Анализ систем с накоплением повреждений стохастическими методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Савинов, Юрий Геннадьевич

• Савинов, Юрий Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савинов, Юрий Геннадьевич

Введение

Глава 1. Стохастические системы с накоплением повреждений

1.1. Обзор математических моделей накопления повреждений.

1.2. Описание процесса накопления повреждений в виде монотонного дифференцируемого процесса.

1.3. Оценки вероятности пересечения криволинейной границы и вероятности больших уклонений для монотонного процесса специального вида.

1.4. Оценка вероятности разрушения в системе с отрицательной обратной связью.

Глава 2. Анализ систем с накоплением повреждений в задачах с разладками

2.1. Стохастическое описание спонтанного рассасывания опухолей.

2.2. Аппроксимация для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы процессом накопления повреждений.

2.3. Оценка адекватности и результаты моделирования.

Глава 3. Идентификация системы с накоплением повреждений

3.1. Идентификация системы с накоплением повреждений с помощью минимизации целевой функции.

3.2. Анализ зависимости решения оптимизационной задачи от вида процесса накопления повреждений.

Глава 4. Оптимальное управление в системе с накоплением 57 повреждений

4.1. Система антиоксидантно-иммунного компромисса.

4.2. Определение оптимального уровня антиоксидантов методом имитационного моделирования.

4.3. Управление продолжительностью жизни и частотой возникновения опухолей эндогенными катализаторами окисления.

4.4. Анализ математической и имитационной моделей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ систем с накоплением повреждений стохастическими методами»

Накопление повреждений происходит в любых материалах и конструкциях, в процессе функционирования любых систем, в том числе и в живых организмах. Следует, однако, признать, что адекватные описания для процесса накопления повреждений разработаны в основном для механических систем и материалов (см., например, А.А. Абызов [2], Дж. Богданофф [4], Е.С. Переверзев [25] и др.). Непосредственно при моделировании биологических объектов эти разработки, очевидно, применяться не могут. Особенностью живого организма является то, что в нем существуют многоуровневые системы репарации. Так что накапливаются не все повреждения, а только те, с которыми не справляются эти системы репарации.

Вообще, в последние годы наблюдается быстрое развитие биокибернетики (первые существенные результаты в этой области получил еще Н. Винер [11]), а в связи с небывалым ростом производительности компьютеров появились широкие возможности для моделирования биологических объектов (см., например, М.В. Абакумов [1], А.А. Бутов [7]-[9], А.А. Романюха [29]-[30] и др.). Тем не менее, на сегодняшний день недостаточно исследованы системы, адекватно описывающие накопление повреждений в биологических объектах.

В связи с этим актуальным является построение математических конструкций, позволяющих учитывать накопление повреждений в системах с автоматическим регулированием и механизмами репарации. Важной спецификой изучения подобных систем является то, что некоторые подсистемы включаются (начинают работать) только при достижении уровнем повреждений заданных пороговых значений. Таким образом, возникает необходимость в исследовании систем с разладками, в которых моменты разладок определяются, в частности, достижением процессом накопления повреждений определенных пороговых значений. 4

Задачи о разладке основываются на гипотезах о структурных изменениях в системе или качественных изменениях в величинах ее параметров. Классическая задача с разладками сформулирована еще в 60-е годы (Вальд А. [10], Ширяев А.Н. [46]-[48]). Далее это направление развивалось в работах Пресмана Э.Л. [27], Роббинса Г. [28], Яшина А.И. [49]. На сегодняшний день развитие этой задачи отражено в работах Мазалова В.В. [20], Николаева М.Л. [21]-[23] и др. Кроме этого, во многих случаях непосредственное измерение уровня повреждений невозможно, поэтому приходится использовать косвенные методы. На первом этапе естественным образом возникает задача идентификации системы с накоплением повреждений. В случае механических систем чаще всего рассматриваются три вида кривых накопления повреждений (выпуклые вниз, линейные и выпуклые вверх) [56]. Информация о принадлежности к одному из этих классов позволяет на следующем этапе осмысленно выбрать наиболее соответствующее описание для процесса накопления повреждений. Поэтому актуальным является построение и обоснование методов идентификации (отнесения к одному из трех этих классов) систем с накоплением повреждений.

Диссертационная работа посвящена исследованию систем, в которых накопление повреждений представляется в виде монотонного дифференцируемого процесса. Такое описание позволяет в естественных терминах рассматривать накопление повреждений в системах с автоматическим регулированием (например, гомеостатических системах живых организмов). Также исследуются системы с разладками, в которых их моменты определяются, в частности, достижением процессом накопления повреждений определенных пороговых значений. Кроме этого, целью работы является построение и обоснование способов идентификации систем с накоплением повреждений. Описания систем проведены в семимартингальных терминах, которые используются при формулировке и доказательстве теоретических результатов диссертационной работы.

Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и сформулированы в следующих основных положениях:

1) Теоремы об оценках вероятности пересечения криволинейной границы и вероятности больших уклонений для монотонного процесса накопления повреждений специального вида.

2) В системе с автоматическим регулированием получена оценка вероятности разрушения.

3) Разработан способ идентификации системы с накоплением повреждений на основе оптимизации целевой функции.

4) Получена аппроксимация для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы процессом накопления повреждений.

5) Найдено оптимальное управление в системе с накоплением повреждений, обеспечивающее максимум средней продолжительности жизни в популяции.

Результаты исследований по этим основным положениям опубликованы в 11 работах [7]-[9], [31]-[37], [44].

Научная ценность работы определяется тем, что в ней исследован новый способ описания процесса накопления повреждений (учитывающий существование порогового для систем репарации значения, при превышении которого только и происходит их накопление). Кроме этого, проведен стохастический анализ системы с разладкой, в которой момент разладки определяется достижением процессом накопления повреждений определенных пороговых значений. По результатам анализа получена аппроксимация для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы процессом накопления повреждений. Предложен способ идентификации системы с накоплением повреждений на основе оптимизации целевой функции. На основе полученных теоретических результатов построены математические и компьютерные имитационные модели смертности живых организмов, которые адаптированы к экспериментальным данным, что отражает практическое применение результатов диссертационной работы при моделировании систем в биологии, медицине, экологии. Кроме этого, полученные результаты могут быть использованы при исследовании механических систем, в которых возможен ремонт или замена подсистем и механизмов.

Исследования проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 01-01-00735, 2001-2003).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и заключения, списка литературы из 85 наименований источников отечественных и зарубежных авторов, а также приложений. Общий объем диссертации составляет 93 страницы.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Савинов, Юрий Геннадьевич

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом:

1) Доказаны теоремы об оценках вероятности пересечения криволинейной границы и вероятности больших уклонений для монотонного процесса накопления повреждений специального вида.

2) В системе с отрицательной обратной связью получены оценки вероятности разрушения.

3) Приведен и обоснован способ идентификации системы с накоплением повреждений на основе оптимизации целевой функции.

4) Доказаны теоремы об аппроксимации для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы процессом накопления повреждений.

5) Найдено оптимальное управление в системе с накоплением повреждений, обеспечивающее максимум средней продолжительности жизни в популяции.

Некоторые вопросы остались за рамками рассмотрения в связи с ограниченностью объема работы. Приведенные результаты могут быть исследованы на более широком классе, чем рассматриваемые в работе функции и процессы. Возможно рассмотрение процессов с возмущениями отличными от гауссовских, диффузионных процессов с различными обратными связями и т.д. Также необходимо отметить, что вопросы идентификации по целевой функции могут выходить за рамки линейного приближения. Вопросы анализа процессов с разладкой могут получить свое дальнейшее развитие при изучении множественных разладок.

Выводы и заключение

Полученные в диссертационной работе теоремы применимы для решения широкого класса прикладных задач в различных областях математической кибернетики. Исследовано одно описание процесса накопления повреждений, позволяющее в естественных терминах рассматривать накопление повреждений в некоторых системах с автоматическим регулированием (например, гомеостатических системах живых организмов). Получены оценки вероятности разрушения в системе с отрицательной обратной связью. Проведен стохастический анализ системы с разладкой, в которой момент разладки определяется достижением процессом накопления повреждений определенных пороговых значений. Получена аппроксимация для процесса размножения и гибели, порождаемого событиями пересечений границы процессом накопления повреждений. Предложен способ идентификации системы с накоплением повреждений на основе оптимизации целевой функции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савинов, Юрий Геннадьевич, 2004 год

1. Абызов А.А., Колодкин В.А., Добряков А.Ю. Применение вероятностных моделей накопления повреждений в системе встроенной диагностики мобильной машины // Сб.тез. II Республ.научно-техн. конф.: "Динамика и прочность мобильных машин", Кутаиси, 1990, с. 76.

2. Анисимов В.Н. Средства профилактики преждевременного старения (геропротекторы) // Успехи геронтологии, вып. 4, 2000, с. 275-277.

3. Богданофф Дж., Козин Ф. Вероятностные модели накопления повреждений. М.: Наука, 1989, 344 с.

4. Бутов А.А., Арбеев К.Г., Яшин А.И. К вопросу о применении оценок вероятностей пересечения границ случайными процессами в моделях страхования // Препринт института им. М. Планка, Росток, 2001, 19 с.

5. Бутов А.А. Теорема для оценок вероятностей пересечения границы простым монотонным дифференцируемым процессом // Учёные записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математики и механики: Сб. статей, 10 (1), Ульяновск: УлГУ, 2001, с. 21-25.

6. Бутов А.А., Хрусталев С.А., Савинов Ю.Г., Голубев A.M. Компьютерный анализ причин укорочения теломер и распределения их числа по длине // Русский журнал ВИЧ/СПИД и родственные проблемы, СПб, 2001, т.5, № 1, с. 19-22.

7. Бутов А.А., Савинов Ю.Г. Модель смертности в системах с отрицательной обратной связью // Труды V Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов», УлГУ, 2003, с. 49.

8. Бутов А.А., Савинов Ю.Г. Стохастическая модель спонтанного рассасывания опухолей // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11 в. 1, М.: ТВП, 2004.

9. Ю.Вальд А. Последовательный анализ, пер. с английского.- М.: Мир, 1960.11 .Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. -М.: Советское радио, 1958.

10. Гихман И.И., Скороход А.В. Управляемые случайные процессы. Киев: Наукова думка, 1977.

11. И.Деллашери К. Емкости и случайные процессы. М.: Мир, 1975.

12. Н.Дынкин Е.Б., Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их приложения. М.: Наука, 1975.

13. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

14. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

15. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

16. Мазалов В.В., Домбровский Ю.А., Перрин Н. Теория оптимальной остановки: приложения к экологии поведения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Серия «Математические методы в экологии» том 1, вып.-6, М.: ТВП, 1994, с. 893-900.

17. Николаев M.JI. Задача о «сбое» стохастической последовательности // Обозрение прикладной и промышленной математики том 9, вып.-1, М.: ТВП, 2002, с. 128.

18. Николаев M.JI. Оптимальные правила многократной остановки // Обозрение прикладной и промышленной математики том 5, вып.-2, М.: ТВП, 1998, с. 309-348.

19. Николаев M.JI. Об оптимальной многократной остановке марковских последовательностей // Теория вероятностей и ее применения, том 43, вып. 2, М.: ТВП, 1998, с. 374-382.

20. Новиков А.А. Мартингальный подход в задаче о времени первого пересечения нелинейных границ. // Тр. Матем. ин-та АН СССР, Т. 15 8, 1981, с. 130-152.

21. Переверзев Е.С. Модели накопления повреждений в задачах долговечности. Киев: Наук, думка, 1995, 358 с.

22. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

23. Пресман Э.Л., Сонин И.М. Последовательное управление по неполным данным. М.: Наука, 1982.

24. Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И. Теория оптимальных правил остановки. М.: Наука, 1977.

25. Романюха А.А., Руднев С.Г. Вариационный принцип в исследовании противоинфекционного иммунитета на примере пневмонии // Математическое моделирование, том 13, № 8,2001, с. 65-84.

26. Романюха А.А. Сопоставление математической модели инфекционного заболевания в клинических данных. В кн. «Математическое моделирование в иммунологии и медицине» гл. ред. Марчук Г.И. Н.: Наука, 1982, с. 27-32.

27. Савинов Ю.Г. Стохастическая модель стресса // Ученые записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математики и механики, в. 1(8), 2000, с. 112-113.

28. Савинов Ю.Г. Модель двухступенчатого процесса старения системы выработки энергии // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 8, в. 1, М.: ТВП, 2001, с. 310-311.

29. Савинов Ю.Г. Математическая модель компромисса между антиоксидантной защитой и уровнем иммунного // Ученые записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математики и механики, в. 1(11), 2002, с. 42-45.

30. Савинов Ю.Г. Оценки вероятности пересечения криволинейной границы монотонным дифференцируемым процессом специального вида // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 9, в. 1, М.: ТВП, 2002, с. 132-133.

31. Савинов Ю.Г. Оценка вероятностей больших уклонений для монотонного процесса специального вида // Ученые записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математики и механики, в. 2(12), 2002, с. 56-60.

32. Савинов Ю.Г. Верхняя оценка вероятности пересечения границы дифференцируемым процессом специального вида // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, в. 1, М.: ТВП, 2003, с. 214-215.

33. Савинов Ю.Г. Нижняя оценка для вероятности разрушения в системе с накоплением повреждений // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 10, в. 3, М.: ТВП, 2003, с. 735-736.

34. Скороход А.В., Слободенюк Н.П. Предельные теоремы для случайных блужданий. Киев: Наукова думка, 1970, 302 с.

35. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971.

36. Скулачев В.П. Эволюция, митохондрии и кислород // Соросовский образовательный журнал, 1999, №9, с. 4-10.

37. Фурсова П.В., Левич А.П., Алексеев В.Л. Экстремальные принципы в математической биологии // Успехи современной биологии, 2003, том 123, №2, с. 115-137.

38. Хейфлик Л. Как и почему мы стареем? М.:Вече, 1999,432 с.

39. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Итоги науки и техники. Мат. анализ, 1977, Т. 14.

40. Хрусталев С.А., Савинов Ю.Г. Стохастическая модель динамики распределения клеток по длинам теломер // Ученые записки УлГУ: Фундаментальные проблемы математики и механики, в. 1(10), 2001, с. 67-72.

41. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

42. Ширяев А.Н. Некоторые точные формулы в задаче о разладке. // Теория вероятностей и ее применение. М.: ТВП, т. 10, в. 2, 1965, с. 380-385.

43. Ширяев А.Н. Об оптимальных методах в задачах скорейшего обнаружения // Теория вероятностей и ее применение. М.: ТВП, т. 8, в. 1, 1963, с. 26-51.

44. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М., 1976.

45. Яшин А.И. Теоретические и прикладные задачи оценивания скачкообразных процессов // Препринт. М.: Институт проблем управления, 1978.

46. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Главный редактор Прохоров Ю.В. М.: Большая Российская энциклопедия, 1999.

47. Afanasiev V.N., Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Mathematical Theory of Control Systems Design. Dordrecht: Kluwer, 1996.

48. Anisimov V.N. Carcinogenesis and Aging. Vol. 1,2.- Boca Raton: CRC Press, 1987, 165 p; 148 p.

49. Barone S., Guida M., Pulcini G. A stochastic degradation model of catalytic converters performances // Proceedings International Workshop on Modeling, Emissions and Control in Automotive Engines MECA'01, Fisciano (Salerno), 2001, pp. 113-121.

50. Bhattachaya В., Ellingwood B. A CDM analysis of stochastic ductile damage growth and reliability // Probabilistic Eng. Mech, 1999, №14, pp. 45-54.

51. Challis G.B., Stam H.J. The spontaneous regression of cancer. A review of cases from 1900to 1987 //Acta Oncol., 29, 1990, pp. 545-550.

52. Chao M.T. Degradation Analysis and Related Topics: Some Thoughts and a Review // Proc. Natl. Sci. Counc. ROC(A), Vol. 23, № 5, 1999, pp. 555-566.

53. Cole W.H. Efforts to explain spontaneous regression of cancer // J. Surg. Oncol., 17, 1981, pp. 201-209.

54. Cui Z., Willingham M.C. at.al. Spontaneous regression of advanced cancer identification of a unique genetically determined, age-dependent trait in mice // Proc. Natl. Acad. Sci., USA, 2003,100, pp. 6682-6687.

55. Cutler R.G. Antioxidants and Aging // American Journal of Clinical Nutrition, 1991, 53 (1), pp. 373-379.

56. Durham S.D., Padgett W.J. Cumulative damage models for system failure with application to carbon fibers and composites // Technometrics, Vol. 39, 1997, pp. 34-44.

57. Feller W. The birth and death processes as diffusion processes // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees, Vol. 38, 1959, pp. 301-345.

58. Finkel Т., Holbrook J. Oxidants, oxidative stress and the biology of aging // Nature, 2000, 408, pp. 239-247.

59. Gertsbakh I.B., Kordonskiy K.B. Models of Failure. Springer-Verlag, 1969.

60. Harrington L. A. Harley С. B. Effect of vitamin E on lifespan and reproduction in caenorhabditis-elegans // Mechanisms of Ageing & Development 43 (1), 1988, pp. 71-78.

61. Harman D. Aging: A theory based on free radical and radiation chemistry // Journal of Gerontology, 1957,2, pp. 298-300.

62. Harman D. Role of Antioxidant Nutrients in Aging Overview // Age Vol. 18, №2, 1995, pp. 51-62.

63. Kahle W., Wendt H. Statistical analysis of damage processes. // Recent Advances in reliability theory, statistics for industry and technology, 2000, pp. 199-212.

64. Kakkar R, Bains J.S., Sharma S.P. Effect of vitamin E on life span, malondialdehyde content and antioxidant enzymes in aging Zaprionus paravittiger // Gerontology 42 (6), 1996, pp. 312-321.

65. Krylov N.V. Introduction to the theory of diffusion processes.-USA: American Mathematical Society, 1995.

66. Kubat P., Lam C.Y.T. Optimal monitoring strategies for slowly deteriorating repairable systems // IEEE Transactions on Communications, 40, 1992, pp. 661-665.

67. Meeker W.Q., Escobar L.A. Statistical Methods for Reliability Data.-John Wiley & Sons, 1998.

68. Meeker W.Q., Escobar L.A. Accelerated degradation tests: modeling and analysis. // Technometrics, 40, 1998, pp. 89-99.

69. Miner M. A. Cumulative damage in fatigue. // Jour, of Appl. Mech., ASME, 67,1945, pp. 159-164.

70. Moller C.M. The distribution of first entry time with applications to ruin probabilities // Working Paper, 1994, № 122.

71. Morley A., Trainor K.J. Lack of an effect of vitamin E on lifespan of mice // Biogerontology 2 (2), 2001, pp. 109-112.

72. Muller-Hocker J. Mitochondria and ageing // Brain Pathology, № 2, 1992, pp. 149-158.

73. Papac R. J. The role of zinc in pre- and postnatal mammalian thymic immunohistogenesis // In Vivo 12, 1998, pp. 571-578.

74. Peskir G, Shiryaev A.N. On the Brownian first-passage time over a one-sided stochastic boundary // Theory Probab. And Appl., 1997, № 42(3), pp. 591602.

75. Samartin S., Chandra R. K. Obesity, overnutrition and the immune system // Nutrition Research 21, 2001, pp. 243-262.

76. Swain B.K. John T.S. Majudar S. Effect of supplementation of vitamin E, selenium and their different combinations on the performance and immune response of broilers // British Poultry Science. 41(3), 2000, pp. 287-292.

77. Swan G.W. Application of Control Theory in Medicine.-N.Y.: Dekker, 1984.

78. Whitmore G.A. Estimating degradation by a Wiener diffusion process subject to measurement error // Lifetime Data Analysis, 1995, № 1, pp. 307319.

79. Whitmore G.A. Shenkelberg F. Modeling accelerated Estimating degradation data using Wiener diffusion with a time scale transformation // Lifetime Data Analysis, 1997, № 3, pp. 1-19.

80. Whitmore G.A. Crowder M.G. Failure inference from a marker process based on a bivariate Wiener model // Lifetime Data Analysis, 1998, № 4, pp. 229-251.