Анализ электромагнитных формфакторов адронов методом КХД правил сумм тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Нестеренко, Виктор Александрович

• Нестеренко, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Нестеренко, Виктор Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ФОРМФАКТОР ПИОНА И КВАНТОВО

ХРОМОДИНАММЕСКИЕ ПРАВИЛА СУММ.

§1.1. Вычисление константы методом КХД правил сумм.

§1.2. Правило сумм для формфактора пиона.

§1.3. Обсуждение результатов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ электромагнитных формфакторов адронов методом КХД правил сумм»

Одной из основных задач современной физики элементарных частиц является построение теории сильного взаимодействия. Главным, если не единственным, претендентом на роль такой теории в настоящее время является полевая теория - квантовая хромодинами-ка^1"3/ (КХД), построенная как естественное обобщение квантовой электродинамики^4^ (КЭД). Изучение адронной спектроскопии, глу-боконеупругого лептон-адронного рассеяния, высокоэнергетической е+е~ аннигиляции в адроны позволило существенно расширить наши представления о сложном строении адронов, выяснить основные свойства составляющих их элементов.

Для объяснения ¿17(3)- симметрии спектра адронов была

5/ предложена концепция кварков' ', каждый вид которых имеет свое квантовое число - аромат. В глубоконеупругом рассеянии электро

6 7/ нов на протонах была обнаружена масштабная инвариантность ' структурных функций. Анализ этого явления привел к созданию пар-тонной модели^8,в которой адроны рассматриваются как сложные объекты, состоящие из точечноподобных частиц - партонов. Данные по глубоконе упругому рассеянию указывают на то, что партоны можно отождествить с кварками, обладающими дробным электрическим зарядом и полуцелым спином^0''Для объяснения масштабной инвариантности формфакторов необходимо предположить, что на малых расстояниях кварки ведут себя как почти свободные частицы -партоны, другими словами, константа, определяющая их взаимодействие, достаточно мала. Кроме кварков адроны содержат также электрически нейтральные векторные частицы - глюоны. Составная кварковая модель хорошо описывает спектр адронов, но для устранения противоречия между спином и статистикой потребовалось введение дополнительной - цветовой - степени свобода/13""*5/ у кварков. Так как для адронной классификации достаточно иметь мультиплеты только по квантовым числам ароматов, то вводится принцип бесцветности наблюдаемых составных кварковых систем: реально наблюдаемым адронем соответствуют комбинации цветных кварков, являющиеся синглетами цветовой группы симметрии. В этом случае введение цвета не приводит к дополнительным адронным состояниям, но дает возможность построить динамику сильных взаимодействий на кварковом уровне.

Квантовая хромодинамика - локальная квантовая теория по-ля^16/, вследствие неабелевости калибровочной группы 31/(3) симметрии лагранжиана обладает рядом специфических черт, проявляющихся при квантовании (см. .например^17,Отбытие асимптотической свобода/19,2^ в неабелевых калибровочных теориях, сводящейся к тому, что эффективная константа связи логарифмически уменьшается на малых расстояниях, стремясь к нулю в пределе бесконечно больших передач импульса, привело к возможности использования теории возмущений для описания жестких процессов^3,2*'

Однако, теория возмущений, являющаяся основным расчетным методом в квантовой теории поля, неприменима в КХД для вычисления эффектов, существенно зависящих от динамики на больших расстояниях, где эффективная константа взаимодействия не является малой величиной. Поскольку амплитуды физических процессов зависят как от динамики малых, так и больших расстояний, то для успешных расчетов по теории возмущений необходимо разделить вклады этих областей. При таком разделении (факторизации)

часть амплитуды, определяемая малыми расстояниями, может быть вычислена благодаря асимптотической свободе по теории возмущений, а вклад больших расстояний учитывается феноменологически, например, путем введения волновых или структурных функций адро-нов.

Такой подход, основанный на факторизации вкладов больших и малых расстояний, восходит к классическим работай/23*^/ по глубоконеуцругому рассеянию. После надлежащего обобщения^""28/ этот подход стал основным средством анализа жестких инклюзивных процессов. Практически одновременно он был распространен и на эксклюзивные процессь/^~3*Л Метод наиболее приспособлен к вычислению высокоэнергетической асимптотики исследуемых процессов, и его надежность в значительной степени определяется возможностью пренебречь степенными 0 ( СГ^) (где Ч - переданный импульс) поправками по сравнению с основным вкладом. Величину низших степенных поправок удается оценить лишь в простейших кинематических ситуациях, например, для полного сечения е+е~ - аннигиляции в адрош/^/ или низших (первого и второго) моментов структурных функций глубоконеупрутого рассеяния^65/. Это в значительной степени ограничивает возможности анализа в области промежуточных (неасимптотических) передач импульса.

С другой стороны, при исследовании процессов с участием адронов с неизбежностью появляются величины, существенно зависящие от динамики на больших расстояниях - массы, ширины распадов, волновые функции и т.д. Их учет требует явного анализа эффектов связанных состояний, решения проблемы конфайнмента. В рамках теории возмущений сделать это невозможно. В настоящее время успешно развивается новый подход к исследованию физики адронов/32,33Л В нем сочетаются традиционные методы вычисления асимптотических значений амплитуд по теории возмущений с учетом специфических для КХД непертурбативных эффектов.

Идею такого подхода проще всего пояснить на примере конкретной диаграммы (рис. I)

2> а)

Рис. I возникающей при анализе 2-х токового коррелятора <о| I Т \о>. (I - локальный ток с мезонными квантовыми числами). Если игл-пуль с Р(-Р*>о) , входящий в вершину диаграммы, равномерно "растекается" по всем линиям, то этот вклад соответствует обычной - поправке к простейшей однопетлевой диаграмме. Возможны, однако, и другие кинематические ситуации, например, когда большой импульс проходит по линиям I, 2, 3, 4, по линии 5 протекает малый импульс к () Кг1 « 1Ра1) , либо когда большой импульс проходит от одного конца диаграммы к другому по линиям 2, 4, не затрагивая - I, 3, 5. В этом случае, для нахождения соответствующих вкладов удобно воспользоваться методом опе

35/ раторного разложения' . При этом части диаграмм, по которым "цротекает" большой импульс (они выделены на рис. I б,в), вычисляются стандартными методами теории возмущений и соответствуют коэффициентным функциям в операторном разложении при локальных операторах С &!э и У) (этим операторам соответствуют разорванные глюонная и кварковые линии на рис. I б и рис. I в соответственно). Таким образом, эффекты больших расстоя-/32/ ний в подходе' учитываются феноменологически, путем введения ненулевых вакуумных средних кварковых <о]й7н;1о>и глюонных <о1 (х э 6 э |о> полей.

32/

Центральным пунктом подхода' ' является утверждение о том, что асимптотическая свобода нарушается, в первую очередь, взаимодействием с непертурбативными вакуумными флуктуациями.

Вычисления в теории поля на решетке по методу Монте-Карло^34/ дают указания на то, что выход на асимптотику КХД из области

32/ сильной связи.довольно резкий. В подходе' такую смену режимов и обеспечивает взаимодействие с непертурбативными флуктуациями вакуумных полей, которое проявляет себя еще в области применимости стандартной теории возмущений (при малых ¿г* ) и, нарастая степенным образом, ограничивает режим слабой связи. Таким образом, именно это взаимодействие ответственно за формирование резонансов, и метод квантово-хромодинамических правил /32/ сумм позволяет воплотить эти качественные соображения в количественные результаты.

В работе^3^/ показано, что для вычисления многих характеристик мезонов тс , р , J/^y и т.д. достаточно ограниченной динамической информации о структуре вакуума, содержащейся в мат. з с* ричных элементах типа СУ , <3 - вакуумных средних составных кварк-глюонных операторов низшей размерности. Для явного вычисления таких вакуумных средних необходимо знание полной теории КХД вакуума, и если ее удастся когда-либо построить, это будет означать решение проблемы сильной связи и проблемы конфайнмента из первых принципов. В отсутствие такой теории, приходится оцределять матричные элементы <¥ У> и < (т &> другими способами. Поскольку одни и те же матричные элементы дают вклад в различные характеристики адронного спектра, то всегда есть возможность феноменологического определения вакуумных средних по фитщюванию одного из каналов (или, по крайней мере, небольшого их числа). Так, например, анализ правил сумм для чармо-ния^32/ фиксирует значение среднего по вакууму глюонных полей. о1 £ &;,&;, ю>= 0,012 гэ&" (в.1) а величину комбинации й <014? у\о> =. 1, 8 • Ю"6 Гэ В& (В.2) можно определить, например, исходя из экспериментального значения константы распада тс--/"д : £ = 133 МэВ. В такой постановке задачи мы получаем информацию о структуре непертурбатив-ного КХД вакуума и можем воспользоваться найденными значениями вакуумных средних для описания других характеристик адронов. В последующих главах диссертации будем использовать численные значения (В.1) и (В.2).

Согласно методике, развитой в работах^32,33/, проводится вычисление некоторой корреляционной функции локальных операторов в предасимптотической области, где поправки высших порядков теории возмущений малы вследствие асимптотической свободы, а непер-турбативные вклады достаточно (хотя и не слишком) велики. При этом последние факторизуются в виде произведения коэффициентных

35 Аномальная размерность оператора (уу) - ^ /9), поэтому величина (В.2) "почти" ренорм-инвариант, и нет необходимости указывать, в какой именно точке интервала - 10 ГэВ берется . функций, определяемых малыми расстояниями, и матричных элементов составных операторов, аккумулирующих информацию о динамике на больших расстояниях.

I 5с1 х <о|Т {1С*) 1(о)] Ю>

6}*= - с|а->0

В.З) П (Ч ) + 2 си и где П ((?*) - результат вычислений по стандартной теории возмущений.

Амплитуда (В.З) вычислена в глубокоевклидовой области. Однако, реальным физическим состояниям соответствует область вре-мениподобных передач импульса. Одна из основных идей метода КХД правил суш состоит в том, что, подобно методам теории диспер

ВВ сионных соотношений/^*3^/, аналитические свойства амплитуды

П (Ч ) позволяют связать между собой физическую и глубокоевк-лидовую области изменений импульса с^ .

Т 1т П*"3^) ПТЕ0Р/Ллч . у г <

Соотношение (В.4) выражает собой дуальность между кварковой амплитудой и сечением процесса с участием реальных физических состояний (кварк-адронная дуальность). В несколько ином аспекте гипотеза дуальности для чисто адронных амплитуд была сформулирована в работах/38,3^/ и привела впоследствии к созданию конечно энергетических правил суш^Л

В настоящее время реально учитывается лишь вклад операторов низшей размерности (В.1), (В.2) в правую часть (В.4) и, как следствие, достоверные предсказания можно сделать для низших физических состояний в канале, определяемом квантовыми числами тока I . В целях улучшения сходимости ряда степенных поправок (г^ ) и подавления вкладов высших резонансов к (В.4) применяется преобразование Бореля . « о** ( «л л с

В результате (В.4) переходим в "борелизованные" правила сумм^32/ оо

ФиЪ ,те0р, ^ У /-. £ ОпУ т П = Ф (М ) + Сп ддч (В.5) для которых характерно наличие экспоненциального веса в интеграле по £ . Эффективность метода КХД правил сумм проверялась на примере точно решаемых моделей; нерелятивистской потенциальной теорт/41,42/ и двумерной хромодинамию/43,44Л Было установлено, что в целом картина в этих моделях неплохо согласуется с предположениями работ^32 * 33Л

После того, как был сформулирован метод КХД правил сумм оо/ ' , появилось множество работ, развивающих и распространяющих его на другие процессы. Здесь следует упомянуть описание масс и ширин распадов мезонов % ^ > , ^с /32/, определение масс барионов^Л вычисление формфактора пиона^4®"^• формфактора перехода , нуклонных формфактос;7 с;«/ ров, вычисление магнитных моментов нуклонов' - вот далеко не полный перечень успешного применения правил суш КХД.

Целью настоящей диссертации является обобщение метода КХД правил сумм, изначально применявшегося для вычисления масс, леп-тонных ширин и т.п. статических характеристик адронов на случай динамических характеристик - формфакторов.

В первой главе методом КХД правил сумм вычисляется электромагнитный формфактор пиона (±) при промежуточных передачах импульса 0,6 ^ 4 ГэВ*\ Сформулирована и обоснована гио о о потеза локальной кварк-адроннои дуальности, согласно которой пертурбативная и физическая двойные спектральные плотности трехточечной амплитуды после усреднения по некоторой области равны друг другу. Установлено, что локальная дуальность соответствует я я. пределу М — <?о ( /Д - параметр преобразования Боре ля) в КХД правилах сумм. Из анализа КХД правил суш фиксируется интервал дуальности. Найденные значения для формфактора пиона из метода КХД правил сумм и в пределе локальной кварк-адронной дуальности хорошо согласуются друг с другом. Это согласие подтверждает гипотезу локальной дуальности.

Во второй главе метод КХД правил сумм применяется для вычисления электромагнитного формфактора пиона в области малых о передач импульса ^ 0,6 ГэВ . Правила суш, используемые в первой главе для ("Ь) при 0,6 ^ "¿г ^ 4 ГэВ, модифицируются на случай малых t . Подробно обсуждается метод вычисления степенных поправок в этой области. Найден электромагнитный радиус пиона.

В третьей главе на примере процесса ск° проведен сравнительный анализ двух, наиболее популярных в КХД, методов: метода КХД правил суш и обычной пертурбативной КХД, основанной на факторизации вкладов больших и малых расстояний. Проведенный анализ показывает, что методы КХД правил суш и пертурбативной КХД хорошо согласуются и взаимно дополняют друг друга. В асимптотической области результаты вычислений практически совпадают. В предасимптотической области совместное использование двух методов позволяет получить численное значение для некоторых матричных элементов. Кроме того при анализе процесса методом КХД правил сумм вычисления проводились двумя способами:

1) Непосредственно вычислялся тройной коррелятор двух электромагнитных токов и локального тока с квантовыми числами пиона.

2) С помощью операторного разложения произведение двух электромагнитных токов сводилось к локальным операторам и вычислялись корреляторы этих операторов с пионным током, т.е. задача сводилась к вычислению двухточечных корреляторов. Результаты двух способов вычислений согласуются друг с другом.

В четвертой главе локальная кварк-адронная дуальность используется для вычисления электромагнитных формфакторов нуклеус нов. Полученные результаты для хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

В Приложениях А и Б на примере формфактора пиона вычисли х. ются степенные поправки <&&> и <ч/ч/> соответственно. Приводится ряд формул, полезных при вычислении степенных поправок в рамках метода КХД правил сумм. В Приложении В приведены правила сумм для нескольких двухточечных корреляторов, появляющихся при анализе (Ф*) . В Приложении Г цредлагается метод вычисления двойной спектральной плотности вершинной функции на примере ие н и) .

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах^8"*54/, они обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ и ИТЭФ, докладывались автором на Сессиях Отделения ядерной физики АН СССР.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Нестеренко, Виктор Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая диссертация посвящена развитию метода правил сумм для анализа эксклюзивных процессов в рамках КХД. Сформулируем основные результаты диссертации.

1) Метод КХД правил сумм распространен на упрутие формфак-торы адронов, требующие анализа трехточечных корреляционных функций.

2) Разработана техника расчета и анализа трехточечных корреляторов и соответствующих им спектральных плотностей как в низшем (борновском) приближении, так и на уровне простейших степенных поправок.

3) Вычислены первые члены операторного разложения и проведен анализ для коррелятора Двух аксиальных и одного векторного тока в симметричной кинематике I 1Рд 1(Рд~ Р^ I, что позволило рассчитать методом КХД правил сумм поведение электромагнитного формфактора пиона в области умеренных передач импульса 0,6 < 1 < 4 ГэВ2 ( 1 = -(Рд-Р!^ ).

4) Сформулирована гипотеза локальной кварк-адронной дуальности для трехточечных корреляционных функций и на примере расчета формфактора пиона сделана попытка ее обоснования в рамках метода КХД правил сумм.

5) Показано, что расчеты ^¡г в области 0.6 1: <■ р 4 ГэВ методом КХД правил сумм при конечных значениях боре-левского параметра п хорошо согласуются как с результатом, основанным на локальной дуальности (что соответствует пределу М*-**-00 ), так и с имеющимися экспериментальными данными.

6) Проведен анализ операторного разложения для трехточечной корреляционной функции Т^ но ( Рс, Рд) в несимметричной кинематике ((Р*- Р^ I« I Рс I ~ I Р* I . Исследована структура дополнительных (по сравнению со случаем симметричной кинематики) членов операторного разложения и проведен явный расчет его первых членов.

7) Вычислен среднеквадратичный электромагнитный радиус пиона V < = 0,66 ± 0,03 фй. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальным значением.

8) Методом КХД правил сумм рассчитано поведение формфакто-ра пиона в области малых передач t ^ 0,6 ГэВ . Показано, о что в пограничной точке i =0,6 ГэВ результаты расчета основанные на ПС для двух кинематик согласуются друг с другом и с экспериментальными данными в пределах требуемой точности 10 - 20%.

9) На примере процесса проведен сравнительный анализ двух наиболее популярных в квантовой хромодинамике методов: метода КХД правил сумм и пертурбативной КХД. Результаты анализа показывают, что эти методы хорошо согласуются и дополняют друг друга. В асимптотической области результаты двух подходов практически совпадают.

10) Показано, что совместное использование двух методов позволяет получить численные оценки для некоторых матричных элементов (например <о|й ^о, (^«з-с! 1сгг>).

11) Найдена двойная спектральная плотность для коррелятора двух трехкварковых и электромагнитного токов.

12) На основе гипотезы о локальной кварк-адронной дуальности вычислены электромагнитные формфакторы нуклонов (протона р и нейтрона) при 2 15 ГэВ .

13) Обнаружено, что расчет по локальной дуальности в области t ä 4 - 15 ГэВ2 дает для отношения G-^ / значение -2, близкое к экспериментально наблюдаемому и отличающееся от значения (-3/2), диктуемого "масштабным законом"

14) Исследована связь между локальной дуальностью и мягкой волновой функцией адронов.

15) Согласие теоретически вычисленных нуклонных и пионных формфакторов с экспериментально наблюдаемыми позволяет утверждать, что степенной закон убывания формфакторов с ростом t обусловлен эффектами, связанными с конечными размерами адронов, а не связан с масштабной инвариантностью на малых расстояниях.

Дальнейшей задачей в исследуемом направлении является анализ методом КХД правил сумм процессов и амплитуд, связанных с четырехчастичными корреляционными функциями, таких как упругие пион-нуклонное и нуклон-нуклонное рассеяния. Большой интерес представляет также изучение этим методом глубоко неупругих процессов е'А/-*- е.'Х и нахождение функций распределения партонов в адронах.

В заключение хочу выразить искреннюю благодарность В.А.Мещерякову и Д.В.Ширкову за доброжелательное содействие, оказанное мне на всех этапах работы в Лаборатории теоретической физики ОШИ и постоянный интерес к данной научной работе. Мне особенно приятно поблагодарить моих научных руководителей А.В.Ефремова и А.В.Радюппсина за постановку задачи и плодотворное обсуждение результатов исследования, за большую помощь в решении научных и организационных вопросов. Хочу поблагодарить В.А.Бейлина и С.Н.Николаева за многочисленные дискуссии и полезные советы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Нестеренко, Виктор Александрович, 1984 год

1. Weinberg S. ltfon-Abelian Gauge Theories of the Strong 1.teractions. - Phys. Rev. Lett., 1973, v. 31, p. 494-497.

2. Ellis J., Sachrajda C.T. Quantum Chromodynamics and its Applications. In: Proc. of the 1979 Cargese Summer Inst, on Quarks and Leptons, TH-2782 CER1J.

3. Андреев И.В. "Хромодинамика и жесткие процессы при высоких энергиях". М., "Наука", 1981.

4. Берестецкий В.Б., Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. "Квантоваяэлектродинамика".-М., "Наука", 1980.

5. Gell-Mann М. A Schematic Model of Baryons and Mesons.

6. Phys. Lett., 1964, v.8, p. 214-215.

7. Матвеев В.А., Мурадян P.M., Тавхелидзе A.H. Автомодельность, коммутаторы токов и векторная доминантность в глубоконеупру-гих лептон-адронных взаимодействиях.-ЭЧАЯ, 1971,т.2,в.1,с.5-32

8. Bjorken J.D. Current Algebra at Small Distances. Scuola International di Fisica "Enrico Fermi", Varenna, Italy, 1967, course 41, Acad. Press, p. 55-81.

9. Drell S.D., Yan T.M. Partons and Their Applications at High Energies. Ann. Phys. (H.Y.), 1971, v. 66, p. 578-623.

10. Фейнман P. "Взаимодействие фотонов с адронами". Пер. сангл. М., "Мир", 1975.

11. Feynman R.P. Very High-Energy Collisions of Hadrons.

12. Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 1415-1417.

13. Bjorken J.D., Paschos E.A. Inelastic Electron-Proton and -ITe-utron Scattering and the Structure of the Hucleon. Phys. Rev., 1969, v. 185, p. 1975.

14. Клоуз Ф. "Кварки и партоны", Пер. с англ. М., "Мир", 1982.

15. Боголюбов Н.Н., Струминский Б.В., Тавхелидзе А.Н. К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. ОШИ, препринт Д-1968, Дубна, 1965.

16. Greenberg O.W. Spin and Unitary-Spin Independence in a Paraquark model of Baryons and Mesons. Phys. Rev. Lett., 1964, v. 13, p. 598-602.

17. Han M.Y. and Nambu Y. Three-Triplet Model vdth Double SU(3) Symmetry. Phys. Rev. B, 1965, v. 139, p. 1006.

18. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. "Введение в теорию квантованных полей". ~М., "Наука", 1976.

19. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. "Введение в квантовую теорию калибровочных полей". « М., "Наука", 1978.

20. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. "Квантовые поля". М., "Наука", 1980.

21. Politzer H.D. Reliable Perturbative Results for Strong Interactions? Phys. Rev. Lett, 1973, v. 30, No. 26,p.1346-1349.

22. Gross D.J., V/ilczek P. Ultraviolet Behaviour of Hon-Abelian Gauge Theories. Phys. Rev. Lett., 1973, v. 30, No. 26,p. 1343-1345.

23. Ефремов A.B., Радюшкин А.В. Теоретико-полевой подход к процессам с большой передачей импульса. ТМФ, 1980, т. 44, № I, с. 17-33; № 2, с. I57-I7I; & 3, с. 327-341.

24. Радюшкин А.В. Анализ жестких инклюзивных процессов в квантовой хромодинамике. ЭЧАЯ, 1983, т. 14, в. I, с. 58-122.

25. Gross D.J., Wilczek P. Asymptotically Free Gauge Theories. II. Phys. Rev. D, 1974, v. 9, No.4, p. 980-993.

26. Politzer H.D, Asymptotic Freedom: an Approach to Strong Interactions, Phys. Report, 1974, v. 14, p. 129-180.

27. Radyushkin A.V, Massive Lepton-Pair Production and Asymptotically Free Gauge Theories. Phys.Lett. B, 1977, v. 69, No, 2, p. 245-248.

28. Efremov A.V,, Radyushkin A.V, Hard Processes, Parton Model and QCD. Rivista del Nuovo Gim., 1980, v. 3, Ho. 2,p. 1-87.

29. Ellis R.K. et al. Perturbation Theory and the Parton Model in QCD, Nucl. Phys, B, 1979, v. 152, p. 285-329.

30. Mueller A.H. Perturbative QCD at High Energies, Phys. Reports, 1981, v. 73, Ho, 4, p. 237-268.

31. Efremov A.V,, Radyushkin A.V, Factorization and Asymptotic Behaviour of Pion Form Factor in QCD, Phys. Lett, B, 1980, v. 94, Ho, 2, p, 245-250,

32. Черняк В.Л. Дитницкий А.Р. Асимптотика адронных формфакто-ров в квантовой хромодинамике. ЯФ, 1980, т. 31, $4,с. 1053-1068.

33. Brodsky Б,J., Lepage G.P. Exclusive Processes in Perturbative Quantum Chromodynamics, Phys. Rev. D, 1980, v, 22, No, 9, p. 2157-2198,

34. Shifman M.A,, Vainstein A.I,, Zakharov V.I, QCD and Resonance Physics. Nucl, Phys. B, 1979, v. 147, No, 5,p. 385-534.

35. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А. -Квантовая хромодинамика и масштабы адронных масс. ЭЧАЯ, 1982, т. 13, в. 3, с. 542-612.

36. Creutz М., Jacobs L., Rebby С. Monte Carlo Study of Abelian Lattice Gauge Theories. Phys. Rev, D, 1979, v. 20, No, 8, p. 1915-1922,35« V/ilson К. Non-Lagrangian Models of Current Algebra, -Phys, Rev., 1969, v. 179, No. 5, p. 1499-1512.

37. Боголюбов H.H., Медведев Б.В., Поливанов М.К. "Вопросы теории дисперсионных соотношений" М., Физматгиз, 1958.

38. Ширков Д.В., Серебряков В.В., Мещеряков В.А. "Дисперсионные теории сильных взаимодействий при низких энергиях".-М., "Наука", 1967.

39. Logunov А.А., Soloviev L.D., Tavkhelidze A.IT. Dispersion Sum Rules and High Energy Scattering. Phys. Lett., 1967, v. 24, p. 181-182.

40. Герасимов С.Б. Векторная доминантность и правила сумм для сечения поглощения фотонов. Труды международного семинара "Векторные мезоны и электромагнитные взаимодействия", Дубна, 23-26 сентября 1969 г., с. 367-385.

41. Chetyrkin K.G., Krasnikov II.V., Tavkhelidze А.II. Finite energy Sum Rules for the Cross Section of e+e""-annihilation into Hadrons in QCD. Phys.Lett. B, 1978, v. 76, p.83-84.

42. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А. "Асимптотическая свобода" в квантовой механике. ЯФ, 1980, т. 32, в. 6, с. 1622-1635.

43. Voloshin М.В. On Dynamics of Heavy Quark in a Hon-Pertur-bative QCD Vacuum. ITucl.Phys. B, 1979, v. 154, p. 365-380.

44. Bradley A., Langensiepen C.S. and Shav/ C. Magic Moments in QCD2. Phys. Lett. B, 1981, v. 102, p. 359-363.

45. Фок В.А. Собственное время в классической и квантовой механике. Изв. АН СССР, ОМЕН, серия физич., 1937, № 4-5, с. 551-568.

46. Швингер Ю. "Частицы, источники, поля". Пер. с англ. М., "Мир", 1973.

47. Нестеренко В.А., Радюшкин А.В. Форм-фактор пиона и кванто-во-хромодинамические правила сумм. Письма в ЖЭТФ, 1982, т. 35, с. 395-398.

48. Nesterenko V.A., Radyushkin A.V. Sum Rules and Pion Form Factor in QCD. Phys. Lett. B, 1982, v. 115, Ho. 5,p. 4Ю-414.

49. Nesterenko Y.A., Radyushkin A.V. Sum Rules and Pion Form Factor in QCD. In: 21-st International Conference on High Energy Physics. Paris, July 26-31, 1982, C3, p. 242-245.

50. Нестеренко B.A., Радюшкин А.В. Сравнительный анализ методов ЮЗД правил сумм и пертурбативной КХД для процесса• IS83» г. 38, в. 2,с. 476-483.

51. Nesterenko V.A., Radyushkin A.V. Local Quark-Hadron Duality and Nucleon Form Factor in QCD. Phys. Lett. B, 1983,v. 128, No. 6, p. 439-444.

52. Нестеренко B.A., Радюшкин А.В. Кварк-адронная дуальность и формфакторы нуклонов в КХД. ЯФ, 1984, т. 39, в. 5, с. 1287-1296.

53. Ioffe B.L., Smilga A.V. Pion Form Factor at Intermediate Momentum Transfer. Phys.Lett. B, 1982, v. 114, Iio. 5, p. 353-358.

54. Balitsky I.I. and Yung A.V. Proton and Neutron Magnetic Moments from QCD Sum Rules. Phys.Lett. B, 1983, v. 129, No. 5, p. 328-334.

55. Иоффе Б.Л., Смилга А.В. Магнитные моменты протона и нейтрона в квантовой хромодинамике. Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 37,в. 5, с. 250-252.

56. Brodsky S.J., Parrar G.R. Scaling Laws at Large Transverse

57. Momentum. Phys. Rev. Lett., 1973, v. 31, No. 18, p. 1153-1156.

58. Радюшкин А.В. Глубоконеупругое рассеяние составных частиц в теории поля и асимптотическая свобода. Дубна, 1977, препринт ОИЯИ, P2-I07I7.

59. Диттес Ф.М., Радюшкин А.В. Радиационные поправки к форм-фактору пиона в квантовой хромодинамике. ЯФ, 1981, т. 34, № 2(8), с. 529-540.

60. Krasnikov N.V., Pivovarov А.А. The Application of Finite-energy Sum Rules for the Description of the Meson Resonances in QCD. Phys. Lett. B, 1982, v. 112, No. 4,5, p. 397-400.

61. Shuryak F.V., Vainshtein A.I. Theory of Power Correctionsto Deep Inelastic Scattering in Quantum Chromodynamics (II). Q"4 Effects; Polarized Target. Nucl.Phys. B, 1982, v.201, No. 1, p. 141-158.

62. Беляев B.M., Коган Я.И. Вычисление константы в квантовой хромодинамике. Письма в ЖЭТФ, 1983, т. 37, в. 12,с. 6II-6I3.

63. Водопьянов А.С., Цыганов Э.Н. Экспериментальное исследование электромагнитных размеров пиона и каона в опытах по упругому «ir- е и К-е -рассеянию. ЭЧАЯ, 1984, т. 15,в. I, с. 5-52.

64. Chetyrkin К.G. et al. Hadron Porm Factors at Small Momentum Transfers and Bilocal Operators. Moscow, 1984, preprint INR, P-0337.

65. Belyaev V.M., Kogan Yu.I. Nucleón Magnetic Formfactor in QCD at 0 ^ t ^ 1 GeV2. Moscow, 1984, preprint ITEP, ITEP-29.

66. Волков M.K., Первушин B.H. "Существенно нелинейные квантовые теории, динамические симметрии и физика мезонов". М., Атомиздат, 1978.

67. Герасимов С.Б. Структурные константы мезонов в модели кварковых диаграмм. ЯФ, 1979, т. 29, в. 2, с. 513-522.

68. Дубничкова А.З., Ефимов Г.В., Лобанов Ю.Ю. Формфактор пионав виртон-кварковой модели. ЯФ, 1983, т. 38, в. I, с. 193-199.

69. Volоshin M.B. QCD Calculation of ЧГ'М Vertex at Equal Euclidean c|л 0f Both Photons, Moscow, 1982, preprint ITEP, ITEP-8.

70. Трейман С., Джекив P., Гросс Д. "Лекции по алгебре токов".

71. Пер. с англ. М., Атомиздат, 1977.

72. Novikov V.A., et al. Use and Misuse of QCD Sum Rules, Factorization and Related Topics. Nucl. Phys. B, 1984, v. 237, No. 3, p. 525-552.

73. Беляев B.M., Иоффе Б.Л. Определение масс барионов и барион-ных резонансов из правил сумм квантовой хромодинамики.

74. Нестранные барионы. ЖЭТФ, 1982, т. 83, в. 3, с. 876- 891.

75. Brodsky S.J., Lepage G.P. Exclusive Processes and Hadron Dynamics at Short Distances. Stanford, 1980, preprint SLAC, SLAC-PUB-2605.

76. Rock S. et al. Measurement of Elastic Electron-Neutron Cross Sections up to Q2 = 10 (GeV/c)2. Stanford, 1982, preprint SLAC, SLAC-PUB-2449.

77. Shifman M.A. Wilson Loop in Vacuum Field. Nucl. Phys. B, 1980, v. 173, p. 13-31.

78. Nikolaev S.N., Radyushkin A.V. Vacuum Corrections to QCD Charmonium Sum Rules: Basic Formalism and 0(Results.-Nucl. Phys. B, 1983, v. 213, p. 285-304.

79. Смилга А.В. Вычисление степенных поправок в калибровке фиксированной точки. ~ ЯФ, 1982, т. 35, с. 473- 484.

80. Aliev Т.М., Shifman M.A. Old Tensor Mesons in QCD Sum Rules. Phys. Lett. B, 1982, v. 112, p. 401-405.

81. Nikolaev S.N., Radyushkin A.V. A Method for Computing Higher Gluonic Power Corrections to QCD Charmonium Sum Rules. Phys. Lett. B, 1982, v. 110, No. 6, p. 476-480.

82. Nikolaev S.N., Radyushkin A.V. QCD Charmonium Sum Rulesup to 0((j4) Order. Phys. Lett. B, 1983, v. 124, No. 3,4, p. 243-246.