АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОГО И НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТЕЛ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор наук Гуреева Наталья Анатольевна

• Гуреева Наталья Анатольевна
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Гуреева Наталья Анатольевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ_5

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ НА ПРОЧНОСТЬ_18

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

2.1. Основные соотношения линейной теории упругости в декартовой системе координат_28

2.2. Основные соотношения деформационной теории пластичности в декартовой системе координат_31

2.3. Основные соотношения теории упругости в криволинейной системе координат_42

2.4. Основные соотношения деформационной теории пластичности в криволинейной системе координат_50

2.5. Основные соотношения инкрементальной геометрически нелинейной теории упругости при больших перемещениях_55

2.6. Вариационная формулировка задач теорий упругости и пластичности_62

Выводы по главе 2_71

3. СМЕШАННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МКЭ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ_72

3.1. Конечный элемент для определения НДС упругих тел в условиях плоской задачи_72

3.2. Конечные элементы для определения НДС тел вращения при осесимметричном нагружении_100

3.3. Конечные элементы для определения НДС оболочек вращения

при осесимметричном нагружении

108

3.4. Конечные элементы для произвольно нагруженной оболочки вращения_125

3.5. Конечные элементы для произвольной оболочки_153

Выводы по главе 3_163

4. СМЕШАННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МКЭ ПРИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МАТЕРИАЛА_165

4.1. Конечные элементы для плоской задачи в декартовой системе координат_165

4.2. Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат_187

4.3. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат_202

Выводы по главе 4_215

5. СМЕШАННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МКЭ С УЧЕТОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ_217

5.1. Конечные элементы для плоско нагруженных оболочек вращения_217

5.2. Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения_238

5.3. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения_258

5.4. Конечные элементы для произвольных оболочек_284

Выводы по главе 5_308

6. СМЕШАННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МКЭ ДЛЯ УПУГО НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ УЧЕТЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ_309

6.1. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения_309

6.2. Конечные элементы для плоского нагруженных оболочек вращения_325

Выводы по главе 6_337

ЗАКЛЮЧЕНИЕ_338

Литература_339

Приложение

383

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОГО И НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТЕЛ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ НА ОСНОВЕ СМЕШАННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ»

Введение

Задача снижения материалоемкости современных конструкций требует широкого использования тонкостенных элементов типа пластин и оболочек. Их широкое распространение в покрытиях инженерных сооружений, при строительстве подводных и космических кораблей , самолетостроении, а также в других отраслях народного хозяйства обуславливает необходимость развития методов определения основных характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) пластин и оболочек.

В трудах российских [3, 9, 10, 11, 27, 32, 33, 37, 38, 58, 61, 64, 89, 99, 114,115, 158, 160, 169, 180, 181, 202, 205, 207, 212, 232, 249, 250, 252, 260, 261, 262] и зарубежных [111, 345] исследователей создана и развита стройная теория линейного и нелинейного деформирования твердых тел и оболочек. Дифференциальные уравнения, описывающие деформированное состояние тонкостенных тел являются весьма сложными и их аналитические решения возможны лишь в некоторых частных случаях.

Поэтому весьма важной и актуальной задачей явилась разработка приближенных методов решения дифференциальных уравнений [30, 31, 55, 62, 63, 92, 154, 157, 161, 163, 167, 171, 203, 208, 209, 210, 211, 242, 263, 274, 280, 287].

В связи с бурным развитием вычислительной техники в последнее время стали широко разрабатываться численные методы [4, 25, 26, 27, 29, 35, 42, 43, 52, 56, 57, 90, 93 - 95, 97, 98, 100, 103, 104, 110, 121, 132, 155, 156, 162, 168, 172, 174, 177, 204, 206, 214, 215, 216, 217, 222 - 224, 227, 229 - 231, 244, 245, 248, 251, 259, 269, 270, 286, 291, 298, 302, 303, 307, 315, 377, 405] анализа напряженно-деформированного состояния твердых тел различных конфигураций. При расчетах НДС конструкций особое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ).

По формулировке основных соотношений МКЭ и способу их реализации для отдельных конечных элементов различают четыре основные вида МКЭ:

прямой, вариационный, резидуума и энергетического баланса [24, 40 - 57, 97, 98, 206, 220 - 222].

Вариационный метод [1, 173, 178, 179, 241, 268, 372] основан на принципе стационарности функционалов. При формулировке МКЭ в форме метода перемещений используется функционал Лагранжа [12 - 15, 19, 23, 24, 28, 34, 39, 40, 41, 44, 47, 48, 50, 59, 68, 91, 108, 109, 112, 113, 115, 116, 123 - 128, 133, 137 -148, 150, 151, 159, 164, 165, 170, 175, 180, 182, 183, 186, 189, 192, 193, 195 - 199, 219, 225, 226, 233 - 240, 256, 257, 264, 265, 267, 271, 272, 279, 283, 284, 288, 290, 295, 296, 297, 299, 301, 304, 305, 308, 314, 316, 319, 325, 328 - 331, 334, 336, 341 -343, 346, 348, 353, 358, 359, 364 - 366, 368, 376, 379, 380, 383, 384, 390, 391, 408, 410, 411].

При реализации МКЭ методом сил используется принцип минимума дополнительной энергии на основе функционала Кастильяно. В качестве узловых неизвестных используются усилия [24, 35, 214, 216].

При смешанной формулировке МКЭ узловыми неизвестными конечных элементов являются перемещения, напряжения или усилия [8, 24, 36, 66, 69, 70 -73, 75 - 78, 80, 81, 84, 85, 87, 101, 102, 105, 106, 166, 176, 213, 253, 254, 255, 273, 278, 281, 285, 292, 294, 309, 310 - 313, 317, 321 - 324, 327, 332, 333, 335, 338 -340, 351, 355, 356, 360 - 363, 369, 370, 371, 373, 374, 375, 378, 381, 382, 385, 386, 388, 389, 392 - 397, 400, 406, 409]. Для получения матриц деформирования конечных элементов используются функционалы Рейсснера, Вашицу [24, 35, 87, 222].

В отличие от прямого метода, который можно применить только к элементам совсем простого вида, вариационный метод одинаково успешно применяется как к элементам простого, так и сложного видов.

При реализации МКЭ в форме метода перемещений искомые величины (перемещения) определяются минимизацией потенциальной энергии. Вычисление внутренних сил (напряжений) выполняется через производные от

функции перемещений, что приводит к увеличению погрешности определения напряжений, особенно в местах их концентрации.

Для повышения точности определения напряжений следует применять смешанные вариационные принципы, в которых искомыми величинами являются как перемещения так и напряжения.[24, 35, 69 - 81, 222]

Актуальность исследования. Важнейшей задачей многих областей современной техники является создание прочных и надежных высококачественных конструкций. Для снижения материалоемкости современных инженерных конструкций различного назначения служит широкое использование тонкостенных элементов типа пластин и оболочек. Они используются в самолетостроении, при создании подводных и космических кораблей, в покрытиях инженерных сооружений и т.п.. Их широкое распространение обуславливает необходимость развития методов практического определения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластин и оболочек.

В настоящее время создана достаточно полная теория определения напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек различной толщины [3, 9, 11, 27, 32, 33, 37, 38, 58, 61, 64, 114, 158, 160, 181, 202, 205, 207, 212, 249, 250, 252, 260, 261, 262].

Уравнения теории пластин и оболочек являются достаточно сложными и поэтому их аналитическое решение возможно лишь для некоторых, зачастую далеких от инженерной практики, случаев.

В решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела широкое распространение получил численный метод конечных элементов (МКЭ), основанный на различных формулировках.

Большинством авторов предложены конечные элементы различных конфигураций в формулировке метода перемещений, используемые в библиотеках современных коммерческих программных комплексов (ANSYS, NASTRAN, LS-DYNA 3D, ABAQUS и др.).

Несмотря на то, что использование этих конечных элементов приводит к удовлетворительным результатам, смешанные схемы конечно-элементных решений, основанные на совокупности полей перемещений и полей напряжений, обладают преимуществами при определенных видах анализа. Гибридные методы МКЭ из-за ослабления требований гладкости перемещений ч е С(1) и использования нескольких полей искомых величин приводят к возможности применения простейших полиномов при аппроксимации искомых параметров через их узловые значения. В результате чего найденные перемещения и напряжения оказываются непрерывными. А в двух обширных областях, таких как исследование несжимаемых и почти несжимаемых сред, а также при анализе конструкций типа пластин и оболочек, использование смешанных конечных элементов оказывается значительно более эффективным, чем использование элементов, основанных только на перемещениях [24, 35, 222].

Кроме того, в предложенных ранее конечных элементах используется упрощающая гипотеза о деформировании нормали. Для расчета ответственных оболочечных конструкций важно учитывать возможность возникновения в материале трещин, а для этого требуется с высокой точностью рассчитать концентрацию напряжений там, где инженерам приходится устраивать местные усиления (устраивать в углах вуты или приваривать косынки, усиливать отверстия накладками, устанавливать ребра жесткости и т.п.), что становится возможным, если рассматривать оболочку как толстую без использования упрощающей гипотезы.

Поэтому развитие теории линейного и нелинейного деформирования твердых тел в криволинейных координатах с численной реализацией на основе метода конечных элементов в смешанной формулировке является актуальной задачей.

Цели исследования. В криволинейной системе координат на шаге нагружения вывод соотношений теории деформируемых твердых тел без использования гипотезы о деформировании нормали в актуальном базисе.

Получение нелинейного смешанного функционала для реализации в конечно-элементной формулировке.

Реализация разработанных теоретических положений (без использования гипотезы о деформировании нормали) при получении матриц деформирования объемных конечных элементов для определения НДС конструктивных элементов инженерных сооружений (пластин и оболочек произвольной толщины и др. деформируемых твердых тел).

Решение проблемы учета смещения конечного элемента как абсолютно жесткого тела.

Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи.

1. Получены в криволинейных координатах на основе соотношений механики сплошной среды выражения между приращениями деформаций (для линейной и нелинейной их составляющих) и приращениями перемещений для шага нагружения.

2. Получены для шага нагружения в криволинейных координатах соотношения в геометрически нелинейной постановке между приращениями напряжений и приращениями деформаций на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиаторов приращений напряжений компонентам девиаторов приращений деформаций для линейного материала [76], для упруго нелинейного материала [66], для упруго - пластического материала [88].

3. Получен в криволинейной системе координат для нелинейно деформированного твердого тела смешанный функционал на основе равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил с заменой на шаге нагружения действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ [65,66,67].

4. На основе полученных соотношений разработаны алгоритмы формирования матриц деформирования объемных конечных элементов с

узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений на основе билинейной и трилинейной аппроксимаций искомых величин в линейной и нелинейной постановках [69,70,71,72,73,74,79,82,83,86,88].

5. При шаговом нагружении в криволинейных координатах в теории нелинейного деформирования твердого тела в актуальном базисе использованы приращения деформаций, представленные линейными и нелинейными составляющими, что позволило определить добавочную матрицу деформирования на рассматриваемом шаге от действия суммарных напряжений предыдущих шагов нагружения.

6. Для решения проблемы учета смещений конечных элементов как твердых тел предложена и разработана инвариантная векторно - тензорная аппроксимация перемещений и напряжений как векторных и тензорных полей [65,66,67,318] соответственно.

7. На основе инвариантной векторно - тензорной аппроксимации искомых величин, полученных определяющих соотношений и предложенного нелинейного смешанного функционала разработаны алгоритмы формирования матриц деформирования объемных конечных элементов: в линейной постановке - с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений; в нелинейной постановке - с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений [65,66,75,77,78,84,86,87].

8. Разработан алгоритм получения матриц деформирования объемных конечных элементов для нелинейно упругого материала при учете геометрической нелинейности на основе разработанной векторно-тензорной аппроксимации полей перемещений и напряжений.

Предмет исследования. НДС при линейном и нелинейном деформировании твердых тел.

Методы исследования - теория механики деформируемого твердого тела, методы аппроксимации, вариационные методы, теория механики деформируемого твердого тела, методы функционального анализа, методы

векторного и тензорного анализа, методы линейной алгебры, вычислительные методы математики.

На защиту выносятся:

1. Способ инвариантной аппроксимации перемещений и напряжений твердых тел в криволинейной системе координат как векторных и тензорных полей соответственно.

2. Способ получения определяющих соотношений в криволинейной системе координат при линейном и упруго нелинейном деформировании материала с учетом геометрической нелинейности.

3. Способ получения смешанного функционала в криволинейных координатах на шаге нагружения на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил.

4. Алгоритм получения на основе разработанной аппроксимации и полученного смешанного функционала в линейной постановке матриц деформирования объемных конечных элементов без упрощающих гипотез о деформировании нормали.

5. Алгоритм формирования без упрощающих гипотез матриц деформирования объемных конечных элементов на основе разработанного смешанного функционала с учетом физической нелинейности при различных способах получения определяющих соотношений.

6. Алгоритм получения матриц деформирования объемных конечных элементов на основе разработанного смешанного функционала при учете геометрической нелинейности.

7. Матрицы деформирования объемных конечных элементов, полученные на основе разработанного смешанного функционала в геометрически нелинейной постановке для нелинейно упругого материала.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

1. Предложена методика построения конечно-элементных схем на основе аппроксимации перемещений и напряжений как векторных и тензорных полей для численного решения задач определения НДС.

2. Получены соотношения в криволинейной системе координат для формирования матриц деформирования объемных конечных элементов без упрощающих гипотез о деформировании нормали при учете физической нелинейности.

3. Получены основные соотношения в криволинейной системе координат для формирования матриц деформирования объемных конечных элементов в смешанной формулировке МКЭ на основе предложенной векторно-тензорной аппроксимации перемещений и напряжений для упруго деформируемых тел.

4. Получен в криволинейной системе координат смешанный функционал на основе равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения для определения НДС нелинейно деформируемых тел.

5. Получены в криволинейной системе координат зависимости между приращениями напряжений и приращениями деформаций на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций для нелинейно деформируемых тел с учетом физической и геометрической нелинейностей.

6. Предложены соотношения в криволинейной системе координат для получения матриц деформирования объемных конечных элементов для нелинейно упругого материала при учете геометрической нелинейности. Подтверждено свойство аддитивности ковариантных компонент тензора приращений напряжений.

Практическое значение исследования.

1. Разработанные смешанные объемные конечные элементы без использования упрощающих гипотез о деформировании нормали позволяют

определять НДС твердых тел (в т.ч. пластин и оболочек переменной толщины) при различных видах нагружения (плоского, осесимметричного, произвольного) в линейной и нелинейной постановках.

2. Разработанные программные модули, реализующие предложенные алгоритмы, найдут дальнейшее применение в инженерных расчетах конструкций и сооружений, в особенности при наличии в них отверстий и угловых вырезов, где НДС является существенно объемным и гипотезы о деформировании нормали не «работают».

3. С использованием программных модулей на основе разработанных конечных элементов рассчитывались на прочность фрагменты конструкций в Федеральном государственном бюджетном научном учреждении «Поволжский научно-исследовательский институт эколого-мелиоративных технологий» и в Открытом Акционерном Обществе «Волгограднефтемаш».

Достоверность научных положений и результатов, изложенных в диссертационной работе, обеспечивается удовлетворением разработанных алгоритмов основным соотношениям теории упругости и механики сплошной среды, использованием обоснованных численных методов и подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных конечных элементов, с результатами исследований других авторов. Во всех случаях выполнялись численные исследования сходимости вычислительного процесса при различных количествах дискретных элементов рассчитываемой конструкции.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались

на:

- международных научно-практических конференциях «Инженерные системы» (РУДН, г. Москва) в 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2015 г.г.;

- II международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (КГУ, г. Казань) в 2009г.;

- VII международной научно-практической конференции «Современные достижения европейской науки» (г. София, Болгария) в 2011г.;

- международной научно-практической конференции «Фундаментальные исследования» (Тель-Авив, Израиль) в 2011г.;

- Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения» (КФУ, г. Казань) в 2014г.;

- XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (КФУ, г. Казань) в 2015г.;

- Саратовском государственном техническом университете им. Гагарина Ю.А. на расширенном заседании кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» (г. Саратов) 2016 г.;

- Воронежском государственном университете на расширенном заседании кафедры «Механика и компьютерное моделирование» (г.Воронеж) 2016г.;

- ежегодных международных научно-практических конференциях «Аграрная наука - основа успешного развития АПК» (Волгоградский ГАУ) в 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 г.г.

Диссертационная работа является разделом темы «Модернизация и использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности инженерных конструкций агропромышленного комплекса», которая в соавторстве поддержана грантом РФФИ № 15-41-02346 р_поволжье_а.

На Царицынской ярмарке разработка, основанная на теоретических положениях данной диссертационной работы отмечена золотой медалью в номинации «Инновационные разработки в АПК».

Реализация. Результаты диссертационной работы внедрены:

- в Федеральном государственном бюджетном научном учреждении «Поволжский научно-исследовательский институт эколого-мелиоративных технологий» путем включения разработанных модулей в программы ЭВМ по расчету на прочность конструктивных элементов инженерных сооружений для

выполнения уточненных расчетов с учетом реальных условий эксплуатации, что позволило повысить качество и степень достоверности результатов обследования сооружений, и обосновать инженерные решения, принятые при проектировании, реконструкции и строительстве с целью модернизации производства;

- в Открытом акционерном обществе «Волгограднефтемаш» для исследования полей напряжений и деформаций в резервуарах различных типов при условиях переменности толщины стенок, действия нагрузок, при наличии укрепляющих элементов.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, опубликованы в 34 научных статьях, из которых 27 в журналах из перечня периодических изданий, рекомендованных ВАК РФ для публикации материалов диссертаций; получены 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ, включенных в данную работу .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения и списка используемой литературы (412 наименований), изложена на 382 страницах машинописного текста, содержит 45 рисунков и 17 таблиц.

Во введении обосновывается актуальность использования смешанного метода конечных элементов для исследования деформируемых тел, оболочек вращения и произвольных оболочек, находящихся в различных условиях нагружения при упругом, упруго - пластическом и упруго нелинейном состоянии материала. В заключение формулируется цель исследования, новизна, практическая ценность, приводится общая структура диссертации.

В первой главе дан краткий обзор развития численного метода конечных элементов в исследованиях тонких оболочек, выполненных российскими и зарубежными учеными.

Во второй главе на основе теории механики сплошной среды [32,81,22,97] записаны соотношения теории упругости и пластичности в линейной и нелинейной постановках.

Получены нелинейные соотношения между компонентами тензоровы приращений деформаций и тензоров приращений напряжений на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиаторов приращений деформаций и приращений напряжений.

Получен нелинейный смешанный функционал из условия равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения.

В третьей главе на основе теоретических положений главы 2 в линейной постановке для формирования матриц деформирования кольцевых и шестигранных объемных конечных элементов с узловыми неизвестными перемещениями и напряжениями разработана инвариантная векторно -тензорная аппроксимация искомых величин. Приводятся примеры расчета.

В четвертой главе на шаге нагружения получены определяющие соотношения в двух вариантах: 1) традиционном; 2) предложенном. Для формирования матриц деформирования кольцевых и шестигранных объемных конечных элементов с узловыми неизвестными приращениями перемещений и приращениями напряжений используется предложенный нелинейный смешанный функционал на основе равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил с заменой на шаге нагружения действительной удельной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работы. Приводятся примеры расчета.

В пятой главе для формирования в актуальном базисе матриц деформирования кольцевых и шестигранных объемных конечных элементов с узловыми неизвестными приращениями перемещений и приращениями напряжений в геометрически нелинейной постановке на шаге нагружения предложен смешанный функционал на основе равенства возможной и

действительной работ внешних и внутренних сил при учете разложения тензора приращений деформаций на линейную и нелинейную составляющие с заменой на шаге нагружения действительной удельной работы приращений напряжений разностью полной и удельной дополнительной энергии. На шаге нагружения разработана инвариантная тензорно - векторная аппроксимация мскомых величин. Приводятся примеры расчета.

В шестой главе для шага нагружения в актуальном базисе получены определяющие соотношения на основе гипотезы о пропорциональности между компонентами девиаторов приращений напряжений и компонентами девиаторов приращений деформаций. Доказаны аддитивные свойства ковариантных компонент тензоров приращений напряжений. Разработан алгоритм формирования матриц деформирования кольцевых и шестигранных объемных конечных элементов с узловыми неизвестными приращениями перемещений и приращениями напряжений на основе полученных соотношений и нелинейного смешанного функционала, предложенного в главе 5 для деформируемых оболочек из упруго нелинейного материала. Приводятся примеры расчета.

В выводах подчеркивается эффективность разработанных конечных элементов.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно - исследовательских работ Волгоградского государственного аграрного университета.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПРОЧНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Свое развитие МКЭ получил в середине прошлого века. Свойства универсальности и экономичности вычислительных алгоритмов метода конечных элементов позволили ему занять доминирующее положение среди методов исследования процессов деформирования твердых тел различных конфигураций. Основные зависимости между геометрическими и физическими величинами в механике сплошной среды выводятся на элементе дифференциально малых размеров. МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемой конструкции, что отличает его от остальных численных методов, основывающихся на математической дискретизации уравнений граничных условий. Рассматриваемая конструкция как сплошная среда с бесконечно многими степенями свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой конечных элементов с конечным числом степеней свободы.

Основная задача заключается в том, чтобы выбрать ту модель, которая лучше всего аппроксимирует рассматриваемый континуум. В результате такой дискретизации уравнения, с помощью которых описывается состояние в отдельных элементах, являются алгебраическими вместо дифференциальных или интегральных. Понятие «конечный элемент» было впервые использовано в работе [405] при расчетах напряженно - деформированного состояния инженерных структур. Стремительное развитие почти всех видов инженерных конструкций (особенно в авиации) требовало более точных расчетов. Поэтому методы сил и деформации, как два основных метода расчета напряженно-деформированного состояния, получают особое значение в связи с переводом их в матричную форму, отвечающую применению счетно-вычислительных машин. В 1954 г. Дж.Аргирис впервые ввел понятие матрицы жесткости, которое было

использовано при расчетах пластин и оболочек [4]. Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ, относится к 1956г..

В течение последних 30-40 лет при решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела большое значение приобрели численные методы, основанные на вариационных постановках. Среди них особое место занимает метод конечных элементов благодаря его универсальности в программной реализации и возможности создания полностью автоматизированного цикла расчета. В настоящее время метод конечных элементов заложен в основу почти всех систем автоматизированного расчета конструкций во многих отраслях техники: авиастроении, судостроении, машиностроении, в промышленном и гражданском строительстве и др.

Теории и решению задач деформирования конструкций методом конечных элементов посвящен целый ряд монографий и учебников. Среди них следует отметить работы [24, 35, 56, 90, 97, 206, 214, 222, 230, 231].

В вышеупомянутых работах рассмотрены вопросы расчета конструкций различных типов: стержневых систем, осесимметрично и произвольно нагруженных трехмерных конструкций, а также отдельные вопросы расчета тонкостенных конструкций - оболочек и пластин.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Гуреева Наталья Анатольевна, 2016 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абовский, Н.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н.П. Абовский, Н.П. Андреев, А.П. Дерюга. - М.: Наука. -1978. - 288 с.

2. Агапов, В.П. Учет физической и геометрической нелинейности в расчетах железобетонных плит и оболочек переменной толщины методом конечных элементов / В.П. Агапов, Ю.А. Бардышева, С.А. Минаков // Строит. мех. и расчет сооруж. - 2010. - № 5. - с. 62 - 66.

3. Амосов, А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек. - М.: МГСУ. - М.: АСВ. - 2009. - 302 с.

4. Аргирис, Дж. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечных элементов / Дж. Аргирис, Д. Шарпф. - Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - Л.:. - 1974. -Т. 1. - С. 179 - 210.

5. Артемьева, А.А. Верификация конечно-элементного решения трехмерных нестационарных задач упругопластического деформирования, устойчивости и закритического поведения оболочек / А.А. Артемьева, В.Г. Баженов, А.И. Кибец, П.В. Лаптев, Д.В. Шошин // Вычисл. мех. сплош. сред. -2010. - 3. - № 2. - с. 5 - 14.

6. Арьков, Д.П. Учёт физической нелинейности в смешанной формулировке МКЭ при плоском напряжённом состоянии. / Д.П. Арьков, Н.А. Гуреева // «Инженерные системы - 2010». Труды международной научно-практической конференции, РУДН. - М., 2010. - С.185-189.

7. Арьков, Д.П. Расчёт оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке с учётом физической нелинейности. / Д.П. Арьков, Н.А. Гуреева // Известия ВолгГТУ. - 2010. - № 4. -С. 128-132.

8. Арьков, Д.П. Применение смешанного метода конечных элементов для прочностных расчетов силосов, предназначенных для хранения зерна / Д.П.

Арьков, Н.А. Гуреева // Изв. Нижневолжск. агроунив. комплекса: Наука и высш. проф. образ. - 2011. - № 1. - С. 189 - 196.

9. Астрахарчик, С.В. Исследование нелинейного деформирования и устойчивости оболочек и панелей ненулевой гауссовой кривизны / С.В. Астрахарчик, Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Изв. АН. МТТ. - 1994. - № 2. - С. 102 - 108.

10. Бадриев, И.Б. Разрешимость физически и геометрически нелинейной задачи теории трехслойных пластин с трансверсально - мягким заполнителем / И.Б. Бадриев, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин // Изв. вузов. Матем. - 2015. - № 10. - С. 66 - 71.

11. Бадриев, И.Б. О решении физически нелинейных задач о равновесии трехслойных пластин с трансверсально - мягким заполнителем / И.Б. Бадриев, Г.З. Гарипова, М.В. Макаров, В.Н. Паймушин, Р.Ф. Хабибуллин // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. - 2015. - том 157. - кн.1. - С. 15 - 24.

12. Бандурин, Н.Г. Применение четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36х36 к расчету непологих произвольных оболочек / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, Т.И. Апраксина // Проблемы прочности. - 1980. - Т. 5. - С. 104 - 108.

13. Бандурин, Н.Г. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента к расчету тонкостенных оболочек вращения / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, И.К. Торунов // Прикл. механика. - 1980. - Т. 16. -№ 3. - С. 50 -55.

14. Бандурин, Н.Г. К расчету сочлененных оболочек с помощью четырехугольного конечного элемента с матрицей жесткости 36х36 / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Расчеты на прочность. Вып.21. - М.: Машиностроение, 1981. - С. 225 - 236.

15. Бандурин, Н.Г. К расчету оболочек вращения методом конечных элементов / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, Т.И. Апраксина // Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. - 1981. - № 5. - С. 26 - 31.

16. Бандурин, Н.Г. Расчет непологих оболочек методом конечных элементов с учетом физической нелинейности / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Строит. мех. и расчет сооруж. - 1984. - № 4. - С. 10 - 13.

17. Бандурин, Н.Г. К применению метода шагового нагружения для расчета непологих оболочек / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Изв.вузов. Сер.:Машиностроение. - 1984. - № 8. - С. 20 - 23.

18. Бандурин, Н.Г. К расчету непологих оболочек с учетом геометрической нелинейности / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Прикл. механика. - 1985. - Т. 21. - № 8. - С. 56 - 63.

19. Бандурин, Н.Г. Применение МКЭ для расчета оболочек вращения с учетом пластических свойств материала / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев // Изв.вузов.Сер.:Строительство и архитектура. - 1985. - № 3. - С. 24 - 27.

20. Бандурин, Н.Г. К применению МКЭ для исследования процесса деформирования твердого тела шаговым методом на основе уравнения механики сплошной среды / Н.Г. Бандурин, А.П. Николаев, Ю.В. Клочков // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы XI международной научно-практической конференции. - Новосибирск, 1990. - С. 22 - 26.

21. Бандурин, Н.Г. Определение плоского напряженного состояния оболочек на основе смешанной формулировки метода конечных элементов с учетом геометрической нелинейности / Н.Г. Бандурин, Н.А. Гуреева // Космонавтика и ракетостроение. - 2013. - Т. 1. - № 70. - С. 69 - 75.

22. Бандурин, Н.Г. Реализация смешанного МКЭ при расчете плоско нагруженных конструкций с учетом геометрической нелинейности / Н.Г. Бандурин, Н.А. Гуреева // Международный журнал экспериментального образования. - 2012. - № 5. - С. 89 - 92.

23. Бартоломей, М.Л. Конечно-элементное моделирование процессов формирования зон растрескивания в трехмерной пластине / М.Л. Бартоломей, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков // Изв. Самар. науч. центра РАН. - 2011. - 13. - №

4. - С. 1062 - 1068.

24. Бате, К. -Ю. Методы конечных элементов / Пер. с англ. В.П. Шидловского под ред. Л.И. Турчака. - М.: Физматлит, 2010.- 1024с.

25. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов. - М.: Наука, 1975. -

631 с.

26. Белкин, А.Е. Расчёт пластин методом конечных элементов / А.Е. Белкин, С.С. Гаврюшин. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. - 231 с.

27. Бережной, Д.В. Об уравнениях непротиворечивого варианта геометрически нелинейной теории упругости в квадратичном приближении при малых деформациях / Д.В. Бережной, И.С. Кузнецова, В.Н. Паймушин, А.А. Саченков // Матем. моделир. и краев. задачи. - 2007. - № 1. - С. 47 - 49.

28. Борисенко, А.И. Векторный анализ и начала тензорного исчисления / А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов // Гос.изд-во «Высшая школа», 1963. - 216 с.

29. Валишвили, Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н.В. Валишвили. - М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.

30. Векуа, И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек / И.Н. Векуа. - М.: Наука, 1982. - 288 с.

31. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В.З. Власов. - М.: Гостехиздат, 1949. - 784 с.

32. Вольмир, А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А.С. Вольмир. - М.: Гостехиздат, 1956. - 420 с.

33. Вольмир, А. С. Устойчивость упругих систем / А.С. Вольмир. - М.: Физматгиз, 1963. - 879 с.

34. Гайджуров, П.П. Билинейный четырехузловой конечный элемент для решения двумерных задач теории упругости / П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова // Изв. вузов. Сев. - Кав. регион. Техн. н. - 2011. - № 7. - с. 7 - 13.

35. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер.- М.: Мир, 1984. - 428 с.

36. Галилеев, М.М. Схема смешанного метода конечных элементов для пластин и оболочек. - Прикладные и теоретические исследования строительных конструкций. - М., 1981. - С. 26-30.

37. Галимов, К.З. Некоторые вопросы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Галимов // Исслед. по теории пластин и оболочек. - Казань. - 1981. - № 6.

- С. 7 - 29.

38. Галимов, К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек / К.З. Галимов // Казань: Изд. Казан. гос. ун-та, 1975. - 326 с.

39. Гинесин, Л.Ю. Применение метода конечных элементов к расчету тонких пологих оболочек / Л.Ю. Гинесин, М.М. Стратонова, А.Л. Берне // Тр. Центр. института авиац. Моторостроения. - 1982. - № 996. - С. 39 - 50.

40. Голованов, А.И. Новый конечный элемент для расчета произвольных тонких оболочек / А.И. Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. - 1986. - № 4. - С. 21 - 23.

41. Голованов, А.И. Расчет составных оболочек произвольной геометрии // Проблемы механики оболочек / А.И. Голованов. - Калинин, 1988. - С. 33 - 40.

42. Голованов, А.И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. - Казань, 1989.- 270с.

43. Голованов, А.И. Введение в метод конечного элемента статики тонких оболочек / А.И. Голованов, М.С. Корнишин. - Казань: Изд-во КФ АН СССР, 1990. - 269 с.

44. Голованов А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Классификация и основные требования / А.И. Голованов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов. - Горький, 1990. - С. 89 - 96.

45. Голованов, А.И. О расчете тонких оболочек трехмерными изопараметрическими элементами / А.И. Голованов // Исследования по теории пластин и оболочек. - Вып. 20. - Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та, 1990. - С. 134

- 140.

46. Голованов А.И., Песошин А.В. Новый вариант построения трехмерного конечного элемента для анализа произвольных оболочек// Исследования по теории пластин и оболочек. Вып.22.- Казань: Изд-во Казанск. Гос. Ун-та, 1990.- С.79-90.

47. Голованов А.И., Песошин А.В., Красновский И.Ю., Нехотяев В.В. Расчет геометрически сложных штампованных конструкций как оболочек средней толщины // Известия вузов. Машиностроение.- 1990.- Т.4.- С.30-34.

48. Голованов, А.И. Конечные элементы тонких непологих оболочек. Способы построения / А.И. Голованов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения. - Н.Новгород, 1991. - С. 58 - 65.

49. Голованов А.И., Песошин А.В. Трехмерный конечный элемент для расчета произвольных оболочек// Исследования по теории пластин и оболочек. Вып.24.- Казань: Изд-во Казанск. Гос. Ун-та,1992.- С.6-21.

50. Голованов, А.И. Исследование устойчивости тонких оболочек изопараметрическими конечными элементами / А.И. Голованов // Строительная механика и расчет сооружений. - 1992. - № 2. - с. 51 - 55.

51. Голованов, А.И. Исследование критических деформаций оболочек / А.И. Голованов, О.Н. Гурьянова // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной конференции. - Казань, 2000. - С. 178 - 183.

52. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной. - Казань: «ДАС», 2001. - 300 с.

53. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Якушин С.А. Расчет тонкостенных конструкций МКЭ с учетом геометрической и физической нелинейности// Сб. докладов «Проблемы прочности и пластичности». Вып.64. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2002. - С. 36 - 40.

54. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф., Якушин С.А. Исследование нелинейного статического и динамического деформирования оболочек малой и средней толщины МКЭ.// Труды XX

Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов- ББМ&ЕБМ - 2003».

- СПб., 2003. - С. 134 - 139.

55. Голованов, А.И. Современные конечноэлементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, А.В. Песошин, О.Н. Тюленева. - Казань: Казанский гос. ун-т, 2005. - 442 с.

56. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов. - М.: Физматлит, 2006. - 391с.

57. Голованов, А.И. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. [ч.1У]. Конечно-элементная реализация. Примеры решения задач / А.И. Голованов, Ю.Г. Коноплев, Л.У. Султанов. - Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер.:Физ.-мат. н. - 2010. - 152. - № 4. - с. 115 - 126.

58. Гольденвейзер, А.А. Теория упругих тонких оболочек / А.А. Гольденвейзер. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

59. Горшков, А.П. Конечные элементы на основе полного семейства неполиномиальных определяющих функций формы для произвольного числа граничных узлов / А.П. Горшков, И.Ю. Колесников // Изв. АН. МТТ. - 1998. - № 1. - С. 116 - 128.

60. Гоцуляк, Е.А. Построение геометрически нелинейных конечно-элементных моделей для тонких оболочек с несовершенствами форм / Е.А. Гоцуляк, О.А. Лукьяненко, Е.В. Костина, И.Г. Гаран // Прикл. мех. - 2011. - 47. -№ 3. - с. 89 - 101.

61. Григолюк, Э.И. Устойчивость оболочек / Э.И. Григолюк, В.В. Кабанов.

- М.: Наука, 1978. - 360 с.

62. Григолюк, Э.И. Проблемы нелинейного деформирования / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука, 1980. - 230 с.

63. Григолюк, Э.И. Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики

деформируемого твердого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. - М.: Наука, 1988. - 232 с.

64. Григолюк, Э.И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций / Э.И. Григолюк, В.И. Мамай. - М.: Наука Физматлит, 1997. - 272 с.

65. Гуреева, Н.А. Геометрически нелинейный расчет произвольно нагруженной оболочки вращения на основе смешанного МКЭ / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Вестник машиностроения. - № 10. - 2015. - С. .

66. Гуреева, Н.А. Определяющие соотношения для нелинейно упругих тел и их реализация в расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения на основе смешанного МКЭ / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Учен. зап. Казан. ун - та. Сер. физ. - мат. н. - 2015. - том 157. - кн.2. - С. 28-39.

67. Гуреева, Н.А. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2014. - № 4. - С.14-19.

68. Гуреева, Н.А. Об инвариантности векторной аппроксимации перемещений относительно систем координат / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков // Вестник ВолгГАСУ. Сер. Технические науки, 2006. - Вып.6 (20). - С. 84 - 88.

69. Гуреева, Н.А. Гибридный конечный элемент нагруженных тел / Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Сев. - Кав. регион. Сер.: Техн. науки. - 2007. - № 1. - С. 31 - 33.

70. Гуреева, Н.А. Восьмиузловой объемный конечный элемент оболочки вращения с неизвестными напряжениями и перемещениями в узлах / Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Строительство. - 2007. - № 4. - С. 33 - 39.

71. Гуреева, Н.А. Расчет осесимметрично нагруженных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2007. - № 3. -С. 23 - 29.

72. Гуреева, Н.А. Восьмиугольный объемный конечный элемент в смешанной формулировке на основе функционала Рейсснера / Н.А. Гуреева // Изв. вузов: Машиностроение. - 2007. - № 5. С. 23 - 28.

73. Гуреева, Н.А. Расчет оболочки вращения при произвольном нагружении с использованием МКЭ на основе функционала Рейсснера / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Вычислит. технологии. - 2008. - Т. 13. - № 4. - С. 51 - 59.

74. Гуреева, Н.А. Расчет физически нелинейных оболочек вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке при осесимметричном нагружении / Н.А. Гуреева, Д.П. Арьков // Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела. Материалы II международной научно-практической конференции, КГУ. - Казань, 2009. - С. 47 - 51.

75. Гуреева, Н.А. Решение плоской задачи теории упругости с использованием варианта МКЭ в смешанной формулировке / Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2009. - № 2. - С.8 - 11.

76. Гуреева, Н.А. Определяющие соотношения в криволинейной системе координат физически линейно деформируемого тела в геометрически нелинейной постановке / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Изв. ВолГТУ. - Вып.10. - № 23 (150). - 2014. - С. 92 - 94.

77. Гуреева, Н.А. Использование аппроксимации тензорных полей в МКЭ при расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения / Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Строительство. - 2009. - № 2. - С. 17 - 23.

78. Гуреева, Н.А. Расчет произвольно нагруженной оболочки вращения на основе МКЭ в смешанной формулировке / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2010. - № 3. - С. 7 - 10.

79. Гуреева, Н.А. Решение плоской задачи теории пластичности на основе МКЭ в смешанной формулировке / Н.А. Гуреева, Д.П. Арьков // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2010. - № 4. - С. 32 - 36.

80. Гуреева, Н.А. Расчет произвольных оболочек на основе МКЭ в

смешанной формулировке с использованием аппроксимации тензорных полей / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2010. - № 1. - С. 36 - 42.

81. Гуреева, Н.А. Учет смещения конечного элемента как жесткого целого в смешанной формулировке МКЭ / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2010. - № 3. - С. 47 - 53.

82. Гуреева, Н.А. Трехмерный конечный элемент для расчета произвольных оболочек при учете геометрической нелинейности / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Межд. журнал прикл. и фунд.исслед. - 2011. -№ 12. - С. 83 - 86.

83. Гуреева, Н.А. Реализация деформационной теории пластичности в расчетах плосконапряженных пластин на основе МКЭ в смешанной формулировке / Н.А. Гуреева, Д.П. Арьков // Изв. Вузов. Сев. - Кав.регион. Сер.: Естест. науки. - 2011. - № 2. - С. 12 - 15.

84. Гуреева, Н.А. Расчет оболочек вращения на основе смешанного МКЭ при тензорной аппрокксимации расчетных величин / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Фундаментальные исследования. - 2011. - № 8 - 2. -С. 356 - 362.

85. Гуреева, Н.А. Определение напряжений в зоне сочленения плосконагруженных разнородных криволинейных пластин на основе МКЭ / Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева, В. В. Леонтьева // Вестник ВолгГАСУ. Сер.: Строительство и архитектура . - 2012. - № 28. - С. 60 - 66.

86. Гуреева, Н.А. Расчет плосконагруженных геометрически нелинейных конструкций на основе смешанного МКЭ с тензорно-векторной аппроксимацией искомых величин / Н.А. Гуреева // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер.: Матем. Мех. Информ. - 2012. - Т. 12. - № 3. - С. 56 - 62.

87. Гуреева, Н.А. Реализация смешанного функционала в МКЭ при тензорной аппрокимации искомых величин / Н.А. Гуреева, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Строит. мех. и расчет. сооружений. - 2013. - № 1 (246). - С. 45 - 52.

88. Гуреева, Н.А. Получение определяющих соотношений при упругопластическом деформировании в геометрически нелинейной постановке [Электронный ресурс] / Н.А. Гуреева, Ю. В. Клочков, А.П. Николаев // Материалы XI Всерос. съезда по фунд. пробл. теоретич. и прикл. мех-ки. -Казань: Казанский (Приволж.) федер. ун-т, 2015. - CD-ROM.

89. Демидов, С.П. Теория упругости / С.П. Демидов. - М.: Высшая школа. - 1979. - 432 с.

90. Деклу, Ж. Метод конечных элементов / Ж. Деклу. - М.: Мир, 1976.

- 96 с.

91. Длугач, М.И. Метод конечных элементов в применении к расчету цилиндрических оболочек с прямоугольными отверстиями / М.И Длугач // Прикл. Механика. - 1973. - Т. 11. - № 11. - С. 35 - 41.

92. Дьяконов, Е.Г. О построении итерационных методов на основе использования операторов, эквивалентных по спектру / Е.Г. Дьяконов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1966. - Т. 6. - № 1. - С. 12 - 34.

93. Дьяконов, Е.Г. О решении нелинейных статических задач теории пластин и оболочек. Численные методы механики сплошной среды / Е.Г. Дьяконов, Н.Н. Столяров // Новосибирск, 1979. - Т 10. - № 5.- С. 39 - 62.

94. Железнов, Л.П. Исследование нелинейного деформирования цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении методом конечных элементов / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. -1981. - № 3. - С. 49 - 54.

95. Железнов, Л.П. Функции перемещений конечных элементов оболочки вращения как твердых тел / Л.П. Железнов, В.В. Кабанов // Изв. АН СССР, МТТ. - 1990. - № 1. - С. 131 - 136.

96. Жиделёв, А. В. Смешанная форма МКЭ в задачах расчёта геометрически нелинейных стержневых систем / А. В. Жиделёв, В. А. Игнатьев // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Сер.: Естественные науки. - Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2007.

- Вып. 6 (23). - С. 78-84.

97. Зенкевич, О. Метод конечных элементов к технике / О. Зенкевич. -М.: Мир, 1975. - 542 с.

98. Зенкевич, О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкекич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. -318 с.

99. Зубчанинов, В.Г. Основы теории упругости и пластичности / В.Г. Зубчанинов. - М.: Высшая школа, 1990. - 368 с.

100. Зуев, Н.Н. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов / Н.Н. Зуев, Э.Н. Князев, А.Б. Костриченко, В.И. Шалашилин // Изв. АН. МТТ. - 1997. - № 6. - С. 137 - 147.

101. Игнатьев, А. В. Смешанная форма МКЭ в расчётах линейных стержневых систем / А.В. Игнатьев, А.В. Жиделёв // Вестник Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии. Сер.: Технические науки. - Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - N 1 (4). - С. 20-28.

102. Игнатьев, А.В. Применение МКЭ в смешанной форме для расчета тонких пластинок / А.В. Игнатьев, А.В.Поляков // Вестник Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии. Сер. Естественные науки. - Волгоград: ВолгГАСА, 2002. - Вып. 2 (6). - С. 251 - 255.

103. Игнатьев, В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек / В.А. Игнатьев. - Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1980. - 180 с.

104. Игнатьев, В.А. Расчет тонкостенных пространственных конструкций пластинчатой и пластисто - стержневой структуры / В.А. Игнатьев, О.Л. Соколов, И.Т. Альтенбах, В. Киссинг. - М.: Стройиздат, 1996. -559 с.

105. Игнатьев, В. А. Применение смешанной формы МКЭ к расчету стержневых систем и пластинок / В. А. Игнатьев, А. В. Игнатьев // Архитектура и строительство, наука и образование как фактор оптимизации среды жизнедеятельности. Материалы междунар. науч. - практ. конф.-семинара, Хаммамет, Тунис. - Волгоград : Изд-во ВолгГАСУ, 2004. - С. 13 - 17.

106. Игнатьев, В. А. Смешанная форма МКЭ в задачах строительной механики / В.А.Игнатьев, А.В.Игнатьев // Строительная механика и расчет сооружений. - 2006. - N 1. - С. 59-64.

107. Ильюшин, А.А. Механика сплошной среды / А.А. Ильюшин. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1978. - 288 с.

108. Кабанов, В.В. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов / В.В. Кабанов, Л.П. Железнов // Прикл. Механика. - 1978. - Т. 14. -№ 3. - С. 45 - 52.

109. Кабанов, В.В. Применение метода конечных элементов к расчету на прочность цилиндрических оболочек типа фюзеляжа самолета / В.В. Кабанов // Вопр. прочности и долговечности элементов авиац. констр. - Куйбышев. - 1979.

- № 25. - С. 35 - 43.

110. Козлов, В.А. Теория и расчет конических оболочек сложной геометрической структуры. Дис. д. т. н / Казань: КГУ, 2004. - 245 с.

111. Кан, С.Н. Строительная механика оболочек / С.Н. Кан. - М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

112. Кантин, Дж. Смещение криволинейных элементов как жесткого целого / Дж. Кантин // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - № 7. - С. 84 -88.

113. Кантин, Дж. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки / Дж. Кантин, Р. Клауф // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. -№ 6. - С. 82 - 87.

114. Кармишин, А.В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А.В. Кармишин, В.А. Лясковец, В.И. Мяченков и др. - М.: Машиностроение, 1975. - 376 с.

115. Каюмов, Р.А. К решению задач неоднородной теории упругости методом конечных элементов / Р.А. Каюмов // Матем. моделир. и краев. задачи.

- 2007. - № 1. - С. 119 - 121.

116. Киселев, А.П. Применение криволинейного треугольного элемента с матрицей жесткости 54х54 для расчета тонкостенных элементов конструкций мелиоративных систем / А.П. Киселев, Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // ВГСХА. Вестник АПК, ВГСХА. - Волгоград, 1997. - № 9. - С. 9.

117. Киселев, А.П. Использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности многослойных панелей / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2009. -№ 4. - С. 37 - 40.

118. Киселев, А.П. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева // Изв. вузов. Строительство. - 2010. - № 1. - С. 106 - 112.

119. Киселев, А.П. Расчет многослойной оболочки с использованием объемного конечного элемента / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева // Изв. ВолГТУ. - 2010. - Т. 4. - № 4. - С. 125 - 128.

120. Киселев, А.П. Определение напряжений в зоне пересечения пластин при плоском нагружении на основе МКЭ / А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева, В. В. Леонтьева // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - 2012. - № 2. - С. 56 - 62.

121. Клочков, Ю.В. О модификации принципа возможных перемещений в итерационном методе расчета конструкций на основе МКЭ / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 1995. - № 3. - С. 33 - 36.

122. Клочков, Ю.В. Учет изменения длины нормали в шаговом методе расчета нелинейных тонких оболочек на основе МКЭ / Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности. Материалы Всероссийских научно - технич. конференций с международным участием. -Таганрог, 1996 - 1997 г.г. - Часть 2. - С. 42 - 44.

123. Клочков, Ю.В. Расчет тонкостенных конструкций мелиоративных систем и водохозяйственных объектов с помощью треугольных конечных элементов / Ю.В. Клочков, А.П. Киселев // Научный вестник. Сер. Инж. Науки. - Волгоград, 1997. - С. 248 - 255.

124. Клочков, Ю.В. Преобразование узловых векторов перемещений конечных элементов в точках кривой пересечения произвольных оболочек / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Деп. В ВИНИТИ 09.09.97, № 2823. - В 97. -Волгоград, 1997. - 23 с.

125. Клочков, Ю.В. Использование векторного и традиционного / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // ВГСХА. Деп. В ВИНИТИ 11.02.97, № 419. - В 97. - Волгоград, 1997. - 23 с.

126. Клочков, Ю.В. Конечно - элементная формулировка уравнений произвольных непологих оболочек с учетом смещений как жесткого целого / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // Теория оболочек и пластин. Труды межд. конф. - Саратов, 1997. - Т. 3. - С. 95 - 100.

127. Клочков, Ю.В. О функциях формы в алгоритмах формирования матриц жесткости в треугольных конечных элементах / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 1999. - № 10 . - С. 23 - 27.

128. Клочков, Ю.В. Треугольный конечный элемент произвольной непологой оболочки с матрицей 54х54 при учете смещений как жесткого целого / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.П. Киселев // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. Технические. - 1999. - № 2 . - С. 80 - 84.

129. Клочков, Ю.В. Расчет геометрически нелинейных тонких оболочек в базисе деформированного состояния на основе МКЭ / Ю.В. Клочков // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной научной конференции, КГУ. - Казань, 2000. - С. 251 - 255.

130. Клочков, Ю.В. Использование МКЭ в расчете геометрически нелинейной оболочки с учетом изменения ее толщины при шаговом нагружении / Ю.В. Клочков // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды международной научной конференции, КГУ. - Казань, 2000. - С. 199 - 200.

131. Клочков, Ю.В. Векторная аппроксимация в МКЭ при расчете нелинейных оболочек с учетом изменения толщины в процессе деформирования

/ Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Архитектура оболочек и прочн. Расчет тонкостенных строит. и машиностроит. Конструкций сложной формы. Труды межд. научн. конф., РУДН. - Москва, 2001. - С. 177 - 182.

132. Клочков, Ю.В. Учет жестких смещений конечного элемента в неявном виде на основе использования векторной интерполяции перемещений / Ю.В. Клочков // Вестник Российского университета дружбы народов. - 2002. -№ 1. - С. 123 - 127.

133. Клочков, Ю.В. Использование конечных элементов четырехугольной и треугольной форм в расчетах оболочечных конструкций / Ю.В. Клочков // Эффективные строительные конструкции: теория и практика. Сборник статей II Международной научно - практич. конф. - Пенза, 2003. - С. 120 - 123.

134. Клочков, Ю.В. Совершенствование расчетов оболочек МКЭ в нелинейной постановке / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 2003. - № 5. - С. 15 - 22.

135. Клочков, Ю.В. Расчет геометрически нелинейных непологих оболочек МКЭ в актуальном базисе с учетом обжатия по толщине / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 2003. - № 8. - С. 7 -12.

136. Клочков, Ю.В. Совершенствование расчетов оболочек МКЭ в нелинейной постановке / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 5. - С. 15 - 22.

137. Клочков, Ю.В. Сравнительная оценка точности конечноэлементных решений оболочек при использовании высокоточных конечных элементов треугольной и четырехугольной форм / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2003. - № 10. - С. 3 -10.

138. Клочков, Ю.В. Сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов треугольной и четырехугольной форм в

расчетах оболочек вращения / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 2004. - № 3. - С. 103 - 109.

139. Клочков, Ю.В. Сравнительный анализ результатов использования векторной аппроксимации перемещений в различных системах координат / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Машиностроение. - 2004. -№ 5. - С. 3 - 8.

140. Клочков, Ю.В. Расчет осесимметричной оболочки с учетом смещения как жесткого целого / Ю.В. Клочков, Н.А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ. Сер. Естеств. науки. - 2004. - Вып. 3 (10). - С. 38 - 41.

141. Клочков, Ю.В. Расчет оболочек отрицательной Гауссовой кривизны с использованием МКЭ / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Изв. вузов. Сер. Строительство. - 2004. - № . - С. 27 - 32.

142. Клочков, Ю.В. Сравнение различных способов аппроксимации перемещений на треугольном элементе в расчетах оболочек / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Вычислительные технологии. - Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 2005. - № 3. - С. 47 - 55.

143. Клочков, Ю.В. Особенности вычисления геометрических величин в методе конечных элементов при расчетах тонкостенных оболочечных конструкций / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.Ш. Джабраилов // Изв. вузов. Машиностроение. - 2005. - № 8. - С. 24 - 31.

144. Клочков, Ю.В. Численный анализ напряженно - деформированного состояния оболочек в узле вставления меридиана / Ю.В. Клочков, А.Ш. Джабраилов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2005. - № 1. - С. 123 - 125.

145. Клочков, Ю.В. Об инвариантности векторной аппроксимации полей перемещений относительно координат / Ю.В. Клочков, Н.А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ. Сер. Техн. науки. - 2006. - Вып. 6 (10). - С. 84 - 88.

146. Клочков, Ю.В. К вопросу о неадекватности изопараметрической параметризации в методе конечных элементов / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев,

А.Ш. Джабраилов // Вычислительные технологии. - Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 2006. - № 4. - Том 11. - С. 54 - 64.

147. Клочков, Ю.В. Использование множителей Лагранжа при формировании матрицы жесткости треугольного конечного элемента / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, О.В. Вахнина // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. -М.: РУДН. - 2009. - № 2. - С. 38 - 43.

148. Клочков, Ю.В. Алгоритм учета смещения как жесткого целого треугольного элемента оболочки при использовании множителей Лагранжа / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, О.В. Вахнина // Строит. мех. инж. констр. и сооруж. - М.: РУДН. - 2009. - № 4. - С. 41 - 47.

149. Клочков, Ю.В. Анализ геометрически нелинейной оболочки вращения на основе МКЭ с вариативным форматированием матрицы упругости на шаге нагружения / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, А.А. Шубович // Строительная механика и расчет сооружений. - 2011. - № 3. - С. 40 - 44.

150. Клочков, Ю.В. Вариативное исследование использования множителей Лагранжа в треугольном конечном элементе оболочки вращения / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, О.В. Вахнина // Вычислительные технологии. -Новосибирск: Институт вычислительных технологий СО РАН. - 2011. - Т. 16. -№ 1. - С. 94 - 104.

151. Клочков, Ю.В. Сравнительная оценка вариантов интерполяции полей перемещений на примере задачи осесимметрично нагруженной оболочки вращения / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, С.С. Марченко, А.А. Шубович // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2011. - № 1. - С. 50 - 57.

152. Клочков, Ю.В. Расчет оснований и фундаментов на основе метода конечных элементов в смешанной формулировке с учетом физической нелинейности / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Вестник ВолгГАСУ. Сер.: Строительство и архитектура . - 2013. - № 30. - С. 87 - 94.

153. Клочков, Ю.В. Расчет нелинейно упругих осесимметрично

нагруженных оболочек вращения на основе смешанного МКЭ / Ю.В. Клочков, А.П. Николаев, Н.А. Гуреева // Материалы Всерос. науч. конф. «Обратные краевые задачи и их приложения». - Казань: Казанский (Приволж.) федер. ун-т, 2014. - CD-ROM.

154. Корнеев, В.Г. О дифференциальном операторе системы уравнений равновесия теории тонких оболочек / В.Г. Корнеев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1975. - № 2. - С. 89-97.

155. Корнеев, В.Г. О численном решении в усилиях задач теории оболочек с использованием косоугольной сетки / В.Г. Корнеев //. - Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981. Т. 21. - № 2. - С. 441-451.

156. Корнеев, В.Г. Некоторые вопросы построения исследования схем метода конечных элементов / В.Г. Корнеев // - Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974, т. 5, №1 с. 59-87.

157. Корнишин, М.С. Нелинейные задач теории пластин и пологих оболочек и методы их решения / М.С. Корнишин. - М.: Наука, 1964. - 192с.

158. Корнишин, М.С. Гибкие пластины и панели / М.С. Корнишин, Ф.С. Исанбаева. - М.: Наука, 1968. - 260 с.

159. Косицин, С.Б. Метод построения базисных функций для искривленных конечных элементов с учетом жесткого смещения / С.Б. Косицин // Исследования по строительным конструкциям и их элементам.- М.: ЦНИИСК, 1982. - С. 17 - 27.

160. Крыско, В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В.А. Крыско. - Саратов: Изд. Саратовск. гос.ун-та, 1976. - 213 с.

161. Кузнецов, В.В. Использование метода возмущения области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек / В.В. Кузнецов, В.В. Петров // Изв АН СССР. МТТ. - 1985. - № 2. -С. 176 - 178.

162. Кузнецов, Ю.М. Элементы с явным выражением жестких смещений в расчете тонких цилиндрических оболочек / Ю.М. Кузнецов, А.И. Голованов //

Прочность и устойчивость оболочек. Труды семинара.- Вып. XIX. Ч.11.- Казань, 1986. - С. 83 - 93.

163. Куликов Г.М. Деформационные соотношения, точно представляющие большие перемещения оболочки как жесткого тела// МТТ. -2004. - №5. - С.130 - 140.

164. Куранов, Б.А. Исследование устойчивочти подкрепленных оболочек методом конечных элементов / Б.А. Куранов, А.И. Турбаивский // Строит. механика и расчет сооруж. - 1980. - № 3. - С. 38 - 41.

165. Кхана, Дж. Сравнение и оценка матриц жесткости / Дж. Кхана, Р. Гули // Ракетная техника и космонавтика. - 1966. - № 2. - С. 31 - 39.

166. Ли С.В., Пиан Т. Усовершенствование метода расчета конечных элементов для пластин и оболочек с помощью смешанного подхода// Ракетная техника и космонавтика.- 1978.- Т.16, 1.- С.38-53.

167. Лионс, Ж. Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж. Л. Лионс, Э. Мадженес. - М.: Мир, 1971.- 371 с.

168. Лущик, О.Н. Сингулярные конечные элементы: обзор и классификация / О.Н. Лущик // Изв. АН. МТТ. - 2000. - № 2. - С. 103 - 114.

169. Малинин, Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. - М.: «Машиностроение», 1975. - 400 с.

170. Мануйлов, Г.А. Исследование устойчивости упругих пластин и оболочек при помощи конечно-элементного моделирования / Г.А. Мануйлов, С.Б. Косицын, М.М. Бегичев // Строит.мех.инж.конструкций и сооруж. - 2011. -№ 1. - с. 58 - 65.

171. Маркол, Р. Определение больших прогибов упругопластических оболочек вращения / Р. Маркол // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - № 9. - С. 113 - 121.

172. Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И.Марчук, В.И. Агошков. - М.:Наука, 1981. - 416 с.

173. Масловская, Л.В. О некоторых вариационных формулировках задач

теории оболочек / Л.В.Масловская, А.П.Филиппович, В.Г. Голушков, Ю.Н. Крапивный // - В кн.: III Респ. симп. По дифференциальным и интегральным уравнениям. 1-3 июня 1982. Тезисы докл. - Одесса: Изд-во Одесск ун-та. - С.51

- 52.

174. Масловская, Л.В. Обобщенный алгоритм Холесского для смешанных дискретных аналогов эллиптических краевых задач /Л.В. Масловская // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 1989. - Т. 29. - № 1. - С. 6774.

175. Мебейн, П. Неявное представление жесткого смещения в случае криволинейных конечных элементов / П. Мебейн, Дж. Стирклин // Ракетная техника и космонавтика. - 1971. - № 2. - С. 206 - 208.

176. Милейковский, И.Е. К расчету оболочек по методу конечных элементов с использованием смешанного потенциала Рейсснера / И.Е. Милейковский, Л.А. Трайнин // Строит. механика и расчет сооружений. - 1977.

- № 4. -С. 21 - 27.

177. Митчелл, Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. - М.: Мир. - 1981. - 216 с.

178. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1970. - 512 с.

179. Михлин, С.Г. Численная реализация вариационных методов / С.Г. Михлин. - М.: Наука, 1966. - 432 с.

180. Муштари, Х.М. Нелинейная теория оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов // М.: Наука, 1990. - 224с.

181. Назаров, A.A. Основы теории и методы расчета пологих оболочек / А.А. Назаров. - Л. - М.: ГИТЛ. - 1966. - 304 с.

182. Николаев, А.П. Применение произвольного четырехугольного конечного элемента с матрицей 48х48 для расчета оболочек вращения / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, И.К. Торунов // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. - 1980. - № 5.- С. 44 - 48.

183. Николаев, А.П. К расчету оболочек методом конечного элемента / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Строит. мех. и расчет сооруж. - 1980. - № 5.- С. 21 - 25.

184. Николаев, А.П. К расчету оболочек вращения методом конечных с учетом пластических свойств материала / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Расчеты на прочность. - М.: Машиностроение. - 1983. - Вып. 24.- С. 229 - 236.

185. Николаев, А.П. К упруго - пластическому анализу оболочек вращения методом конечных элементов / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. - 1983. - № 8. - С. 26 - 30.

186. Николаев, А.П. К расчету осесимметричных оболочечных конструкций / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Изв. вузов. Сер. Машиностроение .- 1983 .- № 7.- С. 17 - 21.

187. Николаев, А.П. Расчет непологих оболочек на основе деформационной теории пластичности / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Проблемы прочности. - 1984. - № 8. - С. 80 - 83.

188. Николаев, А.П. Расчет неустановившейся ползучести оболочек вращения на основе теории старения / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, О.В. Лихоманов // Изв. вузов. Сер. Строительство и архитектура. - 1985. - № 11. - С. 43 - 47.

189. Николаев, А.П. К расчету напряжений в зоне пересечения непологих оболочек методом конечных элементов / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Строит. мех. и расчет сооруж. - 1986. - № 4.- С. 18 - 22.

190. Николаев, А.П. К решению задачи о неустановившейся ползучести оболочек вращения МКЭ на основе теории упрочнения / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, О.В. Лихоманов // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1986. - № 6. -С. 20 - 24.

191. Николаев, А.П. Об определении напряженно-деформируемого состояния тонких оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин // Прикладная механика. Киев. -

1988. - Т. 24. - № 10. - С. 46 - 52.

192. Николаев, А.П. Применение конечных элементов с векторной интерполяцией перемещений к расчету осесимметричных оболочек вращения / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, Ю.В. Клочков // Прикл. механика. - 1990. - Т. 26. - № 11. - С. 110 - 114.

193. Николаев, А.П. Новый эффективный способ интерполяции перемещений в конечно-элементном анализе оболочек / А.П. Николаев, Н.Г. Бандурин, Ю.В. Клочков // Строительная механика. - 1991. - № 1. - С. 62 - 66.

194. Николаев, А.П. О принципе возможных перемещений в нелинейных задачах расчета конструкций / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, Н.Г. Бандурин // Изв. вузов. Сер.Строительство и архитектура. - 1991. - № 4. - С. 20 -22.

195. Николаев, А.П. Расчет оболочек на основе МКЭ в двумерной постановке: монография / А.П.Николаев, Ю.В.Клочков, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева. - Волгоград: ИПК ФГОУ ВПО ВГСХА «Нива», 2009. - 196 с.

196. Николаев, А.П. Особенности формирования матрицы жесткости треугольногои конечного элемента размером 54х54 / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П. Киселев // Изв. вузов. Строительство. - 1998. - № 2. - С. 32 - 37.

197. Николаев, А.П. Расчет оболочек вращения на основе метода конечных элементов с учетом смещения как жесткого целого / А.П. Николаев, Ю.В. Клочков, А.П. Киселев // Концептуальное проектирование в образовании, технике и технологии. Сборник науч. трудов Волг гос. технич. ун-та. -Волгоград, 1999. - С. 107 - 112.

198. Николаев, А.П. Векторная интерполяция полей перемещений в конечно-элементных расчетах оболочек: монография / А.П.Николаев, Ю.В.Клочков, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ, 2012. - 264 с.

199. Николаев, А.П. Расчет отрицательной Гауссовой кривизны с использованием МКЭ / А.П.Николаев, Ю.В.Клочков, Н.А.Гуреева // Изв. вузов.

Строительство. - 2004. - № 8. - С. 27 - 32.

200. Николаев, А.П. Определение напряжений в зоне соединения оболочек вращения на основе МКЭ при произольном нагружении / А.П. Николаев, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева, В. В. Леонтьева // Фундаментальные исследования. - 2013. - № 10-4. - С. 723 - 728.

201. Николаев, А.П. Определение напряжений в зоне соединения оболочек вращения на основе МКЭ при осесимметричном нагружении / А.П. Николаев, А.П. Киселев, Н.А. Гуреева, Р.З. Киселева, В. В. Леонтьева // Фундаментальные исследования. - 2012. - № 6-1. - С. 150 - 154.

202. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В.В. Новожилов. - Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 с.

203. Обэн, Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. Пер. с англ. / Ж.П. Обен. — М.: Мир, 1977. - 383 с.

204. Оганесян, Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений / Л.А. Оганесян, В.Я. Ривкинд, Л.А. Руховец //. Дифференциальные уравнения и их применение. Часть П., Вып.8. - Вильнюс,

1974. - 322 с.

205. Огибалов, П.М. Оболочки и пластины / П.М. Огибалов, М.А. Колтунов. - М.: Изд-во МГУ, 1969. - 695 с.

206. Оден, Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. / Дж. Оден. - М.: 1976. - 464 с.

207. Петров, В.В. Нелинейная инкреметальная строительная механика / В.В. Петров. - Инфра-Инженерия, 2014. - 479 с.

208. Петров, В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек / В.В. Петров. - Саратов: Изд. Саратовск. гос. ун-та,

1975. - 120 с.

209. Пикуль, В.В. Теория и расчет оболочек вращения / В.В. Пикуль. -М.: Наука, 1982. - 158 с.

210. Пикуль, В.В. Теория и расчет сложных конструкций / В.В. Пикуль.

- М.: Наука, 1985. - 183 с.

211. Пикуль, В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития / В.В. Пикуль // Изв. АН МТТ. - 2000. - № 2. - С. 153 - 168.

212. Пикуль, В.В. Механика оболочек / В.В. Пикуль. - Владивосток: Дальнаука, 2009. - 536 с.

213. Покровский, А.А. Смешанная форма МКЭ в расчётах стержневых систем и сплошной среды: дис. д-ра техн. наук / А.А. Покровский. - Пенза: ПГСА, 2000. - 308 с.

214. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

215. Постнов, В.А. Использование метода конечных элементов в расчетах устойчивости подкрепленных оболочек / В.А. Постнов, В.С. Корнеев // Прикл. механика. -1976. - Т. 12. - № 5. - С. 44 - 49.

216. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977. - 280 с.

217. Постнов, В.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных конструкций / В.А. Постнов, С.А. Дмириев. - Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

218. Постнов, В.А. Учет физической и геометрической нелинейности в задачах изгиба оболочек вращения / В.А. Постнов, М.Г. Слезина // Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. № 6. - С. 78 - 85.

219. Постнов, В.А. Новая модель изопараметрического конечного элемента для расчета оболочек / В.А. Постнов, М.И. Трубачев // Изв. АН. МТТ. - 1995. № 1. - С. 141 - 146.

220. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко / Р.Б. Рикардс, А.К. Чате // Мех. композит.материалов. - 1981. - № 3. - С. 453 - 460.

221. Рикардс, Р.Б. Изопараметрический треугольный конечный элемент многослойной оболочки по сдвиговой модели Тимошенко / Р.Б. Рикардс, А.К. Чате // Мех. композит.материалов. - 1981. - № 5. - С. 815 - 820.

222. Рикардс, Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин / Р.Б. Рикардс. - Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

223. Роговой, А.А. Процедура восполнения напряжений при решении геометрически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элументов / АА. Роговой, О,С. Столбова // Прикл. мат. и мех.

- 2010. - 74. - № 6. - С. 992 - 1008.

224. Розин, Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ: метод конечных элементов / Л.А. Розин. - М.: Энергия, 1971. - 214 с.

225. Рукин, Ю.Б. Исследование динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапециевидных конечных элементов / Ю.Б. Рукин, Н.Г. Радченко, Е.Ю. Чернышева // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 2000. - № 4. - С. 3 - 11.

226. Савельев, Л.М. Простой четырехугольный конечный элемент произвольной тонкой оболочки / Л.М. Савельев // Вопр. прочности и долговеч. элементов авиац. конструкций. - Куйбышев, 1979. - № 5. - С. 58 - 63.

227. Савула, Я.Г. Расчет криволинейных трубчатых оболочек полуаналитическим методом конечных элементов / Я.Г. Савула, Г.А. Шинаренко // Изв. АН СССР. МТТ - 1980. - № 2. - С. 168 - 173.

228. Сарбаев, Б.С. Расчет оболочек вращения с учетом физической нелинейности / Б.С. Сарбаев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1984. - № 6.

- С. 20 - 24.

229. Сахаров, А.С. Метод конечных элементов в механике твердых тел / А.С. Сахаров, В.Н. Кислоокий, В.В. Киричевский и др. - Киев: Вища школа; Лейпциг: ФЕБ Фахбухферпаг, 1982. - 179 с.

230. Сегерленд, Л. Применение метода конечных элементов в технике: перев. с англ. / Л. Сегерленд. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

231. Сегерленд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерленд.

- М.: Мир, 1979. - 392 с.

232. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1976.

- Т. 1. - 536 с.; 1976. -Т. 2. - 574 с.

233. Семенов, П.Ю. Конечно-элементное моделирование подкрепленных пластин. Int. J. Comput. Civ.and Struct. Eng.-2010. 6. - № 1 - 2. - с. 199 - 200.

234. Серазутдинов, Н.М. Построение конечно-элементных функций произвольной степени аппроксимации и их использование для расчета оболочек / Н.М. Серазутдинов, Р.Р. Губаев // Теория оболочек и пластин. Труды 18-й межд. конференции. - Саратов, 1997. - Т. 2. - С. 112 - 116.

235. Серазутдинов, М.Н. Построение равновесных конечных элементов с использованием непрямого метода конечных элементов / М.Н. Серазутдинов, О.М. Сахбиев // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды межд. конференции. - Казань, 2000. - С. 374 - 379.

236. Серпик, И.Н. Треугольная дискретизация тонких оболочек на основе модифицированного подхода к кусочному тестированию в методе конечных элементов / И.Н. Серпик // Строит. мех. и расчет сооруж. - 2010. - № 1. - с. 27 -33.

237. Серпик, И.Н. Эффективный конечно-элементный анализ плит Тимошенко с исключением заклинивания изгибных деформаций / И.Н. Серпик // Изв. вузов. Строительство. - 2010. - № 10. - с. 8 - 17.

238. Скопинский, В.Н. Расчет оболочечных конструкций с применением четырехугольных кривольнейных элементов / В.Н. Скопинский // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1983. - № 5. - С. 16 - 21.

239. Скопинский, В.Н. Об ососбенностях напряженного состояния в области пересечения цилиндрических оболочек / В.Н. Скопинский // Строит. механика и расчет сооруж. - 1986. - № 2. - С. 19 - 22.

240. Скопинский, В.Н. Расчетное и экспериментальное исследование напряженного состояния коленных соединений трубопроводов / В.Н. Скопинский, Г.М. Меллерович // Пробл. прочности. - 1988. - № 12. - С. 73 - 76.

241. Сливкер, В.И. Об одной смешанной вариационной постановке задач для упругих систем / В.И. Сливкер // Изв. АН СССР. Механика твердого тела,

1982. - № 4. - С. 88 - 97.

242. Соболев, С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. - Л.: Изд-во Ленинград гос. ун-та, 1950. - 220 с.

243. Сторожук, Е.А. О применении метода конечных элементов к решению двухмерных упругопластических задач для оболочек с отверстиями / Е.А. Сторожук // Докл. АН Украины. - 1993. - № 10. - С. 79 - 83.

244. Стренг, Г. Теория МКЭ / Г. Стренг, Дж. Фикс. - М.: Мир, 1977. - 349 с.

245. Стриклин, Дж. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке / Дж. Стриклин, В. Хейслер, Х. Макдуголл, Ф. Стеббинс // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. - № 12. - С. 82 -85.

246. Сулейманова, М.Н. К расчету гибких непологих оболочек различного типа методом конечных элементов / М.Н. Сулейманова // Прикл. механика. -1984. - Т. 20. - № 1. - С. 72 - 78.

247. Султанов, Л.У. Исследование упругопластических трехмерных тел МКЭ / Л.У. Султанов // Вестн. Нижегор. ун-та им. Н.И. Лобачевского. - 2011. -№ 4.-ч. 4. - С. 1797 - 1798.

248. Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле.- М.: Мир, 1980. - 512 с.

249. Тимошенко, С.П. Пластины и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский - Кригер. - М.: Физматгиз, 1963. - 635 с.

250. Товстик, П.Е. Устойчивость тонких оболочек / П.Е. Товстик. - М.: Наука, Физматлит, 1995. - 320 с.

251. Филин, А.П. Современные проблемы использования ЭЦВМ в механике твердого деформируемого тела / А.П. Филин. - Л.: Стройиздат, 1974 - 411 с.

252. Филин, А.П. Элементы теории оболочек / А.П. Филин. - Л.: Стройиздат, 1975 - 256 с.

253. Филиппович, А.П. Применение смешанного метода конечных

элементов в задачах об изгибе пологих оболочек / А.П. Филиппович // -Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1982. Т. 13. №4. -С. 143-162.

254. Филиппович, А.П. Расчет пологих оболочек при наличии концентраторов напряжений с помощью метода конечных элементов. - В сб.: Восьмая Всесоюзная конференция по современным проблемам дифференциальной геометрии. 20-21 сент. 1984 г. Тезисы докладов. - Одесса, 1984. - С. 161.

255. Хайруллин, Ф. С. Расчет тонкостенных конструкций сложной формы на основе аппроксимирующих функций с конечными носителями: монография / Ф.С. Хайруллин. - Казань: издательство КНИТУ, 2012. - 176 с.

256. Хайруллин, Ф.С. О методе расчета составных тонкостенных конструкций / Ф.С. Хайруллин // Изв. вузов. Машиностроение. - 1992. - № 1- - 3. - С. 20 - 23.

257. Хейслер, В. Перемещение недеформируемых криволинейных элементов в расчетах оболочек матричным методом перемещений / В. Хейслер, Дж. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика - 1967. - № 8. - С. 207 - 209.

258. Хейслер, В. Нелинейное исследование методом конечных элементов, учитывающее члены высших порядков в выражении для энергии деформаций / В. Хейслер, Дж. Стриклин // Ракетная техника и космонавтика - 1970. - № 6. - С. 214 - 216.

259. Хечумов, Р.А. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / Р.А. Хечумов, Х. Кепплер, В.Н. Прокофьев. - М.: Изд-во АСВ, 1994. - 351 с.

260. Чернина, В.С. Статика тонкостенных оболочек вращения / В.С. Чернина. - М.: Наука, 1968. - 455 с.

261. Черных, К.Ф. Линейная теория оболочек / К.Ф. Черных. - Л.: Изд-Ленинград. гос.ун-та, 1962. - Ч.1. - 374 с.; 1964. - Ч.2. - 396.с.

262. Черных, К.Ф. Нелинейная теория изотропно-упругих оболочек / К.Ф.

Черных // Изв. АН СССР. МТТ. - 1980. - № 2 - С. 148 - 159.

263. Шалашилин, В.И. Расчет нелинейного деформирования методом нелинейных элементов с использованием метода продолжения по наилучшему параметру / В.И. Шалашилин, Э.Н. Князев, Н.Н. Зуев // Изв. вузов. Сер. Машиностроение. - 1997. - № 3 - 1. - С. 23 - 29.

264. Шапошников, Н.Н. Расчет пластинок на изгиб по методу конечного элемента / Н.Н. Шапошников // Труды Моск. института инженеров транспорта. - 1968. - Вып. 260.- С. 134 - 144.

265. Шапошников, Н.Н. Расчет пологих оболочек и пластин со сложным контуром по МКЭ с использованием прямоугольной ортогональной сетки / Н.Н. Шапошников, В.А. Ожерельев // Численные методы и алгоритмы. - М., 1981.- С. 54 - 55.

266. Шмит, Л. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов пластин и оболочек / Л. Шмит, Ф. Богнер, Р. Фокс // Ракетная техника и космонавтика. - 1968. - № 5. - С. 17 - 28.

267. Эдельман, Б. Точность вычисления напряжений методом конечных элементов / Б. Эдельман, Д. Казеринес, У. Уолтон // Ракетная техника и космонавтика. - 1970. - № 3. - С. 102 - 103.

268. Экланд, И. Выпуклый анализ и вариационные проблемы / И. Экланд, Р.Темам. - М.: Мир, 1979. - 399 с.

269. Якупов, Н.М. Дискретные кубические сплайны в методе конечных элементов при расчете оболочек сложной геометрии / Н.М. Якупов, И.Я. Сунгатуллин. - Деп. в ВИНИТИ. - Казань, 1986.

270. Якупов, Н.М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии / Н.М. Якупов, М.Н. Серазутдинов. - Казань: ИМН РАН. - 1993. - 206 с.

271. Aditya, A.K. Study of the shell characteristics of a paraboloid of revolution shell structure using the finite element method / A.K. Aditya, J.N. Bandyopadhyany // Comp. and Struct. - 1989. - 32. - № 2. - p. 423 - 432.

272. Ahmad Sohrabuddin Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements / Ahmad Sohrabuddin, Irons Bruce M., O.C. Zienkivicz // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1970. - 2. - N 3. - p. 419 - 451.

273. Altman W., Iguti F. A thin cylindrical shell finite element based on a mixed formulation // Computers and Structures.- 1976.- V.6, № 2.- P.149-155.

274. Argyris, J.H. Energy theorems and structural analysis. - London, Batterworth, 1960.

275. Argyris, J.H. Higher-order simplex elements for large strain analysis -natural approach / J.H. Argyris, P.C. Dunne, M. Haase, J. Orkisz // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. - 1978. - 16. - N 13. - p. 369 - 403.

276. Argyris, J.H. Finite element method - the natural approach / J.H. Argyris, M. Haase, G.A. Maleiannakis, H.P. Mleignek, M. Muller, D.W. Scharpf // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. - 1979. - 17 - 18. - N 1. - p. 1 - 106.

277. Argyris, J.H. Some consideration on the natural approach / J.H. Argyris, M. Haase, H.P. Mleignek // Comput. Meth. Appl. Mech. And Eng. - 1982. - 30. - N 3. -p. 335 - 346.

278. Alayliogly, H. A hybrid stress doubly curved shell finite element / H. Alayliogly, R. Ali // Comput. And Struct. - 1977. - 7. - N 3. - p. 477 - 480.

279. Anderheggen, E. A cjnforming triangular finite element plate bending solution / E. Anderheggen // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1970. - 2. - p. 259 - 264.

280. Aubin, J.P. Some aspects of the method of the hyper circle applied to elliptic variation problems / J.P. Aubin, H.G. Burchard // in SYNSPADE, 1970 (B. Hubbard, editor). - Academic Press, New York, 1971.

281. Barony, S.Y., Totlenham H. The analysis of rotational shells using a curved ring element and the mixed variation formulation // Int. J. Numer Meth. Eng. - 1976. - 10. - N 4. - p. 861 - 872.

282. Basar Y. Finite element formulation of the Ogden material model with application to rubber-like shells / Y. Basar, Its Row Mikhail // Numer. Meth. Eng. -1998. - 42. -N 7. - p. 1273 - 1305.

283. Bathe K.-J. A geometric and material non-linear plate and shell element / K.J. Bathe, S. Bolourchi // Comp. and Struct. - 1980. - 11. - N 1 - 2. - p. 23 - 48.

284. Bathe K.-J. A four-node plate bending element based on Mindlin Reissner plate theory and mixed interpolation / K.-J. Bathe, E.N. Dvorkin // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1985.- V. 21. - № 2.- p. 367 - 383.

285. Bathe K.-J. A formulation of general shell elements - the use of mixed interpolation of tensor components / K.-J. Bathe, E.N. Dvorkin // Int. J. Num. Meth. Eng. - 1986.- V. 22. - № 3.- p. 69 7- 722.

286. Bernadou, M. Convergence of conforming finite element method fox general shell problems/ M. Bernadou // Int. J. Engag. Sci., 1980. - V. 18. - N 2. - p. 249 - 276.

287. Brambl, J. Estimation of linear functional on Sobolev Spaces with application to Fourier transforms and spine interpolation / J. Brambl, S. Hilbert // SIAM J. Numer. Anal.. - 1976. - v. 13. - p. 185 - 197.

288. Brtbbia, C.A. Analysis of plates shells unsing finite elements / C.A. Brtbbia, H.A. Hadid // Pev. roum. sci techu. ser. mec. Appl. - 1973. - 18. - N 5. - p. 939 - 962.

289. Bercovier, M. Regularization dual des problems variation mixes. Applications aux elements finis mixes at extension a quelques problems non linear / M. Bercovier // Doctoral Thesis, Universite de Rouen. - 1976.

290. Bercovier, M. A 4 CST quadrilateral element for incompressible and nearly incompressible materials / M. Bercovier, E. Livne // Technical Note MB/76/3, Computation Center, Hebrew University Jerusalem. - 1976.

291. Bressi, F. On the existence, uniqueness and approximation of saddle - point problems arising from Lagrangian multipliers / F.Bressi // RAIRO. - 1974. - v. 8. -№ 2. - p. 129 - 151.

292. Brezzi, F. Sur la methode des elements finis hybrides pour le probleme biharmonique. - Numer. Math. - 1975. - v. 24. - p. 103 - 131.

293. Brezzi, F. Analysts of a mixed finite element method for elastoplastic plates /F.Brezzi, C. Johnson, B. Mercier // Math. Comp. - 31. (1977). - 140. - p. 809 - 817.

294. Brezzi, F. Mixed finite element methods for 4 - th - order elliptic equations / F. Brezzi, P.A. Raviart // Topics in Numerical Analysis III, (J.J.H.Miller ed.), Academic Press, New-York. - 1976. - p. 315 - 338.

295. Brezzi, F. Non-standart finite element for fourth order elliptic problems. -Energy Method Finite Element Anal., Chichester e.a.. - 1979. - p. 193-211.

296. Cantin, G. A curved cylindrical shell finite element / G. Cantin, R.W. Clough // AIAA. - 1968. - N 6. - p. 1057 - 1062.

297. Cantin, G. Rigid body motions in curved finite elements / G. Cantin // AIAA. - 1970. - N 8. - p. 1252.

298. Ciarlet, P.G. General Lagrange and Ermite interpolation in Ran with applications to finite element methods / P.G. Ciarlet, P.A. Raviart //. - Arch. Rat. Mech. Anal. - 1972. - v. 46. - p. 177 - 189.

299. Chinosi, C. Hierarchic finite elements for thin Naghdi shell model / C. Chinosi, Della Crose L., T. Scapolla // Int. J. Solids and Struct. - 1998. - 35. - N 16. -p. 1863 - 1880.

300. Cornoy, E. Postbucling analysis of elastic structures by the finite element method / E. Cornoy // Comp. Meth. Appl. Mech. Ang. - 1980. - 23. - N 2. - p. 143 -174.

301. Cowper, G.R. A shallow shell finite element of triangular shape / G.R. Cowper, G.M. Linberg, M.D. Olson // Int. J. Solids Struct.. - 1970. - N 6. - p. 11331156.

302. Dawe, D.J. Rigid-body motions and stain-displacement equations of curved shell finite elements / D.J. Dawe // Int. J. Mech. Sci. - 1972. - 14. - p. 569.

303. Dawe, D.J. Numerical studies using circular arch finite elements / D.J. Dawe // Comp. and Struct. - 1974. - N 4. - p. 729.

304. Dawe, D.J. High-order triangular finite element for shell analysis / D.J. Dawe // Int. J. Solids and Struct. - 1975. - 11. - N 10. - p. 1097 - 1110.

305. Dawe, D.J. Static analysis of diaphragm-supported cylindrical shells using a curved finite strip / D.J. Dawe // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1977. - 11. -p. 1347 -

306. Delpak, R. A linearized analysis of buckling of thin rotational shells using the finite element method / R. Delpak // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1984. - 20. - N 12. - p. 2235 - 2252.

307. Destiuynder, P. A new strategy for improving a finite element method, based on explicit error estimates / P. Destiuynder // Comp. Meth. Appl. Mech. and Eng. -1999. - 176. - N 14. - p. 203 - 213.

308. Dzygadio, Z. Finite element strength analysis of relating shell - plate structures / Z. Dzygadio //J. Tech. Phys. - 1981. - 22. - N 3. -p. 243 - 257.

309. Falk, R.S. Error estimates for mixed methods / R.S. Falk, J.E. Osborn // RAIRO Numer. Anal. - 1980. - v. 14. - № 3. - p. 249 - 277.

310. Farhloul, M. A mixed finite element method for a nonlinear Dirichlet problem / M. Farhloul // IMA. J. Num. Analysis. - 1998. - N 18. - p. 121-132.

311. Farhloul, M. On a mixed finite element method for the p-Laplasian /M. Farhloul, H. Manouzi // Canadian Applied Mathematics Quathrly. - 2000. - V. 8. - N 1. - p. 67 - 78.

312. Fortin, M. Resolution numerique des equations de Navier-Stokes par des elements finis de type mixed / M. Fortin // in Journees Elements Finis, Universite de Rennes, Rennes. - 1976.

313. Fourtin, M. Analysis of the convergence of mixed finite element methods. -RAIRO, 1977. - v. 11. - p. 341 - 354.

314. Gellert, M. A new high-precision stress finite element for analysis of shell suctures / M. Gellert, M.E. Laursen // Int. J. Solid and Struct. - 1977. - 13. - N 7. - p. 683 - 697.

315. Girault, V. A combined finite element and Markes and Cell method for solving Navier-Stokes equations / V. Girault // Numer. Math 26 (1976). - p. 39 - 59.

316. Giamperi, A. An interface finite element for the simulation of localized membrane-bending deformation in shells / A. Giamperi, U. Perego.-Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng. - 2011. - 200. - № 29 - 32.- p. 2378 - 2396.

317. Gureeva, N.A. Solving a plane problem of elasticity theory with the use of a hybrid FEM formulation / N.A. Gureeva // Russian Aeronautics. - 2009. - V. 52. -N. 2. - P. 138 - 144.

318. Gureeva, N.A. Analysis of an arbitrarily loaded shell of revolution based on the finite element method in a mixed formulation / N.A. Gureeva, Y.V. Klochkov, A.P. Nikolaev // Russian Aeronautics. - 2010. - V. 53. - N. 3. - P. 250 - 256.

319. Gwaltney, R.C. Expeximental stress analysis of cylinder - to cylinder shell models and comparisons with theoretical predictions / R.C. Gwaltney, J.M. Corum // Trans. ASME. - 1976. - N 4. - p. 283 - 290.

320. Hall, K.J. A tree-dimensional edge-crack finite - element for fracture mechanics applications / K.J. Hall, G.P. Potirnche.-Int.J.Solids and Struct. - 2012. - 49.

- № 2. - p. 328 - 337.

321. Harbord, R., Kroplin B., Schroder R. Shalenelemente in gemischter Darstellung: Theory - Kritik - Beispiell. - Engenier. Archiv, 1978. - v. 47. - № 4. - p. 207 - 222.

322. Haslinger, J. Curved elements in a mixed finite element method close to the equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Apl. Mat. 20 (1975). - p. 233 - 252.

323. Haslinger, J. A mixed finite element method close to equilibrium model / J. Haslinger, Hlavacek // Numer. Math. 26 (1976). - p. 85-97.

324. Haslinger, J. A mixed finite clement method close to equilibrium model applied to plane elastostatics / J. Haslinger, Hlavacek // Apl.Mat. 21 (1976). - p. 28 -42.

325. Hellan, K. Analysis of elastic plates in flecsure by a simplified finite element method / K. Hellan // Acta Polytechn. Scandinavica. Ci 40.Frondheim, 1967. - V. 46.

- p. 1 - 29.

326. Hellen, T.K. The application of three-dimensional finite elements to a cylinder untersection / T.K. Hellen, H.A. Money // Int. Numer. Meth. Eng. - 1970. -2. - N 3. - p. 415 - 418.

327. Henshell R.D. A new hybrid cylindrical shell finite element / R.D. Henshell,

B.K. Neale, G.B. Warburton // Int. J. Sound and Vibration. - 1971. - V.16. - № 4. - P. 519 - 531.

328. Herrmann, L. Finite element bending analysis of plates -J. f Mech. - 1967. -Div. ASCE. - v. 93. - EMS. - p. 49 - 83.

329. Herrmann, L.R., Cambell O.M. A finite element analysis for thin shell. - AIAA. - 1968.- v. 6.- № 10.- p. 1842-1847.

330. He Xiao-ting, Zheng Zhou-lian, Sun Jun-yi, Li Ying-min, Chen Shan - lin. Convergence analysis of a finite element method based of different module in tension and compression.- Int.J. Solids and Struct. - 2009. - 46. - № 20. - р. 3734 -3740.

331. Holst, J.M.F.G., Calladine C.R. Inversion problems in elastic thin shells // Eng. J. Mech. A. - 1994. - 13. - N4. - p. 3 -18.

332. Johnson, C. Convergence, of another mixed finite-element method for plate bending problem / C. Johnson // Report No. 1972-27, Department of Mathematics, Chalmers Institute of Technology and the University of Göteborg, Göteborg, 1972.

333. Johnson, C. On the convergence of a mixed finite element method for plate bending problems. - Numer Math. - 1973. - v. 21. - p. 43 - 62.

334. Jones Rembert, F.Jr. A curved finite element for general this shell structures / F.Jr. Jones Rembert // Nucl. Eng. And Des. - 1978. - 48. - N 2 - 3. - p. 415 - 425.

335. Ji Zhen-yi, Wu Chang-Chun. Смешанный вариационный принцип для дискретного анализа пологих оболочек и применение гибридного искривленного элемента оболочки с двенадцатью степенями свободы. Acta Mech. Solida sin. -1982. - №3. - p. 366 - 378.

336. Kanok-Nuculchai, W. A simple and efficient finite element for general shell analysis / W. Kanok-Nuculchai // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1979. - 14. - N 2. - p. 179 - 200.

337. Khoei,A.R. А Lagrangian-extended finite-element method in modeling large-plasticity deformations and contact problems/ A.R. Khoei, O.R. Biabanakis, M. A. Anahid // Int.J.Mech.Sci. - 2009. - 51. - р. 384 - 401.

338. Kikuchi, F. Rectangular finite element for ending plate - bending analysis

based on Hellinger-Reissner's variation principal / F. Kikuchi, Y. Ando // J. Nuclear Sci. and Tech. - 1972. -N 9. - p. 28 - 35.

339. Kikuchi, F. Some finite element solution for plate bending problems by symplified hybrid displacement method / F. Kikuchi, Y. Ando //- Nuclear Engng. and Design. - 1972. - v. 23. - p. 155 - 178.

340. Kikuchi, F. On the convergence of a mixed finite element scheme for plate bending / F. Kikuchi, Y. Ando // Nuclear Engag. And Design. - 1973. - v. 24. - p. 357

- 373.

341. Kikuchi, F. On the validity of an approximation available in the finite element shell analysis / F. Kikuchi // Comput. And Struct. - 1975. - 5. - N 1. - p. 1 - 8.

342. Kikuchi, F. Theory and examples of partial approximation in the finite element method / F. Kikuchi // Internal. J. Numer. Methods Engrg. - 1976. - 10. - p. 115 - 122.

343. Kikuchi, F. Accuracy of some finite element models for arch problems / F. Kikuchi // Comput. meth. in appl. Mech. and Engng. - 1982. - v. 35. - p. 315 - 345.

344. Kim, D.-J. Parallel simulations of tree-dimensional cracks using the generalized finite element method / D.-J. Kim, C.A. Duarte, N.A. Sobh // Comput.Mech. - 2011. - 47. - № 3. - p. 265 - 282.

345. Koiter, W. T. On the foundations of the linear theory of thin elastic shell. I, II. - Proc. Koninklijne Nederlands Akad. van Wetenschappen. - ser. B. - 73. - 1970.

- p. 169 - 196.

346. Kosmatka, J.B. An accurate shear-deformable six-node triangular plate element for laminated composite structures / J.B. Kosmatka // Jut. J. Numer. Meth. Eng. - 1994. - 37. - N 3. - p. 431 - 455.

347. Kuroda Mitsutoshi On large-strain finite element solutions of higher - order gradient crystal plasticity.-Int.J.Solids and Struct. - 2011. - 48. - № 24. - p. 3382 - 3394.

348. Kutolowski, R. Das gekrumme, isoparametrische rind viereckige finite Element in der Analyse von Rotationsschalen / R. Kutolowski, K. Myslecki // Bau -technic. - 1984. - 61. - N 7. - p. 224 - 247.

349. Lee Jin-Woo, Lee Myoung-Gyu, Barlat F. Finite element modeling using homogeneous anisotropic hardening and application to spring-back prediction. -Int.J.Plast. - 2012. - 29. - p. 13 - 41.

350. Lee Myoung-Gyu An explicit finite element approach with patch projection technique for strain gradient plasticity formulations / Myoung-Gyu Lee, Chung-Souk Han // Comput.Mech. - 2012. - 49. - № 2. - c. 171 - 183.

351. Lee S.W. Study of a nine-node mixed formulation finite element for thin plates and shell / S.W. Lee, S.C. Wong, J.J. Rhin // Computers and Structures. - 1985.

- V. 21. - № 6. - P. 1325 - 1334.

352. Levyakov, S.V. Application of triangular element for geometrically nonlinear analysis of functionally graded shells / S.V. Levyakov, V.V. Kuznetsov // Comput.Mech. - 2011. - 48. - № 4. - p.499 - 513.

353. Lindberg, G.M. A high-precision triangular cylindrical shell finite element / G.M. Lindberg, M.D. Olson // AIAA. J. - 1971. - 9. - p. 530 - 542.

354. Loganathan, K. Finite element representation and stiffness in shell stability analysis / K. Loganathan, S.C. Chang, R.H. Gollagher, J. F. Abel // Int. J. Numer. Meth. Eng. - 1979. - 14. - N 9. - p. 1413 - 1420.

355. Malkus D.S., Hughels T.J.R. Mixed finite element methods reduced and selective integration techniques: a unification of concept// Computer Meth. Appl. Mech. Eng. - 1978.- V.15. - № 1.- P. 63 - 81.

356. Mansfield, L.E. Mixed finite element methods for elliptic equations / L.E. Mansfield// Report No. 76-24. Institute for Computer Applications in Science and Engineering, NASA Langley Research Center, Hampton, Virginia, 1976.

357. Mansfield, L.E. Finite element for nonlinear shell analysis. - Numer. Math.

- 1981. - v. 37 . - № 1. - p. 121 - 131.