Анализ вынужденных нелинейных колебаний висячих комбинированных систем при наличии внутреннего резонанса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Катембо Алекс Лунгили

• Катембо Алекс Лунгили
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Катембо Алекс Лунгили

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Исторический очерк развития расчетных моделей висячих комбинированных систем

1.2 Свободные колебания

1.3 Вынужденные колебания

1.4 Аэродинамика

1.5 Экспериментальные данные

1.6 Методы расчетов

1.7 Внутренний резонанс

1.8 Висячий мост «Золотые ворота»

1.8.1 Корреляция с экспериментом

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВИСЯЧЕЙ КОМБИНИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННЕГО РЕЗОНАНСА

2.1 Вывод нелинейных уравнений вынужденных незатухающих колебаний висячей комбинированной системы

2.2 Анализ вынужденных нелинейных колебаний висячей комбинированной системы под действием гармонической силы при наличии внутреннего и внешного резонансов с помощью дробных производных

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Метод решения

2.2.2.1. Вязкость порядка

2.2.2.2 Вязкость порядка

2.2.3 Метод вариаций произвольных постоянных

2.3 Анализ нелинейных колебаний висячей комбинированной системы под действием подвижной гармонической силы при наличии внутреннего

резонанса

2.3.1 Постановка задачи и метод решения

2.3.2 Анализ резонансных режимов

2.3.2.1 Вязкость порядка

2

2.3.2.2 Вязкость порядка

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1 Численные исследования вынужденных колебаний при действии гармонической силы

3.1.1 Влияние параметра дробности на свободные колебания

3.1.2 Влияние параметра дробности и амплитуды внешней силы на вынужденные колебания

3.2 Численные исследования вынужденных колебаний при действии подвижной нагрузки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ вынужденных нелинейных колебаний висячих комбинированных систем при наличии внутреннего резонанса»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Висячие мосты представляют собой инженерный ответ на требования легкости, высокой прочности, простоты конструкции и эстетического внешнего вида мостовых перекрытий. Опираясь на новейшие разработки в технологии проектирования, мосты с несущими кабелями пользуются растущим успехом во всем мире как функциональные, экономически эффективные и элегантные решения для перекрытия всех больших пролетов.

Висячие мосты настолько гибкие по сравнению с другими типами мостов, что сильные колебания могут легко возникать из-за различных динамических нагрузок. Большие пролеты построенных в последнее время висячих мостов делают их динамическое поведение наиболее важным, при этом первостепенное значение приобретает исследование крутильных колебаний.

В инженерном анализе часто возникает проблема прогнозирования динамического поведения конструкции в результате прохождения по ней подвижных нагрузок и, в частности, изучения вызванных ими колебаний в мостах. Исследования показывают, что поперечные прогибы и напряжения от движущихся нагрузок значительно выше, чем при стационарных нагрузках.

Исследование вынужденных нелинейных колебаний висячих мостов является неотъемлемой составляющей строительной механики. На сегодняшний день существуют различные методы исследования вынужденных нелинейных колебаний висячих мостов: аналитические, экспериментальные и численные.

В настоящее время дробное исчисление широко используется для моделирования сил демпфирования при решении линейных и нелинейных динамических задач строительной механики, о чем свидетельствуют многочисленные исследования в этой области, обзор которых проведен профессорами Россихи-ным Ю. А. и Шитиковой М. В., включая примеры использования дробных производных при анализе свободных колебаний висячих мостов.

Первые натурные наблюдения колебаний висячего моста «Золотые ворота» были выполнены в период с 1933 по 1942 годы, когда были установлены сейсмологические приборы на опорах, башнях и тросах для измерения возможных колебаний. После разрушения Такомского моста в 1940 году было решено установить десять приборов для измерения вертикальных перемещений моста, которые работали непрерывно до 1954 года.

Так, полученные экспериментальные данные показали, что различные колебательные режимы характеризуются разными коэффициентами затухания, а порядок малости этих коэффициентов говорит о низкой демпфирующей способности висячих комбинированных систем, что приводит к длительной перекачке энергии из одной подсистемы в другую. Однако аналитическая модель, предложенная A.M. Abdel-Ghaffar [85, 89], дала коэффициенты затухания, не зависящие от частот колебаний.

Для приведения теоретических исследований в соответствие с экспериментом профессорами Россихиным Ю. А. и Шитиковой М. В. были введены дробные производные для описания процессов внутреннего трения, протекающих в висячих комбинированных системах при свободных колебаниях [216]. Предложенная модель висячего моста позволяет получить коэффициенты демпфирования, зависящие от собственных частот колебаний. Эта модель была далее обобщена в [217] путем использования двух различных параметров дробности для анализа вертикальных и крутильных колебаний.

Данная работа является непосредственным продолжением исследований Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой и обобщает предложенную ими теорию на случай нелинейных вынужденных колебаний висячих мостов, когда частота внешней силы близка к одной из собственных частот вертикальных колебаний висячей комбинированной системы, которая находится в условиях внутреннего резонанса.

Цель диссертационной работы. Целью данной работы является анализ вынужденных нелинейных колебаний висячих комбинированных систем под действием внешних сил при наличии внешнего и внутреннего резонансов.

Задачи для достижения цели:

- постановка задачи о вынужденных нелинейных колебаниях, вызванных внешним гармоническим воздействием в виде вертикальной сосредоточенной силы с учетом наложения внутреннего резонанса на внутренний резонанс, при наличии демпфирования, которое описывается реологической моделью, содержащей дробную производную;

- изучение влияния параметра дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных вынужденных колебаниях висячих мостов, находящихся в условиях внутреннего резонанса;

- получение численно-аналитических решений разрешающих дифференциальных уравнений с использованием обобщенного метода многих временных масшатлв, метода Рунге-Кутта четвертого порядка и метода вариации произвольной постоянной.

Научная новизна работы. Предложена математическая модель, описывающая динамическое поведение висячей комбинированной системы, находящейся под действием подвижной гармонической силы, с использованием аппарата дробного исчисления.

Решена задача о вынужденных колебаниях для случая сосредоточенной или подвижной гармонической силы, когда частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот вертикальных колебаний системы, находящейся в условиях внутреннего резонанса. Используя модальный анализ и обобщенный метод многих временных масштабов, была получена система нелинейных уравнений для фаз и амплитуд вынужденных колебаний, для которой найдено приближенное аналитическое решение методом вариации произвольных постоянных и численное решение методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Детально рассмотрено влияние параметра дробности, который отвечает за вязкость окружающей среды. Исследовано влияние величины внешнего воздействия на характер нелинейных колебаний. Наглядно продемонстрирована перекачка энергии между взаимодействующими нелинейными модами колеба-

ний, что характеризует прямое влияние внутреннего резонанса на процесс свободных и вынужденных колебаний.

Впервые показано, что проявление внешнего резонанса при действии подвижной нагрузки зависит от скорости ее движения. Другими словами, меняя скорость прохождения нагрузки, можно регулировать явление внешнего резонанса.

Практическая ценность работы. В гибких висячих мостах под действием различных динамических нагрузок, таких как подвижная или ветровая, могут возникать сильные изгибно-крутильные колебания, развивающиеся иногда до чрезвычайно больших амплитуд, затрудняющих нормальную эксплуатацию моста, а иногда вызывающие его разрушение. В силу низкой демпфирующей способности висячих мостов колебания могут сопровождаться перекачкой энергии между различными модами колебаний еще долгое время и после снятия нагрузки, которая была причиной их возникновения. Это объясняется явлением внутреннего резонанса, когда одна из частот свободных изгибных колебаний близка по своему значению одной из собственных частот крутильных колебаний, что на практике может иметь место довольно часто в силу плотности спектра собственных частот висячих мостов, которые в значительной мере зависят от геометрических параметров моста. Поэтому задача исследования внутреннего резонанса в висячих мостах является весьма актуальной как с точки зрения теоретической, так и точки зрения ее практической значимости.

Степень достоверности базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов, а также сопоставлением результатов, полученных двумя разными методами.

Реализация работы: - разработан программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний висячих комбинированных систем в условиях сочетания внутреннего и

внешнего резонансов под действием гармонических нагрузок и получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021664106.

На защиту выносится:

- математическая модель, описывающая динамическое поведение висячей комбинированной системы, находящейся под действием подвижной гармонической силы, с использованием аппарата дробного исчисления;

- решение задачи о вынужденных колебаниях для случая сосредоточенной или подвижной гармонической силы, когда частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот вертикальных колебаний системы, находящейся в условиях внутреннего резонанса;

- анализ системы нелинейных уравнений для фаз и амплитуд вынужденных колебаний с помощью метода вариации произвольных постоянных и численное решение методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: на XII Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики в Уфе в 2019 году; на ХХХ и XXXI Международной инновационной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения в Москве в 2018 и 2019 годах; на 14th International Conference on Vibration Problems (ICOVP 2019) в Греции в 2019 году; на International Conference on Nonlinear Solid Mechanics (ICoNSoM 2019) в Италии в 2019 году; на симпозиуме Symposium «Nonlinear dynamics - scientific work of Prof. Dr. Katica (Stevanovic) Hedrih», Mathematical Institute of SANA в Сербии в 2019 году; на IX Международной научной конференции «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения») в Москве в 2021 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 3 в изданиях, проиндексированных в международной базе данных Scopus, из которых одно входит в список изданий, рекомендованных ВАК РФ. Разработанная программа численных исследований зарегистирована в государственном реестре программ для ЭВМ.

Личный вклад автора. Основные результаты по теме диссертации были получены лично автором и опубликованы в соавторстве с научным руководителем, который определил основные направления исследования в рамках выполнения базовой части государственного задания Министерства образования и науки РФ. Все численные исследования выполнены лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем работы составляет 147 страниц, включает в себя 6 таблиц и 49 рисунков. Список литературы содержит 273 наименования, в том числе 192 из англоязычных изданий.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приводится обзор существующей литературы, посвящён-ной висячим комбинированным системам. Описаны преимущества висячих мостов, обсуждаются проблемы, в том числе динамические, которые возникают при построении и эксплуатации висячих мостов. Дается краткий исторический очерк работ ученых, которые работали и продолжают работать в этой области. Приводится обзор методов расчета, которые были предложены для динамического анализа висячих комбинированных систем.

Вторая глава посвящена анализу вынужденных нелинейных колебаний висячих мостов под действием гармонической силы при наличии внутреннего и внешнего резонансов с использованием аппарата дробного исчисления.

В рамках классических гипотез выведена система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные колебания висячего моста под действием гармонической силы, приложенной в точке или движущейся с постоянной скоростью по мосту. С помощью обобщенного метода многих временных масштабов система дифференциальных уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены системы разрешающих уравнений для амплитуд и фаз колебаний в случае сочетаний внутреннего и внешнего резонансов, приближенное решение кото-

рых найдено аналитическим методом вариации произвольных постоянных и численно, используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

В третьей главе приведены результаты численных исследований всех случаев сочетания внешнего и внутреннего резонанса при помощи разработанного автором «Программного комплекса численных исследований нелинейных вынужденных колебаний висячих мостов под действием подвижных и сосредоточенных нагрузок при наличии внутреннего резонанса» [273].

Проанализировано влияние параметров дробности и параметров внешней нагрузки на свободные и вынужденные колебания висячей комбинированной системы на примере висячего моста «Золотые ворота», используя имеющиеся в литературе экспериментальные данные.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЫ

В течение последних столетий мосты играли одну из важнейших ролей в развитии первых цивилизаций, в распространении знаний, в местной и международной торговле и в развитии транспорта. Первоначально изготовленные из простых материалов и конструкций, мосты быстро развивались, благодаря чему появилась возможность перекрывать большие расстояния по рекам, недоступным землям, сильно приподнятым поверхностям и сложным городским инфраструктурам. Начиная с седьмого века до нашей эры, каменные и деревянные арочные мосты быстро распространились по всему миру, что в конечном итоге привело к расширению использования стали, железобетона и других материалов в мостах, которые могут простираться на многие километры. В зависимости от выполняемых функций, типов нагрузок и размеров территории и уровня ее сложности мосты могут сильно различаться по внешнему виду, по несущей способности, по типам строительных материалов и т. д.

1.1 Исторический очерк развития расчетных моделей висячих

комбинированных систем

Проектирование мостов постоянно разивается благодаря использованию все более эффективных материалов и вычислительных средств, позволяющих создавать очень сложные модели и способствующих созданию оригинальных форм, которые дают новые возможности решения проблем, связанных с преодолением все более впечатляющих препятствий. Сегодня существует множество типов мостов, адаптированных к условиям окружающей среды. Мосты могут быть классифицированы по материалу (деревянные, каменные, железобетонные, стальные и сталежелезобетонные), по назначению (пешеходные, автодорожные, железнодорожные и совмещенные), по виду (путепроводы, виадуки, эстакады, разводные и наплавные), по статическим схемам (балочные, ферменные, арочные, висячие, вантовые, консольные и рамные) и по размерам (малые - пролет до 25м; средние - от 25 до 100 м; большие - свыше 100 м).

В разных литературных источниках существует различное толкование понятия висячего и вантового мостов. Существуют конструкции пролетов, которые в некоторых случаях называются висячими системами, а в других случаях - вантовыми системами. Висячими называются мосты, в пролетных строениях которых главными несущими элементами являются растянутые гибкие криволинейные нити (кабели или цепи), поддерживающие с помощью подвесок балки жесткости и передающие усилия на пилоны (см. рис. 1.1).

4

Рисунок 1.1 - Классическая схема висячего моста: 1 - кабель, 2 - балка жесткости, 3 - подвески, 4 - пилоны.

Благодаря новейшим разработкам в проектировании, в области промышленных технологий и архитектуры, висячие мосты пользуются большим успехом во всем мире, как функциональные, экономически эффективные и элегантные решения для перекрытия всех больших пролетов (см. таблицу 1.1). Неизбежный недостаток подобных мостов заключается в том, что одновременная оптимизация геометрической формы, использования материалов и визуальной привлекательности имеет тенденцию придавать большое значение тонкости и гибкости многих конструктивных схем, основанных на совместной работе балки и кабелей. Эти важные характеристики в сочетании с ограниченными ресурсами демпфирования и повышенными требованиями к производительности подвергают висячие, вантовые и пешеходные мосты высокому риску развития серьезных динамических явлений. Амплитуды колебаний, неприемлемые для

безопасной эксплуатации или функциональности моста, могут быть вызваны,

12

например, аэроупругой неустойчивостью под действием ветра или динамической бифуркацией при воздействии прямого или параметрического возмущения, вызванного движением пешеходов или транспорта.

Первые исследования по расчету висячих конструкций были проведены в XVIII - XIX веках. Развитие теории статического расчета висячих мостов подробно изложено в монографиях Г.П. Передерия [49] и В.А. Смирнова [66], в которых в частности отражен вклад таких ученых как Эйлер, Навье, Рэнкин, Рит-тер, Леви, Мор, Мюллер, Тимошенко, Штейман, Стайнман и многих других.

Таблица 1.1 - Самые большие висячие мосты в мировой практике (основной пролет свыше 1200 м)

Изображение

Место

Название

Страна

Основ ной пролёт

(м)

Общая длина

(м)

Год от-кры-тия

Мост Акаси-Кайкё

Япония

1991

3911

1998

Мост Сихоумэнь

Китай

1650

5413

2009

Мост Большой Бельт (самый длинный в Европе)

Дания

1624

6790

1998

Мост Османа Гази

Турция

1550

2682

2016

1

2

3

4

Изображение

Место

Название

Страна

Основ ной пролёт

(м)

Общая длина

(м)

Год от-кры-тия

Мост Ли Сунсин

Республика Корея

1545

5069

2012

Мост Жуньян

Китай

1490

7210

2005

4-й Нанкинский мост

Китай

1418

5437

2012

Мост Хамбер (самый длинный с 1981 по 1998 гг.)

Великобритания

1410

2220

1981

9

Мост Султана Селима Грозного (мост смешанной конструкции -главный пролёт поддерживается и вантами, и тросами)

Турция

1408

2164

2016

10

Мост Цзянъинь

Китай

1385

3071

1999

11

Мост Цинма

Гонконг

1377

2160

1997

5

6

7

8

Изображение

Место

Название

Страна

Основ ной пролёт

(м)

Общая длина

(м)

Год от-кры-тия

12

Хардангерский мост

Норвегия

1310

1400

2013

13

Веррацано-Нарроус

(самый длинный с 1964 по 1981 гг.)

США

1298

4176

1964

14

Мост Золотые Ворота

(самый длинный с 1937 по 1964 гг.)

США

1280

2737

1937

15

Мост Янло

Китай

1280

2725

2007

В 1821 году и затем в 1823 году французское правительство отправило Анри Навье в Англию для изучения первых висячих мостов. Результат его исследований (труд «Mémoire sur les ponts suspendus» от 1823 года) охватывает историю развития и теорию висячих мостов. Дж. Бернулли предложил математическую теорию для описания поведения несущего троса в 1691 году, а Н.И. Фусс представил решение для кабеля с параболическим очертанием в 1794 году. Навье расширил теорию неармированного параболического кабеля для случая воздействия временных нагрузок.

В 1850 году выдающийся английский инженер Роберт Стефенсон, отказавшись от висячих цепей своего трубчатого моста «Britannia», заявил, что ви-

сячие мосты даже умеренной длины неприемлемы для движения поездов. Пять лет спустя Джон Реблинг доказал, что Стефенсон был неправ, и открытие Ниагарского моста Реблинга снова побудило английских инженеров исследовать применение висячих мостов на железнодорожных путях. В 1857 году П.Барлоу было поручено спроектировать железнодорожный мост в Лондондерри. В ходе сравнения модели своего висячего моста пролетом 130м с мостом «Britannia» с величиной пролета 140м он установил, что висячие мосты действительно являются экономичными для железнодорожных путей. Для балок сравнимой жесткости Барлоу обнаружил, что прогибы были примерно в 25 раз меньше в подвесном пролете, что может уменьшить на 50% количество металла, необходимого для строительства моста. Барлоу позже отправился на Ниагарский мост и подготовил отчет о его эксплуатации, в котором он писал, что мост «Ниагара» натолкнул его на мысль о применении подвесного пролета в Лондондерри [111]. Экспериментальная работа Барлоу привела непосредственно к первому теоретическому описанию усиленного висячего моста в 1858 году У. Рэнкиным в его руководстве по прикладной механике. Рэнкин комментирует идеи Сте-фенсона и Барлоу следующим образом [210]: «Когда-то предполагалось, что для того чтобы сделать висячий мост таким же жестким, как мост на опорах, необходимо использовать решетчатые балки достаточной прочности, чтобы выдерживать собственный вес, и что в этом случае подвесные цепи были бы бесполезны». Но Барлоу, проведя некоторые эксперименты на моделях, обнаружил, что применение очень легких балок по сравнению с тем, что предполагалось, будет достаточно для усиления висячего моста. Если бы математики сосредоточили свое внимание на изучении данного предмета, они могли бы предвидеть этот результат. Рэнкин основывает свою новую теорию на существующей теории параболического кабеля и существующей концепции ненапряженного моста исходя из условия, что общая нагрузка моста от собственного веса будет равномерно распределена и, таким образом, очертание кабеля должно быть параболическим [210]. Поскольку это предположение требует, чтобы кабель выдерживал весь собственный вес балки, напряжение в балке жесткости

не возникнет из-за собственного веса. Рэнкин также предполагает, что любая действующая нагрузка, приложенная к балке, будет передана на кабель как равномерно действующая нагрузка. Он никогда не излагал эти гипотезы напрямую, но они подразумеваются в математическом аппарате, который он использует [208]. Таким образом, балка жесткости работает путем переноса локальных воздействий активной нагрузки на настил моста в виде равномерной нагрузки на кабель. Если предполагается, что нагрузка на кабель равномерна по всей его длине, его форма под общей нагрузкой должна оставаться параболической; и если предполагается, что кабель нерастяжим, кривая кабеля под воздействием общей нагрузки должна оставаться неизменной относительно кривой нагрузки от собственного веса. Рэнкин знал об ошибке, полагая, что кабель остался не-деформированным, но оправдывал его включение, поскольку это значительно упрощало вычисления и приводило к консервативной оценке моментов в элементе жесткости [210].

Истоки теории упругости жесткого висячего моста разнообразны, и многие авторы самостоятельно разрабатывали решения, которые напоминают современную формулировку теории. Важные документы были написаны Ритте-ром в 1883 году и Леви в 1886 году, но именно работа Йозефа Мелана дала толчок для применения теории упругости в Соединенных Штатах. В 1888 году второе издание его книги «Handbuch der Ingenieurwissenschaften» включило в себя раздел по теории упругости арок и висячих мостов под названием «Theorie dereisernen Bogenbrficken und der Hfingenbrficken» [185]. Первый английский перевод работы Мелана был выполнен в приложении к докладу 1894 года для Инженерного корпуса армии США [211]. В 1913 году Д. Стайнман опубликовал полный перевод «Теории» Мелана [186], посредством которого он разработал свой собственный практический курс о висячих мостах от 1922 года [234]. Как и теория Рэнкина, теория упругости предполагает, что кабель является параболическим при постоянных и полных нагрузках. Тем не менее, теория упругости связывает равномерное усилие в подвеске с действующей временной нагрузкой на основе изгибной жесткости балки и осевой жесткости кабеля.

В 1888 году Мелан заложил основы теории изгиба в своей книге «Theofieder eisernen Bogenbrticken und der Hfmgenbriicken», объясняющей изменение формы кабеля под временной нагрузкой [185]. В более ранних статьях Ritter [213] и Dubois [134] также рассматривались эффекты, связанные с изменением формы кабеля, но именно работа Мелана привела к применению теории изгиба в проектировании. В 1909 году Leon Moisseiff использовал формулы Мелана для проверки конструкции Манхеттенского моста, и окончательный отчет Ralph Mojeschi [187] о мосте включал в себя приложение, подготовленное F.E. Turneaure [243], в котором повторялись вычисления Moisseiff. Вскоре после этого, в 1910 году, появилось последнее издание о современных рамочных конструкциях Johnson и др., куда была включена теория изгиба наряду с упругостью, и в 1929 году Стайнман включил теорию изгиба во второе издание своего Практического трактата.

Главным инженерам висячих мостов начала ХХ века было хорошо известно об экономии, которая может быть достигнута с помощью теории изгиба. Moisseiff был первым, кто применил теорию изгиба для проектирования Манхеттенского моста в 1909 году, и через 20 лет после его строительства были построены три рекордных пролета - висячий мост Bear Mountain в 1924 г. (500м), мост через реку Delaware в 1926 г. (530м) и мост Ambassador в 1924 г. (560м). Экономия на основе использования теории изгиба также уменьшила соотношение длины и глубины пролета 1:60 для Манхеттенского моста и до 1:84 для моста Ambassador. В 1931 году был открыт мост George Washington, чей основной пролет был почти вдвое длиннее моста Ambassador, причем на нем был установлен только верхний настил - по сути, пролет без жесткости. На примере моста George Washington преимущество теории изгиба по сравнению с теорией упругости заключается в конструктивном различии (усиленном или неармиро-ванном), а не в экономии материалов. В качестве примера, в первую очередь, учитывается длина пролета, но в меньшей степени постоянная нагрузка и жесткость несущей балки. Хорошим показателем также является коэффициент жесткости. В мосте Delaware теория изгиба позволила спроектировать более эф-

фективную ферму; в мосте George Washington - ничем не поддерживаемый подвесной пролет.

Пять мостов, спроектированных в 1930-х годах: Golden Gate, Thousand Islands, Deer Island, Bronx Whitestone и Tacoma Narrows - испытали колебания из-за воздействия ветра; в результате, Такомский мост был разрушен. По сравнению с предыдущими мостами (за исключением моста George Washington), на всех этих пяти мостах наблюдается заметное снижение отношения пролета к высоте, которое в Такоме достигло 1:350. Прецедент моста George Washington частично способствовал тенденции к созданию тонких мостов в 1930-х годах, но огромные масштабы моста George Washington делают его нетипичным. Нагрузка на каждом пилоне моста Такома более чем в пять раз ниже, чем у моста George Washington, и хотя возникающее в результате натяжение может обеспечить эффективную жесткость кабеля против статических нагрузок, оно оказалось недостаточным для динамической ветровой нагрузки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Катембо Алекс Лунгили, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверин А.Н. Применение разностной схемы для расчета свободных из-гибно-крутильных колебаний неразрезного тонкостенного стержня открытого профиля / А.Н. Аверин // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. - 1982. - № 8. - С. 51-55.

2. Аверин А.Н. Применение неявной разностной схемы для расчета колебаний неразрезных балок под действием подвижной нагрузки / А.Н. Аверин, Р.Х. Биджиев, А.Ф. Хмыров // Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1983. - С. 148-156.

3. Аверин А.Н. Расчет свободных изгибно-крутильных колебаний тонкостенных стержней с учетом сдвига и инерции вращения / А.Н. Аверин, М.В. Шитикова // Инженерные задачи статики, динамики и устойчивости сооружений. - 1985. - С. 120-131.

4. Александров А.В. Вынужденные колебания плитно-балочных конструкций при движении нагрузки, обладающей массой / А.В. Александров, Б.Г. Гарбер // Труды Хабаровского института инженеров железнодорожного транспорта. - 1968. - № 34. - С. 252-263.

5. Ананьин А.И. Определение свободных колебаний висячего моста с учетом нелинейности / А.И. Ананьин // Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1975. - № 3. - С. 3-10.

6. Ананьин А.И. Динамика автодорожных мостов / А.И. Ананьин, А.Г. Бар-ченков, В.С. Сафронов // Справочник проектировщика по динамическому расчету специальных инженерных сооружений и конструкций. - М.: Стройиздат, 1986. - С. 327-349.

7. Барченков А.Г. Динамический расчет автодорожных мостов / А.Г. Бар-ченков. - М.: Транспорт, 1976. - 199 с.

8. Биджиев Р.Х. Расчет колебаний висячих мостов под действием подвижной нагрузки с учетом геометрической и конструктивной нелинейностей /

Р.Х. Биджиев, С.В. Ефрюшин // Прикладные задачи теории сооружений. -Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1987. - С. 38-47.

9. Болотин В.В. Задача о колебаниях мостов под действием подвижной нагрузки / В.В. Болотин // Известия АН СССР. Отделение технических наук. Механика и машиностроение. - 1961. - № 4. - С. 109-115.

10.Брагин А.В. О влиянии связанности свободных изгибных и крутильных колебаний висячих мостов / А.В. Брагин // Исследование долговечности и экономичности искусственных сооружений. - Л.: ЛИСИ. - 1977. - С. 1722.

11.Брагин А.В. О влиянии сил инерции кабеля на частоты свободных горизонтальных колебаний висячих мостов / А.В. Брагин // Совершенствование конструкций и методов расчета автодорожных мостов. - Л.: ЛИСИ. -1986. - С. 40-45.

12.Воробьев Л.Н. Влияние сдвига и поворота сечений на величину частот свободных изгибных и крутильных колебаний висячих мостов / Л.Н. Воробьев // Изв. Сев. - Кавказ. науч. центра высшей школы. Техн. науки. -1984. - Т. 1. - С. 33-36.

13.Гибшман М.Е. Проблемы проектирования транспортных сооружений в городах и на автомобильных дорогах / М.Е. Гибшман // Известия высших учебных заведений. Строительство и архитектура. - 1978. - № 6. - С. 138-147.

14.Герасимов С.И. Динамика деформируемых систем, несущих движущиеся нагрузки (обзор публикаций и диссертационных исследований) / С.И. Герасимов, В.И. Ерофеев, Д.А. Колесов, Е.Е. Лисенкова // Вестик научно-технического развития. - 2021. - № 160. - C. 1 - 23.

15.Ерохин С.В. Модели ползучести и релаксации материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Ерохин // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2014. - № 6. - С. 35-39.

16.Ерохин С.В. Модели ползучести и релаксации материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Ерохин // Интернет-вестник ВолгГАСУ. - 2015. - Т. 40. - № 4. - С. 8.

17.Ерохин С.В. Параметрическая идентификация математической модели вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Ерохин, Т.С. Алероев, Л.Ю. Фриштер, А.В. Колесниченко // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. -2015. - Т. 11. - № 3. - С. 82-86.

18. Ерохин С.В. Разностные схемы для математического моделирования высокоэластичной деформации / С.В. Ерохин, Л.Ю. Фриштер, В.Д. Петелина, Н.М. Чиганова // Научно-технический вестник Поволжья. - 2017. - № 6. - С. 193-195. Doi:10.24153/2079-5920-2017-7-6-193-195

19.Ерохин С.В. Параметрическая идентификация порядка дробной производной в модели Бегли-Торвика / С.В. Ерохин, Т.С. Алероев // Математическое моделирование. - 2018. - Т. 30. - № 7. - С. 93-102.

20. Ерохин С.В. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вяз-коупругим демпфированием / С.В. Ерохин, Л.Ю. Фриштер, Т.С. Алероев // Международный журнал по расчету гражданских и строительных конструкций. - 2015. - Т. 11. - № 3. - С. 77-81.

21.Ерохин С.В. Модель деформирования вязкоупругих материалов / С.В. Ерохин, А.М. Гачаев // Строительная механика инженерных конструций и сооружений. - 2011. - № 1. - С. 39-43.

22.Ерохин С.В. Математическое моделирование релаксации вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка / С.В. Еро-хин, С.В. Семенов, О.О. Рошка // Научно-техничексий вестник Поволжья. - 2017. - № 7. - С. 190-192.

23.3акора А.Л. Исследование влияния демпфирования нагрузки на колебания пролетных строений / А.Л. Закора, М.И. Казакевич, Е.И. Бритвин // Вопросы динамики мостов и теории колебаний. - Днепропетровск. -1980. - С. 109-114.

24.Иванченко И.И. К динамическому расчету мостов на подвижную нагрузку в виде железнодорожного состава / И.И. Иванченко // Строительная механика и расчет сооружений. - 1989. - Т. 6. - С. 26.

25.Иванченко И.И. О действии подвижной нагрузки на мосты / И.И. Иванченко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. -1997. - № 6. - С. 180.

26.Иванченко И.И. Динамика мостовых и путевых конструкций при действии железнодорожной подвижной нагрузки / И.И. Иванченко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2005. - № 4. - С. 158-177.

27.Иванченко И.И. Динамика транспортных сооружений / И.И. Иванченко, -М.: Наука, 2011. - 574 с.

28.Иванченко И.И. Динамическое взаимодействие мостов и высокоскоростных железнодорожных составов / И.И. Иванченко // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2011. - № 3. - С. 146 - 160.

29.Иванченко И.И. Метод исследования взаимодействия скоростных составов и двухпутных балочных мостов при сейсмических воздействиях. Часть 1. Действие на мост сейсмических и подвижных силовых нагрузок / И.И. Иванченко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2018. -Т. 279. - № 4. - С. 41-49.

30.Иванченко И.И. Метод расчета взаимодействия скоростных составов и двухпутных балочных мостов при сейсмических воздействиях. Часть 2. Действие на мост подвижных и сейсмических нагрузок, моделирование элементов безопасности в системе «мост - состав» / И.И. Иванченко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2018. - Т. 281. - № 6. - С. 34-44.

31.Иванченко И.И. Об исследовании величины динамического воздействия высокоскоростной подвижной нагрузки с учетом рельсового пути у мостовой конструкции / И.И. Иванченко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2019. - Т. 283. - № 2. - С. 62-67.

32.Иванченко И.И. Гранично-элементный подход к расчету взаимодействия скоростного железнодорожного состава и мостового перехода. Часть 1. Действие на мостовой переход подвижной силовой нагрузки / И.И. Иванченко // Строительная механика и расчет сооружений. - 2020. - Т. 292. -№ 5. - С. 38-46.

33.Катембо А.Л. Влияние параметров вязкоупругой модели с дробной производной на вынужденные колебания висячих мостов / А.Л. Катембо, М.В. Шитикова // Труды конференции: Юбилейная XXX международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения / Изд-во ИМАШ РАН. - Москва, 20-23 ноября 2018 г. -С. 316-319.

34.Катембо А.Л. Численный анализ вынужденных колебаний висячего моста «Золотые Ворота» в случае внутреннего резонанса 1:1 / А.Л. Катембо, М.В. Шитикова, В.В. Канду // Труды конференции: XXXI Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения / Изд-во ИМАШ РАН. - Москва, 4-6 декабря 2019 г. - С. 310-313.

35.Кирсанов Н.М. Свободные колебания висячих систем повышенной жесткости / Н.М. Кирсанов // Вопросы проектирования висячих комбинированных конструкций. Воронеж: изд-во Воронежского университета. -1972. - № 1. - С. 85-91.

36.Кирсанов Н.М. К определению собственных частот колебаний висячих систем повышенной жесткости / Н.М. Кирсанов // Вопросы проектирования висячих комбинированных конструкций. Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1973. - № 2. - С. 12-17.

37.Кирсанов Н.М. Влияние деформативности и статической неопределимости на собственные частоты и формы колебаний висячих комбинированных систем / Н.М. Кирсанов // Вопросы проектирования висячих комбинированных конструкций. Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1976. - № 4. - С. 3-21.

38.Клаф Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Д. Пензиен; пер. с англ. Л. Ш.Климник, А. В. Швецова. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.

39.Куннос Г.Я. О свободных колебаниях мостов комбинированных систем / Г.Я. Куннос // Вопросы динамики и динамической прочности. - Рига: изд-во АН Латв. ССР. - 1953. - № 2. - С. 21-58.

40.Найфэ А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфэ; пер. с англ. А.А. Меликя-на. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

41.Никифоров В.Ф. К расчету однопролетных комбинированных конструкций на подвижные нагрузки / В.Ф. Никифоров // Исследование несущих элементов висячих конструкций. - Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1978. - С. 8-13.

42.Овчинников И.Г. Проблемы выбора программных комплексов для расчета транспортных сооружений / И.Г. Овчинников, И.И. Овчинников, А.В. Акуличев, Л.М. Бугаенко // Актуальные проблемы механики в современном строительстве. Труды конференции: III Международная научно-техническая конференция / Изд-во ПГУАС. - Пенза, декабря 2014. - С. 110-121.

43. Овчинников И.Г. Применение асфальтобетонных покрытий на мостах / И.Г. Овчинников, И.И. Овчинников, М.А. Телегин, С.В. Хохлов // Модернизация и научные исследования в странспортном комплексе / Труды конференции: Международная научно-практическая конференция / Изд-во Перм. нац. исслед. политех. ун-т. - Пермь, 24-25 апреля 2014. - С. 487491.

44. Овчинников И.Г. Об идее самонапряженных конструкций «тенсегрити»: история, основные аспекты и перспективы использования при строительстве мостовых сооружений / И.Г. Овчинников, А.В. Кокодеев // Транспортные сооружения. - 2015. Вып. 3. - Т. 2. - С. 1-17.

45. Овчинников И.Г. Особенности и проблемы применения инновационных технологий в транспортном строительстве / И.Г. Овчнников, И.И. Овчинников // Инновационный транспорт. - 2014. № 2. - Т. 11. - С. 46 - 53.

46.Овчинников И.Г. Плюсы и минусы внедрения зарубежных разработок (материалов и технологий) в отечественном мостостроении / И.Г. Овчинников, И.И. Овчинников // Мир дорог. - 2014. Вып. 73. - Т. 73. - С. 36 -40.

47. Овчинников И.Г. Инновационные технологии в мостостроении / И.Г. Овчинников, И.И. Овчинников // Инновационные технологии в мостостроении и дорожной инфраструктуре / Труды конференции: Междувуз. науч.-практ. конф. - Санкт-Петербург, 30 января 2014. - С. 112-123.

48.Овчинников И.Г. Обеспечение долговечности автодорожных мостов -пути решения проблемы / И.Г. Овчинников, И.И. Овчинников, О.Н. Распоров // Сборник научных трудов: Актуальные вопросы проектирования автомобильных дорог. - 2014. - Вып. 5. - Т. 64. - С. 36 - 43.

49.Передерий Г.П. Курс мостов части 1,2 / Г.П. Передерий. - М.: -Л-е изд., -1933. - 492 с.

50.Размадзе А.Н. Вопросы динамической устойчивости висячих систем / А.Н. Размадзе // Труды Грузинского политехнического института. - 1961.

- № 3. - С. 205-217.

51.Россихин Ю.А. Нелинейные свободные пространственные колебания висячих комбинированных систем / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54. - № 6. - С. 1003-1011.

52. Россихин Ю.А. Влияние начальных условий на характер протекания колебательных процессов в висячей комбинированной системе / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1991.

- № 3. - С. 143-154.

53.Россихин Ю.А. Влияние вязкости на свободные пространственные колебания висячей комбинированной системы / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Известия высших учебных заведений. Строительство. - 1993. - № 4. - С. 26-29.

54.Россихин Ю.А. Нелинейные свободные затухающие пространственные колебания висячих комбинированных систем / Ю.А. Россихин, М.В. Ши-

тикова // Тезисы докладов II международной конференции "Материалы для строительства". ICMB' 93. - 1993. - С. 209-210.

55.Россихин Ю.А. Влияние вязкости на характер протекания колебательных процессов в висячей комбинированной системе / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1995. - № 1. - С. 168-177.

56.Россихин Ю.А. Использование дробных производных для описания свободных затухающих колебаний систем, обладающих двумя степенями свободы / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, М.А. Колесников // В сборнике: современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. - Воронеж. - 1998. - С. 139-147.

57.Ружанский И.Л. О крутильных колебаниях висячего моста с коробчатой балкой жесткости / И.Л. Ружанский // Строительная механика и расчет сооружений. - 1971. - № 6. - С. 41-47.

58. Ружанский И.Л. Практическая проверка динамического расчета висячего моста / И.Л. Ружанский // Строительная механика и расчет сооружений. -1974. - № 6. - С. 39-43.

59.Рыдченко Д.Г. Динамическое воздействие подвижной нагрузки на висячие и вантовые мосты / Д.Г. Рыдченко, М.В. Шитикова // Актуальные проблемы строительства /Тезисы научно-технич. конференции молодых ученых и специалистов, посвящ. 70-летию Великого Октября. - Воронеж: ВИСИ. - 1987. - С. 23-24.

60.Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

61.Сафронов В.С. Расчет висячих и вантовых мостов на подвижную нагрузку / В.С. Сафронов. - Воронеж: изд-во Воронежского университета. -1983. - 196 с.

62.Сафронов В.С. Расчет колебаний висячих мостов при движении колонн автомобилей / В.С. Сафронов // Висячие покрытия и мосты. - Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1986. - С. 9-13.

63. Сафронов В.С. Нелинейные задачи динамики мостов и подвижной нагрузки / В.С. Сафронов, В.Н. Горячев, С.В. Ефрюшин, Д.Г. Рыдченко, А.И. Шаранин, М.В. Шитикова // Проблемы механики железнодорожного транспорта. Повышение надежности и совершенствование конструкций подвижного состава / Тезисы докладов всесоюзн. конф. - Днепропетровск: ДИИТ. - 1988. - С. 121.

64.Сильницкий И.А. Об использовании смешанного метода в расчетах висячих систем на динамические воздействия / И.А. Сильницкий, С.М. Рыбаков // Труды Московского ин-та инж. жел. транспорта. - 1981. - № 641. -С. 64-72.

65. Скворцов В.И. Собственные изгибно-крутильные колебания односторонне загруженного висячего моста / В.И. Скворцов // Труды Московского ин-та инж. жел. транспорта. - 1974. - № 456. - С. 178-183.

66. Смирнов В.А. Висячие мосты больших пролетов / В.А. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 408 с.

67.Смирнов В.А. Нелинейный виброизолятор для целей кинематической виброзащиты объектов, чувствительных к вибрации / В.А. Смирнов // Вестик МГСУ. - 2011. - № 31. - С. 107-112.

68. Смирнов В.А. Динамический анализ выброзащитной системы в вероятностной постановке / В.А. Смирнов // Вестик МГСУ. - 2012. - № 5. - С. 8792.

69.Смирнов В.А., Цукерников И.Е. Экспериментальные исследования уровней вибрации перекрытий жилых зданий, вызванных движением поездов метрополитена / В.А. Смирнов, И.Е. Цукерников // Строительство и реконструкция. - 2016. - № 4. - С. 85-92.

70.Степкин С.А. Деформационный расчет на подвижную нагрузку висячих мостов больших пролетов / С.А. Степкин // Исследования по строитель-

ной механике / Сборник трудов ЛИИЖТ. - Л.: Сройиздат. - 1966. - № 249. - С. 85-96.

71.Трещёв А.А., Сазонов А.П. Геометрически нелинейный изгиб тонких пластин из материалов с усложненными свойствами / А.А. Трещев, А.П. Сазонов // Известия Орловского государственного технического университета. Серия: Строительство и транспорт. 2007. № 4-16. С. 74-79.

72.Трещёв А.А. Реологические зависимости для материалов, чувствительных к виду напряженного состояния / А.А. Трещев // Фундаментальные, поисковые и прикладные исследования РААСН по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2017 году. Сборник научных трудов Российской академии архитектуры и строительных наук. Москва, 2018. С. 470-473.

73.Шестоперов Г.С., Проскурня Л.Л. Программа определения поперечных сил и изгибающих моментов при расчете опор мостов на сейсмостойкость / Г.С. Шестоперов, Л.Л. Проскурня // Исследование конструкций строительных мостов. - 1985. - С. 12-17.

74. Шитикова М.В. Расчет квазирезонансных колебаний балок при движении подрессоренной нагрузки по периодическому профилю пути / М.В. Шитикова // Исследования по строительной механике конструкций. - Воронеж: изд-во Воронежского политехн. ин-та. - 1984. - С. 92-102.

75.Шитикова М.В. Дифференциальные уравнения свободных пространственных колебаний висячих мостов с учетом сдвигов и инерции вращения тонкостенной балки жесткости / М.В. Шитикова // Висячие покрытия и мосты. Межвузовский сборник научных трудов. - Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1986. - С. 75-85.

76.Шитикова М.В. К расчету свободных пространственных колебаний висячих мостов с учетом деформации сдвига и инерции вращения балки жесткости / М.В. Шитикова // Прикладные задачи теории сооружений. Межвузовский сборник научных трудов. - Воронеж: изд-во Воронежского университета. - 1987. - С. 12-23.

77.Шитикова М.В. Пространственные колебания висячих комбинированных систем с тонкостенной балкой жесткости: диссертация ... кандидата технических наук: 01.02.03 / М.В. Шитикова, [Место защиты: Воронежский инженерно-строительный институт] - Воронеж, 1988. - 167 с.

78. Шитикова М.В. Моделирование свободных нелинейных колебательных процессов в висячих мостах при помощи двухмассовой системы / М.В. Шитикова // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций. Межвузовский сборник научных трудов. -Воронеж. - 1992. - С. 147-153.

79.Шитикова М.В. Анализ нелинейных колебаний висячих комбинированных систем: обзор / М.В. Шитикова // Известия вузов. Строительство. -2020. - № 8. - С. 10-25.

80. Шитикова М.В. Моделирование нелинейных колебаний висячих комбинированных систем при наличии внутреннего резонанса / М.В. Шитикова М.В., А.Л. Катембо // Сборник трудов: XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. - Уфа. - 2019. - Т. 3. - С. 542-544.

81.Якушев Н.З. Динамика деформируемых систем под воздействием движущихся нагрузок / Н.З. Якушев // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: изд-во Казанского университета. - 1972. - № 8. - С. 3-42.

82.Abdel-Ghaffar A.M. Free lateral vibrations of suspension bridges / A.M. Ab-del-Ghaffar // ASCE Journal of Structural Mechanics. - 1978. - Vol. 104. - Issue 3. - P. 503-525.

83.Abdel-Ghaffar A.M. Free torsional vibrations of suspension bridges / A.M. Abdel-Ghaffar // ASCE Journal of Structural Mechanics. - 1979. - Vol. 105. -Issue 4. - P. 767-787.

84.Abdel-Ghaffar A.M. Vertical vibration analysis of suspension bridges / A.M. Abdel-Ghaffar // ASCE Journal of Structural Mechanics. - 1980. - Vol. 106. -Issue 10. - P. 2053-2075.

85.Abdel-Ghaffar A.M. Suspension bridge vibration: Continuum formulation / A.M. Abdel-Ghaffar // ASCE Journal of the Engineering. - 1982. - Vol. 108. -Issue 6. - P. 1215-1232.

86.Abdel-Ghaffar A.M. Lateral earthquake response of suspension bridge / A.M. Abdel-Ghaffar // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1983. - Vol. 109.

- Issue 3. - P. 664-675.

87.Abdel-Ghaffar A.M. Ambient vibration tests of suspension bridge / A.M. Ab-del-Ghaffar, G.W. Housner // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. -1978. - Vol. 104. - Issue 5. - P. 983-999.

88.Abdel-Ghaffar A.M. Suspension bridge response to multi-support excitations / A.M. Abdel-Ghaffar, L.I. Rubin // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. - 1982. - Vol. 108. - Issue 2. - P. 419-435.

89.Abdel-Ghaffar A.M. Nonlinear free vibrations of suspension bridges: Theory / A.M. Abdel-Ghaffar, L.I. Rubin // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. - 1983. - Vol. 109. - Issue 1. - P. 313-329.

90.Abdel-Ghaffar A.M. Nonlinear free vibrations of suspension bridges: Application / A.M. Abdel-Ghaffar, L.I. Rubin // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. - 1983. - Vol. 109. - Issue 1. - P. 330-345.

91.Abdel-Ghaffar A.M. Vertical seismic behavior of suspension bridges / A.M. Abdel-Ghaffar, L.I. Rubin // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. -1983. - Vol. 11. - Issue 1. - P. 1-19.

92.Abdel-Ghaffar A.M. Ambient vibration studies of Golden Gate Bridge. I: suspended structure / A.M. Abdel-Ghaffar, R.H. Scanlan // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. - 1985. - Vol. 111. - Issue 4. - P. 463-482.

93.Abdel-Rohman M. Passive control of nonlinear oscillations in bridges / M. Abdel-Rohman, A.H. Nayfeh // ASCE Journal of the Engineering Mechanics.

- 1987. - Vol. 113. - Issue 11. - P. 1694-1708.

94.Abdel-Rohman M. Active control of nonlinear oscillations in bridges / M. Ab-del-Rohman, A.H. Nayfeh // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. -1987. - Vol. 113. - Issue 3. - P. 335-348.

95.Abe M. Dynamic characterization of multiple tuned mass dampers and some design formulas / M. Abe, Y. Fujino // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1994. - Vol. 23. - Issue 8. - P. 813-835.

96.Abe M. Tuned mass dampers for structures with closely spaced natural frequencies / M. Abe, T. Igusa // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1995. - Vol. 24. - Issue 2. - P. 247-261.

97.Abu-Mallouh R. Response of fractionally damped beams with general boundary conditions subjected to moving loads / R. Abu-Mallouh, I. Abu-Alshaikh, H.S. Zibdeh, K. Ramadan // Shock and vibration. - 2012. - Vol. 19. - Issue 3. - P. 333-347.

98.Ahmed N.U. Mathematical modeling and control of large space structures with multiple appendages / N.U. Ahmed, S.K. Biswas // Mathematical and Computer Modelling. - 1988. - Vol. 10. - Issue 12. - P. 891-900.

99.Ahmed N.U. On exponential stability of infinite dimensional systems with bounded or unbounded perturbations / N.U. Ahmed, P.Li // Applicable Analysis. - 1988. - Vol. 30. - Issue1-3. - P. 175-187.

100. Ahmed N.U. Modeling and control of flexible space stations / N.U. Ahmed, S.S. Lim // Dynamics and Control. - 1992. - Vol. 2. - Issue 1. - P. 5-33.

101. Alavi A.H. An overview of smartphone technology for citizen centered, real-time and scalable civil infrastructure monitoring / A.H. Alavi, W.G. Buttlar // Future Generation Computer Systems. - 2019. - Vol. 93. - P. 651672.

102. Alkhaldi H.S. Vibration control of fractionally damped beam subjected to a moving vehicle and attached to fractionally damped multi-absorbers / H.S. Alkhaldi, I.M. Abu-Alshaikh, A.N. Al-Rabadi // Advances in Mathematical Physics. - 2013. Vol. 2013. PaperID 232160.

103. Amann O.H. The failure of the Tacoma Narrows Bridge / O.H. Amann, T.Von Karman, G.B. Woodruff // Report to the Honorable John M. Carmody Administrator, Federal Works Agency. - Washington, D.C. - 1941.

104. Arena A. Nonlinear parametric modeling of suspension bridges under aeroelastic forces: torsional divergence and flutter / A. Arena, W. Lacarbonara // Nonlinear Analysis. - 2012. - Vol. 70. - Issue 4. - P. 2487-2510.

105. Arioli G. A new mathematical explanation of what triggered the catastrophic torsional mode of the Tacoma Narrows Bridge / G. Arioli, F. Gazzola // Applied Mathematical Modelling. - 2015. - Vol. 39. - Issue 2. - P. 901-912.

106. Arzoumanidis S.G. Finite element analysis of suspension bridges / S.G. Arzoumanidis, M.P. Bieniek // Computers and Structures. - 1985. - Vol. 21. -Issue 6. - P. 1237-1253.

107. Asplund S.O. Deflection theory analysis of suspension bridges / S.O. Asplund // IABSE Publications. - 1949. - Vol. 7.

108. Atanackovic T.M. Dynamics of a viscoelastic rod of fractional derivative type / T.M. Atanackovic // Journal of Applied Mathematics and Mechanics, ZAMM. - 2002. - Vol. 82. - Issue 6. - P. 377-386.

109. Bachmann H. Dynamic forces from rhythmical human body motions / H. Bachmann, A.J. Pretlove, H. Rainer. Berlin: Birkhauser, 1995. - P.191-212.

110. Bajer C.I. Numerical analysis of vibrations of structures under moving initial load / C.I. Bajer, B. Dyniewicz. Heidelberg: Springer, 2012. - 293 p.

111. Barlow P.W. Observations on the Niagara railway suspension bridge / P.W. Barlow. London: John Weale, 1860. - 40 p.

112. Baron F. The effects of seismic disturbances on the Golden Gate Bridge / F. Baron, M. Arikan, E. Hamati // Report No. EERC 76-31 Earthquake Engineering Research Center College of Engineering University of California. -1976.

113. Bisplinghoff R. Aeroelasticity / R. Bisplinghoff, H. Ashley, R. Halfman. New-York: Dover Publication, 1955. - 855 p.

114. Biswas S.K. Optimal control of large space structures governed by a coupled system of ordinary and partial differential equations / S.K. Biswas, N.U. Ahmed // Journal of Mathematical Control, Signals and Systems. - 1989. - Vol. 2. - Issue 1. - P. 1-18.

115. Bleich F. The mathematical theory of suspension bridges / F. Bleich, C.B. McCullough, R. Rosecrans, G.S. Vincent. Washington, D.C.: University of Michigan Library, 1950. - 460 p.

116. Brotton D.M. Analysis and prevention of suspension bridge flutter in construction / D.M. Brotton, F. Brancaleoni // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 1981. - Vol. 9. - Issue 5. - P. 489-500.

117. Brownjohn J.M.W. Vibration characteristics of a suspension footbridge / J.M.W. Brownjohn // Journal of Sound and Vibration. - 1997. - Vol. 202. - Issue 1. - P. 29-46.

118. Brownjohn J.M.W. Vibration characteristics of a suspension footbridge / J.M.W. Brownjohn, C.A. Dumanoglu, C.A. Taylor // Engineering Structures. -1994. - Vol. 16. - P. 395-406.

119. Casalotti A. Mitigation of post-flutter oscillations in suspension bridegs by hysteretic tuned mass dampers / A. Casalotti, A. Arena, W. Lacarbonara // Engineering Structures. - 2014. - Vol. 69. - P. 62-71.

120. Casciati F. Vision-based support in the characterization of super elastic U-shaped SMA elements / F. Casciati, S. Casciati, A. Colnaghi, L. Faravelli, L. Rosadine // Smart Structures and Systems. - 2019. - Vol. 24. - Issue 5. - P. 641-648.

121. Cevik M. Nonlinear vibrations of suspension bridges with external excitation / M. Cevik, M. Pakdemirli // International Journal of Non-linear Mechanics. - 2005. - Vol. 40. - Issue 6. - P. 901-923.

122. Chatterjee P.K. Vibration of suspension bridge under vehicular movement / P.K. Chatterjee, T.K. Datta, C.S. Surana // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1994. - Vol. 120. - Issue 3. - P. 681-703.

123. Chen J.T. Integral representations and regularizations for a divergent series solution of a beam subjected to support motions / J.T. Chen, H.K. Hong, C.S. Yeh, S.W. Chyuan // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. -1996. - Vol. 25. - Issue 9. - P. 909-925.

124. Chen J.T. Normalized quasi-static mass - A new definition for multisupport motion problems / J.T. Chen, S.W. Chyuan, D.W. You, F.C. Wong // Finite Elements in Analysis and Design. - 1997. - Vol. 26. - Issue 2. - P. 129142.

125. Chen J.T. An alternative method for transient and random responses of structures subject to support motions / J.T. Chen, D.H. Tsaur, H.K. Hong // Engineering Structures. - 1997. - Vol. 19. - Issue 2. - P. 162-172.

126. Choi Y.S. The structure of the solution set for periodic oscillations in a suspension bridge model / Y.S. Choi, K.C. Jen, P.J. McKenna // IMA Journal of Applied Mathematics. - 1991. - Vol. 47. - Issue 3. - P. 283-306.

127. Dallar P. The London millennium footbridge / P. Dallar, T. Fitzpatrick, A.J.A. Flint, S. Le Bourva // Structural Engineer. - 2001. - Vol. 79. - P. 1733.

128. Dan D. Research on dynamic behavior and traffic management decision-making of suspension bridge after vortex-induced vibration event / D. Dan, X. Yu, F. Han, B. Yu // Structural Health Monitoring. - 2021. - P. 1-15.

129. Dashti S. Evaluating the reliability of phones as seismic monitoring instruments / S. Dashti, J.D. Bray, J. Reilly // Earthquake Spectra. - 2014. - Vol. 30. - Issue 2. - P. 721-742.

130. Diana G. Super long suspension bridges: Railway runnability / G. Diana, S. Bruni, F. Cheli, A. Collina // 15th Congress of IABSE. - 1996.

131. Diana G. Railway runnability and train-track interaction in long span cable supported bridges / G. Diana, S. Bruni, F. Cheli // Research Publications at Politecnico di Milano. - 2000. http://hdl.handle.net/11311/268611

132. Drabek P. Nonlinear models of suspension bridges: discussion of the results / P. Drabek, G. Holubova, A. Matas, P. Necesal // Applications of Mathematics. - 2003. - Vol. 48. - Issue 6. - P. 497-514.

133. Drabek P. Bifurcation of periodic solutions in symmetric models of suspension bridges / P. Drabek, G. Holubova // Topological Methods in Nonlinear Analysis. - 1999. - Vol. 14. - Issue 1. - P. 39-58.

134. Dubois A.J. A new theory of the suspension system with stiffening truss / A.J. Dubois // Nature. - 1882. - P. 46-48.

135. Feng M. Citizen sensors for SHM: use of accelerometer data from smartphones / M. Feng, Y. Fukuda, M. Mizuta, E. Ozer // Sensors. - 2015. -Vol. 15. - Issue 2. - P. 2980-2998.

136. Franciosi C. Second order influence line analysis for suspension bridges / C. Franciosi, V. Franciosi // International Journal of Mechanical Sciences. -1989. - Vol. 31. - Issue 8. - P. 599-609.

137. Frank Pai P. Highly flexible structures: modeling, computation and experimentation / P. Frank Pai. Reston: AIAA Education Series, 2007. - 742 p.

138. Fryba L. Vibration of solids and structures under moving loads / L. Fryba. Groningen: Noordhoff International Publishing, 1972. - 475 p.

139. Fryba L. Intensive vibration of bridges due to high-speed trains / L. Fryba // WIT Transactions on the Built Environment. - 2002. - Vol. 61. - Issue 10. - P. 595-604.

140. Fryba L. Vertical accelerations of bridges - A new limit state / L. Fryba // WIT Transactions on Modelling and Simulation. - 2003. - Vol. 33. - 10 p.

141. Fujino Y. Synchronization of human walking observed during lateral vibration of a congested pedestrian bridge / Y. Fujino, B.M. Pacheco, S.I. Naka-mura, P. Warnitchai // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 1993. - Vol. 22. - P. 741-758.

142. Fukuda T. Multispan suspension bridges under lateral loads / T. Fukuda // ASCE Journal of the Structural Engineering. - 1968. - Vol. 94. - Issue 1. -P.133-152.

143. Fukuda T. Analysis of longitudinally loaded suspension bridges / T. Fukuda // ASCE Journal of the Structural Engineering. - 1968. - vol. 94. - Issue 4. - P. 855-874.

144. Gazzola F. Mathematical models for suspension bridges. Nonlinear structural instability/ F. Gazzola. Switzerland: Springer, 2015. - 274 c.

145. Glover J. Existence and stability of large-scale nonlinear oscillations in suspension bridges / J. Glover, A.C. Lazer, P.J. McKenna // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 1989. - Vol. 40. - Issue 2. - P. 172-200.

146. Guerrieri A. Internal parametric resonance and aeroelastic effects for long span suspension bridges / A. Guerrieri // Tesi di Laurea Magistrale. -2015. - 333 p. http://hdl.handle.net/10589/107437

147. Han F. Vertical vibrations of suspension bridges: A review and a new method / F. Han, Z. Deng, D. Dan // Archives of Computational Methods in Engineering. - 2020. - Vol. 28. - C. 1591-1610.

148. Hawranek A. Theorie und Berechnung der Stahlbrucken / A. Hawranek, O. Steinhardt. Berlin: Springer, 1958. - 426 p.

149. Hayashi Y. Torsional oscillation analysis of suspension bridges by a displacement method / Y. Hayashi, M. Murata // Transaction of Japan Society of Civil Engineers. - 1978. - Vol. 9. - Issue 258. - P. 133-144.

150. Hayashikawa T. Effects of shear deformation and rotary inertia on suspension bridge response under moving loads / T. Hayashikawa // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1983. - Issue 335. - P. 183-193.

151. Hayashikawa T. Suspension bridge response to moving loads / T. Hayashikawa, N. Watanabe // ASCE Journal of the Engineering Mechanics. -1982. - Vol. 108. - Issue 6. - P. 1051-1066.

152. Irvine H.M. The estimation of earthquake generated additional tension in a suspension bridge cable / H.M. Irvine // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 1980. - Vol. 8. - P. 267-273.

153. Irvine H.M. Cable structures / H.M. Irvine. London: The MIT Press, 1981. - 272 p.

154. Irvine H.M. The linear theory of free vibrations of a suspended cable / H.M. Irvine, T.K. Caughey // Proceedings of the Royal Society. A Mathematical, Physical and Engineering Sciences. - 1974. - Vol. 341. - P. 299-315.

155. Irvine H.M. On the dynamic response of a suspended cable / H.M. Irvine, J.H. Griffin // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 1976. -Vol. 4. - P. 389-402.

156. Ito M. Three dimensional dynamics and aerodynamic stability of longspan suspension bridges / M. Ito // Bel report, dept. of civil eng. University of Tokyo. - 1981.

157. Ivanchenko I.I. Analytical study on dynamics interaction between vehicles and viaducts at high-speed railway / I.I. Ivanchenko // Proceedings of the 1996 5th Mini Conference on Vehicle System Dynamics, Identification and Anomalies. Budapest, Hung. - 1996. - p. 119-128.

158. Ivanchenko I.I. Design of framed structures modeling bridges for moving loads / I.I. Ivanchenko // Mechanics of Solids. - 2001. - Vol. 36. - № 4. -P. 121-132.

159. Ivanchenko I.I. Dynamic interaction of high-speed railway train and bridges / I.I. Ivanchenko // Structural Change and Economic Dynamics. -2002. - Vol. 2. - P. 1173.

160. Ivanchenko I.I. Dynamic interaction of high-speed railway train and double-track bridges / I.I. Ivanchenko // The 7th European Conference on Structural Dynamics, Eurodyn. - 2008.

161. Ivanchenko I.I. A boundary element scheme for problems of framed structures subjected to seismic load / I.I. Ivanchenko //The 8th European Conference on Structural Dynamics, Eurodyn. - 2011. - P.1406 -1411.

162. Iwegbue I.E. A numerical integration method for computing the flutter speeds of suspension bridges in erection conditions / I.E. Iwegbue, D.M. Brotton // Proceeding of Institution of Civil Engineers. - 1977. - Vol. 63. - Issue 2. - P. 785-802.

163. Jacover D. Nonlinear torsional flexings in a periodically forced suspended beam / D. Jacover, P.J. McKenna // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1994. - Vol. 52. - Issue 1-3. - P. 241-265.

164. Jennings A. Gravity stiffness of classical suspension bridges / A. Jennings // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1983. - Vol. 109. - Issue ST1. - P. 16-37.

165. Jones R.T. Two case studies in the use of tuned vibration absorbers on footbridges / R.T. Jones, A.J. Pretlove, R. Eyre // Institution of Structural Engineers. - 1981. - Vol. 59B. - P. 27-32.

166. Katembo A.L. Influence on fractional calculus model parameters on nonlinear forced vibrations of suspension bridges / A.L. Katembo, M.V. Shitikova // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2019. - Vol. 489.

167. Katembo A.L. Numerical analysis of forced vibrations of the Golden Gate suspension bridge in the case of the 1:1 internal resonance / A.L. Katembo, M.V. Shitikova, V.V. Kandu // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2019. - Vol. 747.

168. Kawada T. Additional mass method - a new approach to suspension bridge rehabilitation / T. Kawada, A. Hirai // Engineers' Society of Western Pennsylvania, Proceedings 2nd annual International Bridge Conference. -1985. - P. 28-35.

169. Komatsu S. Effects of shear deformation on free vibrations of long span suspension bridges / S. Komatsu, N. Nishimura // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1982. - Issue 323. - P. 29-41.

170. Lacarbonara W. Flutter of an arch bridge via a fully nonlinear continuum formulation / W. Lacarbonara, A. Arena // Journal Aerospace Engineering. -2011. - Vol. 24. - Issue 1. - P. 112-123.

171. Lacarbonara W. Feasibility of a vibration absorber based on hysteresis / W. Lacarbonara, V. Colone // Proceedings of the Third World Congress on Structural Control. - 2002. - P. 7-12.

172. Lacarbonara W. Dynamic response of arch bridges traversed by highspeed trains / W. Lacarbonara, V. Colone // Journal of Sound and Vibration. -2007. - Vol. 304. - P. 72-90.

173. Law S.S. Vibration control study of a suspension footbridge using hybrid slotted bolted connection elements / S.S. Law, Z.M. Wu, S.L. Chan // Engineering Structures. - 2004. - Vol. 26. - P. 107-116.

174. Lazer A.C. Large scale oscillation behavior in loaded asymmetric systems / A.C. Lazer, P.J. McKenna // Nonlinear Analysis. - 1987. - Vol. 4. - P. 244-274.

175. Lazer A.C. Large-amplitude periodic oscillations in suspension bridges. Some new connections with nonlinear analysis / A.C. Lazer, P.J. McKenna // Society for Industrial and Applied Mathematics, Journal on Mathematical Analysis. - 1990. - Vol. 32. - Issue 4. - P. 537-578.

176. Lepidi M. Aeroelastic stability of a symmetric multi-body section model / M. Lepidi, G. Piccardo // Meccanica. - 2015. - Vol. 50. - Issue 3. - P. 731749.

177. Li H. Optimization of non-uniformly distributed multiple tuned mass damper / H. Li, X. Ni // Journal of Sound and Vibration. - 2007. - Vol. 308. -P. 80-97.

178. Malik J. Generalized nonlinear models of suspension bridges / J. Malik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2006. - Vol. 324. - Issue 2. - P. 1288-1296.

179. Malik J. Nonlinear models of suspension bridges / J. Malik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2006. - Vol. 321. - Issue 2. - P. 828-850.

180. Matsumoto Y. Dynamic design of footbridges / Y. Matsumoto, T. Nishioka, H. Shiojiri, K. Matsuzaki // IABSE Proceedings. - 1978. - Issue 17. - P. 1-15.

181. McKenna P.J. Large torsional oscillations in suspension bridges revisited: fixing an old approximation / P.J. McKenna // American Mathematical Monthly. - 1999. - Vol. 106. - Issue 1. - P. 1-18.

182. Mckenna P.J. Nonlinear oscillation in a suspension bridge / P.J. McKen-na, W. Walter // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1987. - Vol. 98. - P. 167-177.

183. McKenna P.J. Traveling waves in a suspension bridge / P.J. McKenna, W. Walter // SIAM, Journal of Applied Mathematics. - 1990. - Vol. 50. - P. 703-715.

184. McLamore V.R. Ambient vibration of two suspension bridges / V.R. McLamore, G.C. Hart, I. Stubbs // ASCE Journal of Engineering Mechanics. -1971. - Vol. 97. - Issue 10. - P. 2567-2582.

185. Melan J. Theorie der eisernen bogenbrucken und der hangebrucken handbuch der ingenieurwissenschaften / J. Melan. Leipzig: Engelmann, 1888. - 144 p.

186. Melan J. Theory of arches and suspension bridges / J. Melan. Chicago: M.C. Clark Publishing Company, 1913. - 303 p.

187. Moisseiff L. Suspension bridges under the action of lateral forces / L. Moisseiff, F. Lienhard // Transactions of the American Society of Civil Engineers. - 1933. - Vol. 221. - Issue 5726. - P. 1141.

188. Moore K.S. Large torsional oscillations in a suspension bridge: Multiple periodic solutions to a nonlinear wave equation / K.S. Moore // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 2002. - Vol. 33. - Issue 6. - P. 1411-1429.

189. Nayfeh A.H. Nonlinear oscillation / A.H. Nayfeh, D.T. Mook. New-York: John Wiley & Sons, 1995. - 687 p.

190. Nayfeh A.H. Linear and nonlinear structural mechanics / A.H. Nayfeh, P. Pai. New-York: Wiley-Interscience, 2004. - 732 p.

191. Okukawa A. Suspension bridge / A. Okukawa, S. Suzuki, I. Harazaki. Boca Raton: CRC press, 2000. - 37 p.

192. Oraczewski T. Nonlinear acoustics for structural health monitoring using mobile, wireless and smartphone-based transducer platform / T. Oraczewski, W.J. Staszewski, T. Uhl // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2015. - Vol. 27. - Issue 6. - P. 786-796.

193. Ozer E. Hybrid motion sensing and experimental modal analysis using collocated smartphone camera and accelerometers / E. Ozeer, D. Feng, M.Q. Feng // Measurement Science and Technology. - 2017. - Vol. 28. - Issue 10.

194. Ozer E. Synthesizing spatiotemporally sparse smartphone sensor data for bridge modal identification / E. Ozer, M.Q. Feng // Smart Materials and Structures. - 2016. - Vol. 25. - Issue 8.

195. Ozer E. Direction-sensitive smart monitoring of structures using heterogeneous smartphone sensor data and coordinate system transformation / E. Ozer, M.Q. Feng // Smart Materials and Structures. - 2017. - Vol. 26. - Issue 4.

196. Ozer E. Biomechanically influenced mobile and participatory pedestrian data for bridge monitoring / E. Ozer, M.Q. Feng // International Journal of Distributed Sensor Networks. - 2017. - Vol. 13. - Issue 4.

197. Ozer E. Citizen sensors for SHM: towards a crowdsourcing platform / E. Ozer, M.Q. Feng, D. Feng // Sensors. - 2015. - Vol. 15. - Issue 6. - P. 1459114614.

198. Ozer E. Multi-output modal identification of landmark suspension bridges with distributed Smartphone data: Golden Gate Bridge / E. Ozer, R. Purasinghe, M.D. Feng // Structural Control and Health Monitoring. - 2020. -P. 1-29.

199. Paine C.D. Supplement to the final report of the Chief Engineer - Golden Gate Bridge / C.D. Paine. Highway and Transportation District. - 1970.

200. Pascoletti A. Example of a suspension bridge ODE model exhibiting chaotic dynamics: a topological approach / A. Pascoletti, F. Zanolin // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2008. - Vol. 339. - Issue 2. - P. 1179-1198.

201. Peery D.J. An influence-line analysis for suspension bridge / D.J. Peery // Transactions of the American Society of Civil Engineers. - 1955. - Vol. 121. - P. 463-510.

202. Petre A. Aeroelastic stability of suspension bridges / R. Sofronie, A. Petre // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1981. - Vol. 107. - Issue 12. - P. 2437-2442.

203. Petrini F. Comparison of time domain techniques for the evalution of the response and the stability in long span suspension bridges / F. Petrini, F. Giuliano, F. Bontempi // Computers and Structures. - 2007. - Vol. 85. - Issue 11-14.- P. 1032-1048.

204. Plaut R.H. Snap loads and torsional oscillations of the original Tacoma Narrows Bridges / R.H. Plaut // Journal of Sound and Vibration. - 2008. - Vol. 309. - Issue 3-5. - P. 613-636.

205. Plaut R.H. Sudden lateral asymmetry and torsional oscillations of section models of suspension bridges / R.H. Plaut, F.M. Davis // Journal of Sound and Vibration. - 2007. - Vol. 307. - Issue 3-5. - P. 894-905.

206. Podlubny I. Fractional differential equations: an introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / I. Podlubny. New-York: Academic Press, 1999. -340 p.

207. Poovarodom N. Application of nonlinear multiple tuned mass dampers to suppress man-induced vibrations of a pedestrian bridge / N. Poovarodom, S. Kanchanosot, P. Warnitchai // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 2003. - Vol. 32. - P. 1117-1131.

208. Pugsley S.A. The theory of suspension bridges / S.A. Pugsley. London: Edward Arnold, 1968. - 163 p.

209. Rainer J.H. Dynamic properties of Lion's Gate suspension bridge/ J.H.Rainer, V. Selts // NRC Publications Archive. - 1976. - P. 243-252.

210. Rankine W.J.M. A manual of applied mechanics / W.J.M. Rankine. London: Charles Griffin and Co., 1869. - 640 p.

211. Raymond C.W. Report of the board of engineer officers as to maximum span practicable for suspension bridges / C.W. Raymond, W.H. Bixby. Washington, D.C. - 1894. - 188 p.

212. Reilly J. Mobile phones as seismologic sensors: automating data extraction for the iShake system / J.D. Reilly, S. Dashti, M. Ervasti, J.D. Bray [h gp.] // IEEE Transactions on Automation Science and Engineering. - 2013. - Vol. 10. - Issue 2. - P. 242-251.

213. Ritter W. Versteifungsfachwerke bei bogen und hangerbrucken / W. Ritter // Zeitschrift fur bauwesen. - 1877. - Vol. 27. - Issue 4.

214. Rossikhin Yu.A. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Shock and Vibration. - 2009. - Vol. 16. - Issue 4. - P. 365-387.

215. Rossikhin Yu.A. Analysis of nonlinear free vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal of Sound and Vibration. -1995. - Vol. 186. - Issue 2. - P. 369-393.

216. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // ASCE Journal of Engineering Mechanics. - 1998. - Vol. 124. - Issue 9. - P. 1029-1036.

217. Rossikhin Yu.A. Nonlinear free damped vibrations of suspension bridges with uncertain fractional damping / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal Europeen des Systemes Automatises. - 2008. - Vol. 42. - Issue 6-8. - P. 879894.

218. Rossikhin Yu.A. Forced vibrations of a nonlinear oscillator with weak fractional damping / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Mechanics of Materials and Structures. - 2009. - Vol. 4. - Issue 9. - P. 1619-1636.

219. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 2010. - Vol. 63. - P. 1-51.

220. Rossikhin Yu.A. On fallacies in the decision between the Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives for the analysis of the dynamic response of a nonlinear viscoelastic oscillator / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Mechanics Research Communications. - 2012. - vol. 45. - P. 22-27.

221. Saafan S.A. Theoretical analysis of suspension bridges / S.A. Saafan // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1986. - Vol. 92. - Issue ST4. - P. 1-11.

222. Sado D. Energy transfer in two-degree-of-freedom vibrating system: a survey / D. Sado // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. - 1993. -Vol. 31. - P. 151-173.

223. Salvatori L. Frequency and time-domain methods for the numerical modelling of full bridge aeroelasticity / L. Salvatori, C. Borri // Computers and Structures. - 2007. - Vol. 85. - Issue 11-14. - P. 675-687.

224. Selberg A. Oscillation and aerodynamic stability of suspension bridges / A. Selberg // Acta Polytechnica Scandinavica. - 1961. - Vol. 13. - P. 308-377.

225. Shitikova M.V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamic analysis of structures / M.V. Shitikova // Nonlinear Dynamics. -2020. - Vol. 99. - Issue 1. - P. 109-122.

226. Shitikova M.V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamics of structures: A memorial essay / M.V. Shitikova. Birkhauser, Cham, 2020. - P. 653-670.

227. Shitikova M.V. Dynamics of suspension bridges: nonlinear free and forced vibrations with internal resonances / M.V. Shitikova, A.L. Katembo // Booklet of Abstracts of the Symposium "Nonlinear Dynamics - Scientific work of Prof. Dr. Katica (Stevanovich) Hedrih". Belgrade, 4-6 September 2019. - P. 43-44.

228. Shitikova M.V. Analysis of force driven vibrations of suspension bridges under primary and 2:1 internal resonances / M.V. Shitikova, A.L. Katembo // Proceedings of the 14th International Conference on Vibration Problems. Crete, Greece, 1-4 September 2019. https:icovp2019.org/proceedings/pdf/18686.pdf

229. Shitikova M.V. Analysis of nonlinear vibrations of suspension bridges subjected to a moving force in the presence of the internal resonance /

Shitikova M.V., Katembo A.L. // Abstracts of the International Conference on Nonlinear Solid Mechanics (IConSoM). Roma, Italy, 16-19 June 2019.

230. Shitikova M.V. Analysis of nonlinear forced vibrations of fractionally damped suspension bridge subjected to the one-to-one internal resonance / M.V. Shitikova, A.L. Katembo // International Journal for Computation Civil and Structural Engineering. - 2020. - Vol. 16. - № 2. - P. 113-129.

231. Simiu E. Wind effects on structures: fundamentals and applications to design / E. Simiu, R.H. Scanlan. New-York: Wiley, 1996. - 688 p.

232. Smirnov V.A. Numerical analysis of long-haul structure laying on nonlinear foundation subjected to moving load / V.A. Smirnov // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2018. - Vol. 012061.

233. Sony S. A literature review of next-generation smart sensing technology in structural health monitoring / S. Sony, S. Laventure, A. Sadhu // Structural Control and Health Monitoring. - 2019. - Vol. 26. - Issue 3. - P. 21-23.

234. Steinman D.B. A practical treatise on suspension bridges: their design, construction and erection / D.B. Steinman. New-York: John Wiley, 1929. -299 p.

235. Strauss J.B. The Golden Gate Bridge, report to the board of directors of the Golden Gate Bridge and highway district / J.B. Strauss. San Francisco: Library of Congress Prints, 1937. - 246 p.

236. Szidarovsky J. Corrected deflection theory of suspension bridges / J. Szidarovsky // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1960. - Issue ST11. - P. 25-51.

237. Takahashi K. On vertical nonlinear vibrations of suspension bridges / K. Takahashi // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1979. - Issue 286. - P. 151-154.

238. Takahashi K. Nonlinear free vibrations of inextensible beams / K. Takahashi // Journal of Sound and Vibration. - 1979. - Vol. 64. - P. 31-34.

239. Takahashi K. Fundamental equations of stiffened suspension bridge considering coupled deformations and its application to the system subjected to

wind loads / K. Takahashi, T. Muroi, I. Hirano // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1978. - vol. 277. - p. 25-40.

240. Tanaka H. Wind induced response of Golden Gate Bridge / H. Tanaka, A. Davenport // Journal of Engineering Mechanics, Proceedings of the American Society of Civil Engineers. - 1983. - Vol. 109. - Issue 1. - P. 296-312.

241. Theodorsen T. General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter / T. Theodorsen // NACA Technical Reports. - 1934. - P. 291311.

242. Tian R. Nonlinear vibration characteristics of flexible suspension bridge under moving load / R. Tian, X. Yang // Advanced Materials Research. - 2011. - Vol. 179. - Issue 180. - P. 1025-1030.

243. Turneaure F.E. Derivation of formulas used in the calculation of stresses in the stiffening truss / F.E. Turneaure. New-York, 1909.

244. Veletsos A.S. Dynamic stiffness of parabolic cables / A.S. Veletsos // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 1983. - Vol. 11. - P. 36-41.

245. Veletsos A.S. Free vibrations of parabolic cables / A.S. Veletsos, G.R. Darbre // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1983. - Vol. 109. - Issue 2. - P. 503-519

246. Vellozzi J. Vibration of suspension bridge under moving loads / J. Vellozzi // ASCE Journal of the Structural Engineering. - 1967. - Vol. 93. -Issue 4. - P. 123-138.

247. Vestroni V. Closed-form solutions for the structural response to train loads / V. Vestroni, S. Vidoli // Journal of Sound and Vibration. - 2007. - Vol. 303. - P. 691-706.

248. Vincent G.S. Golden Gate Bridge vibration studies / G.S. Vincent // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1962. - Vol. 84. - Issue 6. - P. 140.

249. Vincent G.S. Correlation of predicted and observed suspension bridge behavior / G.S. Vincent // Transactions of the American Society of Civil Engineers. - 1962. - Vol. 127. - Issue 2. - P. 646-666.

250. Vincent G.S. Golden Gate Bridge vibration studies / G.S. Vincent // Transactions of the American Society of Civil Engineers. - 1962. - Vol. 127. Part II. - P. 667-701.

251. West H.H. Initial-value discrete suspension bridge analysis / H.H. West // International Journal of Solids and Structures. - 1973. - Vol. 9. - Issue 9. -P. 1087-1105.

252. West H.H. Continuous method of suspension bridge analysis / H.H. West, A.R. Robinson // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1968. -Vol. 94. - Issue ST12. - P. 2861-2883.

253. West H.H. Natural vibration of suspension cables / H.H. West, J.E. Suhoski, J.L.F. Geschwindner // ASCE Journal of Structural Engineering. -1975. - Issue 11. - P. 2277-2291.

254. West H.H. Natural frequencies and modes of suspension bridges / H.H. West, J.E. Suhoski, J.L.F. Geschwindner // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1984. - Vol. 10. - Issue 110. - P. 2471-2487.

255. Wiles E.G. Report of aerodynamic studies on proposed San Pedro terminal island suspension bridge / E.G. Wiles. Washington, D.C.: Bureau of Public Roads, U.S. Department of Commerce, 1960.

256. Woude F.V. Natural oscillations of suspension bridges / F.V. Woude // ASCE Journal of Structural Engineering. - 1982. - Vol. 108. - Issue 8. - P. 1815-1830.

257. Xia H. Dynamic analysis of train-bridge system subjected to nonuniform seismis excitations / H. Xia, N. Zhang, W. Guo, Y. Han // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 2006. - Vol. 35. - Issue 12. - P. 15631579.

258. Xia H. Dynamic interaction of long suspension bridges with running trains / H. Xia, Y.L. Xu, T.H.T. Chan // Journal of Sound and Vibration. -2000. - Vol. 237. - Issue 2. - P. 263-280.

259. Xia H. Analysis of resonance mechanism and conditions of train-bridge system / H. Xia, N. Zhang, W. Guo // Journal of Sound and Vibration. - 2006. - Vol. 297. - Issue 3-5. - P. 810-822.

260. Xu K. Dynamic characteristics of multiple substructures with closely spaced frequencies / K. Xu, T. Igusa // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1992. - Vol. 21. - P. 1059-1070.

261. Xu L. Modeling and modal analysis of suspension bridge based on continual formula method / L. Xu, H. Yi, Y. Quingshom [h gp.] // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2021. - Vol. 162. - P. 29.

262. Xu L. Three-to-one internal resonance analysis for a suspension bridge with spatial cable through a continuum model / L. Xu, H. Yi, Z. Weidong, H. Xugang // European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2021. - Vol. 90. - P. 1-38.

263. Yamaguchi H. Fundamental characteristics of multiple tuned mass dampers for suppressing harmonically forced oscillation / H. Yamaguchi, N. Harnpornchai // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. - 1993. -Vol. 22. - P. 51-62.

264. Yamaguchi H. Experimental study on dynamic response of suspension bridges in three dimensions / H. Yamaguchi, M. Ito // Annual Report of Eng. Res. Inst., Univ. of Tokyo. - 1981.

265. Yamaguchi H. Effects of another wind-induced motions on torsional flutter of a suspension bridge / H. Yamaguchi, M. Ito // 12th Congress of IABSE, final report. - 1984. - P. 697-704.

266. Yamaguchi H. Dymanics and aerodynamic stability of a suspension bridge deformed by wind force / H. Yamaguchi, H. Yokoyama, M. Ito // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1983. - Issue 331. - P. 2531.

267. Yang Y.B. State-of-the-art review on modal identification and damage detection of bridges by moving test vehicles / Y.B. Yang, J.P. Yang // Interna-

tional Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2018. - Vol. 18. - № 2. -P. 1 - 31.

268. Yang Y.B. Vibration of simple beams due to trains moving at high speeds / Y.B. Yang, J.D. Yau, L.C. Hsu // Engineering Structures. - 1997. -Vol. 19. - Issue 11. - P. 936-944.

269. Yang Y.B. Vehicle-bridge interaction dynamics with applications to high-speed railways / Y.B. Yang, J.D. Yau, Y.S. Wu. Singapore: World Scientific, 2004. - 527 p.

270. Yasoshima Y. Some problems of suspension bridges under running of railway vehicles / Y. Yasoshima, M. Ito, T. Nishioka // Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers. - 1969. - Issue 167. - P. 47-53.

271. Zhao X. Distributed displacement response investigation technique for bridge structures using smartphones / X. Zhao, Q. Zhao, Y. Yu, Y. Chen // Journal of Performance of Constructed Facilities. - 2017. - vol. 31. - Issue 4. -P. 13.

272. Zhao X. Portable and convenient cable force measurement using smartphone / X. Zhao, R. Han, Y. Ding // Journal of Civil Structural Health Monitoring. - 2015. - Vol. 5. - Issue 4. - P. 481-491.

273. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021664106 «Программный комплекс численных исследований нелинейных вынужденных колебаний висячих мостов под действием подвижных и сосредоточенных нагрузок при наличии внутреннего резонанса».

ПРИЛОЖЕНИЕ. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ