Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовых экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Прошкина, Анастасия Владимировна

• Прошкина, Анастасия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Прошкина, Анастасия Владимировна

Введение

Глава 1. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье некоторых специальных классов функций

1. Вспомогательные утверждения

2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга

3. Теоремы типа Пэли-Винера

Глава 2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье быстро убывающих функций

1. Вспомогательные утверждения

2. Асимптотика преобразований Лапласа быстро убывающих функций

3. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера

Глава 3. Условие полноты весовых экспонент на прямой

1. Вспомогательные утверждения

2. Условие полноты весовых экспонент на прямой

3. Точность константы в теореме 3.1 79 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовых экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера»

В диссертации исследуется вопрос о полноте систем экспонент с весом в пространстве L2(R), а также доказывается ряд связанных с этим теорем типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера.

Отправной точкой послужила следующая теорема Винера.

Теорема (Н. Винер, 1931 г.)[1]. Пусть / G Ll(R) (£2(R)). Для того, чтобы линейные комбинации сдвигов f(t - A), AgR были плотны в XX(R) (L2(R)), необходимо и достаточно, чтобы f ф О (/ ф 0 почти всюду).

Так как (f(t — Л)) = e~lXtf(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства L2{R) на себя, то плотность в L2(R) линейных комбинаций сдвигов

Л(/) = (/(*-A), AgAcR) эквивалентна полноте в L2(R) семейства экспонент e~iXt g(t), AgAcR, (0.1) где g(t) = f(t) G L\R).

Благодаря этому теорема Винера переформулируется следующим образом. Пусть g{t) G L2(R); для того, чтобы семейство е~ш g(t), AGR было полно в L2(R), необходимо и достаточно, чтобы <7^0 почти всюду.

Зафиксируем g G L2(R), g ф 0 почти всюду. Возникают вопросы: Существует ли множество Л С R, Л ф R такое, что семейство экспонент (0.1) полно в f,2(R)?

Если существует, то как более экономно выбрать множество А? От чего зависит выбор такого множества?

Частичный ответ на поставленные вопросы дает следующий результат A.M. Седлецкого [13, 16]. Если \g{t)\ > exp(-w(|£|)), t G R, где u(t) > 0, uj(t) возрастает при t > 0 и u(t)/(t2 + 1) G L1(l,+oo), то, пока A неплотно в R, семейство экспонент (0.1) неполно в L2(R).

Таким образом, допуская некоторую вольность, можно сказать, что полные семейства (0.1) с А ф R следует искать среди семейств с экспоненциальным и более быстрым убыванием веса g(t). Здесь, как мы увидим вскоре, выбор Л (Л ф R) уже возможен (например, в качестве Л можно взять любое множество с конечной предельной точкой). Кроме того, при экспоненциальном убывании g(t) уже возможен выбор последовательности А с единственной предельной точкой на бесконечности, такой, что соответствующая система экспонент с весом e-i\nt An € Л, An —>> оо (n —>> оо) (0.2) полна в L2(R).

К этой же тематике можно прийти и со стороны негармонического анализа, т.е. от теории аппроксимационных свойств систем экспонент e~iXnt, Ап <= Л (0.3) в функциональных пространствах на конечном интервале. Изучением таких свойств систем (0.3) (полнотой, минимальностью, базисностью в Lp(—a, а р < оо, поведением биортогональных рядов Фурье по системе (0.3)) занимались Р. Пэли и Н. Винер, затем Н. Левинсон, JI. Шварц, С. Верблюнский, Б.Я. Левин, В.Д. Головин, М.И. Кадец, А.Ф. Леонтьев, В.Э. Кацнельсон, А.П. Хромов, В.А. Молоденков, С.А. Авдонин, Н.К. Никольский, B.C. Павлов, С.В. Хрущёв, A.M. Седлецкий, A.M. Минкин и др.

Очевидно, что ни одна из функций (0.3) не принадлежит пространству U'{R), р > 1. Чтобы добиться такой принадлежности, все функции системы (0.3) домножают на подходящий вес g(t) . В итоге мы снова приходим к системе (0.2).

Как уже отмечалось, полнота в L2(R) системы экспонент (0.2) с весом 9if) = f(t) равносильна плотности линейных комбинаций сдвигов

A(/) = (/(*-An), А„ G А) (0.4) в L2(R). По вопросам полноты систем (0.2) и плотности семейств (0.4) в различных функциональных пространствах на прямой известны работы Р.И. Эдвардса, Й. Лёнрота, Т. Ганелиуса, Б. Факсена, Р. Залика, A.M. Се-длецкого, Т.А. Сальниковой, О.В. Шаповаловского, A.M. Олевского и др. Приведем некоторые результаты.

В 1951 году Р. Эдварде [22] рассматривал свойства аффинных преобразований {f(px + q), р £ V, q € Q}, где V,Q — подмножества R, функций / , представимых в виде преобразований Фурье (Фурье-Стилтьеса). Им доказан ряд достаточных условий плотности семейств {f(px + (?)} в пространствах Co(R) (C(R)).

В работе [25] И. Лёнрот рассматривал семейства сдвигов А(/) с множеством А С R, имеющим конечную предельную точку. Он предъявил достаточное условие плотности А (/) в пространстве L2{R); при этом ограничения, накладываемые им на функцию / Е L2 П С00, касались роста преобразований Фурье / и всех его производных.

Т. Ганелиус [24] получил достаточное условие плотности А(/) в L1(R); порождающая функция семейства / экспоненциально убывает со всеми производными, А - множество с конечной предельной точкой.

Пусть везде далее а > О, а > 1, 1/а + 1//3 = 1.

Р. Залик [29, 30] рассматривал случай быстрого убывания преобразования Фурье, т.е. f(t) = 0(ехр(-а|*П), t е R. (0.5)

В частности, он доказал следующее. Если / ф 0 почти всюду и f(t) = 0(exp(—a if2)), то условия т(А) > 2 достаточно для плотности Л(/) в L2(R), а если ехр(—а t2)/f(t) £ £2(R), то условие £ l/|A„j2 = оо необходимо для плотности Л(/) в L2{ R); здесь г (Л) - показатель сходимости последовательности Л С R.

Б. Факсен изучал вопрос о плотности семейств Л(/) в пространствах LX(R), L2{R). В его работе 1981 года [23] рассмотрен случай экспоненциального убывания /. В классе функций /, таких, что

Ci(|t| + 1)~'1 < \f{t)\-exp{a\t\) < C2(|t| + l)m, 3n > 0, m > 0, a > 0, (0.6) получено необходимое и достаточное условие плотности Л(/) в пространстве L2. А именно пусть / £ £2(R) и для некоторых п > 0, га > 0, а > 0 выполнено условие (0.6). Тогда для плотности семейства Л(/) в L2(R) необходимо и достаточно, чтобы А

В этой же статье [23] рассмотрен случай быстрого убывания /. Доказано следующее утверждение. Пусть / £ L2(R), для / выполнено (0.5) и / ф 0 почти всюду; чусть положительная последовательность Л = (Ап) обладает свойством отделимости — 5 (3 5 > 0). Еслиlim sup( £ ^^ sin" Ш 1о§г) = г-у+00 о<А„<г \АпУ Я V^P/ то A(f) плотно в L2(R). Здесь и далее if(/3, а) = ^

A.M. Седлецкий [12] рассматривал системы экспонент (0.2) с весом g{t) = ехр(—т.е. e~iXnt ехр(—a|i|a), An е А. (0.7)

Им доказано, что если Л - положительная последовательность, имеющая плотность Д^(Л) при порядке /3, то условие является необходимым для полноты системы (0.7) в Z<;,(R), р > 1, а условие

Ap(A)>±K(p,a)8m0(j^ (0.8) является достаточным.

Позже О.В. Шаповаловский [20] рассмотрел вес

0(<) = ехр(-а|*Г<М), где а(£) - уточненный порядок, a(t) —> а > 1 (t —У +оо), 1/а+1//3 = 1. В своей диссертации он распространил результат Седлецкого на случай уточненного порядка. Естественно, при этом плотность последовательности А также рассматривается при уточненном порядке /3(t) —У /3 (t —¥ +оо).

Ряд интересных результатов о целых или почти целых сдвигах функций получен A.M. Олевским (в том числе с соавторами). Так, в статье [21] доказано, что каждое из пространств LP(R), 2 < р < +оо, содержит функцию /, чьи целые сдвиги f(t — п), п 6 Z полны.

На настоящий момент системы экспонент (0.7) являются наиболее изученными. Исследовалась не только полнота (0.7) в L?,(R), р > 1, но и минимальность, равномерная минимальность и базисность таких систем. Большая часть работы проведена A.M. Седлецким, известны результаты Р. Залика и Т.Абуабары Саад, Т.А. Сальниковой. Мы не останавливаемся на этом подробно, так как область наших исследований — полнота систем экспонент с весом.

Особое место в негармоническом анализе занимают функции

F(z) = } e~izt f(t)dt, / G Щ-а, a). (0.9) a

Действительно, вопрос о неполноте системы (0.3) в Lq(—a, а) эквивалентен задаче о распределении нулей функции (0.9). Это есть следствие теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на пространстве LP(R). При изучении функций (0.9) важную роль играет теорема Пэли-Винера [2], утверждающая, что класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, которые принадлелсат L2(R) на вещественной прямой, совпадает с классом целых функций F(z), пред-ставимых в виде (0.9) с р = 2.

Совершенно аналогично вопрос о неполноте в L2(R) систем экспонент с весом (0.2) эквивалентен задаче о распределении нулей функций вида

F(z) = J e~iztg(i) f(t)dt, (0.10) r функция / принадлежит пространству L2(R).

Классы целых функций вида (0.10) с g(t) = exp(—a\t\a), /€ L2(R) были описаны в совместной работе Р. Залика и Т.А. Саад [31]. Ими доказаны следующие аналоги теоремы Хаусдорфа-Юнга.

Пусть р £ [1,2], а > 0; пусть /(£) ехр (<ф|а) 6 Lp{R). Тогда f(z) есть целая функция и \y\m-le-pKMlyf (\\f(x + iy)\\q)Pdy < ОО, r где ||/||f/ - норма в Lq(R) функции f(x + iy) переменной х, у фиксировано. Пусть р > 2, а > 0; пусть f(z) - целая функция такая, что + iy)||g)"dy < ОО. r

Тогда exp (a|t|a) f(t) е Lp{R).

При р = 2 эти утверждения дают теорему типа Пэли-Винера; класс целых функций вида

F(z) = J е~ы~а\1\а f(t)dt, (0.11) r где / Е L2(R), совпадает с классом целых функций ^(z) таких, что l^l^-ie-2^'^ ||F(a; + i|/)||2^ < оо. r

Седлецкий A.M. [28] рассматривал функции (0.11) в случае, когда / принадлежит пространству LP{R) с весом \х\г. Кроме того, он изучал классы целых функций, представимых в виде преобразования Фурье вида (0.11), где интегрирование ведется по полупрямой (Ъ, +оо), b 6 R, / £ Lp(b, +оо) (см. [14]).

Цель настоящей работы — исследование полноты в L2(R) систем экспонент (0.2) в классе специальных быстро убывающих весов g(t), а также доказательство соответствующих аналогов теорем Хаусдорфа-Юнга и

Пэли-Винера для функций

F(z) = J e~iztg(t) f(t)dt, / g ЩК), p > 1, r с упомянутыми весами.

Перейдем к изложению результатов.

В первой главе доказаны 8 теорем типа Хаусдорфа-Юнга для некоторых специальных классов преобразований Фурье; сформулируем две из них.

Везде далее т, к > 0, р > 1, 1/р+ 1 /я = 1- Фиксируем га, к, р. Через Ci(m, к) обозначим пространство целых функций F(z) с нормой f(z)\\c! = (/Re-^ibgiM \\F{x + iy)\\*dy)llP.

Пусть

S(z) = JReexp e2!'!/'»-1 - Ц-) f(t)dt. (0.12)

Теорема 1.3. Пусть m,k > 0, p G [1, 2]. Если / G 1710 Функция

0.12)принадлежит пространству £i(m, к), причем lin*)lk < СII ли где С не зависит от /.

Теорема 1.4. Пусть т, к > 0, р > 2, пусть функция F(z) принадлежит пространству Ci(m,k), тогда F(z) имеет представление (0.12) с / g причем f\\P<C\\F{z)\\^ где С не зависит от F.

В частности, при р = 2 из теорем 1.3 и 1.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли-Винера, который существенно используется при доказательстве одного из результатов главы 3.

Теорема 1.10. Пусть т,к > 0. Класс функций, представимых в виде F(z) = /яе"« ехр е»™"1 - |JJ /(*)*. / 6 ^(R), совпадает с классом С\(т,к). Нормы Ц/Ц2 и \\F(z)\\di эквивалентны. ^ I

Во второй главе доказаны теоремы типа Хаусдорфа-Юнга для целых функций вида

F(z) = J e~itz + If fi(\t\) e~ f(t) dt, (0.13) r где / Е МО и КО ~~ медленно меняющиеся функции.

Основную трудность при их доказательстве составило получение асимптотики соответствующих преобразований Лапласа (если в первой главе асимптотика преобразований Лапласа отыскивалась сравнительно просто, то в данном случае аналогичная задача оказалась значительно сложней). Этому и посвящен второй параграф главы 2, теоремы 2.1, 2.2.

Введем обозначения. Пусть а > 1, p>l(p=l=>q = оо), г] € R, медленно меняющиеся функции l(t), fi{t) G С3[А, +оо) для некоторого А > 0. Медленно меняющаяся функция М(х) G С2[£,+оо), ЗВ > 0 такова, что произведение т(х) = М(ж), х > xQ является обратной функцией к функции ta-4{t)[a + a{t)}, где tl\t) pv + а/2-1 1 (I tl'(t) f 1

177\---1-TTTTTV - 7Г- "TTTT +

ОД p tal{t) \2p l(t) /j,(t) J tal(t) существование M(x) доказано в пункте 3 второй главы (лемма 2.15)).

Пусть введенные функции l(t), МО» М(х) ограничены на каждом конечном отрезке и удовлетворяют условиям: tl'lt) л tfi'it) n t2l"(t) n *V(0 п , ж"0' "So"ко ' -*0 (^+ос);

0.14)

НО n /ПО ^ ч М"(0 ^ ^ п ,

0.15)

Фиксируем а, г/, р, /(i), МО- Введем пространство Af/((a, 7?) целых функций F(z), z = х + iy с нормой: R х ехр(—р М(Ы) [1 - а + ^т(ы))]) X х \\F(x + iy)\\l dy)1'", где при фиксированном у ||F(x + iy)\\q есть норма функции F(x + iy) в ЩК).

Верны следующие утверждения.

Теорема 2.3. Пусть р Е [1,2], rj < пусть медленно меняющиеся функции l(t), fi(t) и М(х) ограничены на каждом конечном отрезке, и l(t), n(t) Е С3[А, +оо), М(х) Е С2[Л, +оо) для некоторого А > 0. Пусть для тройки функций l{t), /J>(t), М(х) выполнены условия (0.14), (0.15). Если f(t) Е Lp(R), то функция (0.13) принадлежит пространству A]ifl(a, rj), причем

1П*)||«,<С?||/||,, где С не зависит от /.

Теорема 2.4. Пусть р > 2, rj < ф, пусть медленно меняющиеся функции l(t), fi(t) и М{х) ограничены на каэюдом конечном отрезке, и l(t), fi(t) Е СЪ[А, +оо), М{х) Е С2[А, +оо) для некоторого А > 0. Пусть для тройки функций l(t), fi(t), М(х) выполнены условия (0.14), (0.15). Если функция F(z) принадлежит пространству Affl(a,rj), то она представима в виде (0.13) с f(t) Е -C^(R), причем f\\P<C\\F(z)\\,,,n где С не зависит от F.

При р = 2 из теорем 2.3 и 2.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли - Винера:

Теорема 2.5. Пусть г) < j, медленно меняющиеся функции l(t), /i(£) принадлео\сапь классу С3[А, +оо) для некоторого А > 0. Пусть медленно меняющаяся функция М(х) Е С2[В, +оо), 3J5 > 0, такова, что произведение т(х) = х®~1 М(х), х > х0, есть обратная функция к t l'(t) 2r] + а/2 — 1 1/1 t l'{t) t n'(t)\ 1

2 M{t) ~ \4 l(t) + fjt(f) ) ' t«l{t)\ '

Пусть функции l(t), M(x) ограничены на каа/сдом конечном отрезке,и для них выполнены условия (0.14), (0.15). Тогда класс функций F{z), представимых в виде (0.13) с f(t) Е L2(R), совпадает с пространством Af4l(a,r])] нормы ||-Р(^)||2,2 и ll/lb эквивалентны.

В третьей главе рассматривается вопрос о полноте в пространстве L2 (R) систем (0.2) с весом g(t) = ехр(—s(|£|)), ta~ll{t) т.е. систем iXnt е " ехр(—s(|£|)), хп g Л с R+, (0.16) где функция s(t) принадлежит классу 5, который определяется следующим образом.

Обозначим через S класс положительных функций s(t), t > 0, ограниченных на каждом конечном отрезке, удовлетворяющих условиям: а) s(t) е С2[В] оо), 3В > 0, s'(t) +оо, (t +оо), s"(t) > М > 0, t > t0] б) для любого А > 0 s"{x) ~ 5я(*) на множестве x-t\< A(s,f(x))~1/2, х->+оо т.е. s"(x)/s"(t) 1 при ж —> +оо на указанном множестве); в) s'(t) возрастает при t > to] г) функция l(t), обратная к s'(t), является медленно меняющейся, причём tl'(t) Л KtJUt)) „ х

Будем рассматривать системы (0.16) с s{t) £ 5.

Стоит отметить, что функции класса S растут быстрее ta при t —¥ +оо, У а (что видно из (г)). Конечно, в этот класс попадают не все гладкие функции s(i), растущие быстрее ta, а только достаточно быстро растущие функции. Например, функция t sa(t) = Jexp(loga x) dx, a G (1, 2) и ее производная s'a(t) = exp(log°£) растут быстрее любой степени: ta < exp(loga х) <е\ t> t0, но при a G (1,2) для sa(t) не выполнено второе условие (0.17) (попутно отметим, что при а > 2 оно выполняется).

Обозначим p(r) = 1 + logl(r)/logг, где /(г) — функция, введенная в (г). Пусть Ар(г)(Л) — нижняя плотность последовательности Л при уточненном порядке р(г), т.е. где п{г) — считающая функция этой последовательности (глава 3, пункт 1).

Получено следующее достаточное условие полноты системы (0.16). Теорема 3.1. Пусть функция s(t) принадлежит классу S. Тогда если

Ар(г)(Л) > 1/тг, (0.18) то система (0.16) полна в пространстве L2(R).

Следующая теорема показывает точность константы 1/пв (0.18) на всем классе функций S.

Теорема 3.2. Для любого достаточно малого е > 0 (е < 1 /тг) существует последовательность л с R+, такая, что

1) Ар(г)(А) = 1/тг-£,

2) система (0.16), где so it) = +1/4, неполна в L2(R).

Отметим, что функция sg(t) принадлежит классу S. Последовательность Л строится нами в явном виде.

Системы (0.16) можно формально рассматривать как предельный случай систем (0.7) при о; —> +оо. Константа 1/тг в теореме 3.1 совпадает с пределом точной константы в (0.8) при а —у +оо (/3 —> 1+). Разумеется, само по себе это не доказывает точности константы 1/тт в (0.18).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора [6 - 11, 27].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Прошкина, Анастасия Владимировна, 2005 год

1. Винер Н. Интергал Фурье и некоторые его приложения. М.:Физматгиз, 1963 (Wiener N. The Fourier integral and certain of its applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1933).

2. Винер H., Пэли P. Преобразование Фурье в комплексной области. М.:Наука, 1964 (Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. N.Y.: Publ. Amer. Math. Soc., 1934).

3. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморф-ных функций. М.:Наука, 1970.

4. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.:Наука, 1979.

5. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.:Гостехиздат, 1956.

6. Прошкина А.В. Преобразование Фурье быстро убывающих функций. Теоремы типа Пэли-Винера // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" .Воронеж: ВГУ, 2001. С.218.

7. Прошкина А.В. Условие полноты весовых экспонент на прямой // Труды XXIV Конференции молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ им. М.В. Ломоносова.Москва. МГУ 2002. Т.2. С.134-137.

8. Прошкина А.В. Об условии полноты весовых экспонент на прямой // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ, 2003. С.201.

9. Прошкина А.В. О полноте взвешенных систем экспонент // Вестн. Моск. ун-та, матем. механ. 2004, N2. С.33-39.

10. Прошкина А.В. Интегрируемость преобразований Фурье быстро убывающих функций специального вида // Тезисы 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004. С. 146.

11. Прошкина А.В. Асимптотика преобразований Лапласа быстро убывающих функций // Тезисы докл. Воронежской зимней матем. школы " Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж: ВГУ, 2005. С.188.

12. Седлецкий A.M. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент в L2(R) // Мат. сб. 1984. Т.123, N1. С.92-107.

13. Седлецкий A.M. Аппроксимация сдвигами функции на прямой // Тр. Междунар. конф. приближ. функций. Киев. 1983. М.-.Наука, 1987. С.397-400.

14. Седлецкий A.M. Преобразования Фурье быстро убывающих функцийИзв. РАН. Сер. матем. 1997. Т.61, N3. С.187-202.

15. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, I // Современная математика. Фундаментальные направления. Т.5. М.:МАИ, 2003.

16. Седлецкий A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, II // Современная математика. Фундаментальные направления. Т.6. М.:МАИ, 2003.

17. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.:Наука, 1985.

18. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.:Мир, 1974.

19. Федорюк М.В. Метод перевала. М.:Наука, 1977.

20. Шаповаловсъкий О. В. Деяю властивоста ряд1в Д1р1хле i систем екс-понент з комплексними показниками // Автореф. дис. . канд. ф1з.-мат. наук. Дрогобич, 1994.

21. Atzmon A., Olevskii A. Completeness of integer translates in function spaces on R // J. Approxim. Theory. 1996. V.87, N3. P.291-327.

22. Edwards R.E. The translates and affine transforms of some special functions // J. London Math. Soc. 1952. V.27. P.160-175.

23. Faxen B. On approximation by translates and related problems in function theory // Ark. Math. 1981. V.19. P.271-289.

24. Ganelius T. Some approximation theorems related to Wiener's // Proc. Conf. Constr. Th. Functions. Budapest. 1969. Budapest: Akademia Kiado, 1972. P.173-181.

25. Lonnroth J. Hahn-Banach's sats och korta translationer // Master's thesis at the University of Goteborg. 1966.

26. Luxemburg W.A.J., Korevaar J. Entire functions and Miinz-Szasz type approximation // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V.157. P.23-37.

27. Proshkina A. V. Paley-Wiener's type theorems for Fourier transforms of rapidly decreasing functions // Integr.Transf. and Spec. Func. 2002. V.13, N1. P.39-48.

28. Sedletskii A.M. Theorems of Paley-Wiener-Pitt's type for Fourier transforms of rapidly decreasing functions // Int. Transf. Spec. Func. 1994. V.2, N2. P.153-164.

29. Zalik R.A. On approximation by shifts and a theorem of Wiener // Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V.243. P.299-308.

30. Zalik R.A. On some gap theorems and the closure of translates // Notes Amer. Math. Soc. 1978. V.25. P.A-314.

31. Zalik R.A., Abuabara Saad T. Some theorems concerning holomorphic Fourier transforms. // J. Math. Anal, and Appl. 1987. V.126. P.483-493.