Анализ нелинейных явлений, индуцированных нелокальными бифуркациями, в теплотехнических системах с импульсным управлением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Гольцов Юрий Александрович

• Гольцов Юрий Александрович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Гольцов Юрий Александрович

Введение

1. Анализ управления температурным полем нагревательных установок

1.1. Управление температурным полем промышленных теплотехнических систем

1.2. Разработка и создание экспериментальной установки с широтно-импульсным управлением

1.3. Основные результаты и выводы

2. Построение математической модели теплотехнической системы с широтно-импульсным управлением и идентификация ее параметров

2.1. Решение краевой задачи теплопроводности для получения математической модели экспериментальной теплотехнической установки

2.2. Параметрическая идентификация теплового объекта и получение его математической модели

2.3. Формирование математической модели широтно-импульсной системы управления температурным полем

2.4. Основные результаты и выводы

3. Разработка численных методов и алгоритмов математического моделирования и бифуркационного анализа мультистабильной динамики

3.1. Преобразование базовой математической модели к безразмерному виду

3.2. Формирование дискретной модели в форме кусочно-гладкого отображения

3.3. Разработка алгоритмов анализа нелокальных бифуркаций

3.3.1. Алгоритм поиска периодических движений и анализа их устойчивости

3.3.2. Алгоритм численного расчета инвариантных многообразий седловых периодических орбит

3.4. Основные результаты и выводы

4. Моделирование и анализ нелинейных явлений, вызванных глобальными бифуркациями

4.1. Анализ динамических режимов в пространстве параметров

4.2. Исследование бифуркаций на замкнутой инвариантной кривой, приводящих к переходу колебаний с двумя несоизмеримыми частотами в периодическое движение

4.3. Анализ мультистабильной динамики, индуцированной нелокальными бифуркациями

4.5. Основные результаты и выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Программа расчета температурного поля в многослойном объекте с линейными и нелинейными граничными условиями

Приложение Б. Программа расчета инвариантных многообразий седловых циклов двумерных обратимых кусочно-гладких отображений

Приложение В. Программа расчёта границы области устойчивости периодических режимов систем управления с широтно-импульсной модуляцией

Приложение Г. Объекты интеллектуальной собственности

Приложение Д. Акты внедрения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ нелинейных явлений, индуцированных нелокальными бифуркациями, в теплотехнических системах с импульсным управлением»

Введение

Актуальность работы. Управление температурным полем нагревательных установок является одной из важных задач во многих технологических процессах, таких как производство строительных материалов, цветного стекла, выращивание кристаллов и других, поскольку даже незначительное отклонение от заданной температуры приводит к нарушению необходимых параметров технологического процесса и ухудшению качества получаемой продукции.

В современных промышленных установках преимущественно используются регуляторы температуры с тиристорными преобразователями электрической энергии с фазовым управлением. Как известно, ухудшение коэффициента мощности из-за искажения формы кривой потребляемого тока при больших мощностях нагрузки, является крупным недостатком таких систем.

Для устранения указанных недостатков в нагревательных установках большой мощности в диссертационной работе предлагается использовать систему, построенную на основе высокочастотного преобразователя с широтно-импульсной модуляцией.

В то же время обеспечение устойчивости рабочих режимов и требуемого качества управления в импульсных системах является сложной задачей, связанной с проблемой прогнозирования и подавления нерегулярных колебаний.

Поэтому системный анализ управляемых теплотехнических систем методами современной нелинейной динамики, позволяющий находить условия их безопасной и устойчивой работы с учетом изменения параметров технологической среды и внешних возмущений, является актуальной задачей.

Изучение нелинейных явлений в импульсных системах управления приводит к исследованию дифференциальных уравнений с разрывной правой частью [63, 69 - 71] (кусочно-гладких динамических систем). Фазовое пространство кусочно-гладких систем разделено некоторыми поверхностями с заданными условиями сшивания траекторий на отдельные области, в каждой из которых движения описываются разными гладкими векторными полями [65, 67].

При изменении параметров возможны специфические нарушения топологической структуры фазового пространства, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания. Это вызывает нарушение условий существования этого решения [67]. Такие топологические перестройки фазового пространства и получили название С - бифуркаций («С» от слова «сшивать») [65 - 68, 80]. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью обычно сводятся к кусочно-гладким отображениям, сшитым из отдельных гладких функций, области определения которых разделены многообразиями переключения («switching manifolds»). С - бифуркациям в таких отображениях отвечают так называемые «bordercollision» (ВС) бифуркации [108 - 110], когда при изменении параметров инвариантное множество, например, периодическая орбита дискретной системы сталкивается с одним из многообразий переключения. Термин «border-collision» не имеет официального перевода в русскоязычной литературе, поэтому используем его в оригинале («border-collision» или ВС).

Как известно, локальные бифуркации определяются их локальными свойствами, такими, например, как матрица Якоби и ее собственные числа, вычисленные в неподвижной точке или на траектории периодического режима. В результате таких бифуркаций неподвижная точка или цикл могут возникнуть/исчезнуть или потерять локальную устойчивость. Если же динамическая система кусочно-гладкая, то локальные бифуркации, наряду с классическими, включают и «border collision» бифуркации.

Нелокальные бифуркации относятся к глобальным характеристикам динамической системы. Они могут быть связаны, например, с касаниями или «контактами» в точках гомо-, гетероклинической траекторий, а затем и трансверсальными пересечениями устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит.

Степень разработанности темы. Для изучения бифуркационных явлений в импульсных системах управления температурным полем теплотехнических установок эффективным представляется использование системного анализа с

привлечением методов теории негладких динамических систем [53, 62, 97, 129].

Исследования нелинейных явлений в кусочно-гладких динамических системах представляют одну из актуальных задач современной нелинейной динамики и стимулируются прикладными задачами механики, теории автоматического управления и современной силовой электроники, а также биологии, экономики и социальных наук. Термин «border collision» был введен Nusse Н., Yorke J., [108 - 110] для кусочно-гладких отображений. Однако, следует заметить, что такие бифуркации впервые были исследованы Фейгиным М.И. еще в семидесятых годах задолго до появления работ Nusse Н.Е. и Yorke J. A. и названы им «С - бифуркациями» [65 - 68, 80]. К числу первых работ, в которой был выполнен детальный бифуркационный анализ кусочно-гладкой системы с мультистабильной динамикой, следует отнести работу Баушева B.C. и др. [8].

Значительный вклад в современную теорию кусочно-гладких динамических систем внесли Nordmark А. В. (Швеция) [102]; Banerjee S. (Индия) [119]; научная группа Бристольского университета Di Bernardo М., Hogan J. и др. (Англия) [78, 81, 98]; Zhusubaliyev Zh. Т. (Жусубалиев Ж.Т., Россия) и Mosekilde Е. (Дания) [133-139]; Tse С. К. (Гонконг) [128]; Gardini L. (Италия), Avrutin V. (Германия) [75]; El Aroudi А. (Испания) [82]; Olivar G. (Колумбия) [111].

Основы математической теории нелокальных бифуркаций многомерных гладких динамических систем заложены и развиты в работах Newhouse S. E., Palis J., Takens F. [105, 112 - 114], Шильникова Л. П., Гаврилова И. К., Гонченко С. В., Ильяшенко Ю. С., Тураева Д. В. и др. [14, 15, 92, 121, 122]. Теория бифуркаций необратимых двумерных гладких отображений развита Mira Ch., Gumowski I., Gardini L. и др. [95, 104].

Теория локальных (классических и ВС бифуркаций) и нелокальных бифуркаций в одномерных кусочно-гладких непрерывных отображениях, можно сказать, носит почти законченный характер [75-77]. В отношении многомерных кусочно-гладких и одномерных разрывных отображений этого сказать нельзя. Нелокальные бифуркации двумерных, трехмерных кусочно-гладких отображений в настоящее время являются предметом активных исследований. К числу важных

результатов, полученных за последние 10-15 лет, можно отнести ВС и нелокальные бифуркации замкнутой инвариантной кривой и связанные с ними разные формы мультистабильного поведения [87, 133, 135, 138, 139], «dangerous bifurcations» [140], «center bifurcation» [76, 127], бифуркации скользящих режимов («sliding bifurcations») [78, 81, 98].

Одна из актуальных прикладных задач нелинейной динамики - это исследование мультистабильности [84, 85, 96, 102, 116, 118, 127]. Как известно, глобальная устойчивость является редким свойством нелинейных систем, поскольку из этого свойства вытекает, что существует единственный аттрактор, который притягивает все траектории фазового пространства. Часто в реальных системах при одних и тех же параметрах могут сосуществовать несколько аттракторов. Особенность мультистабильных систем состоит в высокой чувствительности к внешним помехам. Даже сколь угодно малые случайные помехи или вариации параметров могут приводить к непрогнозируемым изменениям динамики, например, к взрывной хаотизации колебаний.

При вариации параметров наблюдаются глобальные перестройки фазового пространства, обусловленные образованием гомо- или гетероклинических структур, качественными изменениями границ бассейнов притяжения сосуществующих аттракторов, приводящими к кризисам. В кусочно-гладких отображениях такие бифуркации могут быть связаны как с касанием, так и с «контактами» инвариантных многообразий седловой периодической орбиты в точках негрубой гомоклинической траектории.

В настоящее время для кусочно-гладких систем не существует математической теории нелокальных бифуркаций, пригодной для прикладных задач, аналогичной той, что создана сейчас для гладких обратимых отображений [14, 15, 92, 113] и необратимых отображений [95, 104, 122].

Основная проблемная ситуация состоит в том, что для изучения мультистабильности требуется найти специальные инвариантные множества, такие как репеллеры, седловые периодические орбиты вместе с их устойчивыми и неустойчивыми инвариантными многообразиями, играющие ключевую роль в

глобальной динамике.

Устойчивые и неустойчивые инвариантные многообразия нельзя найти ни аналитически, ни с помощью техники линеаризации. К настоящему времени разработано несколько численных методов расчета одно-, двумерных инвариантных множеств [88, 94, 99, 101, 103, 115]. В то же время для кусочно-гладких отображений размерности два и выше задача эта остается мало изученной и чрезвычайно сложной.

С другой стороны, использование методов нелинейной динамики в прикладных задачах связано и с обоснованием возможности сведения моделей высокой и даже бесконечномерной размерности, каковыми являются теплотехнические системы, к маломерным базовым (эталонным) моделям, описывающим общие свойства рассматриваемого класса систем и допускающим детальный бифуркационный анализ. Следовательно, создание таких математических моделей является ключевым элементом прикладного системного анализа.

Поэтому разработка базовых математических моделей теплотехнических систем с импульсным управлением, численных методов анализа нелинейных явлений, индуцированных нелокальными бифуркациями, ответственными за мультистабильность и нерегулярную динамику, в целях определения областей пространства параметров, обеспечивающих устойчивые управляемые технологические режимы с заданными динамическими характеристиками, является актуальной задачей.

Диссертационная работа выполнена при реализации: НИР «Разработка микропроцессорной системы управления выращиванием и прецизионной обработкой монокристаллов сапфира», договор № А-4/15 от 14.04.2015 г.; НИР «Разработка и исследование САУ теплотехнологическими объектами высокой мощности в классе дискретных систем», договор № А-62/17 от 27.04.2017 г. в рамках программы стратегического развития БГТУ им. В.Г. Шухова на 2012-2016 и 2017-2021 годы, соответственно, а также договором 03/19 от 03.03.2019 г. в рамках соглашения № 075-11-2019-070 от 29.11.2019 (уникальный номер

075^Ш000000). Исследования поддержаны РФФИ, проект № 14-41-08009, р_офи_м «Синтез адаптивных и нечетких позиционных энергосберегающих систем автоматизации тепло-технологических объектов, машин и механизмов», 2014-2017 гг.

Цель и задачи исследования. Совершенствование анализа теплотехнических объектов с импульсным управлением на основе создания численных методов и алгоритмов моделирования нелинейных явлений, индуцированных нелокальными бифуркациями, обеспечивающих управляемые технологические режимы с заданными динамическими характеристиками, прогнозирование мультистабильности и подавление нерегулярных колебаний.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Анализ состояния вопроса управления мощными теплоэнергетическими системами.

2. Разработка экспериментальной установки теплотехнической системы с широтно-импульсным автоматическим управлением.

3. Разработка математической модели теплотехнической системы с широтно-импульсным управлением, численных методов и алгоритмов бифуркационного анализа глобальной динамики

4. Бифуркационный анализ глобальной динамики и разработка рекомендаций к обеспечению управляемых технологических режимов с заданными динамическими характеристиками.

Объект исследований. Теплотехнические системы большой мощности с широтно-импульсным управлением.

Предмет исследований. Глобальные бифуркации в кусочно-гладких динамических системах.

Научная новизна результатов, выносимых на защиту.

1. Предложена методика построения математических моделей теплотехнических систем с широтно-импульсным управлением, основу которой составляют:

• получение математической модели теплового объекта в форме трансцендентной передаточной функции на основе аналитического решения краевой задачи теплопроводности;

• преобразование трансцендентной передаточной функции к дробно-рациональной высокого порядка в целях проверки адекватности модели, полученной по экспериментальной переходной характеристике объекта;

• параметрическая идентификация теплового объекта на основе экспериментальных данных с целью его описания дробно-рациональной передаточной функцией;

• получение базовой модели широтно-импульсной системы управления в форме дифференциального уравнения с разрывной правой частью и кусочно-гладкого непрерывного отображения, допускающих детальный численно-аналитический бифуркационный анализ.

2. Разработан целостный подход к системному анализу нелинейных явлений, индуцированных глобальными бифуркациями, который объединяет следующую группу алгоритмов:

• гибридный алгоритм численного поиска устойчивых/неустойчивых сосуществующих периодических орбит заданного периода и определения их локальной устойчивости, позволяющий исключить решение сложной краевой задачи для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и интегрирование уравнений в вариациях с разрывным решением;

• алгоритм расчета устойчивых/неустойчивых инвариантных многообразий, основанный на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого/неустойчивого подпространств собственных векторов матрицы монодромии. Основу алгоритма составляет оригинальный метод нахождения обратной функции, состоящий в сведении задачи к решению нелинейного уравнения первого порядка. Такой метод исключает необходимость решения систем нелинейных уравнений для определения обратной функции и преодоления сопутствующих при этом вычислительных проблем.

• алгоритм численного расчета границы области устойчивости, в котором решение задачи сводится к трансцендентному уравнению первого порядка независимо от размерности модели.

3. Выполнен анализ нелинейных явлений, индуцированных нелокальным бифуркациями, что позволило установить следующие закономерности мульти-стабильной динамики:

• при малых значениях напряжения питания система демонстрирует двухчастотные колебания, которым в фазовом пространстве отображения отвечают замкнутые инвариантные кривые, возникающие через бифуркацию Неймарка-Сакера или ВС бифуркацию, а также явление захвата частоты;

• выявлено, что с увеличением напряжения питания нагревательной установки динамика усложняется за счет появления областей мультистабильности. При этом число аттракторов, сосуществующих с устойчивой замкнутой инвариантной кривой, растет с увеличением напряжения питания. Границей бассейна притяжения инвариантной кривой является устойчивое многообразие одной из седловых периодических орбит, которая возникает в паре с устойчивой орбитой того же периода через ВС «fold» бифуркацию (аналог седло-узловой в гладких отображениях).

Методы исследования базируются на методах системного анализа, теории автоматического управления, методах нелинейной динамики, вычислительной математики, теории устойчивости и бифуркаций.

Практическая ценность.

1. Результаты диссертации позволяют обеспечить технологические режимы теплотехнических систем большой мощности с заданными динамическими характеристиками и могут быть применены при проектировании широкого класса импульсных систем.

2. Разработан прототип программной реализации численного метода анализа глобальной динамики кусочно-гладких моделей, который может применяться для разработки и исследования систем автоматического управления с импульсной модуляцией.

Реализация и внедрение. На предприятии ООО «Техсапфир» (г. Белгород) и в ФГАОУ ВО Белгородский государственный национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ») (г. Белгород) проведены промышленные испытания и получены рекомендации к внедрению широтно-импульсной системы управления нагревательными установками высокой мощности, что подтверждается соответствующими актами. Научно-методические результаты, полученные в диссертации, используются в учебном процессе ФГБОУ ВО БГТУ им. В.Г. Шухова в рамках дисциплин «Моделирование систем и процессов», «Моделирование систем управления» и «Проектирование систем управления», а также при выполнении выпускных квалификационных работ.

Достоверность научных выводов и положений достигается использованием общепринятых допущений при построении математической модели, строгих методов бифуркационного анализа, тщательной проверкой результатов анализа глобальной динамики с данными, полученными с помощью «Search Circle (SC)» алгоритма, а также согласованностью с существующими теоретическими знаниями о глобальной динамике негладких систем.

Апробация результатов. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на: Всероссийской научной конференции по проблемам управления в технических системах (Санкт-Петербург, 2015); 30-й и 31-й международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях» (Санкт-Петербург, 2017, 2018), 13-й, 14-й и 15-й международных научно-технических конференциях «Распознавание» (Курск, 2017, 2018, 2019); международных научно-практических конференциях «International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment» (Севастополь, 2017, 2018, 2019); VI и VII Среднерусском экономическом форуме СЭФ (Курск, 2017, 2018); ежегодных международных научно-технических конференциях БГТУ им. В.Г. Шухова и научно-технических семинарах кафедры техническая кибернетика БГТУ им. В.Г. Шухова (Белгород, 2015-2020).

Область исследований. Содержание диссертационной работы соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)»:

• Разработка методов и алгоритмов решения задач системного анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

• Разработка специального математического и алгоритмического обеспечения систем анализа, оптимизации, управления, принятия решений и обработки информации.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них — 6 статей в журналах, входящих в перечень ВАК РФ, 3 статьи в изданиях, индексируемых в базах Web of Science и Scopus, 2 патента РФ на изобретение и 3 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ.

Личный вклад автора. В работах, выполненных в соавторстве, лично автором в [18, 34] решена краевая задача теплопроводности, выполнена идентификация объекта управления по экспериментальной переходной характеристике и сформирована модель в форме дробно-рациональной передаточной функции; в [19 - 21, 38, 51, 52] разработана система управления теплотехнической установкой; в [17, 22, 26, 28, 32, 89 - 91] выполнено моделирование и теоретический анализ результатов вычислительных экспериментов; в создании изобретений [51, 52] авторы внесли равный вклад; в [58] реализован алгоритм в виде прикладной программы расчета температурного поля в многослойном объекте с линейными и нелинейными граничными условиями; в [57] разработан алгоритм в виде прикладной программы расчета инвариантных многообразий седловых циклов двумерных обратимых кусочно-гладких отображений; в [59] реализован алгоритм расчета границы области устойчивости периодических режимов систем управления с широтно-импульсной модуляцией.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы, включающего 140 наименований и приложений, изложена на 108 страницах (без приложений), содержит 24 рисунка.

1.

Анализ управления температурным полем нагревательных

установок

В первой главе проведен анализ состояния вопроса управления температурным полем теплоэнергетических систем на базе мощных нагревательных установок. Предложена широтно-импульсная система управления температурным полем, позволяющая увеличить энергетическую эффективность. Результаты главы опубликованы в [19-21, 38, 51, 52].

1.1. Управление температурным полем промышленных теплотехнических систем

Основным теплотехническим оборудованием в машиностроительной, химической, авиационной, металлургической, строительной, пищевой и в других отраслях промышленности является нагревательная установка. Это промышленный агрегат, в котором выделенная теплота используется для нагрева или плавления исходных материалов с целью изменения их свойств или получения новых материалов. Для усовершенствования их элементов и конструкций, выявления новых методов подачи энергоносителя и способов управления потоком энергии, необходимо детально изучить закономерности протекания внешнего и внутреннего теплообменных процессов.

Промышленная печь является наиболее энергоемким теплотехническим объектом, так как в ней в больших объемах сжигается топливо или расходуется значительное количество электрической энергии. Поэтому важной задачей является модернизация работы печи с целью снижения расхода энергоносителя для тепловой обработки исходного материала до необходимых технологических параметров.

По способу применяемой тепловой энергии печи подразделяются на топливные и электрические. Электрические печи являются весьма распространенными.

Электронагрев в том или ином виде широко применяется практически во всех технологических процессах: для сушки материалов и изделий, в производстве строительных материалов, для расплавления металлов и сплавов, восстановления металлов из руд, для нагрева различных материалов, заготовок и изделий под пластическую деформацию или термическую обработку и других производственных сферах [42, 47].

При этом высокотемпературный нагрев является неотъемлемой и важной составляющей многих производств. Так, например, в производстве строительных материалов мощные нагревательные печи используют в процессах вытягивания листового стекла, изготовлении стеклоблоков и пеностекольных блоков, цветного стекла, керамических и других изделий [7, 11, 42]. В абразивной промышленности для выработки карборунда и электрического корунда также используются электрические печи, так как процесс получения этих материалов требует применения высоких температур порядка 2000°С [56]. Точная механика, приборостроение, производство полупроводников и светодиодов, оборонная и медицинская промышленность широко используют в качестве основных элементов и оснастки синтетические сапфиры, получаемые методом направленной кристаллизации в ростовых установках при температуре 2050°С [24, 45].

Практически любая нагревательная установка условно состоит из следующих зон: внутреннего печного пространства 1, заполненного воздухом или газом; электронагревателя 2, внутренней 3 и внешней 4 футеровок (Рисунок 1.1). Отличительной особенностью является геометрическая форма печи. Это может быть ограниченный цилиндр или параллелепипед. Входной управляющей переменной для данного типа объектов является мощность, которая подводится к нагревателю, а выходной переменной является тепловое состояние в рабочей зоне [6, 73].

Изучение закономерностей нагревательных процессов, протекающих в высокотемпературных печах, представляет довольно сложную, хотя и в достаточной степени изученную задачу. Вместе с тем многие важные, с нашей точки зрения, вопросы остаются вне поля зрения специалистов.

Рисунок 1.1 - Схема нагревательной установки, где 1 - внутреннее печное пространство, 2 - электронагреватель, 3 - внутренний и 4 - внешний слои футеровок

К ним, в первую очередь, относятся разработка методов и исследование способов подачи электрической энергии в нагревательные устройства мощных теплотехнических установок посредством полупроводниковых исполнительных элементов на базе полевых транзисторов, а также построение системы управления потоком большой мощности в процессе нагрева, позволяющей обеспечить заданные температурные режимы и технологические параметры.

На вход к нагревателю теплотехнической установки подаётся электрическая мощность (управляющая переменная), а на выходе - наблюдаемая температура во внутреннем печном пространстве (управляемая переменная).

Входную переменную, представленную в виде объемной плотности теплового потока нагревателя, использовать недостаточно удобно, так как практически невозможно подать непрерывным способом мощный поток энергии к нагревателю без значительных потерь. Кроме того, входная переменная должна адекватно отражать свойства физической переменной, учитывающей реально подаваемое управляющее воздействие, которое в случае управления потоком большой мощности целесообразно выбрать в импульсной форме.

Наиболее перспективным управлением нагревательным элементом теплотехнической установки является широтно-импульсное, основанное на

свойствах полной волны широтно-импульсного модулятора (ШИМ) [66, 73]. При такой стратегии управляющий сигнал за период его следования состоит из ширины импульса и времени паузы за целое число полуволн синусоидального напряжения питания. Отношение ширины импульса к его периоду следования называется коэффициентом заполнения импульсов ШИМ (у). Значение у=1 - определяет подачу максимальной мощности на нагреватель, а величина у=0 - её отсутствие. ШИМ полной волны, в отличие от ШИМ с фазовым управлением, обеспечивает линейную зависимость от коэффициента заполнения импульсов выделяемой на нагревателе мощности [40, 48]. Учитывая данный подход, можно представить объёмную мощность в виде безразмерной величины, некоторой доли от максимальной мощности нагревателя, формально совпадающую с коэффициентом заполнения импульсов модулятора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гольцов Юрий Александрович, 2021 год

Список литературы

1. Автоматическое управление электротермическими установками / Под ред. А. Д. Свенчанского. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 416 с.

2. Айзерман, М. А. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями / М. А. Айзерман, Ф. Р. Гантмахер // Прикл. математика и механика. - 1957. - 21(2). -С. 658 - 669.

3. Амосов, А. А. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие / А.

A. Амосов, Ю. А. Дубинский, H. B. Копченова. - М.: Высшая школа, 1994. - 544 с.

4. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. - М.: Наука, 1981. - С. 568

5. Анищенко, В. С. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем: Фундам. основы и избр. проблемы / В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова,

B. В. Астахов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. - 367 с.

6. Аревдарчук, A.B. Общепромышленные электропечи периодического действия / A. B. Аревдарчук, A. C. Бородачев, В. И. Филиппов. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 111 c.

7. Балкевич, В. Л. Высокотемпературные печи для обжига и испытаний керамики: Учеб. Пособие / В. Л. Балкевич, Р. М. Мосин, Б. С. Скидан. - М.: МХТИ им. Д.И. Менделеева, 1985. - 64 с.

8. Баушев, В. С. К расчету локальной устойчивости периодических режимов в импульсных системах автоматического регулирования / В. С. Баушев, Ж. Т. Жусубалиев, Ю. В. Колоколов, И. В. Терехин // Автоматика и телемеханика. - 1992. - 6. - С. 93-100.

9. Бесекерский, В. А. Системы автоматического управления с микроЭВМ / В. А. Бесекерский, В. В Изранцев. - М.: Наука, 1987. - 320 с.

10. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике. - 13-е изд., испр. / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

11. Ванин, В. И. Отжиг и закалка листового стекла / В. И. Ванин. - М.: Изд. Литературы по строительству, 1965 - 112 с.

12. Воронов, А. А. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. - 2-е изд. перераб. / А. А. Воронов. - М.: Энергоиздат, 1981. - 304 с.

13. Вучков, И. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, Л. Бояджиева, Е. Солаков. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 238 с.

14. Гаврилов, Н. К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. I / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников // Матем. сб. - 1972. - Том 88(130), №4(8). - С. 475-492.

15. Гаврилов, Н.К. О трехмерных динамических системах, близких к системе с негрубой гомоклинической кривой. II / Н. К. Гаврилов, Л. П. Шильников // Матем. сб. - 1973. - Том 90(132), №1. - С. 139-157.

16. Гельман, М. В. Тиристорные регуляторы переменного напряжения / М. В. Гельман, Лохов С. П. - М.: Энергия, 1975. - 104 с.

17. Гольцов, Ю. А. Нелинейные явления в широтно-импульсной системе управления теплотехническим объектом / Ю. А. Гольцов, А. С. Кижук, В. Г. Рубанов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - 2017. - № 9 - С. 188-192.

18. Гольцов, Ю. А. Управление температурным полем нагревательной установки в форме модели дробного порядка / Ю. А. Гольцов, А. С Кижук, В. Г. Рубанов // СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2016. - № 2. - С. 38-44.

19. Гольцов, Ю. А. Устройство управления температурным полем нагревательной установки / Ю. А. Гольцов, А. С. Кижук, В. Г. Рубанов // I Всероссийская научная конференция по проблемам управления в технических системах (ПУТС - 2015). Материалы конференции. Санкт-Петербург: СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2015. - С.298 - 302.

20. Гольцов, Ю. А. Энергоэффективное нагревательное устройство высокой мощности / Ю. А. Гольцов, А. С. Кижук, В. Г. Рубанов // Математические методы в технике и технологиях: сб. тр. междунар. науч. конф. ММТТ-31. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. - 2018. - Т.8 - С. 91 - 94.

21. Гольцов, Ю. А., Реализация структуры управления теплотехническим объектом в среде Smlogix / Ю. А. Гольцов, А. С. Кижук, В. Г. Рубанов // Энергетические, управляющие и информационные системы: сб. докладов I междунар. науч.-техн. конф. Белгород: Изд-во БГТУ. - 2016. - С. 16 - 21.

22. Гольцов, Ю.А. Нелинейные явления в широтно-импульсной системе управления мощным нагревательным устройством / Ю. А. Гольцов, А. С. Кижук, В. Г. Рубанов // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации. Распознавание - 2018. Сб. материалов XIV Междунар. науч.-техн. конф. Курск: Юго - Зап. гос. ун. - т. - 2018. - С. 226-229.

23. Джеффрис, Г. Методы математической физики Пер. с англ. / Г. Джеффрис, Б. Свирлс. - Вып. 3. - М.: Мир, 1970. - 344 с.

24. Добровинская Е. Р. Энциклопедия сапфира / Е. Р. Добровинская, Л. А. Литвинов, В. В. Пищик. -Харьков: Институт монокристаллов, 2004. - 508 с.

25. Жусубалиев Ж. Т. Бифуркации в широтно-импульсных системах автоматического управления: учебное пособие / Ж. Т. Жусубалиев, В. Титов. -Курск. гос. тех. ун-т. Курск, 2007. - 100 с.

26. Жусубалиев Ж. Т. Алгоритм расчета границы рождения двухчастотных колебаний в дискретной модели импульсной системы управления / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, Ю. А. Гольцов, Д. С. Кузьмина, О. О. Яночкина // Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации. Распознавание - 2019. Сб. материалов XV Междунар. науч.-техн. конф. Курск: Юго - Зап. гос. ун. - т. - 2019. - С. 81-84.

27. Жусубалиев, Ж. Т. Бифуркации в широтно-импульсных системах автоматического управления: учебное пособие / Ж. Т. Жусубалиев, В. Титов. -Курск. гос. тех. ун-т. Курск, 2007. - 100 с.

28. Жусубалиев, Ж. Т. Квазипериодичность в системе управления температурным полем нагревательной установки / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, Ю. А. Гольцов, О. О. Яночкина, С. А. Поляков // Научные ведомости

БелГУ. Серия Экономика. Информатика. - 2017. - № 23(272). Выпуск 44. -С. 113 - 122.

29. Жусубалиев, Ж. Т. О бифуркациях рождения двумерного тора в широтно-импульсной системе / Ж. Т. Жусубалиев // Автоматика и телемеханика. - 2008. -7. - С. 19 - 28.

30. Жусубалиев, Ж. Т. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2007611309. Программа расчета периодических движений нелинейных динамических систем / Ж. Т. Жусубалиев, С. Ю. Чевычелов, Е. А. Сухотерин. - М.: РосПатент, зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 27 марта 2007 г.

31. Жусубалиев, Ж. Т. Хаотическая динамика импульсных систем: учебное пособие / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, В. С. Титов, О. О. Яночкина. - Курск; Белгород: Изд-во БГТУ, 2018. - 143 с.

32. Жусубалиев, Ж.Т. К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, Ю. А. Гольцов // Известия Юго -Западного государственного университета. - 2020. - № 24(3). - С. - 166-182.

33. Ильгачев, А.Н. Оптимальное широтно-импульсное управление электрическим режимом группы электротехнологических установок // Тр Академия электротехнических наук Чувашской республики. - Чебоксары: 1999. - вып. № 1 - 2. - С. 103 - 109.

34. Кариков, Е. Б. Моделирование теплотехнологических объектов в классе дробно-иррациональных передаточных функций / Е. Б. Кариков, В. В. Мишунин,

B. Г. Рубанов, Ю. А Гольцов // Научные ведомости БелГУ. Серия: История. Политология. Экономика. Информатика. - 2012. - №13 (132). Выпуск 23/1. -

C. 173-179.

35. Карташов, Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел: Учеб. пособие. - 2-е изд., доп. / Э. М. Карташов. - М.: Высш. шк., 1985. - 480 с.

36. Кацевич, Л. С. Теория теплопередачи и тепловые расчёты электрических печей / Л. С. Кацевич. - М.: Энергия, 1977. - 304 с.

37. Кижук, А. С. Анализ технических средств в структуре систем управления и их выбор при проектировании: учебное пособие / А. С. Кижук, Ю. А. Гольцов // Белгород: Изд-во БГТУ. - 2016. - 242 с.

38. Кижук, А. С. Микропроцессорная система автоматического управления тепловым режимом технологического процесса выращивания кристалла сапфира / А. С. Кижук, Ю. А. Гольцов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2014. - №11. - С. 42-49.

39. Козлов, В. П. Двумерные осесимметричные задачи теплопроводности / Под ред. А. Г. Шашкова. - Минск: Наука и техника, 1986. - 392 с.

40. Колкер, М.И. Электропечи сопротивления с широтно-импульсным управлением с применением тиристоров / Библиотека электротермиста; Вып. 64 / М. И. Колкер, Я. А. Полищук, С. Т. Обухов, В. М. Яров. - М.: Энергия, 1977. -104 с.

41. Корн, Г. Справочник по математики (для научных работников и инженеров). Пер. с англ. Изд. 4-е / Т. Корн, В. П. Козлов. - М.: Наука. Глав. ред. физ. -мат. наук, 1978. - 832 с.

42. Кочетов, В. С. Автоматизация производственных процессов в промышленности строительных материалов / В. С. Кочетов, А. А. Ларченко, Л. Р. Немировский. - Москва: Стройиздат, 1975. - 345 с.

43. Кручинин, А. М. Автоматическое управление электротермическими установками / Под ред. А. Д. Свенчанского, К. М. Махмудов, Ю. М. Миронов. -М.: Энергоатомиздат, 1990. - 416 с.

44. Кузьмина, Д. С. Расчёт границ рождения замкнутой инвариантной кривой в дискретной модели импульсной системы управления / Д. С. Кузьмина // Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук. Сб. материалов V Международной науч.-практ. конф. молодых ученых. Тольятти: Тольяттинский гос. ун. - т. - 2019. - С. 237-242.

45. Лодиз, Р. Рост монокристаллов. / Р. Лодиз, Р. Паркер. - М.: Мир, 1974. 540 с.

46. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

47. Марсов, В. И. Автоматическое управление технологическими процессами на предприятиях строительной индустрии / В. И. Марсов, В. А. Славуцкий. -Ленинград: Стройиздат, 1975. - 286 с.

48. Мишунин, В. Системы автоматического управления и контроля с дробно-иррациональными передаточными функциями: монография / В. В. Мишунин, В. Г. Рубанов. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2004. - 255 с.

49. Неймарк, Ю. И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров / Ю. И. Неймарк // ДАН СССР. - 1959. - 129(4). - С. 736-739.

50. ООО «Техсапфир». [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.techsappЫre.ru/ (дата обращения: 11.11.2020).

51. Пат. № 2612311 С1 Российская федерация, МПК G05D 23/22. Устройство регулирования температуры электронагрева [Текст] / Гольцов Ю. А., Жусубалиев Ж. Т., Кижук А. С., Коленченко В. В., Рубанов В. Г.; заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г. Шухова. - № 2016113209; заявл. 06.04.2016; опубл. 06.03.2017. Бюл. №7.

52. Пат. RU № 2604052 С1 Российская федерация, МПК Н05В 6/06 (2006.01). Устройство регулирования температуры индукционного электронагрева [Текст] / Гольцов Ю. А., Кижук А. С., Рубанов В. Г.; заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г. Шухова. - № 2015139918/07; заявл. 18.09.2015; опубл. 10.12.2016. Бюл. №34.

53. Перегудов, Ф. И. Основы системного анализа: Учебное пособие / Ф. И. Перегудов, Ф. П. Тарасенко. - Томск: Изд-во НТЛ, 1997. - 396 с.

54. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики. Пер. с англ. / Р. Рихтмайер; под ред. И.Д. Софронова. - М.: Мир, 1982. - 486 с.

55. Ротач, В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: Учебник для вузов / В. Я. Ротач. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 296 с.

56. Свенчанский, А.Д. Электрические промышленные печи. В 2-х ч. Ч. I. Электрические печи сопротивления / А.Д. Свенчанский - Изд. 2-е перераб. -М.: Энергия, 1975. - 384 с.

57. Свид. № 2017661000 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа расчета инвариантных многообразий седловых циклов двумерных обратимых кусочно-гладких отображений / Жусубалиев Ж. Т., Рубанов В. Г., Гольцов Ю. А., Яночкина О. О.; заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г. Шухова. -№2017617817; заявл. 03.08.2017; опубл. 02.10.2017. - 1 с.

58. Свид. № 2017661593 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа расчета температурного поля в многослойном объекте с линейными и нелинейными граничными условиями. / Гольцов Ю. А., Гоков И. В., Кижук А. С., Рубанов В. Г.; заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г. Шухова. - №2017618580; заявл. 24.08.2017; опубл. 17.10.2017. - 1 с.

59. Свид. № 2019613325 Российская Федерация. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа расчёта границы области устойчивости периодических режимов систем управления с широтно-импульсной модуляцией / Гольцов Ю. А., Кузьмина Д. С., Рубанов В. Г., Яночкина О. О.; заявитель и патентообладатель БГТУ им. В.Г. Шухова. -№ 2019611856; заявл. 26.02.2019; опубл. 16.03.2019. - 1 с.

60. Сейдж, Э. П. Идентификация систем управления. Пер. с англ. / Э. П. Сейдж, Д. Л. Мелса. - М.: Наука, 1974. - 248 с.

61. Справочник по теории автоматического управления / Под ред.

A. А. Красовского. - М.: Наука, 1987. - 711 с.

62. Тарасенко, Ф.П. Прикладной системный анализ: Учебное пособие / Ф. П. Тарасенко. - М.: КНОРУС, 2017. - 322 с.

63. Уткин, В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления /

B. И. Уткин. - М.: Наука, 1981. - 368 с.

64. Фарлоу, С. Уравнения с частными производными. Для научных работников и инженеров- Пер. с англ. / С. Фарлоу. - М.: Мир, 1985. - 384 с.

65. Фейгин, М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями / М. И Фейгин. - М.: Наука, 1994. - 228 с.

66. Фейгин, М. И. О рождении семейства субгармонических режимов в кусочно-непрерывной системе / М. И Фейгин // Прикладная математика и механика. -1974. - Том 38, вып. 5. - С. 810-818.

67. Фейгин, М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах / М. И Фейгин // Прикладная математика и механика. -1970. - Том 34, вып. 5. - С. 861-869.

68. Фейгин, М.И. О структуре С-бифуркационных границ кусочно-непрерывных систем / М. И Фейгин // Прикладная математика и механика. - 1978. - Том 42, вып.5. - С. 820-829.

69. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью /А. Ф. Филиппов // Докл. АН СССР. - 1963. - Том 151, № 1. -C. 65 - 68.

70. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов // Мат. сборник. - 1960. - C. 99-128.

71. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью /А. Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985. - 225 с.

72. Эйкофф, П. Основы идентификации систем управления Пер. с англ. / П. Эйкофф. - М.: Мир, 1975. - 688 с.

73. Электротермическое оборудование: Справочник / Под. общей редакцией А. П. Альтгаузена. - Изд. 2-е, переработанное и дополненное. - М.: Энергия, 1980. - 416 с.

74. Яров, В. М. Автоматическое управление электропечами сопротивления: Учебное пособие / В. М. Яров. - Чебоксары: ЧТУ, 1983. - 124 с.

75. Avrutin, V. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana. - Singapore: World Scientific, 2019. - 648 p.

76. Avrutin, V. Dangerous bifurcations revisited / V. Avrutin, Zh. T. Zhusubaliyev, A Saha., S. Banerjee, I. Sushko, L. Gardini // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2016. -26(14). - 1630040 (24 pages).

77. Avrutin, V. Onset of chaos in a single-phase power electronic inverter / V. Avrutin, E. Mosekilde, Zh. T. Zhusubaliyev, L. Gardini // Chaos. - 2015. - 25. - Pp. 043114- 1 -

043114-14.

78. Colombo, A. Bifurcations of piecewise smooth flows: perspectives, methodologies and open problems / A. Colombo, M. Di Bernardo, S. J. Hogan, MR. Jeffrey // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2012. - 241(22). - Pp. 1845-1860.

79. Dennis, J. E. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations / J. E. Dennis, R. B. Schnabel. - New Jersey: Prentice-Hall, Inc. - 1983. -395 p.

80. Di Bernardo, M. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / M. Di Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E Homer // Chaos, Solitons and Fractals. - 1999. - 10 (11). - Pp. 1881 - 1908.

81. Di Bernardo, M. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / M. Di Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. - London: Springer-Verlag, 2008. - 475 p.

82. El Aroudi, A. Bifurcations in dc-dc switching converters: review of methods andapplications / A. El Aroudi, M. Debbat, R. Giral, G. Olivar, L. Benadero, E. Toribio // International Journal of Bifurcation and Chaos. - 2015. - 15(05). - Pp. 1549-1578.

83. England, J. P. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse / J. P. England, B. Krauskopf, H. M. Osinga // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. - 2004. - 3(2). - Pp. 161-190.

84. Feudel, U. Complex dynamics in multistable systems / U. Feudel // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2008. - 18(6). - Pp. 1607-1626.

85. Feudel, U. Multistability and tipping: From mathematics and physics to climate and brain - Minireview and preface to the focus issue / Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. // Chaos. - 2018. - 28(3). - Pp. 033501-1 - 033501-11.

86. FOMCON: a MATLAB toolbox for fractional-order system identification and control / A. Tepljakov, E. Petlenkov and J. Belikov // International Journal of Microelectronics and Computer Science. - 2011. 2(2). - 59-61.

87. Frouzakis, C. E. On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps / C. E. Frouzakis, L. Gardini, I. G. Kevrekidis, G. Millerioux, C. Mira // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 1997. - 7(06). - Pp. 1167-1194.

88. Fundinger, D. Toward the calculation of higher-dimensional stable manifolds and stable sets for noninvertible and piecewise-smooth maps / D. Fundinger // J. Nonlinear Sci. - 2008. - 18. - Pp. 391-413.

89. Gol'tsov, Yu. A. Chaotic dynamics of a pulse modulated control system for a heating unit / Yu. A. Gol'tsov, A. S. Kizhuk, V. G. Rubanov // MATEC Web of Conferences, ICMTMTE 2018. - 2018. - V 224 - 02055(7 pages).

90. Gol'tsov, Yu. A. Modeling of a high-power heating unit with pulse-width modulated control / Yu. A. Gol'tsov, A. S. Kizhuk, V. G. Rubanov, O. O. Yanochkina // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2020. - V 709. - 033098 (6 pages).

91. Gol'tsov, Yu. A. Nonlinear phenomena in a high-power heating unit with pulse modulated control / Yu. A. Gol'tsov, A. S. Kizhuk, V. G Rubanov // MATEC Web of Conferences, ICMTMTE 2017. - 2017 - V. 129. - 01031 (4 pages).

92. Gonchenko, S.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions: I / S. V. Gonchenko, L. P. Shilnikov, D. V. Turaev // Nonlinearity. - 2008. - Vol. 21. - Pp. 923-972.

93. Guckenheimer, J. Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields / Guckenheimer J., Holmes Ph. - Springer-Verlag, New York, 1997. - 472 p.

94. Guckenheimer, J. Invariant manifolds and global bifurcations / J. Guckenheimer, B. Krauskopf, H. M. Osinga, B. Sandstede // Chaos. - 2015. - 25(9). - 097604 (13 pages).

95. Gumowski, I. Recurrences and discrete dynamic systems / I. Gumowski, C. Mira. -Lecture Notes in 554 Mathematics, AQ6 Vol. 809 - Berlin: Springer., 1980. - 272 p.

96. Hens, C. Extreme multistability: Attractor manipulation and robustness / C. Hens, S. Dana, U. Feudel // Chaos. - 2015. - 25(10). - 053112 (15 pages).

97. Jackson, M.C. Systems Thinking: Creative Holism for Managers / M. C. Jackson. - John Wiley & Sons Ltd.: University of Hull, UK, 2003. - 378 p.

98. Kowalczyk, P. Two-parameter discontinuity-induced bifurcations of limit cycles: Classification and open problems / P. Kowalczyk, M. Di Bernardo, A. R. Champneys, S. J. Hogan, M. Homer, Yu. A. Kuznetsov, A. B. Nordmark // Internal J. Bifur. Chaos. -2006. - 16 (3). - Pp. 601-629.

99. Krauskopf, B. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields / B. Krauskopf, H. M. Osinga, E. J Doedel., M. E. Henderson, J. Guckenheimer, A. Vladimirsky, M. Dellnitz, O. Junge // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2005. - 15(03). -Pp. 763-791.

100. Kuznetsov, Y. Elements of Applied Bifurcation Theory / Y. Kuznetsov. - 3rd edition. - Springer-Verlag. - 2004. - 631 p.

101. Li, H. A new algorithm for computing one-dimensional stable and unstable manifolds of maps / H. Li, Y. Fan, J. Zhang // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2012. -22(01). - 1250018.

102. Liu, Y. Controlling coexisting attractors of an impacting system via linear augmentation / Y. Liu, J. P. Chavez // Physica D. - 2017. - 348: - Pp. 1-11.

103. Marmillot, P. Multiple steady states and dissipative structures in a circular and linear array of three cells: Numerical and experimental approaches / P. Marmillot, M. Kaufman, J-F. Hervagault // J. Chem. Phys. - 1991. - 95(2). - Pp. 1206-1214.

104. Mira, C. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J. C. Cathala. - Singapore: World Scientific, 1996. - 632 p.

105. Newhouse, S. Cycles and bifurcation theory // Trois 'etudes en dynamique qualitative / S. Newhouse, J. Palis // Paris: Soc. Math. France. - 1976. - Asterisque 31. -Pp. 44-140.

106. Nordmark, A. B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator / A. B. Nordmark //Journal of Sound and Vibration. - 1991. - 145(2). -279 - 297.

107. Nusse, H. E. A procedure for finding numerical trajectories in chaotic saddles / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Physica D. - 1989. - 36(1-2). - Pp. 137-156.

108. Nusse, H. E. Border collision bifurcation: an explanation for observed bifurcation phenomena / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Physical Review E. - 1994. - 49. -Pp. 1073 - 1076.

109. Nusse, H. E. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 1995. - 5(1). -Pp. 189 - 207.

110. Nusse, H. E. Border-collision bifurcations including "period two to period three" for piecewise smooth systems / H. E. Nusse, J. A. Yorke // Physica D. - 1992. -57(1 - 2). - Pp. 39 - 57.

111. Olivar, G. Bifurcations and chaos in converters. Discontinuous vector fields and singular Poincare maps / G. Olivar, E. Fossas, C. Batlle // Nonlinearity. - 2000. - 13(4). -Pp. 1095-1121.

112. Palis, J. Cycles and measure of bifurcation sets for two dimensional diffeomorphisms / J. Palis, F. Takens // Invent. Math. - 1985. - vol. 82. - Pp. 397-422.

113. Palis, J. Hyperbolicity and sensitive chaotic dynamics at homoclinic bifurcations: Fractal dimensions and infinitely many attractors / J. Palis, F. Takens. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 35, 1993. - 234 p.

114. Palis, J. Hyperbolicity and the creation of homoclinic orbit / J. Palis, F. Takens // Ann. of Math. - 1987. - vol. 125(2). - Pp. 337-374.

115. Parker, T. S. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems / T. S. Parker, L. O. Chua. - New York: Springer-Verlag, 1989. - 348 p.

116. Pisarchik, A. Control of multistability / A. Pisarchik, U. Feudel // Phys. Rep. -2014. - 540(4). Pp. 167-218.

117. Powell, M. J. D. A Hybrid Method for Nonlinear Equations / M. J. D. Powell // Numerical Methods for Nonlinear Algebraic Equations. - 1970. - 7. Pp. 87-114.

118. Prengel, F. Simple model for multistability and domain formation in semiconductor superlattices / F. Prengel, A. Wacker, E. Scheoll // Phys. Rev. - 1994. - 50. -Pp. 1705 - 1712.

119. S Banerjee, S. Nonlinear phenomena in power electronics / S. Banerjee S, G. C. Verghese // NY: IEEE Press. - 2001. - 42(3-4). - Pp. 113-244.

120. Sacker, R. J. On invariant surfaces and bifurcation of periodic solutions of ordinary differential equations / R. J. Sacker // New York University, Report IMM-NYU 333, 1964. Comm. Pure Appl. Math. - 1965. - 18(4). - Pp. 717-732.

121. Shilnikov, L. P. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics: I / L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua. - Singapore: World Sci., 1998. - 404 p.

122. Shilnikov, L. P. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics: II / L. P. Shilnikov, A. L. Shilnikov, D. V. Turaev, L. O. Chua. - Singapore: World Sci., 2001. - 957 p.

123. Simpson, D. J. W. Border-collision bifurcations in RN / D. J. W. Simpson // SIAM Review. - 2016. - 58(2). - Pp. 177-226.

124. Simpson, D. J. W. Neimark-Sacker bifurcations in planar, piecewise-smooth, continuous maps / D. J. W. Simpson, J. D. Meiss // SIAM J. Appl. Dyn. Sys. - 2008. -7(3). - Pp. 795-824.

125. Simpson, D. J. W. Shrinking Point Bifurcations of Resonance Tongues for Piecewise-Smooth, Continuous Maps / D. J. W. Simpson, J. D. Meiss // Nonlinearity. -2009. - 22. - Pp. 1123-1144.

126. Simpson, D. J. W. The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps: I. Nearby mode-locking regions and shrinking points / D. J. W. Simpson // Nonlinearity. - 2016. - 30(1). - Pp. 382-444.

127. Sushko, I. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form / I. Sushko, L. Gardini // Int. J. Bifurcation Chaos. - 2008. - 18(4). -Pp. 1029 - 1050.

128. Tse, C. K. Complex behavior of switching power converters / C. K. Tse. - Boca Raton: CRC Press, 2003. - P. 262.

129. Warfield, J. N. Introduction to Systems Science / J. N. Warfield. - Singapore: World Scientific, 2006. - 432 p.

130. Yang, W.-M. How the Arnold Tongues Become Sausages in a Piecewise Linear Circle Map / W.-M. Yang, B.-L Hao // Communications in Theoretical Physics. -1987. - 8:1 - Pp. 15.

131. You, Z. Calculating stable and unstable manifolds / Z. You, E. J. Kostelich, J. A. Yorke // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 1991. - 01(03). - Pp. 605-623.

132. Yue, X-L. Global Invariant manifolds of dynamical systems with the compatible cell mapping method / X-L. Yue, Y. Xu, W. Xu, J-Q. Sun // Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2019. - 29(8). - 1950105

133. Zhusubaliyev, Z. T. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter / Z. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // IEEE Trans. Circ. & Syst. I. - 2006. - Vol. 53(8). -Pp. 1839-1850.

134. Zhusubaliyev, Zh. T. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // World Scientific, Singapore. - 2003. -363.

135. Zhusubaliyev, Zh. T. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. Maity, S. Mohanan, S. Banerjee // Chaos. - 2006. - 16(2). - Pp. 023122-1 -023122 - 11.

136. Zhusubaliyev, Zh. T. Border-Collision Bifurcations on a Two-Dimensional Torus / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Soukhoterin, E. Mosekilde // Chaos. Solitons and Fractals. -2002. - 13. - Pp. 1889-1915.

137. Zhusubaliyev, Zh. T. Coexisting Tori and Torus Bubbling in Non-Smooth Systems. / Zh. T. Zhusubaliyev, O. O. Yanochkina, E. Mosekilde // Physica D: Nonlinear Phenomena. - 2011. - 240. - Pp. 397-405.

138. Zhusubaliyev, Zh. T. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Physics Letters A. -2008. - 372(13). - Pp. 2237-2246.

139. Zhusubaliyev, Zh. T. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Physica D. - 2008. - 237(7). - Pp. 930 - 936.

140. Zhusubaliyev, Zh. T. Multistability and hidden attractors in multilevel DC/DC converter / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde // Math. Comput. Simulation. -2015. - 109. - Pp. 32-45.

109

Приложение А

Программа расчета температурного поля в многослойном объекте с линейными и нелинейными граничными условиями

main.cpp

#include <vector> #include <fstream> #include "core/Layer.h" #include "core/Stack.h" #include "instmments/Space.h" #include "io/IO.h" #include "io/csvfile.h" #include "test/TimeTester.h"

struct State{

int num; double value; double prev_value; double prev_iter_value;

template<typename Stream>

void save(Stream& stream) const

{

saveToCSV(stream, num, value);

};

template <typename Iterator>

void load(Iterator iterator)

{

loadFromCSV(iterator, num, value); prev_iter_value = value;

};

};

typedef Space1D<State> Space;

typedef core: : Stack<core: :Layer<Space::reverse_iterator>> Stack; typedef Stack::state_iterator state_iterator; typedef Stack::recount_func recount_func;

const int scale = 10;

const int N1 = 60 * scale; const int N2 = 10 * scale; const int N3 = 10 * scale; const int N4 = 100 * scale;

const int L1 = 3 * scale; const int L2 = 20 * scale; const int L3 = 25 * scale; const int L4 = 10 * scale; const int L5 = 110 * scale;

const double sigma = 5.67e-8;

const double h = 0.001 / scale;

const double lambda1 = 47; const double lambda2 = 2; const double lambda3 = 2; const double lambda4 = 162.8; const double lambda5 = 2.05;

const double a1 = 1.172e-5; const double a2 = 0.65e-6; const double a3 = 0.65e-6; const double a4 = 2.778e-5; const double a5 = 4.8e-7;

const double time_end = 3 * 3600; const double tau = 1;

const int MAX_ITERATION_NUM = 10000000; const double EPSILON = 0.0001;

bool setCentralValueLeft(state_iterator arg) {

State& next = *arg; State& curr = *++arg; curr.value = next.value; return true;

};

recount_func generator(double , double ta , double h)

{

double k = a * tau / (h * h); double denom = 1 / (1 + 2 * k); double b = k * denom;

return[b, denom](state_iterator arg )->bool

State& next = *arg; State& curr = *++arg; State& prev = *++arg;

curr.prev_value = curr.value;

curr.value = b * (next.value * (1 + 1 / (2 * curr.num)) + prev.value * (1 - 1 / (2 curr.num))) + denom * curr.prev_iter_value;

return std::abs(curr.value - curr.prev_value) < EPSILON;

};

};

*

recount_func generatorIdealContact(double a1, double a2, double tai, double lambda], double

lambda2, double h1, double h2)

{

double k1 = a1 * tau / (h1 * h1);

double k2 = a2 * tau / (h2 * h2);

double t1 = = lambda1 / h1;

double t2 = = lambda2 / h2;

double b1 = t1 / k1;

double b2 = t2 / k2;

return[k1, k2, b1, b2, t1, t2](state_iterator ar )->bool

{

State& next = *arg; State& curr = *++arg; State& prev = *++arg;

curr.prev_value = curr.value;

double i2plus = 1 + 1 / (2 * curr.num); double i2minus = 1 - 1 / (2 * curr.num);

double denom = b1 * (1 + 2 * k1) / i2plus + b2 * (1 + 2 * k2) / i2minus;

double numer = t2 * next.value * (1 + i2plus / i2minus) + curr.prev_iter_value * (b2 / i2minus + b1 / i2plus) + t1 * prev.value * (1 + i2minus / i2plus);

curr.value = numer / denom;

return std::abs(curr.value - curr.prev_value) < EPSILON;

};

recount_func generatorBoundaryLeft(double 1, double lamb , double , double ta , double viewfactor)

double k = a * tau / (h * h); double denom = 1 / (1 + 2 * k); double b = k * denom;

double t = 2 * sigma * viewfactor * h / lambda;

return[b, t, denom](state_iterator ar )->bool

{

State& next = *arg; State& curr = *++arg; State& prev = *++arg;

curr.prev_value = curr.value;

double temp = t * (std::pow(next.value, 4) - std::pow(curr.value, 4)) + prev.value; curr.value = b * (temp * (1 + 1 / (2 * curr.num)) + prev.value * (1 - 1 / (2 * curr.num))) + denom * curr.prev_iter_value;

return (std::abs(curr.value - curr.prev_value) < EPSILON);

};

};

recount_func generatorBoundaryRight(double h, double lambda, double , double ta , double factc )

{

double k = a * tau / (h * h);

double denom = 1 / (l + 2 * k);

double b = k * denom;

double t = 2 * sigma * factor * h / lambda;

return[b, t, denom](state_iterator ar )->bool

{

State& next = *arg; State& curr = *++arg; State& prev = *++arg;

curr.prev_value = curr.value;

double temp = t * (std::pow(prev.value, 4) - std::pow(curr.value, 4)) + next.value; curr.value = b * (next.value * (1 + 1 / (2 * curr.num)) + temp * (1 - 1 / (2 * curr.num))) + denom * curr.prev_iter_value;

return std::abs(curr.value - curr.prev_value) < EPSILON;

};

};

bool reset(state_iterator it)

{

auto temp = *it;

it->prev_iter_value = t->value; return true;

};

bool empty(state_iterator i1)

{

return true;

};

Space& start(Space& space, std::string filename)

{

std::ifstream stream(filename);

if (stream.is_open())

{

CSVIterator csviterator(stream); space = Space(csviterator.size());

for (auto it = space.begin(); (it != space.end()) && csviterator.hasNext(); ++it,

++csviterator)

{

it->l oad(csviterator->cb egin());

};

stream.close();

}

else

{

throw;

};

return space;

void pause(const Space& space, std::string filename)

{

std::ofstream stream(filename); std::stringstream sstream;

for (auto it = space.cbegin(); it != space.cend(); ++it) {

it->save(stream);

};

stream << "\n"; stream.close();

};

int main()

{

Space space;

start(space, MExample8.txtM); Stack stack;

stack.push(1, -1, setCentralValueLeft);

stack.push(L5 - 1, -1, generator(a5, tau, h));

stack.push(1, -1, generatorIdealContact(a5, a4, tau, lambda5, lambda4, h, h));

stack.push(L4 - 1, -1, generator(a4, tau, h));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryLeft(h, lambda4, a4, tau, 1));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryRight(h, lambda3, a3, tau, 1));

stack.push(L3 - 2, -1, generator(a3, tau, h));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryLeft(h, lambda3, a3, tau, 1));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryRight(h, lambda2, a2, tau, 1));

stack.push(L2 - 2, -1, generator(a2, tau, h));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryLeft(h, lambda2, a2, tau, 1));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryRight(h, lambda1, a1, tau, 1));

stack.push(L1 - 2, -1, generator(a1, tau, h));

stack.push(1, -1, generatorBoundaryLeft(h, lambda1, a1, tau, 1));

stack.push(1, 0, empty);

Stack reset_stack;

reset_stack.push(space.size(), 0, reset); auto size = stack.total_size();

stack.set_reverse_range(space.rbegin(), space.rend()); reset_stack.set_range(space.rbegin(), space.rend());

//Полное моделирование

auto func = [&stack, &reset_stack]()

{

double current_time = 0;

while (current_time < time_end)

{

int current_iteration_num = 0; bool done = false;

while (!done)

{

done = stack.reverse_recount_until(false);

};

reset_stack.recount_until(false);

std::cout << "Current time: " << current_time << '\n';

current_time += tau;

};

};

TimeTest<> time_test;

TimeTest<>::rep executuion_duration = time_test.execute(func);

std::cout << executuion_duration.count();

char ch; std::cin >> ch;

pause(space, "Example81.txt");

//----------------------------//

//----------------------------//

return 0;

};

Layer.h

#ifndef LAYER_H #define LAYER_H

#include <functional>

namespace core{

template<typename Iterator_Ty>

class Layer /*: public BaseLayer<typename Iterator_Ty::value_type>*/{ public:

typedef Iterator_Ty state_iterator;

typedef std::function<bool(state_iterator)> recount_func;

Layer(int off , recount_func func)

: m_offset( offset), m_recount_func( unc)

{};

Layer(Layer&& rhs) :

m_begin(std::move( hs.m_begin)), m_end(std::move( hs.m_end)), m_offset(std::move( hs.m_offset)), m_recount_func(std::move( "hs.m_recount_func))

{};

void set_range(state_iterator begi , state_iterator en()

std::swap(m_begin, begi ); std::swap(m_end, enc); std::advance(m_begin, m_offset); std::advance(m_end, m_offset);

};

bool recount()

{

bool result = true;

for (state_iterator it = m_begin; it != m_end; ++it) {

bool testl = m_recount_func(it); result = result && testl;

};

return result;

};

private:

Layer() = delete;

Layer& operator= (const Layer& rhs) = delete;

state_iterator m_begin; state_iterator m_end; int m_offset;

recount_func m_recount_func;

};

};

#endif /* LAYER H */

Stack.h

#ifndef STACK_H #define STACK_H

#include <vector>

namespace core

{

template<typename Val_Ty>

class Stack{

public:

typedef Val_Ty value_type;

typedef typename Val_Ty::state_iterator state_iterator; typedef typename state_iterator: :value_type state_type; typedef typename Val_Ty::recount_func recount_func;

Stack(){};

void set_range(state_iterator begi , state_iterator en( )

{

state_iterator begin_local = begi ; state_iterator end_local = begii ;

for (auto it = m_container.begin(); it != m_container.end(); ++it) {

std::advance(end_local, it->first); it->second. set_range(begin_local, end_local); std::advance(begin_local, it->first);

};

};

void set_reverse_range(state_iterator begin, state_iterator en )

{

state_iterator begin_local = begi ; state_iterator end_local = begii ;

for (auto it = m_container.rbegin(); it != m_container.rend(); ++it) {

std::advance(end_local, it->first); it->second. set_range(begin_local, end_local); std::advance(begin_local, it->first);

};

};

bool recount_until(const bool& condition)

{

bool result = true;

//while (!condition)

{

for (auto it = m_container.begin(); it != m_container.end(); ++it) {

result = it->second.recount() && result;

};

};

return result;

};

bool reverse_recount_until(const bool& ;onditioi)

{

bool result = true;

//while (!condition)

{

for (auto it = m_container.rbegin(); it != m_container.rend(); ++it) {

result = it->second.recount() && result;

};

};

return result;

};