Анализ сингулярных воздействий на упругое тело методом граничных состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Поликарпов Максим Владимирович

• Поликарпов Максим Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Поликарпов Максим Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1 КЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД

1.1 Основные положения метода граничных состояний

1.2 Сосредоточенные силовые воздействия на поверхности гладкого тела

1.3 Шар, уравновешенный системой сосредоточенных сил

1.4 Взаимодействие двух сферических полостей

1.5 Деформация сферического сосуда

1.6 Выводы по разделу

2 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О СИНГУЛЯРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

2.1 Механическая сингулярность

2.2 Постановка задач для тел с механической сингулярностью

2.3 Единственная механическая сингулярность в области

2.4 Пара однотипных механических сингулярностей

2.5 Конечное множество однотипных механических сингулярностей

2.6 Совокупность разнородных механических сингулярностей

2.7 Выводы по разделу

3 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О НУЛЬМЕРНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИНГУЛЯРНОСТЯХ

3.1 Подходы к моделированию источника давления

3.2 Тестовая задача для одной механической сингулярности

3.3 Задачи о взаимодействии сосредоточенных сил в неограниченной среде

3.4 Задача о взаимодействии трех центров расширения

3.5 Выводы по разделу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ сингулярных воздействий на упругое тело методом граничных состояний»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы. Трудности, которые возникают в ходе решения задач для тел, включающих особенности физического и геометрического характера, представляют собой одну из важнейших проблем фундаментальных научных исследований по направлению «Математика и механика». Данные особенности возникают в случаях если граничные условия или сама граница области не являются гладкими. Области, в которых происходит нарушение этих условий, принято называть особыми или сингулярными. Характеризуются они наличием бесконечных напряжений в конкретных точках границы, где, например, происходит контакт различных материалов, смена типа граничных условий и др. Находиться особые точки могут также и внутри области тела, а не только на его границе.

При решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) сингулярности различного характера встречаются нередко. Окрестность особых точек является зоной концентрации напряжений, что и является практической значимостью этих решений. Наличие сингулярности значительно усложняет формирование решения, которое могло бы в полной мере отвечать распределению напряжений и деформаций.

Количество полученных точных решений для задач МДТТ при наличии сингулярностей крайне мало. Использование приближенных численных или аналитических методов сталкивается с рядом проблем, связанных с проявлением сингулярности в решениях, которая выражается в виде больших значений напряжений в особых точках. Подводя итог, можно сделать вывод, что наличие зоны ярко выраженной концентрации напряжений, говорит о необходимости дополнительных исследований в окрестности проявления сингулярности.

В конце девятнадцатого века задача о физической сингулярности типа сосредоточенной силы, действующей на границу полуплоскости, была решена профессором Буссинеском Ж.В. в 1885 году. По условиям задачи необходимо было определить значения вертикальных и касательных напряжений в точке,

расположенной на площадке, параллельной плоскости, ограничивающей массив от действия сосредоточенной силы [70].

Мусхелишвили Н.И. для обобщенно плоского напряженного состояния формирует функции, соответствующие действию сосредоточенной силы, приложенной в начале координат к неограниченному телу [33] в рамках теории функций комплексного переменного. Гольдштейн Р.В. исследовал [15] методы теории функции комплексного переменного и комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили, где работал над асимптотическим поведением упругого поля в окрестности раздела разных материалов, излома и трещин на границе. Его работа посвящена развитию метода конечных элементов на класс задач с использованием сингулярных конечных элементов для определения коэффициентов асимптотики в составных клиньях. Этому же посвящена работа Гилберта Стренга [64], но уже при помощи методом граничных интегральных уравнений.

Для различных видов трещин в вершинах в работах Кассира (Kassir M.K.), Кхалила (Khalil S.A.), Когучи (Koguchi H.), Мурамото (Muramoto T.), Сзи (Sze K.Y.), Трентера (Tranter C.J.), Ванга (Wang S.S.), Чой (Choi I.) [73], [74], [75], [95], [97], [98] использовался метод сингулярных конечных элементов. Задача об определении критического значения коэффициента интенсивности в угле поверхности раздела составного клина исследовалась в работах Матвеенко В.П., Михайлов С.Е. [28], [29], [30], [31]. Вопросу исследования напряженного состояния в окрестностях вершин трещин на границе раздела составной плоскости и вершин двумерных клиньев посвящено большое количество работ таких ученых как: Александров В.М., Бабешко В.А., Барсуков С.А., Боджи Д.Б., Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Гольдштейн Р.В., Мовчан Н.В., Попов Г.Я., Гудиера (Goodier J.N.), Вильямса (Williams M.L.), Есибаша (Yosibash Z.), Жанга (Zhang N.), Джозефа (Joseph P. F.) [1], [2], [3], [4], [5], [11], [12], [13], [14], [16], [32], [53], [81], [82], [96], [99], [100], [101], [102]. Данную проблему рассматривали в основном отталкиваясь либо от конструирования решений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для тел, содержащих сингулярности различного

вида, либо от преобразования Меллина и теория вычетов, как в работах Чена (Chen D.H.), Ниситани (Nisitani H.), Когучи (Koguchi H.), Мурамото (Muramoto T.) [71], [76]. Все они сводят рассматриваемую задачу к решению трансцендентного уравнения относительно показателя сингулярности.

С помощью методов сингулярных интегральных уравнений [35] рассмотрены задачи МДТТ в работах Панасюка В.В., Саврюка М.П. и Дацыщина А.П. По итогам исследований Панасюка В.В., Стадника М.М., Силованюка В.П. и Саврюка М.П. [36] была разработана методика расчета вблизи произвольно-ориентированных включений и трещин в изотропной полуплоскости или плоскости коэффициентов интенсивности напряжений.

Принцип возможных перемещений и условия конечности энергии использовался в работах Воровича И.И. [8, 9] для того, чтобы выделить группу решений, обладающих свойством единственности. Мазья В.Г., Кондратьев В.А. и Пламеневский Б.А. [20, 34] в своих исследованиях решение вблизи сингулярности представляли в виде разложения в асимптотический ряд при помощи гладкой функции, чем внесли ощутимый вклад в исследовании особых точек в рамках задач теории упругости.

Плоские задачи о напряженно-деформированном состоянии (НДС) при наличии сосредоточенных сил рассматривались в статьях Колганова Ю.А. и Прониной Ю.Г. [18, 54]. Ряд работ Кундрата Н.М. и Ядрухина А.К. посвящен механике разрушения под действием сосредоточенных силовых факторов [21, 22, 23, 66]. В рамках динамики сосредоточенные силы и нагрузки исследовались в работах Журавкова М.А. и Романова В.Г. [17, 56].

В случае пространственных задач для конических выточек или включений изучению сингулярности в напряженном состоянии аналитическими методами посвящен ряд работ Панасюка В.В., Базанта (Bazant Z.P.), Эстенссоро (Estеnssоrо L.F.), Кира ^ееп L.M.), Козлова В.А., Мазья В.Г., Нкемзи (Nkemzi B.), Парихара (Parihar K.S.), Пику (Picu C. R.), Гупта (Gupta V.), Сомаранта (Somaranta N.) [37], [67], [68], [69], [77], [78], [79], [83], [84], [85], [86], [87], [91], [92], [93], [94].

В трудах Работнова Ю.Н. [55] рассматривается задача о воздействии сосредоточенной силы в изотропной неограниченной упругой среде. Метод решения задач о сосредоточенных воздействиях по поверхности шара и шарового слоя описан в монографии Лурье А.И. [25], акцент сделан именно на сферический характер границ тела.

Для класса плоских задач механики твердого деформируемого тела при организации метода граничных состояний изучены все возможности использования специальных решений в трудах Пенькова В.Б. и Рязанцевой Е.А. [57], [58], [59], [60], [61], [62], [63]. Используя эти результаты, можно строить решения плоских задач математической теории упругости практически любой сложности.

В пространственном случае аналогичная проблема встает достаточно остро. Количество сформированных решений для задач механики твердого деформируемого тела, включающего физические или геометрические особенности, крайне мало. Применение численных приближенных методов, как уже говорилось ранее, сталкивается с рядом проблем в местах проявления сингулярности.

Пренебрежение физическими и геометрическими особенностями тел при построении напряженно-деформированного состояния может привести к недостаточной точности и даже к потере решения.

Целью исследования является развитие метода граничных состояний на класс пространственных задач механики твердого деформируемого тела, включающих сингулярности.

Задачи исследования следуют из поставленной цели:

1) разработка общей методики численно-аналитического построения НДС трёхмерного тела произвольной формы, включающего сингулярности, на основе классического (регулярного) способа;

2) постановка пространственных задач математической физики для тел, включающих физические особенности, в терминах метода граничных состояний;

3) теоретическое обеспечение использования «специальных» решений для учета физических особенностей при решении пространственных задач механики твердого деформируемого тела;

4) разработка общей методики численно-аналитического построения НДС для пространственных задач механики твердого деформируемого тела, включающих конечное множество особенностей, для класса сингулярных функций и без искусственных осложнений в описании формы тела;

5) применение предложенных методик для решения конкретных задач с особенностями.

Научная новизна. Научная новизна проводимого исследования заключается в модификации и усовершенствовании МГС на класс пространственных задач теории упругости, включающих физические и геометрические особенности тела. МГС позволяет строить численно-аналитические решения, благодаря чему эффект от учета сингулярности является предсказуемым фактором, чего нельзя ожидать от сугубо численных методов, таких как метод конечных элементов, метод граничных элементов и так далее. МГС также потенциально позволяет строить решения задач, содержащие все физические, геометрические, нагрузочные параметры, то есть полнопараметрические.

Разработка общей методики построения решений пространственных задач математической физики для тел, включающих физические особенности, позволит обеспечить сбережение вычислительных ресурсов.

Теоретическая значимость заключается в предоставлении реальных возможностей построения численно-аналитических решений для пространственных задач, осложненных наличием сингулярности (в перспективе -автоматическими средствами компьютерных алгебр).

Практическая ценность заключается в ресурсосбережении. Предложенная методика численно-аналитического построения НДС для пространственных задач механики твердого деформируемого тела позволяет анализировать влияние сингулярностей без искусственных осложнений в описании формы тела.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 19-31-90065.

Методология и методы исследования. Методология исследования включает в себя использование классических моделей механики сплошной среды и основные строго доказанные положения относительно линейно-упругой среды:

1) принцип возможных перемещений для обоснования справедливости свойств скалярных произведений и установления изоморфизма гильбертовых пространств внутренних и граничных состояний;

2) строгий математический аппарат теории пространств;

3) самодостаточный с позиций обеспечения с задаваемой точности решения энергетический метод граничных состояний.

Положения, выносимые на защиту.

1. Общая методика численно аналитического построения НДС трехмерного тела произвольной формы, включающего особенности на основе классического (регулярного) способа, а также для класса сингулярных функций и без искусственных осложнений в описании формы тела.

2. Постановка задач о механических сингулярностях произвольного характера.

3. Технология компенсации "следов" сингулярностей на границе тела при наложении множества полей НДС.

4. Численно-аналитические решения конкретных пространственных задач эластостатики (здесь и далее используется классификация Мусхелишвили Н.И. [33]):

- первая основная задача для шара, уравновешенного двумя сосредоточенными силами;

- первая основная задача для шара, уравновешенного шестью сосредоточенными силами;

- серия первых основных задач о взаимодействии двух сферических полостей при варьировании внутриполостного давления, а также зависимости прочностных характеристик несущего массива от расстояния между полостями;

- первая основная задача о деформация сферического сосуда;

- первая основная задача для полусферы с единственной сингулярностью, типа центра расширения;

- первая основная задача о взаимодействии двух встречно-направленных сосредоточенных сил;

- первая основная задача о взаимодействии трех встречно-направленных сосредоточенных сил;

- серия первых основных задач о взаимодействие конечного множества центров расширения.

Вычисления проводились средствами системы Mathematica [24].

Степень достоверности. Использование энергетического метода граничных состояний позволяет:

1) гарантировать построение решения с любой наперед заданной точностью за счет наращивания удерживаемого отрезка базиса состояний;

2) благодаря тому, что в постановках задач теории упругости определяющие соотношения среды удовлетворяются тождественно, фактическую точность построенного решения можно оценить сравнением заданных граничных условий с построенным граничным состоянием использованием любой оценочной меры (визуальное сопоставление граничных условий с решением, оценка невязки решения с граничными условиями).

Таким образом, достоверность обеспечивается:

1) использованием классических положений теории упругости;

2) корректной математической постановкой задач;

3) использованием самодостаточного метода решения (МГС), ориентированного на компьютерные алгебры. Самодостаточность состоит в том, что дифференциальные уравнения удовлетворяются тождественно, а ошибка формируется только в отклонении при восстановлении граничного состояния от граничных условий из-за ограничиваемого размера базиса пространства состояний;

4) оценкой погрешности решений при помощи среднеквадратичной интегральной невязки.

Апробация работы. Результаты исследования и основные материалы диссертационной работы многократно представлялись на семинарах научной школы «Математические методы и модели механики» (руководитель В.Б. Пеньков, Липецк, ЛГТУ), на научной конференции студентов и аспирантов ЛГТУ «Тенденции развития современной науки» (Липецк, ЛГТУ, 24-26 апреля 2017 г.), на V международной научно-практической конференции «Актуальные вопросы в науке и практике» (Самара, 1 февраля 2018 г.), на научной конференции студентов, магистров и аспирантов института машиностроения в ЛГТУ (Липецк, ЛГТУ, 9 февраля 2018 г.), на областном профильном семинаре «Школа молодых ученых по проблемам технических наук» (Липецк, ЛГТУ, 15 ноября 2019 г.), на международной конференции по системам управления, математическому моделированию, автоматизации и энергоэффективности SUMMA (Липецк, 11-13 ноября 2020 г.), на международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 7-9 декабря 2020 г.), на IX международном научном симпозиуме «Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела» (Тверь, 16 декабря 2020 г.), на научном семинаре по механике деформируемого твёрдого тела имени Л.А. Толоконникова (Тула, ТулГУ, 25 мая 2021 г.).

По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, в том числе 2 статьи опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК РФ, 2 статьи - в изданиях, входящих в международные реферативные базы данных Scopus, и 2 статьи - Web of Science.

1 КЛАССИЧЕСКИЙ ПОДХОД

1.1 Основные положения метода граничных состояний

Метод граничных состояний (МГС) основан на понятии состояния среды, под которым понимается любое частное решение определяющих уравнений среды безотносительно к условиям, поставленным на границе тела [38].

Понятие состояния среды трансформируется в понятие внутреннего состояния если речь заходит о конкретном теле, имеющем свои границы. Совокупность всех возможных внутренних состояний образует пространство внутренних состояний Е. Для линейных сред внутреннее состояние оказывается линейным относительно операций суммирования состояний и умножения состояния на число. Если для двух произвольных состояний %(1), ((2) пространства Е можно определить скалярное произведение, то пространство Е - евклидово [19]. В евклидовом пространстве традиционным образом определяется норма элемента и метрика:

иш = УсШ,

Ре(((1),((2)) = ^(1) -С(2),С(1) -С(2))е

Процедура замыкания пространства внутренних состояний формирует полное пространство. Таким образом, пространство состояний линейной среды оказывается гильбертовым. Поэтому внутреннее состояние может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса [19]:

(1),(2) № ...е2, (((0,((Л) = 8..:

( = ^

к

где - символ Кронекера, ск = (£, £(к))Е - коэффициенты Фурье.

След, который оставляет на границе тела внутреннее состояние воспринимается как граничное состояние у, соответствующее внутреннему. Совокупность всех граничных состояний образует пространство граничных

состояний Г. Если оно является линейным и в нем можно определить скалярное произведение, то такое пространство - евклидово. Замыкание пространства граничных состояний формирует полное пространство. Таким образом, пространство граничных состояний линейной среды является гильбертовым. Поэтому граничное состояние также может быть представлено в виде ряда Фурье по элементам ортонормированного базиса:

У(1),У(2),-у(п) - Е Г, (у(1),у0')) = 8ц:

У = 1кскУ(к), ск = (у, у(к))г.

Если каждому элементу у Е Г ставится в соответствие единственный элемент ( Е Е, то пространства внутренних и граничных состояний изоморфны: Е ^ Г.

Необходимо отметить еще одно немаловажное обстоятельство: соответствие (^ у не является односторонним. При заданных согласованных эпюрах поверхностных усилий и перемещений, поле внутренних перемещений однозначно восстанавливается по формуле Сомильяны [39]. Через формулы Коши и обобщенный закон Гука так же однозначно восстанавливаются и поля деформаций и напряжений. Следовательно, между элементами пространств внутренних и граничных состояний установлено взаимно-однозначное соответствие. Если изоморфизм сохраняется для результатов операций сложения состояний и умножения состояния на число

^(1) + £(2) ^ у(1) + у(2), ^ ау, аЕ Я1 и при этом скалярные произведения изоморфных пар элементов равны между собой

(у т, у (2>)г = (( м ( (2>)е то выполняется гильбертов изоморфизм. Это позволяет изучение внутреннего состояния свести к изучению соответствующего граничного состояния. При этом базисному набору элементов пространства Е будет однозначно соответствовать базисный набор элементов пространства Г.

Определяющие соотношения в математической модели однородного эластостатического тела представлены в тензорно-индексной форме записи

(запятая в индексе означает дифференцирование, повторение индексов -суммирование) и заключены в соотношениях Коши

£ч = 1/2К; + ^ (1)

обобщенном законе Гука

= М8Ч + 2^, (2)

уравнениях равновесия

+ Х° = 0, (3)

где и.1, - компоненты векторов перемещений, - компоненты тензоров деформаций , - компоненты тензоров напряжений, в = £кк - объемная деформация ^¿у - символ Кронекера, Я, д - параметры Ламе, X00 - объемные силы. При фиксированных значениях Я, д совокупность соотношений (1)-(3) сводится к системе уравнений Ламе

+ (^ + Д)^,;* + X0 = 0.

Их общее решение построено Папковичем и Нейбером и представляется в форме Аржаных-Слободянского (случай отсутствия объемных сил) для ограниченного односвязного тела

щ = 4(1 - у)В1 + Х]Вц - х^В]Л , (4)

где V - коэффициент Пуассона, В^ - компонента произвольного гармонического вектора. Общие решения (4) являются эффективным инструментом построения базиса пространства состояний для тела, в котором отсутствуют сингулярные факторы [5].

Под внутренним состоянием линейной упругой среды % будем понимать набор полевых характеристик напряженно-деформированного состояния % = [щ, , Оц}. Следует заметить, что, тензоры деформации и напряжений являются симметричными.

Для двух произвольных состояний %2 пространства Е справедлива теорема взаимности Бетти, которую можно использовать как основу определения скалярного произведения. Сама теорема обосновывает коммутативность состояний среды [39]:

(ь, ъ)е = [ ън-дУ = [ а^дУ = ь)е-¿V ■V

В пространстве внутренних состояний скалярное произведение выражает внутреннюю энергию упругого деформирования

Данная метрика позволяет строить всевозможные фундаментальные последовательности состояний среды. Замыкание пространства внутренних состояний образует полное пространство. Таким образом, пространство состояний линейной среды является гильбертовым.

Под граничным состоянием будем понимать набор функций точек границы у = [щ, Р1}, где щ \эу - перемещения на границе тела, Р1 \ду - поверхностные усилия на границе тела.

Пусть ( Е Е - произвольное состояние среды. Очертание области V позволяет в каждой точке границы указать внешнюю нормаль п = [п1, п2, п3} (рисунок 1.1) и определить в ней внешнее усилие, соответствующее внутреннему состоянию по линейной зависимости:

VI = ачп] ■

Рисунок 1.1 - Линейная сплошная среда Компоненты вектора перемещения в точках границы вычисляются непосредственно, как предельные значения соответствующих величин во внутренних точках области V.

Совокупность всех допустимых граничных состояний образует пространство граничных состояний Г. Если оно является линейным и в нем можно определить скалярное произведение, то такое пространство - евклидово. Замыкание

пространства граничных состояний формирует полное пространство. Таким образом, пространство граничных состояний линейной среды является гильбертовым.

Принцип возможных перемещений [39] позволяет формулировать теорему Бетти в терминах граничных состояний:

В пространстве граничных состояний Г скалярное произведение выражает работу внешних сил.

Для многих линейных сред известны общие решения системы определяющих их уравнений. Поэтому в качестве определяющего принципа для построения базиса пространства внутренних состояний логично принять существование общего решения для среды.

Например, в случае изотропной упругой среды для односвязного конечного тела реализацию исходного базиса пространства Е можно рассматривать как совокупность всевозможных гармонических векторов вида

где Ьк - линейно независимые гармонические многочлены низших порядков. Такая организация обеспечивает линейную независимость системы гармонических векторов.

Наиболее энергоёмкий процесс ортогонализации исходного базиса состояний опирается на теорему Гильберта-Шмидта. Этот процесс опирается на вычисление всех перекрестных скалярных произведений базиса пространства внутренних состояний. Так как пространства внутренних и граничных состояний изоморфны, то ортонормированному базису внутренних состояний соответствует ортонормированный базис граничных состояний.

После ортогонализации атрибуты результирующих внутреннего и граничного состояний представляются рядами Фурье по элементам ортонормированных базисов

_ v — V — V

Щ — Z,fc CkUi , — ¿,k , £ij — Z,fc ck£ij >

Щ \dv — Efe cfcu(k)|9y, pi — EfcCfcp(k).

Условимся считать известным ортонормированный базис пространства Г и соответствующий ему по изоморфизму ортонормированный базис пространства Е.

В первой основной задаче требуется восстановить механическое поле в области V по заданным на границе dV усилиям р.

Решение первой основной задачи состоит в вычислении коэффициентов Фурье:

С — Í М«

hv

Таким образом, решение задач для любых линейных сред и тел произвольных очертаний сводится к элементарному вычислению квадратур через скалярные произведения [39].

1.2 Сосредоточенные силовые воздействия на поверхности гладкого тела

Сосредоточенная сила представляет собой идеализацию локально сконцентрированного в малой области поверхностного усилия значительной величины. Этот подход согласуется с принципом Сен-Венана, постулирующим индифферентность индивидуальной формы приложенной нагрузки по отношению к удаленной точке наблюдения: требуется, чтобы главные величины, характеризующие механическое воздействие (главный вектор, момент) имели соответствующие значения. Этот же подход позволяет при проведении вычислений заменять сосредоточенный фактор эквивалентным по действию распределенным. Сосредоточенная сила является сингулярностью физического характера.

Поверхность dV трехмерного тела с гладкими границами покрыта п локальными "пятнами" Sk габаритного диаметра 2s каждое, в центре которых сосредоточены силы рк (рисунок 1.2). Каждый вектор рк заменен его приближенным представлением в форме вектора пространственного многочлена 4-го порядка, обеспечивающих нулевое значение гладкого "полипа" на границах

пятна и гладкость его перехода к нулевому уровню напряжений рк хЕ50 = дУХп^Бь.

х3

Рисунок 1.2 - Локализация пятна Бк = !Бк Рк,

Рк = р1} (л), ц = {т, т, лзI

кг \ 0к ( 3 6г2 , 3г4\

рч (") = Руь;,-^+та)-

г2 = ц2 + ц2, ц ЕБк,

Ок ?

где ру - максимальное значение усилия на пятне к в направлении оси ].

Кроме смягченных сосредоточенных воздействий будем полагать заданной по всей границе дУ функцию р0(х), имеющую непрерывный гладких характер. Таким образом граничные условия первой основной задачи имеют вид

ГРо(^) + Рк СО, хЕБк

х Е Б0

По всей границе дУ вектор р(х) представляет собой гладкую непрерывную функцию.

Как известно [40], решение первой основной задачи средствами МГС сводится к вычислению коэффициентов Фурье через ортонормированный базис [у(г) ] пространства граничных состояний Г и последующему восстановлению актуальных внутренних и граничных состояний через ряды Фурье.

рМ = (Ро(*)" Фо оо,

Реально вместо полного базиса используется его усеченный вариант с I Е [1, Щ. В силу особенности граничных условий, близких к сингулярным для обеспечения точности можно не назначать чрезмерно высокое значение, для Ы, но ввести в исходный базис специальные элементы "схватывающие" эти особенности. Порядок ряда N при этом снижается кардинально. Введенные решения имеют право наполнять базис, поскольку:

1) они линейно-независимы: никакой конечный набор ограниченных в ограниченной области, охватывающей все особые точки, не может дать бесконечных значений в этих точках;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Поликарпов Максим Владимирович, 2022 год

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров, В.М. О давлении на упругое полупространство штампа клиновидной в плане формы /В.М. Александров, В.А. Бабешко В.А // ПММ. 1972. Т. 36. С. 88-93.

2. Бабешко, В.А. К определению особенности поля напряжений в окрестности вершин упругих многогранников /В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова// Кубанский гос.ун-т. Краснодар, 1988. 21с.

3. Бабешко, В.А. Об особенностях в угловых точках пространственных штампов в контактных задачах / В.А. Бабешко, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // ДАН СССР. 1981. Т. 257. № 2. С. 289-294.

4. Барсуков, С.А. Сингулярность напряжений в угловых точках фронта трещины, находящейся на границе раздела двух сред /С.А. Барсуков, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова // МТТ. 2002. №.2. С. 77-85.

5. Боджи, Д.Б. Действие поверхностных нагрузок на систему из двух соединений вдоль одной из граней упругих клиньев, изготовленных из различных материалов и имеющих произвольные углы раствора /Д.Б. Боджи// Прикладная механика. Труды Американского общества инженеров-механиков. 1971. №.2. С.87-96.

6. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов. - М.: Выс.шк., 1968. - 513 с.

7. Бухгольц, H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. /Н.Н. Бухгольц -М.: Наука, 1969. - 332 с.

8. Ворович, И.И. О поведении решений особых краевых задач теории упругости в окрестности особых точек границы /И.И. Ворович // Тез.докл. III Всесоюз. Съезда по теорет. к прикл. механике. 1968. С.80.

9. Ворович, И.И. Неклассические смешанные задачи теории упругости /И.И. Ворович, В.М. Александров, В.А. Бабешко. - М.: Наука, 1974. - 456 с

10. Включение геометрических параметров в полнопараметрическое решение задачи о напряженно-деформированном состоянии неоднородного тела / В.Б. Пеньков, О.С. Новикова, М.В. Поликарпов, Л.В. Левина // Актуальные вопросы в

науке и практике: сб. ст. по материалам V междунар. науч.-практ. конф. (Самара, 1 февраля 2018 г.) В 4 ч. Ч.1 - Уфа: Изд-во «Дендра», 2018. - С. 212-218.

11. Глушков, Е.В. Об особенностях поля напряжений в окрестности вершины клиновидной пространственной трещины /Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова// Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1992. № 4. С. 82-86.

12. Глушков, Е.В. Показатели сингулярности упругих напряжений в точке выхода трещины на двумерный график /Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, О.Н. Лапина// М.: Изв. РАН. Мех. твердого тела. 1998. № 5. С. 146-153.

13. Глушкова, Н.В. Сингулярность напряжений и многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений /Н.В. Глушкова, Е.В. Глушков, П Хофф П.// М.: ДАН. 2000. Т. 370. №.2. С.181-185.

14. Глушкова, Н.В. Асимптотическое представление термоупругих напряжений в угловых точках разномодульных соединений /Н.В. Глушкова// Изв. РАН. Мех. твердого тела. 1998. № 2. С. 69-77.

15. Гольдштейн, Р.В. Вариационно-разностный метод решения некоторых интегральных и интегродифференциальных уравнений трехмерных задач теории упругости /Р.В. Гольдштейн, И.С. Клейн, Г.И. Эскин // Препринт 33. ИПМ АН СССР. М. 1973. 55 с.

16. Денисюк, И.Т. Напряжения вблизи конической точки поверхности раздела сред / И.Т. Денисюк //М.: Изв. РАН. МТТ. №.3 С. 68-77.

17. Журавков, М.А. О динамическом воздействии сосредоточенной силы в упругом изотропном пространстве со сферической полостью. / М.А. Журавков, А.В. Круподеров // Весщ нацыянальнай акадэмп навук беларусг Серыя фiзiка-тэхшчных навук. - 2010. № 3. С. 44-50.

18. Колганов, Ю.А. Исследование механизмов разрушения в композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами / Ю.А. Колганов // Строительная механика и расчет сооружений. - 2009. № 5(226). С.18-28.

19. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Физматлит, 2004. - 572 с.

20. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками /В.А. Кондратьев// Тр. ММО.1967. Т.16. С.209-292.

21. Кундрат, Н.М. Исследование механизмов разрушения в композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами. / Н.М. Кундрат // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2000. № 3. С. 333-342.

22. Кундрат, Н.М. Отслоение жесткого включения в упругопластической матрице при растяжении сосредоточенными силами. / Н.М. Кундрат // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. № 1. С. 107-113.

23. Кундрат, Н.М. Предельное равновесие композиции с жестким включением при растяжении сосредоточенными силами. / Н.М. Кундрат // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2000. № 1. С. 104-112.

24. Курбатов, В.Г. Пакет «Математика» в прикладных научных исследованиях: учебное пособие / В.Г. Курбатов, В.Е. Чернов. - Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2016. - 240 с.

25. Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. - М.: ГИТТЛ, 1955. - 492 с.

26. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

27. Ляв, А. Математическая теория упругости. / А. Ляв. - М. : ОНТИ, 1935. - 674 с.

28. Матвеенко, В.П. Метод численного анализа сингулярности напряжений в угловых точках трехмерных тел /В.П. Матвеенко// М.: Изв. РАН. МТТ. 1995. №.5. С.71-77.

29. Матвеенко, В.П. Исследование сингулярности напряжений в вершине эллиптического конуса /В.П. Матвеенко, Т.О. Накарякова, П.В. Севодина, И.И. Шардакова // ДАН. 2006. Т. 411, №.3, С. 326-329.

30. Матвеенко, В.П., Численный анализ сингулярности напряжений в вершине трехгранного упругого угла /В.П. Матвеенко, С.Г. Минакова// Механика и прикладная математика. Тула. 1988. С.38-42.

31. Михайлов, С.Е. Сингулярность напряжений в окрестности ребра в составном неоднородном анизотропном теле и некоторые приложения к композитам /С.Е. Михайлов// Изв. Ан СССР. МТТ. 1979. №.5 С. 103- 110.

32. Мовчан, Н.В. Асимптотика показателей сингулярностей для угловых в плане трещин /Н.В. Мовчан, С.А. Назаров// Вестник ЛГУ. 1990. Сер. 1. Вып. 3. С. 34-38.

33. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 708 с.

34. Новикова, О.С. Построение полнопараметрических аналитических решений задач теории упругости на основе метода граничных состояний: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Новикова Ольга Сергеевна - Тула, 2019. - 128 с.

35. Панасюк, В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочек /В. В. Панасюк, М. М.П, Саврук, А.П. Дацышин .//, "Наукова думка", Киев, 1976, 443с.

36. Панасюк, В.В. Концентрация напряжений в трехмерных телах с тонкими включениями /В. В. Панасюк, М. М. Стадник, В. П. Силованюк// АН УССР, Физ.-мех. ин-т им. Г. В. Карпенко. - К. : Наукова думка, 1986. - 216 с.

37. Партон, В.З. Методы математической теории упругости /В.З. Партон, П.И. Перлин// М.: Наука, 1981. 688 с.

38.Пеньков, В.Б. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики / В.Б. Пеньков, В.В. Пеньков // Дальневосточный математический журнал. - 2001. - Т.2, №2. - С. 115-137

39. Пеньков, В.В. Метод граничных состояний в задачах линейной механики: дис. ... канд. физ.- мат. наук: 01.02.04 / Пеньков Владимир Викторович. - Тула, 2002. -100 с.

40. Пеньков, В.Б. Метод граничных состояний с возмущениями: неоднородные и нелинейные задачи теории упругости и термоупругости / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co., Germany, 2012. -108 с.

41. Пеньков, В.Б. Концепция пространств состояний среды как современное средство инженерных расчетов / В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Elmi Ossrtar fundamental elmbr. № 3 - CILD. XI (43). - BAKI, 2012. - С. 89-93.

42. Пеньков, В.Б. Аналитическое решение задач эластостатики односвязного тела, нагруженного неконсервативными объемными силами. Теоретическое и алгоритмическое обеспечение / В.Б. Пеньков, Л.В. Левина, О.С. Новикова //, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 24:1 (2020). - C. 56-73.

43. Поликарпов, М.В. Математическое моделирование и расчет напряженно-деформированного состояния неоднородных конструкционных элементов / М.В. Поликарпов // Сборник тезисов докладов научной конференции студентов и аспирантов Липецкого государственного технического университета. - 2015. - C. 159-162.

44. Поликарпов, М.В. Упругое состояние неоднородных конструкционных элементов / М.В. Поликарпов, В.Б. Пеньков, Л.В. Левина// Потенциал современной науки. - 2015. - № 3. - С. 7-13.

45. Поликарпов, М.В. Упругое состояние однородных конструкционных элементов / М.В. Поликарпов, Л.В. Левина // Проблемы современной науки, сборник научных трудов конференции Липецкого государственного технического университета. Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2016. -С. 134-137.

46. Поликарпов, М.В. Напряжённо-деформированное состояние неоднородных конструкций при варьировании геометрических параметров / М.В. Поликарпов, Л.В. Левина, О.С. Новикова, Е.А. Новиков // Тенденции развития современной науки: сб. тез. докл. науч. конф. студентов и аспирантов ЛГТУ (24-26 апреля 2017 г.): в 2 ч. Ч. 1. - Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2017. - С. 33-36.

47. Поликарпов, М.В. Оптимизация облегченных элементов крепления при варьировании геометрических параметров / М.В. Поликарпов, В.Б. Пеньков, Л.В. Левина, О.С. Новикова // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2017. - №4 (34). - С. 45-51.

48. Поликарпов, М.В. Применение метода граничных состояний для расчета напряженно-деформированного состояния пространственного тела, подверженного сингулярным воздействиям / М.В. Поликарпов // Материалы областного профильного семинара «Школа молодых ученых» по проблемам технических наук, 15 ноября 2019 г. - Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2019. - С. 138-141.

49. Поликарпов, М.В. Сосредоточенные силовые воздействия в методе граничных состояний / М.В. Поликарпов, В.Б. Пеньков // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2020. № 1 (43). - С. 34-44.

50. Поликарпов, М. В. Механическая сингулярность типа сосредоточенной силы в методе граничных состояний / М. В. Поликарпов, В. Б. Пеньков // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 7-9 декабря 2020 г. — Воронеж, 2021. - С. 1422-1427.

51. Поликарпов, М. В. Сингулярность типа центра расширения в методе граничных состояний / М. В. Поликарпов, В. Б. Пеньков, Л. В. Левина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной научной конференции, Воронеж, 7-9 декабря 2020 г. — Воронеж, 2021. - С. 1428-1434.

52. Поликарпов, М.В. Исследование сингулярных воздействий на упругое тело средствами метода граничных состояний / М.В. Поликарпов, В.Б. Пеньков, Л.В. Левина // Проблемы прочности, пластичности и устойчивости в механике деформируемого твердого тела: материалы IX Международного научного симпозиума, посвященного 90-летию со дня рождения профессора В.Г. Зубчанинова (Тверь, 16-17 декабря 2020 года) / Под ред. В.Г. Зубчанинова, А.А. Алексеева, В.И. Гультяева. - Тверь: Издательство Тверского государственного университета, 2021. - С. 55-57.

53. Попов, Г.Я. Напряженное состояние упругого составного конуса при наличии центра вращения у острия конуса /Г.Я. Попов // М.: ПММ.2006. Т.70. №.4. С.660-672.

54. Пронина, Ю.Г. Сосредоточенные силы и моменты в упругой полуплоскости с отверстием / Ю.Г. Пронина // Вестник санкт-петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2009. № 2. С. 104114.

55. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. -М.: Наука, 1988. - 712 с.

56. Романов, В.Г. Асимптотическое разложение решения системы уравнений упругости с сосредоточенной импульсной силой / В.Г. Романов // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2008. № 3(35). С. 102-118.

57. Рязанцева, Е.А. Использование специального решения для задач, содержащих сингулярности физического и геометрического характера / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». - Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. - С. 451-455.

58. Рязанцева, Е.А. Метод граничных состояний: сосредоточенные силы / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков, Л.В. Саталкина // Современные проблемы механики и ее преподавания в вузах Российской Федерации: доклады Межрегиональной конференции памяти А.Н. Кабелькова, г. Новочеркасск, 20-23 сентября 2011 г./Юж.-Рос. гос. Техн.ун-т.-Новочеркасск: ЮРГТУ (НПИ), 2011 - С. 126-130.

59. Рязанцева, Е.А. О применении метода граничных состояний в задачах теории упругости с геометрическими и физическими особенностями по границе / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Современные проблемы математики, механики, информатики, Материалы международной научной конференции, посвященной 80-летию Тульского государственного университета, 2010 - С.184-186.

60. Рязанцева, Е.А. Специальное решение как инструмент качества сходимости решения задач математической физики / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Вести

высших учебных заведений Черноземья. Научно-технический и производственный журнал - Липецк, ЛГТУ. - №2 (32)- июнь 2013 - С. 47-52.

61. Рязанцева, Е.А. Специальные элементы базиса состояний как надежный фактор сокращения вычислительных ресурсов при анализе упругих полей / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Энерго- и ресурсосбережение XXI век: материалы XI международной научно-практической интернет-конференции, г. Орёл, 2013 - С. 250-253.

62. Рязанцева, Е.А. Теорема Соболева: краевые задачи с сингулярностями физической природы / Е.А. Рязанцева, В.Б. Пеньков // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции, Воронеж, 26-28 ноября 2012 г.: в 2 ч. Ч. 1. -Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012 - С.302-307.

63. Рязанцева, Е.А. Метод граничных состояний в задачах теории упругости с сингулярностями физического и геометрического характера: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.04 / Рязанцева Елена Анатольевна. - Воронеж, 2015. - 102 с. МГС7. Саталкина, Л.В. Метод граничных состояний в задачах теории упругости неоднородных тел и термоупругости: дис. ... канд. физ.- мат. наук: 01.02.04 / Саталкина Любовь Владимировна. - Липецк, 2010. - 108 с.

64. Стренг Г. Теория метода конечных элементов /Г. Стренг, Дж. Фикс // М.: Мир.1977. -349 с.

65. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. И.К. Кикоина. М., Атомиздат. 1976, 1008 с.

66. Ярдухин, А.К. Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил / А.К. Ярдухин // Вестник самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. - 2003. № 19. С. 107-110.

67. Bazant Z.P. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method.// Int. J. Eng. Sci. 1974. No.12. P.221-243.

68. Bazant Z.P., Estenssoro L.F. Surface singularity and crack propagation. // Int. J. Solids Struct. 1979. No.15. P.405-426.

69. Bazant Z.P., Keer. L.M. Singularities of elastic stresses and of harmonic functions at conical notches and inclusions.// Int.J.Solids Struct. 1974. No.10. P.957-964.

70. Boussinesq, M.J. Application des potentiels a l'etude de l'equilibre et du mouvement des solides elastiques / M.J. Boussinesq. - Paris: Gauthier-Villars, 1885. - 726 p.

71. Chen D.H., Nisitani H. Logarithmic singular stress field in bonded wedges.// Transactions of Japan Society of Mechanical Engineers Series A. 1993. No.59. P.2687-2693.

72. Ivanychev, D.A., Levina, E.Yu., Novikov, E.A., Polikarpov, M.V. (2021). Solution of the First Main Problem of the Theory of Elasticity for a Transtropic Body of Revolution. International Transaction Journal of Engineering, Management, & Applied Sciences & Technologies, 12(3), 12A3L, 1-9. http://doi.org/10.14456/ITJEMAST.2021.54

73. Kassir, M.K., Sih, G.C. Three Dimensional Crack Problems. Mechanics of Fracture Noordhoff: Leiden, 1975.

74. Khalil, S.A., Hwang, W.C. Application of a hybrid finite element method to determine stress intencity factors in unidirectoral composites.// Int. J. Fract. 1986. No.31. P.37-51.

75. Koguchi, H., Muramoto, T., Ihara, I. Analysis for stress singularity leld at a vertex in three-dimensional bonded structures.// JSME Int. J. 1999. No.42. P.80-89.

76. Koguchi, H., Muramoto, T., 2000. The order of stress singularity near the vertex in three-dimensional joints.// Int. J. Solids Struct. V.37. P.4737-4762.

77. Kozlov, V.A., Mazya, V.G., Rossmann, J., Spectral properties of operator pencils generated by elliptic boundary value problems for the Lame system.// Rostocker Math. Kollog. 1997. No.51. P.5-24.

78. Kozlov, V.A., Mazya, V.G., Rossmann, J., Spectral problems associated with corner singularities of solutions to elliptic equations, American Mathematical Society.// Providence. RI. 2001.

79. Kozlov, V.A., Mazya, V.G., Schwab, C., On singularities of solutions of the displacement problem of linear elasticity near the vertex of a cone.// Arch. Ration. Mech. Anal. 1992. No.119. P.197-227.

80. Kuz'menko, V.I., Kuz'menko, N.V., Levina, L.V. et al. A Method for Solving Problems of the Isotropic Elasticity Theory with Bulk Forces in Polynomial Representation. Mech. Solids 54, 741-749 (2019). https://doi.org/10.3103/S0025654419050108

81. Leguillon, D, Sanchez-Palencia, E. Computation of Singular Solutions in Elliptic Problems and Elasticity.// Masson. Wiley: Paris. 1987.

82. Nakamura, T., Parks, D.M. Three-dimensional stress field near the crack front of a thin elastic plate.// ASME J. Appl. Mech. 1988. No.55. P.805-813.

83. Nkemzi, B. On solution of Lame equations in axisymmetric domains with conical points.// Math. Methods Appl. Sciences 2005. V28. iss.l. P.29-41.

84. Parihar, K.S., Keer, L.M. Singularity at the vertex of pyramidal notches with three equal angles.// Q.J. Appl. Math. 1977. No.35. P.401-405.

85. Parihar, K.S., Keer, L.M. The singularity at the corner o a wedgeshaped crack or inclusion.// J.Appl.Mech. 1978. N.45. P.791-796

86. Parihar, K.S., Keer, L.M. Elastic stress singularities at conical inclusions.// Int. J. Solids Struct. 1978. V.14. P.261-263.

87. Parihar, K.S., Keer, L.M. The singularity at the apex of a boundary wedge-shaped stamp.// J.Appl.Mech. 1979. No.46.

88. Penkov, V.B., Polikarpov, M.V., Levina, L.V., "Efficient Solutions of Mixed-Type Axial Symmetry Problems for Perfect Fluids," 2020 2nd International Conference on Control Systems, Mathematical Modeling, Automation and Energy Efficiency (SUMMA), Lipetsk, Russia, 2020, pp. 52-55, doi: 10.1109/SUMMA50634.2020.9280583.

89. Point-like mechanical singularity in the method of boundary states / M.V. Polikarpov V.B. Penkov, L.V. Levina // IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series / International Conference «Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics:

Current Problems». - 2021. - Volume 1902, № 012022. - 12 p. - doi: 10.1088/17426596/1902/1/012022.

90. Polikarpov, M.V., Penkov, V.B. (2020) Method of boundary states in problems of interactions of two cavities. International Transaction Journal of Engineering, Management, and Applied Sciences and Technologies. Vol. 11. No 12. pp. 220-229. DOI: 10.14456/ITJEMAST.2020.244.

91. Picu, C.R. Stress singularities at vertices of conical inclusions with freely sliding interfaces.// Int. J. Solids Structures. 1996. V.33 No.17, P.2453-2457.

92. Picu, C.R., Gupta, V. Singularities at grain triple junction in two dimensional polycrystals with cubic and orthotropic grains.// J. Appl. Mech. 1994.

93. Picu, C.R., Gupta, V. Three-dimensional stress singularities at the tip of a grain triple junction line interesting the free surface.// J.Mech. Phys. Solids, 1997. V.45, No.9, P.1495-1520.

94. Somaranta, N., Ting, T. C. T. Three dimensional stress singularities at conical notches and inclusions in transversely isotropic materials.// J. Appl. Mech. 1986. No.53. P.89-96.

95. Sze, K.Y., Wang, H-T. A simple finite element formulation for computing stress singularities at bimaterial interfaces.// Finite Elements in Analysis and Design. 2000. No.35. P.97-118.

96. Timoshenko, S.P., Goodier, J.N. Axisymmetric stress and deformation in a solid of revolution.// Theory of elasticity, 3rd ed. Kogakusha: McGraw-Hill. 1970. P.428-437 Chap. 12.

97. Tranter, C.J. The use of the Mellin transform in finding the stress distribution in ah infinite wedge.// Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1948. No.l. P.125-130.

98. Wang, S.S., Choi, I. The interface crack between dissimilar anisotropic composite material.// J. Appl. Mech. 1982. No.49. P.541-548

99. Williams, M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. // J. Appl.Mech. 1952. V.19. No.4. P.526-528.

100. Yin, W.L. Anisotropic Elasticity and Multi-Material Singularities.// J. Elasicity. 2003. No.71. P.263-292.

101. Yosibash, Z. Computing edge singularities in elastic anisotropic three - dimensional domains// Int. J. Fracture 1997. No.86. P.221-245.

102. Zhang, N., Joseph, P. F. A nonlinear finite element eigenanalysis of singular plane stress fields in bimaterial wedges including complex eigenvalues. // Int. J. Fract. 1998. V.90. No.3. P.175-207.