Анализ и восстановление изображений проекционными методами, использующими функции Эрмита тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Павельева, Елена Александровна

• Павельева, Елена Александровна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Павельева, Елена Александровна

Оглавление

Введение

Глава 1 Проекционный метод восстановления функций по фазе аппроксимации преобразования Фурье

1.1 Проекционный метод с использованием функций Эрмита

1.1.1 Функции Эрмита

1.1.2 Проекционный метод

1.2 Аппроксимация преобразования Фурье с использованием функций Эрмита

1.3 Синтез фазы и амплитуды различных изображений с использованием функций Эрмита

1.4 Восстановление функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье

1.5 Алгоритм восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье

Глава 2 Проекционные методы, использующие функции Эрмита, для выделения характерных признаков изображений радужной оболочки глаза

2.1 Обзор существующих алгоритмов идентификации человека по радужной оболочке глаза

2.2 Предобработка изображений радужной оболочки глаза

2.3 Метод проекционной фазовой корреляции

2.3.1 Метод фазовой корреляции

2.3.2 Метод проекционной фазовой корреляции

2.3.3 Сравнение методов фазовой корреляции и проекционной фазовой корреляции при использовании в биометрических задачах

2.4 Метод ключевых точек

2.4.1 Функции преобразования Эрмита

2.4.2 Выделение ключевых точек

2.5 Сопоставление ключевых точек

2.5.1 Сопоставление ключевых точек с помощью расстояния Хэмминга

2.5.2 Сопоставление ключевых точек методом проекционной фазовой корреляции

Глава 3 Программный комплекс для решения задачи идентификации человека по

радужной оболочке глаза

3.1 Алгоритмы предобработки изображения радужной оболочки глаза

3.1.1 Выделение радужной оболочки глаза

3.1.2 Нормализация радужной оболочки

3.1.3 Нахождение маски изображения радужной оболочки

3.1.4 Выравнивание освещенности

3.2 Иерархический и полярный методы параметризации данных радужной оболочки глаза

3.2.1 Иерархический проекционный метод с использованием функций Эрмита

3.2.2 Полярный метод Эрмита

3.3 Структура программного комплекса

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ и восстановление изображений проекционными методами, использующими функции Эрмита»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время анализ и обработка изображений являются одной из наиболее важных и перспективных областей применения математических и численных методов. В частности, актуальной является задача восстановления изображения в случае потери части данных [1]. При восстановлении изображений одним из наиболее важных вопросов является вопрос единственности восстановленного изображения, а также оценка меры близости между исходным и восстановленным изображениями.

Одним из распространенных подходов к обработке изображений является использование Фурье-анализа с последующей обработкой полученных коэффициентов. Функции Эрмита [2, 3, 4] являются собственными функциями преобразования Фурье, поэтому разработка и применение проекционных методов, использующих функции Эрмита, представляет собой важную и актуальную задачу. Известно, что фаза преобразования Фурье содержит в себе больше информации, чем амплитуда [5], поэтому использование информации о фазе в проекционных методах является перспективным подходом.

В настоящее время в связи с возросшими требованиями к информационной безопасности получают широкое распространение методы биометрической идентификации личности [6,7]. Одним из наиболее перспективных способов идентификации личности является идентификация по радужной оболочке глаза [7, 8]. Рисунок радужной оболочки у каждого человека уникален и практически не меняется с возрастом, а бесконтактный способ получения изображений радужной оболочки делает привлекательным ее применение в различных отраслях.

Целью диссертационной работы является обоснование, разработка и программная реализация методов анализа и восстановления изображений на основе проекционных методов, использующих функции Эрмита, а также применение разработанных методов в задаче биометрической идентификации человека по радужной оболочке глаза.

В первой главе решается задача восстановления функций по фазе аппроксимации преобразования Фурье на основе проекционного метода с использованием функций Эрмита.

В первом параграфе описан проекционный метод [9] с использованием функций

п

Эрмита. В проекционном методе вычисляется аппроксимация /„(х) = цгк (х)

к=о

разложения функции /{х)&Ь2{-со,со) в ряд Фурье по функциям Эрмита у/„(х) . Эффективность использования проекционного метода с использованием функций Эрмита обусловлена тем, что функции Эрмита являются собственными функциями преобразования Фурье, образуют полную ортонормированную в пространстве Ь2 (-со,со) систему функций и являются локализованными с вычислительной точки зрения на конечном отрезке как в пространственной, так и в частотной областях.

Двумерные функции Эрмита у/т„(х,у) представляют собой произведения одномерных функций Эрмита: Ут,„(х,у) = у/т(х)-у/„(у). В двумерном проекционном методе с использованием функций Эрмита вычисляется аппроксимация

т п

/т,п(х'У) = ^Иск,1{1/кЛх>У>) разложения функции Дх,у)еЬ2(Я2) в ряд Фурье по к=01=0

функциям Эрмита. Предлагается метод уменьшения эффекта Гиббса вблизи границ изображений, возникающего при применении двумерного проекционного метода с использованием функций Эрмита. Для этого перед аппроксимацией из изображения вычитается базовая функция, являющаяся решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Во втором параграфе вводится понятие аппроксимации преобразования Фурье с

и

использованием функций Эрмита (АПФЭ). Если /„(*) = ¥к(.х) > т0 АШ>Э функции

к=О

п

/(х) называется выражение НЕ^п(Х) = ^ск(-1)ку/к(Х) . Исследуется амплитуда

к=О

АПФЭ и фаза АПФЭ Ф/>п(Л) = а^ДГу„(Я) , доказывается свойство фазы АПФЭ, связанное с четностью и нечетностью функции /„(*). Также в параграфе вводится и обосновывается понятие аппроксимации обратного преобразования Фурье с

п

использованием функций Эрмита (АОПФЭ). Если = ^Ск Щк(Л) —

к=о

аппроксимация комплексной функции 7г(Я)е£2(-°о,°о) с использованием функций

Эрмита, то АОПФЭ функции F(A) называется выражение

Пусть ^(х) - аппроксимация вещественной функции f(x)eL2{-<x>,co) с использованием функций Эрмита ц/0(х),...,ц/п(х), HFf>n(A) - АПФЭ функции f(x), а

HFfjf „(x) - АОПФЭ функции Я/у „(А). Тогда HF^p>n{x) - вещественная функция и

fn{x) = HF^pn(x). Определения АПФЭ и АОПФЭ в двумерном случае вводятся по

аналогии с одномерным случаем.

В третьем параграфе обосновывается важность фазовой информации, полученной проекционным методом, на примере задачи синтеза фазы и амплитуды различных изображений. Показано, что результат синтеза фазы АПФЭ одного изображения с амплитудой АПФЭ другого изображения имеет сходство с тем изображением, чья фаза АПФЭ была использована.

Четвертый параграф посвящен задаче восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. В данном

п

параграфе исследуются условия, при которых аппроксимация /п(х) = ^ск у/к(х)

к=О

разложения функции /(х) eZ^C-00*00)8 ряд Фурье по ортогональным функциям Эрмита

фк (х) = л/2к к\4л • (х) полностью определяется (с точностью до положительного множителя) фазой АПФЭ сру „ (Я). Другими словами, если фазы АПФЭ двух функций /(x)eL2(-o0,00) и g(x) е/^С-00»00) совпадают при всех Ае(-оо,оо), в которых они определены, то выводятся условия, при которых существует число (5 > 0 такое, что gn(x) = р ■ fn(x). Условие равенства фаз сведено к линейной однородной системе п уравнений с л + 1 неизвестными, которая в матричной форме принимает вид AnDn = 0, где Dn — вектор-столбец коэффициентов Эрмита функции g(x) , а коэффициенты матрицы Ап являются линейными комбинациями коэффициентов Эрмита функции

Ах).

Доказан ряд лемм и теорем, в частности, теорема, в которой находится связь матриц Ап+1 и Ап. Доказано, что минор М" матрицы Ап, полученный вычеркиванием

столбца, у = 0,1,...,п, равен

где ^ — минор (п - 1)г° порядка матрицы Ап, стоящий в левом нижнем углу.

Доказана теорема о единственности восстановления аппроксимации /„(х) функции /(х) по фазе АПФЭ <ру п(Л). А именно, доказано, что если аппроксимация

п

= функции /(х)еЬ2(-оо,оо) не является четной или нечетной, то она

аг=0

полностью определяется (с точностью до положительного множителя) фазой АПФЭ <р(Я) тогда и только тогда, когда ^ 0.

В пятом параграфе предложен итерационный алгоритм восстановления функции по фазе АПФЭ, в котором на первом шаге каждой итерации к функции применяются ограничения в частотной области, а на втором шаге — в пространственной. Доказано, что погрешность после каждой итерации не увеличивается. В отличие от алгоритма восстановления сигнала конечной длины по фазе дискретного преобразования Фурье, в котором используется информация о фазе расширенного нулями сигнала [10], предложенный алгоритм восстановления по фазе АПФЭ использует информацию только о фазе АПФЭ исходного сигнала.

Во второй главе предложены методы выделения характерных признаков (методы параметризации) изображений радужной оболочки глаза, основанные на использовании аппарата функций Эрмита. Для оценки качества предложенных методов используются изображения глаз базы данных СА81А-1пзУЗ-1Шегуа1 [11].

В первом параграфе приведены обзор и классификация существующих методов идентификации человека по радужной оболочке глаза.

Во втором параграфе приведено краткое описание реализованных алгоритмов предобработки изображений радужной оболочки глаза. Осуществляется:

• локализация радужной оболочки (выделение границ радужной оболочки на

изображении);

• нормализация радужной оболочки (приведение радужной оболочки к фиксированному прямоугольному виду с целыо компенсации расширения зрачка);

• выделение маски изображения радужной оболочки (областей изображения радужной оболочки, на которые не попадают веки, ресницы и блики);

• выравнивание освещенности и повышение контрастности изображения радужной оболочки.

В третьем параграфе предложен метод проекционной фазовой корреляции для определения меры близости двух функций. Для двух функций /(х) е и

g(x) е Ь2(-ю,оо) вычисляются их АПФЭ „(Я), (Я) и фазы АПФЭ <ру „(Я) , <ря„(Я) . Далее для спектральных функций ЯРд„(Я) и Я/^ДЯ) вычисляется их

взаимный фазовый спектр КРОп(<Х) = е^г'"^Х) ^ Вводится понятие функции

проекционной фазовой корреляции функций /(х) и g(x) или НРРОС-функции:

НРРОС(х) - НГ'1яКпуП (х). Если аппроксимации /п (х), ¿„(х) исходных функций

"похожи", то НРРОС—функция дает четкий пик, если же функции "не похожи", то НРРОС-функция не дает четкого пика. Отношение максимального значения НРРОС-функции ко второму локальному максимуму этой функции определяет меру близости исходных функций, а положение пика соответствует смещению одной функции относительно другой.

В данном параграфе также показаны преимущества предложенного метода проекционной фазовой корреляции по сравнению с методом фазовой корреляции [12] при использовании в биометрических задачах. В биометрических задачах для информационной безопасности достаточно важным является условие невозможности восстановления биометрической информации по хранимым данным [13]. В методе проекционной фазовой корреляции в случае использования небольшого числа функций Эрмита аппроксимация исходной биометрической информации будет грубой, поэтому при попытке восстановления по фазе биометрическая информация не восстанавливается полностью.

В четвертом параграфе предложен метод нахождения наиболее информативных точек текстуры изображения радужной оболочки — ключевых точек. Метод основан на использовании анализа результатов сверток функции интенсивности изображения радужной оболочки глаза с функциями преобразования Эрмита [4].

В пятом параграфе предложены два метода сопоставления ключевых точек изображений радужных оболочек: с помощью расстояния Хэмминга и на основе применения метода проекционной фазовой корреляции. В методе сопоставления ключевых точек с помощью расстояния Хэмминга происходит сопоставление положения ключевых точек одного изображения по сравнению с положением ключевых точек другого изображения. Основной недостаток данного метода заключается в том, что часть ключевых точек может отсутствовать на одном изображении из-за присутствия на нем ресниц, век или бликов, а также в том, что метод неустойчив к локальным сдвигам частей изображений.

При сопоставлении ключевых точек методом проекционной фазовой корреляции предлагается использовать метод проекционной фазовой корреляции для локальных окрестностей ключевых точек. Если отношение пика НРРОС—функции ко второму локальному максимуму этой функции больше пороговой величины, то считается, что ключевые точки соответствуют друг другу. Данный подход позволяет добиться хороших результатов сравнения и избежать ошибок, связанных с локальными сдвигами частей изображений и с наличием век и ресниц на изображениях.

Третья глава посвящена описанию программного комплекса для решения задачи идентификации человека по радужной оболочке глаза.

В первом параграфе подробно описаны реализованные алгоритмы предобработки изображений радужных оболочек глаз. Рассмотрены практически важные аспекты реализации алгоритмов.

Во втором параграфе приведено описание двух алгоритмов параметризации данных радужной оболочки на основе проекционного метода, которые также могут быть использованы в задаче распознавания человека по радужной оболочке. В иерархическом проекционном методе с использованием функций Эрмита на каждом уровне иерархии к функции интенсивности изображения применяется проекционный метод с использованием функций Эрмита. Полярный метод Эрмита позволяет вычислять полярные коэффициенты Эрмита для повернутого на некоторый угол изображения, не раскладывая функцию интенсивности повернутого изображения по функциям Эрмита. Для вычисления полярных коэффициентов Эрмита для повернутого изображения на заданный угол, достаточно умножить полярные коэффициенты Эрмита исходного

изображения на матрицу поворота. Полярный метод Эрмита эффективно использовать для поиска угла поворота между изображениями радужных оболочек глаз.

В третьем параграфе приведено описание структуры программного комплекса и основных модулей программного комплекса, показан общий вид интерфейса программного комплекса.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Научная новизна работы.

1. Предложен проекционный метод для восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита.

2. Получены условия единственности восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита.

3. Разработаны и алгоритмически реализованы проекционные методы с использованием функций Эрмита для решения задачи идентификации человека по радужной оболочке глаза.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит как теоретический, так и практический характер. Созданы новые проекционные методы, использующие функции Эрмита, для синтеза и восстановления изображений по фазовой информации. Разработаны алгоритмы на базе проекционных методов, использующих функции Эрмита, для выделения характерных признаков изображений радужной оболочки глаза. Создан комплекс программ для решения задачи идентификации человека по радужной оболочке глаза. Разработанные в работе методы могут быть применены как составная часть комплексных алгоритмов обработки, анализа, сравнения и восстановления изображений.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Предложен, обоснован и алгоритмически реализован проекционный метод восстановления функции по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита.

2. Разработаны методы выделения характерных признаков изображений радужной оболочки глаза на основе проекционных методов, использующих функции Эрмита.

3. Создан программный комплекс на базе проекционных методов с использованием функций Эрмита для решения задачи параметризации данных радужной оболочки глаза и идентификации человека по радужной оболочке глаза.

Степень достоверности результатов. Достоверность изложенных в работе результатов обусловлена строгостью формулировок задач и математических доказательств. Приведены примеры восстановления функций по фазе аппроксимации преобразования Фурье с использованием функций Эрмита. Проведен анализ работы алгоритмов параметризации и идентификации человека по радужной оболочке глаза на биометрической базе данных глаз, являющейся общепринятой для проверки качества алгоритмов в мировой научной литературе. Оценка качества результатов производится с помощью объективных метрик сравнения сигналов и общепринятых методов оценки качества работы биометрических алгоритмов.

Апробация результатов. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, в том числе 5 из перечня ведущих рецензируемых научных журналов ВАК [14, 15, 16, 17, 18]. Основные результаты докладывались на 17-22-й, 24-й международных конференциях по компьютерной графике и зрению "Graphicon" (Москва, 2007, 2008, 2009, 2011, 2012, Санкт-Петербург, 2010, Ростов-на-Дону, 2014); 11-й международной конференции "Pattern Récognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-11-2013)" (Самара, 2013); 13-й международной конференции "Digital Signal Processing and its Applications (DSPA 2011)" (Москва, 2011); 1-й российской научно-практической конференции по биометрическим технологиям "БТ-2011" (Москва, 2011); конференциях "Тихоновские чтения", ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова (Москва, 2012, 2014); семинаре по частотно-временному анализу и его приложениям, г. Котор, Черногория, 06-10 июня 2011 г.; заседании кафедры математической физики факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, г. Москва, 27 мая 2015 г.

ГЛАВА 1 ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПО ФАЗЕ АППРОКСИМАЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

1.1 Проекционный метод с использованием функций Эрмита

1.1.1 Функции Эрмита

Многочленами Чебышева-Эрмита называются многочлены вида [19, 3, 2]:

V:

Нп(х) = (- 1)"ех2 й'Х{е1 \ п = 0,1,2,.... (1.1)

2

Многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны с весовой функцией е на (-оо,со) , имеют норму ¡#„1 = л/2"«!л/тг и выражаются с помощью рекуррентных соотношений:

Я0(*) = 1, #,(*) = 2-х,

Нп{х) = 2-х-Нп_х(х)-2• ("-1)■ Нп-г(*)> ^>2. Одномерные функции Эрмита (рис. 1.1) определяются через многочлены Чебышева-Эрмита [2, 3, 4]:

1

!//„(*) = -==_£ 2 -нп(х), « = 0,1,2,... (1.2)

л/2 п-пШ

или

.х2

л] 2 Пп\4^ Же"

Функции Эрмита выражаются с помощью следующих рекуррентных

соотношении:

V о(*) =

2 .

\ 7С

¥п(х) = х --у/п_,(*)-VИ

п-1

Л

у/^х)

1//3(х) 1//4(х) Ую(х)

Рисунок 1.1 Примеры одномерных функций Эрмита.

Функции Эрмита

• являются решениями дифференциальных уравнений [3, 2, 20]

¥нп-хг¥п = -(2л + \)ц/п, инвариантных относительно преобразования Фурье

1 00

(1.3)

^я(х)е^2(-°о,оо)ПЛ1(-00500) и являются собственными функциями преобразования Фурье в пространстве с собственными значениями

±1,±/ [3,2,20]:

• образуют полную ортонормированную систему функций в пространстве 12(-оо,оо) [3,2,20];

• для любого номера п : у/п(х) —>• 0 , поэтому функции Эрмита являются

.г—кю

локализованными с вычислительной точки зрения на конечном отрезке [-Ап,Ап] как в пространственной, так и в частотной областях;

• функции Эрмита с четными номерами являются четными функциями, с нечетными номерами — нечетными;

• локальные максимумы функций |(//„(х)| возрастают на интервале (0,+со) (следствие теоремы Сонина [19, с. 131]);

• точка (л/2и + 1,1/лп(л/2а7 + 1)) является точкой перегиба графика функции у/п(х) с наибольшей абсциссой, а точка (-л/2л+ 1,(//„(-л/2и + 1)) - с наименьшей. Абсциссы всех остальных точек перегиба графика функции у/п(х) совпадают с нулями функции у/п (х).

Поскольку ^[(//„] = (-/)"(//„ и, соответственно, = |^я| > отрезок локализации

[~Ап,Ап] функции Эрмита у/п(х) одинаков для обеих областей (пространственной и частотной). В качестве отрезка локализации можно, например, выбрать отрезок, на котором сосредоточено 99% нормы функции:

Ап оо

\у/2п(х)<Ь = 0.99 \у/2п(<х)ск = 0.99,

-Ап -то

однако для функций Эрмита с большими номерами п часть осцилляций может выйти за границы этого отрезка. Поэтому в качестве отрезка локализации лучше брать отрезок, содержащий все точки перегиба функции, а именно отрезок + 1, л/2« +1]. Этот отрезок и будет использоваться в качестве отрезка локализации в данной работе.

В ряде теоретических и практических приложений [4, 21] используются функции Эрмита с учетом параметра масштаба сг:

Такие функции локализованы с вычислительной точки зрения на отрезке [-сгт/2п + 1, <тл/2л+Т] и также образуют полную ортонормированную систему функций в пространстве £2(-оо,оо).

Двумерные функции Эрмита имеют вид:

2 2

с1т{е~х2)(1п(е-у1)

¥т,п(х>У)= Н=Г==--\т \п » ^" = 0,1,2,...

л/2 -т\-п\-ж йуп

Двумерные функции Эрмита (рис. 1.2) представляют собой произведения одномерных

функций Эрмита: ц/т>п (х, у) = у/т (х) ■ ц/п {у), т.е.

2 2

е 2

Ч'т,П (х, У) = , ^ • Нт (Х)НП (у) .

л12т+п -тЫ-ж

Двумерные функции Эрмита

• являются собственными функциями двумерного преобразования Фурье

. оо оо —00—00

в пространстве Ь2{я2) с собственными значениями ± 1, ± /: Р\ц/тп\ = (-г)т+пут,п\

• образуют полную ортонормированную систему функций в пространстве Ь2(л2);

• для любых номеров т,п: у/тп{х,у) -> 0, Ц/т,п(х,у) -> 0.

' X—>00 ' >>-»00

• локализованы с вычислительной точки зрения в прямоугольнике

[-^[2m + í, л/2/м + 1] х [-л/2« + 1, ->/2« + 1];

Двумерные функции Эрмита также часто используются с учетом параметров масштаба сг1 и а2:

2о\ 2у

Ут,п (X, У) = ? • ,-• Нт

Ът+п-т\-п\-ж л/сг1°":

С \ С ^

нУ

'2

Эти функции локализованы с вычислительной точки зрения в прямоугольнике [-с, л/2тя + 1, сг, л/2^ + 1] х [—<т 2 л/2п + 1, сг2 л/2« + 1].

¥2,2 (Х>У) ^3,3 (Х,У)

Рисунок 1.2. Примеры двумерных функций Эрмита.

1.1.2 Проекционный метод

Рассмотрим разложение функции /(х) е Z,2(-oo,oo) в ряд Фурье по полной

ортонормированной системе функций Эрмита:

00

к=о

где ск - коэффициенты Эрмита:

00

ск = ]fix)y/k{x)dx. (1.5)

-00

В работе [22] доказано, что если на (-оо,оо) функция /(х) удовлетворяет следующим условиям:

1. /(*) = /(0)+J/W

о

(1.6)

2. /'(x)eL2(-oo,co)

3. х/(х)е12(-оо,оо),

00

то /(х) еЬ2(-00,00)nZ,(-оо,со) , еZ2(-оо,со)пЦ(-со,оо) и ряд /(х) = ^скцгк(х)

к=о

сходится равномерно на любом конечном интервале.

Пусть функция Дх) задана и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [-А,А] и обращается в нуль на границах отрезка. Продолжим ее нулем на (-оо,-Л)и(Л,+оо) и рассмотрим разложение этой функции в ряд Фурье по функциям Эрмита у/к (х), £ = 0,1,2,...:

00

я*)=5>* (//*(*),

к=0

оо Л

где сА, = |/(х)ц/k{x)dx = ^/{х)ц/k{x)dx - коэффициенты Эрмита.

-оо -А

Заметим, что, поскольку /(х) вС1[-А,А], f{-A) = /(A)- 0 и /(х) финитна, т.е. равна нулю всюду вне отрезка [~А,А], то условия (1.6) выполняются.

В проекционном методе с использованием функций Эрмита для заданного числа п вычисляется аппроксимация /и(х) разложения функции /(х)е£2(-°о,оо) в ряд

Фурье по функциям Эрмита:

к=О

Функцию f„(x) будем также называть аппроксимацией функции /(х) с использованием функций Эрмита t//0(x),...,iу„(х) . Зная коэффициенты Эрмита ск , можно по формуле (1.7) восстановить аппроксимацию /п(х) исходной функции fix).

Рассмотрим финитную функцию /(х) , непрерывную на отрезке [- А, А\ . Растянем функции Эрмита ц/к(х), £ = 0,1,..., л в А/л/2л+Т раз, чтобы функция у/„(х) была локализована с вычислительной точки зрения на том же отрезке что и

исходная функция /(х). При этом все функции Эрмита у/к{х), к = 0,1,...,л-1 также локализованы внутри отрезка [-А,А].

На практике можно применять проекционный метод с использованием функций Эрмита и к финитным функциям, не обращающимся в нуль на границах отрезка

(рис. 1.3). После растяжения функций Эрмита \}/к{х),к = 0,1,...,/7 в

раз

значения всех функций у/к(х) в аппроксимации (1.7) близки к нулю в окрестностях границ отрезка [- А, А] , поэтому аппроксимация (1.7) /„ (х) может содержать

осцилляции вблизи границ отрезка (рис. 1.3) в связи с эффектом Гиббса [23] (эффектом ложного оконтуривания). Для лучшей аппроксимации значений функции функциями Эрмита вблизи границ отрезка и для выполнения условий (1.6) перед разложением (1.7) вычтем из исходной функции ее базовую линию [9]. Базовой линией для функции /(х), заданной на отрезке [-А,А], будем называть отрезок, соединяющий точки(- A, f (—А)) и {A,f(A)):

L(x) = f(-А) + (х + а)ЯА)~{Ы) . (1.8)

2 А

Для функции /(х) = f(x)-L(x) выполняется: f(-A) = f(A) = 0, поэтому для функции /(х) получается более точная аппроксимация границ отрезка [-А, А], чем для функции /(х) . Прибавив к аппроксимации /„ (х) функции /(х) на отрезке [- А, А] базовую линию L(x), получим аппроксимацию исходной функции /(х) (рис. 1.4).

п=50

п=60

п=70

п=80

п=90

п=100

п=110

Рисунок 1.3. Пример аппроксимации функции /{х) п функциями Эрмита. Тонкой линией обозначена исходная функция /(х), жирной - аппроксимация fn (х).

(а)

(б)

Рисунок 1.4. Проекционный метод с использованием п=90 функций Эрмита. Тонкой линией обозначена исходная функция /(х), жирной линией обозначена (а) аппроксимация /„(.х) ;

(б) аппроксимация /п(х) + Ь(х).

Замечание. Если задан дискретный сигнал конечной длины со значениями 1(х) , х е {х0,х!,...,хл/} , то этот сигнал можно интерпретировать как проекцию на сетку непрерывной на некотором отрезке [-A,Ä\ функции f(x), совпадающей со значениями /(*) в точках Xq,xx,...,xm и равной нулю вне отрезка [~А,А] , при этом f(x) е L2(-<x>,co) п£[(-оо,со) . Если f(x) не обращается в нуль на границах отрезка [-А, А], то из нее вычитается базовая линия (1.8), и полученная функция удовлетворяет условиям (1.6).

Рассмотрим проекционный метод с использованием функций Эрмита в двумерном случае. Пусть функция f(x,y) задана и непрерывна в прямоугольнике

Продолжим ее нулем в R2\D и рассмотрим аппроксимацию разложения этой функции в ряд Фурье по функциям Эрмита:

т п

fix, у)« fm,n^y)=Z2X/ v*,/(*»y)> О-9)

Л=0/=0

где коэффициенты Эрмита

Ckj = ¡¡f(x,y)i//kJ(x,y)dxdy= JJ/(x, у) y/k>¡ (x,y)dxdy. (1.10)

R2 D

Зная коэффициенты Эрмита ck ¡, можно по формуле (1.9) восстановить аппроксимацию

fm,n(x>y) исходной фуНКЦИИ f{x,y).

Растянем функции Эрмита <//£,/к = 0,1,...,т, / = 0,1,...,« в A/^Jlm + l раз вдоль оси ОХ и в

+ 1 раз вдоль оси OY, чтобы функция ц/тп{х,у) была

локализована с вычислительной точки зрения в прямоугольнике D. После растяжения значения всех функций if/kj(x,y), к = 0,1,...,т, / = 0,1,...,« близки к нулю в окрестностях

границ прямоугольника D, поэтому аппроксимация (1.9) fm,n(x,y) функции f{x,y)

может содержать осцилляции вблизи границ прямоугольника в связи с эффектом Гиббса (рис. 1.5 6). В работе [24] для уменьшения эффекта Гиббса предложено из исходной функции вычитать «базовую плоскость» L(x,y) = ах + Ьу + с, которая минимизирует сумму квадратов отклонения от исходного изображения f{x,y):

Arg min JJ(y(jc, y)-ax-by- с)2 dxdy.

Однако вычитание «базовой плоскости» L(x,y) не гарантирует близость к нулю граничных значений изображения /(х, у) - L(x, у).

В диссертационной работе для уменьшения эффекта Гиббса предложен следующий метод: ищется дважды непрерывно-дифференцируемая внутри прямоугольника D функция, совпадающая на границе D с функцией fix, у), и затем

функция f(x,y) = f{x,y)-L(x,y) , граничные значения которой равны нулю, раскладывается по функциям Эрмита (1.9). Функцию L(x,y) будем искать как решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа [14,25]:

AL(x,y) = О, -А<х<А,-В<у<В,

L(x-B) = fix,-В) [L(x,B) = f{x,B)

Решение L[x,y) задачи (1.11) будем называть базовой функцией для изображения f(x,y). Поиск численного решения задачи (1.11) осуществляется методом конечных элементов [26].

Для изображения f(x,y) = f{x,y) — L(x,y) , все граничные значения которого равны нулю, получается более точная аппроксимация границ, чем для изображения f(x,y) . Прибавив к аппроксимации /т>п(х,у) изображения f(x,y) в области D базовую функцию L(x,y), получим аппроксимацию исходного изображения fix, у). На рис. 1.5 приведены примеры аппроксимаций /„,,„(*,.>>) и fnnix,y) + Lix,y) изображения f{x,y) размера 500x375 пикселей двумерными функциями Эрмита y/icjix,y), к = 0,1...,150; / = 0,1,... 100 . Видно, что если аппроксимировать функциями

Эрмита исходное изображения без вычитания базовой функции, то на аппроксимации fmnix,y) присутствуют осцилляции, связанные с плохой аппроксимацией

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Павельева, Елена Александровна, 2015 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Реконструкция изображений. Под ред. Г. Старка. Пер. с англ.-М.:Мир - 1992. - 636 с.

2. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.:ОГИЗ, Гостехиздат. - 1948. -480 с.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.:Наука. - 1972. - 496 с.

4. Martens J. В. The Hermite transform-theory //Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE Transactions on. - 1990. - Vol. 38, no. 9. - Pp. 1595-1606.

5. Oppenheim A. V., Lim J. S. The importance of phase in signals //Proceedings of the IEEE. - 1981. - Vol. 69, no. 5. - Pp. 529-541.

6. Shekhar S., Patel V. M., Nasrabadi N. M., Chellappa R. Joint sparse representation for robust multimodal biometrics recognition // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2014. - Vol. 36, no. 1. - Pp. 113-126.

7. Burge M. J., Bowyer K. Handbook of iris recognition. - Springer. - 2013. - 407 p.

8. Gale A. G., Salankar S.S. A review on advance methods of feature extraction in iris recognition system //IOSR Journal of Electrical and Electronics Engineering. - 2014. -Pp. 65-70.

9. Kortchagine D. N., Krylov A. S. Projection filtering in image processing // Proceedings of 10-th International Conference on Computer Graphics and Vision GraphiCon'2000. - 2000. -Pp. 42-45.

10.Hayes M. H., Lim J. S., Oppenheim A. V. Signal reconstruction from phase or magnitude // ШЕЕ Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1980. - Vol. 28, no. 6. -Pp. 672-680.

1 l.CASIA-IrisV3-Interval database. http://www.cbsr.ia.ac.cn/IrisDatabase.htm.

12.Miyazawa K., Ito K., Aoki Т., Kobayashi K., Katsumata A. An iris recognition system using phase-based image matching // IEEE International Conference on Image Processing. -2006.-Pp. 325-328.

13.Mansfield A., Wayman J. Best practice standards for testing and reporting on biometric device performance //National Physical Laboratory of UK. - 2002. - Pp. 1-32.

14.Pavelyeva E. A., Krylov A. S. Synthesis of phase and magnitude of images by Hermite projection method //Pattern Recognition and Image Analysis. - Vol. 25, no. 2. - 2015. -Pp. 187-192.

15.Павельева E. А. Поиск соответствий между ключевыми точками изображений радужных оболочек глаз с помощью метода проекционной фазовой корреляции //Системы и средства информатики. - 2013. - Т. 23, №. 2. - С. 74-88.

16.Павельева Е.А., Крылов А.С. Алгоритм сравнения изображений радужной оболочки глаза на основе ключевых точек //Информатика и ее применения. - 2011. - Т. 5, № 1.

- С. 68-72.

17.Павельева Е.А., Крылов А.С. Поиск и анализ ключевых точек радужной оболочки глазаметодом преобразования Эрмита //Информатика и ее применения. - 2010. - Т. 4, № 1. - С. 79-82.

18.Павельева Е.А., Крылов А.С., Ушмаев О.С. Развитие информационной технологии идентификации человека по радужной оболочке глаза на основе преобразования Эрмита //Системы высокой доступности. - 2009. - №. 1. - С. 36-42.

19.Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. - 3-е изд., перераб. и доп. -М.:Физматлит. -2005. -480 с.

20.Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. - М.:Физматлит. - 1963. -256 с.

21.Martens J. В. Local orientation analysis in images by means of the Hermite transform //IEEE Transactions on Image Processing. - 1997. - Vol. 6, no. 8. - Pp. 1103-1116.

22.Eberlein W. F. A new method for numerical evaluation of the Fourier transform //Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1978. - Vol. 65, no. 1. - Pp. 80-84.

23.Крылов А. С., Насонов А. В. Регуляризирующие методы интерполяции изображений.

- М.:Аргамак-Медиа. - 2014. - 100 с.

24.Корчагин Д. Н. Быстрый проекционный метод обработки мультимедиа информации: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. -М., 2005. - 180 с.

25.Pavelyeva Е.А., Krylov A.S. Image reconstruction from phase using Hermite projection method // Proceedings of 11th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-11-2013). - 2013. - Vol. I.- Pp. 296-299.

26.Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. -М.: Научный мир. - 2000. - 309 с.

27.Павельева Е.А., Крылов А.С. Аппроксимация фазы проекционным методом Эрмита при восстановлении изображения по фазе //Труды 24-й международной конференции по компьютерной графике и зрению GraphiCon'2014 - 2014.- С. 131-134.

28.0ppenheim А. V., Hayes M. H., Lim J. S. Iterative procedures for signal reconstruction from Fourier transform phase //Optical Engineering. - 1982. - Vol. 21, no. 1. - Pp. 122-127.

29.0ppenheim A. V., Lim J. S., Curtis S. R. Signal synthesis and reconstruction from partial Fourier-domain information //Journal of the Optical Society of America. - 1983. - Vol. 73, no. 11.-Pp. 1413-1420.

30.0ppenheim A. V., Lim J. S., Kopec G., Pohlig S. C. Phase in speech and pictures // IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. - 1979. - Vol. 4. -Pp. 632-637.

31 .Millane R. P., Hsiao W. H. The basis of phase dominance //Optics letters. - 2009. - Vol. 34, no. 17.-Pp. 2607-2609.

32.Urieli S., Porat M., Cohen N. Image characteristics and representation by phase: from symmetric to geometric structure //IEEE International Conference on Image Processing. -1996.-Vol. l.-Pp. 705-708.

33. Wang Z., Simoncelli E. P., Bovik A. C. Multiscale structural similarity for image quality assessment //Proceedings of the 37-th IEEE Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. -2003. - Vol. 2. - Pp. 1398-1402.

34.База данных тестовых изображений SIPI Miscellaneous http://sipi.usc.edu/database/database.php?volume=misc.

35.Urieli S., Porat M., Cohen N. Optimal reconstruction of images from localized phase //IEEE Transactions on Image Processing. - 1998. - Vol. 7, no. 6. - Pp. 838-853.

36.Ма С. Novel criteria of uniqueness for signal reconstruction from phase //IEEE Transactions on Signal Processing. - 1991. - Vol. 39, no. 4. - Pp. 989-992.

37.Weng J. J. Image matching using the windowed Fourier phase //International Journal of Computer Vision. - 1993. - Vol. 11, no. 3. - Pp. 211-236.

38.Hayes M. H. Multidimensional signal reconstruction from phase or magnitude //IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. -1981. - Vol. 6. -Pp. 1014-1017.

39. Qiao Y. et al. A theory of phase singularities for image representation and its applications to object tracking and image matching //IEEE Transactions on Image Processing. — 2009. -Vol. 18, no. 10. - Pp. 2153-2166.

40.Quatieri Jr T. F., Oppenheim A. V. Iterative techniques for minimum phase signal reconstruction from phase or magnitude //IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1981. - Vol. 29, no. 6. - Pp. 1187-1193.

41.Avidor G., Gur E. An adaptive algorithm for phase retrieval from high intensity images //International Conference on Image Processing Theory Tools and Applications. — 2010. -Pp. 225-228.

42.Бандман T. M. Класс функций, допускающих восстановление по фазе их преобразования Фурье //Автометрия. - 1981. -№. 2. - С. 28-32.

43.Hayes M. H., Lim J. S., Oppenheim A. V. Phase-only signal reconstruction //International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1980. - Pp. 437-440.

44.Tom V., Quatieri T. F., Hayes M. II., McClellan J. H. Convergence of iterative nonexpansive signal reconstruction algorithms //IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1981. - Vol. 29, no. 5. - Pp. 1052-1058.

45.Матвеев И., Ганькин К. Распознавание человека по радужке //Системы безопасности. - 2004. - №. 5.-С. 72-76.

46.Flom L., Safir A. Iris recognition system: US Patent 4641349 - 1987.

47.Daugman J. G. Biométrie personal identification system based on iris analysis: US Patent 5291560- 1994.

48.Ушмаев О. С. Биометрическая идентификация по радужной оболочке глаза: текущее состояние и перспективы //Труды 21-й конференции по Компьютерной Графике и Зрению GraphiCon'2011. -2011. - С. 192-194.

49.Daugman J. G. High confidence visual recognition of persons by a test of statistical independence //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1993. -Vol. 15, no. 11.-Pp. 1148-1161.

50.Daugman J. How iris recognition works // IEEE Transactions on Circuits and Systems for Video Technology. -2004. - Vol. 14, no. 1. - Pp. 21-30.

51.Daugman J. New methods in iris recognition // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics. - 2007. - Vol. 37, no. 5. - Pp. 1167-1175.

52. Wu P., Manjunath B. S., Newsam S., Shin, H. D. A texture descriptor for browsing and similarity retrieval //Signal Processing: Image Communication. - 2000. - Vol. 16, no. 1. -Pp. 33-43.

53.Daugman J. G. Uncertainty relation for resolution in space, spatial frequency, and orientation optimized by two-dimensional visual cortical filters // Journal of the Optical Society of America A.- 1985.-Vol. 2, no. 7.-Pp. 1160-1169.

54. Wildes R. P., Asmuth J. C., Green G. L., Hsu S. C., Kolczynski R. J., Matey J. R., McBride S. E. A machine-vision system for iris recognition //Machine vision and Applications. -1996.-Vol. 9, no. l.-Pp. 1-8.

55. Wildes R. P. Iris recognition: an emerging biometric technology //Proceedings of the IEEE. - 1997.-Vol. 85, no. 9.-Pp. 1348-1363.

56.Boles W. A security system based on human iris identification using wavelet transform //Engineering Applications of Artificial Intelligence. - 1998. - Vol. 11, no. l.-Pp. 77-85.

57.Boles W., Boashash B. A human identification technique using images of the iris and wavelet transform //IEEE Transactions on Signal Processing. - 1998. - Vol. 46, no. 4. — Pp 1185-1188.

58.Sanchez-Avila C., Sanchez-Reillo R., de Martin-Roche D. Iris-based biometric recognition using dyadic wavelet transform //IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. -2002. - Vol. 17, no. 10. - Pp. 3-6.

59.Lim S., Lee K., Byeon O., Kim T. Efficient iris recognition through improvement of feature vector and classifier //ETRI journal. - 2001. - Vol. 23, no. 2. - Pp. 61-70.

60.Ma L., Wang Y., Tan T. Iris recognition based on multichannel Gabor filtering //Proceedings of the 5-th Asian Conference on Computer Vision. - 2002. - Vol. 1. -Pp. 279-283.

61.Ma L., Wang Y., Tan T. Iris recognition using circular symmetric filters //Proceedings of the 16-th International Conference on Pattern Recognition. - 2002. - Vol. 2. - Pp. 414-417.

62.Ma L., Tan T., Wang Y., Zhang D. Personal identification based on iris texture analysis //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2003. - Vol. 25, no. 12.-Pp. 1519-1533.

63.Ma L., Tan T., Wang Y., Zhang D. Local intensity variation analysis for iris recognition //Pattern recognition. - 2004. - Vol. 37, no. 6. - Pp. 1287-1298.

64.Ma L., Tan T., Wang Y., Zhang D. Efficient iris recognition by characterizing key local variations //IEEE Transactions on Image Processing. - 2004 - Vol. 13, no. 6. - Pp. 739-750.

65.Sun Z., Tan T. Ordinal measures for iris recognition //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. -2009. - Vol. 31, no. 12. - Pp. 2211-2226.

66.Tisse C. L., Martin L., Torres L., Robert M. Person identification technique using human iris recognition //Proceedings of the International Conference on Vision Interface. - 2002. -Pp. 294-299.

67.Bae K., Noh S., Kim J. Iris feature extraction using independent component analysis //Proceedings of the 4-th International Conference on Audio- and Video-Based Biométrie Person Authentication. -2003. - Pp. 838-844.

68.Wang Y., Han J. Q. Iris recognition using independent component analysis //Proceedings of the International Conference on Machine Learning and Cybernetics. - 2005. - Vol. 7. - Pp. 4487-4492.

69.Estudillo-Romero A., Escalante-Ramirez B. The Hermite transform: an alternative image representation model for Iris recognition //Progress in Pattern Recognition, Image Analysis and Applications. - 2008. - Pp. 86-93.

70.Miyazawa K., Ito K., Aoki T., Kobayashi K., Nakajima H. A phase-based iris recognition algorithm //Advances in Biometrics. - 2005. - Pp. 356-365.

71.Miyazawa K., Ito K., Aoki T., Kobayashi K., Nakajima H. An efficient iris recognition algorithm using phase-based image matching //IEEE International Conference on Image Processing. - 2005. - Vol. 2. - Pp. 49-52.

72.Hollingsworth K. P., Bowyer K. W., Flynn P. J. The best bits in an iris code //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2009. - Vol. 31, no. 6. -Pp. 964-973.

73.Proenca H. Iris Recognition: What is beyond bit fragility? //IEEE Transactions on InformationForensics and Security. -2015. - Vol. 10, no. 2. -Pp. 321-332.

74.Dong W., Sun Z., Tan T. Iris matching based on personalized weight map //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 2011. - Vol. 33, no. 9. -Pp. 1744-1757.

75.Yang W., Yu L., Lu G., Wang K. Iris recognition based on location of key points //Biométrie Authentication. -2004. - Pp. 484-490

76.Yu L., Zhang D., Wang K. The relative distance of key point based iris recognition //Pattern Recognition. - 2007. - Vol. 40, no. 2. - Pp. 423-430.

77.Sunder M. S., Ross A. Iris image retrieval based on macro-features //International Conference on Pattern Recognition.-2010.-Pp. 1318-1321.

78.Belcher C., Du Y. Region-based SIFT approach to iris recognition //Optics and Lasers in Engineering. - 2009. - Vol. 47, no. l.-Pp. 139-147.

79.Cui J., Wang Y., Tan T., Ma L., Sun Z. An iris recognition algorithm using local extreme points //Biométrie Authentication. - 2004. - Pp. 442-449.

80.Huang J. Z., Tan T. N., Ma L., Wang,Y. H. Phase correlation based iris image registration model //Journal of Computer Science and Technology. - 2005. - Vol. 20, no. 3. -Pp. 419-425.

81.Monro D. M., Rakshit S., Zhang D. DCT-based iris recognition //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. -2007. - Vol. 29, no. 4. - Pp. 586-595.

82.Cha S. H. Comprehensive survey on distance/similarity measures between probability density functions //International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences. - 2007. - Vol. 4, no. 1. - Pp. 300-307.

83.Havlicek J. P., Havlicek J. W., Bovik A. C. The analytic image //International Conference on Image Processing. - 1997. - Vol. 2. - Pp. 446-449.

84.Comon P. Independent component analysis, a new concept? //Signal processing. - 1994. -Vol.36, no. 3.-Pp. 287-314.

85.Martens J. B. The Hermite transform-applications //IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1990. - Vol. 38, no. 9. - Pp. 1607-1618.

86.SiIván-Cárdenas J. L., Escalante-Ramírez B. The multiscale Hermite transform for local orientation analysis // IEEE Transactions on Image Processing. - 2006. - Vol. 15, no. 5. -Pp. 1236-1253.

87.Reddy B. S., Chatterji B. N. An FFT-based technique for translation, rotation, and scale-invariant image registration //IEEE Transactions on Image Processing. - 1996. - Vol. 5, no. 8.-Pp. 1266-1271.

88.Nagashima S., Ishii H., Kobayashi K. High-accuracy estimation of image rotation using ID phase-only correlation //IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences. - 2009. - Vol. E92-A, no. 1. - Pp. 235-243.

89.Павельева Е.А. Метод проекционной фазовой корреляции в ключевых точках радужной оболочки глаза //Труды 22-й Международной Конференции по Компьютерной Графике и Зрению GraphiCon'2012. -2012. - С. 128-132.

90.Павельева Е.А., Крылов А.С. Метод проекционной фазовой корреляции в задаче идентификации человека по радужной оболочке глаза //Труды 13-й Международной Конференции Цифровая Обработка Сигналов и её Применение (DSPA 2011). - 2011. -Т. 2.-С. 167-170.

91.Павельева Е.А., Крылов А.С. Определение локальных сдвигов изображений радужных оболочек глаз методом проекционной фазовой корреляции // Труды 21-й Международной Конференции по Компьютерной Графике и Зрению GraphiCon'2011. -2011.-С. 188-191.

92.Pavelyeva Е.А., Krylov A.S. An adaptive algorithm of iris image key points detection //Proceedings of 20-th International Conference on Computer Graphics and Vision GraphiCon'2010. -2010. - Pp. 320-323.

93.Dunstone Т., Yager N. Biometric system and data analysis: Design, evaluation, and data mining. Chapter 2, Biometric matching basics. - Springer. - 2008. -Pp 27-43.

94.Mottalli M., Mejail M., Jacobo-Berlles J. Flexible image segmentation and quality assessment for real-time iris recognition //IEEE International Conference on Image Processing.-2009.-Pp. 1941-1944.

95.Гонсалес P., Вудс P. Цифровая обработка изображений. - М.:Техносфера. - 2006. -1070 с.

96.Павельева Е.А., Крылов А.С. Алгоритм идентификации человека по ключевым точкам радужной оболочки глаза //Труды 19-й Международной Конференции по Компьютерной Графике и Зрению GraphiCon'2009. - 2009. - С. 228-231.

97.Cui J., Wang Y., Tan Т., Ma L., Sun Z. A fast and robust iris localization method based on texture segmentation //SPIE Proceedings, Biometric Technology for Human Identification. - 2004. - Vol. 5404. - Pp. 401-408.

98.Tan Т., He Z., Sun Z. Efficient and robust segmentation of noisy iris images for non-cooperative iris recognition //Image and Vision Computing. - 2010. - Vol. 28, no. 2. -Pp. 223-230.

99.Aydi W., Kamoun L., Masmoudi N. A fast and accurate eyelids and eyelashes detection approach for iris segmentation //Journal of Multimedia Processing and Technologies. -2012. - Vol. 3, no. 4. - Pp. 166-173.

100. Proenfa H., Alexandre L. A. Introduction to the special issue on the segmentation of visible wavelength iris images captured at-a-distance and on-the-move //Image and Vision Computing. - 2010. - Vol. 28, no. 2. - Pp. 213-214.

101. Canny J. A computational approach to edge detection //IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. - 1986. - Vol. 6. - Pp. 679-698.

102. Krylov A.S., Pavelyeva E.A. Iris data parametrization by Hermite projection method //Proceedings of 17-th International Conference on Computer Graphics and Vision GraphiCon'2007. - 2007. - Pp. 147-149.

103. Kutovoi A. V., Krylov A. S. A new method for texture-based image analysis //Proceedings of 16-th International Conference on Computer Graphics and Vision GraphiCon'2006. - 2006. - Pp. 235-238.

104. Павельева E. А., Крылов А. С. Алгоритмы предобработки изображений радужной оболочки глаза //Труды 18-й Международной Конференции по Компьютерной Графике и Зрению GraphiCon'2008. -2008. - С. 314.

105. Павельева Е. А. Метод выделения и сопоставления ключевых точек в задаче идентификации человека по радужной оболочке глаза //Тезисы Докладов Научной Конференции Тихоновские чтения. - 2012. - С. 61.

106. Павельева Е. А. Проекционный метод восстановления сигналов по фазовой информации //Тезисы Докладов Научной Конференции Тихоновские чтения. - 2014. - С. 62.