Анализ на ЭВМ вынужденных и автоколебательных периодических режимов в нелинейных электрических и электронных цепях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Гарасымив, Игорь Иванович

• Гарасымив, Игорь Иванович
• кандидат технических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат технических наук Гарасымив, Игорь Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. АНАЛИЗ ВЫНУЖДЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ { ВПР ) В

НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.

1.1. Обзор существующих методов и алгоритмов расчета ВПР.

1.1.1. Постановка задачи анализа ВПР

1.1.2. Методы нахождения ВПР, основанные на функциональных преобразованиях.

1.1.3. Спектрально-временные методы.

1.1.4. Методы нахождения ВПР во временной области

1.2. Построение алгоритмов нахождения ВПР, основанных на методе суммирования конечных приращений. . '.

1.2.1. Введение функционально-зависимого параметра алгоритмы СКП - ВПР 1-го вида ).

1.2.2. Использование в качестве параметра значений элементов цепи ( алгоритмы СКП - ВПР П-го вида ).

1.3. Расчет энергетических параметров ВПР и их параметрической чувствительности.

1.4. Использование алгоритмов СКП - ВПР для анализа статических режимов в нелинейных цепях.

Выводы

Глава 2. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ АПР ) В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.

2.1. Обзор существующих методов анализа АПР.

2.1.1. Постановка задачи анализа АПР

2.1.2. Методы, основанные на функциональных преобразованиях.

2.1.3. Методы нахождения АПР во временной области.

2.2. Построение алгоритмов нахождения АПР на основе метода СКП.

2.2.1. Введение функционально-зависимого параметра

2.2.2. Основной вариант алгоритма СКП - АПР

2.3. Расчет параметрической чувствительности энергетических параметров и периода АПР.

Выводы.

Глава 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА УСТАНОВИВШИХСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ( ВПР и АПР ) В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ НА ЦИФРОВЫХ ЭВМ.

3.1. Особенности моделирования установившихся периодических режимов на цифровых ЭВМ.

3.2. Выбор методов численного интегрирования для реализации процедуры анализа ВПР и АПР.

3.2.1. Анализ качественных характеристик методов численного интегрирования.

3.2.2. Влияние методов численного интегрирования на точность определения периода ( частоты ) автоколебаний

3.3. Формирование и решение уравнений математических моделей нелинейных цепей в процедуре анализа ВПР и

3.3.1. Два подхода к формированию уравнений ММ

3.3.2. Учет топологических вырождений.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ на ЭВМ вынужденных и автоколебательных периодических режимов в нелинейных электрических и электронных цепях»

Характерной чертой современного этапа научно - технического прогресса являются высокие темпы развития и повсеместное проникновение электротехники и радиоэлектроники практически во все области человеческой деятельности.В программном документе "Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года " предусматривается дальнейшее развитие электротехнической,электронной и радиотехнической промышленности,приборостроения и техники связи.Вследствие этого приобретает, важное значение проблема развития теории цепей,усовершенствования существующих и создания новых методов и алгоритмов анализа,синтеза и оптимизации электрических и электронных цепей.Успехи на пути решения этой проблемы позволят повысить эффективность и качество проектирования.

В значительной степени это относится к проектированию современных электрических и электронных устройству остоящих из таких компонентов,как транзисторы,диоды,приборы с полевым и туннельным эффектом,электровакуумные и газоразрядные приборы,нелинейные дроссели и т.п.Разнообразные способы включения и сложные взаимодействия этих компонентов, приводят к тому,что в таких устройствах возникают различные виды переходных процессов и установившихся режимов.Выдвигаемые практикой задачи анализа и оптимизации таких существенно нелинейных устройств в принципе не могут иметь простых аналитических решений,как это возможно в случае линейных цепей.Это обстоятельство стимулирует исследование и разработку численно-аналитических и численных методов моделирования и анализа нелинейных электрических и электронных цепей, которые ориентированы на использование ЭВМ.Следует отметить,что первые численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений были разработаны уже в 18 в. Л.Эйлером,однако только появление и широкое распространение ЭВМ стимулировало их разработку на более высоком уровне.Начало современному развитию численных методов расчета нелинейных цепей положили работы Г.Е.Пу-хова и П.А.Ионкина.В последующих работах многих авторов численные методы были подвергнуты дальнейшему исследованию,развитию и обобщению на более широкие классы цепей ( в том числе электронные цепи ) на основе использования современных топологических методов,методов функционального анализа.численных методов решения алгебраических и дифференциальных уравнений.В настоящее время существует большое количество машинно-ориентированных методов и алгоритмов,на основе которых созданы системы программ анализа статических С расчет по постоянному току ) и динамических ( расчет переходных процессов ) режимов в нелинейных электрических и электронных цепях.

Более сложной задачей является анализ установившихся периодических режимов в нелинейных цепях,который включает в себя следующие этапы:

I.нахождение установившегося периодического режима;

2.определение его устойчивости;

3.расчет чувствительности параметров найденного периодического режима к изменению параметров элементов цепи.Для неконвергентных нелинейных цепей дополнительно требуется этап определения области притяжения найденного периодического режима.

Задача анализа установившихся периодических режимов в нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами возникает при про"*-ектировании таких существенно нелинейных узлов электротехнической и радиоэлектронной аппаратуры как преобразователи и стабилизаторы переменного и постоянного тока и напряжения,усилители мощности,умножители и делители частоты,автогенераторы,в которых' периодический режим является основным рабочим режимом.

Прямое нахождение периодического режима путем расчета всего переходного процесса до тех пор,пока он не закончится,требует большого объема вычислений и не позволяет эффективно выполнить последующие этапы анализа.К настоящему времени имеется ряд численных методов нахождения периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений,являющихся математической моделью нелинейных электрических и электронных цепей с сосредоточенными параметрами.Однако не все эти методы позволяют эффективно провести последующие этапы анализа периодического режима и их непосредственное использование для решения практических задач не является простой задачей.

Вышеизложенное показывает актуальность исследования и разработки алгоритмов анализа установившихся периодических режимов в нелинейных цепях,ориентированных на использование ЭВМ.

Целью данной работы является:

1.разработка алгоритмов ускоренного нахождения установившихся ПР на основе метода суммирования конечных приращений С СКП ), ориентированных на использование в процедуре анализа ПР в нелинейных цепях с помощью цифровых ЭВМ;

2.разработка алгоритмов расчета дифференциальной чувствительности параметров установившихся ПР к изменению параметров элементов цепи;

3.исследование точности,с ходимости и качественного соответствия и эффективности разработанных алгоритмов нахождения ПР, включающее исследование качественного соответствия методов формирования дискретных моделей электрических цепей;

Ц.исследование методов формирования и решения уравнений математических моделей нелинейных цепей,используемых для программной реализации на ЭВМ процедуры установившихся ПР.

Диссертация состоит из трех глав,заключения и приложения.

В первой главе диссертационной работы рассматриваются вынужденные периодические режимы С ВПР ),возникающие в электрических и электронных цепях под воздействием периодических источников напряжения и тока.Период искомого ВПР соизмерим с периодом этих источников,что облегчает задачу анализа ВПР.В первом параграфе проведен обзор работ по методам расчета ВПР,позволивший выявить достоинства и недостатки этих методов.Показано,что использование методов расчета ВПР во временной области,основанных на решении соответствующей двухточечной краевой задачи методами первого порядка,позволяет построить эффективную процедуру анализа ВПР.

Во втором параграфе первой главы построены два вида алгоритмов расчета ВПР во временной области,которые отличаются способом введения функционально-зависимого параметра.Дается доказательство сходимости и оценка точности этих алгоритмов.Отмечается,что при использовании в качестве параметра амплитуды периодических источников алгоритмы СКП - ВП£ второго вида являются аналогами алгоритмов СКП - СТ для расчета статического режима.Приводятся результаты расчета алгоритмами СКП-ВПР тестовых схем,которые сравниваются с результатами расчета другими алгоритмами.Отмечается,что алгоритмы СКП-ВПР имеют более точную область качественного соответствия найденного вектора периодических начальных условий ( ПНУ ) вектору начального приближения,что особенно важно при анализе неконвергентных цепей.

В третьем параграфе обоснован способ расчета энергетических параметров ВПР и приводится алгоритм расчета чувствительности энергетических параметров к изменению параметров элементов цепи. Приводится сравнение предложенного алгоритма расчета чувствительности с используемым в настоящее время алгоритмом расчета чувствительности по методу приращений.

В четвертом параграфе рассматривается возможность использования алгоритмов СКП-ВПР для анализа статического режима в нелинейных цепях,основанная на том,что состояние цепи в статическом режиме x(t)=const формально является также и периодической функцией времени С с произвольным периодом ).При этом расчет статического режима производится через переходной процесс ( в отличие от алгоритмов СКП-СТ,где статический режим находится решением алгебраических уравнений,описывающих цепь по постоянному току ),что позволяет также определить устойчивость статического режима.

Во второй главе рассматриваются автоколебательные периодические режимы,возникающие в нелинейных цепях,содержащих только постоянные источники напряжения и тока.

В первом параграфе проведен обзор работ по методам расчета АПР.Отмечается,что из-за необходимости определения периода искомого АПР С который априори известен обычно только приближенно ), общее количество этих методов значительно меньше,чем для случая ВПР.Показано,что использование методов расчета АПР во временной области,основанных на решении двухточечной краевой задачи методами первого порядка,позволяет построить наиболее эффективную процедуру анализа АПР.

Во втором параграфе второй главы построены алгоритмы СКП-АПР,основанные на введении функционально-зависимого параметра как множителя перед вектором начальной невязки.Приводится доказательство сходимости и оценка точности алгоритма СКП-АПР.Исследования алгоритма СКП-АПР показывают,что вектор ПНУ,найденный по данному алгоритму качественно соответствует вектору начального приближения^ то время как вектор ПНУ,найденный алгоритмом, реализующим метод Ньютона-Рафсона,не имеет такого качественного соответствия.Это свойство алгоритма СКП-АПР повышает надежность и эффективность этапа нахождения АПР,поскольку из-за фиксации одной из компонент вектора состояния цепи каждому АПР соответствуют несколько ( 2 или более ) различных векторов ПНУ.

В третьем параграфе приводится алгоритм расчета параметрической чувствительности энергетических параметров и периода АПР. Отмечается,что в отличие от ВПР,при расчете чувствительности энергетических параметров АПР необходим расчет параметрической чувствительности периода АПР.Проводится сравнение предложенного алгоритма расчета чувствительности ( по объему вычислительных затрат и точности ) с существующим алгоритмом расчета чувствительности по методу приращений.Уравнения,используемые для расчета параметрической чувствительности АПР,позволяют построить алгоритмы СКП-АПР II-го вида.Однако,из-за зависимости периода АПР от параметров цепи алгоритмы СКП-АПР II-го вида менее эффективны, чем алгоритмы СКП-ВПР II-го вида.Кроме того,результаты расчета параметрической чувствительности АПР используются для реализации прогноза 1-го порядка для анализа АПР при последовательном.изменении вектора варьируемых параметров цепи.

В третьей главе рассматриваются вопросы,связанные с реализацией на цифровых ЭВМ алгоритмов анализа ВПР и АПР в нелинейных цепях,которые разработаны в 1-й и 2-й главе диссертационной работы.

В первом параграфе отмечается нецелесообразность реализации процедуры анализа ВПР и АПР на аналоговых и гибридных ЭВМ; анализируются особенности моделирования установившихся периодических режимов на цифровых ЭВМ,главной из которых является необходимость обеспечения качественного соответствия между исходной непрерывной цепью и ее дискретной моделью.Качественное соответствие устанавливается по идентичности размерности и структуры фазового пространства и характера переходных процессов в непрерывной цепи и ее дискретной модели.В процедуре анализа ВПР и АПР качественное соответствие обеспечивается как качественными характеристиками алгоритмов нахождения вектора ПНУ,так и качественными характеристиками методов численного интегрирования,используемых для дискретизации непрерывной цепи.Поэтому во втором параграфе рассматриваются существующие методики определения А-, Ао-, S" , L- устойчивости методов численного интегрирования и предлагается методика определения областей качественного соответствия методов численного интегрирования на основе их J) -характерно тик. Являясь аналогом методики расчета частотных характеристик квадратурных формул вычисления определенных интегралов,методика р -характеристик позволяет определить области качественного соответствия линейных дискретных моделей.Поскольку р- характеристика метода численного интегрирования ( в отличие от критерия А-устойчивости ) не является асимптотической,то J - характеристики двух наиболее часто используемых на практике вариантов неявных линейных многошаговых методов численного интегрирования ( формул дифференцирования с разностями назад и формул Адамса - Маултона ) более близки,чем их годографы А-устойчивости.Кроме того на основе р- характеристики в работе определяются максимально допустимые значения временного шага и погрешность определения частоты квазигармонических колебаний.

В третьем параграфе рассматриваются вопросы выбора алгоритмов совместного формирования и решения уравнений математических моделей анализируемой нелинейной цепи и двух вспомагательных цепей моделей чувствительности.Показано,что использование базиса переменных состояния { БПС ) для итерационного уточнения вектора ПНУ" и расширенного узлового координатного базиса ( РУКБ ) для моделирования исходной нелинейной цепи и двух цепей - моделей чувствительности - позволяет сочетать в процедуре анализа ВПР и АПР минимальность размера'вектора ПНУ и возможность определения устойчивости найденного периодического режима с преимуществами табличных методов моделирования в РУКБ. При этом на каждой итерации алгоритма СКП-ВПР ( или СКП-АПР ) необходимо выполнять переход между этими двумя базисами.Показано,что переход от РУКБ к ШС выполняется с помощью соответствующей матрицы инциденции, тогда как переход от ЕПС к РУКБ требует в общем случае,решения соответствующей системы уравнений,совпадающей с системой уравнений, формируем ой на основе явного метода численного интегрирования.Таким образом,при совместном использовании явных и неявных методов численного интегрирования при реализации процедуры анализа ВПР и АПР потребуется только этап топологического анализа цепи,выполняемый один раз для данной схемы,с целью выявления и исключения топологических вырождений и формирования вектора переменных состояния и расширенного вектора узловых напряжений.Отмечается,что наличие топологических D- и В-вырождений усложняет не только качественное исследование нелинейных цепей в установившихся периодическом режиме,но и процедуру анализа ВПР и АПР на цифровых ЭВМ.Для повышения эффективности процедуры топологического анализа предлагается основанный на принципе дуальности способ определения В -вырождений в цепи с помощью алгоритма определения D -вырождений при дуальной замене конденсаторов и катушек индуктивности ( т.е.при временном переименовании соответствующих матриц инциденции ).Отмечается,что В -вырождения, обычно не учитываемые при расчете переходных процессов,в ВПР и АПР накладывают дополнительные ограничения на вид временных функций,описывающих идеальные источники тока и напряжения, которые входят в эти вырождения.Для исключения D- и В -вырождений используется метод введения управляемых источников тока С напряжения ) вместо одного из L С С ) элемента,который входит в эти вырождения.

В приложении приводятся доказательства сходимости и оценки точности исходных вариантов алгоритмов СКП-ВПР и СКП-АПР. Решив поставленные задачи,автор защищает: -общие формулы,методику построения и два вида алгоритмов расчета ВПР в нелинейных цепях во временной области,основанные на методе СКП;

-формулы и алгоритм расчета параметрической чувствительности энергетических параметров нелинейных цепей в ВПР;

-общие формулы,методику построения и алгоритмы расчета АПР в нелинейных цепях во временной области,основанные на методе СКП;

-методику получения р -характеристик методов численного интегрирования,используемую для построения областей качественного соответствия дискретных моделей электрических цепей;

-методику расчета погрешности определения периода ( частоты ) квазигармонических автоколебаний,основанную на р-характеристиках методов численного интегрирования;

-методику совместного использования базиса переменных состояния ( для проведения итераций алгоритмов СКПг-ВПР и СКП-АПР ) и расширенного-узлового, координатного базиса.( для табличного моделирования исходной нелинейной цепи и двух вспомагательных цепей - моделей чувствительности ) в процедуре анализа ВПР и АПР.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Гарасымив, Игорь Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию и разработке алгоритмов анализа на цифровых ЭВМ установившихся периодических режимов ( ВПР и АПР ) в нелинейных электрических и электронных цепях во временной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Гарасымив, Игорь Иванович, 1983 год

1. Арманази А.Анализ установившегося режима кусочно-линейных систем при периодических возмущениях.-ТИИЭР,1973,т.61,№6,с.121. б.Асович П.Л.,Соловьев А.А.Расчет периодического режима в электрических цепях с нелинейными элементами вентильного типа.Теоретическая электротехника.Львов,1979,вып.2б,с.13-21.

2. Бабушка И.,Витасек 3.,Прагвр М.Численные процессы решения дифференциальных уравнений.-М.:Мир,19б9-,Зб8 с. б.Бардила Т.1.,Х.

3. Герхард.Гармон1чний аналХз змХшувачХв. -В1сник.Льв1в.пол1техн.1№-ту,1974,№88,с.79-82.

4. Биагитко Б.Я. ,Синицкий Л.А.Построение программ анализа по постоянному току.-Теоретическая электротехника.Львов,1979, вып. 26,0.122-130. Ю.Благовещенский Ю.В.,Фишман Ю.С.,Щербов В.А.Программа для аналитического решения уравнений нелинейных колебаний на ]Щ типа "Мир" с входным языком АНАЛИТИК.-Кибернетика,1971,№4,0.64-69. И.Блажкевич Б.И.Физические основы алгоритмов анализа электронных цепей,-Киев: Hayкова думка,1979,-296 с,

5. Анализ нелинейных систш.-М.:Мир,1969,-400 с. ХЗ.Богачев В.М. ,Чаплыга В.М. О расчете периодических режимов

6. Богрлюбов Н. Н. ,Митропольский Ю.А.Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М.:Наука,1974,-504 с.

7. Бондаренко В.М.О применении метода Ньютона для моделирования нелинейных краевых задач.-Шучн.тр.Ом ИЙ1Г.Теоретическая электротехника,Омек,1966,т.72,стр.48-52. 1б.Бондаренко В.М.Вопросы анализа нелинешых электрических и электронных ца1ей.-Киев:Наукова думка,1967,-159 с,

8. Бондаренко В.М.,Ронто Н.И.Численные методы получения вынужденных периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений электрических цепей.-В кн.:Анализ электрических цшей и электромагнитных систем.Киев:Наукова думка,1967,с.31-47.

9. Бондаренко В.М.,Ронто Н.И.Отыскание решений систш неявных дифференциальных уравнений методом коллокации.-В сб.:3лектронное моделирование и математическая физика.Киев,1972,с.3-13.

10. Бондаренко В.М.,Пфенинг В.В.Исследование и разработка алгоритмов и программ машинного проектирования электронных схем.Препринт 56.ИЭД АН УССР.Киев,1973,-68 с

11. Бондаренко В.М. ,Цап Н.С.Алгоритмы цифрового моделирования линейных электрических и электронных схем.-Препринт-69.ИЭД АН УССР.Киев,1973,-41 с

12. Бондаренко В.М.Методы и алгоритмы анализа статических и динамических режимов нелинейных цепей.-Препринт-бб.ИЭД АН УССР. Киев,1974,-105 с.

13. Бондаренко В.М.,Ронто Н.И.Исследование точности и сходимости метода суммирования конечных приращений.-Препринт-И2.ИЭД АН УССР.Киев,197б,-50 с 23»Бовдаренко. В»М.О формировании дискретных физических моделей электрических цепей.- В.сб.? Точность и надежность кибернети14. Бондаренко В.М. ,Гарасымив И.И. ,Мандзий Б.А. ,Маранов А.В. Анализ точности и качественного соответствия диакретных моделей электрических цепей.-Препринт-ЗС7.ИЭЛ АН УССР.Киев,1983,-44 с.

15. Бондаренко В.М. ,Гарасымив И.И. ,Мандзий Б.А. ,Маранов А.В. Исследование качественного соответствия и точности дискретных моделей электрических цепей.-Техн. электродинамика,1983,№3,с.15-21.

16. Бондарь Н.Г. Некоторые автономные задачи нелинейной механики.-Киев: Шукова думка,1969-302 с

17. Брайтон Б. ,Густавсон Ф. ,Хэчтел Г. Новый эффективный ал:горитм решения алгебраических систем дифференциальных уравнений, основанный на использовании формул численного дифференцирования в неявном видео разностями назад.-ТИИЭР,1972,т.бО,№1,0.136-148.

18. Брэнин,Ван.Быстрый и надежный итерационный метод анализа нелинейных цепей по постоянному току.-]1ИИЭР,1967,т.55,№11,с*51-59.

19. Бутенин Н.В. ,Неймарк Ю.И. ,Фуфаев Н.А.Введение

20. Гарасымив И.И.Вычисление чувствительности нелинейных цепей в вынужденном периодическом режиме.-Изв.вузов СССР.Радиоэлектроника,1983,т. 26,№3,с.67.

21. Глориозов Е.Л.,Ссорин ВкГ.,Сыпчук П.П.Введение

22. Глухивский Л.И.Дифференциальный гармонический метод расчета периодических процессов в цепях с вентилями.-Изв.вузов СССР. Электромеханика,1980,М,с,14-19.

23. Глухивский Л.И.Численный метод определения на ЦШ периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений.-Теоретическая электротехника.Львов,1980,вып.29,0.159-164.

24. Глухивс кий Л. И. Расчет на Щ периодических режимов неМ линейных автономных цепей дифференциальным гармоническим методом ,-Теоретич ее кая электротехника.Львов,I98I,вып.31,с.99-104.

25. Гурарий М.М.,3арудный Д.И.,Русаков Г.Моделирование на Э В периодических процессов в интегральных схшах.-Автоматика ЦМ и вычислительная техника.1973,№1,стР,83-85.

26. Давиденко Д.Ф.Об одномновом методе численного решения систем нелинейных уравнений.-ДАН СССР,1953,т.88,№4,с.601-602.

27. Давиденко Д.§.0 применении итерационного метода вариации параметра к конкретным функциональным уравнениям.-Препринт ИАЭ2083.М.,1971.

28. Данилов Л.В.Электрические цепи с нелинейными R-элементами.-М.:Связь,1974,-136 с

29. Данилов Л.В.,Жихарев М.С.О возможности существования нескольких периодических режимов в цепях с управляемыми вентилями. -Теоретическая электротехника.Львов,1977,вып.22,0.147-148.

30. Дуванвнко В.В.Расчет установившихся режимов в нелинейных систшах одного вида с помощью метода функций. Чебышева. -Электронное моделирование,I98I,№4,0.36-38.

31. Захаров А.Ю.Сравнение численных методов решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.-Препринт-124. И М АН СССР.М.,1979,-23 с П

32. Ильин В.Н.Основы автоматизации схемотехнического проектирования.- М«:Энергия,1979,-391 с. 33. Ильин В. Н. ,Усков В.Л. ,Фролкин В.Т.Алгоритмы расчета переходных процессов в нелинейных схемах на основе метода Уиллаби. -Изв.вузов СССР.Радиоэлектроника,1981,т.24,№б,с.53-58.

34. Ильченко А.Н.О моделировании нелинейных схем методом узловых напряжений.-Электронное моделирование,1981,Щ,с.lOi-104.

35. Калахан Д.А.Численное решение систем линейных уравнений с сильно различающимися постоянными времени.ТИИЭР,19б7,т.55,№11, с.265-266.

36. Калахан Д.,Джир К.Проблема некорректности при неявном интегрировании.-ТИИЭР,1969,т.57,Н0,с.135-136.

37. Калахан Д.А.Методы машинного расчета электронных цетей. М.:Мир,1970-344 с бО.Каннингхэм В.Введение

38. Кассакьян Дж.Г.Моделирование силовых электронных систем: новый подход .-ТИИЭР,1979,т.б7,М0,с.64-78. 62.К03Л0В В.А. ,Тамарчак Д.Я. ,Хотунцев Ю Л.Исследование генератора на туннельном диоде на элементах с сосредоточенными постоянными при помощи ЭВМ.-Радиотехника и электроника,1974,т.19, Ю,с. 2002-2005. бЗ.Коллатц А.Численные методы решения дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ,1953,-459 с

39. Корн Г.,Корн Т.Справочник по математике.-М.:Наука,1973,832 с

40. Крылов Н.М.,Боголюбов Н. Н.Введение

41. Ломоносов В.Ю.Периодические процессы в нелинейных цепях. -Электричество,1952,№7,с,55-58. б

42. Лужвцкий М.Т.,Синицкий Л.А.Точность определения периода при численном расчете автоколебательных цепей.-Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника,1981,т.24,№б,с.10б-109.

43. Магнус К.Колебания:Введение

44. Мандзий Б.А.,Радиончик К. И. ,§елыштын О.Й.Применение Э М В для исследования высокочастотного автогенератора с эмиттерным автосмещением.-В кн.:Научная конференция #3 ВУТ,Брно,1979,с.117120.

45. Мандзий Б.А.,3ахария А.И.Особенности построения программ анализа нелинейных электронных схем для Ж ЭВМ*-Вестник Львов. политехи.ин-та.Львов,I98I,№152,с.66-67.

46. Марчук Г.И.,Цйдуров В.В.Повышение точности решений разностных схем.-М.:Шука,1979,-320 с.

47. Матвеев В.А.Метод приближенного решения систем нелинейных уравнений.-IBM и М$,1964,т.4,№6,с.983-994.

48. Милн В.Э.Численное решение дифференциальных уравнений. -М,:ИЛ,1955,-291 с.

49. Митропольский Ю.А.,Молчанов А.А.Машинный анализ нелинейных резонансных цепей.-Киев:Наукова думка,1981,-238 с

50. Молчанов А.А.Математическое моделирование нелинейных резонансных цшей с применением ЭВМ.-В сб.:Теоретическая электротехника и машинное проектирование электронных цепей.Киев,1973, с тр.126-148.

51. Мочульский Ю.С.,Синицкий Л.А.О погрешности численных ме52. Нагорный Л.Я.,Кофто А.Г.Распараллеливание алгоритмов моделирования нелинейных систем большой размерности.-Электронное моделирование, 1983, №4, с. 45-51.

53. Нейман Л.Р.,Демирчян К.С.Теоретические основы электротехники. Изд. 3-е, перераб. и доп.-Л.:Энергоиздат,1981,-536 с.

54. Немыцкий В.В.К вопросу об установившихся режимах в системах автоматического управления.-В кн.:Труды 1-го Международного конгресса Международной федерации по автоматическому управлению. М.,1961,с.597-602.

55. Норенков И.11.,1ук Д.М.,Маничев В. Б., Тру дно шин В.А.Анализ электронных схем при совместном применении явных и неявных методов интегрирования.-Изв.вузов СССР.Радиоэлектроника,1979,т.22, }б,с.27-31.

56. Ортега Д.,Рейнболт В.Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений с многими неизвестностными.-М.:Мир,1975,558 с

57. Пенфилд П.,Спенс Р.,Дюинкер Энергетическая теория электрических цепей,-М.:Энергия,1974,-152 с

58. Моделювання електронних схем на ЕЦШ.Ки1в: Знания,1974,-77 с.

59. Петренко А.И.,Власов А.И.,Тимченко А.П.Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ.-Киев: Вища школа, 1977,-192 с

60. Петренко А.И.,Гумен Н.Б.Метод расчета периодических процессов в нелинейных схемах,основанный на Е- алгоритме.-Электронное моделирование,1980,№2,с. 40-42.

61. Петренко А.И.,Гумен Н.Б.,Смирнов A.M.Моделирование на Э В периодических процессов в нелинейных цепях.-В сб.:АвтоматиЦМ зация проектирования в электронике.Киев,1980,вып.21,с.12-15.

62. Петров Б.Е.О применении метода гармонического баланса к задачам радиотехничееки.-Радиотехника,1973,т.28,Ю,с.1-6 ч.1 М,с.39-43 Ч.2 90,Петров Б.Е,0 применении метода гармонического баланса к задачам анализа и синтеза высокочастотных генераторов на биполярных транзисторах.-Радиотехника и электроника,1980,т.25,№10, с тр. 2136-2145.

63. Понтрягин Л.С.Обыкновенные дифференциальные уравнения.М,:Наука,1970,-331 с. 92»Попов Е.П.,Пальтов И.П.Приближенные методы исследования автоматических систем.-М.:Физматгиз,1960,-792 с.

64. Пухов Г.Е.Методы анализа и синтеза квазнаналоговых электронных цепей.-Киев: Рйукова думка,1967,-568 с.

65. Пухов Г.Е.Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике.-Киев:Шукова думка, 1978,-259 с.

66. Пухов Г.Е.Дифференциальные преобразования математических моделей.-Электронное моделирование,1979,№1,с.17-25.

67. Пухов Г.Е,Математическое моделирование периодических процессов путш совместного применения Т-преобразований и тригонометрических рядов.-В кн.:Машинное моделирование электрических и электронных цепей.Киев,1981,с.З-20.

68. Рагушин Г.И,Анализ стационарного режима модифицированным методом Ньютона.-Изв.вузов СССР.Радиоэлектроника,1976,т.19,№6, с.135-137.

69. Ракитский Ю.В.,Устинов СМ. ,Черноруцкий И.Г.Численные методы решения жестких сие тем.-М.гШука, 1979 ,-208 с.

70. Розенброк X.,Стори Вычислительные методы для инженеров- химиков.М.:Мир,1968,-443 с.

71. Самойленко A.M.,Ронто Н.И.Численно-аналитические методы исследования периодических решений.-Киев:Вища школа,1976,180 с.

72. Самойленко А.М.Ронто В.А.Определение начальных значений решений дифференциальных уравнений при периодических и многоточечных краевых условиях.-Электронное моделирование,1981,№1,с.1115. Юб.Самойло К.А.Метод анализа колебательных систем второго порядка.-М.:Советское радио, 1976,-208, с.

73. Сигорский В.П.,Петренко А.Й.Алгоритмы анализа электронных, схш. Изд. 2-е,перераб. и доп.-М.:Сов.радио,1976,-608 с.

74. Сигорскйй В.П. ,Лаксберг Э.А.О расширении класса схш, моделируемых методом узловых напряжений.-Автоматизация проектирования в электронике.Киев,1977,вып.16,с.83-89.

75. Сигорскйй В.П.Моделирование электронных цепей в обобщенном узловом координатном базис е.-Известия вузов СССР.Радиоэлектроника,I98I,т. 24,№6,с 37-46.

76. Синицкий Л.А»Численное интегрирование уравнений автоколебательных цепей.-Теоретическая электротехника.Львов, 1978,вып. 25, C.II5-II9. 115.СИНИЦКИЙ Л.А. ,Хвищун И.А., Ilk иге лье кий Я.А.О надежном алгоритме поиска периодического режима в нелинейных цепях.Теоретическая электротехника.Львов,I98I,вып.30,0.114-129. Иб.Скельбоэ Временной стационарный анализ нелинейных электрических систем.-ТИИЭРД982,т.70,№10,с.89-111.

77. Слипченко В.Г.Организация системы автоматизированного моделирования электронных схем на ЭШ.-Киев:Вища школа,-1978,176 с. Пб.Слипченко В.Г.,Елизаренко Г.Н.Методы диакоптики в электронике.-Киев:Вища школа,1981,-208 с.

78. Совршенные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений./под ред.Дж.Холла и Дж.Уатта.-М.:Мир, 1979,-312 с.

79. Соловьев А.А.,Асович П.Л.Гармонический анализ токов и напряжений в мощных широкополосных транзисторных усилителях при больших уровнях сигнала.-Изв.Ленинградекого электротехн.ин-та

80. СтахеевА.В.уШайдуров В.В,О расчете динамического режима нелинейной электрической цепи,Препринт-21.ВЦ СО А СССР.НовоеиН бирс.кД978,-10 с. 123«Тафт В.А,Спектральные методы расчета нестационарных цепей и систем.-М.ЭнергияД978,-272 с. 81. Трохименко Я.К,От редактора.Вехи машинного проектирования. -Изв. вузов СССР.РадиоэлектроникаД97б,т.19,№б,с.З-8. 125.УИЛЛСОН А.Н.Некоторые вопросы теории нелинйных цепей.ТИИЭРД973,т.б1,]8,а. 44-58. 12б.Фвдорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.:НаукаД980,-352 с.

82. Филиппов Е.Нелинейная электротехника.-М.:Энергия,1976,-496 с.

83. Форсайт Дж. ,Мальколш М. ,Моулер К.Машинные методы математических вычислений.-М.:МирД980,-300 с.

84. Хаяси Т.Нелинейные колебания в физических системах. М.:МирД9б8,-432 с.

85. Хемминг Р.В.Численные методы.-М.:Наука Д972,-400 с.

86. Хотунцев Ю.Л. Дамарчак Д.Я.,Марков Ю.И.Исследование во вршени нелинейных регенеративных схем на элшентах с сосредоточенными параметрами с помощью ЗВМ.-Известия вузов СССР.РадиоэлектроникаД975, т. 18,№12,0.108-111.

87. Хэчтел Г.Д, ,Санджованни-Винчентелли А. Обзор методов моделирования третьего поколения.-ТИИЭРД981,т.б9,Н0,с.10О-119. ХЗЗ.Чжао Гуан-%,Сейкс Р.Методы продолжения в анализе электронных схем.-ТИИЭР,1977,т.б5,№8,с.99-10б. 134.Чуа Л.0.,Пен-Мин Лин.Машинный анализ электронных схем.

88. Шаманский В.Е»Методы численного решения краевых задач на ЭВМ.-Киев:Изд-во А УССР,1963,-196 с ч.1 );196б-244 с. Н (Ч.2). 13б.Шегедин А.И.,Совин Р.Я»Пакет программ для анализа выгжденных колебаний в электрической цепи.-Электронное моделирование, 1982,М,с. 42-45.

89. Штеттер Х.Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:Мир,1978,-461 с.

90. Эйприлл Т.,Трик Т.Анализ стационарного режима нелинейных цепей с периодическими входными сигналами.-ТИИЭР,1972,т.бО, №1,0.148-155.

91. Эйприлл Т.Определение периодического стационарного отклика систем,описываемых неявными уравнениями состояния,методом Ньютона.-ТИИЭР,1972,т.60,№7,стр.178-179.

92. Яковлев М.И.К решению систем нелинейных уравнений методом дифференцирования по параметру.-ЖВМиМФ,1964,т.4,№1,с.198-203.

93. Abbot J.Р., Brent R.P, А note on continuation methods for the solution of nonlinear equations. J.Australian Math. Society, 1978, vol. 20 (ser. B N 2, pp. 157-164.

94. Anisimov Е.Ж., Mogilevskaja L.Ja., Khotunsev Ju.L. Computer aided studies of frequency multipliers and converters. Proc. 6-th Colloquium on Ivlicrowave Gomiaunication. Budapest, 1978, vol. I, pp. I-I3.

95. Aprille T.J., Trick T.N. A computer algorithm to determine the steady state response of nonlinear oscillators. IEEE Trans, on Circuit Theory, 1972, vol. GT-I9, Ж 4, pp. 354360.

96. Armanazi A.IT. Determination of steady state oscilla-

97. Branin P.H., Hogsett G.R., Lunde R.L., Kugel L.E. EGAP-II-A new electronic circuit analysis program. IEEE J.Solid State circuits, I97I, vol. SG6, H 4, pp. 146-166.

98. Brezinski C,, Rieu A.G. The solution of systems of equations using the E-algorithm and an application to boundary value problems. -Math. Сотр., 1974, vol. 28, pp. 731-741.

99. Broyden C.G. A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations. Math. Com., 1965, vol. 19, pp. 577-593.

100. Budzisz H. Welkosygnalowa analyza czestotliwosciowa ukladow elektronicznych. Arch, elektrotechn., 1980, vol. 29, и I, pp. 195-205.

101. Galahan D.A. Numerical considerations for implementation a nonlinear transient circuit analysis program. IEEE Trans, on Circuit Theory, I97I, vol. 18, I I, pp. 66-73. I

102. Ghua L.O., Green Б.Ж. Graph-theoretic properties of dynamic nonlinear network. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1976, vol. GAS-23, H 5, pp. 292-312.

103. Ghua L.O., Green D.N. A Qualitative Analysis of the behavior of dynamic nonlinear networks: stability of autonomous networks. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1976, vol. GAS-23, N 6, pp. 355-379.

104. Ghua L.O., Green D.N. A Qualitative Analysis of the behavior of dynamic nonlinear networks: steady state solutions of nonautonomous networks. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1976, vol. CAS-23, N 9, PP. 530-550.

105. Ghua L.O. Dynamic nonlinear networks: state-of-the art. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1980, vol. CAS-27, N II, pp. I059-I087.

106. Colon F.R., Trick Т.Ж. Fast periodic steady state analysis for large-signal electronic circuits. IEEE J. of Solid State Circuits, 1973, vol. SC-8, К 4, pp. 2бО-2б9.

107. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods. BIO?, 1963, N 3, pp. 27-43.

108. Davison E.J., Smith H.W. A computational technique for determining the steady state output of a linear system v/ith periodic input. IEEE Trans, on Circuit Theory, I97I, vol.CT-18, IJ I, pp. 181-183.

109. Deist F.H., Sefor L, Solution of Systems of nonlinear equations by parameter variations. Computer Journal, 1967, vol. 10, N I, pp. 78-80.

110. Director S.W., Rohrer R.A. The generalized adjoint network and network sensitivities. IEEE Trans, on Circuit Theory, 1969, vol. CT-I6, N 8 pp. 3I8-323.

111. Director S.W., Broderson A.J., Wayne D.A. A method for quick determination of the periodic steady state in nonlinear network. Proc. 9-th Annual Allerton Conf. Circuit and System Theory, I97I, pp. I3I-I39.

112. Director S.?/. Current K.W. Optimization of forced nonlinear periodic circuits. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1976, vol. 23, N 6, pp. 329-334.

113. Filicori F., Skalas M.R., Haldi С Nonlinear circuit analysis through periodic spline approximation. Electronic Letters, 1979, vol. 15, N 19, pp. 597-599.

114. Fletcher R. A new approach to the variable metric algorithm. Gomput. J., 1970, vol. 13, pp. 317-322.

115. Gear G.W. Simultaneous numerical solution of differential algebraic equation. IEEE Trans, on Theory, I97I, vol, CT-I8, N I, pp. 89-99.

116. Gopal IC, Nakhla M.S., Singhal K., Vlach J. Distortion analysis of transistor network. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1978, vol. GAS-25, N 2, pp. 99-106.

117. Hachtel G.D. Brayton R.K., Gustavson 3?.G. The sparse tableau approach to network analysis and design. IEEE Trans. on Circuit Theory, I97I, vol. CT-I8, N I, pp. I0I-II3.

118. Haoj I.N., Skelboe S. Time domain analysis of nonlinear systems with finite number of continuous derivatives. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1979, vol. CAS-26, N 5, pp. 297-303.

119. Надз I.H., Skelboe S. Steady state analysis of piecewise linear dynamic systems. IEEE Trans, on Circuits and Systems, I98I, vol. CAS-28, Ж 3, pp. 234-242. 168. Ho C.W., Ruehli В., Brennan P.A. The modified nodal approach to netv;ork analysis. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1975, vol. GAS-22, H 5, pp. 804-809. 169. Kao V/.H., Trick T.N. Computer-aided analysis of communication circuits. Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Syst,, 1976, pp. 676-679.

120. Kuroe Y., Haneda H., Maruhashi T. A general steady state analysis program ANASP for thyristor circuits based on adjoint-network approach. PESG80 Rec. IEEE Power Electronics Spec. Conference, 1980, pp. 180-189.

121. Lara Y.P., McPherson I.D. Two techniques for the determination of steady state response of nonlinear networks. Proc, 18-th Midwest Symp. Circuits and Systems, 1975, pp. 97lOI.

122. Lejune R.O., McVey E.S. Computer word size required for specified error in numerical integration. 12-th Annual Southeast Symp. System Theory, 1980, pp. 123-127.

123. Liniger vV., .Villoughby. Efficient integration methods for stiff systems of ordinary differential equations. SIAJI J. Numerical Analysis, 1970, vol. 7, Ж I, pp. 47-66.

124. Liniger W. Multistep and One-leg Methods for implicit mixed differential algebraic systems. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1979, vol. GAS-26, N 9, pp. 755-762.

125. Lourenco-Fernandes J.G.R., ITichols K.G. Goraparative experience with time-domain nonlinear network integration methods. Comput.-Aided Design Electron, and Microwave Circuits and Syst. Int. Gonf., 1977, pp. 17-22.

126. Lourenco-Fernandes J.G.R., Nichols K.G. Efficient steadystate analysis of nonlinear netv/orks. Proc, IEEE Symp. Circuits and Systems, 1978, pp. 8II-8I2. 178. ITakhla M.S., Vlach J. Piecewise harmonic balance technique for deteiraination of periodic response of nonlinear systems. IEEE Trans, on Circuits and System, 1976, vol. CAS-23, N 2, pp. 85-91.

127. Nakhla M.S., Branin F.H. Determining the periodical response of nonlinear systems by gradient method. Int. J. Circuit Theory and Appl,, 1977, vol. 5, pp. 255-273.

128. Neill T.B.M., Stefani J. Self-regulating Picard-type iteration for computing the periodic response of a nearly linear circuit to a periodic input. Electronics Letters, 1975, vol.11, N 17, pp. 413-415.

129. Nevanlinna 0., Liniger 7/. Contractive methods for stiff differential equations. Part I. BIT, 1978, vol. 18, pp. 457-474; Part II BIT, 1979, vol. 19, pp. 53-72.

130. Parker S.R. Sensivity analysis and models of nonlinear circuits. IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-I6, I969, pp.443447.

131. Parker S.R. Sensivity: old questions, some new ansv/ers. IEEE Trans. Circuit Theory, vol. CT-I8, I97I, pp. 27-35.

132. Rink R.A., Streifer Y/. Application of digital computers to solve analytically a class of second-order nonlinear ordinary differential equations. IEEE Trans, on Computers, I97I, vol. C-20, N 8, pp. 901-910.

133. Rohrer R.A., Nosrati H. A modified forward Euler approach to stable step response calculations. IEEE Trans, on Circuits and Systems, I98I, vol. CAS-28, И З pp. 180-186.

134. Roska T. On the uniqueness of solution of nonlinear networks and systems. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1978,-VDI. CAS-25, pp. I66-I69.

135. Sangiovanni-Vincentelli A.L., Ysfang Y.T. On equivalent dynamic networks: elimination of capacitor loops and inductor cutsets. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1978, vol. CAS-25» Ы 3, pp. 174-177.

136. Shichman H. Integration system of a nonlinear network analysis program. IEEE Trans, on Circuit Theory, 1970, vol. CT-I7, H 4, pp. 378-386.

137. Skelboe S. Extrapolation methods for computation of the periodic steady state response of nonlinear circuits. Proc. IEEE Symp. Circuits and Systems, 1977, pp. 64-67.

138. Skelboe S. Computation of the periodic steady state response of nonlinear network by extrapolation methods. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1980, vol. 27, N 3, pp. I6I-I75.

139. Skelboe S. Conditions for quadratic convergence of quick periodic steady state methods. IEEE Trans, on Circuits and

140. Strohband P.H. Laur R., Engl Vi[.L. TNPT An efficient method to simulate forced nonlinear RP network in time domain. IEEE J. Solid State Circuits, 1977, vol. SG-I2, pp. 243-246.

141. Stuffle R.E., Lin Pen-Min. New approaches to computeraided determination of oscillator frequency sensivities. Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Syst., 1980, pp. 890-893.

142. Tendler S.M., Bicnart T.A., Picel Z. A stiffly stable integration process using cyclic composite methods. ACM Trans. Math. Software, 1978, vol. 4, N 4, pp. 339-368.

143. Trick Т.Н., Colon P.R., Pan S.P. Computation of Capacitor Voltage and Inductor current sensivities with respect to initial conditions for the steady state analysis of nonlinear periodic circuits. IEEE Trans. Circuits and Systems, 1975, vol. CAS-22, N 5, pp. 391-396.

144. Uhlmann И., Briichner \Y. Analyse nictautonomer elektrischer Netwerke. 26 Int. Wiss. Kolloquium, Heft I. Ilmenau,I98I, S. 89-91.

145. Urabe M. Galerkins procedure for nonlinear periodic systems. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1965, vol. 20, Ж 2, pp. 120-152.

146. Urabe M. Galerkins procedure for nonlinear periodic systems and its extension to multi-point boundary value problems for general nonlinear systems. Numer. Solution Honlin, Differ. Equat., 1966, pp. 297-327.

147. Ushida A., Sakamoto A. Nev/ton method for obtaining periodic solution of piece-wise linear oscillators. Proc. IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems, 1979, pp. 46-47.

148. Vidkjaer J. A computerized study of the class-C-biased RP -power amplifier. IEEE J. Solid State Circuits, 1978,

149. Zein D.A. On the periodic steady state problem by the Hewton method. IEEE Trans, on Circuits and Systems, 1980, vol. GAS-27, Ж 12, pp. 1263-1268.