ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при внешних связях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Коломыцева, Елена Алексеевна

• Коломыцева, Елена Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коломыцева, Елена Алексеевна

Введение.

Глава I. Предварительные сведения.

§1.1. Некоторые сведения для уравнений с частными производными эллиптического типа.

§1.2. Риманово пространство R3.

Глава II. Распределение коэффициентов рекуррентности бесконечно малых ARG -деформаций поверхности, совместимых с заданной обобщенной втулочной связью.

§ 2.1. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности.

§2.2. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности с краем в римановом пространстве.

§2.3. Условие обобщенной втулочной связи.

§ 2.4. Бесконечно малые ARG-деформации поверхности при условии обобщенной втулочной связи.

Глава III. Существование некорректных обобщенных втулочных связей при фиксированном коэффициенте рекуррентности бесконечно малой ARG -деформации поверхности.

§3.1. Корректные обобщенные втулочные связи при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей.

§3.2. Распределение некорректных обобщенных втулочных связей при бесконечно малых ARG-деформациях поверхностей.

Глава IV. Непрерывные ARG -деформации поверхностей с краем при обобщенных втулочных связях в евклидовом пространстве

§4.1. Непрерывные ARG-деформации поверхности.

§4.2. Уравнение непрерывных ARG-деформаций.

§ 4.3. Условие обобщенной втулочной связи.

§ 4.4. Непрерывные ARG-деформации поверхности при условии обобщенной втулочной связи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «ARG-деформации поверхностей положительной внешней кривизны с краем в римановом пространстве при внешних связях»

Одним из важных разделов дифференциальной геометрии «в целом» является теория деформаций поверхностей в трехмерном евклидовом и римановом пространствах. Предметом исследования данной работы являются (т +1) -связные двумерные поверхности Р2 положительной внешней кривизны с краем в трехмерном евклидовом Е3 и римановом Я3 пространствах. Под деформацией поверхности Р2 понимают семейство {/г£2} поверхностей, зависящее некоторым образом (по крайней мере непрерывно) от параметра б, е е (-е0,е0), б0 > 0, так, что Р2 = Р2, Р2 * ^ , если ехФег.

Рассмотрим поверхность F2 в римановом пространстве Я3 с координатами (уа), заданную уравнениями уа = уа(х\х2), (х1 ,х2)еИ, где И - некоторая ограниченная область двумерного арифметического пространства А2.

Пусть поверхность подвергнута деформации

Е^'- уаЕ{х\х2) = уа{х\х2) + ега{х\х2) + о{е), (х\х2)еЭ, (1) где о(б) - члены более высокого порядка малости относительно малого параметра б , б е (-б0,б0), б0 > 0, га - заданное векторное поле.

Рассмотрим две деформации поверхности Р2: у" =уа +бга+ о(б). (2) (2) (2)

Эти деформации называются эквивалентными [25], если векторные поля и га совпадают.

О (2)

Бесконечно малой деформацией поверхности Р2 в римановом пространстве Я3 называют класс эквивалентных деформаций вида (1). Векторное поле 2а называют полем смещения точек поверхности Р2 при бесконечно малой деформации или полем бесконечно малой деформации.

Заданное векторное поле га однозначно определяет бесконечно малую деформацию по формуле (1).

Пусть некоторая величина А, заданная на поверхности Г2, при бесконечно малой деформации вида (1) переходит на поверхности в величину Ае, которую можно представить в виде

Ав = А + едА + о(е). (2)

Если представление (2) возможно, то величину 8А называют вариацией величины А при бесконечно малой деформации поверхности Рг.

Бесконечно малые деформации занимают значительное место в теории деформаций двумерных поверхностей.

Из геометрических и механических соображений целесообразно изучать бесконечно малые деформации поверхностей, для которых некоторые геометрические характеристики поверхности имеют наперед заданные значения вариаций. Эти условия накладывают ограничения на выбор поля бесконечно малой деформации поверхности, описываемые, как правило, в виде дифференциальных уравнений. К настоящему времени достаточно полно изучены бесконечно малые изгибания поверхностей, характеризующиеся условием = 0, где с1я2 - первая квадратичная форма поверхности; бесконечно малые деформации поверхности с сохранением поточечно сферического образа поверхности, характеризующиеся условием дп = 0, где п - единичный вектор нормали поверхности (эти деформации коротко называют бесконечно малыми О-деформациями); бесконечно малые деформации поверхности с сохранением элемента площади ¿а поверхности, описываемые условием 5(с1о') = 0 (так называемые бесконечно малые А -деформации) и другие.

Бесконечно малые -деформации поверхности в пространстве Е3 рассматривались в работе [16]. Было показано, что односвязная поверхность положительной кривизны с гладким краем допускает бесконечно малые О-деформации с произволом в одну действительную функцию двух переменных. Бесконечно малые G -деформации поверхностей в пространстве Е4 были изучены В.Т. Фоменко и И.А. Бикчантаевым [24]. Доказано, что поверхность с краем, каждая точка которой лежит строго внутри эллипса кривизны, в Е4 допускает линейно независимые бесконечно малые G-деформации с большим произволом.

Задачи, связанные с бесконечно малыми А -деформациями поверхностей, были изучены в работе Л.Л. Бескоровайной [9]. Показано, что поверхность положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве Еъ допускает бесконечно малые А -деформации с произволом в две функции от двух переменных.

П.Г. Колобов в работах [13], [14] впервые рассматривал бесконечно малые деформации поверхностей в евклидовом пространстве при условии, что вариация S(dcг) элемента площади da удовлетворяет соотношению S(da) = cd<7, где с = const. В [13] П.Г. Колобов установил связь между бесконечно малыми изгибаниями и бесконечно малыми деформациями поверхностей F2 в евклидовом пространстве Е3, сохраняющими элемент площади поверхности и поточечно сферический образ поверхности (так называемые бесконечно малые AG-деформации). Им показано, что для того, чтобы векторное поле у было полем бесконечно малой AG-деформации односвязной поверхности F2, необходимо и достаточно, чтобы поле у было полем вращения некоторого бесконечно малого изгибания поверхности F2. Так как поверхности положительной гауссовой кривизны с краем допускают бесконечно малые изгибания с большим произволом [11], то поверхности положительной гауссовой кривизны с краем допускают бесконечно малые A G -деформации с большим произволом.

В.Т. Фоменко была поставлена задача исследования бесконечно малых AG -деформаций в евклидовом пространстве Е3 при различных внешних связях. Такие бесконечно малые деформации были изучены в работах О.Н. Бабенко [3], [4], [5]. Доказано существование бесконечно малых AGдеформаций поверхности положительной гауссовой кривизны с гладким краем в Еъ при различных внешних связях, в частности, при условии обобщенного закрепления края относительно плоскости, при условии защемления края и при внешней связи обобщенного скольжения.

Бесконечно малые деформации поверхностей в римановом пространстве изучены не достаточно полно.

Бесконечно малые деформации поверхностей, определяемые только нормальным смещением точек поверхности, в римановом пространстве изучены B.Y. Chen и К. Yano и названы бесконечно малыми нормальными деформациями [1]. Установлено, что для бесконечно малых нормальных деформаций поверхностей в римановом пространстве имеет место соотношение, рекуррентное относительно вариации ö{d&) элемента площади da поверхности: dcr) = IXHcdcr, (3) где Н - средняя кривизна поверхности, с - нормальное смещение точек поверхности при её деформации, X = -1.

Формула (3) имеет наглядный геометрический смысл. Именно, вариация ö{diт) элемента площади deг поверхности F2 пропорциональна элементу площади, кривизне поверхности F2 и нормальному смещению точек поверхности F2 при бесконечно малой деформации поверхности F2. Коэффициент пропорциональности X определяет характер бесконечно малой деформации поверхности. Так, в частности, для бесконечно малых деформаций по B.Y. Chen и К. Yano [1] имеем Х = -1. Бесконечно малую деформацию поверхности, описанную формулой (3), с фиксированным значением X называют бесконечно малой ареально-рекуррентной деформацией поверхности с коэффициентом рекуррентности X.

Для поверхностей в римановом пространстве нет устоявшегося понятия сферического образа поверхности. В.Т. Фоменко [2] была сформулирована задача о бесконечно малых деформациях поверхностей в римановом пространстве, при которых поле единичных нормальных к поверхности векторов переносится параллельно в смысле Леви-Чивита вдоль траектории точек поверхности при её деформации и остается при этом нормальным полем к деформированной поверхности. Такие деформации В.Т. Фоменко назвал бесконечно малыми G-деформациями поверхностей в римановом пространстве.

В.Т. Фоменко поставил задачу изучения бесконечно малых G-деформаций поверхностей в римановом пространстве, подчиненных условию (3) для произвольно заданного значения Л. Такие бесконечно малые деформации В.Т. Фоменко называет бесконечно малыми ареально-рекуррентными G -деформациями поверхностей с коэффициентом рекуррентности Л (коротко бесконечно малыми ARG -деформациями) [2].

В.Т. Фоменко [23] изучались бесконечно малые ARG-деформации замкнутых гиперповерхностей в римановом пространстве. Установлено, что существует точно счетное множество {Лк}™=х значений Л таких, что при Л = Лк гиперповерхность допускает бесконечно малые ARG -деформации с коэффициентом рекуррентности Лк, при остальных значениях Л гиперповерхность является жесткой относительно рассматриваемой деформации. В связи с этим В.Т. Фоменко была поставлена задача изучения бесконечно малых ARG-деформаций гиперповерхностей с краем. В работе [2] были изучены бесконечно малые ARG-деформации гиперповерхностей, подчиненных вдоль края внешней связи aaßnazß = 0, где па - единичный вектор нормали поверхности вдоль края. Эту внешнюю связь В.Т. Фоменко назвал условием защемления края гиперповерхности при её бесконечно малой ARG-деформации в римановом пространстве [2]. Установлено, что существует точно счетное множество значений Л таких, что при

Л = Лк гиперповерхность, защемленная вдоль края, допускает бесконечно малые ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности Лк, при остальных Я гиперповерхность при условии защемления края является жесткой относительно рассматриваемой деформации.

Условие защемления поверхности вдоль края является частным случаем внешней связи обобщенного скольжения, записываемой в виде

4) где 1а - заданное вдоль края поверхности векторное поле, не обращающееся в ноль, к - заданная функция. В связи с этим В.Т. Фоменко поставил задачу изучения бесконечно малых А1Ю-деформаций поверхностей с коэффициентом рекуррентности Я при условии обобщенного скольжения в римановом пространстве. Эту задачу в частном случае рассматривала В.В. Сидорякина. Именно, в [20], [21], [22] изучались бесконечно малые А1Ю-деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности X при следующих предположениях:

1) риманово пространство является пространством I? типа Лобачевского; это означает, что метрика пространства 1? в координатах (х,у,г) задается формулой (Лб2 = Е(г)(сЬс2 + с1у2 + с1г2), Е{т) >0, Е' Ф 0;

2) поверхность с гладким краем в 1} задается уравнением z = /(.х,у), имеет положительную внешнюю кривизну и является (т +1)связной;

3) поверхность подвергается бесконечно малой А1Ю-деформации с коэффициентом рекуррентности Л, где Ае(А,В), где (А,В) - некоторый числовой интервал, определяемый поверхностью и пространством;

4) внешняя связь вдоль края поверхности является внешней связью обобщенного скольжения вида (4), где векторное поле 1а вдоль края однозначно определяется некоторой функцией у, к - заданная функция.

Для формулировки результатов, полученных В.В. Сидорякиной, введем определения корректной и некорректной внешней связи. Внешняя связь называется корректной [11], если для любой функции к существует единственное поле деформации га , удовлетворяющее условию (4), при этом малому изменению (в смысле некоторой нормы) функции к соответствует малое изменение поля г". При к = 0 поле деформации сводится к нулевому полю: г" = 0. Внешняя связь называется некорректной [11], если при кФО поверхность допускает бесконечно малые деформации лишь при выполнении конечного числа условий разрешимости, налагаемых на функцию к, а при к = 0 поверхность допускает конечное число линейно независимых полей смещений га, отличных от нулевых.

В работах В.В. Сидорякиной [20], [21], [22] были выделены корректные и некорректные внешние связи обобщенного скольжения, совместимые с бесконечно малыми АЯО-деформациями поверхности.

Бесконечно малые АЯО-деформации поверхностей при более слабых предположениях, чем в работах [20], [21], [22], ранее не изучались.

И.Н. Векуа [11] исследовал краевые условия вида (4) в предположении, что поле Г ортогонально к краю поверхности Р2. Он называл эту связь втулочной связью. Это означает, что если край поверхности Р1 лежит на другой поверхности X, называемой втулкой, с вектором нормали Г, то при бесконечно малой деформации край поверхности Р2 скользит по втулке. Если к = 0, то втулочная связь называется твердой, то есть при деформации поверхности Р2 втулка £ не деформируется. Если кф 0, то втулочная связь называется мягкой или пробочной. Это означает, что в процессе деформации поверхности Р2 задается некоторая деформация втулки. Поэтому внешнюю связь вида (4) будем называть обобщенной втулочной связью.

В настоящей работе изучаются бесконечно малые АЯО-деформации поверхностей с коэффициентом рекуррентности Я в римановом пространстве Я3 при следующих предположениях:

1) пространство является произвольным римановым пространством Я3 с метрикой <&2 = аарйуайур, аа„ £ С4'и(И), 0 < у < 1;

2) поверхность Р2 с гладким краем задается в /?3 уравнениями у" = уа (хх ,х2), е I), имеет положительную внешнюю кривизну и является (т +1) -связной;

3) поверхность подвергается бесконечно малой АКС-деформации с коэффициентом рекуррентности Л, где Л е (—оо;+оо);

4) внешняя связь вдоль края поверхности является обобщенной втулочной связью вида аа/31агр = к, где к - заданная функция, Г - не обращающееся в ноль векторное поле, заданное вдоль края поверхности.

Установлено, что поверхность в римановом пространстве при указанной внешней связи может быть как жесткой так и нежесткой в отношении бесконечно малых А1№-деформаций в зависимости от значения коэффициента рекуррентности Л. Указан довольно широкий класс обобщенных втулочных связей, для которых доказано существование точно счетного множества {Лк}™=1 значений Л, -1 <Л1 <Л2 <., Лк —»со, при которых поверхность допускает бесконечно малые А1№-деформации, совместимые с заданной внешней связью. При Л Ф Лк (к = 1,2,.) поверхность является жесткой относительно бесконечно малых А1Ю-деформаций с коэффициентом рекуррентности Л.

В работе выделены корректные и некорректные обобщенные втулочные связи, совместимые с бесконечно малыми АЯО-деформациями поверхностей с коэффициентом рекуррентности Л, где Л < -1.

Важное место в теории деформаций занимают непрерывные деформации поверхностей.

Рассмотрим в евклидовом пространстве Еъ поверхность Г2, заданную уравнением г = г(х\х2), (х\х2)еО, и деформацию Е2 поверхности порождаемую параметром г, te(-tQ,tQ), /О>0, и заданную уравнением гДх1, х2) = г (V, х2) + (У, х2), где г, (У, х2) - векторное поле смещения точек поверхности Г2 при её деформации, (У ,х2)е £>, £> - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости Е2. Будем говорить, что поверхность Г1 допускает непрерывную деформацию класса Ст,у(р), 0< у<1, порождаемую параметром t, если:

1) существует семейство полей смещений {¿г,}, t0> О, непрерывно зависящих от параметра /;

2) при ? = 0 поля смещений г, тождественно равны нулю;

3) для всех значений параметра I из промежутка (—/0,/0), >О, векторные поля г, принадлежат классу Ст у(0), 0 < V < 1.

Непрерывные А С -деформации односвязных поверхностей в евклидовом пространстве Е3 при различных внешних связях изучались в работах О.Н. Бабенко [6], [7], [8], в которых установлено:

1. существование непрерывных А О -деформаций класса С2'" (О), О < v < 1, односвязной поверхности, совместимых с условием обобщенного закрепления края поверхности относительно плоскости;

2. существование непрерывных А О-деформаций односвязной поверхности, совместимых с внешней связью обобщенного скольжения.

В главе IV настоящей работы изучаются непрерывные АЯО-деформации (т +1) -связных поверхностей в евклидовом пространстве Е3 при внешних связях. Доказано существование непрерывных класса С1'"^), О < V < 1, А1Ю -деформаций поверхностей с коэффициентом рекуррентности Л, где Л < -1, совместимых с условием обобщенной втулочной связи.

Целью данной работы является исследование и описание поведения (т +1) -связных поверхностей положительной внешней кривизны при бесконечно малых (в римановом пространстве) и непрерывных (в евклидовом пространстве) А1Ю-деформациях, подчиненных вдоль края условию обобщенной втулочной связи.

Исследование рассматриваемых в работе вопросов проводится методами дифференциальной геометрии при систематическом использовании теории интегральных и дифференциальных уравнений с частными производными.

Научная новизна работы определяется следующими результатами, полученными автором:

1. Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых ARG -деформаций со всевозможными коэффициентами рекуррентности Л при заданной обобщенной втулочной связи в римановом пространстве;

2. Найдены условия, при которых поверхности положительной внешней кривизны в римановом пространстве являются жесткими или нежесткими в отношении бесконечно малых ARG-деформаций со всевозможными коэффициентами рекуррентности Л при заданной обобщенной втулочной связи;

3. Изучено поведение поверхностей положительной внешней кривизны с гладким краем в отношении бесконечно малых ARG -деформаций с фиксированным коэффициентом рекуррентности при различных обобщенных втулочных связях в римановом пространстве;

4. Найдены условия, при которых различные обобщенные втулочные связи являются корректными относительно бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей положительной внешней кривизны с заданным коэффициентом рекуррентности Л в римановом пространстве;

5. Выделены однопараметрические с параметром ¡л, P-^R, семейства обобщенных втулочных связей, порождаемые векторными полями /(")} такие что для каждого семейства существует счетное множество {рк}Лк=х значений ¡л таких, что при /л = /лк обобщенная втулочная связь, порождаемая полем /(® }, является некорректной; при ц Ф /л^ поверхность допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию при заданном коэффициенте рекуррентности Л и заданной обобщенной втулочной связи;

6. Изучены непрерывные А1Ю-деформации поверхностей положительной гауссовой кривизны с гладким краем при условии обобщенной втулочной связи в евклидовом пространстве;

7. Найдены условия, при которых поверхности положительной гауссовой кривизны в евклидовом пространстве допускают непрерывные АЯС-деформации при заданной обобщенной втулочной связи.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по геометрии «в целом», а также при построении раздела спецкурса по теории деформаций поверхностей.

Основные результаты данного исследования были опубликованы в работах [27]-[36], докладывались и обсуждались на научных семинарах Таганрогского государственного педагогического института имени А.П. Чехова, Казанского (Приволжского) федерального университета, Южного федерального университета и были представлены на X Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи - Дагомыс, 1-8 октября 2009г.), на XVII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2010» (Москва, 12-15 апреля 2010г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований'2011» (Одесса, 15-28 марта 2011г.), на международной конференции «Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях», посвященной 50-летию образования механико-математического факультета ХНУ им. В.Н. Каразина (Харьков, 17-22 апреля 2011г.), на международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований'2012» (Одесса 20-31 марта 2012 г.).

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 36 названий. Нумерация определений, теорем и формул во введении соответствует нумерации, используемой в главах.

Перейдем к обзору работы по главам.

Первая глава является вспомогательной. В ней изложены основные сведения для уравнений с частными производными и основные понятия римановой геометрии.

Во второй главе изучаются бесконечно малые ARG-деформации поверхностей с произвольным коэффициентом рекуррентности X, подчиненных фиксированной обобщенной втулочной связи.

Рассмотрим трёхмерное риманово пространство R3 с координатами (уа ) и метрикой ds2 = aaßdyadyß, где aaß е С4'" (D ), 0 < v < 1.

Пусть F2 - поверхность, заданная уравнениями ya=ya(x\x2),{x\x2)eD, где уа - функции класса C3'y(D), 0<v<l, D - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости Е2. Пусть, далее, граница dD области D принадлежит классу С2'", 0 < v < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F2 в римановом пространстве R3.

Пусть поверхность F2 подвергнута бесконечно малой деформации

F2: уае(х\х2) = уа(х1,х2) + яа(х1,х2), (.xl,x2)eD, где е - малый параметр, е е(-£0,£0), £"0>0, za - поле бесконечно малой деформации.

Бесконечно малую деформацию {i^2} поверхности F2 называют бесконечно малой ареально-рекуррентной G -деформацией с коэффициентом рекуррентности X (коротко бесконечно малой ARG -деформацией) [2], если выполняются условия:

1) вариация ö(d<j) элемента площади da поверхности F2 удовлетворяет соотношению

S(da) = 2XH{aaßzanß)dcj, (2.4) где Н - средняя кривизна поверхности Р2, Л - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, па - поле единичных векторов нормалей к поверхности Р2;

2) деформация поверхности .Р2 является бесконечно малой (7-деформацией, то есть для любой точки поверхности Р2 её единичный вектор нормали п", параллельно перенесенный в в смысле Леви-Чивита в направлении вектора га в соответствующую точку поверхности Р^, совпадает с вектором нормали п" к р] в этой точке.

Бесконечно малую деформацию поверхности Г2 с полем га = О называют тождественной.

Будем говорить, что поверхность Г2 является Я-жёсткой в отношении бесконечно малых А1Ю-деформаций, если для заданного коэффициента рекуррентности Л поверхность допускает только тождественные бесконечно малые А1Ю-деформации, в противном случае поверхность будем называть Л -нежёсткой.

Зададим на краю дР поверхности Р векторное поле Г, ааВ 1а1р ф 0.

Пусть поверхность Р2 при бесконечно малой АЯС-деформации подчинена вдоль края условию аарга1р=Н, (2.11) где И - заданная функция класса Сх'у{дП), 0 < у < 1.

Определение 2.1. Условие (2.11) назовём условием обобщенной втулочной связи.

Определение 2.2. Обобщенная втулочная связь (2.11) называется твёрдой обобщенной втулочной связью, если к = 0. Указанная обобщенная втулочная связь имеет вид аарха1р= 0. (2.12)

Определение 2.3. Обобщенная втулочная связь называется мягкой, если ИФО.

Далее будем изучать бесконечно малые ARG-деформации поверхности F2 при условии твердой обобщенной втулочной связи (2.12). Представим поле деформации za в виде za = а' у" +спа, а поле Г в виде Г =/" +/", где I" = l'y" - касательная составляющая поля Г, I" = 13па - нормальная составляющая поля Г, Iх, I2, I3 - заданные функции класса C]'y(dD), 0<v<l.

Для формулировки полученных результатов введем в рассмотрение правый сопровождающий репер {ta,?]a,na} края 3F2 поверхности F2 в римановом пространстве R3, где ta - поле единичных векторов касательных к краю 8F2, т]а - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю

3F2, па - поле единичных векторов нормалей к краю 8F2.

Теорема 2.1.

Пусть F2 - (m +1) -связная поверхность положительной внешней кривизны К>к0> 0, kQ= const, в римановом пространстве R3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна H > 0. Пусть, далее, поверхность F2 подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с произвольно заданным коэффициентом рекуррентности Л. Подчиним поверхность F2 при указанной деформации условию твердой обобщенной втулочной связи (2.12), где поле 1а таково, что аарГц^ <0. Тогда существует не более чем счетное множество А, (/'= 1,2,.) значений Л таких, что

1) при A = At поверхность F2 является -нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности At при заданной твердой обобщенной втулочной связи; для каждого значения Я( поверхность F2 допускает конечное число линейно независимых векторных полей смещений za класса Clv(D), 0<v<l, определяющих бесконечно малые ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности Л,( ;

2) при Я Ф Я, поверхность F2 является Я -жесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

Представляет интерес нахождение условий, при которых существует точно счетное множество значений Я таких, что поверхность является Я-нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

Имеет место следующая

Теорема 2.2.

Пусть F2 - (т +1) -связная поверхность положительной внешней кривизны К>к0> 0, к0= const, в римановом пространстве Л3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна Н> 0. Пусть, далее, поверхность F2 подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности Я, где Я>-1. Подчиним поверхность F2 при указанной деформации условию твердой обобщенной втулочной связи (2.12), где поле Г таково, что аарГг]р <0, аар1апр < 0 и касательная составляющая I" сопряжена с направлением края ta поверхности. Тогда существует точно счетное множество {Я,}", значений Я, -1<Я, <Х2 <.<Я; <., Я, —>оо при i—> оо, таких, что

1) при Я = Я, поверхность F2 является Я,-нежесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Я, при заданной твердой обобщенной втулочной связи; для каждого значения Я, поверхность F2 допускает конечное число линейно независимых векторных полей смещений za класса CUv(D), 0<v<l, определяющих бесконечно малые ARG-деформации с коэффициентом рекуррентности Я,;

2) при Л>-1, поверхность F2 является Я-жесткой в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с коэффициентом рекуррентности Л при заданной твердой обобщенной втулочной связи.

В третьей главе изучается поведение поверхностей, подвергнутых фиксированной бесконечно малой ARG-деформации. Поверхность при деформации подчиняется различным обобщенным втулочным связям. Из этих связей выделяются корректные и некорректные обобщенные втулочные связи.

Доказана следующая

Теорема 3.1.

Пусть F2 - (т +1) -связная поверхность положительной внешней кривизны K>k0> 0, kQ = const, в римановом пространстве R3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна Н> 0. Пусть, далее, поверхность F2 подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Л, где Л<-1. Подчиним поверхность F2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (2.11), где поле Г таково, что а^Гт]13 < 0 и аар1апр < 0. Тогда рассматриваемая обобщенная втулочная связь является корректной в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Л. Причем поле смещения za принадлежит классу Cl'v(D), 0<v<l, а его нормальная составляющая спа принадлежит классу C2'V(D), 0<v<\.

Исследуем корректность обобщенной втулочной СВЯЗИ dapZalP =h, освободившись от требования аа/}Гпр <0, налагаемого на поле 1а в теореме

3.1. Для изучения этого вопроса исследуем поведение поверхности при обобщенных втулках, которые выбираются из некоторого семейства обобщенных втулок.

С этой целью рассмотрим заданное вдоль края поверхности F2 семейство векторных полей где /q - заданная функция класса Clv{dD), 0<v<l, ju - числовой параметр.

Каждое поле этого семейства порождает обобщенную втулочную связь a^zX^h. (3.5)

Если параметр ¡л и функция 1\ выбраны так, что < 0, то имеют место результаты теоремы 3.1. Изучим случай, когда ¡Л\> 0.

Поведение поверхности, подчиненной таким обобщенным втулочным связям, дается следующей теоремой.

Теорема 3.2.

Пусть F2 - {т +1) -связная поверхность положительной внешней кривизны К>к0> 0, kQ= const, в римановом пространстве R3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что средняя кривизна Н> 0. Пусть, далее, поверхность F2 подвергнута бесконечно малой ARG-деформации с заданным коэффициентом рекуррентности Л, где Л<-1. Подчиним поверхность F2 при указанной деформации условию обобщенной втулочной связи (3.5), где поле 1"м) удовлетворяет следующим условиям: касательная составляющая /" сопряжена с направлением края ta поверхности и /¿j > 0. Тогда существует точно счетное множество {рк)1=\ значений ¡л, 0 < /i, < 1лг <. < ¡лк <., ¡лк со при к со, таких, что при заданном ¡л a) ju = /лк, рассматриваемая обобщенная втулочная связь является некорректной в отношении бесконечно малых ARG-деформаций с заданным коэффициентом рекуррентности Л, где Л < -1; б) цф juk, ju>0, поверхность F2 допускает единственную бесконечно малую ARG-деформацию с заданным коэффициентом рекуррентности Л, где Л <-1, при рассматриваемой обобщенной втулочной связи.

В четвертой главе диссертации ставится задача доказательства существования непрерывных ARG -деформаций поверхности положительной гауссовой кривизны, совместимых с обобщенной втулочной связью, в евклидовом пространстве.

Изучение поставленной задачи сводится к исследованию разрешимости системы из одного квазилинейного и двух линейных уравнений относительно трех искомых функций в области D с линейным краевым условием на границе dD.

Пусть F2 - поверхность в евклидовом пространстве Ег, заданная уравнением г = r(x',x2), (х',х2) е D, D - некоторая замкнутая область евклидовой плоскости Е2, г е C3v(D), 0 < v < 1. Пусть, далее, граница dD области D принадлежит классу С2'", 0 < v < 1. Эти условия будем называть условиями регулярности поверхности F2 в евклидовом пространстве Ег.

Рассмотрим деформацию F2 поверхности F2, порождаемую параметром t, t е (~t0,tQ), 10>0, и заданную уравнением rt(x ,Х ) = ?(X ,х ) + zt(x ,х ), где zt(x ,х ) - векторное поле смещения точек поверхности F2 при её деформации, (х1,*2) е D .

Деформацию F2 поверхности F2 называют ареально-рекуррентной G -деформацией с коэффициентом рекуррентности Л (коротко ARG-деформацией) [2], если выполняются условия:

1) приращение А (der) элемента площади da поверхности F2 удовлетворяет соотношению

А (der) = 2ЛH(zl,n)dcr, где Н- средняя кривизна поверхности F2, А - заданное число, называемое коэффициентом рекуррентности, п - поле единичных векторов нормалей к поверхности F2;

2) деформация поверхности F2 является G -деформацией, т.е. приращение единичного вектора нормали п в каждой точке поверхности F2 равно нулю: Дй = 0.

Введем понятие обобщенной втулочной связи в евклидовом пространстве Е3. Зададим на краю 8F2 поверхности F2 векторное поле I, 1*0, класса C^'v(dD), 0<v<l. Пусть поверхность F2 при непрерывной ARG-деформации подчинена вдоль края условию ztJ) = ht, (4.11) где ht - заданная функция класса Cl'v(dD), 0 < v < 1, непрерывно зависящая от параметра t, t е (-¿0, tQ), t0> 0, h0= 0.

Определение 4.1. Условие (4.11) назовём условием обобщенной втулочной связи.

Для формулировки полученного результата введем в рассмотрение правый сопровождающий репер \t,f],n} края 8F2 поверхности F2 в евклидовом пространстве Е3, где t - поле единичных векторов касательных к краю 8F2, fj - поле единичных векторов тангенциальных нормалей к краю dF2, п - поле единичных векторов нормалей к краю 3F2. Имеет место следующая Теорема 4.1.

Пусть F2 - (т +1) -связная поверхность положительной гауссовой кривизны К >к0> 0, к0 = const, в евклидовом пространстве Е3, удовлетворяющая условиям регулярности и ориентированная так, что её средняя кривизна Н > 0. Пусть, далее, поверхность F2 подвергнута непрерывной ARG-деформации с заданным коэффициентом рекуррентности

Я, где Л<-1. Подчиним поверхность F2 при указанной деформации

22 условию обобщенной втулочной связи (4.11), где поле I таково, что (/ ,й) < О и (1,г})<0. Тогда существует такое число £>0, зависящее от поверхности Р2, что при ¡^||с1,^(а£)) < 5 поверхность ¥г допускает непрерывную А1Юдеформацию класса С1'У(0), 0< V< 1, с коэффициентом рекуррентности Л, где Л < -1, совместимую с заданной обобщенной втулочной связью.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.Т. Фоменко за постановку задачи, внимательное руководство и помощь при выполнении работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коломыцева, Елена Алексеевна, 2012 год

1. Chen В.Y., Yano К. On the theory of normal variations/ J/ Differential Geometry. 03. Vol. 13 NO. 1978. 1-10.

2. Fomenko V.T. ARG -deformations of a hypersurface with a boundary in a Riemannian space. Tensor, N.S.vol.54 (1993) Chigasaki, Japan.

3. Бабенко О.Н. Непрерывные AG -деформации выпуклых поверхностей с краевыми условиями // Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов матем. кафедр ТГПИ. Таганрог, 1999. - С.20-39.

4. Бабенко О.Н. Непрерывные A G -деформации выпуклых поверхностей с условием обобщенного закрепления края относительно плоскости // Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов ТГПИ. -Таганрог, 2000. С.216-226.

5. Бабенко О.Н. Непрерывные AG -преобразования выпуклых поверхностей с краевым условием // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукамЛомоносов». М.; изд. Московского университета. - 2000. - вып. 4. - с. 318-319.

6. Бескоровайная Л.Л. О бесконечно малых ареальных деформациях овалоидов // Материалы республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям. Одесса, 1968.-С. 159-161.

7. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. 2-е изд., стереот. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 160с. - ISBN 5-9221-0275-3.

8. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции/Под ред. O.A. Олейник и Б.В. Шабата. 2-е изд., перераб. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1988. - 512с. - ISBN 5-02-013747-2.

9. Дифференциальные уравнения в частных производных, В.П. Михайлов, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976.

10. Колобов П.Г. О бесконечно малых деформациях с сохранением площади // Ученые записки Кабардино-Балкарского университета. 1966. -Вып. 30. - С. 65-68.

11. Колобов П.Г. Эквиаффинная бесконечно малая деформация поверхности // Учёные записки Кабардино-Балкарского университета. 1965. - Вып. 24. - С. 54 - 56.

12. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Главная редакция физико-математической литературы, изд-во «Наука», 1973.

13. Ляхова Н.Е., Фоменко В.Т. О деформациях с сохранением грассманова образа / Деп. в ВИНИТИ, 29.12.91, 4870-В91.

14. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: издательство иностранной литературы, 1957. -256с.

15. Михлин С.Г. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.; Л.: ОГИЗ,государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. -304 с.

16. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 3-е изд., стереот. - М.: издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 664 с.

17. Сидорякина В.В. Бесконечно малые ARG-деформации поверхностей положительной кривизны при втулочных связях // Тезисы докладов 10 Международной конференции «Математика. Экономика. Образование». Ростов-на-Дону, 2002. - С. 141.

18. Сидорякина В.В. О корректности задачи бесконечно малых ARG-деформаций поверхностей с краем // Сб. трудов участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2002. - С. 73-75.

19. Фоменко В.Т. ARG-деформации гиперповерхностей в римановом пространстве // Деформации поверхностей с заданными рекуррентными соотношениями: Сб. науч. тр. Таганрог, 1995. - С. 20-29.

20. Фоменко В.Т., Бикчантаев И.А. Применение обобщенных аналитических функций на римановых поверхностях к исследованию G-деформаций двумерных поверхностей в Е4 //Математический сборник т. 136 (178). 1988. - № 4 (8). - С. 561 - 573.

21. Фоменко В.Т. Распределение нежестких внешних связей обобщенного скольжения в теории бесконечно малых деформаций поверхности //Труды геометрического семинара. -Казань, 2003. Вып. 24. -С. 169-178.

22. Эйзенхарт JI.П. Риманова геометрия. М.: государственное издательство иностранной литературы, 1948. - 316 с.

23. Коломыцева Е.А. ARG -деформации поверхностей в римановом пространстве // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009.- №6. с. 1077-1078. - ISSN 0869-8325.

24. Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2010» / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н, Костылев, А.И, Андреев, A.B. Андриянов. Электронный ресурс. М.: МАКС Пресс, 2010. -1 электрон, опт. диск (CD-ROM). - ISBN 978-5-317-03197-8/