Анализ нелинейных искажений и способы их уменьшения во входных усилителях радиоприемных устройств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Уткин, Артем Михайлович

• Уткин, Артем Михайлович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Уткин, Артем Михайлович

Оглавление

Список используемых сокращений

Введение

Глава 1. Применение функциональных рядов Вольтерры во временном анализе

1.1. Определение ядер Вольтерры с помощью фильтра Вольтерры

1.2. Определение ядер Вольтерры с помощью воздействия на нелинейную систему 8 - импульсов

1.3. Определение отклика нелинейной системы с помощью применения теоремы о вычетах

1.4. Представление изображений ядер Вольтерры в виде отношения двух полиномов

1.5. Виды сингулярности изображений ядер Вольтерры

Выводы

Глава 2. Методика нахождения оригиналов ядер Вольтерры

2.1. Базовая методика

2.2. Порядок сложностиN=1

2.3. Структура оригиналов ядер Вольтерры

2.4. Порядок сложности N > 1

2.5. Методика нахождения вычетов ядер Вольтерры

Выводы

Глава 3. Практический расчет выходного отклика нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерры

3.1. Пример широкополосного усилителя на полевом транзисторе

3.2. Пример СВЧ усилителя на полевом транзисторе

Выводы

Глава 4. Анализ и оптимизация многокаскадных усилительных структур

4.1. Нелинейные искажения 2-го и 3-го порядков в многокаскадных нелинейных структурах

4.2. Нелинейные искажения высших порядков

Выводы

Заключение

Приложение 1

Библиографический список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ нелинейных искажений и способы их уменьшения во входных усилителях радиоприемных устройств»

Введение

Диссертационная работа посвящена развитию методов анализа нелинейных искажений в радиоприемных устройствах, разработке анализа нелинейных систем во временной области на основе аппарата функциональных рядов Вольтерры, а так же методам компенсации нелинейных искажений в многокаскадных усилителях.

Актуальность темы

Исследование и оптимизация нелинейных структур всегда являлись актуальной задачей радиоэлектроники. В настоящее время предложено множество методов, позволяющих проектировать радиоэлектронные устройства с заданными параметрами допустимой нелинейности. Однако разработчики сталкиваются все с более жесткими требованиями к допустимым параметрам нелинейности.

При исследовании нелинейных явлений в радиоэлектронных устройствах наибольшей популярностью пользуются метод гармонического баланса и метод функциональных рядов Вольтерры.

Метод гармонического баланса является незаменимым при анализе существенно нелинейных процессов, в частности, процессов в радиопередающих устройствах. Наряду с этим представляет интерес анализ малых нелинейных искажений, так как требования к линейности радиоэлектронных устройств все время повышаются. Как известно, характеристики электромагнитной совместимости (ЭМС) также определяются при малых уровнях нелинейных искажений сигналов. Расчет малых нелинейных искажений методом гармонического баланса часто приводит к некорректным результатам. Слабо нелинейные процессы целесообразнее моделировать с помощью функциональных рядов Вольтерры.

К тому же ряды Вольтерры позволяют глубже проникнуть в суть явлений, происходящих в нелинейной схеме.

В подавляющем большинстве случаев функциональные ряды Вольтерры применяются для расчетов в частотной области, причем применение этого метода ограничивается либо небольшим уровнем входного воздействия, либо слабой нелинейностью самого устройства, для которого параметры модели можно аппроксимировать полиномами третьей степени. Например, в широко известном пакете Microwave Office реализовано моделирование с помощью рядов Вольтерры до 3-го порядка нелинейности. Однако анализ в частотной области выполняется эффективно, если число учитываемых спектральных составляющих сравнительно небольшое.

В случае моделирования систем при широкополосном входном воздействии целесообразнее пользоваться временными методами анализа. В подавляющем числе публикаций применение метода функциональных рядов Вольтерры во временной области ограничивается задачами идентификации параметров неизвестной системы. В то же время применение рядов Вольтерры во временной области для расчета нелинейного отклика системы с известными параметрами не достаточно изучено.

Обычно при проектировании радиоприемных и радиопередающих устройств разработчики вынуждены использовать многокаскадные усилители. При этом без принятия определенных мер достигнуть приемлемых параметров нелинейности оказывается затруднительным. В то же время, исследование фазовых соотношений между компонентами многокаскадной структуры позволяет выработать определенные рекомендации, позволяющие снизить нелинейные искажения в проектируемом устройстве.

Таким образом, практическая потребность в решении перечисленных задач определяет актуальность тематики данной диссертации.

Целью работы является:

Разработка математического аппарата для анализа нелинейных систем во временной области на основе функциональных рядов Вольтерры, а так же исследование нелинейных процессов, происходящих в многокаскадных усилительных структурах.

Основные задачи диссертации вытекают непосредственно из ее целей:

1. Оценка возможностей аппарата функциональных рядов Вольтерры для исследования нелинейных процессов во временной области.

2. Развитие математических методов для нахождения многомерных функций, описывающих оригиналы ядер Вольтерры, при известных изображениях ядер Вольтерры.

3. Выявление математической структуры оригиналов ядер Вольтерры.

4. Разработка методики моделирования нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерры во временной области.

5. Исследование нелинейных процессов, происходящих в многокаскадных усилительных структурах.

6. Развитие методов компенсации нелинейных искажений в многокаскадных усилительных структурах.

Методы исследования

В диссертационной работе были использованы методы теории электрических цепей и сигналов, методы линейной алгебры, элементы функционального анализа, метод функциональных рядов Вольтерры, метод гармонического баланса, методы компьютерного моделирования, методы теории функции комплексных переменных.

Научная новизна

1. Исследована форма сингулярностей изображений ядер Вольтерры. Доказано, что при расчете выходного отклика, неучет сингулярностей изображений ядер Вольтерры ведет к потере информации о переходных процессах в системе.

2. Доказано, что оригиналы ядер Вольтерры представляют собой суперпозицию экспоненциальных функций, в показателях которых представлены линейные комбинации полюсов линеаризованной системы.

3. Разработана методика, позволяющая находить оригиналы ядер Вольтерры с помощью составления системы линейных алгебраических уравнений.

4. Исследованы фазовые соотношения нелинейных составляющих в многокаскадных усилительных структурах. На основе данных исследований предложены методы компенсации нелинейных искажений различных порядков нелинейности.

Достоверность

Достоверность полученных результатов определяется корректным применением современных математических методов и моделей, соответствием выводов с известными фундаментальными теоретическими представлениями, а так же совпадением результатов моделирования с независимыми программными продуктами.

Личный вклад

Личный вклад автора определяется проведением теоретических и экспериментальных исследований, а так же интерпретацией и апробацией полученных результатов.

Практическая ценность

Результаты диссертации могут быть использованы при разработке электронных устройств, а так же их моделировании во временной области.

С помощью разработанной методики нахождения оригиналов ядер Вольтерры становится возможным анализировать нелинейные продукты различных порядков независимо друг от друга, что позволяет глубже понять суть нелинейных процессов, происходящих в системе. Расчет оригиналов ядер Вольтерры хорошо поддается алгоритмизации, что может быть использовано при разработке программных продуктов для моделирования электронных систем.

Также предложены схемы включения звеньев многокаскадных усилителей для компенсации нелинейных искажений четного и/или нечетного порядка.

Состояние исследуемой проблемы.

Метод анализа на основе рядов Вольтерры является одним из самых старых методов нелинейного анализа схем, предложенным ещё в 60-х годах. Он был разработан как метод анализа систем уравнений Норбертом Вейнером (Norbert Weiner), который использовал работу итальянского математика Вито Вольтерра (Vito Volterra), чтобы получить входные и выходные соотношения для компонентов нелинейных систем уравнений. Вейнер показал, что так называемый функциональный ряд Вольтерры может быть использован для описания таких систем, пока нелинейность в них не проявлялась слишком сильно [2].

Необходимым условием для того, чтобы можно было считать, что схема имеет несущественную нелинейность, является возможность аппроксимации всех нелинейных характеристик степенными полиномами с числом степеней не более трех. Такая аппроксимация позволяет

анализировать все основные нелинейные эффекты, такие как сжатие амплитудной характеристики, блокирование, интермодуляция и т.д.

Самым большим недостатком метода анализа на основе рядов Вольтерры являются происходящие время от времени затруднения в решении в случае, когда было превышено требование на малую нелинейность. Есть несколько характерных признаков, по которым можно определить, что начальные условия вышли за рамки допустимых. Например, при увеличении сигнала интермодуляционные составляющие не входят в насыщение, а продукты преобразования на фундаментальных частотах насыщаются слабо [2].

На современном этапе развития вычислительной техники становится возможным использовать аппарат функциональных рядов Вольтерры с учетом ядер Вольтерры порядка п > 3 [3]. Это дает заметный выигрыш в точности при исследовании нелинейных эффектов. Однако по-прежнему актуально условие на малую нелинейность.

При расчете с помощью метода на основе аппарата функциональных рядов Вольтерры анализ практически всегда происходит в частотной области. Однако частотный анализ схем удобно осуществляется, если число тонов входного воздействия сравнительно небольшое. В случае входного сигнала, не представимого суммой нескольких гармоник, рассмотрение лучше проводить во временной области. При этом основным инструментом для исследования становится аппарат разностных уравнений, используемый для дискретизации компонентных уравнений реактивных элементов. Возможности применения функциональных рядов Вольтерры для анализа нелинейных систем во временной области изучены не достаточно.

Краткое содержание работы.

В первой главе диссертации рассматриваются существующие методы временного анализа на основе функциональных рядов Вольтерры. Отмечается, что под анализом нелинейной системы на основе функциональных рядов Вольтерры могут подразумеваться две различные задачи:

• задача идентификации неизвестных параметров системы путем анализа выходного отклика;

• задача определения выходного отклика для системы с известной структурой и параметрами.

В качестве иллюстрации к первой категории задач рассмотрены основные идеи метода определения ядер Вольтерры на основе перестраиваемого фильтра Вольтерры.

Далее в главе описывается метод определения ядер Вольтерры с помощью воздействия на систему 5 - импульсов. Данный метод основан на фильтрующих свойствах 8 - функции, вследствие чего я-мерные свертки в выражении выходного отклика системы переходят в ядра Вольтерры. Так как метод предполагает анализ выходного воздействия, его так же, как и анализ на основе фильтра Вольтерры, можно отнести к первой категории задач.

Определение отклика нелинейной системы с известными параметрами (вторая категория задач) в настоящее время решается преимущественно в частотной области. Показано, что известная формула для нахождения нелинейного отклика п-то порядка нелинейной системы во временной области

У°Ч»=~± +-~± Ч-Л,хК(±М-1,->±УЧ„)■ .

2 /1=1 т=1

получена без учета сингулярностей изображения ядра Вольтерры К{±]а>1\,...,±](о1п). В главе показывается, что неучет полюсов изображений ядер Вольтерры ведет к потере информации о переходных процессах.

Естественно предположить, что нахождение оригиналов ядер Вольтерры возможно с помощью применения теоремы о вычетах к изображению ядер Вольтерры. Однако для этого необходимо иметь аналитическую форму записи для изображений ядер Вольтерры. В главе выводится общая аналитическая формула для изображения ядра Вольтерры п-то порядка. Из полученной формулы видно, что аналитичность изображений ядер Вольтерры нарушается не только в точках, но и на бесконечных линиях для изображений ядер 2-го порядка, гиперплоскостях для изображений ядер 3-го порядка. Поэтому для применения теоремы о вычетах изображения ядер Вольтерры нуждаются в некотором преобразовании.

Во второй главе диссертации рассматриваются преобразования для изображений ядер Вольтерры, которые позволяют применить теорему о вычетах. Основная идея таких преобразований сводится к замене переменной с целью получить -многомерные функции с отсутствием сингулярностей, которые невозможно ограничить замкнутым контуром. Приводятся таблицы взаимных преобразований Лапласа для фрагментов ядер Вольтерры 2-го и 3-го порядка.

Далее в главе рассматриваются вопросы применения полученных таблиц для схем различного порядка сложности. Показывается, что изображения ядер Вольтерры должны быть разложены на простые дроби.

Далее рассматривается физический смысл а-функций, встречающихся во всех оригиналах ядер Вольтерры. Показывается, что наличие сг-функций обусловлено требованием физической реализуемости системы, то есть

к(т\,...,тп) -> 0 при Г/—>оо при 1 = \...п.

Показано, что оригиналы ядер Вольтерры целесообразно находить при определенных временных соотношениях. Например, оригинал ядра Вольтерры п-го порядка к(ц,Т2,...,т}1) может быть найден при временном соотношении вида ^ >г2 >...>тп. При этом, благодаря свойству симметричности ядер Вольтерры, оригинал ядра Вольтерры к(т1,т2,..~,тп) может быть найден при любых других временных соотношениях.

В главе показывается, что, применяя теорему о вычетах к изображениям ядер Вольтерры, имеющим сингулярности в виде бесконечных прямых и плоскостей, будут получены оригиналы ядер Вольтерры при определенных временных соотношениях. Вид временных соотношений будет зависеть от порядка интегрирования.

Выводится общий вид для оригинала ядра Вольтерры. В главе показывается, что оригинал ядра Вольтерры имеет вид

к(ц, т2,..., т„) = £ геэ [ /ф, I, /, • • )] ехрО, ¿т}) ехр(£2/г2 ). • • ехр (зп1т„ ),

г

где представляют собой суперпозицию полюсов линеаризованной системы.

Показывается, что для нахождения оригиналов ядер Вольтерры достаточно знать значения вычетов изображений ядер Вольтерры при аргументах, равных суперпозиции полюсов линеаризованной системы. В главе так же описывается вид и число таких суперпозиций

На основе полученных результатов в главе приведена общая методика нахождения оригиналов ядер Вольтерры.

В третьей главе рассмотрены примеры тестовых расчетов, которые выполнены по методике, изложенной во второй главе. Сначала рассматривается широкополосный транзисторный усилитель. Система имеет

порядок сложности N = 3. Полюсы ядра первого порядка, приведенные к не"1: а.1 ~-9.738е-6, а.2 ~ -1.972, а3~-0.02502. Различие между полюсами в несколько порядков свидетельствует о том, что переходные процессы на различных участках схемы протекают с существенно разными скоростями. Однако, в отличие от метода временного анализа с численным интегрированием дифференциальных уравнений, предлагаемый подход на основе рядов Вольтерры не сталкивается с какими-либо затруднениями.

Изучалось поведение системы при входном воздействии в форме видеоимпульса длительностью 200 не и радиоимпульса длительностью 100 не с частотой заполнения 20 МГц.

Другая серия расчетов относится к СВЧ-усилителю на полевом

транзисторе с порядком сложности схемы N=11. Вычисленные полюсы

_1 *

рассматриваемой системы, приведенные к не , равны: а\ = а2 = -2.15+]24, аз = а4*= -2.33 + /25.1, а5 = а^ - -2.37+ ]19.8, а7 = а/ = -2.79+] 17.5, 0.9 = -10.6, (¿¡о = -20.8, ац = -444. Видно, что 8 из 11 полюсов имеют комплексно-сопряженные значения.

Анализ схемы выполнен при подаче на вход видеоимпульса с амплитудой 500 мА и длительностью 5 не и радиоимпульса с амплитудой 300 мА, длительностью 5 не, частотой заполнения 2 ГГц. В ходе анализа были построены нелинейные составляющие отклика 2-го и 3-го порядков.

В четвертой главе развиваются идеи, которые могут быть применены при проектировании линеаризованных многокаскадных усилителей.

При оптимизации усилительных структур с компенсацией нежелательных спектральных составляющих, целесообразно представить нелинейные характеристики каждого из каскадов усилителя в виде степенного ряда

что позволяет наглядно и достаточно полно рассмотреть основные закономерности нелинейного взаимодействия.

Показывается, что возможность компенсации на выходе тех или иных продуктов нелинейности определяется соотношением знаков и величин коэффициентов К, У, 6"'. Для обычных режимов работы входных усилителей характерно знакочередование коэффициентов, причем У < О (Б" = Различным схемам включения усилителей на полевых транзисторах соответствуют следующие сочетания знаков коэффициентов:

схема с общим истоком (ОИ) - 116Ых —\К\(ивх -^'К),

схема с общим затвором (03) - ивых =Щ{ивх ~\5р2„ -

схема с общим стоком (ОС) - 11вых = \к\{ивх

Для биполярных транзисторов это соответствует включению по схеме с общим эмиттером (ОЭ), общей базой (ОБ) или общим коллектором (ОК).

Показано, что условие для компенсации нелинейных искажений 2-го порядка можно рассматривать как ограничение на коэффициент усиления предпоследнего каскада. При этом между предпоследним и последним каскадами должно произойти инвертирование фазы сигнала. Предшествующие им п-2 каскада могут иметь произвольные схемы включения. Аналогично выведено условие для компенсации нелинейных составляющих 3-го порядка. Также показано, что при этом между двумя последними каскадами не должно быть инвертирования фазы.

Далее в главе рассматривается трехкаскадный усилитель. С целью создания благоприятных условий для компенсации нелинейных искажений 3-го порядка в структуре ОИ - ОИ - ОИ, для нейтрализации инвертирования в

самих каскадах необходимо ввести дополнительное межкаскадное инвертирование фазы. В соответствии с вышесказанным возможны следующие варианты включения: ОИ - ОИ - п - ОИ или ОИ - л - ОИ -ж - ОИ. Теоретически доказано, что дополнительное инвертирование фазы между первым и вторым каскадами благоприятно сказывается на компенсации нелинейных искажений 3-го порядка.

Проведенные исследования показали, что при полной компенсации интермодуляции 3-го порядка также снижаются другие интермодуляционные составляющие нечетного порядка. Однако при этом возрастают нелинейные искажения всех четных порядков.

Проведен анализ схемы для одновременного подавления нелинейных искажений 2-го и 3-го порядков с распараллеливанием двух последних каскадов. Структура схемы похожа на балансное включение, но должен быть предусмотрен механизм, обеспечивающий неравномерную подачу сигнала для каждого плеча.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты.

Основными положениями, выносимыми на защиту, являются:

1. Анализ формы сингулярностей изображений ядер Вольтерры.

2. Методика, позволяющая находить оригиналы ядер Вольтерры с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Результаты моделирования нелинейных электронных схем с помощью разработанной методики при широкополосном входном воздействии.

4. Методы компенсации нелинейных искажений в многокаскадных усилительных структурах, основанные на учете фазовых соотношений нелинейных составляющих в каскадах.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы были представлены в виде докладов и обсуждались на: XVI, XVII, XVIII, XIX Международных научно-технических конференциях «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, 2010, 2011, 2012, 2013; IX, X Международных технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов», г. Челябинск, 2010, г. Самара, 2011, соответственно; научных сессиях Воронежского государственного университета, г. Воронеж, 2007, 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ [34, 43 - 45, 55 - 57, 108 - 110], работы [34, 44, 45, 109] опубликованы в периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикаций основных результатов диссертаций, остальные работы - в сборниках трудов конференций.

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 110 наименований. Объем диссертации составляет 118 страниц, включая 30 иллюстраций и 7 таблиц.

Глава 1. Применение функциональных рядов Вольтерры во временном анализе

Отклик нелинейной системы в виде функционального ряда Вольтерры представляется в виде [1, 15]

00 СО 00

};(0 = Уо+ | к(т\)х({ - т\)с1т\ + | | к(ц,т2)х(1 - т^х^ - т2)с1т\с1т2 + ...

—СО —00 —00 ,. .

00 00

+ I ... \к{тъ..., тп- Г])...х(/ — тпАтп,

—00 —00

где к(т[,...,тп) - ядро Вольтерры п-го порядка,

х(7) - входное воздействие.

Под анализом нелинейной системы на основе функциональных рядов Вольтерры могут подразумеваться две разные задачи:

1. Задача идентификации нелинейной системы. Этот род задач подразумевает представление системы в виде неизвестной структуры -так называемого «черного ящика». При этом задача сводится к определению структуры системы на основе отклика при известном входном воздействии. В контексте выражения (1) предполагается, что объектом исследования являются ядра Вольтерры к{т\,...,тп).

2. Задача определения отклика нелинейной системы при известной структуре. В этой задаче предполагается, что ядра Вольтерры известны или могут быть определены на основе знаний о структуре нелинейной системы. После подстановки ядер Вольтерры в выражение (1) находится отклик нелинейной системы.

Далее в главе рассматриваются различные известные варианты временного анализа нелинейных систем на основе функциональных рядов Вольтерры.

1.1. Определение ядер Вольтерры с помощью фильтра Вольтерры

Этот подход предполагает использование адаптивного фильтра, в котором настраиваемыми параметрами являются ядра Вольтерры. На практике этот метод используется для нахождения ядер Вольтерры в дискретной области.

Рис. 1.1. иллюстрирует данный подход нахождения ядер Вольтерры. На вход фильтра Вольтерры поступают отсчеты хк. Эти же отсчеты поступают на исследуемую (эталонную) нелинейную систему. Далее отсчеты с выхода фильтра Вольтерры инвертируются и складываются с отсчетами на выходе исследуемой системы, образуя сигнал ошибки ек. Задача сводится к оценке параметров фильтра, которые минимизируют сигнал ошибки ек. Для этого чаще всего применяются адаптивные алгоритмы ЬМБ или ЫЬ8 [16 - 21]. Так как перестраиваемыми параметрами фильтра являются ядра Вольтерры, минимизация ошибки ек позволяет оценить ядра Вольтерры неизвестной нелинейной системы.

Следует заметить, что определение ядер Вольтерры с помощью фильтра Вольтерры позволяет только оценить ядра Вольтерры, что может быть полезным в задачах идентификации неизвестных систем. Однако для точного определения ядер Вольтерры требуются другие подходы.

1.2. Определение ядер Вольтерры с помощью воздействия на

нелинейную систему 3- импульсов

Данный метод основан на фильтрующих свойствах 8 - функций [22], вследствие чего «-мерные свертки в выражении (1) переходят в ядра Вольтерры.

Поскольку 8 - функция - это математическая абстракция, при практической реализации данного метода необходимо пользоваться различными вариантами аппроксимации 8 - функции, например

е а2

Предположим, что на вход системы подается сигнал

х(0 = (1.2)

причем множитель Е{ выбирается из условия, чтобы система работала в линейном режиме. В этом случае для расчета выходного сигнала слагаемые выше первого порядка в выражении (1) можно не учитывать. Запишем выходной сигнал системы при воздействии (1.2)

00

Щ(0 = Уо + | -8^-Ц -Т\)с1ц = _у0 + (1.3)

=00

Делая замену t -»t - Ц и выражая ядро Вольтерры 1-го порядка, получаем

k(t>MLzlihM, (1.4)

Е\

Для нахождения ядра Вольтерры 2-го порядка нелинейная система подвергается аналогичному входному воздействию, но с большей амплитудой сигнала

x(t) = E2-8(t-tl) + E2- 8(t -t2), (1.5)

Рис. 1.1. Адаптивный фильтр Вольтерры

где множитель Е2 выбирается из условия, чтобы система работала в нелинейном режиме 2-го порядка. Не приводя подробных математических выкладок, запишем выходной сигнал при воздействии (1.5)

u2(t) = yo+E2.[k{t-tx) + k{t-t2)} +

, (1-6) + Е2 ■ [k{t - tht - tY) + 2 • k(t - ц,t -12) + k{t - t2,t -12)\

Выражение (1.6) включает в себя ядра 1-го порядка (1.4), а также ядра 2-го порядка k(t - ,t - Ц), k{t -t2,t - /2) > k{t-tbt-t2). Ядра 2-го порядка с симметричными аргументами могут быть найдены при входном воздействии

*(0 = Я2,Г ¿С-*,-), * = (1.7)

В этом случае отклик системы равен

«2,i = Уо + Е2,\ • К* - U) + Е2;f • k{t - tht- tf% / = 1,2. (1.8)

Таким образом, выражения (1.6) и (1.8) образуют систему уравнений для нахождения ядра 2-го порядка k{t~t2,t-t2)

«2(0 = .Уо + е2 • [Kt-Ц) + к{1-12)] +

+ Е2 ■[k(t-tlJ-tx) + 2-k(t-tht-t2) + k(t-t2,t-t2)},

<

M2,i = Уо + e2,i • Kt ~h) + e2,[2 -kit-hJ-h)> «2,2 = Уо + E2,\ • К* ~ h) + E2,\ ' K* ~ h>■* ~ h\

Аналогичным образом при подаче на вход нелинейной системы серии

8 - импульсов x(t) = ^En ■ S(t-tj) можно находить ядра Вольтерры 3-го и

/

более высоких порядков.

Следует отметить, что при практической реализации рассмотренной методики возникает ряд трудностей. При нахождении отклика нелинейной системы ип приходится решать обыкновенные дифференциальные

уравнения, которые плохо справляются с такой абстракцией, как д - функция. При численном интегрировании, как отмечалось ранее, 5 - функцию можно аппроксимировать в виде импульса с реальными временными характеристиками, но качество получаемого решения сильно зависит от шага интегрирования. Приемлемое решение удается получить для несложных нелинейных систем. В целом попытка применения данного метода оказалось неудачной и здесь подробно не рассматривается.

1.3. Определение отклика нелинейной системы с помощью применения теоремы о вычетах

Ряды Вольтерры применяются преимущественно при исследовании нелинейных схем в частотной области, так как при этом связь между изображением п-й составляющей отклика У(р\,...,рп) и изображением

входного воздействия Х(р) носит алгебраический характер

где К(р\,...,рп) - ядро Вольтерры п-го порядка в частотной области.

Если входное воздействие представить в виде суммы гармонических колебаний

то выражение для п-й составляющей отклика во временной области имеет

У{Р\ > • Рп) = К(Р\ ■■■■•> Рп) ■ Х(Р\)' -■■• • х(Рп)'

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Уткин, Артем Михайлович, 2013 год

Библиографический список использованной литературы

1. S. Maas. Nonlinear Microwave and RF Circuits. Second Edition / Stephen A. Maas. - Boston-London: Artech House, 2003. - 582 p.

2. Maas S. What you need to know about Volterra-series analysis / S. Maas // Applied Wave Research Grand Ave., California, USA - 1999. - 7 p.

3. Бобрешов A.M. Применение рядов Вольтерры для анализа нелинейных схем при учете ядер высших порядков / A.M. Бобрешов, Д.В. Глущенко, Н.Н. Мымрикова // Сборник докладов XIV научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь» Т.2, Воронеж, 2008. с. 1354- 1361.

4. Wang Т. Volterra-mapping-based behavioral modeling of nonlinear circuits and systems for high frequencies / T. Wang, T.J. Brazil // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 2003. - Vol. 51, №5. - p. 14331440.

5. Lucia D.J. Reduced-order modeling: new approaches for computational physics / D.J.Lucia, P.S. Beran, W.A. Silva // Progress in Aerospace Sciences. - 2004. - Vol. 40, № 1-2.-p. 51-117.

6. Ewen E. Identification of weakly nonlinear systems using input and output measurements / E. Ewen, D.D. Weiner // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1980. - Vol 27, №12. - p. 1255 - 1261.

7. Hung G. The Kernel Identification method: Review of theory calculation, application, and interpretation / G. Hung, L. Stark // Mathematical Biosciences. - 1977. - Vol. 37, № 3-4. -p. 135-190.

8. Hassouna S. Continuous nonlinear system identification using Volterra series expansion / S. Hassouna, P. Coirault, R. Ouvrard // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Vol. 6. - P. 4874-4879.

9. Boyd S. Measuring Volterra kernels / S. Boyd, Y. Tang, L.O. Chua. // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1983. - Vol. 30, №8. - P. 571-577.

10. Schetzen M. Measurement of the Kernels of a Non-linear System of Finite Order / M. Schetzen // International Journal of Control. - 1965. - Vol. 1, №3. -P. 251-263.

11. Nemeth J.G. Identification of Volterra kernels using interpolation / J.G. Nemeth, I. Kollar, J. Schoukens // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. - 2002. - Vol 51, №4. - P. 770-775.

12. Mathews V.J. Orthogonalization of correlated Gaussian signals for Volterra system identification / V.J. Mathews // IEEE Signal Processing Letters. -1995.-Vol. 2, №10.-P. 188-190.

13. Zorlu H. Comparison for Volterra System Identification / H. Zorlu, S. Ozer, S. Sagiroglu // 3. Int. Conf. on Electrical and Electronics Engineering. - 2003. -Vol. Electronic, P. 166-170.

14. Wray J. Calculation of the Volterra kernels of non-linear dynamic systems using an artificial neural network / J. Wray, G.G.R. Green // Biological Cybernetics. - 1994. - Vol. 71, №3. - P. 187-195.

15. Богданович Б.М. Нелинейные искажения в приемно-усилительных устройствах / Б.М. Богданович . - М.: Связь, 1980. - 280 с.

16. Griffith, D.W. Partially decoupled Volterra filters: formulation and LMS adaptation / D.W. Griffith // IEEE Transactions on Signal Processing. - 1997. - Vol. 45, №6. - P. 1485 - 1494.

17. Li Tan. Adaptive Volterra filters for active control of nonlinear noise processes / Tan Li, Jean Jiang // IEEE Transactions on Signal Processing. -2001.-Vol. 49, №8.-P. 1667- 1676.

18. Ogun&nmi, T. Second-order adaptive Volterra system identification based on discrete nonlinear Wiener model / T. Ogunfunmi, S.-L. Chang // IEE Proceedings Vision, Image and Signal Processing. - 2001. Vol. 148, №1. - P. 21-29.

19. Griffith, D.W. A partially decoupled RLS algorithm for Volterra filters / Griffith D.W., Arce G.R. // IEEE Transactions on Signal Processing. - 1999. Vol. 47, №2.-P. 579-582.

20. Syed, M.A. QR-decomposition based algorithms for adaptive Volterra filtering / M.A. Syed, V.J. Mathews // IEEE Transactions on Circuits and Systems : Fundamental Theory and Applications. - 1993. Vol. 40, №6. - P. 372-382.

21. Zorlu, H. Identification of nonlinear Volterra systems using differential evolution algorithm / H. Zorlu, S. Ozer // National Conference on Electrical, Electronics and Computer Engineering (ELECO). - 2010. P. 630 - 633.

22. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Физматлит, 2004. - 335 с.

23. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. -М.: Лань, 2002. - 688 с.

24. S. Maas. Microwave Mixers / Stephen A. Maas . : Artech House. 1993. - 375

P-

25. Богданович Б.М. Радиоприёмные устройства с большим динамическим диапазоном / Б.М. Богданович . - М.: Радио и связь, 1984.-176 с.

26. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

27. Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999.-548 с.

28. Horn R.A. Matrix analysis: 2nd Ed. / R.A. Horn, C.R. Johnson. - Cambridge University Press, 2013. - 655 p.

29. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. - М.: Наука, 1979. - 320 с.

30. Чуа Л.О. Машинный анализ электронных схем. / Л.О. Чуа, Пен-Мин Лин. - М.: Энергия, 1980. - 640 с.

31. Шварц Н.З. Усилители СВЧ на полевых транзисторах / Шварц Н.З. М.: Радио и связь, 1987. - 200 с.

32. Разевиг В.Д. Проектирование СВЧ устройств с помощью Microwave Office. / В.Д. Разевиг, Ю.В. Потапов, А.А. Хурушин. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003.-429 С.

33. Sarkas I. Large and small signal distortion analysis using modified Volterra series / I. Sarkas, D. Mavridis, M. Papamichail, G. Papadopoulos // Analog Integrated Circuits and Signal Processing. - 2008. - Vol. 54, №2. - P.133-142

34. Бобрешов, A.M. Методы анализа нелинейных схем на основе функциональных рядов / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M. Уткин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы .— 2012 .— Т. 15, №3.-С. 51-58.

35. Steer М.В. Relationship of Volterra series and generalized power series / M.B. Steer, PJ. Khan, R.S. Tucker // Proc. IEEE. 1983. -N 12.-p. 1453-1454.

36. Heiskanen A. 5th order multi-tone Volterra simulator with component-level output / A. Heiskanen, T. Rahkonen // IEEE International Symposium on Circuits and Systems, 2002. - 2002. - Vol. 3. - P. 591-594.

37. Шварц Н.З. Линейные транзисторные усилители СВЧ / Н.З. Шварц. -М.: Сов. радио, 1980. - 368 с.

38. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир. 1988. - 410 с.

39. Mekwi W.R. Iterative methods for roots of polynomials. - Oxford University, 2001.-63 p.

40. Щербаков M.A. Алгоритм вычисления ядер Винера нелинейных систем в частотной области // Кибернетика и вычислительная техника: Респ. межвед. сб. науч. тр. Киев: Наукова думка, 1988. - Вып. 79. - С.51-58.

41. Worden, К. A Harmonic Probing Algorithm for the Multi-Input Volterra Series / K. Worden, G. Manson, G. R. Tomlinson // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - Vol. 201, №1. -P. 67-84.

42. Manthe A. Symbolic analysis of analog circuits with hard nonlinearity / A. Manthe, Z. Li, C.-J. R. Shi // Proceedings of the 40th annual Design Automation Conference. -2003. - P. 542-545.

43. Бобрешов, A.M. Применение рядов Вольтерры для анализа нелинейных схем во временной области / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M.

Уткин // Радиолокация, навигация и связь: XVI Междунар. научн.-техн. конф. - Воронеж, 2010. - Т.1. - С. 423-433.

44. Бобрешов, A.M. Моделирование нелинейных процессов на основе функциональных рядов Вольтерры во временной области / A.M. Бобрешов, IT.H. Мымрикова, A.M. Уткин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы .— 2010 .— Т.13, № 3. - С. 6471.

45. Бобрешов, A.M. Анализ нелинейных схем во временной области на основе, функциональных рядов Вольтерры / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M. Уткин // Радиотехника и электроника.— 2012.—Т. 57, №4.-С. 430-436.

46. Cripps S.C. Advanced techniques in RF power amplifier design / S.C. Cripps. - Boston-Loudon: Artech Hoise, 2002. - 320 P.

47. Yuan F. Efficient sampled-data simulation method for transient analysis of nonlinear circuits / F. Yuan // IEE Proceedings: Circuits, Devices and Systems.-2002.-Vol. 149, №2.-p. 105-111.

48. Dobes J. Efficient algorithm for solving systems of circuit differential-algebraic equations with reliable divergence suppression in DC and time domains / J.Dobes, A.Yadav, D. Cerny // 2011 IEEE 54th International Midwest Symposium on Circuits and Systems. - 2011. - p. 1-4.

49. Gambart-Ducros D. An efficient algorithm reduces computing time in solving a system of stiff ordinary differential equations / D. Gambart-Ducros, G. Maral // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1980. - Vol. 27, №9. -p. 747-755.

50. HSPICE User Guide: Simulation and Analusis. - Synopsys, 2008. - 984 p.

51. Разевиг В.Д. OrCad 9.2 / В.Д. Разевиг. - M.: СОЛОН-Р, 2003. - 528 С.

52. Kielkowski R.M. Inside SPICE. - 2nd Ed. - Mc Graw-Hill Inc, 1988. - 200 P-

53. Mayaram, K. Computer-aided circuit analysis tools for RFIC simulation: algorithms, features, and limitations / K. Mayaram, D.C. Lee, S. Moinian,

D.A. Rich, J. Roychowdhury // IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. - 2000. - Vol. 47, №4. - p. 274-285.

54. Aprille, T.J.Steady-state analysis of nonlinear circuits with periodic inputs / T.J.Aprille, Jr. Trick, N. Timothy // Proceedings of the IEEE. - 1972. - Vol 60, №1. -p. 108-114.

55. Бобрешов, A.M. Модификация метода рядов Вольтерры для анализа нелинейных систем в частотной и временной области / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M. Уткин // Радиолокация, навигация, связь: XVII Междунар. научн.-техн.конф. - Воронеж, 2011. -Т. 1. -С. 811-817.

56. Бобрешов, A.M. Применение нестационарных функциональных рядов для анализа существенно нелинейных электронных схем. / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M. Уткин // Физика и технические приложения волновых процессов: Материалы X Междунар. научн.-техн. конф.. - Самара, 2011.-С. 123-124.

57. Бобрешов, A.M. Моделирование нелинейных схем при совместном усилении гармонических сигналов существенно разных уровней / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова, A.M. Уткин // Радиолокация, навигация, связь: XVIII Междунар. научн.-техн.конф.- Воронеж, 2012. - Т.2. - С. 1384-1392.

58. Filicori F. Mathematical approaches to electron device modelling for nonlinear microwave circuit design: State of the art and present trends / F. Filicori, V.A. Monaco, G. Vannini // European Transactions onTelecommunications. - 1990. - Vol 1, №6. - p. 641-653.

59. Apartsyn A.S. On some class of Volterra integral equations of the first kind and their selfregularization. Abstract of Intern. Conf. "Ill- posed problems in natural sciences", Moscow, 1991. P. 11.

60. Apartsyn A.S. Mathematical modelling of the dynamic systems and objects with the help of the Volterra integral series. EPRI-SEI joint seminar, Beijing, China, 1991. P. 117-132.

61. Apartsyn A.S. On some identification method for nonlinear dynamic systems. ISEMA-92. Shenzhen, China, 1992. P. 288-292.

62. Opal A. Sampled data simulation of linear and nonlinear circuits / A. Opal // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. - 1996. - Vol. 15, №3. - p. 295-307.

63. Yuan F. An efficient transient analysis algorithm for mildly nonlinear circuits // F. Yuan, A. Opal // IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems. - 2002. - Vol. 21, №6. - p. 662-673.

64. Yuan F. Efficient transient analysis of nonlinear circuits using Volterra series and piecewise constant interpolation / F. Yuan, K. Raahemifar, F.A. Mohammadi // The 2001 IEEE International Symposium on Circuits and Systems, 201. - 2001. - Vol. 3. - p. 6-9.

65. Block-oriented Nonlinear System Identification / Eds:Foad Giri, Er-Wei Bai. -Berlin: Springer. -2010. -431 p.

66. Crouch P.E., Lamnabhi-Lagarrigue F. Volterra Series Resolution of Input-Output Differential Equations // Proc. European Control Conf., Grenoble, France, 1991. P. 1800-1802.

67. Meyer R.G. Cross modulation and intermodulation in amplifiers of high frequencies / R.G. Meyer, M.J. Shensa, R. Eschenbach // IEEE J. Solid - State Circuits, 1972. - 7. - №1. - p. 162

68. Rundblad E. A superfast convolution technique for Volterra filtering / E. Rundblad, V. Labunets // Proceedings of the IEEE-EURASIP Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing. - 1999. - p. 399-403.

69. De Locht L. Identifying the main nonlinear contributions: use of multisine excitations during circuit design / L. De Locht, G. Vandersteen, P. Wambacq, Y. Rolain // 64th ARFTG Microwave Measurements Conference. - 2004. - P. 75-84.

70. Qu G. New model extraction for predicting distortion in PIEMT and MESFET circuits / G. Qu, A.E. Parker // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. -1999. - Vol. 9, №9. - P. 363-365.

71. Kerschen G. Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics / G. Kerschen, K. Worden, A.F. Vakakis, J.-C. Golinval // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2005. Vol. 20, №3. - P. 505592.

72. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. Для ВУЗов по спец. «Радиотехника» / С. И. Баскаков — 2-е изд., перераб. и доп. М.: «Высш. шк.», 1988.-448 с.

73. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для ВУЗов / И. С. Гоноровский — 4-е изд., перераб. и доп. М.: «Радио и связь». - 1986. - 512 с.

74. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-431 с.

75. Петровский В.И. ЭМС радиоэлектронных средств / В. И. Петровский, Ю. Е. Седельников. М.: Радио и связь, 1986. - 216с.

76. Rohde U.L. Reconfigurable, Power Efficient and High IP3 Passive FET Mixers for Wideband Communication Systems / U. L. Rohde, Poddar A.K. // Wireless Communication Systems. 3rd International Symposium, 6-8 Sept. 2006. - p.433-437.

77. Volterra V. Theory of Functional and of Integral and Integro-Differential Equations / V. Volterra // New York: Dover, 1959.

78. Woonyun Kim. Analysis of nonlinear behavior of power FIBTs / Woonyun Kim at al // IEEE transactions on microwave theory and techniques. 2002. -vol.50. - №7. - p. 1714-1722.

79. Craham J.W. Nonlinear System Modeling and Analysys with Applications to Communications Receivers / J.W. Craham, L. Earman // Rome Air Development Center Technical Report No. RADC-TR-73-178, 1973.

80. Бобрешов A.M. Влияние обратной связи на радиус сходимости рядов Вольтерры / A.M. Бобрешов, Н.Н. Мымрикова // Физика волновых процессов. - 2013. - Т. 16, №1. - С. 24-30.

81. Веселов Г.И. Микроэлектронные устройства СВЧ: Учеб. Пособие для радиотехнических специальностей вузов / Г.И. Веселов, Е.Н. Егоров, Ю.Н. Алехин и др. М.: Высш. шк., 1988.-280 с.

82. Алгазинов Э.К. Электромагнитная совместимость радиоприемных устройств СВЧ / Э.К. Алгазинов и др. // Воронеж, ВГУ, 2003. 85 с.

83. Алгазинов Э.К. Входные усилители СВЧ в свете требований электромагнитной совместимости / Э.К. Алгазинов, В.И. Мноян // Радиотехника. - 1985. - №8. - С. 3-12.

84. Алгазинов Э.К. Характеристики входного СВЧ-усилителя, влияющие на помехоустойчивость приемной системы / Э.К. Алгазинов, В.И. Мноян// Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. - 1981. - №2. - С. 3-7.

85. Maas S.A. How to Model Intermodulation Distortion / S.A. Maas // Invited Paper, IEEE MTT-S International Microwave Symposium Digest. 1991.-p. 149-151.

86. Iatrou M. Modeling of Nonlinear Nonstationary Dynamic Systems with Novel Class of Artificial Neural Networks / M. Iatrou, T.W. Berger, V.Z. Marmarelis // IEEE Transaction on Neural Networks, vol. 10, No. 2, March, 1999.P.327-339.

87. Kabanov D.A. Method of analysis of non-linear systems on the basis of generalization of the Volterra functional series relative to complex envelopes / D.A. Kabanov, A.N. Zaytsev // International Journal of Circuits Theory and Applications, 19, 1991. P.9-17.

88. Krener, A. The Existence and Uniqueness of Volterra Series for Nonlinear Systems / A. Krener // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1978. -Vol. 23, №6.- P. 1090-1095.

89. Гупта К. Машинное проектирование СВЧ устройств: Пер. с англ./ К. Гупта, Р. Гардж, Р. Чадха // Под ред. Шейнкмана В.Р. -М.: Радио и связь, 1987. 430 с.

90. Ghione G. Physical and equivalent circuit models for GaAs MESFETs / G. Ghione, C. Naldi, E. Petterpaul // Proc. 5th Annu. ESPRIT Conf., Brussels. 1988, November, - p. 52-69.

91. Ferrero A. A computer aided procedure for experimental characterization and small-signal modeling of MESFETs / A. Ferrero, U. Pisani // Eur. Trans. Telecommun. and Relat. Technol.-1990.-N4.-p. 477-486.

92. Law C.L. Prediction of wideband power performance of MESFET devices using the Volterra series representation / C.L. Law, C.S. Aitchison // IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Digest, New York.1986.-p. 487-489.

93. Rhyne G.W. Generalized power series analysis of intermodulation distortion in a MESFET amplifier: simulation and experiment / G.W. Rhyne, M.B. Steer // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1987.-35, N12.-p. 1248-1255.

94. Krozer V. Intermodulation distortion analysis of cascaded MESFET amplifiers using Volterra series representation / V. Krozer, I I. Hartnagel // Int. J. Electron. 1985. - 58, N4. - p. 693-708.

95. Rhyne G.W. Analysis of nonlinear circuits driven by multi-tone signals using generalized power series / G.W. Rhyne, M.B. Steer, B.D. Bates // IEEE Int. Symp. Circuits System Digest. 1987. - p. 903-906.

96. Helie, T. On the Convergence of Volterra Series of Finite Dimensional Quadratic MIMO Systems / T. Helie, B. Laroche // Int. Journal of Control-2008.- Vol.81, №3.- P. 358-370.

97. Lamm P.K. Numerical Solution of First-Kind Volterra Equations by Sequential Tikhonov Regularizaron / P.K. Lamm, L. Elden, J. SIAM // Numer. Anal., № 34, 1997. - P.1432-1450.

98. Maas S.A. A general-purpose computer program for the Volterra-series analysis of nonlinear microwave circuits / S.A. Maas // IEEE Microwave Theory and Techniques Symposium Digest, 1988. p.311-314.

99. Алгазинов Э.К., Мымрикова H.PI., Сбитнев Ю.П. Моделирование входных устройств с линеаризованными характеристиками // Вестник

Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2001. №2. С. 5-6.

100. Kenington, Р.В. High Linearity RF Amplifier Design / P.B. Kenington. -Artech House, 2000. - 531 P.

101. Maas S.A. Analysis and optimization of nonlinear microwave circuits by Volterra-series analysis / S.A. Maas // Microwave Journal, 33(4), 1990. P.245-251.

102. Staudinger, J. Memory fading Volterra series model for high power infrastructure amplifiers / J. Staudinger, J.-C. Nanan, J. Wood // IEEE Radio and Wireless Symposium (RWS). - 2010 . - P. 184 - 187.

103. Chen, Y. Research and simulation of Volterra series kernel identification on wiener model / Y. Chen, Z.Y. Liu, H.J. Zhang // International Conference on Environmental Science and Information Application Technology (ESIAT). -2010, P. 95-98.

104. Marmarelis V.Z. Practicable identification of nonstationary nonlinear systems / V.Z. Marmarelis//Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 5, 1981. P. 211-214.

105. Marmarelis V.Z. Volterra models and three-layer perceptions / V.Z. Marmarelis, Zhao X. // IEEE Trans. Neural Networks, vol. 8, 1997. P. 14211433.

106. Narenda K.S. Identification and control of dynamic systems using neural networks /K.S. Narenda, K. Partharasarathy // IEEE Trans. Neural Networks, No. 1, 1990. -P. 4-27.

107. Rizolli V. State-of-the-Art Harmonic-Balance Simulation of Forced Nonlinear Microwave Circuit by the Piecewise Technique / V. Rizolli, A. Lipparin, A. Costanzo // IEEE Trans on Microwave Theory and Techniques, vol. 40, No. 1, January 1992.

108. Мымрикова H.H., Уткин A.M.. Снижение интермодуляционных искажений в многокаскадных устройствах // Физика и технические приложения волновых процессов: IX Международная научно-техническая конференция. 2010. С. 82-83.

109. Бобрешов, A.M. Анализ и оптимизация многокаскадных усилительных структур / A.M. Бобрешов, H.H. Мымрикова, Ю.П. Сбитнев, A.M. Уткин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы .— 2013 .— Т. 16, №2.-С. 71-76.

110. Бобрешов, A.M., Линеаризация трехкаскадных усилителей / A.M. Бобрешов, H.H. Мымрикова, Ю.П. Сбитнев, A.M. Уткин // Радиолокация, навигация, связь: XIX Междунар. научн.-техн.конф. — Воронеж, 2013 .— Т. 2. - С. 1326-1335.