Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами специального вида тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Снетков, Олег Александрович

• Снетков, Олег Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Снетков, Олег Александрович

Введение

Глава 1. Финитная аппроксимация полугрупп

§1. Финитная аппроксимация полугрупп идеальными гомоморфизмами

§ 2. Некоторые свойства независимого произведения полугрупп .,.

§ 3. Аппроксимация независимого произведения полугрупп идеальными гомоморфизмами

§ 4. Финитная аппроксимируемость независимого произведения полугрупп

ГЛАВА 2. Аппроксимация полугрупп характерами

§ 1, Аппроксимация полугрупп характерами относительно единично идеальных предикатов.

§ 2. Аппроксимация компактных топологических полугрупп непрерывными характерами относительно единично идеальных предикатов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимация полугрупп гомоморфизмами специального вида»

Актуальность темы

Аппроксимация алгебраических систем относительно тех или иных предикатов к настоящему времени представляет собой одно из актуальных направлений в исследовании алгебраических систем.

Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, - является одним из основных методов математики. Этот метод позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диафантовы приближения, в геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики, в сущности, целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения и интерполирования функции, числовые методы анализа.

Широкое применение аппроксимационных методов в алгебре связано с именем академика А. И. Мальцева. В его работах сформулировано общее понятие аппроксимируемости алгебраических систем относительно предикатов и получен ряд основополагающих результатов. С начала СО-х годов XX века по настоящее время появилось большое количество работ, посвященных аппроксимации алгебраических систем различных классов, прежде всего групп колец и алгебр. Интерес к этим вопросам нашел отражение в работах как российских (М. И. Каргаполов [7], А. Ю. Ольшанский [26], В. П. Платонов [27], В. Н. Ремесленников [30], А. Кемер, С. И. Кублановский, Зайцев, Канель-Белов и других), так и зарубежных (G.Baumslag [37], N.Blacburn [38], W.Magnus [47], R.McKenzie [48], Ph.Holl [43] и других) алгебраистов.

Аппроксимация полугрупп относительно предикатов также привлекла внимание многочлислснных исследователей и превратилась сейчас в обширную развивающуюся область теории полугрупп. Формированию этого направления способствовало рассмотрение гомоморфизмов полугрупп в полугруппы с заданными свойствами, в частности, наложение на полугруппы тех или иных условий конечности позволяет изучать бесконечные полугруппы сведением их к конечным полугруппам. Аппроксимации полугрупп посвящены работы J.Gerhard, Э. А. Голубова, С. И. Кублановского,

G. Lallement, М. М. Лесохина, С. Г. Мамиконяна, М. В. Сапира и многих друр гих исследователей.

Важность введенного академиком А. И. Мальцевым понятия в значительной степени определяется связью с алгоритмическими проблемами. Как отметил А. И. Мальцев, финитная аппроксимируемость конечно определенной алгебраической системы в многообразии, заданном конечным набором тождеств относительно некоторого предиката, влечет алгоритмическую разрешимость проблемы этого предиката в рассматриваемой системе [23]. Например, аппроксимационными методами С. И. Кублановским был положительно решен вопрос алгоритмической разрешимости проблемы делимости в целой серии многообразий полугрупп [9]. М. В.Сапир установил эквивалентность для ряда многообразий полугрупп проблемы равенства слов и финитной аппроксимируемости конечно определенных полугрупп [321.

Как уже отмечалось выше, целесообразно рассматривать гомоморфизмы полугрупп в те полугруппы, свойства которых хорошо известны, например, периодическая часть мультипликативной полугруппы коилексных чисел. Вопросам аппроксимации полугрупп комплексными характерами посвящены работы Ст.Шварца, E.Hewitt и H.Zukerman, М.М.Лесохина, Э. П. Арояна и других.

Ст. Шварц [34] нашел необходимые и достаточные условия аппроксимации конечных полугрупп комплексными характерами, Е. Hewitt и Н. Zukerman [44] нашли необходимые и достаточные условия аппроксимации коммутативных полугрупп комплексными характерами, М. М.Лесохин исследовал отделимость подполугрупп комплексными [13], а Э.П.Ароян -вещественными характерами [1].

Выбор того или иного предиката обусловлен ролью, которую он играет в теории определенных классов алгебраических систем. Так например, в группах важнейшими предикатами являются: предикат равенства, регулярной сопряженности, предикат вхождения элемента в подгруппу, в конечно порожденную подгруппу. В кольцах и алгебрах важную роль играют предикаты равенства, нильпотентности, вхождения элемента в подкольцо (подалгебру). В полугруппах исследовались предикаты делимости, отношения Грина, предикаты равенства и вхождения элемента в различного вида подсистемы (идеал, подполугруппу, подгруппу и т.н.).

Указанные предикаты явились объектом многочлисленных исследований и с точки зрения алгоритмической разрешимости проблем этих предикатов, и с точки зрения аппроксимации. В полугруппах особо значимым является предикат делимости. На языке делимости определяются отношения Грина, регулярность и ее модификации распознаваемости и другие важные свойства полугрупп. Следует отметить, что последнее свойство распознаваемости полугрупп систематически изучается целым рядом алгебраистов, таких, как G. Lallement [4G], S. Rankin [51], С. Reis [51], Т. Tamura [52], G. Thierrin [51] и других в связи с потребностями теории кодирования.

В последние десятилетия широко ведется изучение свойств алгебраических систем, наделенных дополнительными структурами, в частности топологической. В теории полугрупп такое систематическое изучение началось с выходом монографии А. В. Paalman-de-Miranda "Topological semigroups" в 19G4 году [49]. Вопросами аппроксимации топологических полугрупп занимались М. М.Лесохин [16], Л. Б. Шнеперман [3G], Н.С. Расулов [29] и другие. Интерес к изучению топологических полугрупп объясняется тем, что наличие топологической структуры обеспечивает присутствие некоторых свойств, отсутствующих в общем абстрактном случае. Так например, всякая компактная топологическая полугруппа имеет идемпотент.

Цель работы. Целью данной диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий финитной аппроксимации полугруппы идеальными гомоморфизмами относительно предикатов равенства, делимости, вхождения элемента в подполугруппу, идеал, подгруппу, относительно предикатов Грина; исследование условий аппроксимации независи$ мого произведения полугрупп, нахождение критериев аппроксимации полугруппы комплексными характерами и критериев аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными комплексными характерами относительно единично идеальных предикатов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использованы методы аппроксимации полугрупп, метод разложения полугруппы в коммутативную связку неразложимых компонент (теорема Tamura-Petrich), метод продолжения гомоморфизма максимальной подгруппы до гомоморфизма всей полугруппы в группу с внешне присоединенным нулем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований по теории аппроксимации полугрупп, они могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I международной конференции "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина (июнь 1995 года, Санкт-Петербург), на III международной конференции по теории чисел (сентябрь 1996 года, Тула), на международной алгебраической конференции памяти

Д. К.Фаддеева (июнь 1997 года, Санкт-Петербург), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (апрель 1997 года, Санкт-Петербург), на городском алгебраическом семинаре по теории полугрупп (апрель, октябрь 1998 года, октябрь 1999 года, Санкт-Петербург), на II международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ля-пина (июль 1999 года, Санкт-Петербург), на алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева в ПОМИ РАН (апрель 2008 года).

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 71 странице машинописного текста, состоит из введения и двух глав, содержащих шесть параграфов. Библиография включает 60 работ российских и зарубежных авторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Снетков, Олег Александрович, 2008 год

1. Ароян Э. П. Об отделимости подполугрупп вещественными характерами // Математика: межвуз. сб. науч. трудов / Ереванский гос. ун-т, 1985, вып. 3. С. 157-162.

2. Бурмистрович И. Е. Коммутативные связки полугрупп // Сиб. мат. ж., т. 6, N£2, 1965. С. 284-299.

3. Голубов Э. А. Полугруппы с некоторыми финитно отделимыми подполугруппами // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр.,1, 1969. С. 35-51.

4. Голубов Э. А. Финитная отделимость в полугруппах // Сиб. мат. ж., т. И, №6, 1970. С. 1247-1263.

5. Голубов Э. А. Свободное произведение и сплетение финитно аппроксимируемых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 1, 1971. С.3-15.

6. Голубов Э.А. О прямом произведении финитно отделимых полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 8, тетр. 3, 1972. С. 28-34.

7. Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И. Бесконечные группы // Итоги науки. Алгебра. Топология. М., 1968. С. 57-90.

8. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: пер. с англ.: в 2-х т. Мин, 1972 - 712 с.

9. Кублановский С. И. О финитной аппроксимируемости предмногооб-разии полугрупп относительно предикатов // Современная алгебра. Группоиды и их гомоморфизмы. Л., 1980. С. 58-88.

10. Кублановский С. И. Финитная аппроксимируемость и алгоритмические вопросы // Алгебраические действия и упорядоченности. JL, 1983. С.59-78.

11. Лесохин М.М., Голубов Э.А. О финитной аппроксимируемости коммутативных полугрупп // Мат. зап. Уральского ун-та, т5, тетр. 3, Свердловск, 1966. С. 82-90.

12. Лесохин М. М. Об аппроксимиции полугрупп // Уч. зап. ЛГПИим. А. И. Герцена, т. 328, 1967. С. 147-171.

13. Лесохин М. М. Об отделимости подполугрупп комплексными характерами // Мат. сб., т. 74 (116), №2, 1967. С. 314-320.

14. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 464, 1971. С. 56-108. *

15. Лесохин М. М. О некоторых алгоритмических вопросах теории полугрупп // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 541, 1972. С. 118-128.

16. Лесохин М. М. Об аппроксимации полугрупп относительно предикатов // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 191-219.

17. Ляпин Е. С. Полугруппы. Физматгиз. М., 1960.

18. Ляпин Е. С. Независимость подполугрупп полугруппы // ДАН СССР, т. 185, №6, 1969. С. 1229-1231.

19. Ляпин Е. С. Пересечение независимых подполугрупп полугруппы // Известия ВУЗов. Математика. N-4, 1970. С. 67-73.

20. Ляпин Е. С. Единично идеальные подполугруппы // Мат. зап. Уральского ун-та, т. 7, тетр. 3, 1970. С. 119-128.

21. Ляпин Е. С. Единично идеальные элементы полугруппы // Теория полугрупп и ее приложения. Сб. статей, вып. 2, Саратов, 1971. С. 41-50.

22. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

23. Мальцев А. И. О гомоморфизмах на конечные группы // Уч. зап. Ивановского пед. ин-та, т. 18, 1958. С. 49-60.

24. Мамиконян С. Г. О гомоморфизмах полугрупп в абелевы группы с внешне присоединенным нулем // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 233-239.

25. Мамиконян С. Г. Полугруппы с финитно отделимыми подполугруппами // Уч. зап. ЛГПИ им. А. И. Герцена, т. 404, 1971. С. 240-245.

26. Ольшанский А. Ю. Многообразия финитно аппроксимируемых групп // Изв. АН СССР. Математика, т. 33, №4, 1969. С. 915.

27. Платонов В, П. Подгруппа Франттини линейных групп и финитнаяаппроксимируемость // Докл. АН СССР, т. 171, NM, 1968. С. 798-801.

28. Поптрягин Л. С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973 520с.

29. Расулов Н. С. Об аппроксимации компактной топологической полугруппы непрерывными бихарактерами // Сб. статей. Полугруппы и частичные группоиды, 1987. С. 87-105.

30. Ремесленников В.Н. Финитная аппроксимируемость метабелевых групп // Алгебра и логика, т. 7, NM, 1968. С. 106-113.

31. Рябухин Ю. Н. Алгебры без нильпотентных элементов // Докл. АН СССР, т. 187, №1, 1969. С. 43-46.

32. Саиир М. В. Многообразие с конечным числом подквазимногооб-разий // Сиб. матем. ж., №6 (130), 1981. С. 168-187.

33. Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп // Укр. матем. ж., т. 15, №4, 1963. С. 453-457.

34. Шварц Ст. Характеры коммутативных полугрупп как функции классов // Чехосл. матем. ж., т. 4 (79), 1954. С. 219-247.

35. Шеврин Jl. Н., Овсянников А. Я. Полугруппы и их подполугруппо-вые решетки. Изд-во Уральского ун-та, Сврдловск, 1991, часть 1 246 с.

36. Шнеперман Л. Б. К теории характеров локально бикомпактных полугрупп // Мат. сб., т. 77, №4, 1968. С. 508-532.

37. Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups. J. London. Math. Soc. 1963, 38, p. 117-118.

38. Blacburn N. Conjugacy in nilpotent groups Proc. Amer. Math. Soc., 1965, 16, p. 143-148.

39. Fuchs L. Abelian groups. Budapest, 198.

40. Gerhard J. A. Some subdirectly irreducible idempotent semigroups. -Pacific. J. Math., 1971, 39, p. 669-676.

41. Groves J. R. J. Om some finiteness conditions for varieties of metanilpotent groups. Arch. Math. 1973, 24, N^3, p. 252-268.

42. Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble froups. Proc.1.ndon Math. Soc. 1957, 3 (7), №25, p. 29-62.

43. Holl Ph. On the finiteness of certain soluble groups. Pros. London Math. Soc. 9, 1959, p. 595-622.

44. Hewitt E., Zukerman H. The 1-algebra of commutative semigroups. Trans. Amer. Math. Soc., v. 83, N-l, p. 70-97.

45. Hirch K.F. On infinite soluble groups. J. London Math. Soc. 1952, 27, p. 81-85.

46. Lallement G. On nilpotency and residual finireness in semigroups. -Pacific J. Math., 1972. V.42, N^3.

47. Magnus W. Residually finite groups. bull. Amer. Math. Soc. 1969, 75, p.305-316.

48. McKenzie R., Freese R. Residually small varieties with modular congruence lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 1981, 264, N^2, p. 419-430.

49. Paalman-de-Miranda A. B. Topological semigroups. Math! Centr. Amsterdam, 1964.

50. Petrich M. Introduction to semigroups. Columbus, Ohio, 1973.

51. Rankin S.A.,Reis С. M., Thierrin G. a-recognizable semigroups. -Proc. Amer. Math. Soc. 1978, 70, N£2, p. 93-99.

52. Tamura T. J. Binary systems all subsets of which are cognizable. J. Algebra, 1982, 76, №4, p. 42-83.

53. Снетков О. A. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Тезисы докл. Международная конференция по алгебре в честь Е. С. Ляпина- СПб., 1995.-С.67.

54. Лесохин М. М., Снетков О. А. Аппроксимация полугрупп вместе с их делителями // Тезисы докл. III Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула, 1996. - С. 93.

55. Лесохин М. М., Снетков О. А. SHI-финитная аппроксимация полугрупп // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. -Ростов-на-Дону, 1996. С. 76-85.

56. Снетков О. А. SHI-анпроксимация полугрупп комплексными характерами // Тезисы докл. Международная алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева. СПб., 1997. - С. 283-284.

57. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп вещественными характерами // Современная алгебра. Межвузовский сборник научных трудов. Ростов-на-Дону, 1997. С. 75-78.

58. Снетков О. А. SHI-аппроксимация полугрупп относительно предикатов Грина // РГПУ им. А.И.Герцена. СПб., 1998. 8с. - Деп. в ВИНИТИ. 06.03.98, N£632 - В 98.

59. Снетков О. А. Отделимость единично идеальных элементов в полугруппах // Объединенный научный журнал. Москва, октябрь 2007.-С.66.

60. Снетков О. А. Аппроксимация независимого произведения полугрупп // Вестник Ижевского государственного технического университета, №-1 (37), Ижевск, январь-март 2008. С. 95-96.