Анализ отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем от монотонной сходимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Вундер, Нина Александровна

• Вундер, Нина Александровна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Вундер, Нина Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

1. Структура собственных векторов как причинный фактор особенностей 11 траекторий непрерывных систем

1.1 Концепция типовой полиномиальной модели, модальные оценки ее 12 основных показателей в задаче синтеза устройства управления

1.1.1 Модальное управление

1.1.2 Управление с помощью последовательного компенсатора

1.2 Геометрическая интерпретация отклонений траекторий движения 27 апериодических систем от монотонной сходимости

1.3 Алгебраическая интерпретация отклонений траекторий движения 34 апериодических систем от монотонной сходимости

1.4 Формирование матриц с желаемыми некратными собственными 37 числами и собственными векторами методами обобщенного модального управления

1.5 Оценка робастности отклонений траекторий свободного 42 движения апериодической системы методами теории чувствительности

Выводы по главе 1

Структура собственных векторов как причинный фактор особенностей

2. траекторий дискретных систем

2.1 Модель дискретного объекта управления и модальное управление

при отсутствии задержки сигнала управления

2.2 Модель дискретного объекта управления и модальное управление

при наличии задержки сигнала управления Выводы по главе 2

Кратность собственных чисел как причинный фактор особенностей 59 траекторий непрерывных систем

3.1 Двухпараметрическая задача исследования особенностей 59 траекторий непрерывных систем в случае кратных вещественных собственных чисел матрицы состояния

3.2 Трехпараметрическая задача исследования особенностей 66 траекторий непрерывных систем в случае кратных комплексно-сопряженных собственных чисел матрицы состояния

3.3 Процедура модификации кратной структуры собственных чисел в 75 простую, минимизирующая величину отклонения от монотонной сходимости траекторий свободного движения систем до заданного значения

3.

4.

3.4 Трехпараметрическая задача исследования особенностей 82 траекторий непрерывных систем в случае вещественного спектра собственных чисел и матрицы состояния в модифицированной жордановой форме

3.5 Четырехпараметрическая задача исследования особенностей 88 траекторий непрерывных систем в случае комплексно-сопряженного спектра собственных чисел и матрицы состояния в модифицированной жордановой форме

Выводы по главе 3

Кратность собственных чисел как причинный фактор особенностей 97 траекторий для случая дискретных систем

Выводы по главе 4

Анализ причинных техногенных факторов, порождающих системные 109 5 ситуации с ненулевым начальным состоянием в прикладных задачах

5.1 Автоматизированный оптоэлектронный комплекс следящего 110 измерения в задаче предэксплуатационной юстировки главного рефлектора большого полноповоротного радиотелескопа (на примере РТ ТНА-1500)

5.1.1 Составление карты величин изменения положения щитов 111 главного рефлектора при его предэксплуатационной юстировке

5.1.2 Автоматизированный оптоэлектронный комплекс 114 следящего измерения положения щитов главного рефлектора радиотелескопа в контрольных точках

5.1.3 Функциональная схема оптоэлектронной двухканальной 117 системы следящего измерения углового положения контрольной точки на поверхности главного рефлектора радиотелескопа

5.2 Системные ситуации с ненулевыми начальными состояниями, 120 порождаемые переходом фотоэлектрического измерительного комплекса из режима наведения в режим следящего позиционирования и их компьютерное моделирование

Выводы по главе 5

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Литература

Приложение А

Приложение Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем от монотонной сходимости»

Введение

Актуальность темы исследования. Проблема возникновения отклонений траекторий движения линейных систем от монотонной сходимости является неотъемлемой частью базовых задач теории управления, таких как задачи стабилизации и пространственного слежения. Величина этих отклонений косвенно характеризует важнейшие показатели качества систем автоматического управления -перерегулирование и запасы устойчивости, которые должен обеспечить разработчик на этапе проектирования системы управления. Среди основных факторов, порождающих отклонения траекторий, выделяют внешние возмущения и ненулевые начальные условия.

Исследованиям переходного процесса системы при наличии внешних возмущений (в частности, скачкообразного внешнего воздействия) посвящено достаточно много работ [35, 36, 66,105, 107]. Однако, в общем случае, относительно ситуаций «скачкообразное внешнее воздействие на входе» - «ненулевое начальное состояние» системы по своим динамическим свойствам неоднозначны. Так система, имеющая при нулевых начальных условиях монотонно развивающуюся переходную характеристику, может иметь при ненулевых начальных состояниях кривую, характеризующуюся заметными отклонениями траектории от монотонно убывающей кривой. Это отклонение достаточно давно замечено специалистами по теории управления. Исследования переходных режимов в линейных системах при ненулевых начальных условиях были начаты еще в 1948 г. в пионерской работе А. А. Фельдбаума [84]. В работе Р. Н. Измайлова [49] показана неизбежность больших отклонений траектории от нуля, если полюса замкнутой системы сильно сдвинуты в левую полуплоскость комплексной плоскости. Проблема больших отклонений для систем с наблюдателями рассмотрена в работе В.Н. Полоцкого [64]. Данная проблема в коммутационных системах, где траектория всегда находится в ненулевой позиции после переключения, рассмотрена в работе Д. Либерзона (Э. ЫЬегеоп) [115]. Большие отклонения траекторий систем в переходном процессе при проектирование каскадных систем управления рассмотрены в работе Х. Суссмана и П. Кокотовича (Н. Бшвтап, Р. Коко1:оу1с) [127], где результат Р. Н. Измайлова был обобщен, чтобы получить оценки

отклонений для выходов. В работах Б.Т. Поляка, А.А. Тремба, М.В. Хлебникова, П.С. Щербакова, Г.В. Смирнова [65, 120] продолжено изучение этого явления при больших и малых значениях полюсов, верхняя граница для отклонений оценивается с помощью техники линейных матричных неравенств.

Тем не менее, все еще открытыми остаются вопросы, касающиеся построения верхних и нижних оценок отклонений траекторий движения линейных систем от монотонной сходимости для различных системных факторов, порождающих эти отклонения. Таким образом, тема диссертационных исследований «Анализ отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем от монотонной сходимости» является актуальной.

Степень разработанности темы исследования. Отклонения в траекториях свободного движения рассматривались ранее главным образом относительно структуры корней характеристического уравнения непрерывной системы [65, 71, 72, 120]. В этой связи, основные исследования проводились с использованием модельного представления системы в форме дифференциального уравнения «вход-выход», при этом оценка отклонений траекторий свободного движения систем формировалась с помощью методов линейных матричных неравенств. Метод пространства состояний дал возможность по-новому взглянуть на проблему отклонений траекторий линейных систем и позволил более подробно рассмотреть зависимость отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем также и от структуры собственных векторов матрицы состояния системы.

Цели и задачи. Целью диссертационной работы является исследование причинных факторов и формирование оценок отклонений траекторий свободного движения непрерывных и дискретных систем управления от монотонной сходимости.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Проведен анализ факторов, порождающих отклонения траекторий движения линейных динамических систем от монотонной сходимости.

2. Получены экспоненциальные оценки сверху отклонений траекторий движения от монотонной сходимости с использованием числа обусловленности матрицы собственных векторов системы для класса непрерывных систем, а также

для дискретных систем в условиях отсутствия и наличия запаздывания вывода сигнала управления в объект.

3. Разработан алгоритм конструирования матриц состояния с желаемыми спектрами собственных чисел и собственных векторов на основе обобщенного модального управления, который обеспечивает отсутствие отклонений траекторий свободного движения непрерывных систем путем минимизации числа обусловленности матрицы собственных векторов системы.

4. Представлена процедура модификации кратной структуры собственных чисел в простую, минимизирующая величину отклонения в траекториях ее свободного движения, при которой гарантируется требуемое значение указанного выше отклонения.

5. Сконструированы аналитические выражения для оценки робастности отклонений траекторий свободного движения апериодических систем на основе модели чувствительности полученной экспоненциальной оценки сверху этих траекторий.

6. Решена задача предэксплуатационной юстировки главного рефлектора большого полноповоротного радиотелескопа: проведен анализ и компьютерное моделирование системных ситуаций с ненулевым начальным состоянием, порождаемым переходом оптоэлектронного измерительного комплекса из режима наведения в режим следящего позиционирования. Получены оценки скорости поискового движения при переводе лазерного луча между контрольными точками с гарантированным устойчивым захватом.

Научная новизна. Новизна полученных результатов состоит в том, что проблема возникновения отклонений в траекториях свободного движения устойчивых непрерывных и дискретных систем решена с применением метода пространства состояний, что позволило получить аналитические представления для оценок сверху указанных отклонений с помощью числа обусловленности матрицы собственных векторов и нормы матрицы состояния системы. Представлена геометрическая интерпретация появления отклонения траекторий свободного движения систем в пространстве собственных векторов. Получены аналитические оценки отклонений траекторий свободного движения систем, а также процедура минимизации отклонений траекторий свободного движения систем путем модификации кратной структуры собственных чисел в простую с последующей

минимизацией числа обусловленности матрицы собственных векторов с помощью обобщенного модального управления. Для апериодических систем сконструированы аналитические выражения для оценки робастности отклонений траекторий свободного движения на основе оценивания чувствительности полученной экспоненциальной оценки сверху этих траекторий.

Теоретическая и практическая значимость работы заключается в том, что полученные оценки отклонений траекторий свободного движения от монотонной сходимости могут быть использованы как для непрерывных, так и для дискретных систем, в том числе и для класса систем с параметрической неопределенностью. Полученный алгоритм синтеза системы с желаемыми собственными векторами и собственными числами матрицы состояния системы и процедура модификации кратной структуры собственных чисел в простую позволяют минимизировать величину отклонений траекторий.

Полученные аналитические оценки отклонений траекторий свободного движения линейных динамических систем от монотонной сходимости могут быть эффективно использованы при проектировании систем пространственного слежения и стабилизации летательных аппаратов, а также при создании прецизионных систем мониторинга поверхности главного рефлектора большого радиотелескопа, позволяющих уменьшить влияние ветровых и температурных возмущений на качество обрабатываемой информации.

Методы исследования. Для решения поставленных задач были использованы: метод пространства состояний, аппарат передаточных функций, дифференциальных уравнений, рекуррентных (разностных) уравнений, методы линейной алгебры, как для непрерывных, так и для дискретных процессов, пакет прикладных программ МаАаЪ с расширением БтиПпк последних версий.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм конструирования матриц состояния с желаемыми спектрами собственных чисел и собственных векторов на основе обобщенного модального управления, который обеспечивает отсутствие отклонений траекторий свободного движения непрерывных систем путем минимизации числа обусловленности матрицы собственных векторов матрицы состояния системы.

2. Аналитические зависимости отклонений от монотонной сходимости траекторий сводного движения дискретной системы от числа обусловленности

матрицы собственных векторов матрицы состояния системы при условии отсутствия и наличия запаздывания вывода сигнала управления в объект.

3. Процедура модификации кратной структуры собственных чисел в простую, минимизирующая величину отклонения в траекториях свободного движения систем до требуемого значения.

4. Результаты исследования причинных факторов, порождающих системные ситуации с ненулевым начальным состоянием в автоматизированном оптоэлектронном комплексе следящего измерения в задаче предэксплуатационной юстировки главного рефлектора большого полноповоротного радиотелескопа РТ ТНА-1500, а также рекомендации по выбору параметров, обеспечивающих гарантированный переход из режима наведения в режим следящего позиционирования в рамках выделенного интервала времени.

Степень достоверности и апробация результатов. По теме диссертационных исследований соискателем опубликовано 29 печатных работ [4 - 6, 19, 23 - 30, 37, 38, 41, 42, 61-63, 78, 79, 89, 91, 130 - 135], 12 из которых входят в перечень ВАК, 6 из них опубликовано в научных изданиях, входящих в международные реферативные базы данных и системы цитирования (Web of Science Core Collection и Scopus). Результаты исследований частично представлены в двух учебных пособиях, соавтором которых является соискатель, а также в свидетельстве о регистрации программы для ЭВМ.

Основные результаты диссертации докладывались [37, 38, 61 -63, 89, 91, 132 -134] и обсуждались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1. «The 9th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems» - ICUMT 2017 («9-ый Международный конгресс по ультрасовременным коммуникациям и управлению», 6 -8 ноября 2017, Мюнхен, Германия).

2. «12th International Conference «Mechatronics 2017» (12-ая Международная конференция «Мехатроника 2017», 6 - 8 сентября 2017, Брно, Чехия).

3. «9-я Российская мультиконференция по проблемам управления» - РМКПУ 2016, 4 - 6 октября 2016, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.

4. «The 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems» - ICUMT 2016 («8-ой Международный конгресс по ультрасовременным коммуникациям и управлению», 18 -20 октября 2016, Лиссабон, Португалия).

5. «The 13 th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics» - ICINCO 2016 (13-ая Международная конференция по информатике в управлении, автоматизации и робототехнике, 29-31 июля 2016, Лиссабон, Португалия).

6. «VIII Традиционная всероссийская молодежная летняя школа: Управление, информация и оптимизация» - VIII ТМШ, 14-19 июня 2016, Санкт-Петербург, Россия.

7. «The 2015 IEEE Multi-Conference on Systems and Control» - MSC 2015 (Мультиконференция по системам и управлению 2015, 21 - 23 сентября 2015, Сидней, Австралия).

8. «The 7th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems» - ICUMT 2015 («7-ой Международный конгресс по ультрасовременным коммуникациям и управлению», 6 -8 октября 2015, Брно, Чехия).

9. «XII Всероссийское совещание по проблемам управления» - ВСПУ - 2014, 16 - 19 июля 2014, ИПУ РАН, Москва, Россия.

10. «XVI конференция молодых ученых «Навигация и управление движением» -КМУ 2014, 11 - 14 марта 2014, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.

11. «VI Традиционная всероссийская молодежная летняя школа: Управление, информация и оптимизация» - VI ТМШ, 22-29 июня 2014, ИПУ РАН, Москва, Россия.

12. «The 18th WSEAS International Conference on Applied Mathematics» - AMATH '13, 10-12 декабря 2013, Будапешт, Венгрия.

13. «5-я Российская мультиконференция по проблемам управления» - РМКПУ 2012, 9-11 октября 2012, АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», Санкт-Петербург, Россия.

Результаты диссертационных исследований использовались при выполнении следующих НИР:

1. Управление киберфизическими системами (тема №718546).

2. Идентификационные методы синтеза наблюдателей в задачах адаптивного управления нелинейными системами (тема №17808).

3. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными неопределенными динамическими системами в условиях возмущающих воздействий, запаздывания и нестационарной окружающей среды (тема №360990).

4. Робастные и адаптивные системы управления, коммуникации и вычисления (тема №340622).

5. Нелинейное и адаптивное управление сложными системами (тема №713546).

6. Грант правительства Санкт-Петербурга «для студентов вузов, расположенных на территории Санкт-Петербурга, аспирантов вузов, отраслевых и академических институтов, расположенных на территории Санкт-Петербурга» 2017г.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, литературы и приложений. Объем диссертации составляет 159 страниц с 58 рисунками и 21 таблицами. Список литературы содержит 139 наименование.

Диссертационные исследования велись на кафедре Систем управления и информатики Университета ИТМО в составе научной группы д.т.н., профессора Ушакова А.В.

Текст диссертации рубрицирован с помощью таких понятий как алгоритм, доказательство, концепция, определение, пример, примечание, следствие, утверждение.

ГЛАВА 1

СТРУКТУРА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ КАК ПРИЧИННЫЙ ФАКТОР ОСОБЕННОСТЕЙ ТРАЕКТОРИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

В современной теории управления системная парадигма, опирающаяся на концепцию подобия, заняла свою инструментальную и содержательную нишу. Под концепцией подобия при решении задач управления понимается обеспечение подобия векторных процессов проектируемой системы, в основном по состоянию, процессам некоторой модельной системы с желаемыми динамическими свойствами в установившемся и переходном режимах. В настоящее время на основе указанной системной парадигмы решаются задачи слежения за задающим конечномерным воздействием, использующие принцип обобщенного изодрома (внутренней модели задающего конечномерного воздействия), задачи модального управления, а также задачи формирования наблюдателя для асимптотического восстановления вектора состояния объекта управления.

Альтернативной системной парадигмой в современной теории управления является концепция оптимальности [126]. Концепция оптимальности в теории управления имеет большое число постановочных версий. В практике синтеза линейных непрерывных оптимальных систем в основном используется постановочная версия, приводящая к синтезу систем управления, опирающемуся на решение матричного уравнения Риккати.

Напомним, что проектируемая система представляет собой функциональное объединение исходного технического объекта (объекта управления) и устройства управления (устройства формирования сигнала управления, регулятора), поэтому понятие «синтез системы» следует понимать как «синтез устройства управления (УУ)» техническим объектом (ТО). В настоящем разделе рассматривается задача синтеза УУ, реализуемая в двух вариантах:

- в виде комбинации обратных связей по вектору состояния (и выхода) ТО и прямых связей по экзогенному (задающему) воздействию (или ошибке его воспроизведения), алгоритмически поддерживаемая средствами метода модального управления;

- в виде последовательного компенсатора (ПК), алгоритмически поддерживаемая средствами аналитического конструирования ПК. Оба варианта синтеза УУ опирается на концепцию полиномиальной динамической модели (ПДМ), обладающей желаемыми динамическими показателями качества процессов в переходном и установившемся режимах, выполняющей функцию эталонной модели.

К сожалению, все перечисленные системные парадигмы и методы синтеза систем управления игнорируют такой системный фактор как структура собственных векторов матрицы состояния спроектированной системы. К чему это может привести посвящен данный раздел.

1.1 Концепция типовой полиномиальной модели, модальные оценки ее основных показателей в задаче синтеза устройства управления

Аналитические методы, отмеченные в преамбуле раздела, синтеза систем управления основываются на использовании типовых полиномиальных динамических моделей (ТПДМ), подобно частотному подходу, использующем типовые логарифмические амплитудные частотные характеристики (ЛАЧХ) [34, 40, 55, 56]. При этом, размерность ТПДМ проектируемой системы равна размерности объекта управления, а ее аналитическое описание задается в виде передаточной функции «вход-выход» (ВВ), параметризованной [19, 34, 40] характеристической частотой ю0,

/ \ п п

ФМ = Щ =--= , (1.1)

1=1

где у(.), §(.) - соответственно лапласовы образы выхода и входа системы, коэффициенты у - задают тип локализации корней X.(ю0 )= Х.ю0 полинома Б (., ю0) знаменателя (ПЗ) Ф(., ю0), ю0 задает размер области локализации корней, X г - корни полинома ш0 )и-1= О(.). Достоинством задания передаточной функции

проектируемой системы в виде ТПДМ (1.1) является то, что задача синтеза сводится поиску значения лишь одного параметра, характеристической частоты ю0, от которого зависят большинство показателей качества системы такие, как частота

среза, степень устойчивости, полосы пропускания по выходу и ошибке, добротность по скорости, время переходного процесса. При этом, не зависят от параметра ©0

перерегулирование, запас устойчивости и показатель колебательности.

Для целей построения алгоритма синтеза устройства управления в составе систем управления объектом в любом из приведенных вариантов его реализации необходимы аналитические представления показателей качества проектируемых систем, задаваемых ТПДМ с передаточной функцией (1.1). С помощью следующих утверждений [19] сформируем эти представления.

Утверждение 1.1. Тип локализации корней ПЗ передаточной функции (1.1) совпадает с типом локализации корней ПЗ передаточной функции

5й +

п

-г Я(5)

(1.2)

1=1

с точностью до размера ю0 области локализации так, что

(юо) = юй\ (, = 1й), где \ = атв^^ = о).

Доказательство утверждения 1.1 приведено в приложении А. Утверждение 1.2. Оценка юс частоты среза юс системы (1.1) вычисляется как

(1.3)

-ю

о •

(1.4)

Доказательство утверждения 1.2 приведено в приложении А.

Утверждение 1.3. В силу положений утверждения 1.1 и выражения (1.4) запас Дф устойчивости по фазе системы (1.1) не зависит от характеристической частоты ю0 и определяется цепочкой соотношений

Дф = я + ш-в{ Ж(.)|^== ^ + аг8

—1

5=1-

(1.5)

где в силу (1.2) ж (5 ) =

Ф(5) 1 - Ф(5)

5й-1 у,5й-1-'

Доказательство утверждения 1.3 приведено в приложении А.

V

V

п

п

V

п

ю с =

V

п—1

V

п

п—1

5

1=1

У

Утверждение 1.4. Оценка А ую полосы пропускания

АуШ = argI |ф(ш0)|

s=jrn

У

\

<5y << 1

ю>Ау® у

системы с ПФ (1.1) определяется формулой

Дую = (\f ю0/(бy)v". (1.6)

Доказательство утверждения 1.4 приведено в приложении А.

Утверждение 1.5. Оценка Де ю полосы пропускания

Аеш = argI |Фе(^,со0)|| . l] системы с передаточной функцией ВВ (1.1) на

уровне 5а амплитудной частотной характеристики (АЧХ) отношения «вход-ошибка» (относительной частотной ошибки) определяется выражением

4ш = 85 ^. (1.7)

Уп-1

Доказательство утверждения 1.5 приведено в приложении А. Утверждение 1.6. Добротность О по скорости системы (1.1) вычисляется как

О =( у « )/ У-1. (18) Доказательство утверждения 1.6 приведено в приложении А.

Утверждение 1.7. Время переходного процесса гп = гп (ш0) системы (1.1) определяется равенством

'п = 'п (Ю0 ) = 'п (Ю0 = 1)/Ы0 = 4/Ы0 , (1.9) где г* = гп (ш0 = 1) - время переходного процесса системы (1.2).

Доказательство утверждения 1.7 приведено в приложении А.

Полученные аналитические выражения основных показателей ТПДМ приведены в таблицах 1.1 и 1.2.

Таблица 1.1 - Общесистемные показатели качества ТПДМ как функции коэффициентов полинома знаменателя и характеристической частоты

Аналитическое представление полинома знаменателя D (s, <»о) о tn (Ю0 ) Аф < (»0 ) DK) Полоса пропускания Аю

Sy Ю СО Ю

1 2 3 4 5 6 7 8

п sn v,< 0 sn-i i=1 * о с <0 А*ф( V') Vn<0 Vn-1 Vn<0 Vn-1 Г Yn — ю l5» J 0 5e Vn <0 Vn-1

Таблица 1.2 - Аналитические зависимости запасов устойчивости Л*ф( уг) по фазе ТПДМ от коэффициентов полинома знаменателя для порядка п = 1,5

Порядок ТПДМ n Запас устойчивости по фазе Аф = Аф(у = 1, n)

n = 1 Аф = л/ 2 + arctg (0/ V) = я/ 2

n = 2 Аф = я/ 2 - arctg ( v2 / V2)

n = 3 АФ = V2 - arctg (v1 (VV2 )/(V2 - (VV2 )2 ))

n = 4 АФ = V2 - arctg (( V4 /V3 ) ( V2 - (V4 /V3 )2 )/(V3 - V1 (V4 /V3 )2 ))

n = 5 Аф = V2 - arctg ((V5 /V4 ) (V3 - V1 (V^V4 )2 У (V4 - V2 (V5 /V4 )2 + (V5 /V4 )4 ))

Коэффициенты V. при использовании ТПДМ с размещением Ньютона корней полинома D (ю0) определяются по формуле

Ч=Сп (' ), (1.10)

а для размещения Баттерворта корней полинома D (s, ю0) коэффициенты V. задаются соотношениями

1 vcos ((i - 1W(2n)) , -ч

Vi = • ( и, ЛУ Vi= 1 • (■ í( П, (i' = 1 n -1), Vn =1. (1.11)

sin (л:/( 2n)) sin (in/( 2n)) v 7

* *

Время переходного процесса tn и перерегулирование о переходной характеристики ТПДМ в зависимости от порядка п = 1,5 и характера размещения

корней полинома ее знаменателя для случаев размещения корней Ньютона (1.10) и Баттерворта (1.11) приведы в таблице 1.3.

Таблица 1.3 - Показатели качества переходной характеристики ТПДМ в зависимости от порядка и характера размещения корней полинома ее знаменателя для случаев

размещения корней Ньютона и Баттерворта

№ п.п. Порядок ТПДМ Перерегулирование а*,% Длительность переходного * процесса tП

п V вида (1.10) V вида (1.11) V вида (1.10) V вида (1.11)

1 п = 1 0 0 3 3

2 п = 2 0 5 4,75 4,5

3 п = 3 0 9 6,3 6,25

4 п = 4 0 11 7,8 7

5 п = 5 0 13 9,15 8

Расширим задачу построения аналитических описаний показателей качества полиномиальных динамических моделей для случая произвольного размещения корней полинома числителя, представив их как функцию корней X полинома знаменателя ) и характеристической частоты ю0, для чего запишем ПФ (1.1) в форме

Ф(,,Доь44 = п = „ п . (1.12)

г=1 г=1

Очевидно, поставленная задача решается с помощью представлений основных показателей качества системы, приведенных в таблицах 1.1, 1.2, в которых коэффициенты V,. надо представить как функции X, и ю0. В результате получим

аналитические представления основных показателей качества произвольной полиномиальной модели (ППДМ) вида (1.12), приведенные в таблицах 1.4, 1.5.

Таблица 1.4 - Общесистемные модальные показатели качества ППДМ как функции

ее порядка, параметризованные характеристической частоты

Аналитическое представление полинома знаменателя В (ю0) а tn К ) Аф fflc(®0) АЫ Полоса пропускания Лю

ю со ю У)

1 2 3 4 5 6 7 8

п П( 5 + Х •Ю 0 ) 1=1 * а t* ®0 А*ф( V,-) Юо Юо ( n л |П1 XI i=1 S , V 1 n Юо 5еЮо

n 1 I (1XIГ i=1 п 1 I (1XI)" i=1 n 1 II (1XI i=1

Таблица 1.5 - Модальные представления запасов устойчивости Л*ф(Хг) по фазе

ППДМ в зависимости от ее порядка

Порядо к ТПДМ n Запас устойчивости по фазе Аф = Аф(хг= 1, n)

n = 1 Аф= я/2 + arctg (о/|X ) = я/2

n = 2 Аф= V 2 " arctg (| Xj |X 2\/(| Xj + |X21 )2)

n = 3 Аф= тс/2 - arctg ' (1 X,| + |X^ + |Хз |)/(| Xj I-1 + |X21-1 + IX31-1) л

N|X 2\ + |Xj|| X31 + |X 2\ IX31 - (I Xj I-1 + |X 21-1 + IX31-1 )-2 J

n = 4 Аф= тс/2 - arctg .......А ч Ы|X 1 num (X)^ V den (Xi ), 2I+M M4 , где M | X 41 + IX21IX31 + |X 211X 41 +XI - (| Xj I-1 + |X 21-1 + IX31-1 + |X 41-1 )

liU.ll Ly^i J — 1111 |X1 Г + |X2 Г + |X3 Г + |X4 Г den (X, ) = |XJ | X2I ^ + |Xj| X ^ |XJ + |X,| у X + |X 2\|X^| X - -(1 XJ+M+Ы+| X4I )(| X, |-1 +| X2I-1 + IX3I-1 + |X 41-1 )-2'

n = 5 Аф= тс/2 - arctg ' num ( X )Л v den (х, )y , где

Пример 1.1. Рассматривается ППДМ третьего порядка:

1. п = 3; ю0 = 1; ^ = -1; = -3; = -5.

Следуя аналитическим выражениям, приведенным в таблицах 1.4 и 1.5, для показателей качества системы, представленной в форме (1.12), получим для: добротности по скорости

Юп 1 1 =0.653 с1;

А = —

1 п

К1 М )■

1=1

1 к- 1 + к-1 + к- 1 1 +13 +15

частоты среза

юп

= ■

п

ъ (I )

1 к-1 + к-1 + к-1 1 +13 +15

1 = 0.653 с-1;

¡=1

полосы пропускания

Лю=

Г п ^

П 1к

¡=1

V У

юг

V 005 У

|У/3

= 6.7 с

-1

где Ьу - заданное значение Ьу АЧХ отношения вход-выход; запаса устойчивости по фазе

Лф=п/2 - ат^

(I к.1 + +1^3 |)/(| + ^ + )

М2\ + + 2-(|к-1

к:

-1

1)-

= 1.316рад = 75.4°.

2. п = 3 ; ю0 = 10; \ =-1; Л1 = -3 ; \ = -5.

8 у =0.05

Следуя аналитическим выражениям, приведенным в таблицах 1.4 и 1.5, для показателей качества системы, представленной в форме (1.12), получим для: добротности по скорости

а = —^

Шп

10

п

I (I к 1Г

г=1

1 V 1 + к:1 + к- 1 1 +1/3 +15

= 6.53 с

1

частоты среза

шп

Шп

=

10

п

I (IVI )■

г=1

1 Кч + к- 1+к 1 1+1/3+15

= 6.53 с

1

полосы пропускания

Лю=

( п у/

П

г=1

V У

V 005 У

IV/3

10 = 67 с

-1

запаса устойчивости по фазе

Лф= п/2 - аг^

(М+|к2|+р/д^+1^1+

| + 1^1 + |к2к3 | - (|к""11 + 1 + М)

Л

= 1.316рад =75.4°.

Сделаем первые выводы:

1. Добротность по скорости при любом распределении корней ПЗ передаточной функции вход-выход ПДМ удовлетворяет условию а (юо)< юо /М.

2. Частота среза при любом распределении корней ПЗ передаточной функции вход-выход ПДМ удовлетворяет условию юср (ю0 )< ю0/|к|.

Таким образом, создана алгоритмическая основа для синтеза системы управления, как по требуемым коэффициентам, так и требуемым корням полинома знаменателя передаточной функции проектируемой системы.

1.1.1 Модальное управление

п

5 у =0.05

Управление методами модального управления [34, 58, 67, 88] организуется в виде композиции прямой связи по задающему воздействию и обратной связи по

состоянию ТПДМ с передаточной функцией (1.1) и задается с использованием векторно-матричного формализма метода пространства состояний [58, 67] в форме

в которой z, g, s - соответственно вектора состояния, задающего воздействия (ЗВ), выхода и ошибки; Г(ю0 ), E (ю0 ), H - соответственно матрицы состояния, входа и выхода, причем матрицы состояния и входа параметризованы характеристической частотой ю ; перечисленные выше векторные и матричные компоненты являются вещественнозначными и обладают размерностями

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Вундер, Нина Александровна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Исследование чувствительности измерительных схем к ошибкам измерений в задаче оценивания профиля антенн крупных полноповоротных радиотелескопов / П.В. Авелан [и др.] // Антенны: Сб. статей. Вып. 37/ Под ред. А.А. Леманского. - М.:Радио и связь, 1990. - С.43 - 54.

2. Акунова, А. Оценка колебательности управляемых процессов в многомерных системах с помощью числа обусловленности решения матричного уравнения Ляпунова / А. Акунова, Т.А. Акунов, А.В. Ушаков // Автоматика и телемеханика. - 1994. - №4. - С. 3 - 11.

3. Акунов, Т.А. Анализ чувствительности эллипсоидных оценок многомерных процессов управления / Т.А. Акунов, А.В. Ушаков //Изв. вузов СССР. Приборостроение. - 1991. - № 8. С. 21 - 27.

4. Акунов, Т.А. Исследование процессов в непрерывных системах с кратными комплексно-сопряженными собственными числами их матриц состояния / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник ИТМО. - 2013. - №4. - С.25-33.

5. Акунов, Т.А. Степень близости простой и кратной структур собственных чисел: минимизация выброса траекторий свободного движения апериодической системы / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // Научно - технический вестник ИТМО. - 2014. - №2. - С.39-46.

6. Акунов, Т.А. Исследование колебательности процессов в апериодических непрерывных системах, порождаемой фактором кратности собственных чисел / Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // Научно -технический вестник ИТМО. - 2013. - №3. - С.55-61.

7. Акунов, Т.А. Назначение структуры собственных векторов, доставляющих динамической системе модальную робастность с минимальными затратами на управление / Т.А. Акунов, О.В. Слита, А.В. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2008. - № 1. - С. 6 - 10.

8. Алишеров, С. Алгебраическое обоснование выбора газовых лазеров для локационных измерительных систем / С. Алишеров, А.В. Ушаков //Автометрия. - 1990. - № 5. - С. 57 - 63.

9. Андреев, Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. - М.: Наука, 1976. - 424 с.

10. Антенна радиотелескопа: пат. 2421765 Рос. Федерация: МПК G02B 17/06 / Артеменко Ю.Н. [и др.]; патентообладатель Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения. - № 2010104609/28; заявл. 09.02.2010; опубл. 20.06.2011, Бюл. № 17. - 1 с.

11. А. с. 1403746 СССР. Устройство для контроля поверхностей антенн полноповоротных радиотелескопов / П.В. Авелан [и др.], 1988.

12.А. с. 124817 СССР. Устройство для контроля поверхностей крупногабаритных антенн / В.В. Волконский [и др.], 1986.

13.А. с. 713221 СССР. Электрооптический дальномер / Ю.А.Сабинин [и др.], 1979.

14.Атанс, М. Оптимальное управление / М. Атанс, П. Фалб; пер. с англ. Г. Н. Алексакова; под ред. Ю. И. Топчеева. - М.: Машиностроение, 1968. - 765 с.

15.Белов, М.В. Синтез конструкции и закона юстировки управляемой составной поверхностью параболоида главного рефлектора большого радиотелескопа / М.В. Белов // Журнал Радиоэлектроники. - 2011. - № 5. - С. 1 - 28.

16.Белянский, П.В. Управление наземными антеннами и радиотелескопами / П.В. Белянский, Б.Г. Сергеев. - М.: Сов. Радио, 1980. - 280 с.

17.Бочков, А.Л. Синтез многомерных функционально вырожденных динамических систем / А.Л. Бочков, Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков // Изв. вузов. Приборостроение. - 2008. - № 1. - C.25 - 29.

18.Брайсон, А. Прикладная теория оптимального управления: пер. с англ. / А. Брайсон, Хо-Ю-Ши. - М.: Мир, 1972. - 544 с.

19.Быстров, С.В. Аналитическое конструирование последовательного компенсатора для систем управления техническим объектом с модуляцией / С.В. Быстров, А.С. Васильев, Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2017. - № 9. - С. 597 - 604.

20. Бирюков, Д.С. Контроль энергетических затрат на управление при воспроизведении полиномиальных экзогенных воздействий: грамианный подход / Д.С., Бирюков, А.В., Ушаков // Известия ВУЗов. Приборостроение. -2012. - Т.55. - № 9. - С. 5-10.

21.Воеводин, В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. - М.: Наука, 1984. - 320 с.

22.Воронов, А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А.А. Воронов. - М.: Наука, 1985. - 352 с.

23.Вундер, Н.А., Вражевский, С.А., Ушаков, А.В., Бобцов, А.А., Беляков, А.В. Программа для построения мажоранты и миноранты свободного движения динамической системы - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015614026 от 03.04.2015

24.Вундер, Н.А. Особенности траекторий свободного движения непрерывной системы в виде последовательной цепочки однотипных колебательных звеньев / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2017. - № 9. - С. 826 - 833.

25.Вундер, Н.А. Исследование особенностей траекторий свободного движения непрерывной системы в форме последовательной цепочки однотипных апериодических звеньев / Н.А. Вундер, О.С. Нуйя, Р.О. Пещеров, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2016. - № 1. - С. 68 - 75.

26.Вундер, Н.А. Влияние собственных векторов на траектории дискретных систем с задержкой сигнала управления / Н.А. Вундер, А.С. Павлов, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2017. - № 2. - С. 269 - 278.

27.Вундер, Н.А. Алгебраические свойства матричных компонентов моделей процесса управления в алгоритмах размещения мод матрицы состояния проектируемой системы / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2016. - № 2. - С. 371 - 374.

28. Вундер, Н.А. Задача формирования структуры собственных векторов матрицы состояния непрерывной устойчивой системы, гарантирующей отсутствие отклонения ее траекторий от монотонно убывающей кривой свободного движения / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. - 2017. - № 1. - С. 30 - 42.

29.Вундер, Н.А. Исследование колебательности процессов непрерывных систем, порождаемых фактором кратности собственных чисел их матриц состояния /

Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. - 2015. -№ 6. - С. 21 - 36.

30.Вундер, Н.А. Исследование отклонения траекторий линейных устойчивых дискретных систем от монотонно убывающей кривой свободного движения в случае кратных вещественных положительных собственных чисел их матриц / Н.А. Вундер, А.В. Ушаков // Проблемы управления и информатики. - 2016. -№ 5. - С. 1 - 11.

31.Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - 5-е издание. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 560 с.

32.Голуб, Дж. Матричные вычисления: пер. с англ. / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. -М.: Мир, 1999. - 548 с.

33. Городецкий, А.Е. Проблемы создания высокоточных больших радиотелескопов миллиметрового диапазона / А.Е. Городецкий, В.П. Шкодырев, И.Л. Тарасова // Управление в морских и аэрокосмических системах (УМАС-2014): 7-я Российская мультиконференция по проблемам управления: материалы конференции / ГНЦ РФ ОАО "Концерн "ЦНИИ «Электроприбор». - 2014. - С. 467 - 469.

34. Григорьев, В.В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В. Григорьев, В.Н. Дроздов, В.В. Лаврентьев, А.В. Ушаков. - Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1983. - 245 с.

35.Гудвин, Г.К. Проектирование систем управления / Г.К. Гудвин, С.Ф. Гребе, М.Э. Сальгадо. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2014. - 911 с.

36. Дорф, Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп; пер. с англ. Б. И. Копылова. - М.: Лаборатория Базовых Знаний: Юнимедиастайл, 2002. - 831 с.

37.Дударенко, Н.А. Исследование матрицы динамики на наличие выбросов в траекториях свободного движения системы / Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, О.В. Слита // Навигация и управление движением: материалы XVI конференции молодых учёных. - СПб, 2014. С. 107 - 113.

38. Дударенко, Н.А. Кратность собственных значений матрицы состояния системы как вырождающий фактор / Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // 5-я Российская мультиконференция по проблемам управления: материалы

конференции «Информационные технологии в управлении» (ИТУ-2012). -СПб, 2012. - С. 573 - 577.

39.Дударенко, Н.А. Достаточные алгебраические условия обобщенной синхронизируемости многоканальных динамических объектов / Н.А. Дударенко, М.В. Полякова, А.В. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2009. - № 5. - С. 17 - 20.

40.Дударенко, Н.А. Математические основы теории систем: лекционный курс и практикум. Учебное пособие для высших учебных заведений / Н.А. Дударенко [и др.]; под ред. А.В. Ушакова. - 2-е изд., расширенное и дополненное.- СПб.: НИУ ИТМО, 2014. - 292 с.

41. Дударенко, Н.А. Кратные биномиальные структуры в задаче аппроксимации динамических цепей, содержащих звено чистого запаздывания / Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, М.В. Сержантова, А.В. Ушаков // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. - 2014. - № 7. - С. 12 - 17.

42.Дударенко, Н.А. Фундаментальная матрица линейной непрерывной системы в задаче оценки ее транспортного запаздывания / Н.А. Дударенко, Н.А. Полинова, А.В. Ушаков // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2014. - № 5. - С. 32 - 37.

43.Дударенко, Н.А. Технология количественной оценки склонности сложных систем многомерного управления к вырождении / Н.А. Дударенко, А.В. Ушаков // Автометрия. - 2010. - №2. - С.20 - 26.

44.Дэвис, М. Х. А. Линейное оценивание и стохастическое управление / М. Х. А. Дэвис; пер. с англ. М. В. Бурнашева, А. А. Новикова; под ред. А. Н. Ширяева. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. - 205 с.

45. Заде, Л. Теория линейных систем. Метод пространства состояний / Л. Заде, Ч. Дезоер; пер. с англ. В. Н. Варыгина, и др.; под ред. Г. С. Поспелова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 703 с.

46.Зубов, В.И. Лекции по теории управления : учебное пособие / В.И. Зубов. - 2-е изд., испр. - СПб.: Лань, 2009. - 496 с.

47. Зубов, Н.Е. Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением КА / Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко // Изв. РАН. ТиСУ. - 2013. - № 2. - С.148 -162.

48. Измайлов, Р.Н. Эффект «всплеска» в стационарных линейных системах с многомерными входами и выходами / Р.Н. Измайлов // Автомат. и телемех. -1988. - № 1. С. 52-60.

49. Измайлов, Р. Н. Эффект «всплеска» в стационарных линейных системах со скалярными входами и выходами / Р.Н. Измайлов // Автомат. и телемех. -1987. - № 8. - С. 56-62.

50. Икрамов, Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Х.Д. Икрамов; под редакцией Д.К. Фаддеева. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 192 с.

51.Илясов, Ю.П. Многочастотный радиоастрономический аппаратурный комплекс на Калязинском радиотелескопе ТНА-1500 ОКБ МЭИ / Ю.П. Илясов, Б.А. Попереченко, В.В. Орешко // Труды ФИАН «Радиоастрономическая техника и методы». - 2000. - Т. 229. - С.44 - 61.

52. Калмыков, С.А. Методы интервального анализа / С.А. Калмыков, Б.Л. Шокин, З.Х. Юлдашев. - Новосибирск: Наука, 1986. - 224 с.

53. Калужнин, А.А. Введение в общую алгебру / А.А. Калужнин. - М.: Наука, 1973. - 448 с.

54. Квакернаак, Х. Линейные оптимальные системы управления: пер с англ. / Х. Квакернаак, Р. Сиван; пер. с англ. В. А. Васильева, Ю. А. Николаева; Предисл. Б. Н. Петрова. - М: Мир, 1977. - 650 с.

55.Ким, Д.П. Определение желаемой передаточной функции при синтезе систем управления алгебраическим методом / Д.П. Ким // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2011. - № 5. - С. 15 - 21.

56. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.

57. Ланкастер, П. Теория матриц / П. Ланкастер; пер. с англ. С. Демушкина. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 280 с.

58.Мисриханов, М.Ш. Алгебраические и матричные методы в теории линейных М1МО-систем / М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко // Вестник ИГЭУ. - 2005. -№ 5. - С. 196 - 240.

59.Никифоров, В.О. Интеллектуальное управление в условиях неопределенности: учебное пособие / В.О. Никифоров, О.В. Слита, А.В. Ушаков. - СПб.: СПБГУИТМО, 2011. - 231с.

60.Покрас, А.М. Антенны земных станций спутниковой связи / А.М. Покрас, А.М. Сомов, Г.Г. Цуриков. - М.: Радио и связь, 1985. - 228 с.

61. Полинова, Н.А. Кратность собственных чисел матрицы состояния апериодической системы как причинный фактор появление выбросов в траекториях по норме вектора состояния свободного движения и системного вырождения / Н.А. Полинова, Т.А. Акунов, Н.А. Дударенко // XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014). - 2014. - С. 173 - 182.

62.Вундер, Н.А. Оценка робастности отклонений траекторий свободного движения апериодических систем методами теории чувствительности / Н.А. Вундер, Н.А. Дударенко // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2018. - Т. 18. - № 4(116). - С. 704-707.

63.Вундер, Н.А. Анализ системных ситуаций с ненулевым начальным состоянием в задаче предэксплуатационной юстировки главного рефлектора большого полноповоротного радиотелескопа / Н.А. Вундер, Н.А. Дударенко // Оптический журнал. - 2018. - Т. 85. - № 10. - С. 33-42.

64.Полоцкий, В.Н. Оценка состояния линейных систем с одним выходом при помощи наблюдающих устройств / В.Н. Полоцкий // Автомат. и телемех. -1980. - № 12. - С. 18 - 28.

65.Поляк, Б.Т. Большие отклонения в линейных системах при ненулевых начальных условиях / Б.Т. Поляк [и др.] // Автомат. и телемех. - 2015. - № 6. -С. 18 - 41.

66. Поляк, Б.Т. Управление линейными системам при внешних возмущениях: Техника линейных матричных неравенств / Б.Т. Поляк, М.В. Хлебников, П.С. Щербаков. - М.: УРСС, 2014. - 560 с.

67. Портер, У. Современные основания общей теории систем / У. Портер; пер. с англ. Э. Л. Наппельбаума; под ред. С. В. Емельянова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971. - 555 с.

68.Разработка и исследование системы развертывания, наведения и оценки светодальномерного профилометра: научный отчет по НИР №80193/У74540 / Ю.А. Сабинин. - Л.:ЛИТМО,1980.

69.Слита, О.В. Обеспечение инвариантности выхода непрерывной системы относительно экзогенных сигнальных и эндогенных параметрических

возмущений: алгебраический подход / О.В. Слита, А.В. Ушаков // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 4. - С.24 - 32.

70. Слита, О.В. Обобщенное изодромное управление объектом с параметрическими неопределенностями / О.В. Слита, А.В. Ушаков // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2006. - № 4. - С. 7 - 12.

71. Смирнов, Г.В. Слабая асимптотическая устойчивость дифференциальных включений. I / Г.В. Смирнов // Автомат. и телемех. - 1990. - № 7. - С. 57-64.

72. Смирнов, Г.В. Слабая асимптотическая устойчивость дифференциальных включений. II / Г.В. Смирнов // Автомат. и телемех. - 1990. - № 8. - С. 56-63.

73. Стренг, Г. Линейная алгебра и ее применение / Г. Стренг; пер. с англ. Ю. А. Кузнецова; под ред. Г. И. Марчука. - М.: Мир, 1980. - 453 с.

74. Сударчиков, С.А. Формирование алгоритма динамической юстировки радиооптической системы большого наземного полноповоротного радиотелескопа / С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков // Оптический журнал. - 2015. - № 6. - С. 52 - 57.

75. Уилкинсон, Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Д. Х. Уилкинсон; пер. с англ. В. В. Воеводина, В. Н. Фаддеевой. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 564 с.

76. Уонэм, У. М. Линейные многомерные системы управления: геометрический подход / У. М. Уонэм; пер. с англ. Э. Л. Наппельбаума; под ред. С. В. Емельянова. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 375 с.

77. Исследование и разработка автоматизированной системы угломерного контроля конструкций больших полноповоротных радиотелескопов (комплекса"ГЛАЗ"): пояснительная записка к эскизному проекту НИР №82285/У00375 / А.В. Ушаков. - Л.: ЛИТМО,1984.

78.Ушаков, А.В. Современная теория управления. Дополнительные главы: учебное пособие для университетов / А.В. Ушаков, Н.А. Вундер; под ред. А. В. Ушакова. - СПб.: Университет ИТМО, 2015. - 182 с.

79.Ушаков, А.В. Стохастическая динамика непрерывных и дискретных систем в условиях неопределенности: учебное пособие для университетов / А.В. Ушаков, Н.А. Вундер, М.В. Сержантова, О.В. Слита; под ред. А.В. Ушакова. -СПб: Университет ИТМО, 2016. - 297 с.

80. Ушаков, А.В. Модальное управление в линейной задаче функционального регулирования многомерного объекта / А. В Ушаков //Автоматика. - 1990. -№1. - С. 69 - 75.

81.Ушаков, А.В. Модальные оценки качества процессов в линейных многомерных системах при внешних конечномерных воздействиях / А.В. Ушаков //Автоматика и телемеханика. - 1992. - №10. - C. 72 - 82.

82. Ушаков, А.В. Обобщенное модальное управление / А.В. Ушаков // Изв. вузов. Приборостроение. - 2000. - №3. - C. 8 - 16.

83. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. - М.: Физматгиз, 1963. - 656 с.

84. Фельдбаум, А.А. О распределении корней характеристического уравнения системы регулирования / А.А. Фельдбаум // АиТ. - 1948. - № 4. - С. 253 - 279.

85. Харитонов, В.Л. Об асимптотической устойчивости семейства систем линейных дифференциальных уравнений / В.Л. Харитонов // Диф. уравн. -1978. - №11. - C. 2086 - 2088.

86. Харитонов, В.Л. Устойчивость вложенных семейств полиномов / В.Л. Харитонов // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 5. - С. 170 - 178.

87. Хог, Э. Анализ чувствительности при проектировании конструкций / Э. Хог, К. Чой, В. Комков; пер. с англ. С. Ю. Ивановой, А. Д. Ларичева; под ред. Н. В. Баничука. - М.: Мир, 1988. - 428 с.

88.Robust Control: The Parameter Space Approach / Ed. by J. Ackermann. - London: Springer-Verlag, 2002. - 483 p.

89.Akunov, T.A. Factor Multiplicity of the Eigenvalues of the State Matrix in the System Dynamics / T.A. Akunov, N.A. Polinova, N.A. Dudarenko, A.V. Ushakov // Recent Advances in Applied and Theoretical Mathematics: Proceedings of the 18th WSEAS International Conference on Applied Mathematics (AMATH '13). Proceedings of the 1st WSEAS International Conference on Discrete Mathematics, Combinatorics and Graph Theory (DIMACOG '13), IET. - 2013. - P. 58 - 63.

90.Akunov, T.A. Syntesis of Systems of Guaranteed Stability / T.A. Akunov, A.V. Ushakov // Journal of Computer and Sciences International. - 2003. - No. 4. - P. 503 - 511.

91.Akunov, T.A. Research of Processes in Continuous Systems with Multiple Eigenvalues of State Matrix / T.A. Akunov, N.A. Dudarenko, N.A. Polinova, A.

A.V. Ushakov // International Journal of Systems Applications, Engineering & Development. - 2014. - Vol. 8. P. 230 - 237.

92. Alexandridis, A.T. Optimal pole placement for linear multi input controllable system / A.T. Alexandridis, G.D. Galanos // IEEE transactions on Circuit and System. - 1987. - No. 12. P. 1602 - 1604.

93. Anderson, B.D.O. Linear Optimal Control / B.D.O. Anderson, J.B. Moore. - N.J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1971. - 413 p.

94. Anderson, B.D.O. Solution of quadratic matrix equations / B.D.O. Anderson // Electronics Letters. - 1966 - No. 2. - P. 371 - 372.

95. Bartels, R.H. Algorithm 432: The solution of the matrix equation AX + XB = C / R.H. Bartels, G.W. Stewart // Communications of the ACM. - 1972. - No. 8. - P. 820 - 826.

96. Bauer, L. Multiple eigenvalues lead to secondary bifurcation / L. Bauer, H.B. Keller, E.L. Reiss // SIAM Review. - 1975. - No. 1. -P. 101 - 122.

97.Bewley, T. Optimal and robust control and estimation of linear paths to transition / T. Bewley, S. Liu // Journal of Fluid Mechanics. - 1998. - Vol. 365. - P. 305 - 349.

98.Bhattacharyya, S.P. Pole Assignment via Sylvester's Equation / S.P. Bhattacharyya, E. de Souza // System & Control Letters. - 1982. - No. 4. - P. 261 - 263.

99.Burke, J.V. Optimal Stability and Eigenvalue Multiplicity / J.V. Burke, A.S. Lewis, M.L. Overton //Foundations of Computational Mathematics. - 2001. - No. 1. - P. 205 - 225.

100. Cacuci, D.G. Sensitivity and uncertainty analysis of counter-flow mechanical draft cooling towers - I: Adjoint sensitivity analysis / D.G. Cacuci, R. Fang // Nuclear Technology. - 2017. - No. 2. - P. 85 - 131.

101. Chu, E.K. Pole assignment for second-order systems / E.K. Chu // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2002. - Iss. 1. - P. 39 - 59.

102. Crossley, T.R. Eigenvalue and eigenvector sensitivity in linear systems theory / T.R. Crossley, B. Porter // Int. I. Control. - 1969. - No. 2. P. 163 - 170.

103. Demmel, J.W. Applied Numerical Linear Algebra / J.W. Demmel. -Philadelphia: SIAM, 1997. - 419 p.

104. Dudarenko, N.A. Algebric Conditions of Generalized Modal Control / N.A. Dudarenko, O.V. Slita, A.V. Ushakov // Transactions of 7th IFAC Symposium on Robust Control Design (ROCOND'12). -Denmark, 2012. P. 150 - 155.

105. Francis, B. Bounded peaking in the optimal linear regulator with cheap control / B. Francis, K. Glover // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1978. No. 4. P. 608 - 617.

106. Golub, G.H. ILL-conditioned eigensystems and the computation of the Jordan canonical form / G.H. Golub, J.H. Wilkinson // SIAM Rev. - 1976. - Vol. 18. - P. 578 - 619.

107. Halikias, G. Non-overshooting stabilisation via state and output feedback / G. Halikias, A. Papageorgiou, N. Karcanias // International Journal of Control. - 2010.

- No. 6. - P. 1232 - 1247.

108. Hasan, N. Design and Analysis of Pole-Placement Controller for Interconnected Power Systems / N. Hasan // International Journal of Emerging Technology and Advanced Engineering. - 2012. - Iss. 8. - P. 213-217.

109. Herman, I. Nonzero Bound on Fiedler Eigenvalue Causes Exponential Growth of H-Infinity Norm of Vehicular Platoon / I. Herman, D. Martinec, Z. Hurak, M. Sebek // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2015. No. 8. - P. 2248 - 2253.

110. Higham, N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms / N.J. Higham.

- second ed. - Philadelphia: SIAM, 2002. - 663 p.

111. Ivanov, T. New relations between norms of system transfer functions / T. Ivanov, B.D.O. Anderson, P.A. Absil, M. Gevers // Systems and Control Letters. -2011. - Vol. 60. - P. 151 - 155.

112. Kagstrom, B. An algorithm for numerical computation of the Jordan normal form of a complex matrix / B. Kagstrom, A. Ruhe // ACM Transactions on Mathematical Software. - 1980. - No. 3. -P. 398 - 419.

113. Kautsky, J. Robust pole assignment in singular control systems / J. Kautsky, N.K. Nichols, P. Van Dooren // Lin. Alg.&Appl. - 1985. - Vol. 121. - P. 9 - 37.

114. Kerner, W. Large-scale complex eigenvalue problems / W. Kerner // J. Comput. Phys. - 1989. - Vol. 53. - P. 1 - 85.

115. Liberzon, D. Switching in systems and control / D. Liberzon. - Boston: Birkhäuser, 2003. - 233 p.

116. Mailybaev, A.A. Computation of multiple eigenvalues and generalized eigenvectors for matrices dependent on parameters / A.A. Mailybaev // Numerical Linear Algebra with Applications. - 2006. - Vol. 13. - P. 419 - 436.

117. Moler, C.B. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later / C.B. Moler, C.F. Van Loan // SIAM Review. - 2003. -No. 1. - P. 3 - 49.

118. Patel, R.V. Numerical Linear Algebra Techniques for Systems and Control / R.V. Patel, A.J. Laub, P.M. Van Dooren. - New York: IEEE Press, 1994. - 764 p.

119. Perkins, W.R. Design of minimum sensitivity systems / W.R. Perkins, J.B. Cruz, R.L. Gonzales // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1968. - No. 2. -P. 159 - 167.

120. Polyak, B.T. Large deviations for non-zero initial conditions in linear systems / B.T. Polyak, G. Smirnov // Automatica. - 2016. - Vol. 74. - P. 297 - 307.

121. Reddy, S. Energy growth in viscous channel flows / S. Reddy, D. Henningson // Journal of Fluid Mechanics. - 1993. - Vol. 252. - P. 209 - 238.

122. Seyranian, A.P. Sensitivity analysis of multiple eigenvalues / A.P. Seyranian // Mechanics of Structures and Machines. - 2007. - No. 2. - P. 261 - 284.

123. Seyranian, A.P. Interaction of eigenvalues in multi-parameter problems / A.P. Seyranian, A.A. Mailybaev // J. Sound Vibration. - 2003. -Vol. 267. P. 1047 -1064.

124. Slita, O.V. Sufficient Algebraic Conditions of Parametric Invarience of the Output of Linear Stationary Systems in the First Approximation / O.V. Slita, A.V. Ushakov // Journal of Computer and Systems Sciences International. - 2010. - Vol. 40. - No. 6. P. 847 - 853.

125. Smirnov, G. Advances on the transient growth quantification in linear control systems / G. Smirnov, V. Bushenkov, F. Miranda // International Journal of Applied Mathematics & Statistics. - 2009. - Vol. 14. P. 82 - 92.

126. Stewart, G.W. Matrix Algorithms I: Basic Decompositions / G. W. Stewart. -Philadelphia: SIAM, 1998. - 458 p.

127. Sussman, H.J. The peaking phenomenon and the global stabilization of nonlinear systems / H.J. Sussman, P.V. Kokotovic // IEEE Trans. Automat. Control. - 1991. - Vol. 36. - P. 461 - 476.

128. Valasek, M. Efficient pole placement technique for linear time-variant SISO systems / M. Valasek, N. Olgac // IEEE Proceedings: Control Theory and Applications. - 1995. - Vol. 142. - No. 5. - P. 451 - 458.

129. Van Loan, C.F. Introduction to Scientific Computing, A Matrix-Vector Approach Using MATLAB / C.F. Van Loan. - New Jersey: Prentice Hall, 2000. -367 p.

130. Vunder, N.A. Investigation of Continuous Systems Oscillatory Processes Created with the Multiplicity Factor of the Eigenvalues of the State Matrices / N.A. Vunder, A.V. Ushakov // Journal of Automation and Information Sciences. - 2015. -Vol. 47. - No. 11. - P. 18 - 35.

131. Vunder, N.A. Investigation of deviation of trajectories of linear stable discrete systems from monotonously decreasing curve on free motion in the case of multiple real positive eigenvalues of their matrices / N.A. Vunder, A.V. Ushakov // Journal of Automation and Information Sciences. - 2016. - Vol. 48. - No. 10. - P. 13 - 24.

132. Vunder, N.A. Free motion of sequence of similar aperiodic blocks / N.A. Vunder, A.V. Ushakov, O.S. Nuyya, R.O. Peshcherov // 8th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). - 2016. - P. 382-386.

133. Vunder, N.A. On the features of the trajectories of autonomous discrete systems generated by a multiplicity factor of eigenvalues of state matrices / N.A. Vunder, A.V. Ushakov // IEEE International Symposium on Intelligent Control -Proceedings. - 2015. - P. 695 - 700.

134. Vunder, N.A. Peaks Emergence Conditions in Free Movement Trajectories of Linear Stable Systems / N.A. Vunder, A.V. Ushakov // ICINCO 2016 - 13th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, Doctoral Consortium. - 2016. - Vol. 1. - P. 535 - 538.

135. Vunder, N.A.The problem of forming the structure of eigenvectors of state matrix of continuous stable system which guarantees the absence of deviation of its trajectories from monotonically decreasing curve of free motion / N.A. Vunder, A.V. Ushakov //Journal of Automation and Information Sciences, IET - 2017. - Vol. 49. - No. 1. - P. 27 - 40.

136. Whidborne, J. Computing the maximum transient energy growth / J. Whidborne, N. Amar // BIT Numerical Mathematics. - 2011. - Vol. 51. - P. 447 -557.

137. Whidborne, J. On minimizing maximum transient energy growth / J. Whidborne, J. McKernan // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2007. -Vol. 52. - Iss. 9. - P. 1762 - 1767.

138. Wilkinson, J.H. Sensitivity of eigenvalues I / J.H. Wilkinson // Utilitas Mathematica. - 1984. - V. 25. - P. 5 - 76.

139. Zhang, L. Partial eigenvalue assignment for high order system by multi-input control / L. Zhang, X.T. Wang // Mechanical Systems and Signal Processing. -2014. - Vol. 42. - Iss.1-2. - P. 129 - 136.