Анализ влияния нелинейных эффектов на течение флюидов в пористых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.17, кандидат наук Гаюбов Абдумалик Талат угли

• Гаюбов Абдумалик Талат угли
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Гаюбов Абдумалик Талат угли

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Уравнения течения: предположения и ограничения (история)

1.2 Извилистость поровых каналов

1.3 Эффекты проскальзывания молекулы газа (эффект Клинкенберга)

1.4 Эффекты инерционных сил в пористой среде

Выводы по главе

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И ПОЛУЧЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО ЗАКОНА ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

2.1 Экспериментальные данные

2.2 Метод анализа размерностей

2.3 Метод машинного обучения

2.4 Метод нормирования данных

2.5 Регрессионная модель

2.5.1 Метод определения коэффициента Клинкенберга с помощью линейной регрессионной модели

2.5.2 Получение универсального закона течения флюида с помощью множественной регрессионной модели

2.6 Анализ результатов

Выводы по главе

ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО ЗАКОНА ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДА НА МЕЗОУРОВНЕ

3.1 Масштабы течения флюида в пористой среде

3.2 Математическая модель однофазного течения флюида на мезоуровне

3.2.1 Линейный закон Дарси

3.2.2 Полуаналитическая модель течения флюида в пористой среде

3.3 Оценка модели течения флюида при граничных условиях Дирихле

3.4 Оценка модели течения флюида при смешанных граничных условиях

Выводы по главе

ГЛАВА 4. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДА НА МАКРОУРОВНЕ

4.1 Полуаналитическая модель течения флюида в пористой среде

4.2 Оценка модели течения флюида при граничных условиях Дирихле

4.3 Оценка модели течения флюида при смешанных граничных условиях

Выводы по главе

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Течение флюидов в пористых средах является важной составляющей во многих областях нефтегазовой отрасли, таких, как разработка месторождений, гидрология пластовых вод, защита окружающей среды и многих других. Правильное описание свойств флюидов и их движения в пористых средах необходимо для решения задач проектирования систем разработки месторождений. Данная задача требует физико-математических моделей, корректно описывающих течения флюидов при различных пластовых условиях.

Одним из важных параметров пористых сред является проницаемость, характеризующая проводимость коллектора. Проницаемость коллекторов может

12

варьироваться в широком диапазоне - от 10- до менее 10- м для различных типов горных пород. Традиционно для определения проницаемости в лабораторных условиях в качестве флюида используют инертные газы, чтобы минимизировать влияние флюида на измеряемую проницаемость. Однако многочисленными исследованиями установлено, что проницаемость пород, измеренная с использованием газа, отличается от истинной. Данное явление объясняется эффектом проскальзывания газа (эффект Клинкенберга), возрастающим с уменьшением проницаемости коллектора. До недавнего времени считалось, что эффект Клинкенберга важен только для корректного определения проницаемости пород в лабораторных условиях и что он малосуществен в задачах прогнозирования производительности скважин.

Еще одно отклонение от закона Дарси может проявляться под действием инерционных сил в пористых средах. По мере увеличения градиентов давления и скорости течения флюидов силы инерции становятся более значительными, и связь между градиентом давления и скоростью течения становится нелинейной. В этом случае закон Дарси обычно заменяется уравнением Форхгеймера, в котором используется инерционный коэффициент (коэффициент Форхгеймера), метод определения которого недостаточно хорошо изучен.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ влияния нелинейных эффектов на течение флюидов в пористых средах»

Актуальность работы

Многими исследователями предложены уравнения, учитывающие нелинейные эффекты движения флюидов в пористых средах в той или иной степени, однако отсутствуют модели, учитывающих такие нелинейные эффекты, как эффект Форхгеймера и Клинкенберга. Поэтому создание простых и надежных моделей течения флюидов, основанных на классических подходах и современных технологиях, учитывающих нелинейные эффекты, является безусловно актуальной. Следует отметить, что современный уровень компьютерных технологий позволяют проводить так называемые виртуальные лабораторные эксперименты. Вместо проведения высоко затратных лабораторных исследований можно было бы с помощью численного моделирования изучать особенности течения флюидов, сидя перед компьютером. Использование новых уравнений в сочетании с современными компьютерными технологиями и методами анализа позволяет по-новому взглянуть на сложные процессы, протекающие в пористых средах.

Целью диссертационной работы является анализ влияния нелинейных эффектов на течения флюидов и получение универсального уравнения движения флюидов в пористых средах с различной геометрией.

Основные задачи исследования

Поставленная цель исследования достигнута путем решения следующих

задач:

1. Анализ экспериментальной базы данных, изучение влияния различных параметров пористых сред на особенности течения флюидов.

2. Получение универсального уравнения течения флюидов, основанного на сочетании классического подхода и использовании современных методов анализа, таких, как анализ размерностей, методы нормирования данных и машинного обучения.

3. Обоснование применимости предложенного уравнения течения флюидов и эмпирических соотношений на примере проведенных лабораторных

15 20 2

исследований с ультранизкими (10- -10- м) и высокопроницаемыми образцами пород (10-13-10-12 м2).

4. Оценка влияния нелинейных эффектов на режимы течения флюидов в различных масштабах (мезо и макроуровень) и при различных геометриях течения.

Научная новизна

1. Использование комплекса современных методов в сочетании с классическими подходами позволило сократить количество переменных и, тем самым, повысить достоверность анализа и выразить коэффициент инерционной составляющей в виде простой комбинации таких параметров, как проницаемость, пористость и извилистость.

2. Получено универсальное уравнение течения флюидов, учитывающее отклонение от закона Дарси при проявлении эффекта проскальзывания газа и инерционных сил.

3. Используемый в работе подход позволяет проводить цифровые эксперименты без необходимости проведения лабораторных исследований для изучения влияния различных эффектов на течение флюидов в пористых средах.

Теоретическая и практическая значимость работы

1. Использование предложенного уравнения, основанного на регрессионных соотношениях, позволяет дополнять базы данных месторождений, относящихся к группе трудноизвлекаемых (арктические, морские, сланцевые и т.д.), цифровыми (синтетическими) данными, которых не хватает для проведения прогноза показателей разработки.

2. С помощью использования современных методов машинного обучения удается обработать зашумленные данные и выявлять ошибки при регистрации лабораторных измерений пористости и проницаемости. Указанный результат был получен в ходе выполнения данной работы и позднее подтвержден научной лабораторией.

3. С помощью универсального уравнения течения флюидов удалось оценить влияние нелинейных эффектов на течение флюидов на макроуровне при различных плотностях сетки скважин.

4. Материалы диссертации использовались в процессе обучения магистров по предмету «Инновационные технологии разработки нефтяных месторождений с использованием систем искусственного интеллекта» и курсе «Современные методы увеличения нефтеотдачи и интенсификации добычи нефти. Оценка эффективности с элементами нечеткой логики» в РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина в 2020 г.

Основные защищаемые положения

1. Уравнение движения флюидов в пористой среде, учитывающее нелинейные эффекты, такие, как инерционные эффекты (Форхгеймера) и эффект проскальзывания газа (Клинкенберга).

2. Корреляционные зависимости для определения извилистости пористых сред, коэффициента Форхгеймера, учитывающего инерционные эффекты, и коэффициента Клинкенберга, описывающего эффект сверхпроводимости газа.

3. Простые аналитические формулы для расчета чисел Рейнольдса и Форхгеймера.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 112 страницах, включая 34 рисунка, 12 таблиц и список использованной литературы из 177 наименований.

Благодарности

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.т.н., профессору Золотухину А.Б. за неоценимую помощь, ценные советы и доброе отношение, оказанные в период подготовки и выполнения диссертационной работы.

Автор также благодарен профессорам Ермолаеву А.И., Назаровой Л.Н., Михайлову Н.Н., Симонянцу С.Л., Гируцу М.В., Пятибратову П.В., Хайдиной М.П., Языниной И.В., Богатырёвой Е.В., Клемперт Л.М и всем сотрудникам

факультета разработки нефтяных и газовых месторождений РГУ нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина за советы, поддержку и помощь на всех этапах выполнения работы.

И, наконец, автор хотел бы выразить глубокую благодарность своим родителям и сестрам за их поддержку, оказанную во время обучения в аспирантуре.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ НЕЛИНЕЙНОГО ТЕЧЕНИЯ ФЛЮИДОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

1.1 Уравнения течения: предположения и ограничения (история)

На протяжении многих лет движению флюидов в пористых средах уделяется большое внимание из-за его важности в таких областях, как пневматические испытания трубопроводов, очистка загрязненных грунтов, рекультивация грунтовых вод и другие. Количественный анализ газового потока имеет решающее значение для этих проектов по защите и восстановлению окружающей среды.

Впервые измерения, связанные с течением флюидов в пористых средах были проведены французским инженером-гидравликом Анри Дарси в 1856 году. Дарси занимался модернизацией и расширением государственных водопроводных сетей в городе Дижон, Франции. Результаты его исследований были опубликованы в 647-страничном техническом отчете под заголовком «Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable» [1]. В ходе изучения движения воды через песчаные фильтры для очистки воды была получена одномерная эмпирическая зависимость. Эксперименты были проведены только для воды, и влияние плотности жидкости и вязкости исследованы не были. Данный эмпирический закон связывает расход жидкости с градиентом давления через коэффициент линейной пропорциональности, который Дарси назвал «perméabilité». Оно аналогично закону Фурье в области теплопроводности, закону Ома в области электрических сетей и Закону Фика в теории диффузии. В 1933 году Вайкофф, Ботсет, Маскет и Рид опубликовали статью под названием «The Measurement of the Permeability of Porous Medium for Homogeneous Fluids», в которой впервые был определен параметр проницаемости и ее физическое значение в нефтяной инженерии [2]:

«Permeability may be defined physically as the volume of a fluid of unit viscosity passing through, in unit time, a unit cross section of the porous medium under the influence of a unit pressure gradient, or, as the macroscopic velocity of a particle of a

unit viscosity fluid at a point in the medium at which the pressure gradient is unity. Defined in this way, the permeability of a porous medium is independent of the absolute pressure or velocities within the flow system, or of the nature of the fluid, and is characteristic only of the structure of the medium. However, it has physical meaning only if the flow is of a viscous rather than turbulent character. [...] Analytically, the permeability, as well as the quantitative meaning of viscous flow, may be defined by means of Darcy's law, which may be stated as:

—vs = (к/ц) ■ (dp/dx) (111)

where vs is the macroscopic velocity (fluid flux per unit area of porous medium) of the fluid, of viscosity ц, in the direction x at the point at which the pressure gradient is p/s and к is the permeability of the medium. The empirical equivalent of Eq. 1.1.1, as applied to liquids, was established as long ago as 1856 by Darcy and has since been confirmed repeatedly by investigators here and abroad..»

Авторы не привели теоретического обоснования приведенному выше уравнению и не сослались на более ранние работы. Только в 1950-х годах Хабберт привел полное теоретическое обоснование эмпирического уравнения Дарси, полученное из общего уравнения Навье-Стокса [3]. В результате проведенных экспериментов впервые Хаббертом получены следующие соотношения проницаемости:

кар, к ad2 (1.1.2)

где р - плотность флюида, кг/м ; ц - вязкость флюида, Па-с; d -характеристическая длина (средний диаметр зерен), характеризующая масштаб пористой среды, м.

В нефтегазовой промышленности первые исследования движения газа в пористых средах были посвящены разработке газовых залежей. Использование моделей газового потока было стандартным методом для определения абсолютной проницаемости и других параметров пористой среды [4, 5]. Самые первые попытки решения задач движения газа при установившемся режиме были предложены Маскетом [6]. Затем Кац получил приближенные аналитические

решения путем линеаризации уравнения потока идеального газа с последующим получением уравнения диффузионного типа [7]. Тем не менее, ввиду введенных при постановке задач предположений (упрощения свойств флюида и уравнения течения), найденные решения применялись ограниченно. Как правило, движение газа в глубокозалегающих коллекторах не подчиняется закону идеального газа, а изменения давления в призабойной зоне скважины значительны для использования постоянных свойств флюида. Только в середине 60-х годов были разработаны более надежные математические решения с использованием численного моделирования [8] и введения функции псевдодавления [9].

Так, например, в России первое указание на возможность усложнения описанной выше простейшей модели Дарси было сделано в опубликованной в 1948 г. статье Исакова [10], обратившего внимание на необходимость учитывать влияние необратимости объемной деформации пласта. В 1956 г. на IV Международном нефтяном конгрессе в Риме был сделан тогда же опубликованный доклад Крылова и Баренблатта [11]. Авторы предложили более сложную модель деформации пласта - упруго-пластическую.

Учету проницаемости кровли и подошвы пласта, а также учету неоднородности пласта в условиях упругого режима были посвящены начиная с 1961 г. работы Гусейн-Заде и его учеников [12-14]. Следует отметить, что еще в 1929 г. Лейбензон вывел нелинейное дифференциальное уравнение движения газа в пористой среде и в дальнейшем развил теорию течения газа и газированной жидкости [15]. Оно также было подвергнуто линеаризации несколькими способами и в результате совпало с уравнением пьезопроводности. Новая, получившая широкую известность, модель течения жидкости в трещиноватых породах была разработана и опубликована в 1960 г. в статье Баренблатта, Желтова и Кочиной [16].

В то время, как численные модели позволяли исследовать течение флюидов в сложных коллекторских условиях, аналитические решения по-прежнему используются, как простой инструмент для определения свойств потока флюида. Несмотря на достигнутый к настоящему времени прогресс в области

моделировании движения флюидов в пористой среде, один из важных аспектов, такой, как эффект Клинкенберга, игнорируется в большинстве случаев [17]. Течение газа в пористых средах отличается от течения жидкости: во-первых, газ сильно сжимаем, а во-вторых, из-за проявления эффекта Клинкенберга. Эффект проскальзывания молекул газа через маленькие капилляры впервые был указан в работах Кундта и Варбурга в 1875 году, который в дальнейшем широко изучался физиками и математиками [18]. Многие проведенные лабораторные эксперименты [19-23] подтвердили, что эффект Клинкенберга может оказывать значительное влияние на поведение течения газа, особенно в породах с низкой проницаемостью, и им нельзя пренебрегать.

Еще одно отклонение от закона Дарси может проявляться под действием инерционных сил в пористых средах. Австрийский ученый Филипп Форхгеймер в 1901 в своей работе «Wasserbewegung durch Boden» исследовал течение жидкости через пористую среду в высокоскоростном режиме [24]. Во время исследований он заметил, что по мере увеличения градиентов давления и скорости течения флюидов силы инерции становятся более значительными, и связь между градиентом давления и скоростью течения становится нелинейной. Чтобы учесть эти инерционные эффекты, Форхгеймер предложил включить в уравнение Дарси дополнительное квадратное слагаемое, представляющее кинетическую энергию флюида.

Инерционные эффекты, проявляющиеся при высокоскоростном режиме течения, изучались многими учеными на протяжении десятилетий [25-28]. Более ранние исследования были сосредоточены в основном на условиях однофазного потока [26, 29, 30]. Некоторые из них были проведены для течения флюидов в трещиноватых коллекторах [31-33], а остальные были направлены на определение и оценку правильности корреляций коэффициентов Форхгеймера [34-37].

Сами пористые среды представляют собой тела со сложной структурой и системой пор. Их поровое пространство очень хаотично, размеры пор которых варьируются в широком диапазоне (рис. 1.1.1). Но что делает пористые среды особенно сложными, так это извилистость поровых каналов. До начала 70-х годов

моделирование пористых сред в масштабе пор, а также процессов течения, протекающих в них, считалось невыполнимой задачей. Законы движения флюида часто усреднялись законами сохранения (уравнений неразрывности и импульса) по определенному сегменту порового пространства, так что в масштабе этого сегмента пористая среда могла считаться однородной. Из-за сложности структуры порового пространства наиболее используемой была модель пористого тела, имеющая прямые параллельные цилиндрические капилляры [27]. Обычно результаты таких моделей плохо коррелировались с экспериментальными данными. Для устранения этой проблемы, Карман в 1937 впервые ввел понятие извилистости [38]. Целью его работы было сопоставление значений проницаемости, рассчитанных с помощью модели идеальной пористой структуры с экспериментальными данными. Хотя понятие извилистости кажется простым, однако на практике оно трудно определяемо, и ее трактовка в литературе часто вводит в заблуждение [39-41].

Рисунок 1.1.1 - Визуализация порового пространства песчаника Fontainebleau в виде куба с проницаемостью 2220 мД, пористостью 0,176 и извилистостью 0,462, полученная с помощью микротомографии и программного продукта e-Core. Эта сеть насчитывает 7413 пор и 14254 поровых каналов [42]

По результатам вышеописанного литературного обзора рассмотрены основные нелинейные эффекты, проявляющиеся при течении флюидов в пористых средах. Одними из важных аспектов моделирования движения флюидов

являются эффекты проскальзывания газа и проявления инерционных сил. В зависимости от условий течения флюидов эти факторы могут привести к существенным ошибкам при определении абсолютной проницаемости пористой среды. Кроме этого, было кратко приведено историческое освещение развития и решения наиболее важных задач теории движения жидкости в пласте. В тексте диссертации об этих этапах сказано кратко, но с несколько более подробными ссылками на источник.

1.2 Извилистость поровых каналов

Изучение особенностей пористых сред актуально во многих научных и инженерных областях, таких как акустические системы, применения катализаторов, гидрология, медицина, хранении и накоплении энергии, нефтегазовая промышленность и другие. Прогнозирование свойств пористых сред, как абсолютная проницаемость, является непростой задачей, имеющей фундаментальное и практическое значение. Как известно, измерение проницаемости в лабораторных условиях имеет несколько недостатков, как трудоемкость и продолжительность экспериментов, и высокую стоимость оборудования. По этой причине многие исследования направлены на получение универсальной формулы для определения абсолютной проницаемости горных пород.

До сегодняшнего времени широко используется классическое уравнение Козени-Кармана для определения абсолютной проницаемости ( к), связывающее параметры пористости ( ф ), извилистости (т) и удельной площади поверхности [38, 43]:

к = с^ с-2-1)

где СКС - постоянная Козени-Кармана (параметр, зависящий от структуры пористой среды).

Множество исследований посвящены численному и экспериментальному определению параметра С КС. В самой работе Кармана [38], значение С КС было задано в пределах 4,8 ± 0,3 для уплотненных слоев фиктивной среды с

однородными сферами. В литературе имеется много других исследований, также предлагающих постоянное значение для параметра Скс [44-49], в то время как большинство других исследователей пытались найти зависимость между искомым параметром и параметрами пористой среды, такими, как пористость и связность порового пространства [50-52].

Уравнение Козени-Кармана основано на простой модели идеальной поровой среды в виде пучка капилляров, имеющее множество ограничений. Неуниверсальность этой модели мотивировала автора диссертации для разработки и получения новых уравнений и зависимостей для определения проницаемости пористой среды, основанных на численных и экспериментальных данных.

Для получения модели расчета проницаемости понятие извилистости было впервые введено Козени в 1927 г. [43] на основе эксперимента с капиллярной трубкой, а в дальнейшем усовершенствована Карманом [38]. Изначально извилистость использовалось в качестве параметра настройки для учета влияния сложных поровых структур на течение флюидов в пористых средах [53, 54]. Помимо движения жидкости, понятие извилистости применялась также и к другим процессам, включая молекулярную диффузию, электрическую проводимость и теплопередачу.

Из-за нечеткого понятия самого параметра извилистости и различных методов ее измерения, в литературе нет основательного научного определения, однозначно описывающего ее [55-57]. В литературе дано четыре различных типа определения, включая геометрическую, гидравлическую, электрическую и диффузную извилистость [55, 58]. Однако наиболее известным и упрощенным вариантом определения извилистости является отношение эффективной длины поровых каналов () к длине образца породы (¿) [57]:

т = ^ (1.2.2)

В основном четыре метода используются для оценки различных типов извилистости, включая экспериментальные [53], аналитические [59], численные

[60] и методы визуализации [61], использование каждой из которых имеет свои ограничения.

В практике два наиболее известных экспериментальных метода используются для измерения извилистости. Первый метод основан на выявление электропроводности, в котором исследуемый образец пористой среды насыщается электролитом, а параметр извилистости оценивается с помощью эффективной удельной проводимости [53, 62, 63]. Второй метод основан на измерении коэффициента диффузии, при котором нереактивные частицы проходят через образец пористой среды, а извилистость рассчитывается с помощью измеренного коэффициента диффузии [53, 63, 64]. По сравнению с первым методом, процесс диффузии в пористой среде происходит намного медленнее, и соответствующий эксперимент чувствителен к выбранным химическим веществам и окружающей температуре. Во многих случаях значения извилистости, измеренные в экспериментах по электропроводности и диффузии, сильно расходятся между собой [62].

В литературе предложено большое количество теоретических моделей для оценки извилистости пористых сред, большинство из них в простой форме выражают извилистость как функцию пористости (табл. 1.2.1). Приведенные соотношения пористости-извилистости применимы для различных моделей оценки извилистости. Несмотря на простые формулировки, указанные модели включают в себя такие эмпирические параметры, как , , , и , точное определение которых является непростой задачей. Даже для небольшого класса пористых сред эти эмпирические параметры могут варьироваться в широком диапазоне, тем самым приводя к существенным ошибкам при оценке извилистости [55, 75].

Для повышения точности оценки были предложены модели извилистости с более сложной формулировкой и большим количеством параметров [73, 76-78]. Однако они применимы для узкого диапазона параметров пористой среды. Ганбэриан и др. [55] представили в своей статье критический обзор на различные модели извилистости, включая геометрическую, гидравлическую, электрическую

и диффузионную извилистость. Было обнаружено, что эти модели извилистости и пористости сильно различаются и не могут использоваться взаимозаменяемо.

Указанные нюансы делают чрезвычайно сложной, если не невозможной, задачу разработки простой математической модели, которая может оценить извилистость пористых сред.

Таблица 1.2.1 - Различные соотношения для определения параметра извилистости

для разных пористых структур

№ Уравнение Примечание Автор

1 т2 _ ф1-а а - эмпирический коэф. Брюггеман (1935) [65]

2 т2 = 0F F - коэф. относ. сопрот-я пласта Уилли и др. (1950) [66]

3 т = 1 + 0, 5( 1 - ф) Вайсберг (1963) [67]

4 т ~Аф-р А , р - эмпирические коэф. Пейп и Шоппер (1988) [68]

5 т2 = 1 — р ■ / ■ \пф р - эмпирический коэф. Комити и Рено (1989) [69]

6 т= ф 1 - ( 1 - 3)2/3 Дю Плесси и Маслия (1991) [70]

7 т2 = 1 + ст( 1-ф) q - эмпирический коэф. Иверсен и Иоргенсен (1993) [71]

8 т = 1 + 0, 6 5( 1 - 1 3 3)0, X 9 Копонен и др. (1997) [72]

9 т = 1 2 3 ( 1 - 3 )4/ 3 ^ - коэф. формы частицы Ланфрей и др. (2010) [73]

10 т = 1 + р ■ ^ 1-ф р - эмпирический коэф. Дуда и др. (2011) [74]

11 т= 1 23 +1 ^з ( 1 - р( 1 - 3 ) 2 /3) з р - эмпирический коэф. Ахмади и др. (2011) [59]

1.3 Эффекты проскальзывания молекулы газа (эффект Клинкенберга)

Абсолютная проницаемость является одним из важных параметров пористой среды, характеризующее проводимость коллектора. Оно может

12 23 2

варьироваться в широком диапазоне - от 10" до менее 10" м для различных типов горных пород [79, 80]. Обычно для определения проницаемости в лабораторных условиях используют инертный газ, не реагирующий с пористой средой. Поэтому из-за преимуществ свойств инертности, низкой чувствительности к температуре окружающей среды и удобства проведения экспериментов многие ученые используют газ вместо жидкости для определения

проницаемости пористых сред [23, 81, 82]. В России определение абсолютной проницаемости горных пород проводится в соответствии с ГОСТ 26450.2-85, устанавливающим требования к исследуемым образцам, оборудованию, подготовке и проведению исследований, обработке результатов исследований [83]. Кроме этого, существуют и другие методы определения проницаемости пористой среды, такие как метод резкого снижения давления газа с записью кривой восстановления давления, импульсно-восстановительный метод, метод профильной и радиальной проницаемости на полноразмерном керне и другие, которые подробно рассмотрены в работах [84, 85].

Однако многочисленные исследования показывают, что при течении газа в образцах с низкой проницаемостью (плотные песчаники, угольные пласты и сланцевый газ) проницаемость, измеренная во время экспериментов, больше (в 210 раз), чем абсолютная проницаемость ( к), и данная разница возрастает с уменьшением среднего порового давления (р) [19-23]. Фанчер и др. в 1933 г. [86] провели первые лабораторные эксперименты на образцах нефтеносных пород для изучения данного явления, результаты которых в дальнейшем были рассмотрены Маскетом [87]. В целом было обнаружено, что для высокопроницаемых образцов различия между замеренной и абсолютной проницаемостью были невелики, в то

время как это различие было значительным для низко- и сверхнизко проницаемых

1 22 2

пористых сред (10- -10- м ). Чтобы отличить замеренную проницаемость от абсолютной проницаемости, был введен термин кажущейся газовой проницаемости ( кд), которая была предложена Клинкенбергом в 1941 г. [17]:

кд = к( 1 + |); Ь = (1.3.1)

где кд - замеренная газовая проницаемость, м2; к - абсолютная проницаемость, м ; Ь - коэффициент Клинкенберга, Па; с - коэффициент, приблизитильно равный 1; А0 - длина свободного пробега молекулы газа, м; р - среднее поровое давление, Па; - эффективный радиус пор, м.

Исследования Клинкенберга показали, что проницаемость является функцией длины свободного пробега молекулы газа ( ) и, следовательно,

зависит от факторов, влияющих на нее, таких как давление, температура и тип газа. Согласно исследованиям [19, 21, 88], при течении флюида диаметр порового канала становится сопоставимым с длиной свободного пробега, тем самым увеличивая частоту столкновений молекул со стенкой породы. Данное явление можно описать, задав ненулевую скорость движения газа у стенки поры (ист) (эффект проскальзывания газа) или рассмотрев поровый канал с увеличенным эффективным радиусом (г) [89] (рис. 1.3.1).

а б

Рисунок 1.3.1 - Графическая иллюстрация течения флюида без эффекта Клинкенберга (а) и с учетом его (б) [89]

Кроме этого, подобно проскальзыванию газа, проскальзывание между молекулами жидкости и внутренней стенкой поры также было подтверждено лабораторными экспериментами и методами молекулярно-динамического моделирования [90]. Исследования течения жидкости в нанотрубках показали, что скольжение жидкости связано со смачиваемостью породы и значительно отличается от граничного условия проскальзывания газа [90-93].

Уравнение (1.3.1) легко использовать для расчета эффекта проскальзывания газа, однако значение параметра Ь трудно определяемо для различных пористых сред. Следуя работе Клинкенберга, Хейд и др. предложили степенное соотношение для определения коэффициента проскальзывания газа, в котором а и Р являются эмпирическими коэффициентами [19]:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гаюбов Абдумалик Талат угли, 2021 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Darcy H.P.G. 1856. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris.

2. Wyckoff R.D., Botset H.G., Muskat M., Reed D.W. 1933. The measurement of the permeability of porous media for homogeneous fluids. Rev Sci Instrum. 4: 394-405. https://doi.org/10.1063/L1749155

3. Hubbert M.K. 1956. Darcy law and the field equations for the flow of underground fluids. Trans Am Inst Mining Metal Eng. 207: 222-239. https://doi.org/10.2118/749-G

4. Dake L.P. 1978. Fundamentals of Reservoir Engineering. Development in Petroleum Science. Elsevier. 8. Amsterdam.

5. Ikoku C. I. 1984. Natural Gas Reservoir Engineering. Wiley. New York

6. Muskat M. 1946. The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media. J. W. Edwards, Inc. Ann Arbor, Michigan.

7. Katz D.L., Cornell D., Kobayashi R., Poettmann F.H., Vary J.A., Elenbaas J.R., Weinaug C.F. 1959. Handbook of Natural Gas Engineering. McGraw-Hill, New York.

8. Russell D.G., Goodrich J.H., Perry J.F. 1966. Methods for predicting gas well performance. J. Petrol. Technol. 18 (01): 99-108. https://doi.org/10.2118/1242-PA

9. Al-Hussainy R.J. Ramey, Crawford P.B. 1966. The flow of real gases through porous media. J. Petrol. Technol. 18 (05): 624-636. https://doi.org/10.2118/1243-A-PA

10. Исаков Г.В. О деформациях нефтяных коллекторов // Нефтяное хозяйство. - 1948 г. - № 1. - С. 17-24.

11. Крылов А.П., Баренблатт Г.И. Об упруго-пластическом режиме нефтяного пласта // Труды IV Международного Конгресса в Риме, Гостоптехиздат, том III, 1956 г. С. 253-260.

12. Гусейн-заде М.А., Хуань Коу-жень. Неустановившееся течение жидкости в неоднородном пласте, имеющем слабопроницаемую перемычку // Труды Моск. Института нефтехимической и газовой промышленности «Подземная Гидродинамика», Гостоптехиздат, вып. 3, Москва, 1961 г. С. 296-304.

13. Гусейн-заде М.А., Колосовская А.К. Упругий режим в однопластовых и многопластовых системах. - М.: Недра, 1972 г. - C. 454.

14. Добкина М.Б. Учет проницаемости кровли пласта при упругом режиме. Труды Моск. Института нефтехимической и газовой промышленности, выпуск 55. - М.: Недра, 1965 г. - С. 79-82.

15. Лейбензон Л.С. Движение газа в пористой среде // Собрание трудов, трудов II. - М.: Акад. Наук СССР, 1953 г. - С. 126-138. (Впервые напечатано в журнале «Нефтяное Хозяйство» № 8-9, 1930 г.)

16. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П, Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в тещиноватых породах // Прикладная математика и механика, том 24, вып. 5, 1960 г. С. 54.

17. Klinkenberg L.J. 1941. The permeability of porous media to liquids and gases. Drilling and Production Practice. American Petroleum Inst. 200-213

18. Kundt A., Warburg E. 1875. Ueber Reibung und Waer-meleitung Verduennter Gase (About Friction and Heat Conduction of Verified Gases). Poggendorf. Ann Physic. 232 (10): 177-211. https://doi.org/10.1002/andp.18752321002

19. Heid J.G., McMahon J.J, Nielson R.F. 1950. Study of the permeability of rocks to homogeneous fluids. Am Pet Inst Drill Prod Pract. 230.

20. Jones S.C. 1972. A rapid accurate unsteady-state Klinkenberg permeameter. Soc Petrol Eng J. 12: 383-397. https://doi.org/10.2118/3535-PA

21. Jones F.O., Owens W.W., 1980. A laboratory study of low-permeability gas sands. J Pet Tecnol. 32: 1631-1640. https://doi.org/10.2118/7551-PA

22. Faulkner D.R, Rutter E.H. 2000. Comparisons of water and argon permeability in natural clay-bearing fault gouge under high pressure at 20°C. J Geophys Res. 105: 16415-16426. https://doi.org/10.1029/2000JB900134

23. Tanikawa W., Shimamoto T. 2009. Comparison of Klinkenberg-corrected gas permeability and water permeabilityin sedimentary rocks. Int J Rock Mech and Min Sci. 46: 229-238. https://doi.org/10.1016/uirmms.2008.03.004

24. Forchheimer P. 1901. Wasserberwegung durch Boden. Z Vereines deutscher Ing. 45 (50): 1782-1788.

25. Irmay S. 1958. On the theoretical derivation of Darcy and Forchheimer formulas. J Geophys Res. 39: 702-707. https://doi.org/10.1029/TR039i004p00702

26. Tek M.R., Coats K.H., Katz D.L. 1962. The effect of turbulence on flow of natural gas through porous reservoirs. J Pet Technol. 14: 799-806. https://doi.org/10.2118/147-PA

27. Scheidegger A.E. 1974. The physics of flow through porous media. Univ Toronto Press. Toronto

28. Katz D.L., Lee R.L. 1990. Natural Gas Engineering Production and Storage. Chemical Engineering Series McGraw-Hill Book Co Inc. New York

29. Swift G.W., Kiel O.G. 1962. The prediction of gas-well performance including the effects of non-Darcy flow. J Pet Technol Trans. AIME222, 791-798. https://doi.org/10.2118/143-PA

30. Lee R.L., Logan R.W., Tek M.R. 1987. Effects of turbulence on transient flow of real gas through porous media. SPE Form. Eval. 108-120. https://doi.org/10.2118/14205-PA

31. Skjetne E., Statoil T.K., Gudmundsson J.S. 1999. Experiments and modeling of high-velocity pressure loss in sandstone fractures. SPE 56414. SPE annual technical conference and exhibition. Houston, Texas. https://doi.org/10.2118/69676-PA

32. Guppy K.H., Cinco-Ley H., Ramey H.J. Jr. 1981. Effects of non-Darcy flow on the constant-pressure production of fractured wells. Soc Pet Eng J. 390-400. https://doi.org/10.2118/9344-PA

33. Guppy K.H., Cinco-Ley H., Ramey H.J. Jr., Samaniego F. 1982. Non-Darcy flow in wells with finite-conductivity vertical fractures. Soc Pet Eng J. 681-698. https://doi.org/10.2118/8281-PA

34. Ergun S. 1952. Fluid flow through packed columns. Chem Eng Prog. 48: 89-94.

35. Geertsma J. 1974. Estimating the coefficient of inertial resistance in fluid flow through porous media. Soc Petrol Eng J. 445-450. https://doi.org/10.2118/4706-PA

36. Brown K.E. 1980. The technology of artificial lift methods. Petroleum Publishing Co., Tulsa. 8-10.

37. Coles M.E., Hartman K.J. 1998. Non-Darcy measurements in dry core and the effect of immobile liquid. SPE 39977. SPE Gas Technology Symposium. Calgary. https://doi.org/10.2118/39977-MS

38. Carman P.C. 1937. Fluid flow through granular beds. Trans Inst Chem Eng. 15: 150-166.

39. Tye F.L. 1983. Tortuosity. J Power Sources. 9: 89-100. https://doi:10.1016/0378-7753(83)80026-3

40. Epstein N. 1989. On tortuosity and the tortuosity factor in flow and diffusion through porous media. Chem Eng Sci. 44:777-779. https://doi:10.1016/0009-2509(89)85053-5

41. Sahimi M. 1993. Flow phenomena in rocks: From continuum models to fractals, percolation, cellular automata, and simulated annealing. Rev Mod Phys. 65:1393-1534. https://doi:10.1103/RevModPhys.65.1393

42. Berg C.F. 2014. Permeability Description by Characteristic Length, Tortuosity, Constriction and Porosity. Transp Porous Med. 103:381-400. https://doi.org/10.1007/s11242-014-0307-6

43. Kozeny J. 1927. Über Kapillare Leitung des Wassers im Boden, 136. Sitzungsber Akad Wiss, Wien.

44. Chen X., Papathanasiou T. D. 2006. On the variability of the Kozeny constant for saturated flow across unidirectional disordered fiber arrays. Composites. Part A 37:836-846. https://doi.org/10.1016/j.compositesa.2005.01.018

45. Brown S. G., Spittle J., Jarvis D., Walden-Bevan R. 2002. Numerical determination of liquid flow permeabilities for equiaxed dendritic structures. Acta Mater. 50:1559-1569. https://doi. org/10.1016/S1359-6454(02)00014-9

46. Mavko G., Nur A. 1997. The effect of a percolation threshold in the Kozeny-Carman relation. Geophysics. 62:1480-1482. https://doi.org/10.1190/1.1444251

47. Henderson N., Brettas J. C., Sacco W. F. 2010. A three-parameter Kozeny-Carman generalized equation for fractal porous media. Chem. Eng. Sci. 65:4432-4442. https://doi.org/10.1016/j.ces.2010.04.006

48. Yang S., Liang M., Yu B., Zou M. 2015. Permeability model for fractal porous media with rough surfaces, Microfluid Nanofluid. 18:1085-1093. https://doi.org/10.1007/s10404-014-1500-1

49. Xiao B., Tu X., Ren W., Wang Z. 2015. Modeling for hydraulic permeability and Kozeny-Carman constant of porous nanofibers using a fractal approach. Fractals. 23:1550029. https://doi.org/10.1142/S0218348X15500292

50. Xu P., Yu B. 2008. Developing a new form of permeability and Kozeny-Carman constant for homogeneous porous media by means of fractal geometry. Adv Water Resour. 31:74-81. https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2007.06.003

51. Khabbazi A.E., Ellis J.S., Bazylak A. 2013. Developing a new form of the Kozeny-Carman parameter for structured porous media through lattice-Boltzmann modelling. Comput Fluids. 75:35-41. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2013.01.008

52. Valdes-Parada F.J., Ochoa-Tapia J.A., Alvarez-Ramirez J. 2009. Validity of the permeability Carman-Kozeny equation: A volume averaging approach. Physica. A 388:789-798. https://doi.org/10.1016/j.physa.2008.11.024

53. Barrande M., Bouchet R., Denoyel R. 2007. Tortuosity of porous particles. Anal Chem. 79 (23):9115-9121. https://doi.org/10.1021/ac071377r

54. Borujeni A.T., Lane N., Thompson K., Tyagi M. 2013. Effects of image resolution and numerical resolution on computed permeability of consolidated packing using lb and fem pore-scale simulations. Comput Fluids. 88:753-763. https://doi.org/10.1016/j.compfluid.2013.05.019

55. Ghanbarian B., Hunt A.G., Ewing R.P., Sahimi M. 2013. Tortuosity in porous media: a critical review. Soil Sci Soc Am J. 77:1461-1477. https://doi.org/10.2136/sssaj2012.0435

56. Thauvin F., Mohanty K. 1998. Network modeling of non-Darcy flow through porous media. Transp Porous Media. 31:19-37. https://doi.org/10.1023/A:1006558926606

57. Clennell M.B. 1997. Tortuosity: a guide through the maze. Geol Soc, London. SPE Publ. 122: 299-344. https://doi.org/10.1144/GSL.SP.1997.122.01.18

58. Fu J., Thomas H.R., Li C. 2021. Tortuosity of porous media: Image analysis and physical simulation. Earth-Science Reviews. 212: 103439. https://doi.org/ 10.1016/j.earscirev.2020.103439

59. Ahmadi M.M., Mohammadi S., Hayati A.N. 2011. Analytical derivation of tortuosity and permeability of monosized spheres: A volume averaging approach. Phys Rev E. 83:026312. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.83.026312

60. Sun Z., Tang X., Cheng G. 2013. Numerical simulation for tortuosity of porous media. Microporous Mesoporous Mater. 173:37-42. https://doi.org/ 10.1016/j. micromeso.2013.01.035

61. Lai J., Wang G., Wang Z., Chen J., Pang X., Wang S., Zhou Z., He Z., Qin Z., Fan X. 2018. A review on pore structure characterization in tight sandstones. Earth Sci Rev. 177: 436-457. https://doi.org/10.1016/j.earscirev.2017.12.003

62. Garrouch A.A., Ali L., Qasem F. 2001. Using diffusion and electrical measurements to assess tortuosity of porous media. Ind Eng Chem Res. 40 (20):4363-4369. https://doi.org/10.1021/ie010070u

63. Weerts A., Kandhai D., Bouten W., Sloot P. 2001. Tortuosity of an unsaturated sandy soil estimated using gas diffusion and bulk soil electrical conductivity. Soil Sci Soc Am J. 65 (6): 1577-1584. https://doi.org/10.2136/sssaj2001.1577

64. He W., Zou J., Wang B., Vilayurganapathy S., Zhou M., Lin X., Zhang K.H., Lin J., Xu P., Dickerson J.H. 2013. Gas transport in porous electrodes of solid oxide fuel cells: a review on diffusion and diffusivity measurement. J Power Sources. 237:64-73. https://doi.org/10.1016/j.jpowsour.2013.02.089

65. Bruggeman V.D. 1935. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen. Ann Phys. 416 (7): 636-664.

66. Wyllie M., Rose W.D. 1950. Some theoretical considerations related to the quantitative evaluation of the physical characteristics of reservoir rock from electrical log data. J Pet Technol. 2 (04):105-118. https://doi.org/10.2118/950105-G

67. Weissberg H. 1963. Effective diffusion coefficients in porous media. J App Phys. 34:2636-2639. https://doi.org/10.1063/1.1729783

68. Pape H., Schopper J.R. 1988. Relations Between Physically Relevant Geometrical Properties of a Multi-Fractal Porous System. Stud Surf Sci Catal. 39:473482. https://doi.org/10.1016/S0167-2991(09)60770-9

69. Comiti J., Renaud M. 1989. A new model for determining mean structure parameters of fixed beds from pressure drop measurements: application to beds packed with parallelepipedal particles. Chem Eng Sci. 44 (7):1539-1545. https://doi.org/10.1016/0009-2509(89)80031 -4

70. Du Plessis J.P., Masliyah, J.H. 1991. Flow through isotropic granular porous media. Transp Porous Media. 6 (3): 207-221. https://doi.org/10.1007/BF00208950

71. Iversen N., J0rgensen B.B. 1993. Diffusion coefficients of sulfate and methane in marine sediments: influence of porosity. Geochim Cosmochim Acta. 57 (3): 571-578. https://doi.org/10.1016/0016-7037(93)90368-7

72. Koponen A., Kataja M., Timonen J. 1997. Permeability and effective porosity of porous media. Phys Rev. 56 (3): 3319-3325. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.56.3319

73. Lanfrey P.Y., Kuzeljevic Z., Dudukovic M. 2010. Tortuosity model for fixed beds randomly packed with identical particles. Chem Eng Sci. 65 (5): 1891-1896. https://doi.org/10.1016/j.ces.2009.11.011

74. Duda A., Koza Z., Matyka M. 2011. Hydraulic tortuosity in arbitrary porous media flow. Phys Rev. E 84 (3). https://doi.org/10.1103/PhysRevE.84.036319

75. Tjaden B., Brett D.J., Shearing P.R. 2018. Tortuosity in electrochemical devices: a review of calculation approaches. Int Mater Rev. 63 (2): 47-67. https://doi.org/10.1080/09506608.2016.1249995

76. Pisani L. 2011. Simple expression for the tortuosity of porous media. Transp Porous Media. 88 (2): 193-203. https://doi.org/10.1007/s11242-011-9734-9

77. Matyka M., Khalili A., Koza Z. 2008. Tortuosity-porosity relation in porous media flow. Phys Rev. E 78 (2): 026306. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.78.026306

78. Chung D.W., Ebner M., Ely D.R., Wood V., Garcia R.E. 2013. Validity of the bruggeman relation for porous electrodes. Model Simul Mater Sci Eng. 21 (7): 074009.

79. Neuzil C.E. 1994. How permeable are clays and shales? Water Resour Res. 30 (2):145-50. https://doi.org/10.1029/93WR02930

80. Wang H.F. 2000. Theory of linear poroelasticity: with applications to geomechanics and hydrogeology. Princeton: Princeton University Press.

81. Freeman D.L., Bush D.C. 1983. Low-permeability laboratory measurements by nonsteady-state and conventional methods. Soc Petrol Eng J. 23: 928936. https://doi.org/10.2118/10075-PA

82. Rodwell W.R, Nash P.J. 1992. Mechanisms and Modeling of Gas Migration From Deep Radioactive Waste Repositories. London: United Kingdom Nirex Ltd. 86.

83. Породы горные. Методы определения коллекторских свойств. Метод определения коэффициента абсолютной газопроницаемости при стационарной и нестационарной фильтрации. ГОСТ 26450.2-85. Министерство геологии СССР, Министерство нефтяной промышленности, Министерство газовой промышленности. 1985 г.

84. Шулев В.Е., Золотухин А.Б. Лабораторные методы определения абсолютной проницаемости низкопроницаемых пород-коллекторов // Сборник статей по материалам VIII международной научно-практической конференции. В 3-х частях. - 2018 г. - C. 172-184.

85. Мальковский В.И., Жариков А.В., Шмонов В.М. Новые методы измерения проницаемости образцов горных пород для однофазного флюида // Физика Земли. - №2. - 2009 г. - C. 3-14.

86. Fancher G.H., Lewis J.A., Barnes K.B. 1933. Some physical characteristics of oil sands. Min Ind Expt Sta. Bulletin 12, Penn. State College. 12: 65-171.

87. Muskat M. 1937. The Flow of Homogeneous Fluids in Porous Media. McGrow-Hill, New York.

88. Sampath K., Keighin C.W. 1982. Factors affecting gas slippage in tight sand-stones of cretaceous age in the Uinta basin. J Pet Technol. 34: 2715-2720. https://doi.org/10.2118/9872-PA

89. Zolotukhin A.B., Ursin J.R. 2000. Fundamentals of Petroleum Reservoir Engineering. Kristiansand: 766 H0yskoleforlaget AS - Norwegian Academic Press.

90. Afsharpoor A., Javadpour F. 2016. Liquid slip flow in a network of shale noncircular nanopores. 180: 580-590. https://doi.org/10.1016/j.fuel.2016.04.078

91. Barrat J., Bocquet L. 1999. Large slip effect at a non-wetting fluid-solid interface. Phys Rev Lett. 82 (23): 4671-4674. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.82.4671

92. Majumder M., Chopra N., Andrews R., Hinds B. 2005. Nanoscale hydrodynamics: enhanced flow in carbon nanotubes. Nature. 44: 438. http://dx.doi. org/10.1038/438044a

93. Wang S., Javadpour F., Feng Q. 2016. Molecular dynamics simulations of oil transport through inorganic nanopores in shale. Fuel. 171: 74-86. https://doi.org/10.1016/j.fuel.2015.12.071

94. Jones S.C. 1987. Using the inertial coefficient to characterize heterogeneity in reservoir rock. SPE 16949. 165-175. https://doi.org/10.2118/16949-MS

95. Wu Y.S., Pruess K., Persoff P. 1998. Gas flow in porous media with Klinkenberg effects. Transp Porous Media. 32: 117-137. https://doi.org/10.1023/A:1006535211684

96. Tanikawa W., Shimamoto T. 2006. Klinkenberg effect for gas permeability and its comparison to water permeability for porous sedimentary rocks. Hydrol Earth Syst Sci Discuss. 3 (4): 1315-1338

97. Zhu W.C., Liu J., Sheng J.C., Elsworth D. 2007. Analysis of coupled gas flow and deformation process with desorption and Klinkenberg effects in coal seams. Int J Rock Mech Min Sci. 44 (7): 971-980. https://doi.org/10.1016/j.ijrmms.2006.11.008

98. Civan F. 2010. Effective Correlation of Apparent Gas Permeability in Tight Porous Media. Transp Porous Med. 82: 375-384. https://doi.org/10.1007/s11242-009-9432-z

99. Darabi H., Ettehad A., Javadpour F., Sepehrnoori K. 2012. Gas flow in ultra-tight shale strata. J Fluid Mech. 710: 641-658. https://doi.org/10.1017/jfm.2012.424

100. Zheng Q., Yu B., Duan Y., Fang Q. 2013. A fractal model for gas slippage factor in porous media in the slip flow regime. Chem Eng Sci. 87: 209-215. https://doi.org/10.1016/j.ces.2012.10.019

101. Duan Q.B., Yang X.S. 2014. Experimental studies on gas and water permeability of fault rocks from the rupture of the 2008 Wenchuan earthquake, China. Sci China: Earth Sci. 57: 2825-2834. https://doi.org/10.1007/s11430-014-4948-7

102. Moghadam A., Chalaturnyk R. 2014. Expansion of the Klinkenberg's slippage equation to low permeability porous media. Int J Coal Geol. 123: 2-9. https://doi.org/10.1016/j.coal.2013.10.008

103. Wang G., Ren T., Wang K., Zhou A. 2014. Improved apparent permeability models of gas flow in coal with Klinkenberg effect. Fuel. 128: 53-61. https://doi.org/10.1016/j.fuel.2014.02.066

104. Hooman K., Tamayol A., Dahari M., Safaei M., Togun H., Sadri R. 2014. A theoretical model to predict gas permeability for slip flow through a porous medium. Appl Therm Eng. 70 (1): 71-76. https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2014.04.071

105. Li C., Xu P., Qiu S., Zhou Y. 2016. The gas effective permeability of porous media with Klinkenberg effect. J Nat Gas Sci Eng. 34: 534-540. https://doi.org/10.1016/j.jngse.2016.07.017

106. Chen C., Wang Z., Majeti D., Vrvilo N., Warburton T., Sarkar V., Li G. 2016. Optimization of lattice Boltzmann simulation with graphics-processing-unit parallel computing and the application in reservoir characterization. SPE J. 21 (04): 1425-1435. https://doi.org/10.2118/179733-PA

107. Farahani M., Saki M., Ghafouri A., Khaz'ali A. 2017. Laboratory measurements of slippage and inertial factors in carbonate porous media: A case study. J Petrol Sci Eng. 162: 666-673. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2017.10.084

108. Loeb L.B., 1934.The Kinetic Theory of Gases, Second edition. McGraw-Hill Co., Inc.

109. Schaaf S.A., Chambre P.L. 1961. Flow of rarefied gases. Princeton University Press, Princeton, NJ.

110. Scheidegger A.E. 1960. The physics of flow through porous media. University of Toronto Press.

111. Firoozabadi A., Katz D.L. 1979. An analysis of high-velocity gas flow through porous media. J Petrol Technol. 31 (02): 211-216. https://doi.org/10.2118/6827-PA

112. Mei C.C., Auriault J.L. 1991. The effect of weak inertia on flow through a porous medium. J Fluid Mech. 222: 647-663. https://doi.org/10.1017/S0022112091001258

113. Wodie J.C., Levy T. 1991. Correction non lineaire de la loi de Darcy. C R Acad Sci. 312 (2): 157-161.

114. Rasoloarijaona M., Auriault J.L. 1994. Nonlinear seepage flow through a rigid porous medium. Eur J Mech B/Fluids. 13 (2): 177-195.

115. Skjetne E. 1995. High-velocity flow in porous media; analytical, numerical and experimental studies. Doctoral Thesis at Department of Petroleum Engineering and Applied Geophysics, Faculty of Applied Earth Sciences and Metallurgy, Norwegian University of Science and Technology.

116. Skjetne E., Auriault J.L. 1999. New insights on steady, non-linear flow in porous media. Eur J Mech B/Fluids. 18 (1): 131-145. https://doi.org/10.1016/S0997-7546(99)80010-7

117. Noman R., Shrimanker N., Archer J.S. 1985. Estimation of the coefficient of inertial resistance in high-rate gas wells. SPE 14207. In: SPE Annual Technical Conference, Las Vegas. https://doi.org/10.2118/14207-MS

118. Wong S.W. 1970. Effect of liquid saturation on turbulence factors for gasliquid systems. J Can Petrol Tech. 9 (4): 274-278. https://doi.org/10.2118/70-04-08

119. Kutasov I.M. 1993: Equation predicts non-Darcy flow coefficient. Oil & Gas J. 91(11): 66-67.

120. Frederick D.C., Grave R.M. 1994. New correlations to predict non-Darcy flow coefficients at immobile and mobile water saturation. SPE 28451. In: SPE Annual Technical Conference and Exhibition, New Orleans. https://doi.org/10.2118/28451-MS

121. Coles M.E., Hartman K.J. 1998. Non-Darcy measurements in dry core and the effect of immobile liquid. SPE 39977. In: SPE Gas Technology Symposium, Calgary. https://doi.org/10.2118/39977-MS

122. Janicek J.D., Katz D.L. 1955. Applications of unsteady state gas flow calculations. In: Proc., University of Michigan Research Conference.

123. Macdonald I.F., El-Sayed M.S., Mow K., Dullien F.A.L. 1979. Flow through porous media - the Ergun Equation revisited. Ind Eng Chem Fundam. 18: 189208. https://doi.org/10.1021/i160071a001

124. Liu X., Civan F., Evans R.D. 1995. Correlation of the Non-Darcy flow coefficient. J Can Pet Tech. 34 (10): 50-54. https://doi.org/10.2118/95-10-05

125. Cooper J.W., Wang X., Mohanty K.K. 1999. Non-Darcy flow studies in anisotropic porous media. Soc Petrol Eng J. 4 (4): 334-341. https://doi.org/10.2118/57755-PA

126. Li D., Engler T.W. 2001. Literature review on correlations of the non-Darcy coefficient. SPE 70015. In: SPE Permian Basin Oil and Gas Recovery Conference, Midland. https://doi.org/10.2118/70015-MS

127. Kollbotn L., Bratteli F. 2005. An alternative approach to the determination of the internal flow coefficient. In: International Symposium of the Society of Core Analysts, Toronto.

128. Friedel T., Voigt H.D. 2006. Investigation of non-Darcy flow in tight-gas reservoirs with fractured wells. J Pet Sci Eng. 54: 112-128. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2006.07.002

129. Choi C.S., Song J.J. 2019. Estimation of the Non-Darcy coefficient using supercritical CO2 and various sandstones. JCR Solid Earth. 124: 442-455. https://doi.org/10.1029/2018JB016292

130. Cornell D., Katz D.L. 1953. Flow of gases through consolidated porous media. Ind Eng Chem. 45 (10): 2145-2152. https://doi.org/10.1021/ie50526a021

131. Bear J. 1972. Dynamics of Fluids in Porous Media. Elsevier, New York.

132. Barak A.Z. 1987. Comments on „high velocity flow in porous media' by Hassanizadeh and Gray. Transp Porous Med. 2: 533-535. https://doi.org/10.1007/BF00192153

133. Ruth D., Ma H. 1992. On the derivation of the Forchheimer equation by means of the average theorem. Transp Porous Med. 7 (3): 255-264. https://doi.org/10.1007/BF01063962

134. Whitaker S. 1996. The Forchheimer equation: a theoretical development. Transp Porous Med. 25: 27-61. https://doi.org/10.1007/BF00141261

135. Kadi K.S. 1980. Non-Darcy flow in dissolved gas-drive reservoirs. SPE 9301. In: SPE Annual Fall Technical Conference, Dallas. https://doi.org/10.2118/9301-MS

136. Belhaj H.A., Agha K.R., Nouri A.M., Butt S.D., Vaziri H.F. Islam M.R. 2003. Numerical simulation of Non-Darcy flow utilizing the New Forchheimer's Diffusivity Equation. SPE 81499. In: Middle East Oil Show, Bahrain. https://doi.org/10.2118/81499-MS

137. Абдулвалабов А.И. О пределе применимости линейного закона фильтрации // Азербайджанское Нефтяное хозяйство. - 1960 г. - № 9. - С. 24-32.

138. Абдулвалабов А.И. О законе движения жидкостей и газов в пористой среде // Нефть и Газ. - 1961 г. - № 4. - С. 83-89.

139. Щелкачев В.Н. Критический анализ исследований, посвященных определению верхней границы закона фильтрации Дарси. В сборнике «Упругий режим фильтрации и термодинамика пласта. Труды МИНХиГП, выпуск 94. - М.: Недра, 1972 г. - С. 3-12.

140. Zeng Z., Grigg R. 2006. A Criterion for Non-Darcy Flow in Porous Media. Transp Porous Med. 63: 57-69. https://doi.org/10.1007/s11242-005-2720-3

141. Ghane E., Fausey N.R., Brown L.C. 2014. Non-Darcy flow of water through woodchip media. J Hydrol. 519: 3400-3409. https://doi.org/10.1016/j.jhydrol.2014.09.065

142. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и её основные приложения. Петроград, 1922 г.

143. Chilton T.H., Colburn A.P. 1931. Pressure drop in packed tubes. Ind Eng Chem. 23 (8): 913-919. https://doi.org/10.1021/ie50260a016

144. Миллионщиков М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. Доклады АН СССР, том 22. Москва. - 1935 г. - №5. - C. 236-240.

145. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - 2001 г. - C. 736.

146. Green L.J., Duwez P. 1951. Fluid flow through porous metals. J Appl Mech. 18: 39-45.

147. Ma H., Ruth D.W. 1993. The microscopic analysis of high Forchheimer number flow in porous media. Transp Porous Med. 13: 139-160. https://doi.org/10.1007/BF00654407

148. Macini P., Mesini E., Viola R. 2011. Laboratory measurements of non-Darcy flow coefficients in natural and artificial unconsolidated porous media. J Pet Sci Eng. 77 (3-4): 365-374. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2011.04.016

149. Андерсон Ф. Локальные моменты и локализованные состояния. УФН, 127, вып.1. - C. 19-399.

150. Amao A.M. 2007. Mathematical model for darcy forchheimer flow with applications to well performance analysis. MSc Thesis, Department of Petroleum Engineering, Texas Tech University, Lubbock, TX, USA.

151. Tessem R. 1980. High Velocity Coefficient's Dependence on Rock Properties: A Laboratory Study. Thesis Pet. Inst., NTH. Trondheim.

152. Tors^ter O., Tessem R., Berge B. 1981. High velocity coefficient's dependence on rock properties. SINTEF report, NTH. Trondheim.

153. Бриджмен П. Анализ размерностей. «Регулярная и хаотическая динамика». Изд. 2. Ижевск: НИЦ. - 2001 г. - C. 148.

154. Zolotukhin A.B. 2002. A new gas flow equation and permeability determination technique Reg. SPE offshore Bergen Conf. on Drilling, Completion and Reservoir Management (Norway: Bergen).

155. Zolotukhin A.B. 2006 Equation of gas flow in porous media and the technique of determining the permeability of a porous medium Report presented at an Int. Conf. dedicated to the 50th anniversary of TATNIPIneft (Russia: Bugulma).

156. Zolotukhin A.B., Shulev V.E. 2018. Fluid Flow in Porous Media, Dimensional Analysis and Permeability Determination. Proc of Int Scientific-technical Conf "Development of exploration technique and exploitation of onshore and offshore hydrocarbon fields" ("Geopetrol-2018"), Poland. 573-580.

157. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидравлика газожидкостных систем. (2-е изд.). - М.: Энергия. - 1976 г.

158. McCulloch W.C., Pitts, W. 1943. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics. 5(4): 115-133. https://doi:10.1007/BF02478259

159. Rosenblatt F. 1957. The perceptron: A perceiving and recognizing automation [R]. Cornell Aeronautical Laboratory, Report 85-60-1. New York, USA.

160. Ansah E.O., Vo Thanh H., Sugai Y., Nguele R., Sasaki K. 2020. Microbe-induced fuid viscosity variation: feld-scale simulation, sensitivity and geological uncertainty. J Petrol Explor Prod Technol. 10: 1983-2003. https://doi.org/10.1007/s13202-020-00852-1

161. Haykin S. 1994 Neural networks: a comprehensive foundation. New York: Prentice Hall.

162. Zolotukhin, A.B., Gayubov, A.T. Machine learning in reservoir permeability prediction and modelling of fluid flow in porous media // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 11, 2019. https://doi.org/10.1088/1757-899X/700/1/012023

163. Золотухин, А.Б., Гаюбов, А.Т. Использование методов машинного обучения для определения проницаемости пористых сред // Нефть. Газ. Новации. - 2019. - №11. - С. 64-69.

164. Raschka S., Mirjalili V. 2017. Python machine learning. Packt Publishing Ltd.

165. Rushing J.A., Newsham K.E., Lasswell P.M., Cox J.C., Blasingame T.A. 2004. Klinkenerg-Corrected Permeability Measurements in Tight Gas Sands: Steady-State Versus Unsteady-State Techniques. Society of Petroleum Engineers. https://doi.org/10.2118/89867-MS

166. Salahshoor S., Fahes M. 2017. A Study on the Factors Affecting the Reliability of Laboratory-Measured Gas Permeability. SPE Abu Dhabi International Petroleum Exhibition & Conference. Society of Petroleum Engineers. https://doi.org/10.2118/188584-MS

167. Zolotukhin, A.B., Gayubov, A.T. Semi-analytical Approach to Modeling Forchheimer Flow in Porous Media at Meso- and Macroscales. Transport in Porous Media. 136, 715-741. 2021. https://doi.org/10.1007/s11242-020-01528-4

168. Gjengedal S., Br0tan,V., Buset O.T., Larsen E., Berg O.A., Tors^ter O., Ramstad R.K., Hilmo B.O., Frengstad B.S. 2020. Fluid flow through 3D-printed particle beds: a new technique for understanding, validating, and improving predictability of permeability from empirical equations. Transp Porous Med. 134: 1-40. https://doi.org/10.1007/s11242-020-01432-x

169. Muljadi B.P., Blunt M.J., Raeini A.Q., Bijeljic B. 2016. The impact of porous media heterogeneity on non-Darcy flow behaviour from pore-scale simulation. Adv Water Resour. 95: 329-340. https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2015.05.019

170. Martins J.P., Milton-Taylor D., Leung H.K. 1990. The effects of non-Darcy flow in propped hydraulic fractures. SPE 20790. In: Proceedings of the SPE Annual Technical Conference, New Orleans. https://doi.org/10.2118/20709-MS

171. Gidley J.L. 1991. A method for correcting dimensionless fracture conductivity for non-Darcy flow effect. SPE 20710. SPE Prod Eng J. 391-394. https://doi.org/10.2118/20710-PA

172. Morad S., Al-Ramadan K., Ketzer J.M., De Ros L.F. 2010. The impact of diagenesis on the heterogeneity of sandstone reservoirs: A review of the role of depositional facies and sequence stratigraphy. AAPG Bulletin, 94 (8): 1267-1309. https://doi.org/10.1306/04211009178

173. Homuth S., Götz A.E., Sass I. 2015. Physical Properties of the geothermal carbonate reservoirs of the Molasse Basin, Germany-Outcrop Analogue vs. Reservoir Data. World geothermal congress, Melbourne, Australia .

174. Song W., Yao J., Li Y., Sun H., Zhang L., Yang Y., Zhao J., Sui H. 2016. Apparent gas permeability in an organic-rich shale reservoir. Fuel. 181: 973-984. https://doi.org/10.1016/j.fuel.2016.05.011

175. Zhang Q., Su Y., Wang W., Lu M., Sheng G. 2017. Apparent permeability for liquid transport in nanopores of shale reservoirs: coupling flow enhancement and

near wall flow. Int J Heat Mass Transf. 115 (Part B): 224-234. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2017.08.024

176. Wang X.K, Sheng J. 2017. Gas sorption and non-Darcy flow in shale reservoirs. Pet Sci. 14: 746-54. https://doi.org/10.1007/s12182-017-0180-3

177. Bustin A.M.M., Bustin R.M., Cui X., 2008.Importance of fabric on the production of gas shales. Paper SPE 114167. Presented at the 2008 SPE Unconventional Reservoirs Conference, Keystone, Colorado, USA. https://doi.org/10.2118/114167-MS