция).

ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Нет принципиальной необходимости вводить в определение инволюцию так и Я. Достаточно положить Ц_ = J о Ц+ о J и убедиться в том, что и_ — инволюция на Мы только хотели этим подчеркнуть симметрию между и В дальнейшем будут определяться только конечное множество линейная форма Ь, инволюции </ и Ц+.

теорема 1. Пусть Ф : ^ А - произвольная функция, для, которой

Доказательство. С помощью преобразований ^ а также условия на

Ф

Ф(Я(ш)) = _Ф(ш) Уш е Ж5.

Тогда,

£ Ф(ш) = £ Ф^(ш'))

^ Ф(7 о и+(ш''))= ^ Ф(Я(ш'')) = _ ^ Ф(ш'').

Поэтому

у^ ф(ш) = ^ Ф(Ш) + Ф(Ш) + ^2 ф(ш) =

ф(ш) _ ^2 Ф(Ш) + ^ Ф(Ш) = ^2 Ф(Ш).

□

Следствие . Предположим, что Я1 = Е (тождественное преобразование) для, некоторого чётного натурального I. Тогда для любой функции Б : ^ А

справедливо утверждение теоремы 1 с

I-1

Ф = £(-1)^ О яг

¿=0

1.2. Тождество Успенского

Нетрудно проверить, что преобразования

J : (ш1, т2,т3) ^ (т3, — т2,т^),

: (т1, т2, т3) ^ (т1 + 2т2 — т3, —т2 + т3, т3)

определяют целочисленные линейные автоморфизмы квадратичной формы

т2, т3) = т2 + т1т3.

При этом для

Ь(ш1, т2, т3) = т1 + 2т2 — т3

выполняется условие

Ь о J = —Ь, (1.1)

а для конечных множеств

ВД = {(а, Ь, с) е N х Ж х N | ф(а, Ь, с) = Ь2 + ас = 1}

условия теоремы при любом натуральном 1. По определению,

Я(т) = J (и+ (т)) = (т3, т2 — т3, т1 + 2т2 — т3), Я2(т) = —(т)) = (т1 + 2т2 — т3, —т1 — т2, — т1),

Я3(т) = (—т1, —т2, — т3), Я4(т) = — J (и+(т)) = (—т3, —т2 + т3, —т1 — 2т2 + т3),

(1.2)

Я5(т) = (J (т)) = (—т1 — 2т2 + т3, т1 + т2, т1). Кроме того, из равенства

Ь(т) = т1 + 2т2 — т3 = 0

следует, что

^(т1, т2, т3) = т2 + (т1 + 2т2)т1 = (т1 + т2)2.

Поэтому для (а,Ь, с) из ^0(1) число

1 = ^(а, Ь, с) = (а + Ь)2

может быть только квадратом некоторого натурального п. В этом случае

2а + 2Ь > а + 2Ь = с> 0 и а + Ь = п,

а при замене а на к получаем, что

Ь = п — к, с = а + 2Ь = 2п — к.

Следовательно, для 1, отличных от квадрата, ^0(1) - пустое множество, а для

( = п2

^0(п2) = {(к, п — к, 2п — к) | 0 < к < 2п}.

С учётом вышесказанного, теорема 1 (см. также следствие 1) в рассматриваемом случае приобретает следующий вид.

ТЕОРЕМА 2. Пусть С : Ж3 ^ А произвольная функция с

С(—т) = —С(т) (т е Ж3). Тогда, для, любого натурального 1 выполняется равенство

£ Ф(а, Ь, с) = £ Ф(к,п — к, 2п — к), (1.3)

62+ае=й ¿=п2

0<к<2п

Ф(ш) = О(ш) + О(Я2(ш)) + О(Я4(ш)) =

= С(Ш1, Ш2, Ш3) + С(Ш1 + 2ш2 _ Ш3, _Ш1 _ ш2, —Ш!) + +О(_ш3, _ш2 + ш3, _ш1 _ 2ш2 + ш3).

Предположим, что

О(7(ш)) = О(ш) (ш е Ж3). (1.4)

Тогда, в соответствии с (1.2),

О(Я2(ш)) = О(_и+(7 (ш))) = _О(и+(7 (ш))),

О(Я4(ш)) = О(_J (и+(ш))) = _О(и+(ш)).

Так как (см. следствие 1)

£ С(и+(.1 (ш))) = £ О(и+(ш)),

ш€(*) ш€(*)

где (*) означает ^(¿^и ^о(^) , то тождество теоремы можно переписать в виде

^ (О(а,Ь,с) _ 2О(а + 2Ь _ с, _Ь + с, с)} = (1.5)

62+ае=й

= ^ {О(к,п _ к, 2п _ к) _ 20(0,п, к)}.

¿=п2 0<к<2п

При этом мы воспользовались очевидным равенством

^ 0(0,п, 2п _ к) = ^ 0(0,п,к).

0<к<2п 0<к<2п

Если положить

С(ш1,ш2,ш3) = Б(ш1 + ш3,ш2, _ш1 + ш3),

то условию (1.4) на О будет соответствовать равенство

Б(ш1, _ш2, _ш3) = Б(ш1, ш2, ш3) (ш1, ш2, ш3 е

С учётом этого условие С(—т) = —С(т) из теоремы заменится на второе равенство

^(—т1,т2,т3) = —^(т1,т2,т3) (т1,т2,т3 е Ж).

В таком случае мы получаем из (1.5) тождество Успенского

£ {^(а + с, Ь, —а + с) — 2^(а — 2Ь, Ь + с, —а + 2Ь + 2с)} =

62+ае=й

= £ {^(2п,п — к, 2п — 2к) — 2^(к,п,к)},

¿=п2 0<к<2п

впервые опубликованное в работе [ ]. При этом, принимая во внимание биекцию П(1) на себя, определяемую преобразованием (а,Ь, с) ^ (а, — Ь,с), мы заменили в тождестве (1.5) сумму

£ ^(а + 2Ь, —Ь + с, —а — 2Ь + 2с)

62+ае=й

£ ^(а — 2Ь,Ь + с, —а + 2Ь + 2с).

62+ае=й

1.3. Тождество для тройного произведения

Действуя стандартным способом, восходящим к Эйлеру (см., например, [ ] применим к обеим частям равенства

Ц(1 — д2к)(1 + ид2к—1)(1 + и-у^1) = £ и6/, (1.6)

к=1 6=—оо

логарифмическую производную дтр ^ и воспользуемся разложением

г

= > г"

Е

1 — г

1=1

В результате получим, что

00

■2п ,Ъ^Ъ2

ь^Я1 оо

ъ=-то ^^ о Я2к мд2к-1 м-1д2к-1

то /

оо У" ( —2к—-—^ + (2к - 1) ^ „, , + (2к - 1)- 1 „, 1

то -- 1 - Я 1+ мд2к-1 ;1+ м-1д2к-1

^ мъдъ2 к=1

Ъ=—00

то

£ (-2кд2к1 - (2к - 1)(-1)(м1 + м-1 )д(2к-1)^ -

к,1=1

£ ^2(а)адас +^2 ЙМ - 1)(-1)са(мс + м-с)дас.

а,е=1 а,е=1

Избавляясь от знаменателя и принимая во внимание равенства

то то ..то

£ Л/2 - £ «-у2 -1 £ У + «-V2,

Ъ=—то Ъ=—то Ъ=—оо

тото

£ Ь2мья62 - £ п2(мп + м-п)яп2,

Ъ=-то П=1

находим

то 1 то то

£ п2(мп + м-п)яп2 - - - £ £ ВДа(мъ + м-ь)я&2+ас+

2

п=1 а,е=1 Ъ=-то

тото

+ £ £ ЙМ - 1)(-1)са(мс-Ь + м-с+ь)яь2+ас.

а,е=1 Ъ=-то

Положив /(Ь) - мъ+м-ъ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях д^ с натуральным ё - Ь2 + ас, получим арифметическое тождество ( ).

ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Здесь и в дальнейшем суммирования проводятся по всем тройкам (а, Ь, с) € N х Ъ х N Для которых Ь2 + ас - ё.

Обращая только что проведённую цепочку преобразований, мы получим исходное разложение (1.6) с точностью до множителя, не зависящего от д (при логарифмическом дифференцировании он становится равным нулю). Величина множителя находится путём сравнения правой и левой частей ирид - 0. Поэтому тождество для тройного произведения вытекает из следующих) утверждения.

теорема 3. Пусть / : Ж ^ С произвольная чётная функция. Тогда для

1

1 2

Е а/(Ь) — £ (—1)са/(с — Ь) =

62+ас=й 62+ас=й

а^ чётное а^ нечётное

(1.7)

п2/(п), если 1 = п2, 0, если 1 = п2.

Доказательство. Рассмотрим сумму

51(1)= £ С(а,Ь,с) = — 1 £ ((—1)а — (—1)с)(а + 2Ь — с)/(Ь).

62+ас=й 62+ас=й

Так как преобразование (а,Ь, с) ^ (а, — Ь, с) определяет биекцию на а

/

£ Ь/(Ь) = 0.

62+ас=й

Принимая во внимание биекцию </, для оставшейся части суммы 51(1) находим

1 £ (( — 1)а — ( — 1)с)(а — с)/(Ь) = — 2 £ (( — 1)а — ( —1)с)а/(Ь) =

4 ^ , - / , 2

62+ас=й 62+ас=й

= — 1 £ /(Ь) £ (( — 1)а — ( — 1)С)а.

62<й ас=й—62

Для любого натурального N

£ (( — 1)а — ( —1)с)а = 2 £ ( — 1)а

ас=Ж ас=Ж

а+с—нечет

2 £ а — 2 £ а = 2 £ а — 2 £ а =

ас=Ж ас=Ж ас=Ж ас=Ж

а—чёт, а—нечёт, а—чёт с—чёт

сс

2 У^ ^2(а)а — ^^ 2а = ^^ ^2(а)а.

ас=Ж 2а^ § =Ж ас=Ж

с 2 n

В итоге получаем, что

51(1) = — 2 £ ВДа/(Ь).

62+ас=й

Нетрудно заметить, что

£ С(а + 2Ь — с, —Ь + с, с) = — 1 £ ((—1)а—с — (—1)с)а/(—Ь + с) =

62+ас=й 62+ас=й

= — 2 £ №(а) — 1)(—1)са/(—Ь + с).

62+ас=й

И, наконец, для 1 = п2

£ С(к,п — к, 2п — к) = — 1 £ ((—1)' — (—1)2П—к) • 0 • /(п — к) = 0,

0<к<2п 0<к<2п

£ С(0,п, 2п — к) = — 1 £ (1 — (—1)к)(0 + 2п — 2п + к)/(п) =

0<'<2п 0<'<2п

1 — ^ • 1 2

4 £ (1 — (—1)')к/(п) = — 2п2/(п).

0<'<2п

С

ство ( ) теоремы . □

1.4. Тождество для пятикратного произведения

Напомним, что для и = е2пг^

00 <<о

^(г; д) = 1 £ (—1)6и6+1 д(6+1 )2 = ±(и2 — и—1 )д4 ^(1 — д2')(1 — ид2')(1 — и—1д2к) % %

6=—то к=1

^2(г; д) = £ и6+2д(6+1 )2 = (и2 + и—2)д4 ^(1 — д2')(1 + ид2')(1 + и—1д2к),

6=—<о '=1

00

^3(г; д) = £ и6д62 = ^(1 — д2к)(1 + ид2к—1)(1 + и—1д2к—1), 6=—< '=1

00 $4 (г; д) = £ (—1)6и6д62 = ^(1 — д2')(1 — ид2к—1 )(1 — и—1д2к—1) 6=—< '=1

классические тэта-функции Якоби вместе с их разложениями в тройное произведение. Последнее разложение совпадает с (1.6).

На странице 433 первого тома монографии Фрикке [ ] приведено вместе с доказательством тождество

2д1 £ (-1)ъесвпг(66 + 1)дт - Л,(г; ; д№(г; д) Ц(1 - д2к)

- Я 2

Ъ=-то к=1

Его с помощью замен

1 1

г ^ г + - и д ^ д2 2

можно представить в виде

то

(1 - м-1) П(1 - дк)(1 - мдк)(1 - м-1дк)(1 - м2д2к-1)(1 - м-2д2к-1) -

к=1

то

- £ д^(м3Ъ - м-3Ъ-1), (1.

Ъ=-то

которое переоткрывалось в работах [],[],[ ] и [ ]. В свою очередь (1.8) после замен (см. [ ])

6 3

д ^ д и м ^ мд

преобразуется к виду

тото

д(м - м-1) П(1 - д6к )(1 - мд3к )(1 - м-1д3к )(1+ мд6к )(1+ м-1 д6к) - £ х-з (6)мъдъ2,

к=1 Ъ=-то

-то

где х-з : Ъ ^ {-1,0,1} - квадратичный характер по модулю 3.

Действуя точно так же как в случае тройного тождества, получим

то

Е Х-з(6)62мЪдЪ

Ъ=—оо

Е Х-з(6)мЪдЪ2 Ъ=

к=1

д6к ^ мд3к ^ и 1д3к ^ мд6к ^ и 1д6к . 1 - д6к 1 - мд3к 1 - м-1д3к 1+ мд6к 1+ м-1д6к'

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Монина Мария Дмитриевна, 2015 год

Список литературы

1. Atkin A. O.L., Swinnerton-Dyer P. Some properties of partitions, Proc. London Math. Soc. (3), 4 (1954), 84 106.

2. Berndt Bruce C. Ramanujan's notebooks. Part III\ Springer-Verlag, New York, 1991.

3. Bykovskii V. Elliptic systems of sequences and functions, 2015. http://www.skoltech.ru/app/data/uploads/sites/29/

Bykovskii.pdf.

4. Dickson L.E. History of the theory of numbers, New York: Chelsea Pub. Co., 2 (1952).

5. Fricke R. Die Elliptischen Funktionen und Hire Anwendungen, Berlin: Springer, 1 (2011).

6. Fomin S., Zelevinsky A. The Laurent Phenomenon, Adv. Appl. Math., 28 (2002), 119 144.

7. Gale D. Mathematical, Entertainments: The Strange and Surprising Saga of the Somos Sequences, Math. Intel., 13 (1991), 40 42.

8. Gauss C. F. Gauss Werke II, Gottingen, 1863.

9. Gordon B. Some identities in combinatorial analysis, Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 12 (1961), 285 290.

10. Hone A. N. W., Swart C. S. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 and Somos 5 sequences, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 145 (2008), 65 85.

11. Hone A. N. W. Elliptic curves and quadratic recurrence sequences, Bulletin of the London Mathematical Society, 37 (2005), 161 171.

12. Hone A. N.W. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences Trans. Amer. Math. Soc. , 359 (2007), 5019 5034.

13. Huard J. G., Ou Z. M., Spearman В. K. and Williams K. S. Elementary evaluation of certain convolution sums involving divisor function, Number Theory for the Millennium II, edited by M.A. Bennett, B.C. Berndt, N. Boston, H.G. Diamond, A. J. Hildebrand, W. Philipp, A. K. Peters, Natick, Massachusetts (2002), 229-274.

14. Hurwitz A. Uber die Weierstrass'sche a-Funktion. In Festschrift für H.A. Schwarz, Berlin, 1914, 133-141. [Ges. Abh. Bd. 3, pp. 722-730]

15. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke, Berlin, 1 (1881).

16. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke, Berlin, 1 (1881), 49-239.

17. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke, Berlin, 1 (1881), 497-538.

18. Jacobi C.G.J. Gesammelte Werke, Berlin, 2 (1881), 289-352.

19. Monina M.D. "Three-term Identity for Products of Jacobi Theta Functions of One or Two Variables", Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory.; 5: 1-2 (2015), 21-25.

20. Ouspensky J. "Sur les relations entre les nombres des classes des formes quadratiques binaires et positives. Premier Memoire, I", Известия Академии Наук. VI серия, 19: 12-15 (1925), 599-620.

21. Somos M. Problem Ц70, Crux Mathematicorum 15 (1989), 208.

22. Uspensky J.V., Heaslet M.A. Elementary Number Theory, New York and London: McGraw-Hill Book Company, Inc., 1939.

23. Watson G.N. Theorems stated by Ramanujan (VII): Theorems on a continued fraction, J. London Math. Soc., 4 (1929), 39-48.

24. Weber H.M. Lehrbuch der Algebra, Braunschweig, 3 (1908).

25. Weierstraß К. Math. Werke. Bd. 5, Berlin, 1915.

26. Williams Kenneth S. Number theory in the spirit of Liouville, London Mathematical Society Student Texts, 76, Cambridge University Press, 2011.

27. Бударина H.B., Быковский В. А. "Арифметическая природа тождесв для тройного и пятикратного произведений", Дальневосточный математический журнал, 11: 2 (2011), 140-148.

28. Быковский В. А. Модули Эйхлера-Шимуры, Владивосток: Дальиаука, 2001, препринт ДВО РАН, ХО ИПМ Хабаровское отделение Института прикладной математики.

29. Быковский В. А. "Обобщение арифметических тождеств Лиувилля и Скоруп-пы", Доклады Академии наук, 432: 6 (2010), 736-737.

30. Быковский В. А., Монина М.Д. "Об арифметической природе некоторых тождеств теории эллиптических функций", Дальневосточный математический журнал, 13: 1 (2013), 15-34.

31. Быковский В. А., Монина М.Д. "Арифметические тождества, ассоциированные с квадратичными формами, и их приложения", Доклады, Академии наук, 449: 5 (2013), 503-506.

32. Венков Б. А. Элементарная теория чисел, М. ; Ленинград: ОНТИ НКТП СССР, 1937.

33. Клячко А. А. Модулярные формы и представления симметрических групп, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 116 (1982), 174-85.

34. Мамфорд Д. Лекции, о тэта-функциях, Москва: Мир, 1988.

35. Монина М.Д. "Арифметическая интерпретация трёхчленного тождества из теории эллиптических функций", Дальневосточный математический журнал,, 14: 1 (2014), 66-72.

36. Монина М.Д. "Об одном трёхчленном тождестве из теории тэта-функций", Дальневосточный математический журнал, 14: 2 (2014), 242-247.

37. Монина М.Д. "О целочисленных последовательностях Сомос-8 и Сомос-9", Дальневосточный математический журнал, 15: 1 (2015), 70-75.

38. Полищук А. Е. Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование Фурье, Москва: МЦНМО, 2010.

39. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Москва: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963.